管理统计学概率和分布
统计学第3章-概率、概率分布与抽样分布
互斥事件及其概率
(例题分析)
解：由于每一枚硬币出现正面或出现反面的概率 都是1/2，当抛掷的次数逐渐增大时，上面的4个 简单事件中每一事件发生的相对频数 (概率)将近 似等于 1/4 。因为仅当 H1T2 或 T1H2 发生时，才会 恰好有一枚硬币朝上的事件发生，而事件 H1T2 或 T1H2 又为互斥事件，两个事件中一个事件发 生或者另一个事件发生的概率便是 1/2(1/4+1/4) 。 因此，抛掷两枚硬币，恰好有一枚出现正面的概 率等于 H1T2 或 T1H2 发生的概率，也就是两种事 件中每个事件发生的概率之和
解：设 A = 某住户订阅了日报 B = 某个订阅了日报的住户订阅了晚报
依题意有：P(A)=0.75；P(B|A)=0.50
P(AB)=P(A)·P(B|A)=0.75×0.5=0.375
3－31
独立事件与乘法公式
(例题分析)
【例】从一个装有3个红球2个白球的盒子里摸球 (摸出后球不放回)，求连续两次摸中红球的概率
3－17
互斥事件的加法规则
(例题分析)
【例】抛掷一颗骰子，并考察其结果。求出其点 数为1点或2点或3点或4点或5点或6点的概率
解：掷一颗骰子出现的点数(1，2，3，4，5，6)共有
6个互斥事件，而且每个事件出现的概率都为1/6 根据互斥事件的加法规则，得
P(1或2或3或4或5或6) P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6) 1 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6
合计
从这200个配件中任取一个进行检查，求 (1) 取出的一个为正品的概率 (2) 取出的一个为供应商甲的配件的概率 (3) 取出一个为供应商甲的正品的概率 (4) 已知取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率
概率与统计中的正态分布
概率与统计中的正态分布正态分布是概率与统计学中最为重要的概率分布之一，也被称为高斯分布。
它在自然界和人类社会中广泛存在，被用于描述各种现象的分布规律，从而对数据进行分析和预测。
本文将详细介绍正态分布的定义、性质以及应用。
一、正态分布的定义和性质正态分布是一种连续型的概率分布，可以通过其概率密度函数来描述。
这个函数的图像呈现出钟形曲线，其形状对称轴对称，且在均值处达到最大值。
正态分布的概率密度函数可由以下公式表示：f(x) = 1 / (σ√(2π)) * e^(-((x-μ)^2) / (2σ^2))其中，μ表示均值，σ表示标准差，e表示自然对数的底数。
正态分布具有以下重要的性质：1. 对称性：正态分布的概率密度函数相对于均值呈现对称性，即左右两侧的曲线形状相同。
2. 峰度：正态分布的峰度为3，表示其曲线相较于正态分布的峰度更加平坦。
3. 标准正态分布：当均值μ为0，标准差σ为1时，所得的正态分布称为标准正态分布。
标准正态分布在统计学中具有重要的作用，经过适当的转换，可以将任何正态分布转化为标准正态分布。
二、正态分布的应用正态分布在自然科学、社会科学和工程技术等领域具有广泛的应用。
下面将介绍其中几个典型的应用。
1. 统计推断：由于正态分布具有丰富的性质和可靠的统计特征，在统计学中得到了广泛应用。
通过对观测数据的分析，可以利用正态分布进行参数估计和假设检验，从而得到关于总体的推断结果。
2. 质量控制：正态分布在质量控制中有着重要的应用。
例如，在生产过程中，通过对产品质量数据的测量和分析，可以使用正态分布来确定产品是否合格以及如何调整生产过程，以确保产品符合规定的质量标准。
3. 金融市场：正态分布在金融领域中的应用广泛而重要。
许多金融市场价格变动的模型都基于正态分布。
例如，根据正态分布模型，可以计算股票价格的变动概率，评估投资风险，并进行资产配置和风险管理。
4. 人口统计学：正态分布在人口统计学中的应用主要用于研究人口特征和人口变化规律。
《管理统计学》课件
本课件介绍了《管理统计学》的课程内容。通过数据整理、图表绘制、假设 检验等学习统计学在管理中的应用，帮助学生提升决策能力和数据分析技巧。
课程介绍
1 课程目标
学习如何应用统计学方法进行数据分析和决策。
