变换群与几何学

变换群与几何学
3、射影相似变换与相似变换 定义. 在射影仿射平面上, 称无穷远点I(1,i,0), J(1,i,0)为圆点. 定义. 在射影仿射平面上, 保持圆点不变的射影仿射变换称 为射影相似变换. 定理. 射影仿射变换(3)成为射影相似变换在(3)中有a22=a11 且a21= a12；或者a22= a11且a21=a12. 射影相似变换的变换式为
定义了代数运算的集合称为代数系统, 代数学就是研究代数 系统的科学. 比如, 实数集R上的加(减)法、乘法都是R上的代数运算. 比如, 对于数域F上的向量空间V, 数乘向量是FV到V的一个 代数运算. 比如, 矩阵的乘法是所有矩阵的集合上的代数运算. 比如, sinx不是R上的一个代数运算, 而sinxcosy是R上的一个代数运算.
2 2
a 3 3 ( a1 1 a1 2 ) 0, a 3 3 0
2 2
或者
x y
定义. 在射影相似变换中, 若A33/a33=1则称之为射影正交变 换, 其有穷远部分(非齐次形式)即为正交变换.
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二、群与变换群
定义 (代数运算)设A, B, C为集合, 为AB到C的一个对应. 则称为AB到C的一个代数运算. 特别地, 若B=C=A, 则称为集合A上的一个代数运算.
x1 a 1 1 x1 a 1 2 x 2 a 1 3 x 3 x 2 a 1 2 x1 a 1 1 x 2 a 2 3 x 3 a 33 x3 x3 x1 a 1 1 x1 a 1 2 x 2 a 1 3 x 3 x 2 a 1 2 x1 a 1 1 x 2 a 2 3 x 3 a 33 x3 x3 a 3 3 ( a 1 1 a 1 2 ) 0, 0
G
S
S的子集(图形)在G下被分成 若干等价类, 属于同一等价类的 图形具有相同的G性质(G给S赋 予空间结构) 几何学(S, G)
注 显然, 在S上给定不同的变换群G, 则得到不同的几何学.
变换群与几何学
定义. 如果(S,G)为一个几何学, H为G的子群. 则称几何学 (S,H)为几何学(S,G)的一个绝对子几何学, 简称子几何学. G H 几何学(S,G)
射影仿射变换群PA
图形在射影仿射变换 下的不变性质和数量 仿射平面A2 仿射变换群A 图形在仿射变换下 的不变性质和数量
注 通常也直接将仿射几何学作为射影几何学的子几何学.
变换群与几何学
仿射几何——首先包括射影几何的所有研究内容. 定理. 仿射变换保持平行性不变. 注 平行性是最基本的仿射不变性. 定理. 简单比是仿射不变量. 注 简单比是最基本的仿射不变量.
注 距离是最基本的正交不变性. 由此, 一切刚体性质都是欧 氏几何的研究对象.
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结论：在同一个几何学系列中(即, 在前述几何学系列的同 一个横行上), 子几何学的研究内容比原几何学丰富. 但是原几何 学的内容比子几何学更具纲领性.
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2、射影仿射变换与仿射变换 定义. 在射影仿射平面上, 保持无穷远直线不变的射影变换称 为射影仿射变换.
定理. 射影变换
x i
a
j 1
3
ij
xj
i 1, 2, 3, | a ij | 0, 0
成为射影仿射变换a31=a32=0. 即射影仿射变换形如
x1 a 1 1 x1 a 1 2 x 2 a 1 3 x 3 x 2 a 2 1 x1 a 2 2 x 2 a 2 3 x 3 a 33 x3 x3 a 3 3 A3 3 0, 0 (3)
平行性
仿射不变性 简单比
平行线段的比, 两三角形面积之比, 线段的中点, 三角形的重心, 梯形, 平行四边形, ……
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3、相似几何学 射影相似几何学 不可用对偶原则
空间
主变换群
射影仿射平面PR2
射影相似变换群PS
研究内容
空间 相似几何学 主变换群 研究内容
图形在射影相似变换 下的不变性质和数量
射影相似变换群PS 射影正交变换群PO 仿射变换群A 相似变换群S 正交变换群O
上述7个变换群之间显然有下列关系： P PA PS PO 在射影平面PR2上



