优化模型

MATLAB求解 求解LP min z = c x, s.t. Ax ≤ b 求解
c，b~行列向量均可 x=lp(c,A,b) v1~x的下界 x=lp(c,A,b,v1) x=lp(c,A,b,v1,v2) v2~x的上界 x0~初始解(缺省时为0) x=lp(c,A,b,v1,v2,x0） x=lp(c,A,b,v1,v2,x0,ne) ne~等式约束个数， x=lp(c,A,b,v1,v2,x0,ne 等式约束置于前面 ,dis) dis~警告信息 [x,lag]=lp(c,A,b,…) how~错误信息 [x,lag,how]=lp(c,A,b,…) v1或v2的维数 小于 的维数 时，v1或v2仅表示 或 的维数 小于x的维数 的维数k小于 的维数n时 仅表示x 或 仅表示 个分量的下界或上界） 前k个分量的下界或上界） 个分量的下界或上界 lag Lagrange乘子，维数等于约束个数，非零分量 lag~Lagrange乘子，维数等于约束个数， Lagrange乘子 对应于起作用约束
程序及结果
x2 L1 P L2 0 Zmax x1 P~L1,L2交点 交点 L3
x=(6.4286,4.2857) lag=(1.5714,0.0571,0,0,0) z=102.8571
甲乙两种饮料各生产6.4286和4.2857（百箱） 获利102.8571（万元），原料和工人充分利用。
max
决策变量： 决策变量：甲乙两种 饮料的产量x 饮料的产量 1, x2 以百箱为单位）。 （以百箱为单位）。
max z = 10 x1 + 9 x 2 s.t. 6 x1 + 5 x 2 ≤ 60 10 x1 + 20 x 2 ≤ 150 x1 ≤ 8 x1 , x 2 ≥ 0
c=[-10 –9]; A=[6 5;10 20;1 0]; b=[60 150 8]; v1=[0 0]; [x,lag]=lp(c,A,b ,v1) z=-c*x
优化模型
min 0.1(2 x1 + 7 x2 + 4 x3 + 3x4 + 5 x5 )
s.t. 0.30x1 + 2x2 + x3 + 0.6x4 + 1.8x5 ≥ 70 0.1x1 + 0.05x2 + 0.02x3 + 0.2x4 + 0.05x5 ≥ 3 0.05x1 + 0.12x2 + 0.02x3 + 0.2x4 + 0.08x5 ≥ 10 x j ≥ 0, j = 1,2,...,5
min z = ∑ c j x j
j =1 n
s.t. ∑ aij x j ≥ bi , i = 1,2,..., m
j =1
n
x j ≥ 0, j = 1,2,..., n
例4.2.2 运输问题
某机电公司共有三个电机制造厂,并且建立了五个地区
性的仓库.公司先把产品运到这些仓库存放,以备向用户 供货,三个厂每周生产的电机台数如表4.2.3:
m
n
s.t. ∑ xij ≤ ai , i = 1,2,..., m
j =1 m i =1
n
∑ xij ≥ b j , j = 1,2,..., n
xij ≥ 0
例4.2.3指派问题
设有n项任务要派n人去完成，但由于任
务性质和各人专长不同，因此各人去完 成不同的任务的效率(或所费时间)有所不 同。试问应当指派哪个人去完成哪项任 务使总的效率最高(或所用的总时间最少)?
