2014年中考数学解析版试卷分类汇编专题28：弧长与扇形面积
全国各地中考数学真题分类解析汇编弧长与扇形面积
弧长与扇形面积一、选择题1. （ 2014珠海，第4 题 3 分）已知圆柱体的底面半径为3cm，髙为 4cm，则圆柱体的侧面积为（）[ 根源: A．242222πcm．．．B 36πcmC 12cmD 24cmZXXK][ 来源:Z 。
xx。
]考点：圆柱的计算．剖析：圆柱的侧面积 =底面周长×高，把相应数值代入即可求解．解答：解：圆柱的侧面积=2π×3×4=24 π．应选 A．评论：本题考察了圆柱的计算，解题的重点是弄清圆柱的侧面积的计算方法．2.（ 2014 广西贺州，第 11 题 3 分）如图，以AB为直径的⊙O与弦CD订交于点E，且AC=2，AE=，CE=1．则弧BD的长是（）[ 来源:学.科.网考点：垂径定理；勾股定理；勾股定理的逆定理；弧长的计算．剖析：连结OC，先依据勾股定理判断出△ ACE的形状，再由垂径定理得出CE=DE，故=，由锐角三角函数的定义求出∠ A 的度数，故可得出∠BOC的度数，求出 OC的长，再根据弧长公式即可得出结论．解答：解：连结，OC∵△ ACE中， AC=2， AE=， CE=1，∴2+2=2，AE CE AC∴△ ACE是直角三角形，即AE⊥ CD，∵ sinA ==，∴∠ =30°，A∴∠ COE=60°，∴=sin∠COE，即 =，解得 OC=，∵AE⊥CD，∴ = ，∴= ==．应选 B．评论：本题考察的是垂径定理，波及到直角三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中．3．(2014 年四川资阳，第 9 题 3 分 ) 如图，扇形AOB中，半径OA=2，∠AOB=120°，C是的中点，连结AC、 BC，则图中暗影部分面积是（）A．﹣2B．﹣2C．﹣D．﹣考点：扇形面积的计算．剖析：连结 OC，分别求出△ AOC、△ BOC、扇形 AOC，扇形 BOC的面积，即可求出答案．解答：解：连结 OC，∵∠ AOB=120°， C为弧 AB中点，∴∠ AOC=∠ BOC=60°，∵OA=OC=OB=2，∴△ AOC、△ BOC是等边三角形，∴AC=BC=OA=2，∴△AOC的边AC上的高是=，△BOC 边BC上的高为，∴暗影部分的面积是应选 A．评论：本题考察了扇形的面积，﹣×2×+三角形的面积，﹣×2×=π﹣2，等边三角形的性质和判断，圆周角定理的应用，解本题的重点是能求出各个部分的面积，题目比较好，难度适中．[根源:学,科,网Z,X,X,K]4．（ 2014 年云南省，第 7 题 3 分）已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为（）A、B． 2πC． 3πD． 12π考点：弧长的计算剖析：依据弧长公式 l =，代入相应数值进行计算即可．解答：解：依据弧长公式：l ==3 ，π应选： C．评论：本题主要考察了弧长计算，重点是掌握弧长公式l =．5．（ 2014 舟山，第8 题 3 分）一个圆锥的侧面睁开图是半径为 6 的半圆，则这个圆锥的底面半径为（）A． [ 根源 :Z+xx+]B．2C．D． 3考点：圆锥的计算．剖析：半径为 6 的半圆的弧长是6π，圆锥的底面周长等于侧面睁开图的扇形弧长，因此圆锥的底面周长是6π，而后利用弧长公式计算．解答：解：设圆锥的底面半径是r ，则获得 2πr=6π，解得： r =3，这个圆锥的底面半径是3．应选 D．评论：本题综合考察有关扇形和圆锥的有关计算．解题思路：解决此类问题时重要紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面睁开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面睁开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的重点．6. （2014 襄阳，第 11 题 3 分）用一个圆心角为120°，半径为 3 的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（）A．B．1C．D．2考点：圆锥的计算剖析：易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．解答：解：扇形的弧长==2π，故圆锥的底面半径为2π÷2π=1．应选 B．评论：考察了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．7．（ 2014 四川自贡，第8 题 4 分）一个扇形的半径为8cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为（）A． 60° [ 根源 : 学。
辅导讲义：弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积
辅导：弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积一、弧长和扇形的面积：『活动一』因为360°的圆心角所对弧长就是圆周长C =2πR ，所以1°的圆心角所对的弧长是 .这样，在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l = . 『活动二』类比弧长的计算公式可知：在半径为R 的圆中，圆心角为n °的扇形面积的计算公式为：S = . 『活动三』扇形面积的另一个计算公式比较扇形面积计算公式与弧长计算公式，可以发现：可以将扇形面积的计算公式：S =360nπR 2化为S =180R n ·21R ，从面可得扇形面积的另一计算公式：S = . 二、圆锥的侧面积和全面积：1．圆锥的基本概念： 的线段SA 、SA 1……叫做圆锥的母线，的线段叫做圆锥的高．2.圆锥中的各元素与它的侧面展开图——扇形的各元素之间的关系：将圆锥的侧面沿母线l 剪开，展开成平面图形，可以得到一个扇形，设圆锥的底面半径为r ，这个扇形的半径等于 ，扇形弧长等于 ． 3．圆锥侧面积计算公式圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长， 这样，S 圆锥侧=S 扇形=21·2πr · l = πrl 4．圆锥全面积计算公式S 圆锥全=S 圆锥侧＋S 圆锥底面= πr l ＋πr 2=πr （l ＋r ）三、例题讲解：例1、（2011•德州，11，4分）母线长为2，底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为 ． 例2、（2011年山东省东营市，21，9分）如图，已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠BAD =120°，四边形ABCD 的周长为15．A1（1）求此圆的半径；（2）求图中阴影部分的面积．例3、（2010广东，14，6分）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（－4，0），⊙P 的半径为2，将⊙P 沿x 轴向右平移4个单位长度得⊙P 1． （1）画出⊙P 1，并直接判断⊙P 与⊙P 1的位置关系；（2）设⊙P 1与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，求劣弧AB 与弦AB 围成的图形的面积（结果保留π）．y x－3 O 12312 3 －3－2 －1－1 －2 －4 －5 －6A BCDEF（第3题）O四、同步练习：1、（2012北海,11，3分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为： （ ）A ．10πB ．10C ．10πD ．π2、（2012北海,12，3分）如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，则⊙O 自转了：（ ）A ．2周B ．3周C ．4周D ．5周3、（2012湖北咸宁，7，3分）如图，⊙O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）．A ．-3π2B ．-32π3C ．-32π2D ．-322π34、（2012四川内江，8，3分）如图2，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝23，则阴影部分图形的面积为（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π35、（2012·湖南省张家界市·14题·3分）已知圆锥的底面直径和母线长都是１０cm ，则圆锥的侧面积为________.6、（2012·哈尔滨，题号16分值 3）一个圆锥的母线长为4，侧面积为8π，则这个圆锥的底面圆的半径是 ．ABD CO图2ABC 第1题图A OD第2题图 第9题第11题7、（2012江苏省淮安市，17，3分）若圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则此圆锥的侧面积为 cm 2．8、（2012四川达州，11，3分）已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面积是 .