(京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练6 数列 文
2019高考数学总复习优编增分练8+6分项练6数列理
＋分项练数列．(·烟台模拟)已知{}为等比数列，数列{}满足＝，＝，且(＋－)＝＋，则数列{}的前项和为( )．＋．－答案解析∵＝，＝，且(＋－)＝＋，∴(－)＝，即＝，又数列{}为等比数列，∴数列{}的公比＝，且≠，∴＋－＝＝，∴数列{}是首项为，公差为的等差数列，∴数列{}的前项和为＝＋×＝.．(·河南省南阳市第一中学模拟)设是公差不为的等差数列{}的前项和，＝，且，，成等比数列，则等于( )．．．．答案解析设等差数列{}的公差为，因为＝，所以＝，解得＝或＝，又因为，，构成等比数列，所以＝，所以(－)＝(－)(＋)，若＝，则＝－，此时＝，不符合题意，舍去，当＝时，可得(－)＝(－)(＋)，解得＝(＝舍去)，所以＝＋＝＋×＝.．(·南充质检)已知数列{}满足＝，＋＝(∈*)，则等于( )．－．答案解析因为＋＝(∈*)，所以＝，＝－，＝，＝，＝－，＝，…，故此数列的周期为.所以＝×＋＝＝－.．《张丘建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为尺；②第一圈的周长为尺；③每节比其下面的一节多尺；④每圈周长比其下面的一圈少尺)问：此民谣提出的问题的答案是( )．尺．尺．尺．尺答案解析因为每竹节间的长相差尺，设从地面往上，每节竹长为，，，…，，所以{}是以＝为首项，以＝为公差的等差数列，由题意知竹节圈长，上一圈比下一圈少尺，。
(京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练(70分)8+6标准练4 理
[70分] 8＋6标准练41．已知全集U ＝{1,2,3,4}，若A ＝{1,3}，B ＝{3}，则(∁U A )∩(∁U B )等于( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{2,3} D ．{2,4} 答案 D解析 根据题意得∁U A ＝{2,4}，∁U B ＝{1,2,4}， 故(∁U A )∩(∁U B )＝{2,4}．2．设i 是虚数单位，若复数z ＝i1＋i ，则z 的共轭复数为( )A.12＋12i B ．1＋12i C ．1－12i D.12－12i 答案 D 解析 复数z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝i ＋12， 根据共轭复数的概念得，z 的共轭复数为12－12i.3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为( )A ．30B ．25C ．22D ．20 答案 D解析 50×(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝20.4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.83B.163C.203 D ．8 答案 B解析 由三视图可知，该几何体是底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示．∴该几何体的体积V ＝13×8×2＝163.5．《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，可用如图所示的程序框图解决此类问题．现执行该程序框图，输入的d 的值为33，则输出的i 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 C解析 i ＝0，S ＝0，x ＝1，y ＝1，开始执行程序框图，i ＝1，S ＝1＋1，x ＝2，y ＝12；i ＝2，S ＝1＋2＋1＋12，x ＝4，y ＝14；…；i ＝5，S ＝(1＋2＋4＋8＋16)＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋18＋116<33，x ＝32，y ＝132，再执行一次，S >d 退出循环，输出i ＝6，故选C.6．在△ABC 中，tan A ＋B2＝sin C ，若AB ＝2，则△ABC 的周长的取值范围是( )A ．(2,22]B ．(22，4]C ．(4,2＋22]D ．(2＋22，6]答案 C解析 由题意可得tan A ＋B 2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝cosC2sinC 2＝2sin C 2cos C2，则sin 2C 2＝12，即1－cos C 2＝12， ∴cos C ＝0，C ＝π2.据此可得△ABC 是以点C 为直角顶点的直角三角形， 则4＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，据此有a ＋b ≤22，∴△ABC 的周长a ＋b ＋c ≤2＋2 2. 三角形满足两边之和大于第三边， 则a ＋b >2，∴a ＋b ＋c >4.综上可得，△ABC 周长的取值范围是(4,2＋22]．7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15.其中m ∈N *且m ≥2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为( )A.24143B.1143C.2413D.613答案 D解析 ∵S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15， ∴a m ＝S m －S m －1＝0－13＝－13，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝－15－0＝－15，又∵数列{a n }为等差数列，∴公差d ＝a m ＋1－a m ＝－15－(－13)＝－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)a 1＋(m －1)(m －2)2×(－2)＝13，ma 1＋m (m －1)2×(－2)＝0，解得a 1＝13，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13－2(n －1)＝15－2n ， 当a n ≥0时，n ≤7.5， 当a n ＋1≤0时，n ≥6.5， ∴数列的前7项为正数， ∴1a n a n ＋1＝1(15－2n )(13－2n ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫113－2n －115－2n∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为12⎝ ⎛⎭⎪⎫111－113＋19－111＋17－19＋…＋1－13 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－113＝613.故选D.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧||log 2x ，0<x <2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ，2≤x ≤10，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4满足x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则(x 3－2)(x 4－2)x 1x 2的取值范围是( ) A ．(0,12) B ．(0,16) C ．(9,21) D ．(15,25)答案 A解析 函数的图象如图所示，∵f (x 1)＝f (x 2)，∴－log 2x 1＝log 2x 2， ∴log 2x 1x 2＝0，∴x 1x 2＝1， ∵f (x 3)＝f (x 4)， 由函数对称性可知，x 3＋x 4＝12,2<x 3<x 4<10，∴(x 3－2)(x 4－2)x 1x 2＝x 3x 4－2(x 3＋x 4)＋4＝x 3x 4－20＝x 3(12－x 3)－20＝－(x 3－6)2＋16， ∵2<x 3<4， ∴(x 3－2)(x 4－2)x 1x 2的取值范围是(0,12)．9．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 在b 方向上的投影为________． 答案22解析 设a 与b 的夹角为θ， ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝0，即a 2－|a |·|b |cos θ＝0， ∴cos θ＝22， ∴向量a 在b 方向上的投影为|a |·cos θ＝22. 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，则ω的最小值为________． 答案 23解析 方法一 当x ＝π2时，ωx ＋φ＝π2ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，当x ＝π4时，ωx ＋φ＝π4ω＋φ＝2k 2π＋π6或2k 2π＋5π6，k 2∈Z ，两式相减，得π4ω＝(k 1－2k 2)π－π6或(k 1－2k 2)π－5π6，k 1，k 2∈Z ，即ω＝4(k 1－2k 2)－23或4(k 1－2k 2)－103，k 1，k 2∈Z ，又因为ω>0，所以ω的最小值为4－103＝23.方法二 直接令π2ω＋φ＝π，π4ω＋φ＝5π6，得π4ω＝π6，解得ω＝23.11．已知二面角α－l －β为60°，动点P ，Q 分别在平面α，β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为23，则P ，Q 两点之间距离的最小值为________．答案 2 3解析 如图，分别作QA ⊥α于点A ，AC ⊥l 于点C ，PB ⊥β于点B ，PD ⊥l 于点D ，连接CQ ，BD ，则∠ACQ ＝∠PDB ＝60°，AQ ＝23，BP ＝3，∴AC ＝PD ＝2.又∵PQ ＝AQ 2＋AP 2＝12＋AP2≥23，当且仅当AP ＝0，即点A 与点P 重合时取最小值．12.