18.4.2反比例函数的图象与性质
反比例的图像与性质
图象
所在 象限
渐进性
双曲线
K﹤0，二、四象限
0
x
y
0
增减性
对称性
本节收获
1、进一步巩固复习了作函数图象的一般方法和步骤
2、亲手画出函数的图象，用类比的方法，数形结合的思想，有了对图形进行观察、分析和归纳的体验，掌握了反比例函数的图象和性质
当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限， 在每个象限内y值随x值的增大而减小。
当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限， 在每个象限内y值随x值的增大而增大。
3、反比例函数 （k为常数，k≠0)的图象是双曲线
B
已知圆柱的侧面积是10πcm2,若圆柱底面半径为rcm,高为hcm,则h与r的函数图象大致是( ).
(A) (B) (C) (D)
r/cm
h/cm
r/cm
h/cm
r/cm
h/cm
r/cm
h/cm
练一练
6
C
归纳小结
反比例函数的图象和性质
反比例函数的图像与性质
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温故知新
什么是反比例函数？
3、函数值 y 的取值范围是y ≠0 ；
形如 y = — ( k是常数, k ≠ 0 ) 的函数叫做反比例函数。
k
x
2、自变量 x 的取值范围是 x ≠ 0 ；
1、由 y = —
k
x
y=kx-1
xy=k
(k是常数，k ≠ 0 )
探 究 新 知
反比例函数 的图象是什么样子呢？
画出反比例函数 和 的函数图象。
x
高中数学-反比例函数的图像与性质
02 在求解具体问题时，需要注意题目中给出的其他 条件，如函数的定义域限制等。
判断单调性和奇偶性问题
反比例函数在其定义域内没有单调性， 即在不同的区间内可能具有不同的单调
反比例函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)，图像关 于原点对称。
偶函数性质
反比例函数不是偶函数，即不满足f(-x)=f(x)，图 像不关于y轴对称。
周期性探究
无周期性
反比例函数不具有周期性，即不 存在一个正数T，使得对于所有x ，都有f(x+T)=f(x)。
图像特征
反比例函数的图像是两条分别位 于第一、三象限和第二、四象限 的双曲线，且无限接近于坐标轴 但永不相交。
03
反比例函数性质分析
单调性判断方法
01 求导判断法
通过对反比例函数求导，根据导数的正负判断函 数的单调性。
02 图像观察法
通过观察反比例函数的图像，可以直接得出其在 不同区间上的单调性。
03 定义法
根据反比例函数的定义，结合不等式的性质，可 以推导出函数在不同区间上的单调性。
奇偶性讨论
奇函数性质
劳动力供给与工资率关系
劳动力供给量通常与工资率成反比。当工资率提高时，劳动力供给量减少；当 工资率降低时，劳动力供给量增加。这种关系也可以用反比例函数来表示。
工程学中应用场景
杠杆原理
在机械工程中，杠杆原理指出动力臂与阻力臂成反比。当动 力臂增长时，阻力臂缩短；反之亦然。这种关系可以用反比 例函数来描述。
性。
对于奇偶性的判断，可以根据函数的定 义进行判断。若$f(-x) = -f(x)$，则函 数为奇函数；若$f(-x) = f(x)$，则函数
反比例函数的图像和性质课件
反比例函数的图像和性质课件反比例函数是数学中的一种重要函数类型，它的图像和性质在数学学习中占据着重要的地位。
本文将从图像和性质两个方面来探讨反比例函数的特点和应用。
一、反比例函数的图像反比例函数的图像呈现出一种特殊的形状，即一条经过原点的斜线。
具体来说，反比例函数的图像是一条从左上方向右下方倾斜的直线。
这是因为反比例函数的定义域为实数集，而值域为除了0以外的实数集，因此函数的图像必然不会经过y轴上的任何点。
通过观察反比例函数的图像，我们可以发现，随着自变量的增大，函数的值会逐渐减小。
这是因为反比例函数的定义中包含有除法运算，而除法运算会使得结果随着被除数的增大而减小。
因此，反比例函数的图像呈现出一种渐近线的特点，即当自变量趋近于正无穷大时，函数的值趋近于0。
二、反比例函数的性质除了图像的特点之外，反比例函数还具有一些重要的性质。
首先，反比例函数的定义域为实数集，但值域为除了0以外的实数集。
这是因为在反比例函数中，除数不能为0，否则会导致无意义的结果。
因此，在计算反比例函数的值时，我们需要注意避免除以0的情况。
其次，反比例函数的导数为常数。
这是因为反比例函数的定义可以表示为y=k/x的形式，其中k为常数。
对该函数进行求导，我们可以得到dy/dx=-k/x^2。
