定积分定义

∀ξi ∈ [ x i −1, x i ],
作和式
∑ f( ξ i )∆x i ，其中 ∆x i = x i − x i−1 ，
i =1
1≤ i ≤ n
n
令 λ = max ∆x i
ξ 如果不论 [a, b] 怎样分法及 i 如何选取，当λ → 0 时，
和式的极限存在，则称此极限为函数f (x) 在 [a, b] 上的
y
y=x
2
-1
o
1
x
x 2 + y2 = 2
（3）解： A = ∫
1 −1
2 − x dx − ∫
2
1 x 2 dx −1
二、定积分的性质
k 性质 1 若 f (x) 在 [a, b] 上可积， 是任意常数，则kf ( x)
在 [a, b] 上也可积，且 ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx 。
y
y =1
b
b
b
则 ∫ a 1 ⋅ dx = ∫ a dx = b − a 。
b
b
∫a kdx = k (b − a ).
b
a
o
b
x
性质 4（定积分对区间的可加性） （定积分对区间的可加性）
设 f (x) 在一个闭区间上可积，则f (x) 在该区间的任何子
b 区间上也可积并且对该区间上的任意三点 a ， ， c 都有
∵当 ∆x i → 0 时， M i − m i → 0 ，
∆A i − f ( ξ i ) ∆x i = 0， ∴ lim ∆x i → 0 ∆x i
∴近似值 f( ξ i )∆x i 的误差 ∆A i − f (ξ i )∆x i 是比
∆x i 高阶的无穷小，即
∆A i = f ( ξ i ) ∆x i + o ( ∆x i )
b
A1
a
A3
d b x
A2
∫ a f (x )dx = A1 − A 2 + A3
例 2、利用定积分表示图中的面积。
y
y = a2
y
y = x2
−π
y = sin x
π
o
x
o
a
3
x
a 2 x dx 0
π 0
（1）解： A = a − ∫
0 −π
（2）解： A = − ∫ sin xdx + ∫ sin xdx
变速直线运动的物体所经过的路程 S 是速度函数
v = v( t ) 在时间区间[a, b] 上的定积分： S = ∫ v( t )dt 。
a b
2．定积分定义的剖析
（1）积分 ∫
b f ( x )dx a
仅与被积函数f (x) 和积分区间[a，b]
有关，而与区间 [a，b]的分法与点ξ i 的取法无关。
（2）取近似
∀ξi ∈ [ x i −1, x i ],
∆A i ≈ f(ξi )∆x i
( i = 1, 2, ⋯ , n ).
设 m i 和 M i 分别是 f (x) 在 [ x i−1 , x i ] 上的最小值和最大值，则 −
m i ∆x i ≤ ∆A i ≤ M i ∆x i ,
∆A i − f (ξi )∆x i ∆x i ≤ M i − mi .
3.1.2 3.1.2 定积分的定义
1.定义 1.定义 设 f (x) 是定义在 [a, b] 上的有界函数，任取一组分点
a = x < x1 < x 2 < ⋯ < x i −1 < x i < ⋯ < x n −1 < x n = b,
把[a，b]分成 n 个小区间[ x i−1 , x i ] ( i = 1, 2, ⋯ n ) ，
定积分，记作 ∫
b
b f ( x )dx a
，即
∫ a f (x )dx = λlimo ∑ f(ξi )∆x i →
i =1
n
.
