【高三数学试题精选】2018届高考数学复习单元测试题008
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全08-13
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 （08三角函数 三角恒等变换）一、选择题1．（2018北京文）在平面坐标系中，AB ，CD ，EF ，GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边， 若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（ ） A ．AB B ．CD C ．EF D ．GH 1．【答案】C【解析】由下图可得，有向线段OM 为余弦线，有向 线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线．2．（2018天津文）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）（A ）在区间[,]44ππ- 上单调递增 （B ）在区间[,0]4π上单调递减（C ）在区间[,]42ππ上单调递增（D ）在区间[,]2ππ 上单调递减2．【答案】A【解析】由函数sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ⎡ππ⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 即()44k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，选项A 正确，B 错误；函数的单调递减区间满足：()322222k x k k πππ+≤≤π+∈Z ，即()344k x k k πππ+≤≤π+∈Z ，令0k =可得函数的一个单调递减区间为3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，选项C ，D 错误；故选A ．3．（2018天津理）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 （ ）(A)在区间35[,]44ππ上单调递增 (B)在区间3[,]4ππ上单调递减 (C)在区间53[,]42ππ上单调递增(D)在区间3[,2]2ππ上单调递减3．【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将πsin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为：sin 2sin210ππ5y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则函数的单调递增区间满足：()2π22π2ππ2k x k k -≤≤+∈Z ， 即()ππ4π4πk x k k -≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递增区间为3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数的单调递减区间满足：()3π2π22π2π2k x k k +≤≤+∈Z ，即()3πππ4π4k x k k +≤≤+∈Z ，令1k =可得一个单调递减区间为5π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选A ．4．（2018全国新课标Ⅰ文）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为44、答案：B解答：222()2cos (1cos )23cos 1f x x x x =--+=+， ∴最小正周期为π，最大值为4.5．（2018全国新课标Ⅱ文）若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是（ ）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π5．【答案】C【解析】因为()cos sin 2cos 4f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由0224k x k π+π≤+≤π+π，()k ∈Z得32244k x k ππ-+π≤≤+π，()k ∈Z ，因此[]30,,44a ππ⎡⎤⊂-⎢⎥⎣⎦，04a 3π∴<≤，从而a 的最大值为43π，故选C ．6．（2018全国新课标Ⅱ理）若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是（ ）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π6．【答案】A【解析】因为()cos sin 2cos 4f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭错误!未找到引用源。
【高三数学试题精选】2018届高考数学单元复习训练题及参考答案
2018届高考数学单元复习训练题及参考答案
5 c 东省新人教版数学高三单元测试4【简易逻辑】
本卷共100分，考试时间90分钟
一、选择题 (每小题4分，共40分)
1 “sin = ”是“ ” 的
A充分而不必要条 B必要而不充分条
c充要条 D既不充分也不必要条
2 下列命题中，是正确的全称命题的是（）
Ａ．对任意的，都有；
Ｂ．菱形的两条对角线相等；
Ｃ．；
Ｄ．对数函数在定义域上是单调函数。
3 条，条，则p是q的
A．充分不必要条B．必要不充分条
c．充要条D．既不充分又不必要条
4 命题“对任意的”的否定是（）
A 不存在
B 存在
c 存在 D 对任意的
5 （x≥2）；假命题。
（3） P存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。
否命题若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。
假命题。
（4） P存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a2-4b﹤0。
假命题。
否命题已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a2-4b ﹤0。
真命题。
9 答案c。
2018届普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷(八)理
2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（八）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是（ ） A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数 B ．在复平面内()i 2i -对应的点位于第三象限 C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ⋅∈R D ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解2．在下列函数中，最小值为2的是（ ）A ．1y x x =+B C ．2y =D ．122x x y =+ 3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示：若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为（ ）A ． 30B ．25C ．22D ．204．已知曲线421y x ax =++在点()()11f --，处切线的斜率为8，则()1f -=（ ） A ．7B ．－4C ．－7D ．45．已知1=a ，=b ，且()⊥-a a b ，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）A ．1B ．C ．12D 6．某几何体由上、下两部分组成，其三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则该几何体上部分与下部分的体积之比为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．567．已知函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>的图象的一个对称中心为,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，且142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω的最小值为（ ）A B ．1 C D ．28．《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，可用如图所示的程序框图解决此类问题．现执行该程序框图，输入的d 的值为33，则输出的i 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79．在ABC △中，，若2AB =，则ABC △周长的取值范围是（ ） A．(2,B．(4⎤⎦C．(4,2+D．(2⎤+⎦10．一个三棱锥A BCD -内接于球O ，且3AD BC ==，4AC BD ==，则球心O 到平面ABC 的距离是（ ） ABCD11．设等差数列{}n a 满足：71335a a =，()22222244747456cos cos sin sin cos sin cos a a a a a a a a -+-=-+，公差()2,0d ∈-，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．100πB ．54πC ．77πD ．300π12．若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===）A ．()0,12B ．()0,16C ．()9,21D ．()15,25第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018年高三最新 高三数学单元测试题(201830)定稿 精品