可以看出，反比例函数的导数与自变量x无关，只与常数k有关。
这也意味着反比例函数的斜率在整个定义域上保持不变。
另外，反比例函数还具有一个重要的性质，即函数值的乘积为常数。
具体来说，对于反比例函数y=k/x，当x1和x2为定义域中的两个不同的实数时，有y1*y2=k。
这个性质在实际问题中有着广泛的应用，例如在电路中，电阻和电流的关系就符合反比例函数的性质。
三、反比例函数的应用反比例函数在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，牛顿第二定律中描述了物体的加速度与施加在物体上的力成反比的关系。
根据牛顿第二定律的表达式F=ma，我们可以得到物体的加速度a与作用力F的关系为a=k/F，其中k为常数。
第十四讲反比例函数的图像和性质
选择合适坐标系
为了清晰地展示反比例函 数的图像，需要选择合适 的坐标系，通常使用笛卡 尔坐标系。
绘制函数图像
在坐标系中，通过计算不 同 $x$ 值对应的 $y$ 值 ，可以绘制出反比例函数 的图像。
图像变化趋势及拐点分析
变化趋势
当 $x$ 从负无穷增加到 0 时，反比例函数的值 $y$ 会从负无穷增加到负无穷 大；当 $x$ 从 0 增加到正无穷时，反比例函数的值 $y$ 会从正无穷大减小到 正无穷小。因此，反比例函数图像在坐标系中呈现双曲线形状。
图像特征
反比例函数的图像是以原点为对称中 心的两条曲线，当 $k > 0$ 时，图像 位于第一、三象限；当 $k < 0$ 时， 图像位于第二、四象限。
渐近线
反比例函数的图像无限接近于但永不 相交于 $x$ 轴和 $y$ 轴，这两条轴 是反比例函数的渐近线。
单调性
在每一象限内，随着 $x$ 的增大（或
03
与指数函数、对数函数关系
反比例函数与指数函数、对数函数在图像和性质上都有显著区别，一般
不会混淆。但在某些特定条件下，它们之间可能存在一定的联系或转化
关系。
02
反比例函数图像绘制与特点
坐标系中绘制反比例函数图像
01
02
03
确定函数表达式
首先确定反比例函数的表 达式，例如 $y = frac{k}{x}$（其中 $k neq 0$）。
定义
形如 $y = frac{k}{x}$（$k$ 为常 数且 $k neq 0$）的函数称为反 比例函数。
表示方法
反比例函数通常用 $y = frac{k}{x}$ 或 $xy = k$（$k$ 为 常数且 $k neq 0$）来表示，其 中 $x$ 是自变量，$y$ 是因变量 。
反比例函数图像和性质ppt课件
在气瓶压力一定的情况下，压力的作 用面积与压强成反比关系，即当作用 面积增大时，压强减小；反之，当作 用面积减小时，压强增大。
在经济中的应用
供需关系
在市场经济中，商品的需求量与价格之间存在反比例关系，即当价格上涨时，需 求量减少；反之，当价格下降时，需求量增加。
投资回报
投资者在考虑投资回报时，通常会选择投资回报率较高的项目，即投资回报与投 资额成反比关系。
与几何知识的结合
与直角坐标系的结合
反比例函数的图像位于直角坐标系的两个象限内，可以通过几何知识来研究其性质，例如对称性和渐 近线。
与圆的结合
在某些条件下，反比例函数的图像与圆的图像相似，可以通过圆的性质来类比研究反比例函数的性质 。
在数学竞赛中的应用
01
反比例函数在数学竞赛中常作为 难题出现，需要学生具备扎实的 数学基础和灵活的思维才能解决 。
05 反比例函数的扩展知识
与其他函数的联系
与一次函数的联系
反比例函数与一次函数在某些条件下可以相互转化，例如$y = kx$（$k neq 0$）可以转化为$y = frac{1}{x}$的 形式。
与二次函数的联系
反比例函数的图像与二次函数图像在形式上有所不同，但它们在某些性质上有相似之处，例如对称性和极值点。
反比例函数的定义域和值域
由于分母不能为0，所以反比例函数的定义域为{x|x≠0}，值域 为{y|y≠0}。
反比例函数的图像
图像特点
反比例函数的图像位于第一象限 和第三象限，呈双曲线状，且随 着k值的正负变化，图像分别位于 x轴的上方和下方。
图像绘制
在直角坐标系中，取点(x,y)满足 xy=k，然后描绘出这些点的轨迹， 即为反比例函数的图像。
18.4-2反比例函数的图像和性质课件 华东师大版
你可以画个 草图哦，它能帮 你大忙~
先由数（式）到形再由形 到数（式）的数学思想
k 如图 双曲线 y 例4。换一个角度： x
上任一点分别作x轴、y轴的垂线段， 与x轴y轴围成矩形面积为12，求函 数解析式。
∵︳K︱ ＝12 ∴k=±12
X>0
练：甲乙两地相距100km，一辆汽车从甲地开往乙地， 把汽车到达乙地所用的时间y(h)表示为汽车的平均速度 x(km/h)的函数，则这个函数的图象大致是（ C ）
