初三数学旋转同步练习及答案
中考数学元复习《图形的旋转》练习题含答案
中考数学复习图形的旋转一、选择题1．下列图形中是中心对称图形的有( B )A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB 的延长线上，连结AD.下列结论一定正确的是( C )A．∠ABD＝∠E B．∠CBE＝∠CC．AD∥BC D．AD＝BC,第2题图),第3题图) 3．如图，在平面直角坐标系中，点B，C，E在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE.若点C的坐标为(0，1)，AC＝2，则这种变换可以是( A )A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为( A )A.10 B．2 2 C．3 D．25【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE＝4，DE＝3，∴BE＝1，在Rt△BED中，BD＝BE2＋DE2＝10.故选A.,第4题图),第5题图) 5．如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A(－2，5)的对应点A′的坐标是( B )A．(2，5) B．(5，2) C．(2，－5) D．(5，－2)【解析】∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，∴△ABO≌△A′B′O，∠AOA′＝90°，∴AO＝A′O.作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，∴∠ACO＝∠A′C′O＝90°.∵∠COC′＝90°，∴∠AOA′－∠COA′＝∠COC′－∠COA′，∴∠AOC＝∠A′OC′.∴△ACO≌△A′C′O，∴AC＝A′C′，CO＝C′O.∵A(－2，5)，∴AC＝2，CO＝5，∴A′C′＝2，OC′＝5，∴A′(5，2)．故选B.6．如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连结AD，BD.则下列结论：①AC＝AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是( D ) A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，∴∠ACE＝120°，∠DCE ＝∠BCA＝60°，A C＝CD＝DE＝CE，∴∠ACD＝120°－60°＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，AC＝AD＝DE＝CE，∴四边形ACED是菱形，∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，AC＝AD，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∴①②③都正确，故选D.二、填空题7．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是__60°__．,第7题图),第8题图) 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的，写出一种由△OCD得到△AOB的过程：__将△COD绕点C顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度得到△AOB(答案不唯一)．__．9．如图，在△ABC中，∠A＝70°，AC＝BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度，得到△A′BC′，点A恰好落在AC上的点A′处，连结CC′，则∠ACC′＝__110°__．【解析】∵∠A＝70°，AC＝BC，∴∠BCA＝40°，根据旋转的性质，AB＝BA′，BC＝BC′，∴∠α＝180°－2×70°＝40°，∵∠CBC′＝∠α＝40°，∴∠BCC′＝70°，∴∠ACC′＝∠ACB＋∠BCC′＝110°.10．如图，在正方形ABCD中，AD＝23，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连结AP并延长交CD于点E，连结PC，则△PCE的面积为__9－53__．【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∵把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，∴PB＝BC＝AB，∠PBC＝30°，∴∠ABP＝60°，∴△ABP是等边三角形，∴∠BAP ＝60°，AP＝AB＝23，∵AD＝23，∴AE＝4，DE＝2，∴CE＝23－2，PE＝4－23，过P作PF ⊥CD 于F ，∴PF ＝32PE ＝23－3，∴△PCE 的面积为12CE ·PF ＝12×(23－2)×(23－3)＝9－5 3.故答案为9－5 3.,第10题图) ,第11题图)11．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，则DE 2＋BG 2＝__2a 2＋2b 2__．【解析】连结BD ，EG ，如图所示，∴DO 2＋BO 2＝BD 2＝BC 2＋CD 2＝2a 2，EO 2＋OG 2＝EG 2＝CG 2＋CE 2＝2b 2，则BG 2＋DE 2＝DO 2＋BO 2＋EO 2＋OG 2＝2a 2＋2b 2.三、解答题12. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点均在格点上，点A ，B ，C 的坐标分别是A (－2，3)，B (－1，2)，C (－3，1)，△ABC 绕点O 顺时针旋转90°后得到△A 1B 1C 1.(1)在正方形网格中作出△A 1B 1C 1；(2)在旋转过程中，点A 经过的路径AA 1︵的长度为__132π__；(3)在y 轴上找一点D ，使DB ＋DB 1的值最小，并求出D 点的坐标．,题图),答图)解：(1)如图所示： (2)在旋转过程中，点A 经过的路径AA 1︵的长度为90×π×13180＝132π (3)∵点B ，B 1在y 轴两旁，连结BB 1交y 轴于点D ，设D′为y 轴上异于D 的点，显然D′B ＋D′B 1>DB ＋DB 1，∴当点D 是BB 1与y 轴交点时，DB ＋DB 1最小．设直线BB 1的解析式为y ＝kx ＋b ，依据题意得⎩⎨⎧－k ＋b ＝2，2k ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧k ＝－13，b ＝53，∴y ＝－13x ＋53，∴D (0，53) 13．如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E ，F 分别是AB ，BC 边上的点，且∠EDF ＝45°，将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .(1)求证：△DEF ≌△DMF ；(2)若AE ＝1，求FM 的长．解：(1)∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM ，∴∠FCM ＝∠FCD ＋∠DCM ＝180°，∴F ，C ，M 三点共线，∴DE ＝DM ，∠EDM ＝90°，∴∠EDF ＋∠MDF ＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠MDF ＝∠EDF ＝45°，在△DEF 和△DMF 中，∵⎩⎨⎧DE ＝DM ，∠EDF ＝∠MDF ，DF ＝DF ，∴△DEF ≌△DMF (SAS ) (2)由(1)得EF ＝MF ，设EF ＝MF ＝x ，∵AE ＝CM ＝1，且BC ＝3，∴BM ＝BC ＋CM ＝3＋1＝4，∴BF ＝BM －MF ＝BM －EF ＝4－x ，∵EB ＝AB －AE ＝3－1＝2，在Rt △EBF 中，由勾股定理得EB 2＋BF 2＝EF 2，即22＋(4－x )2＝x 2，解得x ＝52，∴FM ＝5214．如图①，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2，宽为1的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形ABEF .现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE ′F ′D ′，旋转角为α.(1)当点D ′恰好落在EF 边上时，求旋转角α的值；(2)如图②，G 为BC 中点，且0°＜α＜90°，求证：GD ′＝E ′D ；(3)小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，△DCD ′与△CBD ′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，请说明理由．解：(1)∵DC ∥EF ，∴∠DCD ′＝∠CD′E ＝α，∵sin α＝CE CD′＝CE CD ＝12，∴α＝30° (2)∵G 为BC 中点，∴GC ＝CE′＝CE ＝1.∵∠D′CG ＝∠DCG ＋∠DCD′＝90°＋α，∠DCE ′＝∠D′CE′＋∠DCD′＝90°＋α，∴∠D ′CG ＝∠DCE′.又∵CD′＝CD ，∴△GCD ′≌△E ′CD (SAS )，∴GD ′＝E′D (3)能．α＝135°或α＝315°。
初三数学旋转单元测试题及答案
