2019届全国高三原创试卷(一)数学文科

2019届全国高三原创试卷（一）文科数学本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{|2}M x R x =∈≤，{|04}N x R x =∈<<，则R MC N =（ ）A ．[0,2]B ．[2,0)-C ．[2,0]-D ．(,2][4,)-∞+∞ 2.设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于实轴对称，且11z i =+，则12z z i=-（ ） A ．1i + B ．1355i -+ C ．13i -+ D ．122i - 3.若角α的终边不落在坐标轴上，且sin 20α>，则（ ）A ．sin 0α>B ．cos 0α>C ．tan 0α>D ．cos 20α>4.焦点在x 轴上的椭圆2221(0)3x y a a +=>的离心率为2，则a =（ ）A ．6 B．6+．325.若函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x ≥时，()x f x e m =+，则1ln 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．1- B ．0 C ．2 D ．2- 6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，6350S S =-≠，则93S S =（ ） A ．18 B ．13 C ．13- D ．18-7.如图，每一个虚线围成的最小正方形边长都为1，某几何体的三视图如图中实线所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8πB ．9πC ．283π D ．323π8.随机从3名老年人，2名中老年和1名青年人中抽取2人参加问卷调查，则抽取的2人来自不同年龄层次的概率是（ ） A ．15 B ．415 C ．45 D ．11159.将函数()2sin 2f x x =的图象向左平移04πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度后得到()g x的图象，且12g π⎛⎫= ⎪⎝⎭()g x 图象的一个对称中心的坐标是（ ） A ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 10.秦九韶算法是我国古代算筹学史上光辉的一笔，它把一元n 次多项式的求值转化为n 个一次式的运算，即使在计算机时代，秦九韶算法仍然是高次多项式求值的最优算法，其算法如图所示，若输入的0a ，1a ，2a ，3a ，4a 分别为0，1，1，3，2-，则该程序框图输出p 的值为（ ）A ．14-B ．2-C ．30-D ．3211.若在ABC ∆中，1BC =，其外接圆圆心O 满足3AO AB AC =+，则AB AC ⋅=（ ）A ．12 BCD ．1 12.函数()f x 满足：1()'()xf x f x e +=，且(0)1f =，则关于x 的方程2[()]()0f x mf x n ++=的以下叙述中，正确的个数为（ ）①12m =-，0n =时，方程有三个不等的实根； ②1m n +=-时，方程必有一根为0；③0n <且1m n +>-时，方程有三个不等实根.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.2018年俄罗斯世界杯将至，本地球迷协会统计了协会内180名男性球迷，60名女性球迷在观察场所（家里、酒吧、球迷广场）上的选择，制作了如图所示的条形图，用分层抽样的方法从中抽取48名球迷进行调查，则其中选择在酒吧观赛的女球迷人数为 人．14.设x ，y 满足约束条件1024y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则平面直角坐标系对应的可行域面积为 ．15.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3A π=，6a =，b =C = ．16.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，过双曲线C ：222(0)x y a a -=>的右顶点P 作射线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于第一象限的点M 和第二象限的点N ，且3P N P M =，OMN ∆的面积为3S =，则a = ．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{}n a 满足11a =，112(2,)n n n a a n n N --+-=≥∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列2log (1)n n b a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n S .18.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=，SAB ∆为等边三角形，G 是线段SB 上的一点，且//SD 平面GAC.（1）求证：G 为SB 的中点；（2）若F 为SC 的中点，连接GA ，GC ，FA ，FG ，平面SAB ⊥平面ABCD ，2AB =，求三棱锥F AGC -的体积.19.从集市上买回来的蔬菜仍存有残留农药，食用时需要清洗数次，统计表中的x 表示清洗的次数，y 表示清洗x 次后1千克该蔬菜残留的农药量（单位：微克）.（1）在如图的坐标系中，描出散点图，并根据散点图判断，y bx a =+与x y me n -=+哪一个适宜作为清洗x 次后1千克该蔬菜残留的农药量的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据判断及下面表格中的数据，建立y 关于x 的回归方程；表中ix i e ω-=，5115i i ωω==∑.（3）对所求的回归方程进行残差分析.附：①线性回归方程y bx a =+中系数计算公式分别为121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-；②22121()1()niii nii y y R y y ==-=--∑∑，20.95R >说明模拟效果非常好；③10.37e ≈，210.14e ≈，310.05e ≈，410.02e ≈，510.01e≈. 20.已知抛物线C ：24x y =，P ，Q 是抛物线C 上的两点，O 是坐标原点，且OP OQ ⊥. （1）若OP OQ =，求OPQ ∆的面积；（2）设M 是线段PQ 上一点，若OPM ∆与OQM ∆的面积相等，求M 的轨迹方程. 21.已知函数()sin 1f x ax x =--，[0,]x π∈. （1）若12a =，求()f x 的最大值；（2）当2a π≤时，求证：()cos 0f x x +≤.请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：2cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），直线l ：28x y +=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线C 和直线l 的极坐标方程；（2）点P 在直线l 上，射线OP 交曲线C 于点R ，点Q 在射线OP 上，且满足229OR OP OQ =⋅，求点Q 的轨迹的直角坐标方程.