第四章整数规划讲稿11
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第四章 整数规划
1、分配问题/指派问题：是一种特殊的 型整 、分配问题 指派问题 是一种特殊的 指派问题： 特殊的0-1型整 数规划问题 假定有m项任务分配给 问题， 项任务分配给m个人 数规划问题，假定有 项任务分配给 个人 去完成，并指定每人完成其中的一项 每人完成其中的一项， 去完成，并指定每人完成其中的一项，每项 工作只交给其中一个人去完成， 交给其中一个人去完成 工作只交给其中一个人去完成，应如何分配 使总的效率为最高。 使总的效率为最高。
√
√
27
17
结论： 结论： 最优解为x 最优解为 1=1、x2=1、x3=0，即对Ⅰ和Ⅱ两个 、 、 ，即对Ⅰ 项目投资，利润最大为27万元 万元。 项目投资，利润最大为 万元。
18
例2：用完全枚举法求解 型整数规划 ：用完全枚举法求解0-1型整数规划
max f = 3x1 − 2 x2 + 5 x3 x1 + 2 x2 − x3 ≤ 2 x + 4x + x ≤ 4 2 3 1 x1 + x2 ≤ 3 4x + x ≤ 6 1 3 x1 , x2 , x3 = 0或1
① ② ③ ④
16
点
过滤条件 f≥16 × √ × √ f≥26 × √ √ f≥27 √
约束条件 ① ② ③ ④
f值 值
(0,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
√ √
√ √
√ √
√ √
16 26
√ √ ×
× √
35
min
第二步： 第二步：检验
行检验 列检验
0 * 8 11 0 * 2 3 0 11
√
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结论： 结论： 最优解为x 最优解为 1=1、x2=1、x3=0，即对Ⅰ和Ⅱ两个 、 、 ，即对Ⅰ 项目投资，利润最大为27万元 万元。 项目投资，利润最大为 万元。
18
例2：用完全枚举法求解 型整数规划 ：用完全枚举法求解0-1型整数规划
max f = 3x1 − 2 x2 + 5 x3 x1 + 2 x2 − x3 ≤ 2 x + 4x + x ≤ 4 2 3 1 x1 + x2 ≤ 3 4x + x ≤ 6 1 3 x1 , x2 , x3 = 0或1
① ② ③ ④
16
点
过滤条件 f≥16 × √ × √ f≥26 × √ √ f≥27 √
约束条件 ① ② ③ ④
f值 值
(0,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
√ √
√ √
√ √
√ √
16 26
√ √ ×
× √
35
min
第二步： 第二步：检验
行检验 列检验
0 * 8 11 0 * 2 3 0 11
第四章整数规划讲稿11
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连 续工作8h，问该公交线路怎样安排机和乘务人员，既能 满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘 务人员数,这样我们建立如下的数学模型。
目标函数：minZ= x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
第四章 整数规划(Integer Programming ，简称为IP） 本章要求 • 理解整数规划的含义； • 掌握分配问题的匈牙利算法； • 掌握割平面法； • 掌握分枝定界法的思想和方法； • 掌握0-1变量的含义和用法。
§1
整数规划问题的提出
在线性规划问题中，所有的解都假设为具 有连续型的数值，即解可以是整数、分数或 小数。但对于某些具体的问题，常要求最优 解是整数的情形。例如，所求的解是机器台 数，完成工作的人数或装货的车数等，还有 逻辑变量，只允许取整数值的一类变量，比 如x=1或0。这时，分数或小数的解就不符合 要求。
一、整数规划的定义：决策变量要求取整数的LP。
IP的松驰问题：任何IP，放弃整数要求后，所得到的 问题称为原IP的松驰问题（Slack Problem）或称作和原 IP相应的LP问题。 二、分类
1、纯整数规划(Pure Integer Programming)或全整数规划 (All Integer Programming)：全部决策变量均要求取整数 的LP。
解题时需要引入m2个0-1变量 xij ，即令 ：
匈牙利法要求分配问题的模型为标准型， 即满足下列条件的模型： （1）目标函数为极小化；
（2）效率矩阵[ij]为m阶方阵；
（3）[ ij]中元素 ij ≥0，且为常数。
运筹第四章整数规划与分配问题
x1 ≤ 4 + y1 M x2 ≥ 1 − y1 M x1 > 4 − y2 M x ≤ 3+ y M 2 2 y1 + y2 = 1
i=1,2
则问题可以表示为
4 用以表示含固定费用的函数 总费用
K j + c j x j ( x j > 0) Cj(xj ) = ( x j = 0) 0
则上述条件可以表示成
r n ∑ aij x j ≤ ∑ b; y + ... + y = 1 m 2 1
3、 两组条件中满足其中的一组 、
若 x1 ≤ 4, 则 x2 ≥ 1
若 x1 > 4, 则 x2 ≤ 3
定义
1 第i组条件不起作用 yi = 0 第i 组 条件 起作 用
0 0 X = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