2 课程大纲
包括数据整理与图表绘制、描述统计学、概率与概率分布等内容。
数据整理与图表绘制
概率与概率分布
概率的概念及其计算
学习概率的基本概念和计算方法。
离散型随机变量及其概率分布
了解离散型随机变量及其概率分布的特点。
连续型随机变量及其概率分布
掌握连续型随机变量及其概率分布的应用。
假设检验
1
假设检验的概念与原理
了解假设检验的基本概念和原理。
2
单样本均值检验
学会使用单样本均值检验进行假设检验。
3
两样本均值差检验
ห้องสมุดไป่ตู้
掌握使用两样本均值差检验进行假设检验。
回归与相关分析
简单线性回归分析
学习如何进行简单线性回归分 析。
多元线性回归分析
了解多元线性回归分析的应用。
相关分析
掌握如何进行相关分析以评估 变量之间的关系。
质量管理统计方法
1
极差图与控制图的制作
2
了解如何制作极差图和控制图来评估过
程的稳定性。
总结与展望
课程主要内容回顾
回顾课程的主要内容和学到的知识点。
管理统计学的前景展望
展望管理统计学在未来的应用和发展。
1
数据的收集和整理
了解如何收集和整理数据以进行分析。
2
填充空缺数据的方法
学习如何处理数据中的缺失值。
3
用Excel制作图表
统计学中的随机变量与概率分布
统计学中的随机变量与概率分布统计学是一门研究如何收集、处理、分析、解释、推断数据的学科，其中随机变量和概率分布是其中非常重要的概念。
一、随机变量随机变量是指一个试验所涉及的结果是随机的，但是这些结果可以用数值来表示。
比如，掷一枚硬币的结果可能是正面或者反面。
这个试验中，随机变量可能表示为X，如果正面朝上，就表示为X=1；如果反面朝上，就表示为X=0。
有两种类型的随机变量：离散随机犹豫和连续随机变量。
离散随机变量是指可能的结果是一个有限或者无限的集合，比如抛硬币的结果只能是正反两面。
概率分布列可以用来描述离散随机变量的概率分布。
连续随机变量是指可能的结果是一个无限但是连续的集合，比如一个人的体重或者收入。
概率密度函数可以用来描述连续随机变量的概率分布。
二、概率分布概率分布是随机变量的所有可能结果的概率分布，它们的总和为1。
概率分布的形式取决于随机变量的类型。
1. 离散随机变量的概率分布离散随机变量的概率分布可以用概率分布列来描述，即用一个数组来表示不同结果的概率。
例如，在抛掷一枚硬币的情况下，概率分布列可以表示如下：X 0 1P(X) 0.5 0.5其中，X是随机变量，0和1是离散随机变量的结果。
概率分布列表示X=0的概率为0.5，X=1的概率为0.5。
2. 连续随机变量的概率分布连续随机变量的概率分布不能用概率分布列来描述，因为连续随机变量的结果无限多，概率为0。
因此，使用概率密度函数。
概率密度函数描述了一个连续随机变量在某一点的概率密度，即该点附近可能出现的概率大小。
因此，概率密度函数只能表达相对概率，不能直接得到概率。
对于一个连续随机变量X，概率密度函数为f(x)，则概率计算可以使用积分来计算，如下所示：P(a <= X <= b) = ∫[a, b]f(x)dx其中，a和b是X的两个不同值，∫[a, b]表示从a到b的积分。
统计学中常用的连续随机变量概率分布包括正态分布、t分布和F分布等。
概率与统计学中的基本概念和分布
概率与统计学中的基本概念和分布概率与统计学是一门研究随机现象的学科，它涉及到许多基本概念和分布。
本文将介绍概率与统计学中的一些基本概念和常见的分布。
一、概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数值。
在概率论中，有三种常用的概率定义：古典概率、几何概率和统计概率。
古典概率是指在一个试验中，所有可能结果的数量是确定的，且它们是等可能发生的情况下，某个事件发生的概率。
例如，抛硬币的结果只有两种可能，正面和反面，它们的概率都是1/2。
几何概率是指通过实验或观察来确定一个事件发生的概率。
例如，投掷一个骰子，出现一个特定的数字的概率为1/6。
统计概率是根据大量实验或观察数据计算得出的概率。
例如，根据历史数据统计，某个城市明天下雨的概率为30%。
二、随机变量与概率分布随机变量是指在随机试验中可能出现的结果。
随机变量可以分为离散型和连续型两种。