（不取近似值）9、（2012年广西玉林市，16，3）如图，矩形OABC 内接于扇形MON ，当CN =CO 时，∠NMB10、(2012广安中考试题第15题，3分)如图6，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC =3，∠ACB =90o，∠A =30o，若△RtABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线上l 时，点A 所经过的路线的长为________________（结果用含л的式子表示）．11、（2011•丹东，14，3分）如图，将半径为3cm 的圆形纸片剪掉三分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ．12、（2012贵州贵阳，23，10分）如图，在⊙O 中，直径AB =2，CA 切⊙O 于A ，BC 交⊙O 于D ，若∠C =45°，则（1）BD 的长是 ；（5分） （2）求阴影部分的面积. （5分）第12题图AC13、（2012浙江省义乌市，20，8分）如图,已知AB 是⊙O 的直径,点C 、D 在⊙O 上,点E 在⊙O 外,∠EAC =∠D =60°. （1）求∠ABC 的度数； （2）求证：AE 是⊙O 的切线； （3）当BC =4时，求劣弧AC 的长.14、（2012年吉林省，第23题、7分．）如图，在扇形OAB 中，∠AOB =90°，半径OA =6．将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠．点O 恰好落在弧AB 上点D 处，折痕交OA 于点C ，求整个阴影部分的周长和面积．O BCDE15、（2011甘肃兰州，25，9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C.（1）请完成如下操作：①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD.（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①写出点的坐标：C、D；②⊙D的半径= （结果保留根号）；③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为（结果保留π）；④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由.参考答案例1、考点：圆锥的计算。
中考数学复习考点知识与题型专题讲解28---命题与证明(解析版)
中考数学复习考点知识与题型专题讲解专题28 命题与证明【知识要点】命题的概念：像这样判断一件事情的语句，叫做命题。
命题的形式：“如果…那么…”。
（如果+题设，那么+结论）真命题的概念：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。
假命题的概念：如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。
如何说明一个命题是假命题：只需要举出一个反例即可。
定义、命题、公理和定理之间的关系：这四者都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定理也是命题，不同的是定义、公理和定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判断其它命题真假的依据。
一个命题的正确性需经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
证明的依据：可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实或定理等。
【考查题型】考查题型一判断是否命题及命题真假典例1．（2021·广西贵港市·中考真题）下列命题中真命题是（ ）A 的算术平方根是2B ．数据2，0，3，2，3的方差是65C ．正六边形的内角和为360°D ．对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】B【分析】A.根据算术平方根解题；B.根据方差、平均数的定义解题；C.根据多边形的内角和为180(n 2)︒⨯-解题；D.根据菱形、梯形的性质解题．【详解】A. 2=，2，故A 错误；B. 数据2，0，3，2，3的平均数是20323=25++++，方差是 2222216(22)(02)(32)(22)(32)55⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦，故B 正确； C. 正六边形的内角和为180(62)720︒⨯-=︒，故C 错误；D. 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，可能是梯形，故D 错误，故选：B ．【点睛】本题考查判断真命题，其中涉及算术平方根、方差、多边形内角和、梯形性质、菱形性质等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．变式1-1．（2021·四川雅安市·中考真题）下列四个选项中不是命题的是（ ）A ．对顶角相等B ．过直线外一点作直线的平行线C ．三角形任意两边之和大于第三边D ．如果a b a c ==，，那么b c =【答案】B【分析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可．【详解】解：由题意可知，A 、对顶角相等，故选项是命题；B 、过直线外一点作直线的平行线，是一个动作，故选项不是命题；C 、三角形任意两边之和大于第三边，故选项是命题；D 、如果a b a c ==，，那么b c =，故选项是命题；故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．注意：疑问句与作图语句都不是命题．变式1-2．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是( ) （1）无理数都是无限小数；（2）因式分解()()211ax a a x x -=+-； （3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ；（4）弧长是20cm π，面积是2240cm π的扇形的圆心角是120︒．A ．14B ．12C ．34D ．1 【答案】C分别判断各命题的真假，再利用概率公式求解.【详解】解：（1）无理数都是无限小数，是真命题，（2）因式分解()()211ax a a x x -=+-，是真命题， （3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ，是真命题，（4）设扇形半径为r ，圆心角为n ，∵弧长是20cm π，则180n r π=20π，则3600nr =，∵面积是2240cm π，则2360n r π=240π，则2nr =360×240， 则2360240243600nr r nr ⨯===，则n=3600÷24=150°， 故扇形的圆心角是150︒，是假命题， 则随机抽取一个是真命题的概率是34， 故选C.【点睛】本题考查了命题的真假，概率，扇形的弧长和面积，无理数，因式分解，正方体展开图，知识点较多，难度一般，解题的关键是运用所学知识判断各个命题的真假.变式1-3．（2021·湖北宜昌市·中考真题）能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是（ ）．A ．B ．C ．D ．【分析】先将每个图形补充成三角形，再利用三角形的外角性质逐项判断即得答案．【详解】解：A 、如图1，∠1是锐角，且∠1=αβ+，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；B 、如图2，∠2是锐角，且∠2=αβ+，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；C 、如图3，∠3是钝角，且∠3=αβ+，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题，故本选项符合题意；D 、如图4，∠4是锐角，且∠4=αβ+，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了真假命题、举反例说明一个命题是假命题以及三角形的外角性质等知识，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．变式1-4．（2021·安徽中考真题）已知点,,A B C 在O 上．则下列命题为真命题的是（ ） A ．若半径OB 平分弦AC ．则四边形OABC 是平行四边形B ．若四边形OABC 是平行四边形．则120ABC ∠=︒C ．若120ABC ∠=︒．则弦AC 平分半径OBD ．若弦AC 平分半径OB ．则半径OB 平分弦AC【答案】B【分析】根据圆的有关性质、垂径定理及其推论、特殊平行四边形的判定与性质依次对各项判断即可．【详解】A ．∵半径OB 平分弦AC ，∴OB ⊥AC ，AB=BC ，不能判断四边形OABC 是平行四边形，假命题；B ．