用矩阵形式表示为: 用矩阵形式表示为: 解矩阵
一般分配问题 设有n项任务 需有n个人去完成 项任务， 个人去完成， 设有 项任务，需有 个人去完成，每个人只能完成一 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第i人完成 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第 人完成 项任务需要的时间是a 第j 项任务需要的时间是 ij , 问如何分配才能使完成任 务的总时间最少？ 务的总时间最少？ 设
2. 整数规划问题的特征与性质
特征—变 特征 变量整数性要求 来源 问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要 性质—可 性质—可行域是离散集合
3. 整数规划的分类
纯整数规划 要求全部决策变量的取值都为整数, 要求全部决策变量的取值都为整数 则称为纯整数规划 (All IP)； ； 混合整数规划 仅要求部分决策变量的取值为整数，则称为混合整数规 仅要求部分决策变量的取值为整数， 划(Mixed IP)； ； 0-1整数规划 整数规划 要求决策变量只能取0或 值 则称为0-1规划 规划(0-1 要求决策变量只能取 或1值，则称为 规划 Programming)。 。
i=1,2
则问题可以表示为
4 用以表示含固定费用的函数 总费用
K j + c j x j ( x j > 0) Cj(xj ) = ( x j = 0) 0
则上述条件可以表示成
r n ∑ aij x j ≤ ∑ b; y + ... + y = 1 m 2 1
3、 两组条件中满足其中的一组 、
若 x1 ≤ 4, 则 x2 ≥ 1
若 x1 > 4, 则 x2 ≤ 3
定义
1 第i组条件不起作用 yi = 0 第i 组 条件 起作 用
0 0 X = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
用矩阵形式表示为: 用矩阵形式表示为: 解矩阵
一般分配问题 设有n项任务 需有n个人去完成 项任务， 个人去完成， 设有 项任务，需有 个人去完成，每个人只能完成一 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第i人完成 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第 人完成 项任务需要的时间是a 第j 项任务需要的时间是 ij , 问如何分配才能使完成任 务的总时间最少？ 务的总时间最少？ 设
2. 整数规划问题的特征与性质
特征—变 特征 变量整数性要求 来源 问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要 性质—可 性质—可行域是离散集合
3. 整数规划的分类
纯整数规划 要求全部决策变量的取值都为整数, 要求全部决策变量的取值都为整数 则称为纯整数规划 (All IP)； ； 混合整数规划 仅要求部分决策变量的取值为整数，则称为混合整数规 仅要求部分决策变量的取值为整数， 划(Mixed IP)； ； 0-1整数规划 整数规划 要求决策变量只能取0或 值 则称为0-1规划 规划(0-1 要求决策变量只能取 或1值，则称为 规划 Programming)。 。
第4章 整数规划
第四章
整数规划
整数规划问题的提出
整数规划模型与一般的线性规划模型 的区别仅在于： 的区别仅在于：整数规划的变量要求 部分的或全部的为整数。例如： 部分的或全部的为整数。例如：
m Z = x + x2 ax 1 14 1 x +9x2 ≤ 51 −6x +3x2 ≤1 1 x , x ≥ 0且 整 为 数 1 2
(纯整数规划问题) 纯整数规划问题)
解：设xi为第i天开始上班的人数： 为第i天开始上班的人数： Min： Min：z=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 s.t. x1 +x4+x5+x6+x7≥17 +x5+x6+x7≥13 x1+x2 x1+x2+x3 +x6+x7≥15 x1+x2+x3+x4+ +x7≥19 x1+x2+x3+x4+x5 ≥14 x2+x3+x4+x5+x6 ≥16 x3+x4+x5+x6+x7≥11 xi≥0 （ i=1,2,…,7） i=1,2,…,7）
例：某市6 例：某市6个区，希望设 置最少消防站以便节省 费用。条件：
必须保证在城区任何地方发 生火警时，消防车能在15 生火警时，消防车能在15分 15分 钟之内赶到现场。各区之间 消防车行驶的时间见右表。
请确定设站方案。
布点问题的数学模型： 0－1规划 布点问题的数学模型：
设0−1为决策变量，当表示i地区设站，表示i 为决策变量，当表示i地区设站，表示i 地区不设站。这样根据消防车15分钟赶到现 地区不设站。这样根据消防车15分钟赶到现 场的限制，可得到如下模型
整数规划
整数规划问题的提出
整数规划模型与一般的线性规划模型 的区别仅在于： 的区别仅在于：整数规划的变量要求 部分的或全部的为整数。例如： 部分的或全部的为整数。例如：
m Z = x + x2 ax 1 14 1 x +9x2 ≤ 51 −6x +3x2 ≤1 1 x , x ≥ 0且 整 为 数 1 2
(纯整数规划问题) 纯整数规划问题)