已知正方形的四个顶点A (1,1)，B (－1，1)，C (－1，－1)，D (1，－1)分别在曲线y ＝x2和y ＝1－x 2－1上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．答案8＋3π24解析 y ＝x 2与AB 相交的阴影部分面积为2－ʃ1－1x 2d x ＝2－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 331－1＝2－23＝43， y ＝1－x 2－1化简得(y ＋1)2＋x 2＝1，则y ＝1－x 2－1与CD 相交的阴影部分的面积为半圆的面积， 即π×122＝π2，故质点落在图中阴影区域的概率是43＋π24＝8＋3π24.13．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋2y －5≤0，y ≥1，则u ＝(x ＋y )2xy的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，163解析 作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，令t ＝y x，它表示可行域内的点(x ，y )与原点的斜率，由图联立直线方程可得A (1,2)，B (3,1)，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2. u ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋2xy ＋y 2xy＝x y ＋y x＋2＝t ＋1t＋2. 易知u ＝t ＋1t ＋2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上单调递减， 在[1,2]上单调递增．当t ＝13时，u ＝163；当t ＝1时，u ＝4；当t ＝2时，u ＝92，所以u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，163.14．已知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |＝4，∠ABC ＝60°，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段AD ，BC (包含端点D ，C )分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________． 答案 (1，3＋1]解析 以线段AB 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，则在双曲线中c ＝2，C (1，3)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，只需C 点在双曲线右支图象的上方(包括在图象上)即可， 即1a 2－3b2≤1，两边同乘a 2b 2，得b 2－3a 2≤a 2b 2， 由于b 2＝c 2－a 2＝4－a 2，所以上式化为4－a 2－3a 2≤a 2()4－a 2，解得3－1≤a <2，所以12<1a ≤3＋12，故1<ca ≤3＋1.。
(京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练：8 6分项练12 函数的图象与性质 文
8＋6分项练12 函数的图象与性质1．(2018·葫芦岛模拟)已知实数x ，y 满足⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，则下列关系式中恒成立的是( )A ．tan x >tan yB ．ln ()x 2＋2>ln ()y 2＋1C.1x >1yD ．x 3>y 3答案 D解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y⇔x >y ，对于A ，当x ＝3π4，y ＝－3π4时，满足x >y ，但tan x >tan y 不成立．对于B ，若ln ()x 2＋2>ln ()y 2＋1，则等价于x 2＋1>y 2成立，当x ＝1，y ＝－2时，满足x >y ，但x 2＋1>y 2不成立．对于C ，当x ＝3，y ＝2时，满足x >y ，但1x >1y不成立．对于D ，当x >y 时，x 3>y 3恒成立．2．函数f (x )＝e x＋1x (e x －1)(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )答案 A解析 f (－x )＝e －x＋1(－x )(e －x－1) ＝e x＋1(－x )(1－e x )＝e x ＋1x (e x－1)＝f (x )， 所以f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称， 又当x →0时，f (x )→＋∞，故选A.3．已知定义域为R 的奇函数f (x )满足f (3－x )＋f (x )＝0，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，f (x )＝log 2(2x＋7)，则f (2 017)等于( ) A ．－2 B ．log 23 C ．3 D ．－log 25答案 D解析 因为奇函数f (x )满足f (3－x )＋f (x )＝0， 所以f (x )＝－f (3－x )＝f (x －3)，即周期为3， 所以f (2 017)＝f (1)＝－f (－1)＝－log 25，故选D.4．(2018·山西省运城市康杰中学模拟)已知函数f (x )＝ln(e x ＋e －x )＋x 2，则使得f (2x )>f (x ＋3)成立的x 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B.()－∞，－3∪()3，＋∞ C.()－3，3 D ．(－∞，－1)∪()3，＋∞答案 D解析 因为f (－x )＝ln(e －x＋e x )＋(－x )2＝ln(e x＋e －x)＋x 2＝f (x )， 所以函数f (x )是偶函数，又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (2x )>f (x ＋3)⇔|2x |>|x ＋3|， 解得x <－1或x >3.故选D.5．(2018·贵州省凯里市第一中学模拟)定义：如果函数f (x )的导函数为f ′(x )，在区间[a ，b ]上存在x 1，x 2(a <x 1<x 2<b )，使得f ′(x 1)＝f (b )－f (a )b －a ，f ′(x 2)＝f (b )－f (a )b －a，则称f (x )为区间[a ，b ]上的“双中值函数”．已知函数g (x )＝13x 3－m 2x 2是[0,2]上的“双中值函数”，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，83B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，83C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ D ．(－∞，＋∞)答案 B解析 由题意可知，g (x )＝13x 3－m 2x 2，∵g ′(x )＝x 2－mx 在区间[0,2]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<2)，满足g ′(x 1)＝g ′(x 2)＝g (2)－g (0)2－0＝43－m ， ∴方程x 2－mx ＋m －43＝0在区间(0,2)上有两个不相等的解，则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧Δ＝m 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫m －43>0，0<m 2<2，m －43>0，4－2m ＋m －43>0，解得43<m <83，则实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，83. 6．(2018·咸阳模拟)已知奇函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，则( ) A ．函数f (x )是以2为周期的周期函数 B ．函数f (x )是以4为周期的周期函数 C ．函数f (x ＋1)是奇函数 D ．函数f (x ＋2)是偶函数 答案 B解析 根据题意，定义在R 上的函数f (x )是奇函数， 则满足f (－x )＋f (x )＝0，即f (－x )＝－f (x )， 又由f (1－x )＝f (1＋x )，得f (x ＋2)＝f [1＋(x ＋1)]＝f [1－(x ＋1)] ＝f (－x )＝－f (x )， 即f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，故函数的周期为4.7．(2018·安徽亳州市涡阳一中模拟)若y ＝8x －log a x 2(a >0且a ≠1)在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上无零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1∪(1，＋∞) D ．(0,1)∪()4，＋∞答案 C解析 令y ＝8x －log a x 2＝0，则8x ＝log a x 2， 设f (x )＝8x，g (x )＝log a x 2，于是要使函数y ＝8x －log a x 2(a >0且a ≠1)在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上没有零点，只需函数f (x )与g (x )的图象在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上没有交点， 当a >1时，显然成立；当0<a <1时，f (x )＝8x单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝813＝2，此时，要使函数f (x )与g (x )的图象在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上没有交点， 则需g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝log a 19>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2，即log a 19>2＝log a a 2，于是a 2>19，解得13<a <1，故实数a 的取值范围是a >1或13<a <1，故选C.8．