∵四边形OABC 是平行四边形,且OA=OC,∴四边形OABC 是菱形，∴OA=AB=OB ，OA ∥BC ，∴△OAB 是等边三角形，∴∠OAB=60º,∴∠ABC=120º,真命题；C ．∵120ABC ∠=︒，∴∠AOC=120º，不能判断出弦AC 平分半径OB ，假命题；D ．只有当弦AC 垂直平分半径OB 时，半径OB 平分弦AC ，所以是假命题，故选：B ．【点睛】本题主要考查命题与证明，涉及垂径定理及其推论、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，解答的关键是会利用所学的知识进行推理证明命题的真假．考查题型二写一个命题的逆命题典例2．（2021·广东广州市·九年级二模）下列命题的逆命题成立的是（）A．全等三角形的对应角相等B．两个角都是45，则这两个角相等C．有两边相等的三角形是等腰三角形D．菱形的对角线互相垂直【答案】C【分析】写出每个命题的逆命题，然后逐一判断逆命题的真假，即可．【详解】A.全等三角形的对应角相等的逆命题是：“对应角相等的三角形是全等三角形”，不成立；B. 两个角都是45，则这两个角相等的逆命题是：“两个角相等，则这两个角都是45°”不成立；C. 有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题是：“等腰三角形有两边相等”，成立D. 菱形的对角线互相垂直的逆命题是：“对角形相互垂直的四边形是菱形”，不成立故选C．【点睛】本题主要考查命题的逆命题，熟练掌握全等三角形的性质，等腰三角形的定义，菱形的性质，是解题的关键．变式2-1．（2021·莆田擢英中学九年级零模）下列命题中，逆命题为真命题的是（）A．对顶角相等B．邻补角互补C．两直线平行，同位角相等D．互余的两个角都小于90°【答案】C【分析】先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假，即可．【详解】A．对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题；B．邻补角互补的逆命题是互补的角是邻补角，逆命题是假命题；C．两直线平行，同位角相等逆命题是同位角相等，两直线平行，逆命题是真命题；D．互余的两个角都小于90°的逆命题是都小于90°的角互余，逆命题是假命题；故选：C．【点睛】本题主要考查逆命题与真假命题，能写出原命题的逆命题是解题的关键．变式2-2．数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a ＞2，那么a2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（）A．两直线平行，同位角相等B．如果|a|＝1，那么a＝1C．全等三角形的对应角相等D．如果x＞y，那么mx＞my【答案】C【分析】分别判断原命题和其逆命题的真假后即可确定正确的选项．【详解】解：A、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；B 、原命题错误，是假命题；逆命题为如果a ＝1，那么|a |＝1，正确，是真命题，不符合题意；C 、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意；D 、当m ＝0时原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：C ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，难度不大． 考查题型三 用反证法证明命题典例3．（2021·河北九年级二模）求证：两直线平行，内错角相等如图1，若//AB CD ，且AB 、CD 被EF 所截，求证：AOF EO D '∠=∠以下是打乱的用反证法证明的过程①如图2，过点O 作直线A B ''，使A OF EO D ''∠=∠，②依据理论依据1，可得//A B CD ''，③假设AOF EO D '∠≠∠，④AOF EO D '∴∠=∠．⑤与理论依据2矛盾，∴假设不成立．证明步骤的正确顺序是（ ）A ．①②③④⑤B ．①③②⑤④C ．③①④②⑤D ．③①②⑤④【答案】D【分析】根据反证法的证明步骤分析即可．【详解】解：假设AOF EO D '∠≠∠，如图2，过点O 作直线A B ''，使A OF EO D ''∠=∠，∴//A B CD ''，这与平行公理“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，∴假设不成立，∴AOF EO D '∠=∠．故选：D【点睛】本题考查了反证法，反证法的证明步骤一般先假设与要求证结的相反的命题，再根据已知条件进行正面，最后得出的结论与已知或数学定理矛盾，从而说明要求证命题正确．变式3-1．（2021·浙江九年级其他模拟）能说明命题“若a ＞b ，则3a ＞2b “为假命题的反例为（ ）A ．a ＝3，b ＝2B ．a ＝﹣2，b ＝﹣3C ．a ＝2，b ＝3D ．a ＝﹣3，b ＝﹣2【答案】B【分析】本题每一项代入题干命题中，不满足题意即为反例．【详解】解：当a ＝﹣2，b ＝﹣3时，﹣2＞﹣3，而3×（﹣2）＝2×（﹣3），即a ＞b 时，3a ＝2b ，∴命题“若a ＞b ，则3a ＞2b ”为假命题，故选：B ．【点睛】本题考查的是假命题的证明，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．变式3-2．（2021·浙江杭州市·八年级其他模拟）用反证法证明“ABC 中，若A B C ∠∠∠>>，则A 60∠>”，第一步应假设()A ．A 60∠=B ．A 60∠<C ．A 60∠≠D ．A 60∠≤【答案】D【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是∠A ＞60°的反面有多种情况，应一一否定．【详解】解：∠A 与60°的大小关系有∠A ＞60°，∠A=60°，∠A ＜60°三种情况，因而∠A ＞60°的反面是∠A≤60°．因此用反证法证明“∠A ＞60°”时，应先假设∠A≤60°．故选：D变式3-3．（2021·河北唐山市·中考模拟）已知：ABC ∆中，AB AC =，求证：90O B ∠<，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴180O A B C ∠+∠+∠>，这与三角形内角和为180O 矛盾,②因此假设不成立．∴90O B ∠<,③假设在ABC ∆中，90O B ∠≥,④由AB AC =，得90O B C ∠=∠≥，即180O B C ∠+∠≥．这四个步骤正确的顺序应是（ ）A ．③④②①B ．③④①②C ．①②③④D ．④③①②【答案】B【分析】根据反证法的证明步骤“假设、合情推理、导出矛盾、结论”进行分析判断即可.【详解】题目中“已知：△ABC 中，AB=AC ，求证：∠B ＜90°”，用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：应该为：(1)假设∠B≥90°，(2)那么，由AB=AC ，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，(3)所以∠A+∠B+∠C ＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，(4)因此假设不成立．∴∠B ＜90°，原题正确顺序为：③④①②，故选B ．【点睛】本题考查反证法的证明步骤，弄清反证法的证明环节是解题的关键.变式3-4．（2021·浙江宁波市·九年级一模）能说明命题“若一次函数经过第一、二象限，则k+b ＞0”是假命题的反例是（ ）A ．y 2x 3=+B ．y 2x 3=-C ．y 3x 2=--D ．y 3x 2=-+【答案】D【分析】利用命题与定理，首先写出假命题进而得出答案．【详解】解：一次函数y=kx+b的图象经过第一、二象限，则k＞0，b＞0或k＜0，b＞0，故选D．【点睛】此题主要考查了反证法的证明举例，训练了学生对举反例法的掌握情况．。
中考题分类汇编-弧长与扇形面积讲解学习