工厂 生产数
1 600
2 400
3 500
五个仓库每周需要量如表4.2.4
1 仓库 需要数 200
2 250
3 4 300 550
5 200
从各厂运到各仓库的运输费(每台)如表
4.2.3:
收点 发点 工 1 2 厂 3 1 2 4 2 仓 2 1 2 1 3 3 1 1 库 4 1 3 3 5 2 1 4
x12 + x22 + x32 = 250 x13 + x23 + x33 = 300 x14 + x24 + x34 = 550 x15 + x25 + x35 = 200 xij ≥ 0, i = 1,2,3, j = 1,...,5
运输问题的一般形式
假定有m个源或运输的发点，n个汇或运输的收点，设
本题是要找到一个合理的运输方案使得
在满足供应量和需要量的基础上运费最 小，因此我们的目标函数是总运费。 总运费= 2 x11 + x12 + 3x13 + x14 + 2 x15 + 4 x21 + 2 x22 + x23
+ 3 x24 + x25 + 2 x31 + x32 + x33 + 3 x34 + 4 x35
确定变量
本题要求我们给出一个饲料配方，即确定在混
合饲料中每种饲料的重量，因此变量应该是： 混合饲料中所含的第j种饲料的数量： x j
目标函数
我们的目标是使得总成本最低。
成本= 0.1(2 x1 + 7 x2 + 4 x3 + 3x4 + 5x5 )
约束条件
动物对蛋白质、矿物质及维生素的需求
请建立一个满足制造厂的供应量和仓库 的需要量并使总运费为最小的数学模型。
确定变量
本问题本质上是要找到一个合理的运输
方案，确定运输方案实质上就是确定从 某个工厂运到某个仓库的机器台数，因 此本题的变量是：xij (i = 1,2,3, j = 1,...,5) ，表 示从工厂i运到仓库j的台数。
确定目标函数
约束条件
从工厂运出去的运量不能超过该厂的供应量，因此：
x11 + x12 + x13 + x14 + x15 ≤ 600 x21 + x22 + x23 + x24 + x25 ≤ 400 x31 + x32 + x33 + x34 + x35 ≤ 500
运量要满足各仓库的需求：
x11 + x21 + x31 = 200 x12 + x22 + x32 = 250 x13 + x23 + x33 = 300 x14 + x24 + x34 = 550 x15 + x25 + x35 = 200
为第i个发点的可供应量，b j ( j = 1,2,..., n) 为 c 第j个收点的需要量，ij 为从第i个发点到第个j收点的运 x 输单价，ij 为从第i个发点到第j个收点的运输量，运输 问题可表示为：
ai (i = 1,2,..., m)
min z = ∑ ∑ cij xij
i =1 j =1
4.2 线性规划模型
线性规划是运筹学的一个重要分支，从
解决各种技术领域中的最优化问题，到 工农业生产、商业经济、交通运输、军 事等的计划和管理及决策分析。同时由 于线性规划理论比较成熟及计算机的广 泛普及，因而在实际问题中的应用更加 广泛和深入。
4.2.1线性规划实例
例4.2.1食谱问题 一饲养场饲养供实验用的动物，已知动物生长对饲料 中的三种营养成分—蛋白质、矿物质和维生素特别敏 感。每个动物每天至少需要蛋白质70克，矿物质3克， 维生素10毫克，该场能搞到五种饲料，每种饲料的成 本如表4。2。1
i =1 j =1
∑ ∑ tij xij
n
n
s.t.
i =1
n
∑ xij = 1, j = 1,2,..., n
∑ xij = 1, i = 1,2,..., n
j =1
n
xij ≥ 0, i = 1,2,..., n, j = 1,2,..., n
4.2.2线性规划的求解
图解法（适用于二维、三维问题）； 单纯形法； 利用软件包Matlab进行计算。
数学模型
该问题的数学模型为：
min
s.t.
2 x11 + x12 + 3x13 + x14 + 2 x15 + 4 x21 + 2 x22 + x23 + 3 x24 + x25 + 2 x31 + x32 + x33 + 3 x34 + 4 x35
x11 + x12 + x13 + x14 + x15 ≤ 600 x21 + x22 + x23 + x24 + x25 ≤ 400 x31 + x32 + x33 + x34 + x35 ≤ 500 x11 + x21 + x31 = 200
得总效率最大，因此目标函数是总效率： 总效率= ∑ ∑ tij xij
i =1 j =1 n n
约束条件
每项任务都必须完成，因此
i =1
∑ xij = 1, j = 1,2,..., nn每个人要做完成一项 Nhomakorabea务，因此
∑ xij = 1, i = 1,2,..., n
j =1
n
线性规划模型
min
图解法求解线性规划举例
max z = 3x1 + x2 s.t. x1 + x2 ≤ 2 x1 2 x2 ≤ 2 3x1 + 2 x2 ≤ 14 x1 , x2 ≥ 0
x2 L1 L3 grad z
*
0
z2=2 z3=6 z1=0
z4=10
x* L2 x1
最优解（ ， ），最优值z ），最优值 最优解（4，1），最优值 max=13