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，且当x ∈[2,4]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，2≤x ≤3，x 2＋2x，3<x ≤4，g (x )＝ax ＋1，对∀x 1∈[－2,0]，∃x 2∈[－2,1]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－18∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18C ．(0,8]D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞ 答案 D解析 由题意知问题等价于函数f (x )在[－2,0]上的值域是函数g (x )在[－2,1]上的值域的子集．当x ∈[2,4]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －2)2＋4，2≤x ≤3，x ＋2x，3<x ≤4，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，92，由f (x ＋2)＝2f (x )，可得f (x )＝12f (x ＋2)＝14f (x ＋4)，当x ∈[－2，0]时，x ＋4∈[2,4]．则f (x )在[－2,0]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，98. 当a >0时，g (x )∈[－2a ＋1，a ＋1]，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1≤34，a ＋1≥98，解得a ≥18；当a ＝0时，g (x )＝1，不符合题意；当a <0时，g (x )∈[a ＋1，－2a ＋1]，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤34，－2a ＋1≥98，解得a ≤－14. 综上所述，可得a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞. 9．(2018·四川省成都市第七中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥0，g (x )，x <0是奇函数，则g (f (－2))的值为________．答案 －2解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥0，g (x )，x <0是奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－(4－2)＝－2，g (f (－2))＝g (－2)＝f (－2)＝－2.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为________． 答案 2解析 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1的图象如图，由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0可得f (x )＝22|x |，则问题化为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1与函数y ＝22|x |＝21－|x |的图象的交点的个数问题．结合图象可以看出两函数图象的交点只有两个． 11．(2018·东北三省三校模拟)函数f (x )＝a x －2 015＋2 017(a >0且a ≠1)所过的定点坐标为________．答案 (2 015,2 018) 解析 当x ＝2 015时，f (2 015)＝a 2 015－2 015＋2 017＝a 0＋2 017＝2 018，∴f (x )＝ax －2 015＋2 017(a >0且a ≠1)过定点(2 015，2 018)．12．(2018·南平质检)已知实数x ，y 满足x 2－sin y ＝1，则sin y －x 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1＋2解析 由x 2－sin y ＝1，可得sin y ＝x 2－1. 又sin y ∈[－1,1]，所以x 2－1∈[－1,1]， 解得－2≤x ≤ 2.sin y －x ＝x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54.结合－2≤x ≤2，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1＋2. 13．若函数f (x )对定义域内的任意x 1，x 2，当f (x 1)＝f (x 2)时，总有x 1＝x 2，则称函数f (x )为单纯函数，例如函数f (x )＝x 是单纯函数，但函数f (x )＝x 2不是单纯函数，下列命题：①函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥2，x －1，x <2是单纯函数；②当a >－2时，函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x在(0，＋∞)上是单纯函数；③若函数f (x )为其定义域内的单纯函数，x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)；④若函数f (x )是单纯函数且在其定义域内可导，则在其定义域内一定存在x 0使其导数f ′(x 0)＝0，其中正确的命题为________．(填上所有正确命题的序号) 答案 ①③解析 由题设中提供的“单纯函数”的定义可知，当函数是单调函数时，该函数必为单纯函数．因为当x ≥2时，f (x )＝log 2x 单调，当x <2时，f (x )＝x －1单调，结合f (x )的图象可知f (x )是单纯函数，故命题①正确；对于命题②，f (x )＝x ＋1x ＋a ，由f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12但2≠12可知f (x )不是单纯函数，故命题②错误；此命题是单纯函数定义的逆否命题，故当x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)，即命题③正确；对于命题④，例如，f (x )＝x 是单纯函数且在其定义域内可导，但在定义域内不存在x 0，使f ′(x 0)＝0，故④错误，答案为①③.14．已知函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，关于x 的方程f 2(x )－af (x )－1＝0有以下结论： ①当a ≥0时，方程f 2(x )－af (x )－1＝0恒有根；②当0≤a <649时，方程f 2(x )－af (x )－1＝0在[]0，2π内有两个不等实根；③当a ≥0时，方程f 2(x )－af (x )－1＝0在[]0，6π内最多有9个不等实根；④若方程f 2(x )－af (x )－1＝0在[]0，6π内根的个数为非零偶数，则所有根之和为15π.其中正确的结论是________．(填序号) 答案 ③④解析 如图所示，令f (x )＝t ，故可将题意理解为先求出t 2－at －1＝0的解，然后再令f (x )＝t 即可得出方程的根的情况，而假设t 2－at －1＝0有两解t 1，t 2，则t 1＋t 2＝a ，t 1·t 2＝－1，故t 1，t 2一正一负，显然负根与函数f (x )的图象不会产生交点，故只需讨论正根与图象的交点，不妨假设t 1为正根，故可得t 1－1t 1＝a ，对于①显然错误，只要足够大，很显然与函数图象不会有交点，故①错误．对于②，当0≤a <649时，a ∈⎣⎡⎭⎫0，83，故t 1∈[1,3)，故方程f 2(x )－af (x )－1＝0在[]0，2π内有两个或三个不等实根，故②错误．对于③，当a ≥0时，故a ∈[0，＋∞)，当a ＝0时，t 1的最小值取1.当t 1＝1时，此时在[]0，6π内有9个不等实根；当a >0时，此时在[]0，6π内无根或者3个根或者6个根，故最多9个根，③正确；对于④，当在[]0，6π内有偶数(非零)个根时，即为6个根，此时6个解关于x ＝5π2对称，故6个根的和为5π2×2×3＝15π，④正确，故正确的为③④.。
(京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练：8 6分项练6 数列 文