2014年中考题分类汇编-弧长与扇形面积弧长与扇形面积一、选择题1. （2014•浙江杭州，第2题，3分）已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为（）A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．30πcm2考点：圆锥的计算专题：计算题．分析：俯视图为圆的只有圆锥，圆柱，球，根据主视图和左视图都是三角形可得到此几何体为圆锥，那么侧面积=底面周长×母线长÷2．解答：解：∵底面半径为3，高为4，∴圆锥母线长为5，∴侧面积=2πrR÷2=15πcm2．故选B．点评：由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和高是解本题的关键；本题体现了数形结合的数学思想，注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．2. (2014•年山东东营,第5题3分)如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为，则图中弓形的面积为（）A．B．C．D．考点：扇形面积的计算．分析：过A作AD⊥CB，首先计算出BC上的高AD长，再计算出三角形ABC的面积和扇形面积，然后再利用扇形面积减去三角形的面积可得弓形面积．解答：解：过A作AD⊥CB，∵∠CAB=60°，AC=AB，∴△ABC是等边三角形，∵AC=，∴AD=AC•sin60°=×=，∴△ABC 面积：=，∵扇形面积：=，∴弓形的面积为：﹣=，故选：C．点评：此题主要考查了扇形面积的计算，关键是掌握扇形的面积公式：S=．3．（2014•四川泸州，第7题，3分）一个圆锥的底面半径是6cm，其侧面展开图为半圆，则圆锥的母线长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm解答：解：圆锥的母线长=2×π×6×=12cm，故选B．点评：本题考查圆锥的母线长的求法，注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点．4．（2014•四川南充，第9题，3分）如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（）A．B．13πC．25πD．25分析：连接BD，B′D，首先根据勾股定理计算出BD长，再根据弧长计算公式计算出，的长，然后再求和计算出点B在两次旋转过程中经过的路径的长即可．解：连接BD，B′D，∵AB=5，AD=12，∴BD==13，∴==，∵==6π，∴点B在两次旋转过程中经过的路径的长是：+6π=，故选：A．点评：此题主要考查了弧长计算，以及勾股定理的应用，关键是掌握弧长计算公式l=．5．（2014•甘肃兰州,第1题4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C′，则点B转过的路径长为（）A．B．C．D．π考点：旋转的性质；弧长的计算．分析：利用锐角三角函数关系得出BC的长，进而利用旋转的性质得出∠BCB′=60°，再利用弧长公式求出即可．解答：解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，∴cos30°=，∴BC=ABcos30°=2×=，∵将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C′，∴∠BCB′=60°，∴点B转过的路径长为：=π．故选：B．点评：此题主要考查了旋转的性质以及弧长公式应用，得出点B转过的路径形状是解题关键．2.3.4.5.6.7.8.二、填空题1. （2014•四川巴中，第15题3分）若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，则这个圆锥的侧面展开后所得到的扇形的圆心角的度数是．考点：圆锥的侧面展开图，等边三角形的性质．分析：根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长得到扇形的弧长为4π，扇形的半径为4，再根据弧长公式求解．解答：设这个圆锥的侧面展开后所得到的扇形的圆心角的度数为n，根据题意得4π=，解得n=180°．故答案为180°．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．2. （2014•山东威海，第18题3分）如图，⊙A与⊙B外切于⊙O的圆心O，⊙O 的半径为1，则阴影部分的面积是﹣．考点：圆与圆的位置关系；扇形面积的计算分析：阴影部分的面积等于⊙O的面积减去4个弓形ODF的面积即可．解答：解：如图，连接DF、DB、FB、OB，∵⊙O的半径为1，∴OB=BD=BF=1，∴DF=，∴S弓形ODF=S扇形BDF﹣S△BDF=﹣××=﹣，∴S阴影部分=S⊙O﹣4S=π﹣4×（﹣）=﹣．弓形ODF故答案为：点评：本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是明确不规则的阴影部分的面积如何转化为规则的几何图形的面积．3. （2014•山东枣庄，第16题4分）如图，将四个圆两两相切拼接在一起，它们的半径均为1cm，则中间阴影部分的面积为 4﹣π cm2．考点：扇形面积的计算；相切两圆的性质分析：根据题意可知图中阴影部分的面积=边长为2的正方形面积﹣一个圆的面积．解答：解：∵半径为1cm的四个圆两两相切，∴四边形是边长为2cm的正方形，圆的面积为πcm2，阴影部分的面积=2×2﹣π=4﹣π（cm2），故答案为：4﹣π．点评：此题主要考查了圆与圆的位置关系和扇形的面积公式．本题的解题关键是能看出阴影部分的面积为边长为2的正方形面积减去4个扇形的面积（一个圆的面积）．4. （2014•山东潍坊，第15题3分）如图，两个半径均为3的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,且每个圆都经过另一个圆的圆心，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）考点：相交两圆的性质；菱形的性质． 分析：连接O 1O 2，由题意知，四边形AO 1BO 2B 是菱形，且△AO 1O 2，△BO 1O 2都是等边三角形，四边形O 1AO 2B 的面积等于两个等边三角形的面积．据此求阴影的面积．解答：连接O 1O 2，由题意知，四边形AO 1BO 2B 是菱形，且△AO 1O 2，△BO 1O 2都是等边三角形，四边形O 1AO 2B 的面积等于两个等边三角形的面积，∴S O 1AO 2B =2×233)3(432=⨯ S 扇形AO 1B =ππ=⨯⨯360)3(1202∴S 阴影=2（S 扇形AO 1B － S O 1AO 2B ）=332-π 故答案为：332-π点评：本题利用了等边三角形判定和性质，等边三角形的面积公式、扇形面积公式求解．5. （2014•山东烟台，第17题3分）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为4，则阴影部分的面积等于 ．考点：圆内接正多边形，求阴影面积．分析：先正确作辅助线，构造扇形和等边三角形、直角三角形，分别求出两个弓形的面积和两个三角形面积，即可求出阴影部分的面积．解答：连接OC 、OD 、OE ，OC 交BD 于M ，OE 交DF 于N ，过O 作OZ ⊥CD 于Z ， ∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴BC =CD =DE =EF ，∠BOC =∠COD =∠DOE =∠EOF =60°，由垂径定理得：OC ⊥BD ，OE ⊥DF ，BM =DM ，FN =DN ，∵在Rt △BMO 中，OB =4，∠BOM =60°，∴BM =OB ×sin 60°=2，OM =OB •cos 60°=2，∴BD =2BM =4，∴△BDO 的面积是×BD ×OM =×4×2=4，同理△FDO 的面积是4；∵∠COD =60°，OC =OD =4，∴△COD 是等边三角形，∴∠OCD =∠ODC =60°，在Rt △CZO 中，OC =4，OZ =OC ×sin 60°=2， ∴S 扇形OCD ﹣S △COD =﹣×4×2=π﹣4， ∴阴影部分的面积是：4+4+π﹣4+π﹣4=π，故答案为：π．点评：本题考查了正多边形与圆及扇形的面积的计算的应用，解题的关键是求出两个弓形和两个三角形面积，题目比较好，难度适中．6. （2014•山东聊城，第15题，3分）如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，这个扇形的面积为300π．考点：圆锥的计算；扇形面积的计算．分析：首先根据底面圆的面积求得底面的半径，然后结合弧长公式求得扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求得侧面积即可．解答：解：∵底面圆的面积为100π，∴底面圆的半径为10，∴扇形的弧长等于圆的周长为20π，设扇形的母线长为r，则=20π，解得：母线长为30，∴扇形的面积为πrl=π×10×30=300π，故答案为：300π．点评：本题考查了圆锥的计算及扇形的面积的计算，解题的关键是牢记计算公式．7. （2014•浙江杭州，第16题，4分）点A，B，C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H．若BH=AC，则∠ABC所对的弧长等于πr或r（长度单位）．考点：弧长的计算；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值．专题：分类讨论．分作出图形，根据同角的余角相等求出∠H=∠C，再根据两角对应相等，两三角形相似析：求出△ACD和△BHD相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出，再利用锐角三角函数求出∠ABC，然后根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠ABC所对的弧长所对的圆心角，然后利用弧长公式列式计算即可得解．解答：解：如图1，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠H+∠DBH=90°，∠C+∠DBH=90°，∴∠H=∠C，又∵∠BDH=∠ADC=90°，∴△ACD∽△BHD，∴=，∵BH=AC，∴=，∴∠ABC=30°，∴∠ABC所对的弧长所对的圆心角为30°×2=60°，∴∠ABC所对的弧长==πr．