旋转【1】一、选择题1.将叶片图案旋转180°后，得到的图形是( )2.如图，在等腰直角△ABC中，B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则等于（） A.60° B.105° C.120° D.135°3.(南平)如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在位置，A点落在位置，若，则的度数是( )A.50°B.60°C.70°D.80°4.(安徽)在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，4)，将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是( ) A.(-4，3) B.(-3，4) C.(3，-4) D.(4，-3)5.(济宁)在平面直角坐标系中，将点A1(6，1)向左平移4个单位到达点A2的位置，再向上平移3个单位到达点A3的位置，△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转900，则旋转后A3的坐标为( ) A.(-2，1)B.(1，1)C.(-1，1)D.(5，1)6.(嘉兴)如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF、MN相交于中心点O，对△ABC分别作下列变换：①先以点A为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格、向上平移4格；②先以点O为中心作中心对称图形，再以点A的对应点为中心逆时针方向旋转90°；③先以直线MN为轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90°. 其中，能将△ABC变换成△PQR的是( )A.①②B.①③C.②③D.①②③7.(黑龙江)在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )8.(潍坊)如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为( ) A.B. C. D.二、填空题9.(盐城)写出两个你熟悉的中心对称的几何图形名称，它们是____________.10.(衡阳)如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为_____________.11.(吉林)如图，直线与双曲线交于A、C两点，将直线绕点O顺时针旋转度角(0°＜≤45°)，与双曲线交于B、D两点，则四边形ABCD的形状一定是_________.12.(邵阳)如图，若将△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到△A′B′C′，则A点的对应点A′点的坐标是_____________.13.(北京)在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x绕点O顺时针旋转90°得到直线，直线与反比例函数的图象的一个交点为A(a，3)，则反比例函数的解析式是______.14.(东营)在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是__________.三、解答题15.(宿迁)如图，在平面直角坐标系中，三角形②、③是由三角形①依次旋转后所得的图形.(1)在图中标出旋转中心P的位置，并写出它的坐标；(2)在图上画出再次旋转后的三角形④.16.(大连)如图，已知△ABC和△A″B″C″及点O.⑴画出△ABC关于点O对称的△A′B′C′；⑵若△A″B″C″与△ABC关于点O′对称，请确定点O′的位置；17.(大兴安岭)如图，在网格中有一个四边形图案.(1)请你画出此图案绕点D顺时针方向旋转90°，180°，270°的图案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置涂错；(2)若网格中每个小正方形的边长为l，旋转后点A的对应点依次为A1、A2、A3，求四边形AA1A2A3的面积；(3)这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论.18. 已知：如图在△ABC中，AB=AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC．(1)试猜想A E与BF有何关系？说明理由．(2)若△ABC的面积为3cm2，求四边形ABFE的面积；(3)当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．19. 如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.(1)观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.20.如图，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”.根据图形解答下列问题：(1)图中的格点△DEF是由格点△ABC通过怎样的变换得到的？(写出变换过程)(2)在图中建立适当的直角坐标系，写出△DEF各顶点的坐标.。
中考数学旋转综合练习题含答案解析
一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图①)，求证：△AEG≌△AEF；(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图②)，求证：EF2=ME2+NF2；(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变(如图③)，请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG≌△AEF；（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知△AEG≌△AEF，则EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；（3）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，根据旋转的性质可以得到△ADF≌△ABG，则DF=BG，再证明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代换得到EF=BE+DF．试题解析：（1）∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，∴AF=AG，∠FAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAE=45°，在△AGE与△AFE中，，∴△AGE≌△AFE（SAS）；（2）设正方形ABCD的边长为a．将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．则△ADF≌△ABG，DF=BG．由（1）知△AEG≌△AEF，∴EG=EF．∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，∴CE=CF ，BE=BM，NF=DF，∴a﹣BE=a﹣DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°，∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2，∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，∴EF2=ME2+NF2；（3）EF2=2BE2+2DF2．如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，即2（DF2+BE2）=EF2考点：四边形综合题2．(1)如图①，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接BE 、DF ，且BE 平分∠ABD ．①求证：四边形BFDE 是菱形；②直接写出∠EBF 的度数；(2)把(1)中菱形BFDE 进行分离研究，如图②，点G 、I 分别在BF 、BE 边上，且BG=BI ，连接GD ，H 为GD 的中点，连接FH 并延长，交ED 于点J ，连接IJ 、IH 、IF 、IG.试探究线段IH 与FH 之间满足的关系，并说明理由；(3)把(1)中矩形ABCD 进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD 满足AB=AD 时，点E 是对角线AC 上一点，连接DE 、EF 、DF ，使△DEF 是等腰直角三角形，DF 交AC 于点G.请直接写出线段AG 、GE 、EC 三者之间满足的数量关系.【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH ＝3FH ；（3）EG 2＝AG 2+CE 2．【解析】【分析】（1）①由△DOE ≌△BOF ，推出EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，推出四边形EBFD 是平行四边形，再证明EB ＝ED 即可．②先证明∠ABD ＝2∠ADB ，推出∠ADB ＝30°，延长即可解决问题．（2）IH ＝3FH ．只要证明△IJF 是等边三角形即可．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，先证明△DEG ≌△DEM ，再证明△ECM 是直角三角形即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，OB ＝OD ，∴∠EDO ＝∠FBO ，在△DOE 和△BOF 中，EDO FBO OD OBEOD BOF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△DOE ≌△BOF ，∴EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵EF ⊥BD ，OB ＝OD ，∴EB ＝ED ，∴四边形EBFD 是菱形．②∵BE 平分∠ABD ，∴∠ABE ＝∠EBD ，∵EB ＝ED ，∴∠EBD ＝∠EDB ，∴∠ABD ＝2∠ADB ，∵∠ABD +∠ADB ＝90°，∴∠ADB ＝30°，∠ABD ＝60°，∴∠ABE ＝∠EBO ＝∠OBF ＝30°，∴∠EBF ＝60°．（2）结论：IH＝3FH ．理由：如图2中，延长BE 到M ，使得EM ＝EJ ，连接MJ ．∵四边形EBFD 是菱形，∠B ＝60°，∴EB ＝BF ＝ED ，DE ∥BF ，∴∠JDH ＝∠FGH ，在△DHJ 和△GHF 中，DHG GHF DH GHJDH FGH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△DHJ ≌△GHF ，∴DJ ＝FG ，JH ＝HF ，∴EJ ＝BG ＝EM ＝BI ，∴BE ＝IM ＝BF ，∵∠MEJ ＝∠B ＝60°，∴△MEJ 是等边三角形，∴MJ ＝EM ＝NI ，∠M ＝∠B ＝60°在△BIF 和△MJI 中，BI MJ B M BF IM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BIF ≌△MJI ，∴IJ ＝IF ，∠BFI ＝∠MIJ ，∵HJ ＝HF ，∴IH ⊥JF ，∵∠BFI +∠BIF ＝120°，∴∠MIJ +∠BIF ＝120°，∴∠JIF ＝60°，∴△JIF 是等边三角形，在Rt △IHF 中，∵∠IHF ＝90°，∠IFH ＝60°，∴∠FIH ＝30°，∴IH＝3FH ．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．理由：如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，∵∠FAD +∠DEF ＝90°，∴AFED 四点共圆，∴∠EDF ＝∠DAE ＝45°，∠ADC ＝90°，∴∠ADF +∠EDC ＝45°，∵∠ADF ＝∠CDM ，∴∠CDM +∠CDE ＝45°＝∠EDG ，在△DEM 和△DEG 中，DE DE EDG EDM DG DM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△DEG ≌△DEM ，∴GE ＝EM ，∵∠DCM ＝∠DAG ＝∠ACD ＝45°，AG ＝CM ，∴∠ECM ＝90°∴EC 2+CM 2＝EM 2，∵EG ＝EM ，AG ＝CM ，∴GE 2＝AG 2+CE 2．