离散型随机变量只能取有限个或可列个值，例如掷硬币的结果只有正面和反面两种可能，这是一个离散型随机变量。
连续型随机变量可以取任意实数值，例如测量一个人的身高，它可以是任意的实数值，这是一个连续型随机变量。
概率分布是随机变量取各个值的概率。
在概率论中，有许多常见的概率分布，包括均匀分布、正态分布、泊松分布等。
三、常见的概率分布1. 均匀分布均匀分布是指在一个区间内，各个取值的概率相等。
例如，在一个骰子的试验中，每个数字出现的概率都是1/6，这是一个均匀分布。
2. 正态分布正态分布，又称为高斯分布，是自然界中许多随机现象的分布模型。
正态分布的特点是呈钟形曲线，均值和标准差决定了曲线的位置和形状。
例如，人的身高和体重通常符合正态分布。
3. 泊松分布泊松分布是描述单位时间或单位空间内某个事件发生次数的概率分布。
它适用于描述独立事件在给定时间或空间内发生的概率。
例如，某个地区每天发生的交通事故数量就可以使用泊松分布进行建模。
四、概率与统计学的应用概率与统计学在各个领域都有广泛的应用。
概率与统计中的正态分布与标准化
概率与统计中的正态分布与标准化正态分布（Normal distribution）是概率论与统计学中一种重要的连续概率分布，也被称为高斯分布（Gaussian distribution）。
正态分布在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
本文将介绍正态分布的特点、标准化以及相关应用。
一、正态分布的特点正态分布的概率密度函数是一个钟形曲线，其特点包括：1. 对称性：正态分布的曲线关于均值对称，即均值左右对称。
2. 唯一性：正态分布由两个参数决定，即均值和标准差。
3. 正态性：大部分实际数据可以近似看作是正态分布，例如身高、体重等。
二、标准化标准化是指将正态分布的随机变量转化为标准正态分布的随机变量的过程。
标准正态分布是均值为0，标准差为1的正态分布。
标准化的步骤为：1. 假设有一个服从正态分布的随机变量X，其均值为μ，标准差为σ。
2. 标准化公式为Z = (X - μ) / σ，其中Z为标准化后的变量。
标准化后的变量Z可以用来计算正态分布中某个随机变量落入某个区间的概率，而不需要知道具体的正态分布的均值和标准差。
三、正态分布的应用正态分布在各个领域都有广泛的应用，以下是其中几个常见的应用：1. 统计推断：利用正态分布的特性，可以进行假设检验、置信区间估计等统计推断分析，从而帮助研究人员做出科学的决策。
2. 风险分析：正态分布可以用来分析金融市场的风险，帮助投资者做出风险管理和资产配置的决策。
3. 质量控制：正态分布可以应用于质量控制中，通过控制图等方法，对生产过程中的差异进行监控和控制。
4. 教育评估：正态分布可以用来评估学生的智力、能力等指标，帮助教师进行个体化的教育和辅导。
5. 自然科学研究：正态分布在物理、化学、生物等自然科学研究中有着广泛的应用，从而揭示事物的规律和特性。
综上所述，正态分布是概率与统计学中的重要内容，通过对正态分布的了解和应用，可以为实际问题提供科学的分析和解决方案。
标准化是利用正态分布特性的一种方法，可以简化计算和分析过程。
第五章概率与概率分布
P( A)
事件A发生的次数m 重复试验次数n
m n
英语字母出现频率
space 0.2 ; I 0.055 ; C 0.023 ; G 0.011 ; Q 0.001 ; E R U B Z 0.105 ; T 0.072 ; 0.054 ; S 0.052 ; 0.0225 ; M 0.021 ; 0.0105 ; V 0.008 ; 0.001 O H P K 0.0654 ; 0.047 ; 0.0175 ; 0.003 ; A D Y X 0.063 ; 0.035 ; 0.012 ; 0.002 ; N 0.059 L 0.029 W 0.012 J 0.001
一、概率(Probability)的定义
概率：0-1之间的数，衡量事件A发生可能 性（机会）的数值度量。记P（A） •Probability: A value between 0 and 1, inclusive, describing the relative possibility (chance or likelihood) an event will occur.