解：设xi为第i天开始上班的人数： 为第i天开始上班的人数： Min： Min：z=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 s.t. x1 +x4+x5+x6+x7≥17 +x5+x6+x7≥13 x1+x2 x1+x2+x3 +x6+x7≥15 x1+x2+x3+x4+ +x7≥19 x1+x2+x3+x4+x5 ≥14 x2+x3+x4+x5+x6 ≥16 x3+x4+x5+x6+x7≥11 xi≥0 （ i=1,2,…,7） i=1,2,…,7）
例：某市6 例：某市6个区，希望设 置最少消防站以便节省 费用。条件：
必须保证在城区任何地方发 生火警时，消防车能在15 生火警时，消防车能在15分 15分 钟之内赶到现场。各区之间 消防车行驶的时间见右表。
请确定设站方案。
布点问题的数学模型： 0－1规划 布点问题的数学模型：
设0−1为决策变量，当表示i地区设站，表示i 为决策变量，当表示i地区设站，表示i 地区不设站。这样根据消防车15分钟赶到现 地区不设站。这样根据消防车15分钟赶到现 场的限制，可得到如下模型
运筹学经典课件-04.整数规划(胡运权)
一、 概念
整数规划： 要求决策变量取整数值的规划问题。
（线性整数规划、非线性整数规划等）
纯整数规划：在整数规划中，如果所有的变量都为非负整 数，则称为纯整数规划问题； 混合整数规划：如果有一部分变量为非负整数，则称之为 混合整数规划问题。 0-1变量：在整数规划中，如果变量的取值只限于0和1，这 样的变量我们称之为0-1变量。 0-1规划：在整数规划问题中，如果所有的变量都为0-1变 量，则称之为0-1规划。
资源 金属板（吨） 小号容器 2 中号容器 4 大号容器 8
劳动力（人月）
机器设备（台月）
2
1
3
2
4
3
2013-10-30
14
解：这显然是一个整数规划的问题。
设x1，x2， x3 分别为小号容器、中号容器和大号容器的生产数量。各 种容器的固定费用只有在生产该种容器时才投入，为了说明固定费用的这 种性质，设 yi = 1(当生产第 i种容器, 即 xi ＞ 0 时) 或0（当不生产第 i种
2 x1 3x2 14
z 3x1 2 x2
2013-10-30
x1
5
§2 应用举例
一、 逻辑变量在数学模型中的应用
1、m个约束条件中只有k个起作用
设有m个约束条件
a
j 1
n
ij
bi ,
i 1,2,..., m
0 定义0-1整型变量： yi 1 M是任意大正数。
x j 0, j 1,... 6
2013-10-30
13
例3．（固定成本问题） 高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资 源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种 资源的数量如表所示。每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5万元、6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有 300人/月，机器有100台/月，此外不管每种容器制造的数量 是多少，都要支付一笔固定的费用：小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制定一个生产计划，使获 得的利润为最大。
整数规划： 要求决策变量取整数值的规划问题。
（线性整数规划、非线性整数规划等）
纯整数规划：在整数规划中，如果所有的变量都为非负整 数，则称为纯整数规划问题； 混合整数规划：如果有一部分变量为非负整数，则称之为 混合整数规划问题。 0-1变量：在整数规划中，如果变量的取值只限于0和1，这 样的变量我们称之为0-1变量。 0-1规划：在整数规划问题中，如果所有的变量都为0-1变 量，则称之为0-1规划。
资源 金属板（吨） 小号容器 2 中号容器 4 大号容器 8
劳动力（人月）
机器设备（台月）
2
1
3
2
4
3
2013-10-30
14
解：这显然是一个整数规划的问题。
设x1，x2， x3 分别为小号容器、中号容器和大号容器的生产数量。各 种容器的固定费用只有在生产该种容器时才投入，为了说明固定费用的这 种性质，设 yi = 1(当生产第 i种容器, 即 xi ＞ 0 时) 或0（当不生产第 i种
2 x1 3x2 14
z 3x1 2 x2
2013-10-30
x1
5
§2 应用举例
一、 逻辑变量在数学模型中的应用
1、m个约束条件中只有k个起作用
设有m个约束条件
a
j 1
n
ij
bi ,
i 1,2,..., m
0 定义0-1整型变量： yi 1 M是任意大正数。
x j 0, j 1,... 6
2013-10-30
13
例3．（固定成本问题） 高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资 源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种 资源的数量如表所示。每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5万元、6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有 300人/月，机器有100台/月，此外不管每种容器制造的数量 是多少，都要支付一笔固定的费用：小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制定一个生产计划，使获 得的利润为最大。
整数规划演示教案资料.