【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题.3．平面上，Rt △ABC 与直径为CE 的半圆O 如图1摆放，∠B ＝90°，AC ＝2CE ＝m ，BC ＝n ，半圆O 交BC 边于点D ，将半圆O 绕点C 按逆时针方向旋转，点D 随半圆O 旋转且∠ECD 始终等于∠ACB ，旋转角记为α（0°≤α≤180°）（1）当α＝0°时，连接DE ，则∠CDE ＝ °，CD ＝ ；（2）试判断：旋转过程中BD AE的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）若m ＝10，n ＝8，当α＝∠ACB 时，求线段BD 的长； （4）若m ＝6，n ＝2，当半圆O 旋转至与△ABC 的边相切时，直接写出线段BD 的长．【答案】（1）90°，2n ；（2）无变化；（3）55；（4）BD=101143． 【解析】试题分析：（1）①根据直径的性质，由DE ∥AB 得CD CE CB CA =即可解决问题．②求出BD 、AE 即可解决问题．（2）只要证明△ACE ∽△BCD 即可．（3）求出AB 、AE ，利用△ACE ∽△BCD 即可解决问题．（4）分类讨论：①如图5中，当α=90°时，半圆与AC 相切，②如图6中，当α=90°+∠ACB 时，半圆与BC 相切，分别求出BD 即可．试题解析：（1）解：①如图1中，当α=0时，连接DE ，则∠CDE =90°．∵∠CDE =∠B =90°，∴DE ∥AB ，∴CE CD AC CB ==12．∵BC =n ，∴CD =12n ．故答案为90°，12n ． ②如图2中，当α=180°时，BD =BC +CD =32n ，AE =AC +CE =32m ，∴BD AE =n m ．故答案为n m． （2）如图3中，∵∠ACB =∠DCE ，∴∠ACE =∠BCD ．∵CD BC n CE AC m==，∴△ACE ∽△BCD ，∴BD BC n AE AC m ==．（3）如图4中，当α=∠ACB 时．在Rt △ABC 中，∵AC =10，BC =8，∴AB =22AC BC -=6．在Rt △ABE 中，∵AB =6，BE =BC ﹣CE =3，∴AE =22AB BE +=2263+=35，由（2）可知△ACE ∽△BCD ，∴BD BC AE AC =，∴35=810，∴BD =125．故答案为125． （4）∵m =6，n =42，∴CE =3，CD =22，AB =22CA BC -=2，①如图5中，当α=90°时，半圆与AC 相切．在Rt △DBC 中，BD =22BC CD +=224222+（）（）=210． ②如图6中，当α=90°+∠ACB 时，半圆与BC 相切，作EM ⊥AB 于M ．∵∠M =∠CBM =∠BCE =90°，∴四边形BCEM 是矩形，∴342BM EC ME ===，，∴AM =5，AE =22AM ME +=57，由（2）可知DB AE =223，∴BD =21143． 故答案为210或21143．点睛：本题考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确画出图形是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，本题综合性比较强，属于中考压轴题．4．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点一次落在直线y x =上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x=于点M，BC边交x轴于点N（如图）.（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；（3）设MBN∆的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析【解析】试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数；（3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子．试题解析：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，∴OA旋转了45°．∴OA在旋转过程中所扫过的面积为24523602ππ⨯=．（2）∵MN∥AC，∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．又∵BA=BC，∴AM=CN．又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN．∴∠AOM=∠CON=12（∠AOC-∠MON）=12（90°-45°）=22.5°．∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．证明：延长BA交y轴于E点，则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，∴∠AOE=∠CON．又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．∴△OAE≌△OCN．∴OE=ON，AE=CN．又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，∴△OME≌△OMN．∴MN=ME=AM+AE．∴MN=AM+CN，∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．考点：旋转的性质.5．如图，点A是x轴非负半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y 轴的垂线与直线CF相交于点E，连接AC，BC，设点A的横坐标为t．（Ⅰ）当t=2时，求点M的坐标；（Ⅱ）设ABCE的面积为S，当点C在线段EF上时，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（Ⅲ）当t为何值时，BC+CA取得最小值．【答案】（1）（1，2）；（2）S=32t+8（0≤t≤8）；（3）当t=0时，BC+AC有最小值【解析】试题分析：（I）过M作MG⊥OF于G，分别求OG和MG的长即可；（II）如图1，同理可求得AG和OG的长，证明△AMG≌△CAF，得：AG=CF=12t，AF=MG=2，分别表示EC和BE的长，代入面积公式可求得S与t的关系式；并求其t的取值范围；（III）证明△ABO∽△CAF，根据勾股定理表示AC和BC的长，计算其和，根据二次根式的意义得出当t=0时，值最小．试题解析：解：（I）如图1，过M作MG⊥OF于G，∴MG∥OB，当t=2时，OA=2．∵M是AB的中点，∴G是AO的中点，∴OG=12OA=1，MG是△AOB的中位线，∴MG=12OB=12×4=2，∴M（1，2）；（II）如图1，同理得：OG=AG=12t．∵∠BAC=90°，∴∠BAO+∠CAF=90°．∵∠CAF+∠ACF=90°，∴∠BAO=∠ACF．∵∠MGA=∠AFC=90°，MA =AC ，∴△AMG ≌△CAF ，∴AG =CF =12t ，AF =MG =2，∴EC =4﹣12t ，BE =OF =t +2，∴S △BCE =12EC •BE =12（4﹣12t ）（t +2）=﹣14t 2+32t +4； S △ABC =12•AB •AC =12•216t +•21162t +=14t 2+4，∴S =S △BEC +S △ABC =32t +8． 当A 与O 重合，C 与F 重合，如图2，此时t =0，当C 与E 重合时，如图3，AG =EF ，即 12t =4，t =8，∴S 与t 之间的函数关系式为：S =32t +8（0≤t ≤8）； （III ）如图1，易得△ABO ∽△CAF ，∴AB AC =OB AF =OA FC =2，∴AF =2，CF =12t ，由勾股定理得：AC =22AF CF +=22122t +（）=2144t +，BC =22BE EC +=221242t t ++-（）（）=21544t +（），∴BC +AC =（ 5+1）2144t +，∴当t =0时，BC +AC 有最小值．点睛：本题考查了几何变换综合题，知识点包括相似三角形、全等三角形、点的坐标、几何变换（旋转）、三角形的中位线等，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．6．在正方形ABCD 中，连接BD ．（1）如图1，AE ⊥BD 于E ．直接写出∠BAE 的度数．（2）如图1，在（1）的条件下，将△AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到△AB′E′，AB′与BD交于M，AE′的延长线与BD交于N．①依题意补全图1；②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明．（3）如图2，E、F是边BC、CD上的点，△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF 分别与BD交于M、N，写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路．（不必写出完整推理过程）【答案】（1）45°；（2）①补图见解析；②BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+MD2=MN2，证明见解析；（3）答案见解析.【解析】（1）利用等腰直角三角形的性质即可；（2）依题意画出如图1所示的图形，根据性质和正方形的性质，判断线段的关系，再利用勾股定理得到FB2+BM2=FM2，再判断出FM=MN即可；（3）利用△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，判断出EF=EG，再利用（2）证明即可．