P ( A) A包 含 的 可 能 结 果 (偶 数 ) 全部可能结果 3 6
实际与理论分析不符时，实际中可能作弊。
如：河北银行人员为买奖券，盗2000万并没中大奖。
西安彩票中心人员中奖率极高,结果是作弊。
例：已知有148名学生统计表
专业
性别
男 女
金融学院 工商学院 经济学院 会计学院 15 15 22 14 30 12 25 15
摘自：概率论与数理统计简明教程1988》李贤平 卞国瑞 立鹏，高等教育出版社
吴
大量统计的结果,用于破解密码
美国正常人血型分布
概率与统计中的随机变量和概率分布的应用
概率与统计中的随机变量和概率分布的应用在概率与统计学中，随机变量与概率分布是两个重要的概念，它们在实际应用中起着至关重要的作用。
本文将探讨随机变量和概率分布在概率与统计学中的应用。
一、随机变量的概念及应用随机变量是概率论中的重要概念，它用于描述随机试验的结果。
随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量是指只能取有限个或可数个值的随机变量，比如掷骰子的点数、抛硬币的正反面等。
离散随机变量可以通过概率质量函数来描述其概率分布，该概率分布可以用于计算随机变量的期望、方差等统计量。
离散随机变量在实际应用中常用于描述离散的事件，如人口统计学中的男女比例、产品缺陷率等。
连续随机变量是指可以取任意实数值的随机变量，比如身高、体重等。
连续随机变量可以通过概率密度函数来描述其概率分布，该概率分布可以用于计算随机变量的期望、方差等统计量。
连续随机变量在实际应用中常用于描述连续的事件，如物理实验中的测量误差、金融领域中的股票价格等。
随机变量在概率与统计学中有着广泛的应用。
通过对随机变量的分析和建模，可以提取出潜在的规律和特征，进而做出合理的预测和决策。
例如，在金融领域中，通过对股票价格的随机变量建模，可以预测未来的股票价格走势，从而指导投资决策。
在医学领域中，通过对某种疾病的患病率随机变量建模，可以计算出患病风险，并采取相应的防控措施。
二、概率分布的概念及应用概率分布是指随机变量取各个值的概率。
概率分布可以分为离散概率分布和连续概率分布。
离散概率分布是指随机变量为离散型的概率分布，比如二项分布、泊松分布等。
离散概率分布可以通过概率质量函数来描述，该函数可以计算随机变量取各个值的概率。
离散概率分布在实际应用中常用于描述离散事件的发生概率。
例如，二项分布可以用于描述在多次独立的伯努利试验中成功次数的概率分布，泊松分布可以用于描述单位时间内某事件发生次数的概率分布。
连续概率分布是指随机变量为连续型的概率分布，比如正态分布、指数分布等。
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§4.1 得到概率的几种途径
• 3． 主观概率 • 一些概率既不能由等可能性来计算， 也不可能从试验得出。比如，你今年 想学开车概率、你五年内去欧洲旅游 的概率等 • 这 种 概 率 称 为 主 观 概 率 (subjective probability)。 • 可以说，主观概率是一次事件的概率。 或为基于所掌握的信息，某人对某事 件发生的自信程度。
§4.2 概率的运算 • 如所关心的是两骰子点数之和，则 下表包含了所有36种可能试验结果 的搭配和相应的点数和。
两骰子 点数和 第 二 个 的 点 数 1 2 3 4 5 6 第一个的点数 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12
• 发生概率很小的事件称为 小 概 率 事 件 (small probability event)； • 小概率事件不那么可能发 生，但它往往比很可能发 生的事件更值得研究。 • 在某种意义上，新闻媒体 的主要注意力大都集中在 小概率事件上。
§4.1 得到概率的几种途径
• 1． 利用等可能事件 • 如果一个骰子是公平的 ， 那么掷一次骰子会以等可能 ( 概率 1/6 ， 6 种可能之一 ) 得 到1至6点的中的每一个点。 • 抛一个公平的硬币，则以等 可能(概率1/2)出现正面或反 面。
§4.1 得到概率的几种途径
• 例如，刮发票的中奖密封时，大 多得到“谢谢”。如果你刮了150 张发票，只有3张中奖，你会认为， 你的中奖概率大约是3/150=0.02 • 如果一个学生在200次上课时，无 故旷课10次，那么其旷课的概率 可能被认为接近10/200=0.05
§4.1 得到概率的几种途径
§4.1 得到概率的几种途径