高三数学单元测试题 （2018-12-30）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.平面向量(2,1)=a ，(,2)x =-b ，且//a b ，则x 的值为A ． 4B ．1C ． 1-D ．-42．若直线04)2()52(=+-++y a x a 与直线01)3()2(=-++-y a x a 互相垂直，则A ．2=aB ．2-=aC ．2=a 或2-=aD ．2=a ，0，2-3．若三直线x －2y +3=0，3x +4y －21=0，2x +3y －k =0交于一点，则k 的值等于A ．13B ．14C ．15D ．164．过点（2，－2）与双曲线2222=-y x 有公共渐近线的双曲线方程是A ．14222=-y xB ．12422=-y xC ．12422=-x yD ．14222=-x y 5.已知{}n a 是等比数列，对任意*N n ∈都有0>n a ，若25)()(644533=+++a a a a a a ，则=+53a aA .5B .10C .15D .206.若点P (x ,y )在曲线⎩⎨⎧+-=+=θθsin 54cos 53y x (θ∈ R )上，则使x 2+y 2取得最大值的点P 的坐标是A .(6，－8)B .(－6，8)C .(3，－4)D .(－3，4)7.生物学中指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约有10%~20%的能量能够流动到下一个营养级(称为能量传递率)，在H 1→H 2→H 3→H 4→H 5→H 6这条生物链中，若使H 6获得10 kJ 的能量，则需要H 1最多提供的能量是A .118 kJB .118 kJC .118 kJD .118 kJ8．已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是A ．0,24B ．24,4C ．16，0D ．4，09.已知F 1、F 2是椭圆2222)10(a y a x -+=1(5＜a ＜10)的两个焦点，B 是短轴的一个端点，则△F 1BF 2的面积的最大值是A . 33100B . 93100C .100(3－22)D .21a 2 10.数列{a n }中，a 1=1,S n 是其前n 项和；当n ≥2时，a n =3S n ，则31lim 1-++∞→n n n S S 的值是 A . －31 B . －2 C .1 D .－54二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上.11．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是12. 把一个函数的图象按向量a =(3,－2)平移，得到的图象的解析式为y =log 2(x +3)+2，则原来的函数的解析式为 .13. 在(x 2+24x－4)5的展开式中含x 4项的系数是 . 14. 以椭圆14416922y x +=1的右焦点为圆心，且与双曲线16922y x -=1的渐近线相切的圆的方程为 .三．解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分13分）日常生活中，我们有时要用同样长的两根绳子挂一个物体，如果物体受到的重力为G ，680G N =，两绳的夹角为θ(0)θπ<<，两绳子受到的拉力 分别是12,F F ，且12F F =. （I ）用θ表示1F ，并说明θ增大时，1F的大小如何变化；（II ）若绳子能够承受的最大拉力是680N ，那么θ在什么范围时，绳子才不会断？16.（本小题满分13分）已知1(,1),(,1),1a mxb x =-=-其中0<m <2,若()f x a b =⋅, （I ）求)(x f 的表达式；（II ）若a 与b 所成的角为θ，且⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈2,0πθ，求实数x 的集合.17．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且. （I ）求的值；（II ）若，△ABC 的面积，求a 及sin B .18．（本小题满分13分）抛物线y 2=8x 上两个动点A 、B 以及一个定点M (x 0，y 0), F 是抛物线的焦点，且|AF |、|MF |、|BF |成等差数列，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于一点N .（I ）求点N 的坐标（用x 0表示）；（II ）过点N 与MN 垂直的直线交抛物线于P ，Q 两点，若|MN |＝4求△MPQ 的面积。
【高三数学试题精选】2018届高考数学知识点复习测试题及答案
2018届高考数学知识点复习测试题及答案
5 c 第十三综合检测
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．10产品中有4是次品，从这10产品中任选2，恰好是2正品或2次品的概率是（）
A． B。
c。
D。
D
答案D
2．加工某零需要经过两道工序，第一道工序的废品率为001，第二道工序的废品率为002，设这两道工序是否出废品是彼此无关的，那么产品的合格率为（）
A．0．9702 B。
09700 c09996 D09998
答案A
3 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为（）
(A) (B) (c) (D)
答案A
4．在1万 2的海域中有40 2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是（）
A B c D
答案c
5．已知，那么（）
A． B。
c。
D。
答案c
6．种植两株不同的花卉，它们的存活率分别为p和q，则恰有一株存活的概率为 ( )
(A) p+q－2p q (B) p+q－pq (c) p+q (D) pq
答案A
7．在5张卡片上分别写着数字1、2、3、4、5，然后把它们混。
高三数学-2018年高考数学知识与能力测试题及答案(6套)
2018年高考数学知识与能力测试题（一）（文 科）第一部分 选择题（共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1、设集合{}{}4|N 0)1(|2<<-=x x x x x M ＝，，则（ ）.A 、φ=⋂N MB 、M N M =⋂C 、M N M =⋃D 、R N M =⋃ 2、化简ii +-13＝（ ）. A 、i 21+- B 、i 21- C 、i 21+ D 、i 21--3、等差数列{}为则中，593,19,7a a a a n ==（ ）.A 、13B 、12C 、11D 、104、原命题：“设2,,ac b a R c b a 则若、、>∈＞bc 2”以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）个.A 、0B 、1C 、2D 、45、设,)cos 21,31(),43,(sin x b x a ==→-→-且→-→-b a //，则锐角α为（ ） A 、6π B 、4π C 、3π D 、1256、如图1，该程序运行后输出的结果为（ ）A 、1B 、2C 、4D 、16(图1)7、一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ）A 、π8B 、π6C 、π4D 、π8、若焦点在x 轴上的椭圆1222=+my x 的离心率为21，则m=（ ）. A 、23 B 、3 C 、38 D 、329、不等式组⎩⎨⎧≤≤-≥+--+210)1)(1(x y x y x 所表示的平面区域是（ ）A 、一个三角形B 、一个梯形C 、直角三角形D 、等腰直角三角形10、已知 则实数 时均有 当 且a x f x a x x f a a x ,21)()1,1(,)(,102<-∈-=≠>的取值范围是（ ）A 、[)∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛，，221 0B 、(]4,11,41 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ C 、(]2 11,21， ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ D 、[)∞+⎥⎦⎤⎝⎛， 441,0第二部分 非选择题（共100分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11、函数)0(1ln >+=x x y 的反函数为 12、定义运算=⊕--=⊕6cos6sin,22ππ则b ab a b a13、设n m 、是两条不同的直线，βα、是两个不同的平面，下面给出四个命题；①若n m n m //,////,// 则 且 βαβα； ②若n m n m ⊥⊥⊥⊥ 则 且 ,,βαβα ③若n m n m ⊥⊥ 则 且 ,////,βαβα ④若ββαβα⊥⊥=⊥n m n m 则 且 ,, 其中真命题的序号是14、▲选做题：在下面两道题中选做一题，两道题都选的只计算前一题的得分。
2018年高考数学专题训练试题及答案 精品
一、填空题1．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，BC ＝5，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且EF∥AD ，若AE EB ＝34，则EF 的长为________．解析：如图所示，延长BA 、CD 交于点P ，∵AD ∥BC ，∴P A PB ＝AD BC ＝25，∴P A AB ＝23.又∵AE EB ＝34，∴AE AB ＝37，∴P A AE ＝149，∴P A PE ＝1423.∵AD ∥EF ，∴AD EF ＝P A PE ＝1423.又AD ＝2，∴EF ＝237.答案：2372．一直角三角形的两条直角边之比是1∶3，则它们在斜边上的射影的比是________．解析：如图，在直角三角形ABC 中， BC ∶AC ＝1∶3， 作CD ⊥AB 于D .由射影定理得BC 2＝BD ·AB ， AC 2＝AD ·AB ，则BC 2AC 2＝BD AD ＝19. 故它们在斜边上的射影的比是1∶9. 答案：1∶93．如图，在直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，则DE ＝________.解析：由勾股定理得：BC ＝AB 2＋AC 2＝5.由射影定理得：CD ＝AC 2BC ＝95.由三角形面积相等得：AD ＝AB ·AC BC ＝125.又由三角形面积相等得：DE ＝AD ·DC AC ＝3625.答案：36254.(2018·高考陕西卷)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.解析：∵AC ＝4，AD ＝12，∠ACD ＝90°，∴CD 2＝AD 2－AC 2＝128， ∴CD ＝8 2.又∵AE ⊥BC ，∠B ＝∠D ， ∴△ABE ∽△ADC ， ∴AB AD ＝BE CD， ∴BE ＝AB ·CD AD ＝6×8212＝4 2.答案：4 2 5.如图，在直角梯形ABCD 中，上底AD ＝3，下底BC ＝3 3，与两底垂直的腰AB ＝6，在AB 上选取一点P ，使△P AD 和△PBC 相似，这样的点P 有________个．解析：设AP ＝x .