§3.整数规划的解法二
割平面法：
n
考虑纯整数规划问题： maxz c j x j j 1
n
aij x j
bi
i 1, 2,
,m
s.t.
j
1
xj 0
j 1, 2, , n
x j取整数
j 1, 2, , n
设其中aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)和bi(i=1,2,…,m)皆为整数
本章中，我们讨论的主要对象是整数线性规划，
下面的讨论中将省略线性二字
整数规划（3）
例1.某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物,每箱的体
积、重量、 可获利及托运限制如下表:
货物
体积
重量
利润
(每箱立方米) (每箱百斤) (每箱百元)
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运限制 24
13
问:两种货物各托运多少箱,可使获利最大?
对问题(2)进行分解,得问题(5)和问题(6)：
分支定界解法(7)
问题5
max z 40x1 90x2........(1)
9x1 7x2 56.............(2)
s.t.
7 x1 x1
20x2 0, x2
70...........(3) 0,..............(4)
70...........(3) 0,..............(4)
x1
5..........................(7)
x2 2.........................(11)
问题(5)有 x1=5.44, x2=1 , z5=308
运筹学第四章--整数规划和分配问题(新)aPPT课件
-
1
整数线性规划的一般形式: n max(或min)z cj xj j 1
n
aij xj ( 或 ）bi (i 1,2,...m)
j 1
xj 0( j 1,2,...n),且部分或全部取整数
例1.求下述整数规划问题的最优解
max z 3x1 2x2
2x1 3x2 14 x1 0.5x2 4.5
先不考虑整数解的限制，用单纯形法求 解其松弛问题，如果求得的解恰好是整数解， 则得整数规划最优解，停止计算。否则，将 松弛问题分解为两个子问题（也称后继问 题），每个子问题都是在原松弛问题的基础 上增加一个变量取整数的约束条件，这样就 缩小了原来的可行域，然后用单纯形法求解， 直至得到最终结果。
-
21
-
23
例.用分枝定界法求下述数整规划问题的最优
maxz 3x1 2x2
2x1 3x2 14 x1 0.5x2 4.5 x1, x2 0,且均取整数值
-
24
-
25
-
26
-
27
-
28
-
29
第四节 割平面法 一、割平面法的基本思想
先不考虑整数条件，用单纯形法求解其 松弛问题，若得整数解，即得整数规划最优 解。否则，增加线性约束条件（称为割平面 方程），将原问题的可行域切割掉一部分， 被切割掉的都是非整数解，再用单纯形法求 解新的线性规划问题，依次进行下去，直到 使问题的最优解恰好在可行域的某个具有整 数坐标的顶点上得到。
0.5 + 0.4 x4 + 0.4 x5≥ 1
-
35
2. 借助单纯形表法
对求解整数规划问题的松弛问题（LP问题）得到
最优单纯形表，设xi=bi 是最优解中取分数值（分数 部分最大）的基变量，则有
运筹学PPT 第四章 线性整数规划
s.t.
x
i 1
8
i
5
x1 x2 1
x6 x7 x8 1
x6 x2
xi 0 或 1，i=1, … ,8
2. 指派问题 问题描述：n项任务可由n个人完成，由于专长不同，各人 完成各任务的时间也不同，求最优安排。 要求：每人只能完成一项任务，每项任务只能由一人完成。 例： 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字， 分别记作任务E、J、G、R，现有甲、乙、丙、丁四人，他们 将中文说明书翻译成不同语种说明书所需的时间如下表所示， 问应指派何人去完成何项任务，使所需总时间最少？
运动员 甲 乙
丙 丁
仰泳 75.5 65.8
67.6 74.0
蛙泳 86.8 66.2
84.3 69.4
蝶泳 66.6 57.0
77.8 60.8
自由泳 58.4 52.8
59.1 57.0
3. 背包问题 问题描述 已知：一个背包最大容量为b公斤；有m件物品供选择，每 件物品重ai公斤，价值为ci（i=1,…,m）。 问题：携带哪些物品可使总价值最大？ 一般模型 xi=
解：令 x i=
7
1， Ai被选中
i 1
0， Ai没被选中
bixi≤B ∑ i=1 x1+x2+x3≤2 s.t. x4+x5≥1 x6+x7≥1 x =0或 1，i=1, … ,7
i
7
课堂练习1:
某钻井队要从S1~S10共10个井位中确定五个钻 井探油，如果选Si，估计钻探费用为ci元，并且 井位选择上要满足下列条件： （1）或选择S1和S7，或选择S8 ;
解：令 x i=
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理解：几何级数的惊人增长：复式利率
2）解IP，首先想到解其松弛问题。似乎只要把 已求得的解经过四舍五入或截去小数来简单取整数 就可以，但这常常是不可行的。 （看书上的例子了 解凑整的意思）
因为化整后不见得是可行解，或虽然是可行解， 但不一定是最优解；当变量较多时，凑整工作量也 很大。这种方法，只有在变量的取值很大时，才有 成功的可能性，而当变量的取值较小时，特别是0-1 规划时，往往不能成功。
约束条件：s.t.