解：（1）∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ABD=∠ADB=45°，∵AE⊥BD，∴∠ABE=∠BAE=45°，（2）①依题意补全图形，如图1所示，②BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+MD2=MN2，将△AND绕点D顺时针旋转90°，得到△AFB，∴∠ADB=∠FBA，∠BAF=∠DAN，DN=BF，AF=AN，∵在正方形ABCD中，AE⊥BD，∴∠ADB=∠ABD=45°，∴∠FBM=∠FBA+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90°，在Rt△BFM中，根据勾股定理得，FB2+BM2=FM2，∵旋转△ANE得到AB1E1，∴∠E1AB1=45°，∴∠BAB1+∠DAN=90°﹣45°=45°，∵∠BAF=DAN，∴∠BAB1+∠BAF=45°，∴∠FAM=45°，∴∠FAM=∠E1AB1，∵AM=AM，AF=AN，∴△AFM≌△ANM，∴FM=MN，∵FB2+BM2=FM2，∴DN2+BM2=MN2，（3）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴DF=GB，∵正方形ABCD的周长为4AB，△CEF周长为EF+EC+CF，∵△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，∴4AB=2（EF+EC+CF），∴2AB=EF+EC+CF∵EC=AB﹣BE，CF=AB﹣DF，∴2AB=EF+AB﹣BE+AB﹣DF，∴EF=DF+BE，∵DF=GB，∴EF=GB+BE=GE，由旋转得到AD=AG=AB，∵AM=AM，∴△AEG≌△AEF，∠EAG=∠EAF=45°，和（2）的②一样，得到DN2+BM2=MN2．“点睛”此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质，三角形的全等，判断出（△AFN≌△ANM，得到FM=MM），是解题的关键.7．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是边AC上任意一点（点E与点A，C不重合），以CE为一直角边作Rt△ECD，∠ECD=90°，连接BE，AD．（1）若CA=CB，CE=CD①猜想线段BE，AD之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②现将图1中的Rt△ECD绕着点C顺时针旋转锐角α，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）若CA=8,CB=6，CE=3，CD=4，Rt△ECD绕着点C顺时针转锐角α，如图3，连接BD，AE，计算的值．【答案】（1）①BE=AD，BE⊥AD；②见解析；（2）125．【解析】试题分析：根据三角形全等的判定与性质得出BE=AD，BE⊥AD；设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，根据∠ACB=∠ECD=90°得出∠ACD=∠BCE，然后结合AC=BC，CD=CE得出△ACD≌△BCE，则AD=BE，∠CAD=∠CBF，根据∠BFC=∠AFG，∠BFC+∠CBE=90°得出∠AFG+∠CAD=90°，从而说明垂直；首先根据题意得出△ACD∽△BCE，然后说明∠AGE=∠BGD=90°，最后根据直角三角形的勾股定理将所求的线段转化成已知的线段得出答案．试题解析：（1）①解：BE=AD，BE⊥AD②BE=AD，BE⊥AD仍然成立证明：设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，如图1．∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACD=∠BCE ∵AC=BC CD=CE ∴△ACD≌△BCE∴AD=BE ∠CAD=∠CBF ∵∠BFC=∠AFG ∠BFC+∠CBE=90°∴∠AFG+∠CAD=90°∴∠AGF=90°∴BE⊥AD（2）证明：设BE与AC的交点为点F，BE的延长线与AD的交点为点G，如图2．∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACD=∠BCE ∵AC=8，BC=6，CE=3，CD=4 ∴△ACD∽△BCE∴∠CAD=∠CBE ∵∠BFC=∠AFG ∠BFC+∠CBE=90°∴∠AFG+∠CAD=90°∴∠AGF=90°∴BE⊥AD ∴∠AGE=∠BGD=90°∴，．∴．∵，，∴考点：三角形全等与相似、勾股定理．8．在正方形 ABCD 中，M 是 BC 边上一点，且点 M 不与 B、C 重合，点 P 在射线 AM 上，将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 90°得到线段 AQ，连接BP，DQ．（1）依题意补全图 1；（2）①连接 DP，若点 P，Q，D 恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2=2AB2；②若点 P，Q，C 恰好在同一条直线上，则 BP 与 AB 的数量关系为：．【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②BP=AB．【解析】【分析】（1）根据要求画出图形即可；（2）①连接BD，如图2，只要证明△ADQ≌△ABP，∠DPB=90°即可解决问题；②结论：BP=AB，如图3中，连接AC，延长CD到N，使得DN=CD，连接AN，QN．由△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，推出DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°，由∠AQP=45°，推出∠NQC=90°，由CD=DN，可得DQ=CD=DN=AB；【详解】（1）解：补全图形如图 1：（2）①证明：连接 BD，如图 2，∵线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 90°得到线段 AQ，∴AQ=AP，∠QAP=90°，∵四边形 ABCD 是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°，∴∠1=∠2．∴△ADQ≌△ABP，∴DQ=BP，∠Q=∠3，∵在 Rt△QAP 中，∠Q+∠QPA=90°，∴∠BPD=∠3+∠QPA=90°，∵在 Rt△BPD 中，DP2+BP2=BD2，又∵DQ=BP，BD2=2AB2，∴DP2+DQ2=2AB2．②解：结论：BP=AB．理由：如图 3 中，连接 AC，延长 CD 到 N，使得 DN=CD，连接 AN，QN．∵△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，∴DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°，∵∠AQP=45°，∴∠NQC=90°，∵CD=DN，∴DQ=CD=DN=AB，∴PB=AB．【点睛】本题考查正方形的性质，旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴。
初三数学旋转练习题
初三数学旋转练习题在解决初三数学旋转练习题时，同学们需要掌握旋转变换的基本概念和性质。
旋转变换是几何图形在平面内绕一个固定点（旋转中心）按一定角度进行转动的图形变换。
以下是一些关于旋转的练习题，帮助同学们巩固和提高解题能力。
1. 已知点A(3,4)，求点A绕原点O(0,0)顺时针旋转90度后的新坐标。
2. 给定一个矩形，其顶点坐标分别为A(1,2)，B(3,2)，C(3,4)，D(1,4)。
求矩形绕点A逆时针旋转45度后，各顶点的新坐标。
3. 考虑一个等腰直角三角形，其直角顶点位于原点O(0,0)，两直角边分别沿x轴和y轴。
求三角形绕原点逆时针旋转30度后，直角边的端点坐标。
4. 一个正方形的四个顶点坐标分别为P1(2,2)，P2(4,2)，P3(4,4)，P4(2,4)。
求正方形绕点P1逆时针旋转90度后，各顶点的新坐标。
5. 已知直线方程为y=2x+3，求该直线绕点(1,1)顺时针旋转45度后的新直线方程。
6. 给定一个圆，圆心位于(-2,-3)，半径为5。
求圆绕圆心顺时针旋转60度后，圆上任意一点的新坐标。
7. 考虑一个正六边形，其顶点坐标分别为E1(1,0)，E2(1/2,√3/2)，E3(-1/2,√3/2)，E4(-1,0)，E5(-1/2,-√3/2)，E6(1/2,-√3/2)。
求正六边形绕点E1逆时针旋转60度后，各顶点的新坐标。
8. 一个抛物线方程为y=x^2-4x+3，求抛物线绕点(2,1)顺时针旋转30度后的新抛物线方程。
通过以上练习题，同学们可以加深对旋转变换的理解，提高解决相关问题的能力。
在解答这些题目时，要注意旋转的中心点、旋转的方向和角度，以及旋转后图形的变化规律。
中考数学总复习《角度问题(旋转综合题)》专项检测卷及答案
中考数学总复习《角度问题（旋转综合题）》专项检测卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．在等边ABC 中， 点E 是AC 上一点， 点D 是BC 上一点， BE 与AD 交于点F ，且60AFE ∠=︒．(1)如图1， 若 323BC CE ==， 求 AD 的长度； (2)如图2， 延长BE 至点 G ，使得 60BGC ∠=︒，连接CG ，点H 为AC 中点， 连接GH ，FC ， 求证: 2FC GH =；(3)如图3， 23BC =，点 D 为BC 中点， 将ABC 沿AC 折叠得到四边形ABCQ ，动点P 在线段CQ 上运动(包括端点)，连接AP 、BP ，将AP 绕点 P 顺时针旋转60︒得到PA '，将BP 绕点 P 逆时针旋转 120︒得到 PB '，连接． AB ''，点 M 为AB''的中点，求MF 的取值范围． 2．如图1，点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，分别延长OD 到点G ，OC 到点E ，使2OG OD =，2OE OC =然后以OG 、OE 为邻边作正方形OEFG ，连接AG ，DE ．(1)求证：DE AG ⊥；(2)如图2，正方形ABCD 固定，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转α角（0360α︒<<︒），得到正方形OE F G '''；①在旋转过程中，当OAG '∠是直角时，求α的度数；①若正方形ABCD 的边长为2，在旋转过程中，AF '长的最大值为______．3．在学习“旋转”这一重要的平面图形变换时，李老师设计如下的一个问题，让同学们进行探究．如图1，90,210,2C AC BC AD ∠=︒===过点D 作DE AC ⊥交AB 于点E ，将ADE绕点A 逆时针方向旋转()0360αα≤<︒．(1)将ADE 旋转至如图2的位置时，连接,BE CD ，求证：AE ADBE CD=． (2)若将ADE 旋转至,,B D E 三点在同一条直线上时，求线段CD 的长．4．已知线段AB 和点C ，将线段AC 绕点A 逆时针旋转α(0°<α<90°)，得到线段AD ，将线段BC 绕点B 顺时针旋转180α︒-，得到线段BE ，连接,DE F 为DE 的中点，连接,AF BF ．(1)如图1，点C 在线段AB 上，依题意补全图1，直接写出AFB ∠的度数；(2)如图2，点C 在线段AB 的上方，写出一个α的度数，使得3AF BF =成立，并证明． 5．如图，在ABC 中45ACB ∠=︒，,AD BE 分别为ABC 的高．(1)如图1，若3BD ，56AC =DE ，求DE 的长；(2)如图2，连接DE ，将DE 绕点E 逆时针旋转90︒到EF ，连接DF ，G 为线段DF 上一点，连接CG ．