两点间的距离和中点坐标公式
求中点坐标的公式
求中点坐标的公式中点坐标的公式是一种衡量两点间位置的准确方式，经常被用来计算坐标系两点的中点坐标。
两点间的中点坐标可以使用以下公式计算：1. 两点平均求中：中点坐标=（x1+x2）/ 2，（y1+y2）/ 2。
2. 三角形得中：中点坐标=（x1+x2+x3）/ 3，（y1+y2+y3）/ 3。
3. 四边形连线中：中点坐标=（x1+x2+x3+x4）/ 4，（y1+y2+y3+y4）/ 4。
4. 投影中点求中：中点坐标=（x1+x2+x3+x4）/ 2，（y1+y2+y3+y4）/ 2（以两个平面垂直平面的角点为例）。
5. 旋转中点求中：中点坐标= (x1 + x2) / 2 + （y2 - y1）/2*sin(α)，(y1 + y2) / 2 - （x2 - x1）/2*sin(α)（以全部点构成的多边形为例，α表示多边形在坐标系中的旋转角度）6. 球面中点求中：中点坐标= sin( β1 + β2)sin λ1 + cos( β1 + β2) cos λ1，cos( β1 + β2)sin λ1 –sin( β1 + β2) cos λ1（以两个坐标系统中点为例，β1和β2分别表示两个点对应纬度值，λ1和λ2分别表示两个点对应经度值）。
两点平均求中是最常见的计算两点中点坐标的方法，只要将两点的横坐标和纵坐标相加，然后再除以2就可以求出中点坐标。
三角形得中和四边形连线中可以类似于两点平均求中，只是将对应点的三点或四点的坐标位置除以三或四得出中点坐标。
投影中点求中和旋转中点求中比较复杂，它们可以分别用于以角点为例的投影计算和旋转多边形的中点计算，都要计算两个或三个点的坐标，并将角度和正弦值等参数结合其中。
球面中点求中比较特殊，它可以用于计算坐标系任何两点间的中点坐标，只要知道这两个点的纬度值和经度值，就可以计算出它们之间的中点坐标。
计算两点坐标距离与中点坐标
计算两点坐标距离与中点坐标/*回顾⼀下数学公式：两点的坐标是(x1, y1)和(x2, y2)则两点之间的距离公式为 d=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]注意特例：当x1=x2时两点间距离为|y1-y2|当y1=y2时两点间距离为|x1-x2|中点坐标：midpoint(X,Y)X=(X1+X2)/2Y=(Y1+Y2)/2*///⾃定义坐标类public class Pointer {private double x;private double y;public Pointer(double x,double y){//构造⽅法初始化this.setX(x);this.setY(y);}public double getX() {return x;}public void setX(double x) {this.x = x;}public double getY() {return y;}public void setY(double y) {this.y = y;}//两点之间的距离public static double distance(Pointer a,Pointer b){//静态⽅法，通过类名.⽅法名调⽤double result= (Math.pow(a.getX()-b.getX(),2)+Math.pow(a.getY()-b.getY(),2));return Math.sqrt(result);}public void display(){System.out.println("("+this.getX()+","+this.getY()+")");}public String toString(){return "("+x+","+y+")";}public boolean equals(Pointer obj){if(this.getX()==obj.getX()&&this.getY()==obj.getY()){return true;}return false;}//两点坐标的中点public static String minpoint(Pointer a,Pointer b){double x=(a.getX()+b.getX())/2;double y=(a.getY()+b.getY())/2;return "("+x+","+y+")";}}//测试类public class Demotest {public static void main(String[] args) {Pointer [] test=new Pointer [2];//对象数组test[0]=new Pointer(2, 2);test[1]=new Pointer(3,3);test[0].display();test[1].display();System.out.println("**********************开始**********************");System.out.println(test[0].toString()+test[1].toString()+"两点之间的距离："+Pointer.distance(test[0], test[1])); System.out.println(test[0].toString()+test[1].toString()+"两点的中点坐标是："+Pointer.minpoint(test[0], test[1])); System.out.println(test[0].equals(test[1]));}}/*******************当然也可选择JDK⾥⾯的Pointer类****************/import java.awt.Point;import java.util.Scanner;public class Test {public static void main(String[] args){System.out.println("请输⼊有⼏组：");Scanner scanner = new Scanner(System.in);int groupCount = scanner.nextInt();double results[] = new double[groupCount];for (int i=0;i<groupCount;i++) {System.out.println("请输⼊第"+(i+1) + "组2点的坐标(以,分隔)：");String line = scanner.next();String[] values = line.split(",");if (values.length != 4) {System.out.println("输⼊的数据格式不对！");i = i--;}else {double p1 = Double.valueOf(values[0]);//返回保持⽤参数字符串 s 表⽰的 double 值的 Double 对象double p2 = Double.valueOf(values[1]);double p3 = Double.valueOf(values[2]);double p4 = Double.valueOf(values[3]);results[i] = getDistance(p1, p2, p3, p4);}}for (int i=0;i<results.length;i++)System.out.println(results[i]);}public static double getDistance(double p1,double p2,double p3,double p4) {double d = 0.0;d = Point.distance(p1, p2, p3, p4);return d;}}。
两点之间的距离公式及中点坐标公式
y y1 y2 2
二、坐标法——将几何问题转化为代数问
• P71练习A：1－4. 2－1A：1－4.