8＋6分项练6 数 列1．(2018·大连模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( )A ．27B ．31C ．63D ．75答案 C解析 由题意得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，所以3,12，S 6－15成等比数列，所以122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.2．(2018·莆田质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13>0，S 14<0，则S n 取最大值时n的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．13答案 B解析 根据S 13>0，S 14<0，可以确定a 1＋a 13＝2a 7>0，a 1＋a 14＝a 7＋a 8<0，所以可以得到a 7>0，a 8<0，所以S n 取最大值时n 的值为7.3．已知数列{a n }中a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝2－2·(－1)n ，n ∈N *，则S 2 017的值为( )A ．2 016×1 010－1B ．1 009×2 017C ．2 017×1 010－1D ．1 009×2 016 答案 C解析 由递推公式，可得当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝4，数列{a n }的奇数项是首项为1，公差为4的等差数列，当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝0，数列{a n }的偶数项是首项为2，公差为0的等差数列， S 2 017＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 016)＝1 009＋12×1 009×1 008×4＋1 008×2＝2 017×1 010－1.4．(2018·南充质检)已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 56等于( ) A ．－ 3 B ．0 C. 3 D.32 答案 A解析 因为a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)， 所以a 1＝0，a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，a 5＝－3，a 6＝3，…， 故此数列的周期为3.所以a 56＝a 18×3＋2＝a 2＝－ 3.5．(2018·咸阳模拟)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配)．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得( )A ．三分鹿之一B ．三分鹿之二C ．一鹿D ．一鹿、三分鹿之一答案 A解析 显然5人所得依次成等差数列，设公士所得为x ， 则5⎝ ⎛⎭⎪⎫53＋x 2＝5，解得x ＝13. 6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)，数列{b n }的通项公式为b n ＝3n －1，记它们的公共项由小到大排成的数列为{c n }，令x n ＝c n 1＋c n ，则1x 1…x n －1x n 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．(1，e)C.233,e 2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，e 答案 C 解析 由题意知，{a n }，{b n }的共同项为2,8,32,128，…，故c n ＝22n －1. 由x n ＝c n 1＋c n ，得1x n ＝1＋1c n， 1x 1…x n －1x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c n .令F n ＝1x 1…x n －1x n ，则当n ≥2时，F n F n －1＝1x n>1， 故数列{F n }是递增数列，∴1x 1…x n －1x n ≥32. ∵当x >0时，ln(1＋x )<x ，∴ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c n <1c n， 则ln ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 2…⎝⎛⎭⎪⎫1＋1c n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 2＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c n <1c 1＋1c 2＋…＋1c n＝12＋123＋…＋122n －1 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n 1－14<121－14＝23， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c n <23e ， 故32≤1x 1…x n －1x n <23e ，故选C. 7．(2018·宁德质检)记S n 为数列{a n }的前n 项和，满足a 1＝32，2a n ＋1＋3S n ＝3(n ∈N *)，若S n ＋2S n≤M 对任意的n ∈N *恒成立，则实数M 的最小值为( ) A ．2 2 B.176 C.4112D ．4 答案 C解析 由a 1＝32，2a n ＋1＋3S n ＝3(n ∈N *)， 得2a n ＋3S n －1＝3，n ≥2.两式相减，可得2a n ＋1－2a n ＋3a n ＝0，即a n ＋1a n ＝－12＝q .∵a 1＝32，∴2a 2＋3S 1＝3，即2a 2＋3a 1＝3， ∴a 2＝－34，∴a 2a 1＝－12， ∴a n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1. 则S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1＋12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n . ∴当n ＝1时，S n 取最大值32； 当n ＝2时，S n 取最小值34. 要使S n ＋2S n≤M 对任意的n ∈N *恒成立． 根据对勾函数的性质，当S n ＝34时， S n ＋2S n 取得最大值4112， ∴M ≥4112， ∴实数M 的最小值为4112. 8．(2018·湖南省岳阳市第一中学模拟)已知数列{a n }满足当2k －1－1<n ≤2k －1(k ∈N *，n ∈N *)时，a n ＝k2k ，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则满足S n >10的n 的最小值为( ) A ．59 B ．58 C ．57 D ．60答案 B解析 由题意可得，当k ＝1时，20－1<n ≤21－1，即n ＝1，则a n ＝12，所以S 1＝12； 当k ＝2时，21－1<n ≤22－1，即1<n ≤3，n ∈N *，则a n ＝12，所以S 3－S 1＝12＋12＝1； 当k ＝3时，22－1<n ≤23－1，即3<n ≤7，n ∈N *，则a n ＝38，所以S 7－S 3＝4×38＝32；当k ＝4时，23－1<n ≤24－1，即7<n ≤15，n ∈N *，则a n ＝14，所以S 15－S 7＝8×14＝2； 当k ＝5时，24－1<n ≤25－1，即15<n ≤31，n ∈N *，则a n ＝532，所以S 31－S 15＝16×532＝52； 当k ＝6时，25－1<n ≤26－1，即31<n ≤63，n ∈N *，则a n ＝332，所以S 63－S 31＝32×332＝3， 则S 31＝12＋1＋32＋2＋52＝7.5， 设从a 32到a 63中有m 项，则m 项的和为m ×332＝3m 32， 令3m 32>2.5，解得m >803，所以当S n >10时，n >57， 所以n 的最小值为58.9．(2018·烟台模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7＝5，S 9＝27，则a 20＝________. 答案 18解析 由等差数列的前n 项和公式可知 S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝27，解得a 5＝3， 又由d ＝a 7－a 57－5＝5－32＝1，所以由等差数列的通项公式可得a 20＝a 5＋15d ＝3＋15×1＝18.10．(2018·三明质检)若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2，则S 8＝________. 答案 510解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，据此可得a 1＝2，当n ≥2时，S n ＝2a n －2，S n －1＝2a n －1－2，两式作差可得a n ＝2a n －2a n －1，则a n ＝2a n －1，据此可得数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，其前8项和为S 8＝2×()1－281－2＝29－2＝512－2＝510. 11．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋r ，则a 3－r ＝________，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 的最大项是第k 项，则k ＝________.答案 19 4解析 等比数列前n 项和公式具有的特征为S n ＝aq n －a ，据此可知，r ＝－1，则S n ＝3n －1，a 3＝S 3－S 2＝()33－1－()32－1＝18， a 3－r ＝19.令b n ＝n ()n ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ，且b n >0， 则b n ＋1b n ＝23·n 2＋6n ＋5n 2＋4n， 由b n ＋1b n ＝23·n 2＋6n ＋5n 2＋4n>1可得n 2<10， 由b n ＋1b n ＝23·n 2＋6n ＋5n 2＋4n<1可得n 2>10， 据此可得，数列中的项满足b 1<b 2<b 3<b 4，且b 4>b 5>b 6>b 7>b 8>…，则k ＝4.12．(2018·河南省南阳市第一中学模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝pn 2－2n ，n ∈N *，b n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 1＋2＋3＋…＋n，若数列{b n }是公差为2的等差数列，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝3n －72解析 由S n ＝pn 2－2n ，n ∈N *可知，当n ＝1时，a 1＝S 1＝p －2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2pn －p －2， a 1＝p －2符合上式，所以对任意的n ∈N *均有a n ＝2pn －p －2，则a n ＋1－a n ＝2p ，因而数列{a n }是公差为2p 的等差数列，a 2＝3p －2， b 1＝a 1＝p －2，b 2＝a 1＋2a 21＋2＝7p －63，则b 2－b 1＝7p －63－(p －2)＝2， 得2p ＝3，p ＝32，a 1＝－12， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－12＋(n －1)×3＝3n －72，n ∈N *.13．