若ECG ADE ∠=∠，求证：2AB CG =；(3)如图3，若22CB CA ==P 是线段AD 上一动点，将线段CP 绕着点C 逆时针旋转60︒至线段CQ ，连接,,PB PE DQ ．当DQ 取得最小值时，请直接写出．．．．BEP △的面积． 6．已知:如图ABC 和DEC 都是等边角形．D 是BC 延长线上一点，AD 与BE 相交于点P ．AC 、BE 相交于点M ，AD 、CE 相交于点N ．(1)在图①中，求证:AD BE =；(2)当CDE 绕点C 沿逆时针方向旋转到图①时，APB ∠=________．7．将一副直角三角板ABC 和DEF 如图（1）放置 此时,,,F B E C 四点在同一条直线上 点A 在边DF 上 其中90ABC DEF ∠=∠=︒ 30EDF ∠=︒ 45BAC ∠=︒．(1)求CAD ∠的度数；(2)将图（1）中的三角板DEF 绕点A 以每秒10︒的速度 按顺时针方向旋转一定的角度()0360a a ︒︒<︒<︒后 记为三角板D E F ''' 设旋转的时间为t 秒．①当旋转至图（2）时 此时D E AC ''⊥ 求a 的值；①若在旋转过程中 三角板D E F '''的某一边恰好与BC 所在的直线平行 直接写出t 的值． 8．如图 在ABC 中 30ACB ∠=︒ 将ABC 绕点C 顺时针旋转60︒得到DEC 连接AE ．(1)求证：AB AE =；(2)若A ABC CB =∠∠ 证明：直线AE 与BC 互相垂直．9．已知ABC 和ADE 都是等腰三角形 AB AC AD AE EAD BAC ==∠=∠，， 且90EAC ∠=︒ 连接EC 且30AEC ∠=︒ 直线BC 交直线DE 于点F ．(1)如图1 猜想BF 与DE 的位置关系 并说明理由；(2)如图2 依次取CE AC 、的中点M 、N 连接FM MN 、 求证：3MN FM =(3)如图3 在（2）的条件下 连接FN 若1AC = 在将AEC △绕点A 旋转的过程中 请直接写出线段FN 的最大值．10．如图（1） 在Rt ABC △中 90tan 3ACB BAC ∠=︒∠=，点D 是BC 边上任意一点（不与B C 重合） 连接AD 过点D 作DE AB ⊥于点E 连接CE 点F 为AD 中点 连接CF EF ，．(1)当2BD CD =时 判断四边形CDEF 的形状 并证明．(2)点D 在线段BC 上的什么位置时 DEF 的面积最大？请说明理由．(3)如图（1）中的BDE 绕点B 旋转到如图（2）所示位置 得到BD E ''△ 使得点A 在直线D E ''上 连接CE ' 点F '为AD '中点 AD '与BC 交于点G 其他条件不变．求证：2AE D E CF ''''-=．11．如图 ABC 中 2,90,AB AC BAC DE ==︒∠=经过点A 且DE BC ⊥ 垂足为E60DCE ∠=︒．(1)以点E 为中心 逆时针旋转CDE 使旋转后的C D E '''的边C D ''恰好经过点A 求此时旋转角的大小；(2)在（1）的情况下 将C D E '''沿BC 向右平移()01t t <<．设平移后的图形与ABC 重叠部分的面积为S 求S 与t 的函数关系式 并直接写出t 的取值范围． 12．如图1ABC 中 AB AC = BAC α∠= 点D 、E 分别在AB AC 、上 AD AE =．将ADE 绕点A 逆时针旋转β度()0360β<< 使得B 、D 、E 三点共线．(1)直接写出：ADB =∠_________________（用α表示）；(2)若60α=︒ 当180360β<<时 作AF DE ⊥于F 在图2中画出符合要求的图形 并探究BE CE AF 、、之间的数量关系 并证明你的结论；(3)如图3 若90α=︒ 82AC = 当0180β<<时 直接写出S ABCE 四边形的最大值_________．13．如图1 点O 为直线AB 上一点 过点O 作射线OC 使120BOC ∠=︒ 将一直角三角板的直角顶点放在点O 处 一边OM 在射线OB 上 另一边ON 在直线AB 的下方．(1)将图1中的三角板绕点O 逆时针旋转至图2 使一边OM 在BOC ∠的内部 且恰好平分BOC ∠ 问：直线ON 是否平分AOC ∠？请直接写出结论：直线ON （平分或不平分）AOC ∠．(2)将图1中的三角板绕点O 按每秒6︒的速度沿逆时针方向旋转一周 在旋转的过程中 第t 秒时 直线ON 恰好平分锐角AOC ∠ 则t 的值为 ．（直接写出结果）(3)将图1中的三角板绕点O O 顺时针旋转 请探究 当ON 始终在AOC ∠的内部时（如图3）AOM ∠与NOC ∠的差是否发生变化？若不变 请求出这个差值；若变化 请举例说明．14．在①ABC 与①EDC 中 ①ACB =①ECD =60° ①ABC =①EDC ①EDC 可以绕点 C 旋转 连接 AE BD(1)如图 1①若 BC =3DC 直接写出线段 BD 与线段 AE 的数量关系； ①求直线 BD 与直线 AE 所夹锐角的度数；(2)如图 2 BC =AC =3 当四边形 ADCE 是平行四边形时 直接写出线段 DE 的长 15．已知①ABC =90° BA =BC 在同一平面内将等腰直角①ABC 绕顶点A 逆时针旋转（旋转角小于180°）得①ADE ．(1)若AE //BD 如图（1） 求旋转角①BAD 度数；(2)当旋转角为60°时 延长ED 与BC 交于点F 如图（2）．求证：AC 平分①DAF(3)点P 是边BC 上动点 将AP 绕点A 逆时针旋转15°到AG 如图（3）示例 设AB =BC =α 求CG 长度最小值（用含α式子表示）参考答案1．15(2)见解析1331FM 【详解】（1）解：如图所示 过点A 作AT BC ⊥于点T①等边ABC 中 ①AB BC = 60ABC ∠=︒①60AFE BFD BAF ABF ∠=∠=∠+∠=︒ 又①60ABF EBC ABC ∠+∠=∠=︒ ①BAD CAE ∠=∠ 在,ABD BCE 中 BAD CAE AB BCABD BCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①()ASA ABD BCE ≌ ①3BD CE ==在Rt ABT △中 132BT TC BC === 223AT AB BT -= ①333DT BT BD =- 在Rt ADT △中 222231532AD AT DT ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭（2）解：如图所示延长AF 至M 使得FM BF = 连接BM ①60BFM AFE ∠=∠=︒ ①BMF 是等边三角形 ①BF FM BM == 设BAD α∠=由（1）可得GBC BAM α∠=∠= ①18060120ABM αα∠=︒--︒=︒- 又①60BGC ∠=︒ ①120BCG α∠=︒- ①ABM BCG ∠=∠ 在,ABM BCG 中 BAM CAGAB BCABM BCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①()ASA ABM BCG ≌ ①AM BG = 又①BF FM =①AF FG = ①60AFG =︒∠ ①AFG 是等边三角形 ①AG FG = 60AGF ∠=︒ 延长CG 至N 使得GN CG = ①180606060AGN ∠=︒-︒-︒=︒ ①AGN FGC ∠=∠ 在AGN FGC ，中 AG FG AGN FGC GN GC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()SAS AGN FGC ≌ ①AN FC =①,AH HC GN GC == ①12HG AN = ①12HG FC =； （3）解：如图所示 连接PM 将PB 绕点P 逆时针旋转60︒得到PB '' 连接B B '''则PB B '''是等边三角形①将ABC 沿AC 折叠得到四边形ABCQ ①四边形ABCQ 是菱形依题意 ,,B P B '''三点共线 且PB PB '''= 又,PA PA PB PB ''== 60A PB APB '''∠=∠=︒ ①A PB APB '''≌①23A B AB '''==①M 为AB''的中点 ①132PM A B '''== PM A B '''∥ ①A B P ABP '''∠=∠①60A B P PBC ABP PBC '''∠+∠=∠+∠=︒①606060180A B B B BC A B P PBC PB B PBB ''''''''''''∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒ ①A B BC '''∥ ①AQ BC ∥ ①A B AQ '''∥ ①PM BC ∥①M 的轨迹为平行于BC 的一条线段 且3PM①23BC =，点 D 为BC 中点 则AD BC ⊥由（1）可得CE BD = 则E 为AC 的中点,则FB FC AF == 在Rt ABD △中 3,23BD AB ==①3AD =①160302DAC ∠=⨯︒=︒①1122EF AF FC == ①1,2DF AF ==如图所示 当,P Q 重合时 FM 取得最大值 此时如图所示①AA AB '= 120,60BAQ QAA ∠=︒∠=︒则,,B A A '共线 ①23333AM AQ QM =+=在Rt AFM △中 ()222223331FM AF AM =++如图所示 当,C P 重合时 FM 最小在Rt FDM 中 1,23FD DM DC CM ==+=①()222212313FM FD DM =+=+1331FM2．(1)见解析(2)①当90OAG '∠=︒时 30α=︒或150︒；①42【详解】（1）如图 延长ED 交AG 于H 点O 是正方形ABCD 两对角线的交点OA OD ∴= OA OD ⊥ 四边形OEFG 是正方形OG OE ∴=在AOG 和DOE 中OA OD AOG DOE OG OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)AOG DOE ∴≌AGO DEO ∴∠=∠90AGO GAO ∠+∠=︒90GAO DEO ∴∠+∠=︒180()1809090AHE GAO DEO ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒即DE AG ⊥；（2）①在旋转过程中 OAG '∠成为直角有两种情况：如图2 α由0︒增大到90︒过程中当90OAG '∠=︒时1122OA OD OG OG '=== ∴在Rt OAG '△中12OA OG '= 30AG O '∴∠=︒OA OD ⊥ OA AG '⊥OD AG '∴∥30DOG AG O ∴'=∠='∠︒ 即30α=︒；α由90︒增大到180︒过程中 当90OAG '∠=︒时 如图同理可求30BOG '∠=︒180********DOG BOG α''∴=∠=︒-∠=︒-︒=︒综上所述 当90OAG '∠=︒时 30α=︒或150︒；①如图 连接OF四边形OEFG 是正方形45FOE ∴∠=︒ OG GF = 90OGF ∠=︒正方形ABCD 的边长为22222111222222OA AC AB BC ∴==++222222OG OD OA === 则2222(22)(22)4OF OG GF =+=+∴当36036045315FOE α=︒-∠=︒-︒=︒时A 、O 、F '在一条直线上 此时AF '的长最大 最大值为42AO OF +=故答案为：423．