x1 + x6 ≥ 60 x1 + x2 ≥ 70 x2 + x3 ≥ 60 x3 + x4 ≥ 50 x4 + x5 ≥ 20 x5 + x6 ≥ 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
3.设备购置问题 某厂拟用Ｍ元资金购买m种设备Ａ 1 ,Ａ 2 , … , Ａ m， 其 中 设 备 Ａ i 单 价 为 pi(i=1,2,…,m)，现有n个地点Ｂ 1 ,Ｂ 2 ,…, Ｂn可装置这些设备，其中Ｂj处最多可装置 bj(j=1,2,…,n)台．预计将一台设备Ａ i 装 置Ｂ j 处可获利cij 元．问应如何购置这些设 备，才能使预计总利润为最大？ 设：yi为购买设备Ai的数量,xij为将设备Ai 装置在Bj处的台数；总利润为Ｚ，则该问题 的数学模型为：
（Min z = ijxij ）
令位于不同行不同列的那组m个零元素所对应的xij =1, 其余xij =0。因此寻找独立的零元素是解题的中心。
定理1（指派问题最优解的性质）：设 (ij)是指派问题的 系数矩阵， ij 0，i , j = 1 , 2, ··, m。若从(ij)的某一行 ·· ·· （列）各元素中分别减去（或加上）一个常数而得到新矩 阵 (bij) ，那么以新矩阵 (bij) 为系数矩阵的指派问题求解 的最优解与用原系数矩阵求解的最优解相同。
2、混合整数规划(Mixed Integer Programming )：要求 部分决策变量取整数的LP。
3、0-1型整数规划：决策变量只取 0、1 的整数规划。
三、求解
1、整数规划是数学规划中一个较弱的分支，它的求解要 比一般的线性规划困难得多，到目前为止还没有一个十 分有效的解法，只能对一些特定的问题提出求解的方法。 而且目前只能解中等规模的线性整数规划问题，而非线 性整数规划问题，还没有好的办法。专门方法：分枝定 界法、割平面法、隐枚举法、匈牙利法。 2、但在实践中，许多问题可以归结为IP。由于决策问题 中经常有整数要求，如人数、件数、机器台数、货物箱 数……如何解决？因此，对求最优整数解的问题，有必 要另行研究。它作为数学规划论的一个重要分支，近二 十多年发展起来了。
• 某集装箱运输公司，箱型标准体积24m ，重量13T,现有两种货物可以装运，甲 3 货物体积5m 、重量2T、每件利润2000 3 元；乙货物体积4m 、重量5T、每件利 润1000元，如何装运获利最多？ • maxZ=2000x1+1000x2 5x1+4x2≤24 2x1+5x2 ≤13 x1 ， x2 ≥0且为整数 • 解此IP的松弛问题，得： x1 =4.8， x2 =0 • 显然不是可行解
第四章 整数规划(Integer Programming ，简称为IP） 本章要求 • 理解整数规划的含义； • 掌握分配问题的匈牙利算法； • 掌握割平面法； • 掌握分枝定界法的思想和方法； • 掌握0-1变量的含义和用法。
§1
整数规划问题的提出
在线性规划问题中，所有的解都假设为具 有连续型的数值，即解可以是整数、分数或 小数。但对于某些具体的问题，常要求最优 解是整数的情形。例如，所求的解是机器台 数，完成工作的人数或装货的车数等，还有 逻辑变量，只允许取整数值的一类变量，比 如x=1或0。这时，分数或小数的解就不符合 要求。
•
m n
• •
•
Max z = n
cij xij
i=1j=1
•
•
•
•
s.t. xij – yi = 0 , i = 1,2,…,m
j=1
m
• •
xij ≤ bj , j = 1,2,…,n
i=1 pi yi ≤ M
• •
xij ,yi ≥ 0 且均为整数 这是一个纯整数规划问题。
4、背包问题( Knapsack Problem)
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连 续工作8h，问该公交线路怎样安排机和乘务人员，既能 满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘 务人员数,这样我们建立如下的数学模型。
目标函数：minZ= x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
8
16
11
13
9
类似的有：m项加工任务，怎样指派到 m 台机床上分 别完成的问题；m条航线，怎样指定 m 艘船去航行的问 题，m若干项合同需要选择若干个承包者··等等。它们 ·· ·· 的基本要求是满足特定的指派条件下，指派方案的总体效 果最佳（时间最少、效率最高、成本最低等）。这类问题 性质相同，称为指派问题或分配问题。 对应每个指派问题, 都有类似上表那样的表格，我们 称之为效率矩阵或系数矩阵（coefficient matrix），其元 素 ij ( i , j = 1,2, ··, m) 表示指派第 i 个人去完成第 j ·· ·· 项任务时的效率(或时间、成本等)。
