艺术生高考数学专题讲义：考点51 变量间的相关关系与统计案例

考点五十一 变量间的相关关系与统计案例知识梳理1．相关关系常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系．两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 2．散点图通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图． 3．正相关与负相关从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关． 4．回归直线方程 (1)曲线拟合从散点图上，如果变量之间存在某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样的近似过程称为曲线拟合． (2)线性相关在两个变量x 和y 的散点图中，若所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关，这条直线叫回归直线．若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，称此相关是非线性相关．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的． (3)最小二乘法如果有n 个点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，可以用[y 1－(a ＋bx 1)]2＋[y 2－(a ＋bx 2)]2＋…＋[y n －(a ＋bx n )]2来刻画这些点与直线y ＝a ＋bx 的接近程度，使得上式达到最小值的直线y ＝a ＋bx 就是所要求的直线，这种方法称为最小二乘法． (4)回归方程方程y ＝bx ＋a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其中a ，b 是待定参数． ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑n i ＝1(x i－x )(y i－y )∑ni ＝1(x i－x )2＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑ni ＝1x 2i －n x 2，a ＝y －b x .说明：回归直线必过样本中心(x，y)，但是样本数据不一定在回归直线上，甚至可能所有的样本数据点都不在直线上．5．相关系数相关系数r＝∑ni＝1(x i－x)(y i－y)∑ni＝1(x i－x)2∑ni＝1(y i－y)2＝∑ni＝1x i y i－n x y(∑ni＝1x2i－n x2)(∑ni＝1y2i－n y2)；当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．6．独立性检验设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：A1，A2＝A1；变量B：B1，B2＝B1；2×2列联表：构造一个随机变量χ2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).利用随机变量χ2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联；当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；当χ>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；当χ>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．典例剖析题型一相关关系判断例1变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则________．①r2<r1<0 ②0<r2<r1③r2<0<r1④r2＝r1答案③解析 对于变量Y 与X 而言，Y 随X 的增大而增大，故Y 与X 正相关，即r 1>0；对于变量V 与U 而言，V 随U 的增大而减小，故V 与U 负相关，即r 2<0，所以有r 2<0<r 1．变式训练 四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是________． 答案 ①④解析 由回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，知当b ^>0时，x 与y 正相关，当b ^<0时，x 与y 负相关，所以①④一定错误．解题要点 判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图，根据散点图很容易看出两个变量之间是否具有相关性，是不是存在线性相关关系，是正相关还是负相关，相关关系是强还是弱． 题型二 回归分析例2 已知x ，y 取值如下表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a ＝________． 答案 1.45解析 ∵x ＝0＋1＋4＋5＋6＋86＝4，y ＝1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.36＝5.25，又y ^＝0.95x ＋a 过(x ，y )，∴5.25＝0.95×4＋a ，得a ＝1.45. 变式训练 已知x 与y 之间的一组数据：已求得关于y 与x 的线性回归方程y ＝2.1x ＋0.85，则m 的值为________． 答案 0.5解析 x ＝0＋1＋2＋34＝32，y ＝m ＋3＋5.5＋74＝15.5＋m4，把(x ，y )代入线性回归方程，15.5＋m 4＝2.1×32＋0.85，m ＝0.5. 解题要点 回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点中心(x ，y )．利用这一结论，可以快速求出回归方程中的参数．例3 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据.(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 解析 (1)由题意，作散点图如图．(2)由对照数据，计算得∑i ＝14x i y i ＝66.5，∑i ＝14x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86，x ＝4.5，y ＝3.5，b ^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7，a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35， 所以回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.(3)当x ＝100时，y ＝100×0.7＋0.35＝70.35(吨标准煤)，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低90－70.35＝19.65(吨标准煤)．变式训练 (2015新课标Ⅰ文)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.5452504846444240表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝18w i .(I)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(II)根据(I)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(III)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(II)的结果回答下列问题： (i )当年宣传费90x =时，年销售量及年利润的预报值时多少？ (ii )当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝1n(u i －u )(v i －v )∑i ＝1n(u i －u )2，α^＝v －β^u .解析 (I)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(II)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于d ^＝∑i ＝18(w i －w )·(y i －y )∑i ＝18(w i －w )2＝108.81.6＝68， c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x .(III)(i )由(II)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32.(ii )根据(II)的结果知，年利润z 的预报值z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．解题要点 (1)正确运用计算b ，a 的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键． (2)分析两变量的相关关系，可由散点图作出判断，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．(3) 求解回归方程关键是确定回归系数a ^，b ^，因求解b ^的公式计算量太大，一般题目中给出相关的量，如x －，y －，i ＝1∑n,i ＝1)x 2i ，i ＝1∑n,i ＝1)x i y i 等，便可直接代入求解．充分利用回归直线过样本中心点(x －，y －)，即有y ＝b ^x －＋a ^，可确定a ^. 题型三 相关分析例4 有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是________．① 列联表中c 的值为30，b 的值为35 ② 列联表中c 的值为15，b 的值为50 ③根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”④根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 答案 ③解析 由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c ＝20，b ＝45，选项A 、B 错误．根据列联表中的数据，得到χ2＝2105(10302045)55503075⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈6.109＞3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．