(2018·大连模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 2＝2，a 3n ＝2n －2a n ，a 3n ＋1＝a n ＋1，a 3n ＋2＝a n －n ，则S 30＝________.(用数字作答)答案 75解析 ∵a 3n ＝2n －2a n ，a 3n ＋1＝a n ＋1，a 3n ＋2＝a n －n ，a 1＝1，a 2＝2，∴a 3＝2－2a 1＝2－2＝0，a 4＝a 1＋1＝2，a 5＝a 1－1＝0，∴a 3＋a 4＋a 5＝2.∵a 3n ＝2n －2a n ，a 3n ＋1＝a n ＋1，a 3n ＋2＝a n －n ，∴把上面三个式子相加得a 3n ＋a 3n ＋1＋a 3n ＋2＝n ＋1，∴a 10＝a 3×3＋1＝a 3＋1＝0＋1＝1，∴a 30＝a 3×10＝2×10－2a 10＝18.∴S 30＝a 1＋a 2＋(a 3＋a 4＋a 5)＋(a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 27＋a 28＋a 29)＋a 30＝1＋2＋(2＋10)×92＋18＝75. 14．数列{a n }满足a 1＝43，a n ＋1＝a 2n －a n ＋1(n ∈N *)，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 017的整数部分是________． 答案 2解析 因为a 1＝43，a n ＋1＝a 2n －a n ＋1(n ∈N *)， 所以a n ＋1－a n ＝(a n －1)2>0，所以a n ＋1>a n ，数列{a n }单调递增，所以a n ＋1－1＝a n (a n －1)>0，所以1a n ＋1－1＝1a n (a n －1)＝1a n －1－1a n ， 所以1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1， 所以S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1－1a 2－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1－1a 3－1＋…＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1－1a n ＋1－1＝1a 1－1－1a n ＋1－1， 所以m ＝S 2 017＝3－1a 2 018－1， 因为a 1＝43，所以a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432－43＋1＝139，a 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1392－139＋1＝13381，a 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133812－13381＋1>2，…，所以a 2 018>a 2 017>a 2 016>…>a 4>2， 所以a 2 018－1>1，所以0<1a 2 018－1<1，所以2<3－1a 2 018－1<3，因此m 的整数部分是2.。
2019高考数学(京、津)专用(文)优编增分练：8+6分项练9+Word版含解析
2019高考数学（京、津）专用（文）优编增分练8＋6分项练9立体几何1．(2018·泸州模拟)设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是()A．a∥b，b⊂α，则a∥αB．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥bC．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βD．α∥β，a⊂α，则a∥β答案 D解析由a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面知，在A中，a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误；在B中，a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b平行或异面，故B错误；在C中，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，α∥β，a⊂α，则由面面平行的性质得a∥β，故D正确．2．(2018·福建省厦门外国语学校模拟)如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正(主)视图是()答案 A解析取DD1的中点F，连接AF，C1F，平面AFC 1E 为截面．如图所示，所以上半部分的正(主)视图，如A 选项所示，故选A.3．(2018·昆明模拟)一个几何体挖去部分后的三视图如图所示，若其正(主)视图和侧(左)视图都是由三个边长为2的正三角形组成，则该几何体的表面积为( )A ．13πB ．12πC ．11πD ．23π答案 B解析 由三视图可知，该几何体是一个圆台，内部挖去一个圆锥．圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，圆锥底面为圆台的上底面，顶点为圆台底面的圆心． 圆台侧面积为π(1＋2)×2＝6π，下底面面积为π×22＝4π，圆锥的侧面积为π×1×2＝2π.所以该几何体的表面积为6π＋4π＋2π＝12π.4．(2018·洛阳统考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.233B.152C.476D ．8 答案 A。
2019高考数学(京、津)专用(理)优编增分练：8+6分项练6 数 列+Word版含解析
2019高考数学（京、津）专用（理）优编增分练8＋6分项练6 数 列1．(2018·烟台模拟)已知{a n }为等比数列，数列{b n }满足b 1＝2，b 2＝5，且a n (b n ＋1－b n )＝a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为( )A ．3n ＋1B ．3n －1 C.3n 2＋n 2D.3n 2－n 2 答案 C解析 ∵b 1＝2，b 2＝5，且a n (b n ＋1－b n )＝a n ＋1，∴a 1(b 2－b 1)＝a 2，即a 2＝3a 1，又数列{a n }为等比数列，∴数列{a n }的公比q ＝3，且a n ≠0，∴b n ＋1－b n ＝a n ＋1a n＝3， ∴数列{b n }是首项为2，公差为3的等差数列，∴数列{b n }的前n 项和为S n ＝2n ＋n (n －1)2×3＝3n 2＋n 2. 2．(2018·河南省南阳市第一中学模拟)设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10等于( )A ．15B ．19C ．21D ．30答案 B解析 设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 3＝a 22，所以3a 2＝a 22，解得a2＝0或a2＝3，又因为S1，S2，S4构成等比数列，所以S22＝S1S4，所以(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)，若a2＝0，则d2＝－2d2，此时d＝0，不符合题意，舍去，当a2＝3时，可得(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，解得d＝2(d＝0舍去)，所以a10＝a2＋8d＝3＋8×2＝19.3．(2018·南充质检)已知数列{a n}满足a1＝0，a n＋1＝a n－33a n＋1(n∈N*)，则a56等于()A．－ 3 B．0 C. 3 D.3 2答案 A解析因为a n＋1＝a n－33a n＋1(n∈N*)，所以a1＝0，a2＝－3，a3＝3，a4＝0，a5＝－3，a6＝3，…，故此数列的周期为3.所以a56＝a18×3＋2＝a2＝－ 3.4．《张丘建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)问：此民谣提出的问题的答案是()A．72.705尺B．61.395尺C．61.905尺D．73.995尺答案 B。
精品(京津专用)2019高考数学总复习优编增分练(70分)8+6标准练3理