(1)若△ADP ∽△BPC ，则AD BP ＝APBC，即36－x ＝x 33，所以x 2－6x ＋9＝0，解得x ＝3. (2)若△ADP ∽△BCP ，则AD BC ＝APBP，即33 3＝x 6－x，解得x ＝32，所以符合条件的点P 有两个． 答案：两6．如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连接BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为________．解析：过点E 作EN ⊥DB 交DB 的延长线于点N ， 在Rt △DFB 中，DF ＝3，FB ＝1，则BD ＝10.由Rt △DFB ∽Rt △ENB ， 知EN DF ＝BE BD，所以EN ＝31010.又BD ∥EC ，所以EN 为△BCD 底边BD 上的高，故S 四边形ABCD ＝S △ABD＋S △BCD ＝12AB ·DF ＋12BD ·EN ＝12×3×3＋12×10×31010＝6.答案：6 二、解答题7．(2018·南通调研)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，求EF 的长． 解：连结DE ，由于E 是AB 的中点，故BE ＝a2.又CD ＝a2，AB ∥DC ，CB ⊥AB ，∴四边形EBCD 是矩形．在Rt △ADE 中，AD ＝a ，F 是AD 的中点，故EF ＝a2.8.如图，在正三角形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且AD AC ＝13，AE ＝BE ，求证：△AED ∽△CBD .证明：∵三角形ABC 是正三角形， ∴AB ＝BC ＝AC ， ∴AE AB ＝AE BC ＝12， ∵AD AC ＝13，∴AD CD ＝12. ∴AD CD ＝AE BC. 又∵∠A ＝∠C ＝60°， ∴△AED ∽△CBD .9．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M .若DB ＝9，求BM 的长．解：∵E 是AB 的中点，∴AB ＝2EB . ∵AB ＝2CD ，∴CD ＝EB .又AB ∥CD ，∴四边形CBED 是平行四边形．∴CB ∥DE ，∴⎩⎪⎨⎪⎧∠DEM ＝∠BFM ，∠EDM ＝∠FBM ，∴△EDM ∽△FBM ，∴DM BM ＝DEBF.∵F 是BC 的中点，∴DE ＝2BF .∴DM ＝2BM ，∴BM ＝13DB ＝3.10.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 为AD 上一点，CF ∥AB ，BP 的延长线交AC 、CF 于E 、F 两点，求证：PB 2＝PE ·PF .证明：如图，连接PC .易证PC ＝PB ，∠ABP ＝∠ACP . ∵CF ∥AB ， ∴∠F ＝∠ABP . 从而∠F ＝∠ACP .又∠EPC 为△CPE 与△FPC 的公共角，从而△CPE ∽△FPC ，∴CP FP ＝PEPC.∴PC 2＝PE ·PF .又PC ＝PB ， ∴PB 2＝PE ·PF ，命题得证．11．如图，AB ∥CD ，AB ＝AC ＝AD ＝5，BC ＝6. (1)求证：∠CAB ＝2∠DBA ； (2)求BD 的长．解：(1)证明：∵AB ＝AC ＝AD ，∴点B ，C ，D 在以点A 为圆心， AB 为半径的圆上， ∴∠CAB ＝2∠BDC .∵AB ∥CD ，∴∠DBA ＝∠BDC ， ∴∠CAB ＝2∠DBA .(2)延长BA 交⊙A 于点E ，连结ED ，∵AB ＝AC ＝AD ＝5，BC ＝6， 易知ED ＝6，EB ＝10是⊙A 的直径，∴ED ⊥DB ， ∴BD 2＝EB 2－ED 2＝102－62＝82， ∴BD ＝8. 12.如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C .(1)求证：△ABF ∽△EAD ； (2)若AB ＝4，∠1＝30°，AD ＝3，求BF 的长． 解：(1)证明：∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠2.又∵∠BFE ＝∠C ，∠BFE ＋∠BF A ＝∠C ＋∠D ， ∴∠BF A ＝∠D ， ∴△ABF ∽△EAD .(2)∵AE ＝4sin 60°＝8 33.又BF AD ＝AB AE ，∴BF ＝AB AE ·AD ＝3 32.13．如图，▱ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD ，∴∠ABF ＝∠CEB ， ∴△ABF ∽△CEB .(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF . ∴S △DEF S △CEB ＝⎝⎛⎭⎫DE CE 2，S △DEF S △ABF ＝⎝⎛⎭⎫DE AB 2. 又∵DE ＝12CD ＝12AB ，∴CE ＝DE ＋CD ＝DE ＋2DE ＝3DE .∴S △DEF S △CEB ＝⎝⎛⎭⎫DE 3DE 2＝19，S △DEF S △ABF ＝⎝⎛⎭⎫DE 2DE 2＝14. ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8.∴S ▱ABCD ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24. 14.如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，底边BC 上的高AD ＝10 cm ，腰AC 上的高BE ＝12 cm.(1)求证：AB BD ＝53； (2)求△ABC 的周长．解：(1)证明：在△ADC 和△BEC 中， ∵∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∠C ＝∠C ， ∴△ADC ∽△BEC ， ∴AC BC ＝AD BE ＝1012＝56. ∵AD 是等腰三角形ABC 底边BC 的高线， ∴BC ＝2BD .又AB ＝AC ， ∴AC BC ＝AB 2BD ＝56，∴AB BD ＝53. (2)设BD ＝x ，则AB ＝53x .在Rt △ABD 中，∠ADB ＝90°，根据勾股定理，得AB 2＝BD 2＋AD 2， ∴(53x )2＝x 2＋102，解得x ＝7.5. ∴BC ＝2x ＝15，AB ＝AC ＝53x ＝12.5，∴△ABC 的周长为40 cm.一、选择题1．(2018·高考北京卷)如图，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则( )A ．CE ·CB ＝AD ·DB B ．CE ·CB ＝AD ·ABC ．AD ·AB ＝CD 2 D ．CE ·EB ＝CD 2解析：选A.在直角三角形ABC 中，根据直角三角形射影定理可得CD 2＝AD ·DB ，再根据切割线定理可得CD 2＝CE ·CB ，所以CE ·CB ＝AD ·DB .二、填空题2．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上异于A ，B 的点，CD ⊥AB ，垂足为D ，已知AD ＝2，CB ＝43，则CD ＝________.解析：根据射影定理得CB 2＝BD ×BA ，即(43)2＝BD (BD ＋2)，得BD ＝6.又CD 2＝AD ×BD ＝12，所以CD ＝12＝2 3.答案：2 33．(2018·高考天津卷)如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．解析：由相交弦定理可得CF ·FE ＝AF ·FB ，得CF ＝2.又因为CF ∥DB ，所以CF DB ＝AFAB，得DB ＝83，且AD ＝4CD ，由切割线定理得DB 2＝DC ·DA ＝4CD 2，得CD ＝43.答案：434.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，∠MAB ＝35°，则∠D ＝________.解析：连接BD (图略)，由题意知，∠ADB ＝∠MAB ＝35°，∠BDC ＝90°，故∠D ＝∠ADB ＋∠BDC ＝125°.答案：125° 5.(2018·高考广东卷)如图，圆O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足∠ABC ＝30°，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则P A ＝________.解析：如图，连接OA .由∠ABC ＝30°，得∠AOC ＝60°，在直角三角形AOP 中，OA ＝1，于是P A ＝OA tan 60°＝ 3.答案： 3 6.(2018·高考陕西卷)如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝________.解析：由相交弦定理可知ED 2＝AE ·EB ＝1×5＝5.又易知△EBD 与△FED 相似，得DF ·DB ＝ED 2＝5.答案：5 三、解答题 7.如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，CD ＝2，DE ⊥AB ，垂足为E ，且E 是OB 的中点，求BC 的长．解：连接OD ，DB ，则OD ⊥DC .在Rt △OED 中，OE ＝12OB ＝12OD ，所以∠ODE ＝30°.在Rt △ODC 中，∠DCO ＝30°. 由DC ＝2，则OD ＝DC tan 30°＝233.又∠CDB ＝12∠COD ＝30°，所以∠CDB ＝∠DCO ，所以BC ＝BD ＝OD ，所以BC ＝233.8.(2018·泉州调研)如图，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD ⊥CE 于点D ，若AD ＝1，∠ABC ＝30°，求圆O 的面积．解：∵CE 是⊙O 的切线，则∠ACD ＝∠ABC ＝30°.在Rt △ACD 中，ADAC＝sin 30°，则AC ＝2.又在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，则AB ＝2AC ＝4.∴圆O 的面积S ＝⎝⎛⎭⎫422π＝4π. 9.(2018·高考江苏卷)如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，连接BD 并延长至点C ，使BD ＝DC ，连接AC ，AE ，DE .求证：∠E ＝∠C . 证明：连接OD ，因为BD ＝DC ，O 为AB 的中点，所以OD ∥AC ，于是∠ODB ＝∠C . 因为OB ＝OD ，所以∠ODB ＝∠B . 于是∠B ＝∠C .因为点A ，E ，B ，D 都在圆O 上，且D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，所以∠E 和∠B 为同弧所对的圆周角，故∠E ＝∠B .所以∠E ＝∠C . 10.如图所示，以直角三角形ABC 的直角边AC 为直径作⊙O ，交斜边AB 于点D ，E 为BC 边的中点，连接DE .