统计学原理

统计学原理直播课堂（二）2003年5月19日主持/主讲中央广播电视大学熊应进主持人：各位老师，各位同学，大家好！这里是中央广播电视大学电视直播课堂，欢迎大家收看。

今天直播课的内容是统计学原理学习辅导，今天这节直播课就由我来为同学们作辅导并回答同学们的问题。

参加学习这门课程的同学很多，在学习过程中会有各种各样的问题，我们也希望能和同学们有直接的交流，途径有：通过网上BBS留言，电子邮件等，我们今天的直播课堂也是我们师生交流、教学互动的一种很好的方式。

这学期本课程的直播课堂安排了两次，3月12日我们是第一次辅导，由我和北京电大的刘建萍老师根据教学大纲的要求，把在各章学习中应该注意的问题和重难点给同学们进行了预习。

今天直播课堂的内容将就课程中的有关计算的内容作辅导并讲一些典型的例题。

通过学习同学们都发现，统计学原理有很多计算的内容。

我们按章的顺序来给大家讲讲如何把握计算题的做法。

第三章统计整理第三章统计整理中涉及到计算的内容是统计分组和变量数列的编制。

在正确掌握有关分组的知识的前提下，根据所掌握的资料准确的进行资料分组和数列的编制。

一定要掌握单项式分组和组距式分组的方法。

在编制变量分配数列的时候，对组距式数列要同时会组距、组中值的计算，直接关系到平均指标的计算。

例1：某班40名学生统计学考试成绩分别为：57 89 49 84 86 87 75 73 72 68 75 82 978167 81 54 79 87 95 76 71 60 90 65 7672 7086 85 89 89 64 57 83 81 78 87 72 61学校规定：60分以下为不及格，60─70分为及格，70─80分为中，80─90分为良，90─100分为优。

要求：（1）将该班学生分为不及格、及格、中、良、优五组,编制一张次数分配表。

（2）指出分组标志及类型；分组方法的类型；分析该班学生考试情况。

解；（2）分组标志为“成绩”，其类型是数量标志。

分组方法是变量分组中的组距分组，而且是开口式分组。

该班学生的考试成绩的分布呈两头小，中间大的“正态分布”形态。

第四章综合指标一、相对指标的计算常见的有结构相对指标、比例相对指标及计划完成程度相对指标的计算。

其中有变化的是计划完成程度相对指标的计算。

注意两种情况下即以绝对数和相对数形式出现的计算，一般来说没有什么困难。

二、平均指标的计算简单算术平均数、加权算术平均数、加权调和平均数，根据资料进行正确的计算。

1、从所掌握资料的情况来看：简单算术平均数没有经过分组的资料；加权算术平均数分组资料（单项式分组或组距式分组）加权调和平均数2、选择恰当的公式进行计算：简单算术平均数用简单公式；如果是分组数据则有两种情况：加权算术平均数，有两种计算形式，这时就要根据权数的表现形式进行选择了。

同时在加权算术平均数的计算中还存在当有两个次数存在时选那个做权数的问题。

加权调和平均数是平均数的另一种表现形式，他和加权算术平均数的不同只是计算时使用了不同的数据。

也就是说无论是加权算术还是加权调和，都在平均数计算的基本含义的基础上进行，二者采用的不同数据。

比如计算平均单位成本，应该是总成本除以总产量总成本平均单位成本=总产量如果已知的资料是分子，总成本，应该用加权调和平均数，如果是分母总产量，则应该用加权算术平均数。

下面我们用例题来说明。

例3试计算该公司1999年甲种自行车的平均单位成本。

解：根据上面讲的内容来看，分析本题的资料，是分组数列，应该是用加权算术或加权调和来计算，再进一步分析，已知的是产量，需要通过计算找出总成本，然后进行平均单位成本的计算，另外还有权数选择问题，题目中有两个次数，企业数和各组产量占总产量的比重（%），根据我们以前讲的权数的选择依据来看，应该以各组产量占总产量的比重（%）为权数，同时权数是以比重的形式出现的，所以最后定下来是加权算术的第二种计算公式。

平均单位成本 22515.025045.023040.0210=⨯+⨯+⨯=∑⋅∑=ffx x （元/辆） 例4、某公司50个企业，生产同种产品，某月对产品质量进行调查，得资料如下：要求：计算该产品的平均合格率。

该产品的平均合格率%14.8514000011920095.03420085.05950075.025500342002950025500==++++=∑∑=x m m x三、标志变异指标的计算变异指标中最常见的是标准差和标准差系数的计算，没有选择公式的问题，主要是明白为什么计算和计算结果说明什么问题。

标准差反映了所有变量值与平均数的平均差异，而标准差系数是标准差与其相应的均值之比，可以消除数据水平高低和计量单位的影响，如果题目里问到谁的平均水平更有代表性或谁更具有推广价值一类的问题，那一定是需要计算标准差和标准差系数并用标准差系数的大小来进行最后的判定。

计算对我们同学来说是没有什么问题的，可见教材和指导书里的例题。

第五章 抽样推断抽样推断中有关计算的内容最后集中在根据具体资料对总体参数（总体平均数和总体成数）进行区间估计（给定抽样误差范围，求概率保证程度；给定置信度要求，推算抽样极限误差的可能范围）的方法上。