[70分] 8＋6标准练31．已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝y y ＝1x，x >2，则?U P 等于()A.12，＋∞B.0，12C ．(0，＋∞）D ．(－∞，0)∪12，＋∞答案 A解析由集合U 中的函数y ＝log 2x ，x >1，解得y >0，所以全集U ＝(0，＋∞)，同样P ＝0，12，得到?U P ＝12，＋∞.2．“a >0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 在区间(0，＋∞)上是增函数”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析当a >0时，f ′（x )＝3x 2＋a >0在区间(0，＋∞)上恒成立，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数，充分性成立；当f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数时，f ′（x )＝3x 2＋a ≥０在(0，＋∞)上恒成立，即a ≥0，必要性不成立，故“a >0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 在区间(0，＋∞)上是增函数”的充分不必要条件．3.如图，在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为()A ．－4B ．－1C ．1D ．4 答案 B解析由题意，设BP →＝nBN →，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋n 14NC →－AB →＝AB →＋n 15AC →－AB→＝(1－n )AB →＋n 5AC →，又∵AP →＝mAB →＋25AC →，∴m ＝1－n ，n 5＝25.解得n ＝2，m ＝－1.4．在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA ＝AB ，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.12B.13C.14D.15答案 B解析根据几何体的三视图，得该几何体是过BD 且平行于PA 的平面截四棱锥P －ABCD 所得的几何体．设AB ＝1，则截去的部分为三棱锥E －BCD ，它的体积为V 三棱锥E －BCD ＝13×12×1×1×12＝112，剩余部分的体积为V 剩余部分＝V 四棱锥P －ABCD－V 三棱锥E －BCD＝13×１2×1－112＝14. 所以截去部分的体积与剩余部分的体积比为1 12∶14＝1∶3.5．秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为3，每次输入a的值均为4，输出s的值为484，则输入n的值为( )A．6 B．5 C．4 D．3答案 C解析模拟程序的运行，可得x＝3，k＝0，s＝0，a＝4，s＝4，k＝1；不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝16，k＝2；不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝52，k＝3；不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝160，k＝4；不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝484，k＝5.由题意，此时应该满足条件k>n，退出循环，输出s的值为484，可得5>n≥4，所以输入n的值为 4.6．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成角的大小为( )A．90°B．60°C．45° D．30°答案 C解析如图，当DO⊥平面ABC时，三棱锥D－ABC的体积最大．∴∠DBO为直线BD和平面ABC所成的角，∵在Rt△DOB中，OD＝OB，∴直线BD和平面ABC所成角的大小为45°．7．在区间[－1,1]上任取两数s和t，则关于x的方程x2＋2sx＋t＝0的两根都是正数的概率为( )A.124B.112C.14D.13答案 B解析由题意可得，－1≤s≤1，－1≤t≤1，其区域是边长为2的正方形，面积为4，由二次方程x2＋2sx＋t＝0有两正根，可得4s2－4t≥0，－2s>0，t>0，即s2≥t，s<0，t>0，其区域如图阴影部分所示，面积S＝?0－1s2d s＝13s30－1＝13，所求概率P＝134＝112.8．已知正数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，则S＝1＋z2xyz的最小值为( )A．3 B.33＋12C．4 D．2(2＋1) 答案 C解析由题意可得0<z<1,0<1－z<1，∴z(1－z)≤z＋1－z22＝14，当且仅当z＝1－z，即z＝12时取等号．又x2＋y2＋z2＝1，∴1－z2＝x2＋y2≥２xy，当且仅当x＝y时取等号，∴1－z22xy≥1，∴1＋z1－z2xy≥1，∴1＋z2xy≥11－z，∴1＋z2xyz≥11－z z≥4，当且仅当x＝y＝64且z＝12时取等号，∴S＝1＋z2xyz的最小值为 4.9．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a5a3＝73，则S5S3＝________.答案 5解析在等差数列{a n}中，设首项为a1，公差为d，由于a5a3＝73，得a1＋4da1＋2d＝73，解得a1＝－d2，S5S3＝5a1＋a523a1＋a32＝5a33a2＝5·3d23·d2＝5.10．已知复数z满足i z＝4＋3i1＋2i，则复数z在复平面内对应的点在第__________象限．答案三解析∵ｉz＝4＋3i1＋2i，∴z＝4＋3i1＋2i i＝4＋3i－2＋i＝4＋3i－2－i－2＋i－2－i＝－5－10i5＝－1－2i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限．11．(2x＋1)1－1x6的展开式中的常数项是________．答案－11解析∵1－1x6的展开式的通项公式是C k6－1xk，其中含1x的项是C16－1x1，常数项为C06－1x0＝1，故(2x＋1)1－1x6的展开式中的常数项是2x×C16－1x1＋1×1＝－12＋1＝－11.12．若直线y ＝3x 上存在点(x ，y )满足约束条件x ＋y ＋4>0，2x －y ＋8≥0，x ≤m ，则实数m 的取值范围是__________．答案(－1，＋∞）解析由题意作出其平面区域，由y ＝3x ，y ＝－x －4，解得A (－1，－3)．故m >－1.13．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos B ＝14，b ＝4，sin A ＝2sin C ，则△ABC 的面积为________．答案15解析根据余弦定理的推论cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，可得14＝a 2＋c 2－422ac，化简得2a 2＋2c 2－32＝ac .(*) 又由正弦定理asin A ＝csin C，可得a c ＝sin A sin C ＝21，即a ＝2c ，代入(*)式得2·(2c )2＋2c 2－32＝2c ·c ，化简得c 2＝4，所以c ＝2，则a ＝4，又B ∈(0，π)，则sin B ＝1－cos 2B ＝154，S △ABC ＝12ac sin B ＝12×4×2×154＝15，即△ABC 的面积为15.14．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，记直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，当2k1k2＋ln|k1|＋ln|k2|最小时，双曲线的离心率为________．答案 3解析设A(x1，y1)，C(x2，y2)，由题意知，点A，B为过原点的直线与双曲线x2a2－y2b2＝1的交点，∴由双曲线的对称性，得A，B关于原点对称，∴B(－x1，－y1)，∴k1k2＝y2－y1x2－x1·y2＋y1x2＋x1＝y22－y21x22－x21，∵点A，C都在双曲线上，∴x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1，两式相减，可得k1k2＝b2a2>0，对于2k1k2＋ln|k1|＋ln|k2|＝2k1k2＋ln|k1k2|，设函数y＝2x＋ln x，x>0，由y′＝－2x2＋1x＝0，得x＝2，当x>2时，y′>0，当0<x<2时，y′<0，∴当x＝2时，函数y＝2x＋ln x，x>0取得最小值，∴当2k1k2＋ln(k1k2)最小时，k1k2＝b2a2＝2，∴e＝1＋b2a2＝ 3.。
(京津专用)2019高考数学总复习优编增分练：8+6标准练3文
8＋6标准练31．已知全集U＝{1,2,3,4}，若A＝{1,3}，B＝{3}，则(∁U A)∩(∁U B)等于( )A．{1,2} B．{1,4}C．{2,3} D．{2,4}答案 D解析 根据题意得∁U A＝{2,4}，∁U B＝{1,2,4}，故(∁U A)∩(∁U B)＝{2,4}．x2．如果数据x1，x2，…，x n的平均数为，方差为82，则5x1＋2,5x2＋2，…，5x n＋2的平均数和方差分别为( )x xA.，82B．5＋2,82x xC．5＋2,25×82 D.，25×82答案 Cx解析 根据平均数的概念，其平均数为5＋2，方差为25×82，故选C.3．已知a＝1.90.4，b＝log0.41.9，c＝0.41.9，则( )A．a>b>c B．b>c>aC．a>c>b D．c>a>b答案 C解析 ∵a＝1.90.4>1.90＝1，b＝log0.41.9<log0.41＝0,0<c＝0.41.9<0.40＝1，∴a>c>b.4.如图，已知正方形的面积为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此试验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为( )A ．5.3B ．4.3C ．4.7D ．5.7答案 B 解析 由古典概型概率公式及对立事件概率公式可得，落在阴影部分的概率为1－，因114200为正方形的面积为10，所以由几何概型概率公式可得阴影部分的面积约为10×＝4.3.(1－114200)5．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为( )A. B ．1 C. D.234383答案 C 解析 该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积V ＝××2＝.13(12×2×2)436．已知函数f (x )＝2 017x ＋log 2 017(＋x )－2 017－x ＋3，则关于x 的不等式x 2＋1f (1－2x )＋f (x )>6的解集为( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(1,4)答案 A解析 由题意知，g (x )＝2 017x －2 017－x ＋log 2 017(＋x )，x 2＋1g (－x )＝2 017－x －2 017x ＋log 2 017(－x )x 2＋1＝－2 017x ＋2 017－x ＋log 2 017，(1x 2＋1＋x )＝－2 017x ＋2 017－x －log 2 017(＋x )，x 2＋1∴g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数且在(－∞，＋∞)上单调递增，∴g (1－2x )＋3＋g (x )＋3>6，即g (x )>g (2x －1)，∴x >2x －1，∴x <1，∴不等式f (1－2x )＋f (x )>6的解集为(－∞，1)．