请判断DE 是否为⊙O 的切线，并证明你的结论．解：DE 是⊙O 的切线．证明如下：如图，连接OD 、CD ，则OD ＝OC ，∴∠OCD ＝∠ODC .又AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°. ∴三角形CDB 为直角三角形．又E 为BC 的中点，∴DE ＝12BC ＝CE ，∴∠ECD ＝∠EDC .又∠OCD ＋∠ECD ＝90°，∴∠ODC ＋∠EDC ＝90°， 即∠ODE ＝90°，∴DE 为⊙O 的切线． 11.在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 的延长线于点D ，连结CP .(1)求证：PC AC ＝PDBD；(2)若AC ＝3，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：∵A 、B 、C 、P 四点共圆， ∴∠CPD ＝∠ABC . 又∵∠D ＝∠D ，∴△DPC ∽△DBA ，∴PC BA ＝PDBD，又∵AB ＝AC ，∴PC AC ＝PDBD.(2)∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠CPD . ∵∠APC ＋∠CPD ＝180°， ∠ACB ＋∠ACD ＝180°. ∴∠APC ＝∠ACD .∴△APC ∽△ACD ，∴AP AC ＝ACAD.∴AP ·AD ＝AC 2＝9. 12.如图，已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，∠ACB 的平分线分别交AE 、AB 于点F 、D .(1)求∠ADF 的度数；(2)若AB ＝AC ，求ACBC的值．解：(1)∵AC 为圆O 的切线， ∴∠B ＝∠EAC .又CD 是∠ACB 的平分线，∴∠ACD ＝∠DCB ， ∴∠B ＋∠DCB ＝∠EAC ＋∠ACD ， 即∠ADF ＝∠AFD .又∵BE 为圆O 的直径，∴∠BAE ＝90°，∴∠ADF ＝12(180°－∠BAE )＝45°.(2)∵∠B ＝∠EAC ，∠ACE ＝∠BCA ，∴△ACE ∽△BCA ，∴AC BC ＝AEBA.又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ， ∴∠B ＝∠ACB ＝∠EAC ， 由∠BAE ＝90°及三角形内角和定理知，∠B ＝30°. ∴在Rt △ABE 中， AC BC ＝AE BA ＝tan B ＝tan 30°＝33. 13.如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE ＝AC ，DE 交AB 于点F ，且AB ＝2BP ＝4.(1)求PF 的长度；(2)若圆F 与圆O 内切，直线PT 与圆F 切于点T ，求线段PT 的长度．解：(1)连接OC ，OD ，OE ，由同弧所对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中条件弧长AE 等于弧长AC 可得∠CDE ＝∠AOC .又∠CDE ＝∠P ＋∠PFD ，∠AOC ＝∠P ＋∠OCP ， 从而∠PFD ＝∠OCP ，故△PFD ∽△PCO ， ∴PF PC ＝PDPO.由割线定理知，PC ·PD ＝P A ·PB ＝12， 故PF ＝PC ·PD PO ＝124＝3.(2)若圆F 与圆O 内切，设圆F 的半径为r ， 因为OF ＝2－r ＝1，即r ＝1.所以OB 是圆F 的直径，且过P 点圆F 的切线为PT ，则PT 2＝PB ·PO ＝2×4＝8，即PT ＝2 2.14.(2018·高考课标全国卷)如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点．若CF ∥AB ，证明：(1)CD ＝BC ；(2)△BCD ∽△GBD .证明：(1)因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以DE ∥BC .又已知CF ∥AB ，故四边形BCFD 是平行四边形，所以CF ＝BD ＝AD .而CF ∥AD ，连接AF ，所以四边形ADCF 是平行四边形，故CD ＝AF .因为CF ∥AB ，所以BC ＝AF ，故CD ＝BC . (2)因为FG ∥BC ，故GB ＝CF .由(1)可知BD ＝CF ，所以GB ＝BD ，所以∠BGD ＝∠BDG .由BC ＝CD 知，∠CBD ＝∠CDB .而∠DGB ＝∠EFC ＝∠DBC ，故△BCD ∽△GBD .一、选择题1．圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－5，－4π3B.⎝⎛⎭⎫－5，π3C.⎝⎛⎭⎫5，π3D.⎝⎛⎭⎫－5，5π3 解析：选A.ρ2＝5ρcos θ－53ρsin θ，x 2＋y 2－5x ＋53y ＝0，⎝⎛⎭⎫x －522＋⎝⎛⎭⎫y ＋5322＝52，∴圆心的直角坐标为⎝⎛⎭⎫52，－523，注意圆心在第四象限，化为极坐标为⎝⎛⎭⎫5，5π3，注意ρ<0时点在极角终边的反向延长线上，∴与⎝⎛⎭⎫－5，－4π3表示同一个点． 2．(2018·湖南六校联考)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t(t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，则圆C 的圆心到直线l 的距离为( )A.12B.22C.14D.24解析：选B.将直线l 的参数方程化为普通方程得：x －y ＝0，将ρ＝2cos θ的两边同乘以ρ得ρ2＝2ρcos θ，即x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，即圆心的坐标为(1,0)，故圆心到直线x－y ＝0的距离d ＝112＋(－1)2＝22.二、填空题 3．(2018·高考陕西卷)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．解析：直线的方程为2x ＝1，圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，圆心为(1,0)，半径r ＝1，圆心到直线的距离为d ＝|2－1|22＋0＝12，设所求的弦长为l ，则12＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫l 22，解得l ＝ 3. 答案： 34．在极坐标系中，P ，Q 是曲线C ：ρ＝4sin θ上任意两点，则线段PQ 长度的最大值为________．解析：由曲线C ：ρ＝4sin θ得ρ2＝4ρsin θ，x 2＋y 2－4y ＝0，x 2＋(y －2)2＝4，即曲线C ：ρ＝4sin θ在直角坐标系下表示的是以点(0,2)为圆心、以2为半径的圆，易知该圆上的任意两点间的距离的最大值即是圆的直径长，因此线段PQ 长度的最大值是4.答案：4 5．(2018·高考湖南卷)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.解析：曲线C 1的直角坐标方程为2x ＋y ＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝a 2，C 1与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫22，0，此点也在曲线C 2上，代入解得a ＝22.答案：226．(2018·贵阳调研)已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，则点A ⎝⎛⎭⎫2，7π4到这条直线的距离为________．解析：转化为直角坐标来解，直线方程化为x ＋y －1＝0，点A 化为(2，－2)，再用公式可求得点到直线的距离为22.答案：227．(2018·江西九校联考)在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝2cos θ，曲线C 2：θ＝π4，若曲线C 1与C 2交于A 、B 两点，则线段AB ＝________.解析：曲线C 1与C 2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2cos θ，θ＝π4，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，θ＝π4，即曲线C 1与C 2的另一个交点与极点的距离为2，因此AB ＝ 2. 答案： 28．(2018·高考湖北卷)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．解析：记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将θ＝π4转化为直角坐标方程为y ＝x (x ≥0)，曲线的直角坐标方程为y ＝(x －2)2，联立上述两个方程得x 2－5x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝5，故线段AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫52，52.答案：⎝⎛⎭⎫52，52 三、解答题9．设过原点O 的直线与圆(x －1)2＋y 2＝1的一个交点为P ，点M 为线段OP 的中点，当点P 在圆上移动一周时，求点M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．解：圆(x －1)2＋y 2＝1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2，设点P 的极坐标为(ρ1，θ1)，点M 的极坐标为(ρ，θ)，∵点M 为线段OP 的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程， 得ρ＝cos θ.∴点M 轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2，它表示原心在点⎝⎛⎭⎫12，0，半径为12的圆．10．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标．解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1， 即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1， 故直线l 与圆O 公共点的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2. 11．(2018·泉州质检)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4；因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2， 所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22. 