如图2，∠ABC所对的弧长所对的圆心角为300°，∴∠ABC所对的弧长==πr．故答案为：πr或r．点评：本题考查了弧长的计算，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，判断出相似三角形是解题的关键，作出图形更形象直观．8.（2014•遵义15．（4分））有一圆锥，它的高为8cm，底面半径为6cm，则这个圆锥的侧面积是60πcm2．（结果保留π）考点：圆锥的计算．分析：先根据圆锥的底面半径和高求出母线长，圆锥的侧面积是展开后扇形的面积，计算可得．解答：解：圆锥的母线==10cm，圆锥的底面周长2πr=12πcm，圆锥的侧面积=lR=×12π×10=60πcm2．故答案为60π．点评：本题考查了圆锥的计算，圆锥的高和圆锥的底面半径圆锥的母线组成直角三角形，扇形的面积公式为lR．9.（2014•十堰16．（3分））如图，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为4，点C在上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为2π﹣4．考点：扇形面积的计算；二次函数的最值；勾股定理．分析：由OC=4，点C在上，CD⊥OA，求得DC==，运用S△OCD=OD•，求得OD=2时△OCD的面积最大，运用阴影部分的面积=扇形AOC的面积﹣△OCD的面积求解．解答：解：∵OC=4，点C在上，CD⊥OA，∴DC==∴S△OCD=OD•∴=OD2•（16﹣OD2）=﹣OD4﹣4OD2=﹣（OD2﹣8）2+16∴当OD2=8，即OD=2时△OCD的面积最大，∴DC===2，∴∠COA=45°，∴阴影部分的面积=扇形AOC的面积﹣△OCD的面积=﹣×2×2=2π﹣4，故答案为：2π﹣4．点评：本题主要考查了扇形的面积，勾股定理，解题的关键是求出OD=2时△OCD的面积最大．的扇形的面积为πcm2．考点：扇形面积的计算．分析：直接利用扇形面积公式求出即可．解答：解：半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为：=π（cm2）．故答案为：π．点评：此题主要考查了扇形的面积公式应用，熟练记忆扇形面积公式是解题关键．11. （2014•江苏盐城,第17题3分）如图，在矩形ABCD中，AB=，AD=1，把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是﹣．考点：旋转的性质；矩形的性质；扇形面积的计算．分析：首先根据题意利用锐角三角函数关系得出旋转角的度数，进而求出S△AB′C′，S扇形BAB′，即可得出阴影部分面积．解答：解：∵在矩形ABCD中，AB=，AD=1，∴tan∠CAB==，AB=CD=，AD=BC=，∴∠CAB=30°，∴∠BAB′=30°，∴S△AB′C′=×1×=，S扇形BAB′==，S阴影=S△AB′C′﹣S扇形BAB′=﹣．故答案为：﹣．点评：此题主要考查了矩形的性质以及旋转的性质以及扇形面积公式等知识，得出旋转角的度数是解题关键．12．（2014•四川遂宁，第13题，4分）已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则该圆锥的侧面积是20π（结果保留π）．考点：圆锥的计算．分析：圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．解答：解：底面圆的半径为4，则底面周长=8π，侧面面积=×8π×5=20π．故答案为：20π．点评：本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．13．（2014•四川内江，第25题，6分）通过对课本中《硬币滚动中的数学》的学习，我们知道滚动圆滚动的周数取决于滚动圆的圆心运动的路程（如图①）．在图②中，有2014个半径为r的圆紧密排列成一条直线，半径为r的动圆C从图示位置绕这2014个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位，则动圆C自身转动的周数为2014．考点：弧长的计算；相切两圆的性质；轨迹．分析：它从A位置开始，滚过与它相同的其他2014个圆的上部，到达最后位置．则该圆共滚过了2014段弧长，其中有2段是半径为2r，圆心角为120度，2012段是半径为2r，圆心角为60度的弧长，所以可求得．解答：解：弧长==1314πr，又因为是来回所以总路程为：1314π×2=2628π．所以动圆C自身转动的周数为：2628πr÷2πr=1314故答案为：1314点评：本题考查了弧长的计算．关键是理解该点所经过的路线三个扇形的弧长．14．（2014•广州,第14题3分）一个几何体的三视图如图4，根据图示的数据计算该几何体的全面积为_______（结果保留）．【考点】三视图的考察、圆锥体全面积的计算方法【分析】从三视图得到该几何体为圆锥体，全面积=侧面积+底面积，底面积为圆的面积为：，侧面积为扇形的面积，首先应该先求出扇形的半径R，由勾股定理得，，则侧面积，全面积．【答案】7.8.三、解答题1．（2014•湖南怀化，第22题，10分）如图，E是长方形ABCD的边AB上的点，EF⊥DE 交BC于点F（1）求证：△ADE∽△BEF；（2）设H是ED上一点，以EH为直径作⊙O，DF与⊙O相切于点G，若DH=OH=3，求图中阴影部分的面积（结果保留到小数点后面第一位，≈1.73，π≈3.14）．考点：切线的性质；矩形的性质；扇形面积的计算；相似三角形的判定；特殊角的三角函数值．专题：综合题．分析：（1）由条件可证∠AED=∠EFB，从而可证△ADE∽△BEF．（2）由DF与⊙O相切，DH=OH=OG=3可得∠ODG=30°，从而有∠GOE=120°，并可求出DG、EF长，从而可以求出△DGO、△DEF、扇形OEG的面积，进而可以求出图中阴影部分的面积．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°．∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°．∴∠AED=90°﹣∠BEF=∠EFB．∵∠A=∠B，∠AED=∠EFB，∴△ADE∽△BEF．（2）解：∵DF与⊙O相切于点G，∴OG⊥DG．∴∠DGO=90°．∵DH=OH=OG，∴sin∠ODG==．∴∠ODG=30°．∴∠GOE=120°．∴S扇形OEG==3π．在Rt△DGO中，cos∠ODG===．∴DG=3．在Rt△DEF中，tan∠EDF===．∴EF=3．∴S△DEF=DE•EF=×9×3=，S△DGO=DG•GO=×3×3=．∴S阴影=S△DEF﹣S△DGO﹣S扇形OEG =﹣﹣3π=.9﹣3π≈9×1.73﹣3×3.14=6.15≈6.2∴图中阴影部分的面积约为6.2．点评：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定、切线的性质、特殊角的三角函数值、扇形的面积等知识，考查了用割补法求不规则图形的面积．。
2014年中考数学试卷分类汇编：36_弧长与扇形面积
剪去 2014中考专项训练 弧长与扇形面积（一）班别 姓名一、选择题1.如图2，AB 切⊙O 于点B ，OA =23，AB =3，弦BC ∥OA ，则劣弧 ⌒BC 的弧长为（ ）． A ．3π B ．3πC ．πD ．32π第1题图 第2题图 第4题图2.如图.在△ABC 中,∠B=90°, ∠A=30°，AC=4cm ，将△ABC 绕顶点C 顺时针方向旋转至△A ′B ′C ′的位置，且A 、C 、B ′三点在同一条直线上,则点A 所经过的最短路线的长为( ) A. B. 8cm C.163cm π D. 83cm π 3. （2011山东德州7,3分）一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为1a ，2a ，3a ，4a ，则下列关系中正确的是 （A ）4a >2a >1a （B ）4a >3a >2a （C ）1a >2a >3a （D ）2a >3a >4a4. （2011山东济宁，9，3分）如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ） A．6cmB ． C．8cmD ．cm5. （2011山东泰安，14 ，3分）一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（ ）A.5πB. 4πC.3πD.2π6.如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线FK 1K 2K 3K 4K 5K 6K 7……叫做“正六边形的渐开线”，其中 1FK ， 12K K ， 23K K ， 34K K ， 45K K ， 56K K ，……的圆心依次按点A ，B ，C ，D ，E ，F 循环，其弧长分别记为l 1，l 2，l 3，l 4，l 5，l 6，…….当AB ＝1时，l 2 011等于（ ） A.20112π B.20113π C.20114π D.20116π（第6题图）27P2 2 左视图右视图俯视图第8题图 第10题图 第11题图7. （2011浙江杭州，4，3）正多边形的一个内角为135°，则该正多边形的边数为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．4 8. （2011宁波市，10，3分）如图，Rt ∆ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝22， 若把Rt ∆ABC绕边AB 所在直线旋转一周则所得的几何体得表面积为A ． 4πB ． 42πC ． 8πD ． 82π10．（2011台湾台北，27）图(十一)为ABC ∆与圆O 的重迭情形，其中BC 为圆O 之直径。
