06-07(1)微积分期末_6308_975_20101019223754

2006-2007学年第一学期〈微积分(B)I 〉期末考试试卷(A)答案1．(6分).253lim 10xxx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→求极限 解：原式= []⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++→→x x xx x x 1lim exp ]1253[1lim 01][][10=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+→→25ln 3ln exp 1125ln 53ln 3lim exp 11253lim exp 000x x x x x x x =15评分:做到第1、2、3、4、5、6个等号后，给到2、3、3、5、6、6分。

2．(6分) .cos cos cos y x x x y '++=，求设解：x xx x xx xy sin cos 41sin cos 21sin 21---='.评分: 结论的3项, 1项2分.3．(7分) 讨论函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+-=∞→x x x x f nn n 2211lim )(的连续性,如有间断点,判别其类型. 解：⎪⎩⎪⎨⎧-==⇔=-<>⇔>-<<-⇔<=.111||,0,111||,,111||,)(x x x x x x x x x x x f 或或显然 f (x ) 在),1(),1,1(),1,(+∞---∞连续.1,1)1(,1)1(=∴-==+-x f f 是一类跳跃间断点. 1,1))1((,1))1((-=∴=--=-+-x f f 是一类跳跃间断点.评分: f (x )的3行,1行1分;连续行1分;最后2行3分(对1行2分).4．(8分)设 y=y (x ) 由方程3=+xy y x 确定,求曲线y=y (x ) 在(1,2)处的切线方程. 解: 切线 )()|(0,000x x y y y y y x x x -⋅'=-==0)1(ln )1ln ()3()(='+++'⇒'='+x xx yx x xyy yxy y xy x y x y x得代入将,2,100====y y x x 2ln 22)|(00,--='='==y y x x x x y y ;所求切线方程: )1()2ln 22(2-⋅--=-x y . 评分:做到第1、2、3、4行后，给到1、5、7、8分 5．(6分) 填空题: 已知 f (x ) 二阶导数连续,且,321)(lim2=-+→x xx f x.)0(,)0(,)0(=''='=f f f 则解: 填 -1, 2, 6. 评分: 一空2分. 6．(7分) 45)12()2(+-=x x y 求函数的单调区间和极值点(不必算极值).解: 2)12(4)2()12()2(53544+-++-='x x x x y]1118[)12()2(34-+-=x x x所以有表 x -1/2 11/18 2 y ’ + 0 - 0 + 0 + y 增加 极大 减少 极小 增加 驻点 增加]18/112/1[18/11[]2/1，）；单减区间为，，，单增区间为（-∞+-∞-∴.极大值点-1/2; 极小值点11/18.评分: y ’ 正确(第2个等号后)3分,表第1行1分, 第2行1分, 第3行2分;最后两行(方括号可用圆括号代替)可以代替表4分.7．(8分) 求曲线 xx x x x y ++--=2232332 的所有的渐进线的方程.解: 垂直 (间断处x =0,x =-1可能) :0,lim 0=∴∞=→x y x 是垂直渐进线.1,12366lim 2332lim lim 2122311-=∃=+--=++--=-→-→-→x x x x xx x x x y x x x 不是垂直渐进线.斜渐进线(含水平渐进线k =0):,2lim ==∞→x y k x 523])(22332[lim )(lim 22223-=--=++-++--=-=∞→∞→xx x x x x x x x x kx y b x x52-=+=∴x b kx y 是斜渐进线(无水平渐进线).评分:第1、2、3、4、5、6、7行分别给0、2、2、0、1、2、1分(无第3行减2分).8．(8分) 证明: 当xxx x +≥+≥1arctan )1ln(0时，.解: .arctan 1ln )1()(x x x x H -++=）（令则 00)01l n (1111ln)(02=++≥+-++='≥xx x H x ）（时，; 广义），单增时，()(0x H x ≥; 所证时，⇔=≥≥0)0()(0H x H x .评分:做到第1、2、3、4行后，给到3、6分）给10(≥、7、8分 9．(7分) 求由抛物线 22-==x y x y 及直线 所围图形的面积. 