12．在极坐标系中，如果A (2， π4)，B (2，5π4)为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C的极坐标(ρ≥0,0≤θ ＜2π)．解：∵A (2，π4)，∴ρ＝2，θ＝π4，∴x ＝ρcos θ＝2cos π4＝2，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝2，即A 点的直角坐标为(2，2)．同理可求B 点的直角坐标，x ＝2cos 54π＝－2，y ＝2sin 54π＝－2，即B (－2，－2)．设C 点的直角坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y x ＝－1，x 2＋y 2＝12，解之得⎩⎨⎧ x ＝6y ＝－6或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝6，即C 点的直角坐标为(6，－6)或(－6，6)．当x ＝6，y ＝－6，即C 在第四象限时， ⎩⎪⎨⎪⎧ ρ2＝x 2＋y 2＝12，tan θ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝23，θ＝74π.当x ＝－6，y ＝6，即C 在第二象限时，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2＝12，tan θ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝23，θ＝34π，即点C 的极坐标是⎝⎛⎭⎫23，74π或⎝⎛⎭⎫23，34π. 13．(2018·高考课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3. (1) 求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2) 设P 为C 1上任意一点，求|P A | 2＋|PB |2＋|PC | 2＋|PD |2的取值范围．解：(1)由已知可得A ⎝⎛⎭⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π2， C ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π， D ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2，即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)． (2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．一、填空题1．(2018·高考北京卷)直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．解析：直线的普通方程为x ＋y －1＝0，圆的普通方程为x 2＋y 2＝32，圆心到直线的距离d ＝22<3，故直线与圆的交点个数是2.答案：22．设直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t y ＝a ＋3t (t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x －4，若直线l 1与l 2间的距离为10，则实数a 的值为________．解析：将直线l 1的方程化为普通方程得3x －y ＋a －3＝0，直线l 2的方程为3x －y －4＝0，由两平行线间的距离公式得|a －3＋4|10＝10，即|a ＋1|＝10，解得a ＝9，或a ＝－11.答案：9或－113．(2018·高考湖南卷)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θy ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0 ) 有一个公共点在x 轴上，则a ＝__________.解析：曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32(舍去－32)． 答案：324．已知动圆方程x 2＋y 2－x sin 2θ＋22y sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝0(θ为参数)，那么圆心的轨迹方程是__________．解析：圆心轨迹的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝12sin 2θ，y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θcos θy ＝－(sin θ＋cos θ)， 消去参数θ得y 2＝1＋2x ⎝⎛⎭⎫－12≤x ≤12. 答案：y 2＝1＋2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－12，125．(2018·高考天津卷)已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt2y ＝2pt (t 为参数)，其中p ＞0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.解析：由题意知，抛物线的普通方程为y 2＝2px (p >0)，焦点F (p 2，0)，准线x ＝－p2，设准线与x 轴的交点为A .由抛物线定义可得|EM |＝|MF |，所以△MEF 是正三角形，在直角三角形EF A 中，|EF |＝2|F A |，即3＋p2＝2p ，得p ＝2.答案：2 6．(2018·高考广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θy ＝5sin θ(θ为参数，0≤θ≤π2)和⎩⎨⎧x ＝1－22t y ＝－22t (t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析：因为0≤θ≤π2，所以曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＝5(x ≥0，y ≥0)，把直线的参数方程代入，得到(1－22t )2＋(－22t )2＝5，且⎩⎨⎧1－22t ≥0－22t ≥0，即t 2－2t －4＝0(t ≤0)，所以t ＝－2，此时⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1，所以曲线C 1与C 2的交点坐标为(2,1)．答案：(2,1)二、解答题7．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，它与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)相交于两点A 和B ，求AB 的长．解：极坐标方程θ＝π4(ρ∈R )对应的直角坐标方程为y ＝x ，曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)对应的普通方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4.圆心(1,2)到直线y ＝x 的距离为22，由半径R ＝2，知弦长为2 4－12＝14.即AB ＝14.8．求直线⎩⎨⎧x ＝2＋ty ＝3t被双曲线x 2－y 2＝1截得的弦长．解：直线参数方程化为⎩⎨⎧x ＝2＋t2y ＝0＋32t ，代入双曲线x 2－y 2＝1得t 2－4t －6＝0.设两交点对应的参数为t 1，t 2，则弦长d ＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝210.9．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2ty ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上．(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．解：(1)由题意可知有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2t ＝5at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2a ＝1，∴a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2ty ＝t 2.由第一个方程得t ＝x －12，代入第二个方程，得y ＝⎝⎛⎭⎫x －122，即(x －1)2＝4y 为所求．10．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝7＋32t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 解：因为曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝16，把⎩⎨⎧x ＝3＋12ty ＝7＋32t代入方程x 2＋y 2＝16，得t 2＋83t ＋36＝0，则t 1＋t 2＝－83，t 1t 2＝36， 所以线段AB 的长为|AB |＝|t 1－t 2| ＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4 3.11．已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6.(1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ是参数)相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．解：(1)直线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t .(t 是参数)(2)∵点A 、B 都在直线上，∴可设点A 、B 对应的参数分别为t 1和t 2，则点A 、B 的坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫1＋32t 1，1＋12t 1、B ⎝⎛⎭⎫1＋32t 2，1＋12t 2，将直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4，整理得 t 2＋(3＋1)t －2＝0.①∵t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2， ∴|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝|－2|＝2. 