s.t. Σajxj b xj=0 或1
例：一登山队员做登山准备，他需要携带 的物品有：食品，氧气，冰镐，绳索，帐 篷，照相机和通讯设备，每种物品的重要 性系数和重量如下：假定登山队员可携带 最大重量为25公斤。
序号 1 2 3 4 5 6 7 物品 食品 氧气 冰镐 绳索 帐篷 相机 设备 重量 重要 系数 5 20 5 15 2 18 6 14 12 8 2 4 4 10
一个旅行者,为了准备旅行的必须用品,要在背包内装一 些最有用的东西,但有个限制,最多只能装b公斤的物品,而 每件物品只能整个携带,这样旅行者给每件物品规定了一 个“价值”以表示其有用的程度,如果共有n件物品,第j件 物品aj公斤,其价值为cj。问题变成:在携带的物品总重量不 超过b公斤条件下,携带哪些物品,可使总价值最大? 解：如果令xj=1表示携带物品j，xj=0表示不携带物品j， 则问题表示成0-1规划: Max Z = Σcjxj
3
整数规划图解法
x2
3 2
1
1 2 3
示
A（4.8，0）点是LP问题的可行解，不是IP问题的 可行解，B（4，1）才是IP的最优解 纯整数规划的可行解就是可行域中的整数点 非整数点不是可行解，对于求解没有意义，故切割 掉可行域中的非可行解，不妨碍整数规划问题的优 化 IP问题的最优解不优于其松弛问题的最优解
i=1 j=1
m s.t. xij = 1 j=1 m i = 1,2,…,m
xij = 1
i=1
j = 1,2,…,m (i=1,2,…,m;j=1,2,…,m)
xij = 0 或1
对每一问题的可行解，可以用解矩阵表示。 指派问题的解矩阵应当是每行或每列只能有一 个元素为1，其余均为 0 的m 阶方阵。如下就是 例子的一个解矩阵：
除上述四类问题外，典型整数规划问 题还有下料问题、产品配套问题、工厂 选址问题、任务分配问题等等。关于分 配问题后面要专门介绍。
§2分配问题（Assignment Problem）
一、分配问题的标准形式及数学模型
在生活中经常会遇到这样的问题，某单位需 要指派m个人去完成m项任务，每个人只做一项 工作，同时，每项工作只由一个人完成。由于各 人的专长不同，每个人完成各项任务的效率也不 同。于是产生了应指派哪一个人去完成哪一项任 务，使完成m项任务的总效率最高（如所用的时 间为最少）。我们把这类问题称之为指派问题或 分配问题(Assignment Problem)。
四、整数规划的性质（一般指纯IP)
1、可行域为点集。
2、整数规划的解是可数个的，最优解不 一定发生在顶点。 3、整数规划的最优解的目标值不会优于 其松弛问题的最优解的目标值。(max不大 于，min不小于)
五、整数规划的典型问题
在现实生活的许多领域中 都有整数规划实例，这里仅 介绍其中的几个典型问题。
二、匈牙利解法
库恩（W.W.Kuhn）于1955年提出了指派问题的解法，他 引用了匈牙利数学家（D.Kö nig)的两个定理，因此称为 匈牙利法。以后方法虽然不断改进，仍沿用这个名称。 基本思路是：此解法从一个明显的事实出发，若效率矩 阵（所有元素≥0）中存在 m 个位于不同行不同列的零 （以下简称独立的零元素），就找到了最优解。
指派问题是 0—1规划的特例，也是运输 问题的特例，即 m = n ，ai = bj = 1。 运输问题是任务分配问题的松弛问题;任务 分配问题不但是整数规划，而且是01规划; 任务分配问题有m2个变量，2m个约束条件， 但有且只有m个非零解，是自然高度退化的。 可以用解整数规划、0-1规划或运输问题的方 法求解，但这样做太麻烦了，不合理。我们 利用指派问题的特点可以有更为简便的求解 方法。
例 :有一份中文说明书,需要译成英、日、德、俄四 种文字，分别记作 E、J、G、R 。现有 甲、乙、丙
丁四人，他们将中文说明书翻译成不同文字说明 书所需要的时间如下表所示。问应指派何人去完 成哪一项工作，使所需的总时间最少？
工作
人员
E 2 10
J 15 4
G 13 14
R 4 15
甲 乙
丙
丁
9
7
14
一、整数规划的定义：决策变量要求取整数的LP。
IP的松驰问题：任何IP，放弃整数要求后，所得到的 问题称为原IP的松驰问题（Slack Problem）或称作和原 IP相应的LP问题。 二、分类
2）解IP，首先想到解其松弛问题。似乎只要把 已求得的解经过四舍五入或截去小数来简单取整数 就可以，但这常常是不可行的。 （看书上的例子了 解凑整的意思）
因为化整后不见得是可行解，或虽然是可行解， 但不一定是最优解；当变量较多时，凑整工作量也 很大。这种方法，只有在变量的取值很大时，才有 成功的可能性，而当变量的取值较小时，特别是0-1 规划时，往往不能成功。
约束条件：s.t.