• 再如从 52 张牌中随机抽取一张， 那么它是黑桃的概率为抽取黑桃 的可能（ k ＝ 13 ）和总可能性（ n ＝52）之比，即k/n=13/52=1/4； • 类似地抽到的牌是J、Q、K、A四 种 （ 共 有 16 种 可 能 ） 的 概 率 是 16/52=4/13。
可以看出，如果我们考虑点数和等于2的事件，则仅有一种可能的试验结果（两个骰子均 为一点）；而如果我们考虑点数和等于7的事件，则有六种可能的试验结果。两个骰子点 数之和总共有2至12等11种可能，即有11种可能的事件，而这11种事件相应于上面所说的 36种可能的试验结果的一些集合。这些事件和试验结果的集合归纳在下面表中：
§4.2 概率的运算
• 在掷骰子中，得到6点的概率是1/6， 而得到5点的概率也是1/6。 • 那么掷一次骰子得到5或者6的概率是 多少呢？ • 在掷10次骰子中有一半或以上的次数 得到5或6的概率又是多少呢？ • 读者很快就可能很快会得到答案。但 再复杂一些，也许就不简单了。
§4.2 概率的运算
§4.2 概率的运算: 1.互补事件的概率 • 按照集合的记号，如果一个事件记 为A，那么另一个记为AC（称为A的 余集或补集）。 • 显然互补事件的概率之和为1，即 P(A)+P(AC)=1 ， 或 者 P(AC) ＝ 1 － P(A)。 • 在西方赌博时常常爱用优势或赔率 （odds）来形容输赢的可能。 • 它是互补事件概率之比，即 P(A)/P(AC)＝P(A)/[1-P(A)]来表示。
集合中元素 的个数 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
事件的 概率 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/26 1/36
§4.2 概率的运算: 1.互补事件的概率
• 如果今天下雨的概率是 10 ％，则 今天不下雨的概率就是90％。 • 如果你中奖的概率是0.0001，那么 不 中 奖 的 概 率 就 是 1 － 0.0001=0.9999。 • 这种如果一个不出现，则另一个 肯定出现的两个事件称为互补事 件（complementary events，或者 互余事件或对立事件）。
事件： 两骰子点数和 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
集合： 相应的试验结果（两个数字分别 表示第一和第二个骰子的点数） (1,1) (1,2) (2,1) (1,3) (2,2) (3,1) (1,4) (2,3) (3,2) (4,1) (1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1) (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) (2,6) (3,5) (4,4) (5,3) (6,2) (3,6) (4,5) (5,4) (6,3) (4,6) (5,5) (6,4) (5,6) (6,5) (6,6)
• 我们需要了解怎样从简单的情况计算 稍微复杂情况时的概率。 • 需要读者回忆一下上中学时学过的集 合概念，比如两个集合的交和并，互 余（互补）等概念。 • 在概率论中所说的事件（event）相 当于集合论中的集合（set）。而概 率则是事件的某种函数。 • 为什么会这么说呢，让我们看掷两个 骰子的试验。
§4.1 得到概率的几种途径
• 其实即使没有学过概率，读者 也多半能够算出这些概率。 • 计算这些概率的基础就是事先 知道（或者假设）某些事件是 等可能的。这种事件为等可能 事件(equally likely event)。
§4.1 得到概率的几种途径
• 2． 根据长期相对频数 • 事件并不一定是等可能的，或者人们 对于其出现的可能性一无所知。 • 这时就要靠观察它在大量重复试验中 出现的频率来估计它出现的概率。 • 它约等于事件出现的频数k除以重复 试验的次数n，该比值k/n称为相对频 数（relative frequency）或频率。
统计学
─从数据到结论
第四章 机会的度量： 概率和分布
• 概率是0ห้องสมุดไป่ตู้1之间的一个数目，表示某 个事件发生的可能性或经常程度。 • 你买彩票中大奖的机会很小(接近0) • 但有人中大奖的概率几乎为1 • 你被流星击中的概率很小(接近0) • 但每分钟有流星击中地球的概率为1 • 你今天被汽车撞上的概率几乎是0 • 但在北京每天发生车祸的概率是1。