12．(2018·高考辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 解：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3.⎝ ⎛⎭⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝y ，－3≤y ≤3 法二：将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3.13．已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(其中t 为参数，α为直线l 的倾斜角)． (1)当α＝2π3时，求圆上的点到直线l 距离的最小值；(2)当直线l 与圆C 有公共点时，求α的取值范围．解：(1)当α＝2π3时，直线l 的直角坐标方程为3x ＋y －33＝0，圆C 的圆心坐标为(1,0)，圆心到直线的距离d ＝232＝3，圆的半径为1，故圆上的点到直线l 距离的最小值为3－1.(2)圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2＋2(cos α＋3sin α)t ＋3＝0，这个关于t 的一元二次方程有解，故Δ＝4(cos α＋3sin α)2－12≥0，则sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6≥34， 即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6≥32或sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6≤－32. 又0≤α<π，故只能sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6≥32，即π3≤α＋π6≤2π3，即π6≤α≤π2. 14．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝1，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t 2y ＝2＋32t (t 为参数)．(1)写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y 得到曲线C ′，设曲线C ′上任一点为M (x ，y )，求x ＋23y 的最小值．解：(1)l ：3x －y ＋2－3＝0， C ：x 2＋y 2＝1.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，∴将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′，代入C ，得C ′：x ′24＋y ′2＝1，即x 24＋y 2＝1.设椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则x ＋23y ＝2cos θ＋23sin θ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6， 则x ＋23y 的最小值为－4.一、填空题 1．(2018·高考天津卷)集合A ＝{x ∈R ||x －2|≤5}中的最小整数为________．解析：不等式|x －2|≤5等价于－5≤x －2≤5，解得－3≤x ≤7，所以集合A ＝{x ∈R |－3≤x ≤7}，集合A 中的最小整数为－3.答案：－3 2．(2018·高考江西卷)在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为___________．解析：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <－121－2x －2x －1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤121－2x ＋2x ＋1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧x >122x －1＋2x ＋1≤6，解得－32≤x ≤32，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32≤x ≤32.答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－32≤x ≤32 3．(2018·高考湖南卷)不等式|2x ＋1|－2|x －1|＞0的解集为__________．解析：原不等式即|2x ＋1|>2|x －1|，两端平方后解得12x >3，即x >14.答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x >14 4．若不等式⎪⎪⎪⎪x ＋1x >|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________．解析：∵⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2，∴|a －2|＋1<2， 即|a －2|<1，解得1<a <3.答案：(1,3) 5．(2018·高考陕西卷)若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．解析：|x －a |＋|x －1|≥|a －1|，则只需要|a －1|≤3，解得－2≤a ≤4. 答案：[－2,4] 二、解答题6．求不等式1<|x ＋1|<3的解集． 解：由1<|x ＋1|<3，得1<x ＋1<3或－3<x ＋1<－1， ∴0<x <2或－4<x <－2，∴不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)．7．求不等式1－3|x |x>0的解集．解：本题可去绝对值将已知不等式转化为等价的不等式组，即⎩⎪⎨⎪⎧x >0(1－3x )x >0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0(1＋3x )x >0， 分别解之然后取并集即得不等式的解集为 ⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝⎛⎭⎫－∞，－13.8．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，求|x －2y ＋1|的最大值． 解：∵|x －1|≤1，∴－1≤x －1≤1，∴0≤x ≤2. 又∵|y －2|≤1，∴－1≤y －2≤1，∴1≤y ≤3， 从而－6≤－2y ≤－2.由同向不等式的可加性可得－6≤x －2y ≤0， ∴－5≤x －2y ＋1≤1，∴|x －2y ＋1|的最大值为5. 9．(2018·洛阳模拟)已知函数f (x )＝|x －4|－|x －2|. (1)作出函数y ＝f (x )的图像； (2)解不等式|x －4|－|x －2|>1. 解：(1)依题意可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2 x >4，－2x ＋6 2≤x ≤4，2 x <2.则函数y ＝f (x )的图像如图所示．(2)由函数y ＝f (x )的图像容易求得原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，52. 10．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，求集合A ∩B .解：|x ＋3|＋|x －4|≤9，当x <－3时，－x －3－(x －4)≤9，即－4≤x <－3； 当－3≤x ≤4时，x ＋3－(x －4)＝7≤9恒成立； 当x >4时，x ＋3＋x －4≤9，即4<x ≤5. 综上所述，A ＝{x |－4≤x ≤5}．又∵x ＝4t ＋1t －6，t ∈(0，＋∞)，∴x ≥24t ·1t －6＝－2，当且仅当t ＝12时取等号．∴B ＝{x |x ≥－2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}． 11．已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m . (1)解关于x 的不等式f (x )＋a －1>0(a ∈R )；(2)若函数f (x )的图像恒在函数g (x )图像的上方，求m 的取值范围． 解：(1)不等式f (x )＋a －1>0，即|x －2|＋a －1>0.当a ＝1时，不等式的解集是(－∞，2)∪(2，＋∞)； 当a >1时，不等式的解集是R ； 当a <1时，即|x －2|>1－a ，即x －2<a －1或x －2>1－a ，即x <a ＋1或x >3－a ，解集为(－∞，1＋a )∪(3－a ，＋∞)．(2)函数f (x )的图像恒在函数g (x )图像的上方， 即|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立， 即|x －2|＋|x ＋3|>m 对任意实数x 恒成立．由于|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，故只要m <5. 所以m 的取值范围是(－∞，5)． 12．(2018·高考辽宁卷)已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；(2)若|f (x )－2f (x2)|≤k 恒成立，求k 的取值范围．解：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2. 又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}， 所以当a ≤0时，不合题意．当a >0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2.(2)记h (x )＝f (x )－2f (x2)＝|2x ＋1|－2|x ＋1|，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1， x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.13．