x1 + x6 ≥ 60 x1 + x2 ≥ 70 x2 + x3 ≥ 60 x3 + x4 ≥ 50 x4 + x5 ≥ 20 x5 + x6 ≥ 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
3.设备购置问题 某厂拟用Ｍ元资金购买m种设备Ａ 1 ,Ａ 2 , … , Ａ m， 其 中 设 备 Ａ i 单 价 为 pi(i=1,2,…,m)，现有n个地点Ｂ 1 ,Ｂ 2 ,…, Ｂn可装置这些设备，其中Ｂj处最多可装置 bj(j=1,2,…,n)台．预计将一台设备Ａ i 装 置Ｂ j 处可获利cij 元．问应如何购置这些设 备，才能使预计总利润为最大？ 设：yi为购买设备Ai的数量,xij为将设备Ai 装置在Bj处的台数；总利润为Ｚ，则该问题 的数学模型为：
（Min z = ijxij ）
令位于不同行不同列的那组m个零元素所对应的xij =1, 其余xij =0。因此寻找独立的零元素是解题的中心。
定理1（指派问题最优解的性质）：设 (ij)是指派问题的 系数矩阵， ij 0，i , j = 1 , 2, ··, m。若从(ij)的某一行 ·· ·· （列）各元素中分别减去（或加上）一个常数而得到新矩 阵 (bij) ，那么以新矩阵 (bij) 为系数矩阵的指派问题求解 的最优解与用原系数矩阵求解的最优解相同。
2、混合整数规划(Mixed Integer Programming )：要求 部分决策变量取整数的LP。
3、0-1型整数规划：决策变量只取 0、1 的整数规划。
三、求解
1、整数规划是数学规划中一个较弱的分支，它的求解要 比一般的线性规划困难得多，到目前为止还没有一个十 分有效的解法，只能对一些特定的问题提出求解的方法。 而且目前只能解中等规模的线性整数规划问题，而非线 性整数规划问题，还没有好的办法。专门方法：分枝定 界法、割平面法、隐枚举法、匈牙利法。 2、但在实践中，许多问题可以归结为IP。由于决策问题 中经常有整数要求，如人数、件数、机器台数、货物箱 数……如何解决？因此，对求最优整数解的问题，有必 要另行研究。它作为数学规划论的一个重要分支，近二 十多年发展起来了。
• 某集装箱运输公司，箱型标准体积24m ，重量13T,现有两种货物可以装运，甲 3 货物体积5m 、重量2T、每件利润2000 3 元；乙货物体积4m 、重量5T、每件利 润1000元，如何装运获利最多？ • maxZ=2000x1+1000x2 5x1+4x2≤24 2x1+5x2 ≤13 x1 ， x2 ≥0且为整数 • 解此IP的松弛问题，得： x1 =4.8， x2 =0 • 显然不是可行解
第四章 整数规划(Integer Programming ，简称为IP） 本章要求 • 理解整数规划的含义； • 掌握分配问题的匈牙利算法； • 掌握割平面法； • 掌握分枝定界法的思想和方法； • 掌握0-1变量的含义和用法。
§1
整数规划问题的提出
在线性规划问题中，所有的解都假设为具 有连续型的数值，即解可以是整数、分数或 小数。但对于某些具体的问题，常要求最优 解是整数的情形。例如，所求的解是机器台 数，完成工作的人数或装货的车数等，还有 逻辑变量，只允许取整数值的一类变量，比 如x=1或0。这时，分数或小数的解就不符合 要求。
•
m n
• •
•
Max z = n
cij xij
i=1j=1
•
•
•
•
s.t. xij – yi = 0 , i = 1,2,…,m
j=1
m
• •
xij ≤ bj , j = 1,2,…,n
i=1 pi yi ≤ M
• •
xij ,yi ≥ 0 且均为整数 这是一个纯整数规划问题。
4、背包问题( Knapsack Problem)
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连 续工作8h，问该公交线路怎样安排机和乘务人员，既能 满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘 务人员数,这样我们建立如下的数学模型。
目标函数：minZ= x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
8
16
11
13
9
类似的有：m项加工任务，怎样指派到 m 台机床上分 别完成的问题；m条航线，怎样指定 m 艘船去航行的问 题，m若干项合同需要选择若干个承包者··等等。它们 ·· ·· 的基本要求是满足特定的指派条件下，指派方案的总体效 果最佳（时间最少、效率最高、成本最低等）。这类问题 性质相同，称为指派问题或分配问题。 对应每个指派问题, 都有类似上表那样的表格，我们 称之为效率矩阵或系数矩阵（coefficient matrix），其元 素 ij ( i , j = 1,2, ··, m) 表示指派第 i 个人去完成第 j ·· ·· 项任务时的效率(或时间、成本等)。