7．在如图所示的程序框图中，若输入的S ＝2，输出的S >2 018，则判断框内可以填入的条件是( )A ．i >9?B ．i ≤10?C ．i ≥10?D ．i ≥11?答案 D解析 输入S ＝2，i ＝1，S ＝4＝22；i ＝2，S ＝8＝23；…；当i ＝10时，S ＝211＝2 048；当i ＝10＋1＝11，即i ≥11时，满足条件，退出循环，S ＝2 048.8．已知椭圆＋x 2＝1与抛物线x 2＝ay 有相同的焦点F ，O 为原点，点P 是抛物线准线上一y 25动点，点A 在抛物线上，且|AF |＝4，则|PA |＋|PO |的最小值为( )A ．2B ．4C ．3D ．4132136答案 A解析 ∵椭圆＋x 2＝1，y 25∴c 2＝5－1＝4，即c ＝2，则椭圆的焦点为(0，±2)，不妨取焦点(0,2)，∵抛物线x 2＝ay ＝4y ，(a 4)∴抛物线的焦点坐标为.(0，a 4)∵椭圆＋x 2＝1与抛物线x 2＝ay 有相同的焦点F ，y 25∴＝2，即a ＝8，a 4则抛物线方程为x 2＝8y ，准线方程为y ＝－2，∵|AF |＝4，由抛物线的定义得A 到准线的距离为4，即y ＋2＝4，即A 点的纵坐标y ＝2，又点A 在抛物线上，∴x ＝±4，不妨取点A (4,2)，A 关于准线的对称点为B (4，－6)，则|PA |＋|PO |＝|PB |＋|PO |≥|OB |，即当O ，P ，B 三点共线时，有最小值，最小值为|OB |＝＝＝＝2.42＋(－6)216＋3652139．已知复数z 满足z (3＋4i)＝3－4i ，为z 的共轭复数，则||＝________.z z 答案 1解析 由题意得z ＝＝3－4i 3＋4i (3－4i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝＝－－i ，－7－24i 9＋167252425∴＝－＋i ，||＝＝1.z 7252425z (－725)2＋(2425)210．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为________．答案 10解析 设第一天织布a1尺，从第二天起每天比前一天多织d尺，由已知得Error!解得a1＝1，d＝1，∴第十日所织尺数为a10＝a1＋9d＝10.11．已知变量x，y满足约束条件Error!则z＝2x－3y的最大值为________．答案 4解析 作不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A(－1，－2)处取得最大值，其最大值为z max＝2×(－1)－3×(－2)＝4.12．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“我没有获奖”，乙说：“是丙获奖”，丙说：“是丁获奖”，丁说：“我没有获奖”．在以上问题中只有一人回答正确，根据以上的判断，获奖的歌手是________．答案 甲解析 若甲回答正确，则正确表述为甲：我未获奖；乙：丙未获奖；丙：丁未获奖；丁：我获奖．此情况下丙、丁冲突，故错误；若乙回答正确，则正确表述为甲：我获奖；乙：是丙获奖；丙：丁未获奖；丁：我获奖．而只有一个人获奖，故错误；若丙回答正确，则正确表述为甲：我获奖；乙：丙未获奖；丙：是丁获奖；丁：我获奖．而只有一个人获奖，故错误；若丁回答正确，则正确表述为甲：我获奖；乙：丙未获奖；丙：丁未获奖；丁：我没有获奖．此时获奖人数只有一个，为甲．故正确．213．已知向量a，b的夹角为θ，且a·b＝－1，a＝(－1,2)，|b|＝，则tanθ＝________.答案 －3解析 由已知可得cos θ＝＝＝－，a ·b|a ||b |－15×21010又θ∈[0，π]，所以sin θ＝＝，1－cos2θ31010所以tan θ＝＝－3.sin θcos θ14．已知a ，b ，c 分别是锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且b ＝2,4－c 2＝(a －c )a ，3则sin A －2cos C 的取值范围是________．答案 (0，32)解析 由题意得b 2－c 2＝a 2－ac ，3即a 2＋c 2－b 2＝ac ，3则cos B ＝＝，a 2＋c 2－b 22ac 32又B ∈，所以B ＝，(0，π2)π6由Error!得<A <，π3π2因为sin A －2cos C ＝sin A ＋2cos(B ＋A )＝sin A ＋2＝cos A ，(32cos A －12sin A )3所以0<cos A <，332故sin A －2cos C 的取值范围为.(0，32)。
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8＋6分项练6 数 列1．(2018·大连模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( )A ．27B ．31C ．63D ．75答案 C解析 由题意得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，所以3,12，S 6－15成等比数列，所以122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.2．(2018·莆田质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13>0，S 14<0，则S n 取最大值时n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．13答案 B解析 根据S 13>0，S 14<0，可以确定a 1＋a 13＝2a 7>0，a 1＋a 14＝a 7＋a 8<0，所以可以得到a 7>0，a 8<0，所以S n 取最大值时n 的值为7.3．已知数列{a n }中a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝2－2·(－1)n ，n ∈N *，则S 2 017的值为( )A ．2 016×1 010－1B ．1 009×2 017C ．2 017×1 010－1D ．1 009×2 016 答案 C解析 由递推公式，可得当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝4，数列{a n }的奇数项是首项为1，公差为4的等差数列， 当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝0，数列{a n }的偶数项是首项为2，公差为0的等差数列， S 2 017＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 016)＝1 009＋12×1 009×1 008×4＋1 008×2 ＝2 017×1 010－1.4．(2018·南充质检)已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 56等于( ) A ．－ 3 B ．0 C. 3 D.32 答案 A解析 因为a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)， 所以a 1＝0，a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，a 5＝－3，a 6＝3，…，故此数列的周期为3.所以a 56＝a 18×3＋2＝a 2＝－ 3.5．(2018·咸阳模拟)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配)．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得( )A ．三分鹿之一B ．三分鹿之二C ．一鹿D ．一鹿、三分鹿之一答案 A解析 显然5人所得依次成等差数列，设公士所得为x ， 则5⎝ ⎛⎭⎪⎫53＋x 2＝5，解得x ＝13. 6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)，数列{b n }的通项公式为b n ＝3n －1，记它们的公共项由小到大排成的数列为{c n }，令x n ＝c n 1＋c n ，则1x 1…x n －1x n的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．(1，e) C.233,e 2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，e 答案 C 解析 由题意知，{a n }，{b n }的共同项为2,8,32,128，…，故c n ＝22n －1. 由x n ＝c n 1＋c n ，得1x n ＝1＋1c n， 1x 1…x n －1x n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1c 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c n . 令F n ＝1x 1…x n －1x n， 则当n ≥2时，F n F n －1＝1x n>1， 故数列{F n }是递增数列，∴1x 1…x n －1x n ≥32. ∵当x >0时，ln(1＋x )<x ，∴ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c n <1c n， 则ln ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c n＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 2＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c n <1c 1＋1c 2＋…＋1c n＝12＋123＋…＋122n －1 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n 1－14<121－14＝23， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c n <23e ， 故32≤1x 1…x n －1x n <23e ，故选C. 7．