已知一次函数f (x )＝ax －2. (1)当a ＝3时，解不等式|f (x )|<4； (2)解关于x 的不等式|f (x )|<4；(3)若不等式|f (x )|≤3对任意x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝3时，则f (x )＝3x －2， ∴|f (x )|<4⇔|3x －2|<4⇔－4<3x －2<4⇔－2<3x <6⇔－23<x <2，∴不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－23<x <2. (2)|f (x )|<4⇔|ax －2|<4⇔－4<ax －2<4 ⇔－2<ax <6，当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－2a <x <6a； 当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫6a<x <－2a . (3)|f (x )|≤3⇔|ax －2|≤3⇔－3≤ax －2≤3⇔－1≤ax ≤5⇔⎩⎪⎨⎪⎧ax ≤5ax ≥－1.∵x ∈[0,1]，∴当x ＝0时，不等式组恒成立；当x ≠0时，不等式组转化为⎩⎨⎧a ≤5xa ≥－1x.又∵5x ≥5，－1x≤－1，∴－1≤a ≤5且a ≠0.故实数a 的取值范围是[－1,0)∪(0,5]． 14．已知a ，b ，c 是实数，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，g (x )＝ax ＋b ，当－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1. (1)证明：|c |≤1；(2)证明：当－1≤x ≤1时，|g (x )|≤2；(3)设a >0，当－1≤x ≤1时，g (x )的最大值为2，求f (x )． 解：(1)证明：∵当－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1， ∴取x ＝0，有|c |＝|f (0)|≤1，即|c |≤1.(2)证明：∵g (x )＝ax ＋b 的图像是一条直线， ∴只需证明|g (－1)|≤2，且|g (1)|≤2.由已知|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，又由(1)知|c |≤1，∴|g (－1)|＝|－a ＋b |＝|－f (－1)＋c |≤|f (－1)|＋|c |≤1＋1＝2. ∴|g (－1)|≤2，且|g (1)|≤2. ∴当－1≤x ≤1时，|g (x )|≤2.(3)∵a >0，∴g (x )在(－1,1)上是增函数． 又∵当－1≤x ≤1时，g (x )的最大值为2， ∴g (1)＝2.∴a ＋b ＝f (1)－c ＝2. ∵－1≤c ＝f (1)－2≤1－2＝－1， ∴c ＝f (0)＝－1.∵当－1≤x ≤1时，f (x )≥－1， 即f (x )≥f (0)，∴由二次函数的性质得直线x ＝0为二次函数f (x )的图像的对称轴．∴－b2a＝0，即b ＝0，∴a ＝2.∴f (x )＝2x 2－1.一、填空题 1．(2018·黄冈模拟)若x ＋2y ＋4z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是________． 解析：∵1＝x ＋2y ＋4z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋16，∴x 2＋y 2＋z 2≥121，即x 2＋y 2＋z 2的最小值为121.答案：1212．(2018·南通调研)若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，则13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2的最小值为________．解析：由柯西不等式知：⎝⎛⎭⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2[(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)]≥ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋2×3a ＋2＋13b ＋2×3b ＋2＋13c ＋2×3c ＋22＝32＝9. ∴⎝⎛⎭⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2[3(a ＋b ＋c )＋6]≥9， 即⎝⎛⎭⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2×9≥9. ∴13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1. 当且仅当3a ＋2＝3b ＋2＝3c ＋2，即a ＝b ＝c ＝13时，取到最小值1.答案：13．若x ，y 是正数，则⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2的最小值是________． 解析：∵⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2 ＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋14x 2＋⎝⎛⎭⎫x y ＋y x ＋⎝⎛⎭⎫y 2＋14y 2 ≥2x 2·14x 2＋2x y ·y x ＋2y 2·14y2＝1＋2＋1＝4，当且仅当x ＝y ＝22时，等号成立．答案：44．设实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋2z ＝6，则x 2＋y 2＋z 2取得到最小值时x ，y ，z 的值分别为________．解析：∵(x 2＋y 2＋z 2)(12＋12＋22)≥(x ＋y ＋2z )2＝36，∴x 2＋y 2＋z 2≥6，当且仅当x ＝y ＝z2时，取等号．又∵x ＋y ＋2z ＝6， ∴x ＝1，y ＝1，z ＝2. 答案：1,1,2 二、解答题5．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8(1－a )(1－b )(1－c )．证明：∵a ，b ，c ∈R ＋且a ＋b ＋c ＝1，∴要证原不等式成立，即证[(a ＋b ＋c )＋a ][(a ＋b ＋c )＋b ][(a ＋b ＋c )＋c ]≥8[(a ＋b ＋c )－a ][(a ＋b ＋c )－b ][(a ＋b ＋c )－c ]，也就是证[(a ＋b )＋(c ＋a )][(a ＋b )＋(b ＋c )][(c ＋a )＋(b ＋c )]≥8(b ＋c )(c ＋a )(a ＋b )．①∵(a ＋b )＋(b ＋c )≥2(a ＋b )(b ＋c )>0. (b ＋c )＋(c ＋a )≥2(b ＋c )(c ＋a )>0， (c ＋a )＋(a ＋b )≥2(c ＋a )(a ＋b )>0，三式相乘得①式成立，故原不等式得证．6．已知x ，y ，z 均为正数，求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z.证明：因为x ，y ，z 都为正数，所以x yz ＋y zx ＝1z (x y ＋y x )≥2z.同理可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y，当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2， 得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z . 7．(2018·大连模拟)已知a >0，b >0，c >0，a ＋b >c .求证：a 1＋a ＋b 1＋b >c1＋c .证明：∵a >0，b >0，∴a 1＋a >a 1＋a ＋b ，b 1＋b >b 1＋a ＋b. ∴a 1＋a ＋b1＋b >a ＋b 1＋a ＋b. 而函数f (x )＝x 1＋x ＝1－11＋x在(0，＋∞)上递增，且a ＋b >c ，∴f (a ＋b )>f (c )，则a ＋b 1＋a ＋b >c 1＋c， 所以a 1＋a ＋b 1＋b >c 1＋c ，则原不等式成立．8．若a ，b ，c >0，且a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝4，求2a ＋b ＋c 的最小值． 解：∵a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝4， ∴(a ＋b )(a ＋c )＝4，则2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c )≥2(a ＋b )(a ＋c )＝4， 当且仅当b ＝c 时，等号成立， 当b ＝c 时，2a ＋b ＋c 有最小值4.9．设m 是|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |>m 时，求证：|a x ＋bx2|<2.证明：由已知m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1. 又|x |>m ，∴|x |>|a |，|x |>|b |，|x |>1，∴⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪b x 2 ＝|a ||x |＋|b ||x |2<|x ||x |＋|x ||x |2 ＝1＋1|x |<1＋|x ||x |＝2.∴⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2<2.10．设a ，b ，c 为正数，且a ＋2b ＋3c ＝13，求3a ＋2b ＋c 的最大值．解：(a ＋2b ＋3c )⎣⎡⎦⎤(3)2＋12＋⎝⎛⎭⎫132≥(a ·3＋2b ·1＋3c ·13)2＝(3a ＋2b ＋c )2.∴(3a ＋2b ＋c )2≤1323.∴3a ＋2b ＋c ≤1333.当且仅当a 3＝2b 1＝3c13时取等号．又a ＋2b ＋3c ＝13，即a ＝9，b ＝32，c ＝13时．3a ＋2b ＋c 有最大值1333.11．设a ，b ，c >0，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证： (1)a ＋b ＋c ≥3；(2)a bc ＋b ac ＋c ab≥3(a ＋b ＋c )．证明：(1)要证a ＋b ＋c ≥3，由于a ，b ，c >0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3. 即证：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3， 而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )． 即证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)证得．∴原不等式成立．(2) a bc ＋ b ac ＋ c ab ＝a ＋b ＋cabc.在(1)中已证a ＋b ＋c ≥ 3.因此要证原不等式成立，只需证明1abc≥a ＋b ＋c .