【名校名卷取精 命题探究】2014年数学中考抢分训练之“小题狂做”：弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积
弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积一、选择题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)1. 如果一个扇形的半径是1，弧长是π3，那么此扇形的圆心角的大小为( )A. 30° B ．45° C. 60° D. 90°2. 如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为( )A. πB. 1C. 2D. 23π3. 如图，扇形DOE 的半径为3，边长为3的菱形OABC 的顶点A ，C ，B ，分别在OD ，OE ，DE ︵上，若把扇形DOE 围成一个圆锥，则此圆锥的高为( )A. 12B. 2 2C. 372D. 352第3题图 第4题图4. 如图，圆锥形冰淇淋盒的母线长是13 cm ，高是12 cm ，则该圆锥形底面圆的面积是( )A ．10 πcm 2B ．25 πcm 2C ．60 πcm 2D ．65 πcm 25. 如图，用邻边长分别为a ，b (a ＜b )的矩形硬纸板裁出以a 为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆，把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽(拼接处材料忽略不计)，则a 与b 满足的关系是( )A . b ＝3aB ．b ＝5＋12a C ．b ＝52a D .b ＝2a 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)6. 如图，已知圆O 的半径为4，∠A ＝45°，若一个圆锥的侧面展开图与扇形OBC 能完全重合，则该圆锥的底面圆的半径为________．第6题图第7题图7. 如图，在▱ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是______(结果保留π).8. 如图，圆柱形璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______．第8题图第9题图9. 如图，由四个相同的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O经过四个格点，则图中两个小扇形(即阴影部分)的面积之和为______(结果保留π)．三、解答题(本大题2小题，共24分)10. (12分)如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上的一点，过点C的直线MN满足∠MCA＝∠CBA.(1)求证：直线MN是⊙O的切线(2)过点A作AD⊥MN于点D，交⊙O于点E，已知AB＝6，BC＝3，求阴影部分的面积.11. (12分)某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成．如图，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1与O2C、O2D 分别相切于点A、B.已知∠CO2D＝60°，E、F是直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD的两个交点，且EF＝24 cm，⊙O1的半径为x cm.(1)用含x的代数式表示扇形O2CD的半径；(2)若⊙O 1和扇形O 2CD 两个区域的制作成本分别为0.45元/cm 2和0.06元/cm 2，当⊙O 1的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？参考答案1. C 解析：令扇形的圆心角的大小为n °，由题意得n 180×π×1＝π3，解得n ＝60，所以扇形的圆心角的大小为60°.2. C 解析：“等边扇形”面积S ＝12lr ＝12×2×2＝2，故选C.3. D 解析：连接OB ，AC ，则OB ，AC 互相垂直且平分，所以OF ＝32，CF ＝（3）2－（32）2＝32，则AC ＝2×32＝3，所以△OAC 是正三角形，所以∠DOE ＝60°，则DE ︵的长是60·π·3180＝π.设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝π，r ＝12，而圆锥的母线长是3，所以圆锥的高h ＝354＝352.4. B 解析：如图，圆锥的母线AB ＝13 cm ，圆锥的高AO ＝12 cm ，圆锥的底面半径OB ＝r ，在Rt △AOB 中，r ＝I 2－r 2＝132－122＝5(cm)，∴S ＝πr 2＝π×52＝25 πcm 2.故选B.5. D 解析：如图，设半圆及小圆的圆心分别为A 、B ，连接AB ，过点B 作矩形两边的垂线，分别交矩形的边于点C 、D ，由题意，a π2＝2π·BC ，所以BC ＝a 4，所以AB ＝a 2＋a 4＝3a 4，AD ＝a 2－a 4＝a4，在Rt △ABD6．解：∵∠A ＝45°，∴∠BOC ＝90°，∴扇形BOC 的弧长为90π×4180＝2π，设圆锥的底面半径为r ，则2πr＝2π，解得r ＝1，故答案为1.7. 3－13π 解析：因为AD ＝2，∠A ＝30°，所以AB 边上的高等于1，所以平行四边形的面积为4×1＝4，三角形EBC 的面积等于12×2×1＝1，扇形的面积等于30π×22360＝π3，所以阴影面积等于3－13π.8. 15 解析：圆柱侧面展开圆如图所示，作点A 关于DE 的对称点A ′，连接A ′C ，与DE 交于点P ，连结P A 、PC ，则A →P →C 就是最短线路．在Rt △A ′BC 中，BC ＝9 cm ，A ′B ＝12 cm ，所以A ′C ＝15 cm ，所以P A ＋PC ＝A ′C ＝15 cm.9. 14π 解析：图中两个小扇形(即阴影部分)的圆心角的和是90°，因为它们的半径都是1，所以正好能拼成一个占⊙O 面积14的扇形，所以图中两个小扇形(即阴影部分)的面积之和为14π×12＝14π.10. 证明：(1)连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径，C 为圆周上的一点， ∴∠ACB ＝90°，即∠ACO ＋∠OCB ＝90°， ∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠OBC ， 又∠MCA ＝∠ABC ，故∠MCA ＝∠OCB ，∴∠ACO ＋∠MCA ＝90°，即OC ⊥MN ，直线MN 过点C ， ∴直线MN 是⊙O 的切线．(5分)(2)连接OE 、CE ，由(1)OC ⊥MN ，AD ⊥MN ，得OC ∥AE ，在Rt △ACB 中，cos B ＝BC AB ＝12，∴∠B ＝60°，故OC ＝OB ＝BC ＝3，∴∠EAO ＝∠COB ＝60°，故OE ＝OA ＝EA ＝3，∠EOC ＝60°， ∴OC ＝AE ，四边形AOCE 是平行四边形，故S △EAC ＝S △EOC (8分) 于是，S 阴＝S △ADC －S 扇形EOC ，在Rt △ACB 中，BC ＝3，AB ＝6，∴AC ＝33， 在Rt △ADC 中，AC ＝33，∠DCA ＝∠B ＝60°，∴DC ＝332，AD ＝92， ∴S △ADC ＝12AD ·DC ＝2738，(10分)11. 解：(1)连接O 1A .∵⊙O 1与O 2C 、O 2D 分别相切于点A 、B ， ∴O 1A ⊥O 2C ，O 2E 平分∠CO 2D ， ∴∠AO 2O 1＝12∠CO 2D ＝30°.在Rt △O 1AO 2中，sin ∠AO 2O 1＝AO 1O 1O 2， ∴O 1O 2＝AO 1sin ∠AO 2O 1＝xsin30°＝2x .(4分)∴FO 2＝EF －EO 1－O 1O 2＝24－3x ，即扇形O 2CD 的半径为(24－3x )cm.(6分) (2)设该玩具的制作成本为y 元，则y ＝0.45πx 2＋0.06×（360－60）×π×（24－3x ）2360＝0.9πx 2－7.2πx ＋28.8π＝0.9π(x －4)2＋14.4π.(10分) 所以当x －4＝0，即x ＝4时，y 的值最小．答：当⊙O 1的半径为4 cm ，该玩具的制作成本最小．(12分)。
中考数学考点总动员系列专题弧长及扇形的面积含解析
uuru 小方格都是边长为 1 的正方形，其中 A 、B、 C 为格点．作△ ABC 的外接圆⊙ O ，则弧 BC 的长为（ ）
A. 5 2
5
B.
4
【答案】 A
3
C.
2
3
D.