• 选做：B组题
P72：习题
(0,y) M 2
M
A
A2
x x1 x2 Байду номын сангаасx
y y1 y2 y
(0，y1)
A1 O M1
B1
x
(X1,0) (X,0) (X2,0)
即： x x1 x2 2
y y1 y2 2
这就是线段中点坐标 的计算公式 ，简称
—— 中点公式
【例4】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标
A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。
AD2 b a2 c2,
AC2 b2 c2,
x
O A(0,0) B(a,0)
BD 2 b 2a2 c2
AC2 BD2 4a2 2b2 2c2 4ab, 2(2a2 b2 c2 2ab),
AB2 AD2 2a2 b2 c2 2ab,
所以 AC2 BD2 2 AB2 AD2 .
解：因为平行四边形的两条对角线中点相同,
所以它们的中点的坐标也相同.
设D 点的坐标为(x,y).
y D(x,y)
x2 35
则
2
2
M
C(5,2
y2 02
O
A(-3,0)
x
2
2
B(2,-2)
解得 x=0 ∴D(0,4)
y=4
〖课堂检测〗 1、求两点的距离： （1) A（6，2） , B（-2,5） （2) A (2 , -4) , B (7 , 2)
A(x1，y1) A2
o
两点之间的距离公式及中点坐标公式
数轴上两点的距离
A
B
o x1
x2
A x1
o
B x2
所以A,B两点的距离为 两点的距离为: 所以 两点的距离为 d(A,B)= X 2 – X 1
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式
1.两点的距离公式 两点的距离公式
如图：有序实数对 与点P对 如图：有序实数对（ x,y）与点 对 与点 这时（ 称为点P的坐标 应，这时 x,y）称为点 的坐标， 这时 称为点 的坐标， 并记为P（x,y），x叫做点 的横坐 叫做点P的横坐 并记为 叫做点 叫做点P的纵坐标 标，y叫做点 的纵坐标。 叫做点 的纵坐标。
O
AD = (b − a) + c ,
AC = b + c ,
2 2 2
A(0 A(0,0)
B(a,0 B(a,0)
BD = (b − 2a) + c
2 2
2
AC + BD = 4a + 2b + 2c − 4ab,
2 2 2 2 2
= 2(2a + b + c − 2ab), 2 2 2 2 2 AB + AD = 2a + b + c − 2ab, 所以 AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2 ).
证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X 证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X轴建 立平面直角坐标系 xOy ，依据平行四边形的 性质可设点A 性质可设点A，B，C，D的坐标为
(
)
A(0,0), B(a,0), C(b, c), D(b − a, c).