解:如图解 点）（点）或B y A y y y x y x y 2(122,22=-=⇒+=⇒-== 故 所求=29322]2[2132212=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-+--⎰y y y dy y y ）（评分:只看最后一行，做到第1、2、3个等号后，给到4(限2分,函数2分)、6、7分 10．(8分=4+4分) 设a ,b 为常数,且0≠ab ,(1)求不定积分dx x b x a x b x a ⎰++-sin cos cos sin , dx x b x a x b x a ⎰++sin cos sin cos ;(2)求不定积分 dx x b x a x I ⎰+=sin cos cos 1, dx xb x a xI ⎰+=sin cos sin 2; 解: (1) C x b x a dx x b x a xb x a ++=++-⎰|sin cos |ln sin cos cos sin C x dx xb x a xb x a +=++⎰sin cos sin cos (2)由(1)及积分的线性性质可知C x b x a aI bI ++=-|sin cos |ln 21 C x bI aI +=+21由克莱姆法则(注意算时不要C,最后加个C)C ax x b x a b b a C b a a b b x ax b x a D D I ++++=+--+==]|sin cos |ln [1|sin cos |ln 2211C bx x b x a a b a C ba ab x a x b x a b D D I +++-+=+-+==]|sin cos |ln [1|sin cos |ln 2222 评分: (1)前3分,后1分; (2)列方程2分,解方程2分.11．(9分=5+4分) 积分计算 (1)求⎰-dx x )1ln(2；(2)求⎰-12.)1ln(dx x解: (1) dx xx x x dx x ⎰⎰-+----=-2222111)2()1ln()1ln( C xx x x x +-++-+-=]1!ln 21[2)1ln(2(2) 102]}1!ln 21[2)1ln({xx x x x -++-+-=所求 0]}1!ln 21[2)1ln({lim 21--++-+-=-→）（xx x x x x +++-+=-→]1ln 21ln [lim 1）（）（x x x x x ]1ln )1ln([lim 1）（x x x x ----→ 22ln 2)1()1(lim 22ln 2)1()1ln(lim 22ln 221111-=----+-=--+-=--→-→--x x x x x x评分: (1)前3分,后2分; (2) 做到第1、2、3、4、5、6个等号后，给到0、2(有“-0”给1分)、3、3、3、4分.12．(6分) 若 f (t ) 是连续的奇函数,证明⎰xdtt f 0)(是偶函数.解:令u=-t ,注意 f 是奇函数,则⎰⎰⎰=--=-xxxdtt f du u f dt t f 0)()1)(()(故⎰xdtt f 0)(是偶函数.(注意本题))()(),()(0x F x F x F dtt f x=-=⎰证评分: u=-t 2分; 第2行3分, 第3行1分.13．(6分) 设半径为R 的球体的体密度r r 其中,2=μ是球内任一点到球心的距离,求球体的质量.(注意均匀物体的质量等于其体密度与体积的乘积)解: 将球分成一层一层的同心球壳,与球心距离在 [ x, x+dx ] 中的球壳质量为 dM , 体积为 dv , 则所求=54)4(52200R dx x x dv dM M RR R ππμ====⎰⎰⎰评分:只看最后一行，积分限1分，dv x dv dM 2==μ 1分，dx x dv 24π= 3分，结论1分.14．(8分) 设证明：,0)0(,0)(=<''f x f .)()()(,0,0b f a f b a f b a +<+>>都有对任意解1: 由中值定理b a a b f a f b a f +<<'=-+11,)()()(ξξ b b f f b f b f <<'=-=220,)()0()()(ξξ则 b f f b f a f b a f )]()([)()()(21ξξ'-'=--+=-右左 由于)(,0)(x f x f '<''所以单减, 不妨设a b ≤,则0)]()([)()(0212112<'-'⇒'<'⇒<≤<<b f f f f a b ξξξξξξ 故 0<-右左.评分:第1、2、3、4、5、6、7、8行分别给0、2、2、0、1、1、1、1分(第4、8行一起1分). 解2: 令)()()()(x a f a f x f x H +-+=， 则 )()()(0x a f x f x H x +'-'='≥时，;由于)(,0)(x f x f '<''所以单减,故由0)()()(00>+'-'='≥⇒>x a f x f x H x a 时，单增时，)(0x H x ≥;0)0()(0=>-=>H b H b 左右时，.评分:做到第1、2、3、4、5、6行后，给到3、4、5、6、6、8分 附加题1．(10分) 求),(|4|160||160)(+∞-∞-+++=在x x x f 上的最值及值域.解2: 因为解)(x f 连续，所以)(x f 的最值只能取在驻点、不可导点和区间端点。