在进行本章的计算时，首先要对抽样平均误差、抽样极限误差、概率度的概念和计算方法要清楚，然后是有关区间估计的概念、方法。

一般来说抽样推断的计算题都遵循这样的步骤：1、确定样本指标 样本指标有在题目资料里直接给出来，有的要通过自己计算。

尤其是样本成数，一般都是自己计算。

2、计算抽样误差 有两种抽样方法，重复和不重复，所以抽样平均误差有两个公式，还要分清是平均数还是成数。

3、根据给定的概率置信度找出概率度，如概率置信度为95。

45%，概率度T 为24、根据前面计算的抽样平均误差和概率度计算抽样极限误差。

然后再利用样本指标求出要估计的总体指标的上、下限，5、根据给出的概率保证程度进行总体指标的区间估计。

在进行计算的时候，如果只是涉及到本章的内容，同学们一般没什么问题。

但有时也同时涉及到课程内容中的其他章节的内容，这时就要把前后的知识融会贯通，如变量数列的编制、平均指标的计算等。

下面看看例题：例5：某单位按简单随机重复抽样方式抽取40名职工，对其业务情况进行考核，考核成绩资料如下：68 89 88 84 86 87 75 73 72 68 75 82 99 58 81 54 79 76 95 76 71 60 91 65 76 72 76 85 89 92 64 57 83 81 78 77 72 61 70 87 要求：（1）根据上述资料按成绩分成以下几组：60分以下，60－70分，70－80分，80－90分，90－100分，并根据分组整理成变量分配数列;（2）根据整理后的变量数列，以95.45%的概率保证程度推断全体职工业务考试成绩的区间范围;（3）若其它条件不变，将允许误差范围缩小一半，应抽取多少名职工？解：这道题就可以说是一道综合题目，它同时要用到第三、四及本章的所学内容。

（1）根据抽样结果和要求整理成如下分布数列：40名职工考试成绩分布（第三章分组和变量数列的编制） 考试成绩（分） 职工人数（人） 比重（%） 60以下 3 7.5 60－70 6 15 70－80 15 37.5 80－90 12 30 90－100 4 10 合 计 40 100 （2）根据次数分配数列计算样本平均数和标准差（第四章加权算术平均数的计算） )(774095485127515656553分=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==∑∑fxfx34.367.1267.14054.10(54.10404440)(2=⨯==∆=====-=∑∑x x x t n ffx x μσμσ分）全体职工考试成绩区间范围是： 下限=分）(66.7334.377=-=∆-x x上限=（分）3.8034.377=+=∆+x x 即全体职工考试成绩区间范围在73.66—80.3分之间。

（3）159)234.3(54.10222222≈⨯=∆=xt n σ（人）再看另外一题：例6、外贸公司出口一种茶叶，规定每包毛重不低于100克，现用不重复抽样的方法抽取其中的1%进行检验，其结果如下：试以99.73%（t=3）的概率保证估计这批茶叶合格率范围。

解：第七章 相关分析本章的计算主要是相关系数的计算方法和应用；一元线性回归方程的建立和利用回归方程进行预测。

公式的变化不大，记住相应的公式就可以了。

但有两点注意： 1、相关系数计算可以用简化公式，重要的是要知道为什么计算及计算结果说明什么问题； 2、建立直线回归方程要知道方程中的两个参数的含义，尤其是回归系数所代表的含义。

例7、根据5位同学西方经济学的学习时间与成绩分数计算出如下资料: n=5 ∑x =40 ∑y =310 ∑x 2=370 ∑y 2=20700 ∑xy =2740试: (1)编制以学习时间为自变量的直线回归方程；(2)计算学习时间和学习成绩之间的相关系数,并解释相关的密切程度和方向。

解:（1）设直线回归方程为y c =a+bx22)(11∑∑∑∑∑-⋅-=x n x y x n xy b 20.54051370310405127402=⨯-⨯⨯-= x b y a -= 40.20405120.531051=⨯⨯-⨯=则学习时间和学习成绩之间的直线回归方程为y c =20.40+5.20x（2）学习时间与学习成绩之间的相关系数:之间装合格率在的概率保证这批茶叶包可以以即抽样平均误差样本合格率%7.83~%3.56%73.99%7.83~%3.56137.07.0137.00456.030456.0%)11(100)7.01(7.0)1()1(%70100701±=∆±=⨯==∆=--=--====p p p p p t N n n p p n n p μμ2222)(1)(11∑∑∑∑∑∑∑-⋅-⋅-=y ny x n x y x nxy r223105120700405137031040512740⨯-⋅⨯-⨯⨯-==0.96说明学习时间x 和成绩y 之间存在着高度正相关 关系。

例8、从某行业随机抽取６家企业进行调查，所得有关数据如下：企业编号 产品销售额（万元） 销售利润（万元） １ ５０ １２ ２ １５ ４ ３ ２５ ６ ４ ３７ ８ ５ ４８ １５ ６ ６５ ２５要求：（１）拟合销售利润（ｙ）对产品销售额（ｘ）的回归直线，并说明回归系数的实际意义。

（２）当销售额为１００万元时，销售利润为多少？ 解：（１）配合回归方程 ｙ＝ａ＋ｂｘ∑∑∑∑∑--=22)(x x n y x xy n b =3950.0)240(11248670240345162=-⨯⨯-⨯ x b y a -==1343.462403950.0670-=⨯- 回归方程为：ｙ＝－４.１３４３＋０.３９５０ｘ回归系数ｂ＝0.3950，表示产品销售额每增加１万元，销售利润平均增加0.3950万元。