所以 AB
2
2
=a ,
2
两点间距离公式中点公式
两点间距离公式中点公式Prepared on 21 November 2021两点间距离公式、中点公式教学目标：掌握两点间坐标公式、中点公式教学重点、难点：公式的应用教学过程：一、两点间距离公式：初中曾学习过数轴上两点间距离，实际就是求数轴上两点所表示的两个数的差的绝对值。
现在我们研究平面内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离。
如图，由点P1，P2分别作x轴的垂线P1M1，P2M2，与x轴分别交于点M1（x1，0），M2（x2，0）；再由点P1，P2分别作y轴的垂线P1N1，P2N2，与y轴分别交于N1（0，y1），N2（0，y2），直线P1N1，P2M2相交于Q点，则有P1Q＝M1M2＝｜x2－x1｜，Q P 2＝N 1N 2＝｜y 2－y 1｜。
由勾股定理，可得P 1P 22＝P 1Q 2＋Q P 22＝｜x 2－x 1｜2＋｜y 2－y 1｜2＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2由此得到平面内P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）两点间的距离公式 例1、求平面上两点A （1，-2），B （3，5）之间的距离。
解 ()()53251322=++-=AB二、中点公式平面内任意两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），线段的中点，求点P 的坐标（x ，y ）.由点P 1，P 2分别作x 轴的垂线P 1M 1，P 2M 2，与x 轴分别交于点M 1（x 1，0），M 2（x 2，0），M (x ,0),则即 x x x x -=-21所以 221x x x += 类似上面方法可得因此，点21p p 之间锁链线段的中点坐标为221x x x +=，221y y y += 上式称为线段的中点公式。
例2、有一线段A B ，它的中点坐标是（4，2），端点A 坐标是（-2，3），求另一端点的坐标。
解 设另一端点B 坐标为()y x ,，由中点坐标公式可知 232,224y x +=+-= 解之得1,10==y x所以端点坐标为()1,10。
两点坐标中点距离公式
两点坐标中点距离公式在我们学习数学的奇妙世界里，有一个超实用的小工具，那就是两点坐标中点距离公式。
这个公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们解决好多与点和距离相关的难题。
先来说说这个公式到底长啥样吧。
假如有两个点 A(x₁, y₁) 和B(x₂, y₂)，那么它们之间的中点坐标就是 ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)，而两点之间的距离公式则是√[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] 。
我还记得有一次，我和朋友去逛街。
我们走到一个大广场，广场上有一个很有趣的地图标识，标记着几个重要的地点。
朋友突然来了兴致，说：“要不咱们来算算从这个广场的入口到那个大雕塑的距离？”我一看，入口的坐标我们大概能估计出来，雕塑的坐标也能猜个八九不离十。
然后，我就想到了两点坐标中点距离公式。
我掏出小本子，把坐标写下来，按照公式一步步计算。
朋友在旁边好奇地看着，不停地问我：“算出来了吗？算出来了吗？” 我一边算一边跟他解释每个步骤。
最后得出结果的时候，朋友惊讶地说：“哇，数学还真有用！”其实在日常生活中，这个公式的用处可多了去了。
比如说，你要规划从家到学校的最短路线，或者是计算两个城市之间的近似距离，都可能会用到它。
在数学的课堂上，老师一开始给我们讲这个公式的时候，好多同学都觉得有点头疼，觉得这些符号和算式看起来好复杂。
但当老师通过一个个生动的例子，像在地图上找两个地点的距离，或者是计算操场上两个旗杆之间的距离，我们慢慢地就理解了。
而且啊，这个公式不仅仅在平面上有用，在空间中，也就是三维的情况下，也有类似的公式呢。
只不过多了一个 z 轴的坐标，计算稍微复杂了一点点，但原理是一样的。
想象一下建筑师在设计大楼的时候，他们需要确定不同支撑点之间的距离，保证大楼的结构稳定。
这时候，两点坐标中点距离公式就派上大用场啦。
再比如说，在电脑游戏的编程里，如果要让一个角色从一个点准确地移动到另一个点，程序员就得依靠这个公式来计算移动的距离和方向。
两点间的距离公式和中点公式
求下列各点关于 x 轴和 y 轴的对称点的坐标：
A(2，3)，B(－3，5),C(－2，－4)，D(3，－5)．
例4 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(－3，0)，
B(2，－2)，C(5，2)，求顶点 D 的坐标． 解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同， 所以它们的坐标也相同．
设点 D 的坐标为 (x，y) ，则
x 2 3 5 2 2 1 y2 02 1 2 2
解得
x 0 y 4
所以顶点 D 的坐标为 (0，4) ．
已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，0)，B(2，－4)，C(6，2)，
求顶点 D 的坐标．
1．直角坐标系中两点间的距离公式． 2．直角坐标系中两点的中点公式． 3．点的对称．
设点d的坐标为xy则??????????????122022125322yx?????40yx解得已知平行四边形abcd的三个顶点a00b24c62求顶点d的坐标
圆
直线 圆
直线
8.1.2平面直数轴上的距离公式
一般地，如果 A(x1)，B(x2) ，则这两点的距离公式为 |AB|＝|x2－x1|．
C B1
（3）|BC| 等于多少？
x （4）在直角三角形中，如何求 |AB| ？
（5）你能表示出 |AB| 吗？
平面上两点间的距离公式
y B(x2，y2)
设点 A(x1，y1)，B(x2，2 ( y2 y1 ) 2．
A(x2 ，y2)
O x
必做题：P 70 练习 A 第 1 题，第 2 题； 选做题：P 70 练习 B 第 3 题．
A2
C B1 x
AA2，BB2，垂足分别为 A2，B2 ；
两点间距离公式和线段的中点坐标公式
２.已知△ABC的三个顶点坐标A（－3，1），B（0，－2），C（5，3），求
△ABC三边的长，并判断△ABC是否是直角三角形.