(1)详见解析 24545【详解】（1）证明：90,C DE AC ∠=︒⊥DE BC ∴∥ADE ACB ∴∽AD AE AC AB∴= 将ADE 绕A 点顺时针旋转到图2位置EAD DAB BAC DAB ∴∠+∠=∠+∠DAC EAB ∴∠=∠ADC AEB ∴△∽△AE AD BE CD∴= （2）90,210ABC AC BC ∠=︒==5BC ∴=222210555AB AC BC ∴+=+=DE BC ∥2,AD AC AE AB DE BC AD AC∴=== 2AD =1DE =∴由（1）知AE AD BE CD= BE AE CD AD ∴= 555BE AB CD AC ∴===25CD BE ∴=如图 当点D 在BE 上时90ADE ∠=︒90ADB ∴∠=︒在Rt ADB 中 552AB AD ==，由勾股定理得 ()222255211DB AB AD =-=-=11112BE BD DE ∴=+=+= 2524512CD ∴==如图 当点D 在BE 的延长线上时在Rt ADB 中 2,55AD AB ==由勾股定理得 ()222255211BD AB AD =-=-=11110BE BD DE ∴=-=-= 251045CD ∴==综上所述：线段CD 245或45 4．(1)90︒(2)60︒ 理由见解析 【详解】（1）解：补全图1 如图 连接,,CD CE CF,180BAD ABE αα∠=∠=︒-180BAD ABE ∴∠+∠=︒ 即180FAB DAF FBE FBA ∠+∠+∠+∠=︒ AD BE ∴∥180D E ∴∠+∠=︒,AD AC BC BE ==()()111118090,1801802222ADC ACD BCE BEC αααα⎡⎤∴∠=∠=︒-=︒-∠=∠=︒-︒-=⎣⎦ 11180909022CDE CED αα⎛⎫∴∠+∠=︒-︒--=︒ ⎪⎝⎭ 90DCE ∴∠=︒F 为DE 的中点CF DF EF ∴==AD AC = AF AF =()SSS ACF ADF ∴≌同理()SSS BCF BEF ≌,FAB DAF FBA FBE ∴∠=∠∠=∠∴22180FAB FBA ∠+∠=︒90FAB FBA ∴∠+∠=︒()18090AFB FAB FBA ∴∠=︒-∠+∠=︒；（2）60α=︒证明：延长AF 到点G 使得GF AF = 连接BG 连接GE 并延长 与AB 的延长线相交于点H ．F 是DE 的中点DF FE ∴=．DFA GFE ∠=∠ GF AF =()SAS DFA GFE ∴≌．,AD GE DAF FGE ∴=∠=∠．∴AD EG ∥．180DAB H ∴︒∠+∠=．在ACB △中180ACB CAB CBA ∠=︒-∠-∠()()180DAB DAC EBA EBC =︒-∠-∠-∠-∠180180DAB EBA αα=︒-∠+-+︒∠-H EBH =∠+∠BEG =∠．,BE CE AD AC GE === ACB BEG ∠=∠()SAS ABC BEG ∴≌．,AB BG ABC GBE ∴=∠=∠．,2,AF BF ABG ABF ABG EBC ∴⊥∠=∠∠=∠．60α=︒180120EBC α︒∴∠=︒-=．60ABF ∴∠=︒．30FAB ︒∴∠=．3AF BF ∴．5．39(2)见解析 622 【详解】（1）解：如图 过点E 作EH BC ⊥交BC 于点H 45ACB ∠=︒ ,AD BE 分别为ABC 的高 3BD =56AC =∴ADC △是等腰直角三角形∴AD CD =22AD CD AC +22150AD ∴=53AD CD ∴==63BC BD CD ∴=+=1122ABC S BC AD AC BE =⋅=⋅△ 即113535622BE ⨯=⨯∴36BE =在Rt ABD △中 222AB AD BD =+ 即2278AB AD BD +同理在Rt ABE △中 2226AE AB AD -=∴36CE AC AE =-=CE BE ∴=∴BCE 是等腰三角形EH BC ⊥∴1332BH CH BC ===∴23DH BH BD =-=在Rt CEH △中45ACB ∠=︒ 90EHC ∠=︒∴33EH CH ==在Rt DHE △中 2239DE DH EH +（2）证明：连接CF 设AD 与BE 交点为点P 45ACB ∠=︒ ,AD BE 分别为ABC 的高∴45DAC ∠=︒∴45BPD APE ∠=∠=︒ AD CD =∴45CBE ∠=︒∴BCE 是等腰三角形∴BE CE =将DE 绕点E 逆时针旋转90︒到EF90DEC CEF DEC BED ∴∠+∠=∠+∠=︒ =DE EF∴BED CEF ∠=∠BE CE = =DE EF∴()SAS BDE CFE ≌∴BD CF = 45ECF CBE ∠=∠=︒90BCF ACB ECF ∴∠=∠+∠=︒AD CD = 90BCF ADB ∠=∠=︒ BD CF =∴()SAS ABD DCF ≌∴AB DF =45EDF EFD ∠=∠=︒ 90ADC ∠=︒9045ADE GDC EDF ∴∠+∠=︒-∠=︒∴45ECG GCD ADE GDC ∠+∠=∠+∠=︒ECG ADE ∠=∠∴GDC GCD ∠=∠①DG CG = DCF 是直角三角形90DFC GDC ∴∠=︒-∠ 90GCF GCD ∠=︒-∠DFC GCF ∴∠=∠GF CG ∴=∴2DF CG =DF AB2AB CG ∴=；（3）解：将CAD 绕点C 逆时针旋转60︒得到CA D '' 连接DD ' 过点E 作EH AD ⊥交AD 于点H 设BE 与AD 交于点O 此时点Q 在A D ''上运动由旋转的性质得到A D C ADC ''≌ QD C PDC '≌ CDD '△是等边三角形 ∴906030DD A CD A CD D '''''∠=∠-∠=︒-︒=︒22CB CA ==222AD CD AC ∴+=∴2AD CD CD DD A D ''''=====当DQ A D ''⊥时 DQ 有最小值 ∴112DQ DD '== ①223D Q DD DQ ''=-1122ABCS BC AD AC BE=⋅=⋅△①2AD BE==∴222BD AE==45CBE∠=︒∴222BD AE DO===∴422AO AD DO=-=-∴23AP A Q A D D Q''''==-=2322PO AO AP∴=-=EH AD⊥45CAD∠=︒∴222EH AH AE+=∴22EH=∴() 111222BEPS PO BD PO EH PO BD EH =⋅+⋅=⋅+(()1232222222=⨯⨯+622=．6．(1)见详解．(2)60°．【详解】（1）证明：ABC∆和CDE∆为等边三角形60AC BC CD CE BCA DCE∴==∠=∠=︒，，ACD BCE∠∠∴=在ACD∆和BCE∆中AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACD BCE SAS∴≌AD BE∴=；（2）解：ABC∆和CDE∆都是等边三角形60AC BC CD CE ACB DCE∴==∠=∠=︒，，ACB BCD DCE BCD∴∠+∠=∠+∠即ACD BCE ∠=∠在ACD ∆和BCE ∆中 AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ΔΔACD BCE SAS ∴≌DAC EBC =∠∴∠AMP BMC ∠=∠60APB ACB ∴∠=∠=︒．故答案为：60︒．7．(1)105CAD ∠=︒(2)①1245,225a a =︒=︒；①6,9,18,24,27t t t t t =====【详解】（1）解：45BAC ∠=∠=︒ 90903060F EDF ∠=︒-∠=︒-︒=︒ 4560105CAD F C ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；（2）解：①如图D E AC ''⊥90CAD D ''∴∠+∠=︒由（1）知 105CAD ∠=︒ 30D D '∠=∠=︒a CAD CAD '=∠-∠ 90903060CAD D ''∠=︒-∠=︒-︒=︒ 1056045a CAD CAD '∴=∠-∠=︒-︒=︒如图 D E ''与AC 延长线交于点G D E AC ''⊥由第一种情况知 这种情况是在第一种情况的基础上再旋转180︒ 三角板DEF 绕点A 以每秒10︒的速度按顺时针方向旋转 ∴18045225a =︒+︒=︒1245,225a a ∴=︒=︒；解：①如图 当D F BC ''∥时 D F BC ''∥AB D F ''∴⊥30FAB ∠=︒903060F AB a FAB '∴∠-∠=︒-︒==︒∴a 为60︒或a 为240︒160106t ∴=︒÷︒=（秒） 22401024t =︒÷︒=（秒）． 如图 当D E BC ''∥时D E BC ''∥AB D E ''∴⊥∴D E BC ''⊥a 为90︒或a 为270︒390109t ∴=︒÷︒=（秒） 42701027t =︒÷︒=（秒）∴16,9,24,27t t t t ====．如图 当E F BC ''∥时此时a 为180︒①18t =综上所述 6,9,18,24,27t t t t t =====8．(1)见解析(2)见解析【详解】（1）证明：ABC 绕点C 顺时针旋转60︒得到DEC 60BCE ∴∠=︒ BC EC =30ACB ∠=︒30ACE ACB ∴∠=︒=∠AC AC =()SAS ACB ACE ∴≌AB AE =∴；（2）解：ABC 绕点C 顺时针旋转得到DECAC DC ∴= AB DE =由（1）可知AB AE =AE DE ∴=若AB AC = 则AC AE =AC DC DE AE ∴===∴四边形ACDE 是菱形AE CD ∴∥；30ACB ∠=︒ 将ABC 绕点C 顺时针旋转60︒得到DEC 306090BCD ∴∠=︒+︒=︒ 即CD BC ⊥AE BC ∴⊥即直线AE 与BC 互相垂直．9．(1)BF DE ⊥ 见详解(2)见详解 31【详解】（1）解：BF DE ⊥①AB AC AD AE ==，①ADE AED ABC ACB ∠=∠∠=∠，①EAD BAC ∠=∠①ABC ADE ∠=∠又①AOB DOF ∠=∠①DAB BFD ∠=∠①90EAC EAD DAC ∠=∠+∠=︒①DAB BAC DAC ∠=∠+∠又①EAD BAC ∠=∠①90DAB ∠=︒①90BFD ∠=︒①.BF DE ⊥（2）解：①BF DE ⊥①90EFB ∠=︒又①M 是CE 的中点 ①12FM EC CM ==①CE AC 、的中点分别是M 、N①12MN AE =①3cos MN AE AEC FM EC ==∠= （3）解：由（2）得：12FM EC = 12MN AE = 1AC = 90EAC ∠=︒ 30AEC ∠=︒∴32AE EC =， ∴112FM EC == 132MN AE == 当,,F M N 三点共线时 FN 最长此时 31FN FM MN =+． 