4
【解析】
考点典例二、扇形面积的计算
【例 2】（ 广东省汕头市龙湖区 2017 届九年级 5 月模拟 ） 已知圆心角为 120°的扇形面积为 12 ，那么扇形
积为（
）
A. 12π cm2
B. 20πcm2
C. 26πcm2
D. 36πcm2
【答案】 D
【点睛】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，圆的面积公式，圆的周长公式和扇形面积公式求解．注意圆 锥表面积＝底面积＋侧面积＝π×底面半径 2＋底面周长×母线长÷ 2 的应用．
【举一反三】
（ 2017 年内蒙古乌兰察布市集宁七中中考数学一模 ） 将一个半径为 R，圆心角为 90°的扇形围成一个圆锥
180
半径 ).在计算的时候我们一定要根据实际题目选择合适的公式进行计算
.
r 为扇形所在的圆的
【举一反三】
（ 2016 辽宁营口第 12 题） 如图， AB 是⊙ O 的直径，弦 CD 垂直平分 OB，垂足为点 E，连接 OD 、BC，若
BC=1 ，则扇形 OBD 的面积为
．
【答案】 ．
6
考点：扇形面积的计算；线段垂直平分线的性质．
∵ CD⊥ AB ， 1
∴ CE= DE= CD= 3 (垂径定理 )， 2
又∵∠ CDB=30 °， ∴∠ COB=60 ° (圆周角定理 )， ∴ OC=2，
故 S阴影 S扇形 OBD S COE S BED
2014年全国各地中考数学试卷解析版分类汇编 弧长与扇形面积
弧长与扇形面积一、选择题1. （2014•浙江杭州，第2题，3分）已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为（）2. (2014•年山东东营,第5题3分)如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为，则图中弓形的面积为（）A．B．C．D．考点：扇形面积的计算．分析：过A作AD⊥CB，首先计算出BC上的高AD长，再计算出三角形ABC的面积和扇形面积，然后再利用扇形面积减去三角形的面积可得弓形面积．解答：解：过A作AD⊥CB，∵∠CAB=60°，AC=AB，∴△ABC是等边三角形，∵AC=，∴AD=AC•sin60°=×=，∴△ABC面积：=，∵扇形面积：=，∴弓形的面积为：﹣=，故选：C．点评：此题主要考查了扇形面积的计算，关键是掌握扇形的面积公式：S=．3．（2014•四川泸州，第7题，3分）一个圆锥的底面半径是6cm，其侧面展开图为半圆，则圆锥的母线长为（）6×4．（2014•四川南充，第9题，3分）如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD 按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（）A．B．13πC．25πD． 25分析：连接BD，B′D，首先根据勾股定理计算出BD长，再根据弧长计算公式计算出，的长，然后再求和计算出点B在两次旋转过程中经过的路径的长即可．解：连接BD，B′D，∵AB=5，AD=12，∴BD==13，∴==，∵==6π，∴点B在两次旋转过程中经过的路径的长是：+6π=，故选：A．点评：此题主要考查了弧长计算，以及勾股定理的应用，关键是掌握弧长计算公式l=．5．（2014•甘肃兰州,第1题4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C′，则点B转过的路径长为（），=2×=转过的路径长为：π2.3.4.5.6.7.8.二、填空题1. （2014•四川巴中，第15题3分）若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，则这个圆锥的侧面展开后所得到的扇形的圆心角的度数是．考点：圆锥的侧面展开图，等边三角形的性质．分析：根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长得到扇形的弧长为4π，扇形的半径为4，再根据弧长公式求解．解答：设这个圆锥的侧面展开后所得到的扇形的圆心角的度数为n，根据题意得4π=，解得n=180°．故答案为180°．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．2. （2014•山东威海，第18题3分）如图，⊙A与⊙B外切于⊙O的圆心O，⊙O的半径为1，则阴影部分的面积是﹣．，=××﹣﹣）﹣故答案为：3. （2014•山东枣庄，第16题4分）如图，将四个圆两两相切拼接在一起，它们的半径均为1cm，则中间阴影部分的面积为4﹣πcm2．4. （2014•山东潍坊，第15题3分）如图，两个半径均为3的⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点,且每个圆都经过另一个圆的圆心，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）考点：相交两圆的性质；菱形的性质．分析：连接O 1O 2，由题意知，四边形AO 1BO 2B 是菱形，且△AO 1O 2，△BO 1O 2都是等边三角形，四边形O 1AO 2B 的面积等于两个等边三角形的面积．据此求阴影的面积．解答：连接O 1O 2，由题意知，四边形AO 1BO 2B 是菱形，且△AO 1O 2，△BO 1O 2都是等边三角形，四边形O 1AO 2B 的面积等于两个等边三角形的面积，∴S O 1AO 2B =2×233)3(432=⨯ S 扇形AO 1B =ππ=⨯⨯360)3(1202∴S 阴影=2（S 扇形AO 1B － S O 1AO 2B ）=332-π故答案为：332-π点评：本题利用了等边三角形判定和性质，等边三角形的面积公式、扇形面积公式求解． 5. （2014•山东烟台，第17题3分）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为4，则阴影部分的面积等于 ．考点：圆内接正多边形，求阴影面积．分析：先正确作辅助线，构造扇形和等边三角形、直角三角形，分别求出两个弓形的面积和两个三角形面积，即可求出阴影部分的面积．解答：连接OC、OD、OE，OC交BD于M，OE交DF于N，过O作OZ⊥CD于Z，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴BC=CD=DE=EF，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=60°，由垂径定理得：OC⊥BD，OE⊥DF，BM=DM，FN=DN，∵在Rt△BMO中，OB=4，∠BOM=60°，∴BM=OB×sin60°=2，OM=OB•cos60°=2，∴BD=2BM=4，∴△BDO的面积是×BD×OM=×4×2=4，同理△FDO的面积是4；∵∠COD=60°，OC=OD=4，∴△COD是等边三角形，∴∠OCD=∠ODC=60°，在Rt△CZO中，OC=4，OZ=OC×sin60°=2，∴S扇形OCD﹣S△COD=﹣×4×2=π﹣4，∴阴影部分的面积是：4+4+π﹣4+π﹣4=π，故答案为：π．点评：本题考查了正多边形与圆及扇形的面积的计算的应用，解题的关键是求出两个弓形和两个三角形面积，题目比较好，难度适中．6. （2014•山东聊城，第15题，3分）如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，这个扇形的面积为300π．=207. （2014•浙江杭州，第16题，4分）点A，B，C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H．若BH=AC，则∠ABC 所对的弧长等于πr或r（长度单位）．相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出，再利用锐角=AC===r8.（2014•遵义15．（4分））有一圆锥，它的高为8cm，底面半径为6cm，则这个圆锥的侧面积是60πcm2．（结果保留π）=9.（2014•十堰16．（3分））如图，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为4，点C在上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为2π﹣4．在=，运用，求得=2上，=•=2==2，×=2=210. （2014•江苏徐州,第13题3分）半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为πcm2．考点：扇形面积的计算．分析：直接利用扇形面积公式求出即可．解答：解：半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为：=π（cm2）．故答案为：π．点评：此题主要考查了扇形的面积公式应用，熟练记忆扇形面积公式是解题关键．11. （2014•江苏盐城,第17题3分）如图，在矩形ABCD中，AB=，AD=1，把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是﹣．==，，，1×=，．故答案为：﹣．12．（2014•四川遂宁，第13题，4分）已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则该圆锥的侧面积是20π（结果保留π）．13．（2014•四川内江，第25题，6分）通过对课本中《硬币滚动中的数学》的学习，我们知道滚动圆滚动的周数取决于滚动圆的圆心运动的路程（如图①）．在图②中，有2014个半径为r的圆紧密排列成一条直线，半径为r的动圆C从图示位置绕这2014个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位，则动圆C自身转动的周数为2014．=131414．（2014•广州,第14题3分）一个几何体的三视图如图4，根据图示的数据计算该几何体的全面积为_______（结果保留）．【考点】三视图的考察、圆锥体全面积的计算方法【分析】从三视图得到该几何体为圆锥体，全面积=侧面积+底面积，底面积为圆的面积为：，侧面积为扇形的面积，首先应该先求出扇形的半径R，由勾股定理得，，则侧面积，全面积．【答案】7.8.三、解答题1．（2014•湖南怀化，第22题，10分）如图，E是长方形ABCD的边AB上的点，EF⊥DE 交BC于点F（1）求证：△ADE∽△BEF；（2）设H是ED上一点，以EH为直径作⊙O，DF与⊙O相切于点G，若DH=OH=3，求图中阴影部分的面积（结果保留到小数点后面第一位，≈1.73，π≈3.14）．===3===×﹣。
