高等数学83全微分

解: 由欧姆定律可知 R = U = 24 = 4( 欧) I6
所以 R 的相对误差约为 δ R = δ U + δ I = 0.3 % + 0.5 % = 0.8 % RU I
R 的绝对误差约为 δ R = R × 0.8 % = 0.032 ( 欧 )
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内容小结
x2 + y2 ≠ 0 x2 + y2 = 0
易知 f x (0, 0) = f y (0, 0) = 0 , 但
Δ z − [ f x ( 0, 0 )Δx + f y ( 0, 0 )Δy] =
Δx Δy (Δx)2 + (Δy)2
Δx Δy (Δx)2 + (Δy)2
ρ
= ΔxΔy (Δx)2 + (Δy)2
Δx→0 Δy →0
即 函数Δzz == ff(x(,xy+) 在Δ x点, y(x+, Δy)y可) −微f (函x,数y)在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
偏导数存在
(2) 偏导数连续
函数可微
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定理1(必要条件)若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
(2,1)
例2. 计算函数 u = x + sin y + e yz 的全微分. 2
解:
d
u
=
1⋅
d
x
+

(
1 2
cos
y 2
+
zeyz
)d y+ yeyz d z
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*二、全微分在数值计算中的应用
1. 近似计算 由全微分定义
Δz = fx (x, y)Δx + f y (x, y)Δy + o(ρ)
0
≠ o(ρ ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
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定理2 (充分条件) 若函数 z = f (x, y)的偏导数 ∂z , ∂z
在点 (x, y) 连续, 则函数在该点可微分.
∂x ∂y
证：Δz = f (x + Δx, y + Δy) − f (x, y)
∴
∂z ∂x
=
lim
Δx→0
Δxz Δx
=
A
同样可证
∂z ∂y
= B , 因此有 d z
= ∂z Δx + ∂z Δy ∂x ∂y
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注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即: 偏导数存在函数 不一定可微 !
反例: 函数 f (x, y) =
xy , x2 + y2 0,
注意到
α Δx + β Δy ≤ α ρ
+β
, 故有
Δz = f x (x, y)Δx + f y (x, y)Δy + o(ρ )
所以函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微.
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推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.
例如, 三元函数 u = f (x, y, z) 的全微分为
d z x = 2 , Δx = 0.01 = 0.03 y = 1 , Δy = 0.03
也可写作:
当 x = 2 , y =1 , △x = 0.01 , △y = 0.03 时 △z = 0.02 , d z = 0.03
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4.
设
f
(x,
y,
z)
=
x cos y + 1+ cos x
y cos z + z cos x + cos y + cos z
,求d
f
(0,0,0) .
解: ∵ f (x,0,0) = x 3 + cos x
注意(:Lx.,Py2,4z5 具例有2 ) 轮换对称性
∴
f x (0,0,0)
=
(
3
+
x cos
x
)′
x
=
0
=
1 4
利用轮换对称性 , 可得
f y (0,0,0) =
= [ f (x + Δx, y + Δy) − f (x, y + Δy)]
+ [ f (x, y + Δy) − f (x, y)]
= f x (x +θ1Δx, y + Δy)Δx + f y (x, y +θ2Δy)Δy ( 0 < θ1 , θ2 < 1 )
= [ f x (x, y) + α ]Δx + [ f y (x, y) + β ]Δy
1. 微分定义: ( z = f (x, y) )
Δz = fx (x, y)Δx + f y (x, y)Δy + o (ρ) ρ = (Δx)2 + (Δy)2
d z = f x (x, y)dx + f y (x, y)dy
2. 重要关系: 函数连续
函数可导
函数可微 偏导数连续
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f z (0,0,0) =
1 4
∴d f (0,0,0) = f y (0,0,0) d x + f y (0,0,0) d y + f z (0,0,0) d z
求计算面积时的绝对误差与相对误差.
解：δ S =
∂S ∂a
δa+
∂S ∂b
δb+
∂S ∂c
δc
a
=
1 2
b sin C
δ
a+
1 2
= 12.5, b = 8.3, C = 30°,
a sin C δ a =δ
δ
b
=b +0.1201a, bδcCos=C18δπ0C0
故绝对误差约为 δ S = 0.13
则该函数在该点偏导数 ∂z , ∂z 必存在,且有 ∂x ∂y
d z = ∂z Δx + ∂z Δy ∂x ∂y
证: 由全增量公式 Δ z = AΔx + BΔy + o ( ρ ), 令 Δy = 0,
得到对 x 的偏增量
Δ x z = f ( x + Δx, y) − f ( x, y) = AΔx + o ( Δx )
相对误差
δz z
=
fx (x, y) f (x, y)
δ
x
+
f y (x, y) f (x, y)
δ
y
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思考与练习 1. P72 题 1 (总习题八)
2. 选择题
函数 z = f (x, y)在 (x0 , y0 ) 可微的充分条件是( D )
( A) f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 连续; (B) f x′(x, y) , f y′ (x, y) 在 (x0 , y0 )的某邻域内存在 ; (C) Δz − f x′(x, y)Δx − f y′ (x, y)Δy
d
u
=
∂u ∂x
Δx
+
∂u ∂y
Δy
+
∂u ∂z
Δz
习惯上把自变量的增量用微分表示, 于是
du
=
∂u ∂x
d
x
+
∂u ∂y
d
y
+ ∂u d z ∂z
记作 d x u d y u d z u d x u , d y u , d z u 称为偏微分. 故有下述叠加原理
du = dx u+dy u+dz u
⎜⎝⎛
lim α
Δx→0 Δ y →0
= 0,
lim β
Δx→0 Δ y →0
= 0 ⎟⎠⎞
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Δz =
= fx (x, y)Δx + f y (x, y)Δy +α Δx + β Δy
⎜⎝⎛
lim α
Δx→0 Δ y →0
= 0,
lim β
Δx→0 Δ y →0
= 0 ⎟⎠⎞
ΔV ≈ 2π × 20 ×100 × 0.05 + π × 202 × (−1) = −200π (cm3)
即受压后圆柱体体积减少了200π cm3 .
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例4.计算 1.042.02 的近似值. 解: 设 f (x, y) = x y,则
f x (x, y) = y x y−1 , f y (x, y) = x y ln x 取 x = 1, y = 2, Δx = 0.04, Δy = 0.02 则 1.042.02 = f (1.04, 2.02 )
(2) z = y 时, x
δz = z
x y
⋅
(−
y x2
)
δ
x+
x y
⋅
1 x
δ
y
=
δx x
δ +
y
y
•乘除后的结果相对误差变大 •很小的数不能做除数
类似可以推广到三元及三元以上的情形.
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例5.
利用公式
S
=
1 2
absin
C
计算三角形面积.现测得
a = 12.5 ± 0.01, b = 8.3 ± 0.01, C = 30° ± 0.1°