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()31f x x x =--+，M 为不等式()2f x <的解集. （1）求M ；（2）证明：当log a b M ∈时，12222a b a b +--<-.文科数学参考答案一、选择题1-5: CBCCA 6-10: DCDBB 11、12：AD 二、填空题 13. 4 14. 4912 15. 512π16. 3 三、解答题17.解：（1）由已知112n n n a a ---=，∴112()()n n n n n a a a a a ---=-+-23211()()n n a a a a a --+-+⋅⋅⋅+-+， ∴12321222221n n n n a ---=+++⋅⋅⋅+++，∴1(1)1(12)21112n n n n a q a q -⋅-===---.（2）2log (1)n n b a n =+=，11111(1)1n n b b n n n n +==-⋅++， ∴111111*********n S n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+1111nn n =-=++. 18.（1）证明：如图，连接BD 交AC 于点E ，则E 为BD 的中点，连接GE ， ∵//SD 平面GAC ，平面SDB平面GAC GE =，SD ⊂平面SBD ，∴//SD GE ，而E 为BD 的中点，∴G 为SB 的中点.（2）解：∵F ，G 分别为SC ，SB 的中点， ∴1122F AGC S AGC C AGS V V V ---==三棱锥三棱锥三棱锥1144C ABS S ABC V V --==三棱锥三棱锥18S ABCD V -=四棱锥.取AB 的中点H ，连接SH ，∵SAB ∆为等边三角形，∴SH AB ⊥，又平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB平面ABCD AB=，SH⊂平面SAB，∴SH⊥平面ABCD，而SH ，1222sin60232ABCDS=⋅⋅⋅=菱形∴13S ABCD ABCDV S SH-=⋅⋅四棱锥菱形123=⋅=，∴1184F AGC S ABCDV V--==三棱锥四棱锥.19.解：（1）散点图如图，用xy me n-=+作为清洗x次后1千克该蔬菜残留的农药量的回归方程类型. （2）由题知51521()()()i iiiiy ymωωωω==--=-∑∑0.9100.09==，2100.120.8n y m=-=-⨯=，故所求的回归方程为100.8xy e-=⨯+.（3）列表如下：所以521()0.19i iiy y=-=∑，521()9.1iiy y=-=∑，20.1910.9799.1R=-≈，所以回归模拟的拟合效果非常好.20.解：设11(,)P x y，22(,)Q x y，（1）因为OP OQ=，又由抛物线的对称性可知P ，Q 关于y 轴对称， 所以21x x =-，21y y =，因为OP OQ ⊥，所以0OP OQ ⋅=，故12120x x y y +=， 则22110x y -+=，又2114x y =， 解得14y =或10y =（舍）， 所以14x =±，于是OPQ ∆的面积为1112162x y =. （2）直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y kx m =+， 代入24x y =，得2440x kx m --=，216160k m ∆=+>， 且124x x k +=，124x x m =-，因为OP OQ ⊥，所以12120OP OQ x x y y ⋅=+=，故221212016x x x x +=，则240m m -+=， 所以4m =或0m =（舍），因为OPM ∆与OQM ∆的面积相等，所以M 为PQ 的中点，则M 点的横坐标为12022x x x k +==，纵坐标为2000442x y kx =+=+， 故M 点的轨迹方程为2142y x =+. 21.（1）解：当12a =时，1'()cos 2f x x =-，由'()0f x =，得3x π=，所以0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()0f x <；,3x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，'()0f x >， 因此()f x 的单调递减区间为0,3π⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增区间为,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭， ()f x 的最大值为max{(0),()}max 1,12f f ππ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭12π=-.（2）证明：先证2sin cos 10x x x π-+-≤，令2()sin cos 1g x x x x π=-+-， 则2'()cos sin g x x x π=--24x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[0,]x π∈与2y π=的图象易知，存在0[0,]x π∈，使得0'()0g x =，故0(0,)x x ∈时，'()0g x <；0(,)x x π∈时，'()0g x >， 所以()g x 的单调递减区间为0(0,)x ，单调递增区间为0(,)x π， 所以()g x 的最大值为max{(0),()}g g π， 而(0)0g =，()0g π=. 又由2a π≤，0x ≥，所以2sin 1cos sin 1cos 0ax x x x x x π--+≤--+≤，当且仅当20()a x ππ⎧=⎪⎨⎪=⎩或，取“=”成立，即()cos 0f x x +≤. 22.解：（1）曲线C 的极坐标方程为2222cos sin 149ρθρθ+=，直线l 的极坐标方程为2cos sin 8ρθρθ+=. （2）设点Q 的极坐标为(,)Q ρθ，易知222369cos 4sin OR θθ=+，82cos sin OP θθ=+， 故代入229OR OP OQ =⋅，得2219cos 4sin 2cos sin ρθθθθ=++，即2222cos sin 9cos 4sin ρθρθρθθ+=+，所以点Q 的轨迹的直角坐标方程为22294x y x y +=+. 23.（1）解：当3x ≥时，()42f x =-<成立；当13x -<<时，()31222f x x x x =---=-<，∴03x <<； 当1x ≤-时，()42f x =>，不成立. 综上，(0,)M =+∞.- 11 - （2）证明：根据题意，得log 0a b >，∴11a b >⎧⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩， 要证12222a b a b +--<-成立， 即证144224422a b a b a b a b ++-++-⋅<+-⋅成立，即证144440(*)a b a b +-+--<成立，11144444(14)4(41)a b a b a b b +---+--=-+-1(41)(44)b a -=--， 当11a b >⎧⎨>⎩时，1(41)0b -->，(44)0a -<； 当0101a b <<⎧⎨<<⎩时，1(41)0b --<，(44)0a ->， 故1(41)(44)0b a ---<，所以(*)式成立.。