s.t. Σajxj b xj=0 或1
例：一登山队员做登山准备，他需要携带 的物品有：食品，氧气，冰镐，绳索，帐 篷，照相机和通讯设备，每种物品的重要 性系数和重量如下：假定登山队员可携带 最大重量为25公斤。
序号 1 2 3 4 5 6 7 物品 食品 氧气 冰镐 绳索 帐篷 相机 设备 重量 重要 系数 5 20 5 15 2 18 6 14 12 8 2 4 4 10
一个旅行者,为了准备旅行的必须用品,要在背包内装一 些最有用的东西,但有个限制,最多只能装b公斤的物品,而 每件物品只能整个携带,这样旅行者给每件物品规定了一 个“价值”以表示其有用的程度,如果共有n件物品,第j件 物品aj公斤,其价值为cj。问题变成:在携带的物品总重量不 超过b公斤条件下,携带哪些物品,可使总价值最大? 解：如果令xj=1表示携带物品j，xj=0表示不携带物品j， 则问题表示成0-1规划: Max Z = Σcjxj
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整数规划图解法
x2
3 2
1
1 2 3
示
A（4.8，0）点是LP问题的可行解，不是IP问题的 可行解，B（4，1）才是IP的最优解 纯整数规划的可行解就是可行域中的整数点 非整数点不是可行解，对于求解没有意义，故切割 掉可行域中的非可行解，不妨碍整数规划问题的优 化 IP问题的最优解不优于其松弛问题的最优解
i=1 j=1
m s.t. xij = 1 j=1 m i = 1,2,…,m
xij = 1
i=1
j = 1,2,…,m (i=1,2,…,m;j=1,2,…,m)
xij = 0 或1
对每一问题的可行解，可以用解矩阵表示。 指派问题的解矩阵应当是每行或每列只能有一 个元素为1，其余均为 0 的m 阶方阵。如下就是 例子的一个解矩阵：
除上述四类问题外，典型整数规划问 题还有下料问题、产品配套问题、工厂 选址问题、任务分配问题等等。关于分 配问题后面要专门介绍。
§2分配问题（Assignment Problem）
一、分配问题的标准形式及数学模型
在生活中经常会遇到这样的问题，某单位需 要指派m个人去完成m项任务，每个人只做一项 工作，同时，每项工作只由一个人完成。由于各 人的专长不同，每个人完成各项任务的效率也不 同。于是产生了应指派哪一个人去完成哪一项任 务，使完成m项任务的总效率最高（如所用的时 间为最少）。我们把这类问题称之为指派问题或 分配问题(Assignment Problem)。
四、整数规划的性质（一般指纯IP)
1、可行域为点集。
2、整数规划的解是可数个的，最优解不 一定发生在顶点。 3、整数规划的最优解的目标值不会优于 其松弛问题的最优解的目标值。(max不大 于，min不小于)
五、整数规划的典型问题
在现实生活的许多领域中 都有整数规划实例，这里仅 介绍其中的几个典型问题。
二、匈牙利解法
库恩（W.W.Kuhn）于1955年提出了指派问题的解法，他 引用了匈牙利数学家（D.Kö nig)的两个定理，因此称为 匈牙利法。以后方法虽然不断改进，仍沿用这个名称。 基本思路是：此解法从一个明显的事实出发，若效率矩 阵（所有元素≥0）中存在 m 个位于不同行不同列的零 （以下简称独立的零元素），就找到了最优解。
指派问题是 0—1规划的特例，也是运输 问题的特例，即 m = n ，ai = bj = 1。 运输问题是任务分配问题的松弛问题;任务 分配问题不但是整数规划，而且是01规划; 任务分配问题有m2个变量，2m个约束条件， 但有且只有m个非零解，是自然高度退化的。 可以用解整数规划、0-1规划或运输问题的方 法求解，但这样做太麻烦了，不合理。我们 利用指派问题的特点可以有更为简便的求解 方法。
例 :有一份中文说明书,需要译成英、日、德、俄四 种文字，分别记作 E、J、G、R 。现有 甲、乙、丙
丁四人，他们将中文说明书翻译成不同文字说明 书所需要的时间如下表所示。问应指派何人去完 成哪一项工作，使所需的总时间最少？
工作
人员
E 2 10
J 15 4
G 13 14
R 4 15
甲 乙
丙
丁
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一、整数规划的定义：决策变量要求取整数的LP。
IP的松驰问题：任何IP，放弃整数要求后，所得到的 问题称为原IP的松驰问题（Slack Problem）或称作和原 IP相应的LP问题。 二、分类