解：｜AB｜＝ (0 + 3)2 +(−2 − 1)2 ＝ 18＝3 2
(5 + 3)2 +(3 − 1)2 ＝ 68
｜BC｜＝ (5 − 0)2 +(3 + 2)2 ＝ 50＝5 2
（1，2）
（1，－2）
三、解答题
1.点A（2，3），B（3，m）之间的距离为 26，求m值.
解：由题意得 (3 − 2)2 +( − 3)2 ＝ 26，解得m＝8或m＝－2
2.若点A（1，－2）与点B关于点P（2，－3）对称，求点B的坐标.
1+
−2+
解：设点B（x，y），则 ＝2，
＝－3，解得x＝3，
B.（4，－2）
C.（－7，1）
D.（1，2）
二、填空题
根据条件将表中数据填充完整.
题号
点A的坐标
点B的坐标
（1）
（0，0）
（2，4）
（2）
（4，－3）
（3）
（－2，2）
（2，0）
（0，1）
（4）
（3，－4）
（3，4）
（3，0）
（5）
（1，－1）
（－3，－5）
（－1，－3）
（－2，－1）
线段AB的中点坐标
∵ ｜AB｜2＋｜BC｜2＝｜AC｜2
∴△ABC是直角三角形
｜AC｜＝
亲爱的同学们，下节课见！
,
2
2
.
一、选择题
1.已知O（0，0），A（3，4），则O、A两点间的距离｜OA｜＝（
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动脑思考 探索新知
一般地，设 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 为平面内任意两点，
P P 1, P 2两点间的距离记作 1P 2， 则
2 2 |P P | ( x x ) ( y y ) 1 2 2 1 2 1
巩固知识 典型例题
2 2 | PP | ( x x ) ( y y ) 1 2 2 1 2 1
2
2
2
(6 1) 17 5
2
13
基础题:请你动手画一画！
在平面直角坐标系中，描出下列计算每两点间的距离．. y C
7
6
B是AC的中点，那么
问 题
它们之间的坐标有什 么关系呢？
. . 5 . 4 . 3 2 . 1 . o
家庭作业：
教科书第38页 练习 2、求联结下列两点线段的长度及中点 坐标： （1）A（7,4），B（3，8） （2）A（3,1），B（2，1）
.
.
5
. .
.
1
B
A .
2
.
3
.
4
.
6
.
7
.
8
x
动脑思考 探索新知
一般地，设 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 为平面内任意两点，
则线段PP 1 2中点P 0 ( x0 , y0 ) 的坐标为
x1 x2 y1 y2 x0 , y0 . 2 2
基础题：请你动笔算一算！
例1
求A（2， −5 ）、B（5，−1）两点间的距离．
解：由两点间的距离公式得，A、B两点间的距离为
AB
x2 x1 y2 y1
2
2
(5 2) 1 5
2
2
5
练习：求点B(1,5)与D(6,17)之间的距离。
解：
BD
x2 x1 y2 y1
• 根据下列条件，求线段AB中点O的坐标 5 3 ： O , 2 2 • (1) A (2,-1) B (3,4)
O1,3
• (2) A (-7,-3) • (3) A (-4,8)
B (5,-3)
O0,2
B (4,-4)
O7,1
• (4) A (11,1)
B (3,-3)
o
x
o
x
|P 1P 2 || x2 x1 |
|P 1P 2 || y2 y1 |
动脑思考 探索新知
y
2 2 |P P | ( x x ) ( y y ) 1 2 2 1 2 1
B2（0,y2)
P2(x2，y2)
( y2 y1 )
B1（0,y1) o A1（x1,0) A2（x2,0) P1(x1，y1) ( x2 x1 ) C x
Y
在平面直角坐标系下求 临海市到涌泉镇的 点A到点B的距离 直线距离是多少？
O
X
复习
1、在数轴上两点的距离公式
A(xA)
A
B（xB）
0 B
AB xB x A
2、两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)， 如何求P1 P2的距离| P1 P2 |呢? y y
P1 P2 P2 P1