A S O
在仿射平面A2\l上
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四、Klein变换群观点
定义. 设S为一个非空集合, G为S上的一个变换群. 称S为空间, S的元素称为点, S的子集称为图形, G称为空间S的主变换群. 研 究空间S中图形所决定的在G的每一个元素的作用下保持不变的 性质(不变性)和数量(不变量)的科学称为一门几何学(S,G).
变换群与几何学
定义. (群)设G为非空集合. 在G上定义一个代数运算, 称为乘 法. 如果满足下述4条公理, 则称G对于这个乘法构成一个群, 记作 G. (1) 封闭性. a, bG, 有abG. (2) 乘法满足结合律. 即a, b, cG, 有a(bc)=(ab)c. (3) 存在单位元. 即eG, 使得aG, 有be=ea=a. (4) 存在逆元. 即aG, a1G, 满足aa1=a1a=e. 定义. (子群)设G为群, H为G的一个非空子集, 若H对于G上的 乘法也构成群, 则称H为G的一个子群. 定理. 群G的一个非空子集H为G的子群H满足下述条件. (1) a, bH, 有abH. (2) 若aH, 则必有a1H.
射影仿射变换作用于射影仿射平面.
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将(3)式化为非齐次(前二式两边分别除以第三式)得
x a 1 x b1 y c1 y a 2 x b2 y c 2 | A | a1 a2 b1 b2 0 (4)
即为仿射变换, 仿射变换作用于仿射平面.
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一、射影仿射平面
1、射影仿射平面
定义. 在射影平面上, 指定一条直线作为无穷远直线, 记作l, 并约定对于某取定的射影坐标系, l的方程为x3=0，这样的射影 平面称为射影仿射平面, 并称指定的l为该射影仿射平面上的绝 对形. 注 据定义, 射影仿射平面上的射影坐标系必须总以l为坐标 三点形的边x3=0, 称为射影仿射坐标系.
五、几种几何学的比较
1、射影几何学
空间
射影平面PR2
射影变换群P
主变换群 研究内容
图形在射影变换下 的不变性质和数量
基本射影不变性
同素性、关联性
交比
在射影平面上做演绎推理、对偶变换 其余所有射影不变性
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2、仿射几何学 空间 射影仿射几何学 射影仿射平面PR2
主变换群
不可用对偶原则 研究内容 空间 仿射几何学 不可用对偶原则 研究内容 主变换群
2

射影欧氏几何
(PR , PO )
2
(PA , A)
2
(PA , S )
2
(PA , O )
2
仿射几何
相似几何
欧氏几何
绝对子几何关系
相对子几何关系 伴随关系 绝对形： l=PR2\PA2.
射影平面PR2
变换群系列
P PA PS PO


仿射平面PA2
A S
O

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仿射平面A2 相似变换群S 图形在相似变换下 的不变性质和数量
不可用对偶原则
注 通常也直接将相似几何学作为射影仿射几何学的子几何学.
变换群与几何学
相似几何——首先包括仿射几何的所有研究内容. 定理 相似变换保持平面上任意两线段的比值、两直线的夹 角不变. 注 初等几何的研究内容基本属于相似几何.
4、欧氏几何学 欧氏几何——首先包括相似几何的所有研究内容. 定理 正交变换保持平面上两点间的距离不变.
变换群与几何学
定义. (群的同构)两个群G, G'之间的一个能够保持乘法运算 的双射称为G与G′ 之间的一个同构. 如果群G与G′ 之间存在一个同构映射, 则称G同构于G′ , 记作 GG′. 定理. 非空集合S上全体一一变换的集合对于变换的乘法构 成群. 称为集合S上的全变换群. 定理. 非空集合S上部分一一变换的集合G对于变换的乘法构 成群(全变换群的子群) (1) 若g1, g2G, 则g1g2G. (2) 若gG, 则g–1G. 定义. 集合S上全变换群的任一子群称为S上的一个变换群.
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三、平面上的几个变换群
射 影 PA={平面上全体射影仿射变换} 平 PS={平面上全体射影相似变换} 面 PO={平面上全体射影正交变换} 仿 射 平 面 A={平面上全体仿射变换} S={平面上全体相似变换} O={平面上全体正交变换}
P={平面上全体射影变换}
射影变换群P 射影仿射变换群PA
S
子几何学(S,H)
设 为 S 的子集, H为G的子群, 且对任意的 gH, 都有 g()= , 又H为上的一个变换群, 且H≌H. 则称(, H)为(S,G) 的一个以(S,H)为伴随绝对子几何学的相对子几何学, 并称B=S\ 为的绝对形. 2 2 2 例如: P A P R \ l P R ,
2 2
或者
a 3 3 ( a 1 1 a 1 2 ) 0, 0
2 2
注上面两式中的有穷远部分(非齐次形式)即为相似变换.
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4、射影正交变换与正交变换 在射影相似变换中，如果只考虑有穷部分，则将前面两式 两端分别除以第三式得
x y a1 1 a 33 a1 2 a 33 a1 1 a 33 a1 2 a 33 x x x x a1 2 a 33 a1 1 a33 a1 2 a 33 a1 1 a33 y y y y a1 3 a 33 a 23 a 33 a1 3 a 33 a 23 a 33 a 3 3 ( a1 1 a1 2 ) 0, a 3 3 0