∫
b f ( x )dx a
读作“函数f (x) 从 a 到 b 的定积分。 ”
f ( x)dx —被积表达式 被积表达式， 被积表达式
f ( x) —被积函数 被积函数， 被积函数
∫0
∑ λ →0
i =1
i
i
n →∞
1 e n −1
定积分的性质和几何意义 3.1.3 定积分的性质和几何意义
一、定积分的几何意义
1．若 f (x) 在 [a, b] 上连续，且 f ( x) ≥ 0 ，则 ∫
表示以 y = f ( x ) 为曲边的曲边梯形面积 A。
y y = f ( x)
b f ( x )dx a
o
a
b
x
y M
C N D
o
M1
N1
x
A MCND = A MCNN1M1 − A MDNN1M1
2、设 y = f ( x ) 在 [a, b] 上连续，且 f ( x) ≥ 0 ，求以曲线
y = f (x ) 为曲边，底为[a，b]的曲边梯形的面积 A。
计算步骤如下：
y y = f (x)
o
a=x
b f ( x )dx a
。
3、若 f (x) 在 [a, b] 上连续，且有正有负时，则 ∫
b f ( x )dx a
就等于由连续曲线 y = f ( x ) ，直线 x＝a，x＝b 及 x 轴所
围成的几个曲边梯形面积的代数和，在 x 轴上方的面积
取正号，在 x 轴下方的面积取负号。 y
y = f (x) o c
x —积分变量 积分变量， 积分变量
a —积分下限 积分下限， 积分下限
积分区间， [a，b]—积分区间 积分区间
积分上限。 b —积分上限 积分上限
若定积分 ∫
b f ( x )dx a
存在，则称f (x) 在[a, b] 上可积。
曲边梯形的面积 A 是曲边函数y = f ( x ) 在区间
= ∫ abf ( x )dx 。 [a，b]上的定积分： A
这说明 ∆x i 越小， f( ξ i )∆x i 的近似程度越高。
（3）求和
A ≈ f(ξ1 )∆x1 + f(ξ 2 )∆x 2 + ⋯ + f(ξi )∆x i + ⋯ + f(ξ n )∆x n
即 A ≈ ∑ f( ξ i )∆x i 。
i =1 n
把 n 个小矩形面积相加（即台阶形面积） ，得到曲边梯形 的面积 A 的近似值。
t 的连续函数，且 v( t ) ≥ 0 ，求在时间间隔 [a, b] 上物体
所经过的路程 S。
（1）分割
任取分点： a = t < t 1 < t 2 < ⋯ < t i −1 < t i < ⋯ < t n −1 < t n = b ，
把时间区间 [a, b] 分成 n 个小区间：
[ t , t 1 ] ，[ t 1 , t 2 ] ，…，[ t i−1 , t i ] ，…， [ t n−1 , t n ] 。
∴ f (ξ i )∆x i ≤ 0 ， ∑ f (ξ i ) ∆x i ≤ 0 ，
i =1 n
故 ∫
b f ( x )dx a
= lim
∑ f( ξ i )∆x i λ →o
i =1
n
≤0 。
y = f (x)
而 f (ξ i )∆x i 表示小矩形面积，
∴∫
b f ( x )dx a
= −A 或 A = − ∫
A = ∫ f ( x )dx
a
b
o
a
b
x
2．若 f (x) 在 [a, b] 上连续，且 f ( x) ≤ 0 ，则 ∫
或 A = − ∫ a f ( x )dx 。
b
b f ( x )dx a
= −A
∵在 [a, b] 上 f ( x) ≤ 0 ，
y a o
b x
∴ f (ξ i ) ≤ 0 ，而 ∆x i > 0 ，
（4）取极限
设 λ = max ∆x i ，
1≤ i ≤ n
A = lim ∑ f( ξ i )∆x i
λ →o i =1
n
以上四个步骤可以概括为一句话： 分割取近似，求和取极限。 “分割取近似，求和取极限 ” 分割取近似
（二）变速直线运动的路程
设一物体作变速直线运动，已知速度 v = v(t ) 是时间
（3）求和 n S ≈ v(ξ1 )∆t1 + v(ξ 2 ) ∆t 2 + ⋯ + v(ξ n ) ∆t n = ∑ v(ξi )∆t i
（4）取极限
i =1
λ = max ∆t i ,
1≤ i ≤ n
n
S = lim
∑ v(ξi )∆t i . λ →o
i =1
上述两个实例，一个是几何学中的面积问题， 一个是物理学中的路程问题，尽管它们的实际意 义完全不同，但是从抽象的数量关系来看，它们 的分析结构形式完全一样，都是函数在区间上具 函数在区间上具 有特殊结构的和式的极限，对于这种和式的极限， 有特殊结构的和式的极限 可以抽象出新的数学概念—定积分 定积分。 定积分
故
∑ f (ξ i )∆x i = ∑ e
i =1 i =1
n
n
i −1 n
1 1 ⋅ = (1 + e n n
1 n
+e
2 n
+⋯+ e
n −1 n )
1 1 1 − (e n ) n = ⋅ = (e − 1) ⋅ 1 n 1− e n e