10．(1)四边形CDEF 是菱形 理由见解析(2)当2BD CD =时 DEF 的面积最大 理由见解析(3)见解析【详解】（1）解：四边形CDEF 是菱形 理由如下： ①在Rt ABC △中 90tan 3ACB BAC ∠=︒∠，①60BAC ∠=︒ 则30B ∠=︒①DE AB ⊥ 2BD CD =①22BD DE CD ==①AD 是BAC ∠的平分线 则30CAD EAD ∠=∠=︒ ①12CD DE AD == ①点F 为AD 中点 ①12CF FE AD == ①CF FE CD DE ===①四边形CDEF 是菱形；（2）解：当2BD CD =时 DEF 的面积最大 理由如下：设AC a = CD x = 则BC 3a = 2AB a = 3BD a x - )11322DE BD a x ==- 3332BE DE a == 312AE AB BE x a =-=+ ①点F 为AD 中点 ①)111311322422DEF S AE DE a a x ⎫=⨯⨯=+⨯-⎪⎪⎝⎭ )13316x a a x =+- 22338a x =+ ①30< ①当8332a x =-⨯ DEF S △有最大值 此时133CD BC == 即2BD CD = ①当2BD CD =时 DEF 的面积最大；（3）解：作点A 关于BC 的对称点A ' 点D 关于BE '的对称点Ｈ 连接A B AD BH ''，，则AB A B BD BH ''==， AC A C D E HE ''''==，①AE D E AH '''-=由题意得60CAB BD H '∠=∠=︒①A AB BD H ''，△△都是等边三角形 ①60ABH A BD A BH '''∠=∠=︒-∠①()SAS ABH A BD ''≌△△ ①AH A D ''=①点F '为AD '中点①CF '是AA D '的中位线①2A D CF '''=①2AE D E CF ''''-=．11．(1)旋转角为30度或90度；(2)当旋转角为30°时 22131130<2231321<1t t S t t t ⎧⎛--+≤⎪ +⎪⎝⎭=⎨⎫⎪-+⎪⎪⎪⎝⎭⎩当旋转角为90°时 ())2210<312333311t t t S t ⎧-++⎪⎪=-<<． 【详解】（1）解：如图1 290AB AC BAC AE BC ==∠=︒⊥，，，145AE EC B C ∴==∠=∠=︒，．由旋转过程知60EC EC AE D C E '''==∠=︒，AEC '∴是等边三角形6090AEC C EC ''∴∠=︒=︒-∠．30C EC '∴∠=︒ 即旋转角为30︒；C '点与A 重合 即旋转角为90度；综上 旋转角为30°或90°；（2）解：当旋转角是为30°时：①当30<t ≤时．如图2 设D E C E ''''、与AB AC 、分别相交于点M N D E ''、，与AE 相交于点P ．作NN BC '⊥ 垂足为N '．设NN x '= 则N C x '=由平移过程知30NE C '∠=︒33E N NN x '''∴．由E N N C E C ''''+=知 31x x t +=- 即31x =+ 9045APM E PE PE E NE N PAM E CN '''''∠=∠=︒-∠=∠∠=∠=︒， AMP CNE '∴∽ ①222113AMP CNE S AP PE t S E C E C ∆'∆⎛⎫==⎛⎫--= ⎪ ⎪''⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()2211131131111311222223131AEC AMP PEE CNE t S SS S S t t t t ''--∴=+--⨯⨯-+-⨯-=-+⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎝⎭⎦++⎣．①3<1t 时 如图3 设D E C E ''''、与AC 分别相交于点M N 、．作MM BC '⊥ 垂 足为M '．设MM y '= 则3M E y ''． ME E C M C M M ''''+== ()31y t y +-= 则3133t y -=-． ()()()22311111121223331ME C NE C t S S S t t t t t ''-∴=-=--=-=-+-+． 即22131130<2231321<1t t S t t t ⎧⎛--+≤⎪ +⎪⎝⎭=⎨⎫⎪-+⎪⎪⎪⎝⎭⎩． 当旋转角为90︒时 如图4中 当031t ＜时 重叠部分是五边形MNKE B '()2216262111122222ABC AMN CKE S S S S t t t t t '+-=--=-⋅⋅--=-++ 如图5中 31<<1t 时 重叠部分是四边形MNE D ''()()2221311333131122242MCD CNE S S S t t t ''⎛⎫---=-⋅+--=+ ⎪ ⎪⎝⎭＝ 所以 ())2210<312333311t t t S t ⎧-++≤⎪⎪=⎨-⎪<<⎪． 综上所述 当旋转角不是为90︒时 22131130<2231321<1t t S t t t ⎧⎛--+≤⎪ +⎪⎝⎭=⎨⎫⎪-+⎪⎪⎪⎝⎭⎩当旋转角为90°时 ())2210<312333311t t t S t ⎧-++≤⎪⎪=-<<． 12．(1)902α︒+(2)23CE BE AF = 图见解析 (3)32322+【详解】（1）解：连接,BD CE①BAC DAE ∠=∠①BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠ 即BAD CAE ∠=∠ 在BAD 和CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()SAS BAD CAE ≌△△ ①BAC DAE α∠=∠= ①()11809022ADE αα∠=︒-=︒- ①180902ADB ADE α=︒-∠=︒+∠ 故答案为：902α︒+．（2）解：如图：①60α=︒ AD AE =①ADE 为等边三角形①60DEA ∠=︒①AF DE ⊥ ①3tan 60AF EF AF ==︒ 则232ED EF AF == 由（1）可知 BAD CAE ≌△△①CE BD = ①23BD BE DE BE AF =+= ①23CE BE AF =． （3）如图 连接点E 和BC 中点 交AC 于点F ．①BAD CAE ≌△△①ABD ACE ∠=∠①90ABD EBC ACB ∠+∠+∠=︒①90ACE EBC ACB ∠+∠+∠=︒ 则90BEC ∠=︒ ①90BAC ∠=︒①A 、B 、C 、E 四点共圆 BC 为直径 故点E 在以BC 为直径的圆上运动 ①0180β<<①点E 在AC 上运动当点E 为AC 的中点时 S ABCE 四边形最大 ①90α=︒ 82AC = AB AC = ①2216BC AC AB + ①182OE BC == ①点E 为AC 的中点时①OE AC ⊥且平分AC ①122CF AC ==①点O 为BC 点F 为AC 中点 ①122OF AB ==①842EF OE OF =-=-①1132222ABC ACE S ABCE S S AC AB AC EF =+=+=+四边形故答案为：32322+13．(1)平分(2)10或40(3)不变 差值是30︒【详解】（1）解：直线ON 平分AOC ∠． 理由如下：设ON 的反向延长线为OD ①OM 平分120BOC BOC ∠∠=︒， ①1602MOC MOB BOC ∠=∠=∠=︒ 又90MOD MON ∠=∠=︒①9030COD MOC ∠=︒-∠=︒①18060AOC BOC ∠=︒-∠=︒ ①12COD AOC ∠=∠ ①OD 平分AOC ∠ 即直线ON 平分AOC ∠ 故答案为：平分； （2）①120BOC ∠=︒ ①60AOC ∠=︒． ①30BON COD ∠=∠=︒．即旋转60︒或240︒时直线ON 平分①AOC ． 由题意得 660t =或6240t =．解得：10t =或40故答案为：10或40；（3）AOM NOC ∠-∠的差不变． ①9060MON AOC ∠=︒∠=︒，①9060AOM AON NOC AON ∠=︒-∠∠=︒-∠， ①()()906030AOM NOC AON AON ∠-∠=︒-∠-︒-∠=︒． ①AOM ∠与NOC ∠的差不变 这个差值是30︒． 14．(1)①BD =3AE ①直线BD 与AE 所夹锐角为60° (2)3DE =【详解】（1）解：①BD =3AE①在①ABC 和①EDC 中ACB ECD ABC EDC ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩①①ABC ①①EDC①①DCE =①BCA BCACDC EC =①①DCE -①BCE =①ACB -①BCE①BCD =①ACE . BCDCAC EC =在①AEC 和①BDC 中 BCD ACBCDC AC EC∠=∠⎧⎪⎨=⎪⎩①①AEC ①①BDC BCBDDC AE ∴=①BD =3AE①夹角为60°如图 延长AE 与BD 交于点F①①ACB =60°①①CBA +①CAB =120°由（1）中①AEC ①①BDC可得①EAC =①DBC①①DBC +①CBA +①BAE =120°①在①AFB 中①AFB =60°①直线BD 与AE 所夹锐角为60°（2） 解：如图 连接AD AE ①①ACB =60° BC =AC ①①ABC 是等边三角形由（1）可得①ABC ①①EDC①①DEC 为等边三角形①DC =EC①四边形ADCE 是平行四边形①平行四边形ADCE 是菱形①AC 为菱形ADCE 对角线 ①3DE AC = ① 3DE 15．(1)90︒(2)证明过程见详解 62a a - 【详解】（1）解：①①ABC =90° BA =BC ①45BAC ∠=︒由旋转可知AB =AD 45BAC DAE ∠=∠=︒ 又①AE //BD①45DAE ADB ∠=∠=︒①ABD △ 为等腰直角三角形①90BAD ∠=︒（2）证：由旋转可知60BAD ∠=︒ 又①45BAC ∠=︒①15CAD ∠=︒①90ADE ∠=︒①90ADF在Rt①ABF 和Rt①ADF 中AB AD AF AF =⎧⎨=⎩①①ABF ≌①ADF （HL ）①30BAF DAF ∠=∠=︒①15FAC ∠=︒①CAD ∠=FAC ∠①AC 平分①DAF（3）解：如图 将AC 绕点A 逆时针旋转15︒到AH 连接GH 过C 作GH 垂线 垂足为F由旋转 易证APC AGH ≌△△ ①45H ACB ∠=∠=︒①154560HKC ∠=︒+︒=︒过A 作HG 延长线垂线 垂足为M 可得三角形AMH 为等腰直角三角形 ①AB =a①AH =AC 2a①AM =a①AK 23 232KC a = ①62a a CF -=①CG 62a a -。
中考数学旋转综合题及详细答案
则∠ AFG=90°. ∵ ∠ ABH=∠ G=60°，AB=a，AG=2a，
∴ AH=AB×sin60°= 3 a，AF=AG×sin60°= 3 a. 2
∴ 点 F 到 BC 的最大距离为 3 a+ 3 a= 3 3 a. 22
∴ S△ BCF= 1 ×2a× 3 3 a= 3 3 a2.