变式训练 在研究色盲与性别的关系调查中，调查了男性480人，其中有38人患色盲，调查的520名女性中，有6人患色盲． (1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)若认为“性别与患色盲有关系”，求出错的概率． 解析 (1)2×2列联表如下：(2)0χ2＝1 000×(38×514－6×442)2480×520×44×956≈27.14，又P (χ2≥10.828)＝0.001，即H 0成立的概率不超过0.001，故若认为“性别与患色盲有关系”，则出错的概率为0.1%.解题要点 (1)独立性检验的关键是正确列出2×2列联表，并计算出χ2的值．(2)弄清判断两变量有关的把握性与犯错误概率的关系，根据题目要求作出正确的回答．当堂练习1．(2015湖北文)已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是________．①x 与y 正相关，x 与z 负相关 ②x 与y 正相关，x 与z 正相关 ③x 与y 负相关，x 与z 负相关 ④x 与y 负相关，x 与z 正相关 答案 ③解析 因为y ＝－0.1x ＋1，－0.1<0，所以x 与y 负相关．又y 与z 正相关，故可设z ＝ay ＋b (a >0)，所以z ＝－0.1ax ＋a ＋b ，－0.1a <0，所以x 与z 负相关． 2．(2014·湖北卷) 根据如下样本数据得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则________．①a ＞0，b ＜0 ②a ＞0，b ＞0 ③a ＜0，b ＜0 ④a ＜0，b ＞0 答案 ①解析 作出散点图如下：由图象不难得出，回归直线y ^＝bx ＋a 的斜率b <0，截距a >0，所以a >0，b <0． 3. 通过随机询问110名大学生是否爱好某项运动，得到如下列联表：由K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），得K 2＝110×（40×30－20×20）260×50×60×50≈7.8.附表：参照附表，得到的正确结论是________．① 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” ② 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”③ 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” ④ 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 答案 ①解析 因为7.8>6.635，所以选项①正确．4．下列有关样本相关系数的说法不正确的是________．①相关系数用来衡量变量x 与y 之间的线性相关程度 ②|r |≤1，且|r |越接近于1，相关程度越大 ③|r |≤1，且|r |越接近0，相关程度越小 ④|r |≥1，且|r |越接近1，相关程度越小 答案 ④5．两个相关变量满足如下关系：答案 y ∧＝0.56x ＋997.4解析 回归直线经过样本中心点(20,1 008.6)，经检验只有选项A 符合题意．课后作业一、 填空题1．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为_____． 答案 1解析 根据相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1．2．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x -85.71，则下列结论中不正确．．．的是______． ①y 与x 具有正的线性相关关系 ②回归直线过样本点的中心(x ，y )③若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg ④若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 答案 ④解析 由回归方程为y =0.85x -85.71知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知ˆ()ybx a bx y bx a y bx =+=+-=-，所以回归直线过样本点的中心(x ，y )，利用回归方程可以预测估计总体，所以④不正确.3．(2015新课标II文)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图．以下结论不正确．．．的是________．①逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著②2007年我国治理二氧化硫排放显现成效③2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势④2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关答案④解析从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，①选项正确；2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，②选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即③选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，④选项错误，故选④．4．下面是一个2×2列联表其中a，b处填的值分别为答案5274解析由a＋21＝73，得a＝52，a＋22＝b，得b＝74．5．为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝8.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握性约为________．答案99%解析因为K2＝8.01>6.635，所以有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”．6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为________． 答案 3解析 由y ＝0.7x ＋0.35得2.5＋t ＋4＋4.54＝0.7×3＋4＋5＋64＋0.35⇒11＋t 4＝3.5⇒t ＝3.7．(2014·江西卷)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是________．表1 表2表3 表4答案 阅读量解析 通过计算可得，表1中的χ2≈0.009，表2中的χ2≈1.769，表3中的χ2＝1.300，表4中的χ2≈23.481．8．已知某车间加工零件的个数x 与所花费时间y (h)之间的线性回归方程为y ^＝0.01x ＋0.5，则加工600个零件大约需要的时间为________． 答案 6.5 h解析 将600代入线性回归方程y ^＝0.01x ＋0.5中得需要的时间为6.5 h.9．为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P (K 2≥3.841)≈0.05，根据表中数据，得到K 2的观测值k ＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为________． 答案 5%解析 由K 2的观测值k ≈4.844>3.841，故认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为5%. 10．考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x (cm)与肱骨长度y (cm)的线性回归方程为y ^＝1.197x －3.660，由此估计，当股骨长度为50 cm 时，肱骨长度的估计值为________cm. 答案 56.19解析 根据回归方程y ^＝1.197x －3.660，将x ＝50代入，得y ＝56.19，则肱骨长度的估计值为56.19 cm.11．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的回归方程为________．答案 y ^＝1.23x ＋0.08解析 设回归直线方程为y ^＝1.23x ＋a ，由题意得：5＝1.23×4＋a ，得a ＝0.08，故回归方程为y ^＝1.23x ＋0.08. 二、解答题12． (2013·重庆文)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中，b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i －n x2，a ＝y －b x ，其中x －，y －为样本平均值，线性回归方程也可写为y ∧＝b ∧x ＋a ∧.解析 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑i ＝110x i ＝8010＝8，y ＝1n ∑i ＝110y i ＝2010＝2，又∑i ＝110x 2i －n x 2＝720－10×82＝80， ∑i ＝110x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24，由此得b ＝∑i ＝110x i y i －n x y∑i ＝110x 2i －n x2＝2480＝0.3， a ＝y －b x ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ∧＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄约为y ＝0.3×7－0.4＝1.7千元． 13．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸，呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对入院50人进行了问卷调查，得到了如下的列联表.(1)(2)为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2，并回答有多大把握认为心肺疾病与性别有关？参考公式：K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.解析(1)在患心肺疾病人群中抽6人，则抽取比例为630＝15，∴男性应该抽取20×15＝4人．(2)∵K2≈8.333，且P(K2≥7.879)＝0.005＝0.5%，所以有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关系．。