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弧长与扇形面积一、选择题1. （2014•珠海，第4题3分）已知圆柱体的底面半径为3cm，髙为4cm，则圆柱体的侧面积为（）2. （2014•广西贺州，第11题3分）如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1．则弧BD的长是（）A．B．C．D．考点：垂径定理；勾股定理；勾股定理的逆定理；弧长的计算．分析：连接OC，先根据勾股定理判断出△ACE的形状，再由垂径定理得出CE=DE，故=，由锐角三角函数的定义求出∠A的度数，故可得出∠BOC的度数，求出OC 的长，再根据弧长公式即可得出结论．解答：解：连接OC，∵△ACE中，AC=2，AE=，CE=1，∴AE2+CE2=AC2，∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD，∵sinA==，∴∠A=30°，∴∠COE=60°，∴=sin∠COE，即=，解得OC=，∵AE⊥CD，∴=，∴===．故选B．点评：本题考查的是垂径定理，涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中．3．(2014年四川资阳，第9题3分)如图，扇形AOB中，半径OA=2，∠AOB=120°，C是的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分面积是（）A．﹣2B．﹣2C．﹣D．﹣考点：扇形面积的计算．分析：连接OC，分别求出△AOC、△BOC、扇形AOC，扇形BOC的面积，即可求出答案．解答：解：连接OC，∵∠AOB=120°，C为弧AB中点，∴∠AOC=∠BOC=60°，∵OA=OC=OB=2，∴△AOC、△BOC是等边三角形，∴AC=BC=OA=2，∴△AOC的边AC上的高是=，△BOC边BC上的高为，∴阴影部分的面积是﹣×2×+﹣×2×=π﹣2，故选A．点评：本题考查了扇形的面积，三角形的面积，等边三角形的性质和判定，圆周角定理的应用，解此题的关键是能求出各个部分的面积，题目比较好，难度适中．4．（2014年云南省，第7题3分）已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为（）A、B．2πC．3πD．12π考点：弧长的计算分析：根据弧长公式l=，代入相应数值进行计算即可．解答：解：根据弧长公式：l==3π，故选：C．点评：此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l=．5．（2014•舟山，第8题3分）一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为（）6.（2014•襄阳，第11题3分）用一个圆心角为120°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（）B=27．（2014•四川自贡，第8题4分）一个扇形的半径为8cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为（）=，再解方程即可．=，．8．（2014·台湾，第16题3分）如图，、、、均为以O 点为圆心所画出的四个相异弧，其度数均为60°，且G 在OA 上，C 、E 在AG 上，若AC ＝EG ，OG ＝1，AG ＝2，则与两弧长的和为何？( )A ．πB ．4π3C ．3π2D ．8π5分析：设AC ＝EG ＝a ，用a 表示出CE ＝2﹣2a ，CO ＝3﹣a ，EO ＝1＋a ，利用扇形弧长公式计算即可．解：设AC ＝EG ＝a ，CE ＝2﹣2a ，CO ＝3﹣a ，EO ＝1＋a ， ＋＝2π(3﹣a )×60°360°＋2π(1＋a )×60°360°＝π6 (3﹣a ＋1＋a )＝ 4π3．故选B ．点评：本题考查了弧长的计算，熟悉弧长的计算公式是解题的关键．9. （2014·浙江金华，第10题4分）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为1，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是【 】A．5:4B．5:2C2D【答案】A.【解析】故选A.考点：1. 等腰直角三角形的判定和性质；2. 勾股定理；3. 扇形面积和圆面积的计算. 10．（2014•浙江宁波，第5题4分）圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的侧面积是（）=•4•211.（2014•济宁，第5题3分）如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为（）12.（2014年山东泰安，第19题3分）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．（﹣1）cm2B．（+1）cm2C．1cm2D．cm2分析：假设出扇形半径，再表示出半圆面积，以及扇形面积，进而即可表示出两部分P，Q面积相等．连接AB，OD，根据两半圆的直径相等可知∠AOD=∠BOD=45°，故可得出绿色部分的面积=S△AOD，利用阴影部分Q的面积为：S扇形AOB﹣S半圆﹣S绿色，故可得出结论．解：∵扇形OAB的圆心角为90°，假设扇形半径为2，∴扇形面积为：=π（cm2），半圆面积为：×π×12=（cm2），∴S Q+S M=S M+S P=（cm2），∴S Q=S P，连接AB，OD，∵两半圆的直径相等，∴∠AOD=∠BOD=45°，∴S绿色=S△AOD=×2×1=1（cm2），∴阴影部分Q的面积为：S扇形AOB﹣S半圆﹣S绿色=π﹣﹣1=﹣1（cm2）．故选：A．点评：此题主要考查了扇形面积求法，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．二.填空题1. （2014•福建泉州，第17题4分）如图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC，则：（1）AB的长为1米；（2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为米．=，然后解方程即可．，，．．2．（2014•浙江宁波，第18题4分）如图，半径为6cm的⊙O中，C、D为直径AB的三等分点，点E、F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连接AE、BF，则图中两个阴影部分的面积为6cm2．∴==，=•=OA=，=2，=GE===，=2，=GE=×2×2=6，6，6．3.（2014•呼和浩特，第11题3分）一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为160°．lr4.（2014•德州，第15题4分）如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，以A、B、C三点为圆心，半径为1作圆，则圆中阴影部分的面积是﹣．×2×3×﹣．故答案为：﹣角形的面积等于边长的平方的．三.解答题1. （2014•广东，第24题9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB 于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD=OE；（3）求证：PF是⊙O的切线．考点：切线的判定；弧长的计算．分析：（1）根据弧长计算公式l=进行计算即可；（2）证明△POE≌△ADO可得DO=EO；（3）连接AP，PC，证出PC为EF的中垂线，再利用△CEP∽△CAP找出角的关系求解．解答：（1）解：∵AC=12，∴CO=6，∴==2π；（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，∠PEA=90°，∠ADO=90°在△ADO和△PEO中，，∴△POE≌△AOD（AAS），∴OD=EO；（3）证明：如图，连接AP，PC，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OP A，由（1）得OD=EO，∴∠ODE=∠OED，又∵∠AOP=∠EOD，∴∠OP A=∠ODE，∴AP∥DF，∵AC是直径，∴∠APC=90°，∴∠PQE=90°∴PC⊥EF，又∵DP∥BF，∴∠ODE=∠EFC，∵∠OED=∠CEF，∴∠CEF=∠EFC，∴CE=CF，∴PC为EF的中垂线，∴∠EPQ=∠QPF，∵△CEP∽△CAP∴∠EPQ=∠EAP，∴∠QPF=∠EAP，∴∠QPF=∠OP A，∵∠OP A+∠OPC=90°，∴∠QPF+∠OPC=90°，∴OP⊥PF，∴PF是⊙O的切线．点评：本题主要考查了切线的判定，解题的关键是适当的作出辅助线，准确的找出角的关系．2.（2014•襄阳，第23题7分）如图，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处．再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG．（1）求证：EF∥CG；（2）求点C，点A在旋转过程中形成的，与线段CG所围成的阴影部分的面积．AB==，×1+﹣﹣．3．（2014·云南昆明，第22题8分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D.（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积.（结果保留根号和π）第22题图C。