2
22
PC=
=6．
考点：1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质．
3．如图 1， ABCD 和 AEFG 是两个能完全重合的平行四边形，现从 AB 与 AE 重合时开 始，将 ABCD 固定不动， AEFG 绕点 A 逆时针旋转，旋转角为 α（0°＜α＜360°）， AB=a,BC=2a；并发现：如图 2，当 AEFG 旋转到点 E 落在 AD 上时，FE 的延长线恰好通过 点 C．
（2）根据面积公式得出 S△ GHK=S 四边形 CKGH-S△ CKH= 1 x2-3x+9，根据△ GKH 的面积恰好等于 2
△
ABC 面积的
5
，代入得出方程 1
x2-3x+9=
5
1
×
×6×6，求出即可．
12
2
12 2
解：（1）BH 与 CK 的数量关系：BH=CK，理由是：
连接 OC，
由直角三角形斜边上中线性质得出 OC=BG， ∵ AC=BC，O 为 AB 中点，∠ ACB=90°， ∴ ∠ B=∠ ACG=45°，CO⊥AB， ∴ ∠ CGB=90°=∠ KGH， ∴ 都减去∠ CGH 得：∠ BGH=∠ CGK， 在△ CGK 和△ BGH 中
∴
1
x2﹣3x+9=
5
1
×
九年级数学复习---图形的旋转专题练习题附答案
九年级数学复习---图形的旋转专题练习题1．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？2．（学生活动）如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形．（1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？（2）请画出旋转中心和旋转角．（3）指出，经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置？3．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B•对应点的位置，以及旋转后的三角形．4．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=14，△ABF是△ADE的旋转图形．（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）AF的长度是多少？（4）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？5．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M•在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系．答案：1. 解：（1）旋转中心是O，∠AOE、∠BOF等都是旋转角．（2）经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置．2. （1）可以看做是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到的．（2）•画图略．（3）点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H．（3）旋转前、后的图形全等．3.分析：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′=ACD，•又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB′，就可确定B′的位置，如图所示．解：（1）连结CD（2）以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD（3）在射线CE上截取CB′=CB则B′即为所求的B的对应点．（4）连结DB′则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形．4. 分析：由△ABF是△ADE的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF•的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE的长度，由勾股定理很容易得到．•△ABF与△ADE 是完全重合的，所以它是直角三角形．解：（1）旋转中心是A 点．（2）∵△ABF 是由△ADE 旋转而成的∴B 是D 的对应点 ∴∠DAB=90°就是旋转角（3）∵AD=1，DE=14∴∵对应点到旋转中心的距离相等且F 是E 的对应点 ∴ （4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且AF=AE ∴△EAF 是等腰直角三角形．5. 分析：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明． 解：∵四边形ABCD 、四边形AKLM 是正方形∴AB=AD ，AK=AM ，且∠BAD=∠KAM 为旋转角且为90°∴△ADM 是以A 为旋转中心，∠BAD 为旋转角由△ABK 旋转而成的∴BK=DM。
人教版九年级数学上册图形的旋转同步练习题及答案8(含知识点)
旋转同步练习附答案1．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？2．（学生活动）如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形．（1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？（2）请画出旋转中心和旋转角．（3）指出，经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置？3．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B•对应点的位置，以及旋转后的三角形．4．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=14，△ABF是△ADE的旋转图形．（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）AF的长度是多少？（4）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？5．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M•在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系．答案：1. 解：（1）旋转中心是O，∠AOE、∠BOF等都是旋转角．（2）经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置．2. （1）可以看做是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到的．（2）•画图略．（3）点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H．（3）旋转前、后的图形全等．3.分析：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′=ACD，•又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB′，就可确定B′的位置，如图所示．解：（1）连结CD（2）以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD（3）在射线CE上截取CB′=CB则B′即为所求的B的对应点．（4）连结DB′则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形．4. 分析：由△ABF是△ADE的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF•的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE的长度，由勾股定理很容易得到．•△ABF与△ADE 是完全重合的，所以它是直角三角形．解：（1）旋转中心是A 点．（2）∵△ABF 是由△ADE 旋转而成的∴B 是D 的对应点 ∴∠DAB=90°就是旋转角（3）∵AD=1，DE=14∴=4∵对应点到旋转中心的距离相等且F 是E 的对应点 ∴AF=4 （4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且AF=AE ∴△EAF 是等腰直角三角形．5. 分析：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明． 解：∵四边形ABCD 、四边形AKLM 是正方形∴AB=AD ，AK=AM ，且∠BAD=∠KAM 为旋转角且为90°∴△ADM 是以A 为旋转中心，∠BAD 为旋转角由△ABK 旋转而成的∴BK=DM以下不需要可以删除人教版初中数学知识点总结必备必记目 录七年级数学（上）知识点 (1)第一章 有理数 (1)第二章 整式的加减 (3)第三章 一元一次方程 (4)第四章 图形的认识初步 (5)七年级数学（下）知识点 (6)第五章 相交线与平行线 (6)第六章 平面直角坐标系 (8)第七章 三角形 (9)第八章 二元一次方程组 (12)第九章 不等式与不等式组 (13)第十章 数据的收集、整理与描述 (13)八年级数学（上）知识点 (14)第十一章 全等三角形 (14)第十二章 轴对称 (15)第十三章 实数 (16)第十四章一次函数 (17)第十五章整式的乘除与分解因式 (18)八年级数学（下）知识点 (19)第十六章分式 (19)第十七章反比例函数 (20)第十八章勾股定理 (21)第十九章四边形 (22)第二十章数据的分析 (23)九年级数学（上）知识点 (24)第二十一章二次根式 (24)第二十二章一元二次根式 (25)第二十三章旋转 (26)第二十四章圆 (27)第二十五章概率 (28)九年级数学（下）知识点 (30)第二十六章二次函数 (30)第二十七章相似 (32)第二十八章锐角三角函数 (33)第二十九章投影与视图 (34)七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容.第一章有理数一．知识框架二．知识概念1.有理数：(1)凡能写成)0pq,p(pq≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a、b互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a(a)0a()0a(aa或⎩⎨⎧<-≥=)0a(a)0a(aa；绝对值的问题经常分类讨论；5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞ 0，小数-大数＜ 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a .13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a-b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字. 请判断下列题的对错,并解释.1.近似数25.0的精确度与近似数25一样.2.近似数4千万与近似数4000万的精确度一样.3.近似数660万,它精确到万位.有三个有效数字.4.用四舍五入法得近似数6.40和6.4是相等的.5.近似数3.7x10的二次与近似数370的精确度一样.1、错。