(2018·宁德质检)记S n 为数列{a n }的前n 项和，满足a 1＝32，2a n ＋1＋3S n ＝3(n ∈N *)，若S n ＋2S n≤M 对任意的n ∈N *恒成立，则实数M 的最小值为( ) A ．2 2 B.176 C.4112D ．4 答案 C解析 由a 1＝32，2a n ＋1＋3S n ＝3(n ∈N *)， 得2a n ＋3S n －1＝3，n ≥2.两式相减，可得2a n ＋1－2a n ＋3a n ＝0，即a n ＋1a n ＝－12＝q . ∵a 1＝32，∴2a 2＋3S 1＝3，即2a 2＋3a 1＝3， ∴a 2＝－34，∴a 2a 1＝－12， ∴a n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1. 则S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1＋12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n . ∴当n ＝1时，S n 取最大值32；当n ＝2时，S n 取最小值34. 要使S n ＋2S n≤M 对任意的n ∈N *恒成立． 根据对勾函数的性质，当S n ＝34时， S n ＋2S n 取得最大值4112， ∴M ≥4112， ∴实数M 的最小值为4112. 8．(2018·湖南省岳阳市第一中学模拟)已知数列{a n }满足当2k －1－1<n ≤2k －1(k ∈N *，n ∈N *)时，a n ＝k2k ，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则满足S n >10的n 的最小值为( ) A ．59 B ．58 C ．57 D ．60答案 B解析 由题意可得，当k ＝1时，20－1<n ≤21－1，即n ＝1，则a n ＝12，所以S 1＝12； 当k ＝2时，21－1<n ≤22－1，即1<n ≤3，n ∈N *，则a n ＝12，所以S 3－S 1＝12＋12＝1； 当k ＝3时，22－1<n ≤23－1，即3<n ≤7，n ∈N *，则a n ＝38，所以S 7－S 3＝4×38＝32； 当k ＝4时，23－1<n ≤24－1，即7<n ≤15，n ∈N *，则a n ＝14，所以S 15－S 7＝8×14＝2； 当k ＝5时，24－1<n ≤25－1，即15<n ≤31，n ∈N *，则a n ＝532，所以S 31－S 15＝16×532＝52； 当k ＝6时，25－1<n ≤26－1，即31<n ≤63，n ∈N *，则a n ＝332，所以S 63－S 31＝32×332＝3， 则S 31＝12＋1＋32＋2＋52＝7.5，设从a 32到a 63中有m 项，则m 项的和为m ×332＝3m 32， 令3m 32>2.5，解得m >803，所以当S n >10时，n >57， 所以n 的最小值为58.9．(2018·烟台模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7＝5，S 9＝27，则a 20＝________. 答案 18解析 由等差数列的前n 项和公式可知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝27，解得a 5＝3， 又由d ＝a 7－a 57－5＝5－32＝1，所以由等差数列的通项公式可得a 20＝a 5＋15d ＝3＋15×1＝18.10．(2018·三明质检)若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2，则S 8＝________. 答案 510解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，据此可得a 1＝2， 当n ≥2时，S n ＝2a n －2，S n －1＝2a n －1－2，两式作差可得a n ＝2a n －2a n －1，则a n ＝2a n －1，据此可得数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，其前8项和为S 8＝2×()1－281－2＝29－2＝512－2＝510. 11．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋r ，则a 3－r ＝________，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 的最大项是第k 项，则k ＝________.答案 19 4解析 等比数列前n 项和公式具有的特征为S n ＝aq n －a ，据此可知，r ＝－1，则S n ＝3n －1，a 3＝S 3－S 2＝()33－1－()32－1＝18， a 3－r ＝19.令b n ＝n ()n ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ，且b n >0， 则b n ＋1b n ＝23·n 2＋6n ＋5n 2＋4n， 由b n ＋1b n ＝23·n 2＋6n ＋5n 2＋4n>1可得n 2<10，由b n ＋1b n ＝23·n 2＋6n ＋5n 2＋4n<1可得n 2>10， 据此可得，数列中的项满足b 1<b 2<b 3<b 4，且b 4>b 5>b 6>b 7>b 8>…，则k ＝4.12．(2018·河南省南阳市第一中学模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝pn 2－2n ，n ∈N *，b n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 1＋2＋3＋…＋n，若数列{b n }是公差为2的等差数列，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝3n －72解析 由S n ＝pn 2－2n ，n ∈N *可知，当n ＝1时，a 1＝S 1＝p －2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2pn －p －2， a 1＝p －2符合上式，所以对任意的n ∈N *均有a n ＝2pn －p －2，则a n ＋1－a n ＝2p ，因而数列{a n }是公差为2p 的等差数列，a 2＝3p －2， b 1＝a 1＝p －2，b 2＝a 1＋2a 21＋2＝7p －63，则b 2－b 1＝7p －63－(p －2)＝2， 得2p ＝3，p ＝32，a 1＝－12， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－12＋(n －1)×3＝3n －72，n ∈N *.13．(2018·大连模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 2＝2，a 3n ＝2n －2a n ，a 3n ＋1＝a n ＋1，a 3n ＋2＝a n －n ，则S 30＝________.(用数字作答) 答案 75解析 ∵a 3n ＝2n －2a n ，a 3n ＋1＝a n ＋1， a 3n ＋2＝a n －n ，a 1＝1，a 2＝2，∴a 3＝2－2a 1＝2－2＝0，a 4＝a 1＋1＝2，a 5＝a 1－1＝0，∴a 3＋a 4＋a 5＝2.∵a 3n ＝2n －2a n ，a 3n ＋1＝a n ＋1，a 3n ＋2＝a n －n ，∴把上面三个式子相加得a 3n ＋a 3n ＋1＋a 3n ＋2＝n ＋1，∴a 10＝a 3×3＋1＝a 3＋1＝0＋1＝1，∴a 30＝a 3×10＝2×10－2a 10＝18.∴S 30＝a 1＋a 2＋(a 3＋a 4＋a 5)＋(a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 27＋a 28＋a 29)＋a 30＝1＋2＋(2＋10)×92＋18＝75. 14．数列{a n }满足a 1＝43，a n ＋1＝a 2n －a n ＋1(n ∈N *)，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 017的整数部分是________． 答案 2解析 因为a 1＝43，a n ＋1＝a 2n －a n ＋1(n ∈N *)，所以a n ＋1－a n ＝(a n －1)2>0，所以a n ＋1>a n ，数列{a n }单调递增，所以a n ＋1－1＝a n (a n －1)>0，所以1a n ＋1－1＝1a n (a n －1)＝1a n －1－1a n，所以1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1，所以S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1－1a 2－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1－1a 3－1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1－1a n ＋1－1＝1a 1－1－1a n ＋1－1， 所以m ＝S 2 017＝3－1a 2 018－1，因为a 1＝43，所以a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432－43＋1＝139，a 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1392－139＋1＝13381，a 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133812－13381＋1>2，…，所以a 2 018>a 2 017>a 2 016>…>a 4>2，所以a 2 018－1>1，所以0<1a 2 018－1<1，所以2<3－1a 2 018－1<3，因此m 的整数部分是2.。