即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca .而a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac2，b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤bc ＋ac2.∴a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca (a ＝b ＝c ＝33时等号成立)．∴原不等式成立．12．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y (单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m 2，问x 、y 分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m)解：由题意得，x ·y ＋12⎝⎛⎭⎫22x 2＝8，∴y ＝8－x 24x ＝8x －x4(0<x <42)．于是框架用料长度为l ＝2x ＋2y ＋2⎝⎛⎭⎫22x ＝⎝⎛⎭⎫32＋2x ＋16x ≥216⎝⎛⎭⎫32＋ 2＝46＋4 2. 当且仅当⎝⎛⎭⎫32＋2x ＝16x，即x ＝432＋2＝8－42时，等号成立，此时x ≈2.343，y ＝22≈2.828.故当x 为2.343 m ，y 为2.828 m 时，用料最省． 13．(2018·高考福建卷)已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ＋且1a ＋12b ＋13c＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解：(1)因为f (x ＋2)＝m －|x |，f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m .由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }．又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1.又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9. 14．已知函数f (x )＝(x －a )2＋(x －b )2＋(x －c )2＋(a ＋b ＋c )23(a ，b ，c 为实数)的最小值为m ，若a －b ＋2c ＝3，求m 的最小值．解：f (x )＝(x －a )2＋(x －b )2＋(x －c )2＋(a ＋b ＋c )23＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋a 2＋b 2＋c 2＋(a ＋b ＋c )23＝3⎝⎛⎭⎫x －a ＋b ＋c 32＋a 2＋b 2＋c 2.所以当x ＝a ＋b ＋c3时，函数f (x )取得最小值a 2＋b 2＋c 2，即m ＝a 2＋b 2＋c 2.由于a －b ＋2c ＝3，由柯西不等式，得[12＋(－1)2＋22](a 2＋b 2＋c 2)≥(a －b ＋2c )2＝9，所以m ＝a 2＋b 2＋c 2≥32，当且仅当a 1＝b－1＝c 2，即a ＝12，b ＝－12，c ＝1时等号成立．所以m 的最小值为32.1．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx在区间[0,1]上是增加的，在区间(－∞，0]与[1，＋∞)上是减少的，且f ′⎝⎛⎭⎫12＝32.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[0，m ](m >0)上恒有f (x )≤x 成立，求m 的取值范围． 解：(1)由f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .又由f (x )在区间[0,1]上是增加的，在区间(－∞，0]与[1，＋∞)上是减少的，可知x ＝0和x ＝1是f ′(x )＝0的解，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＝0，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，3a ＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，b ＝－32a .∴f ′(x )＝3ax 2－3ax .又由f ′⎝⎛⎭⎫12＝32，得3a 4－3a 2＝32， ∴a ＝－2，即f (x )＝－2x 3＋3x 2. (2)由f (x )≤x ，得－2x 3＋3x 2≤x ， 即x (2x －1)(x －1)≥0，∴0≤x ≤12或x ≥1.又f (x )≤x 在区间[0，m ](m >0)上恒成立，∴0<m ≤12.故m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12. 2．讨论函数f (x )＝x －2x＋1－a ln x (a >0)的单调性．解：f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ<0即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0.此时f (x )在(0，＋∞)上是增加的． ②当Δ＝0即a ＝22时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0.此时f (x )也是(0，＋∞)上是增加的．③当Δ>0即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x ↗ ↘ ↗在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上是减少的， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上是增加的．3．已知函数f (x )＝x 2＋2a 3x＋1，其中a ＞0.(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线y ＝1平行，求a 的值； (2)求函数f (x )在区间[1,2]上的最小值．解：f ′(x )＝2x －2a 3x 2＝2(x 3－a 3)x 2，x ≠0.(1)由题意可得f ′(1)＝2(1－a 3)＝0，解得a ＝1，此时f (1)＝4，在点(1，f (1))处的切线为y ＝4，与直线y ＝1平行． 故所求的a 值为1.(2)由f ′(x )＝0可得x ＝a ，a ＞0，①当0＜a ≤1时，f ′(x )＞0在(1,2]上恒成立， 所以y ＝f (x )在[1,2]上是增加的，所以f (x )在[1,2]上的最小值为f (1)＝2a 3＋2. ②当1＜a ＜2↘ ↗由上表可得y ③当a ≥2时，f ′(x )＜0在[1,2)上恒成立， 所以y ＝f (x )在[1,2]上是减少的．所以f (x )在[1,2]上的最小值为f (2)＝a 3＋5.。
试题008——第六章实数单元测试题四
第六章实数单元测试题四姓名_____________ 成绩_____________(一)、精心选一选（每小题 分，共 分)1． 有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数； （2）无理数包括正无理数、零、负无理数； （3）无理数是无限不循环小数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示。
其中正确的说法的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（ ） A ． 0 B ． 正整数 C ． 0和1 D ． 1 3.能与数轴上的点一一对应的是（ ）A 整数B 有理数C 无理数D 实数 4. 下列各数中，不是无理数的是 （ ）A.7B. 0.5C. 2πD. 0.151151115…）个之间依次多两个115( 5．()20.7-的平方根是（ ）A ．0.7-B ．0.7±C ．0.7D ．0.49 6. 下列说法正确的是（ ）A ． 0.25是0.5 的一个平方根B ．.正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0C ． 7 2 的平方根是7D ． 负数有一个平方根7.一个数的平方根等于它的立方根，这个数是 （ ） A.0 B.－1 C.1 D.不存在8.下列运算中，错误的是 （ ） ①1251144251=，②4)4(2±=-，③3311-=- ④2095141251161=+=+A ． 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个9. 若225a =，3b =，则b a +的值为 （ ）A ．-8B ．±8C ．±2D ．±8或±2 (二)、细心填一填 (每小题 分，共 分)10．在数轴上表示3-的点离原点的距离是 。
设面积为5的正方形的边长为x ,那么x =11. 9的算术平方根是 ；94的平方根是 ,271的立方根是 ,－125的立方根是 . 12.25-的相反数是 ，32-= ；13. =-2)4( ； =-33)6( ； 2)196(= . 38-= .14. 比较大小:3 2；215- 5.0； (填“>”或“<”)15. 要使62-x 有意义，x 应满足的条件是 16.已知051=-+-b a ，则2)(b a -的平方根是________；17.若102.0110.1=，则± 1.0201= ； 18. 一个正数x 的平方根是2a -3与5-a ，则a=________；19.一个圆它的面积是半径为3cm 的圆的面积的25倍，则这个圆的半径为_______. (三)、用心做一做 （ 分，大概 小题)20．（6分）将下列各数填入相应的集合内。
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2018届高考数学复习单元测试题008
5 c 辽宁名校--------1分
∵
∴当时，方程有一个零点；
当时，方程有两个零点；------3分
（2）将不等式化为 -----5
当时，原不等式的解集为 ------6分
当时，原不等式的解集为 ----7分
当时，原不等式的解集为 ---------8分
求解过程的程序框图如下图
……12分
21．【解析】（1）由得因为，
所以在时恒成立，所以函数在上是增函数．……3分（2）由（1）知函数在上是增函数，所以当时，
有成立，……5分
从而，
两式相加得．……7分
（3）推广到一般情况为
若，则，．……8分
以下用数学归纳法证明
（1）当时，有（2）已证成立，……9分
（2）假设当时成立，即
那么当时，
成立，即当时也成立．
有（1）（2）可知不等式对一切时都成立．……12分22．【解析】（1）
---------------2分
当时，函数有一个零点；--------------3分。