总结 6 y= x
y
函数图 2、当k ＜0 时， 象的两个分支分别在第 二、四象限内。
x
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
6
在每个象限内，曲线从 左向右上升，也就是说在 每个象限内，y随x的增大 而增大。
思考
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。 有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。对称中心是：原点
在实际问题中图象 就可能只有一支。
知识小结：
1、反比例函数 xy=k（k≠0）
k y= （k≠0） x
2、对y= k＞0
k x
（k≠0） 图象位于第一和第三象限，在每个
象限内y 随x的增大而减小。
k＜0 图象位于第二和第四象限，在每个 象限内y 随x的增大而增大。
D（2，5）是否在这个函数的图象上？
例 3
m5 如图是反比例函数 y 的图象一支，根据 x
图象回答下列问题 ： （1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值 范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点 A（a，b）和B（a′，b′），如果a>a′，那 么b 和b′有怎样的大小关系？
反比例函数图像与性质
反比例函数图像与性质
介绍反比例函数的定义
该段落将介绍反比例函数的定义和公式。
反比例函数是一种特殊的函数，其图像呈
现出一条非零斜率的直线，并且函数的性质具有一些特点。
反比例函数的一般形式可以
表示为y = k/x，其中k是常数。
该段落将讨论反比例函数图像的特点。
反比例函数图像是一条
非零斜率的直线，其通过原点(0.0)。
随着x的增大，y值逐渐减小；随着x的减小，y值逐渐增大。
反比例函数的图像可以在平面直角
坐标系中表示。
该段落将分析反比例函数的性质。
反比例函数的性质包括：
随着x的增大，y值趋近于0，但永远不会等于0；
当x等于0时，函数是不存在的；
函数的定义域是除了x等于0的所有实数，而值域是除了y等
于0的所有实数。
反比例函数在图像上呈现的特点是，随着x的增长，y值逐渐
减小但永远不会到达0.当x等于0时，函数在图像上没有定义的点。
定义域可包括一切不为0的实数，值域则涵盖了除了0以外的所有
实数。
这些性质对于理解反比例函数的特点和应用非常重要。
在建立数学模型、解决实际问题以及进行相关推理时，我们可以根据这些性质进行适当的分析和推断。
这些性质对于理解反比例函数的特点和应用非常重要。
在建立数学模型、解决实际问题以及进行相关推理时，我们可以根据这些性质进行适当的分析和推断。
反比例函数图像与性质知识点
反比例函数是一种数学函数，它通常对应于反对比关系，即如果某个量越大，另一个量就越小，反之亦然。
一般地，一个反比例函数形式为y=k/x，其中k是一个未知的常数。
从定义看，即使x为0，y也能被赋以有限的值，它们的变化关系也不同于线性函数的变化关系。
反比例函数的图像为连续递减的弧形，它以y轴为对称轴，反比例函数在图像上表现为从原点（0，0）出发的一条弯曲的曲线，曲线的弧度越来越小，直至无穷远时与x轴垂直，当x=0时，y值可以被给定，这也是为什么反比例函数和线性函数不同的原因。
此外，反比例函数的基本特性还有，点（a，b）处的导数是负值；它仅当x的值小于k的值的时候才有可能产生拐点；可以通过倒数的非零多项式来求反比例函数的函数值；求反比例函数的定积分时，一般使用其定义域上的积分变量将函数值单调映射到［0,1］端点之间，然后再使用不同的奇偶性求对应此定积分。
总之，反比例函数在数学理论中具有重要的地位，它是一种常用的函数形式，也有着与线性函数不同的曲线图形和相应的参数特性。
这提醒我们，在令人兴奋的数学探索之旅中，要秉承科学的态度紧紧依靠量化的思维方式来深入探讨数学物理的规律。
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x
… -6 1
-5 -4
1.2 1.5
-3 -2 2 3
-1 1 6
2
3
4
5
6 … …
y= 6 … x
-6 -3
y
-2 -1.5 -1.2 -1
2、k＜0 图象在第二 和第四象限， 在每个象限 内y 随x的增 大而增大。
6
6 y= x
5 4 3 2 1
-6
ห้องสมุดไป่ตู้
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
x
-1
-2 -3 -4 -5 -6
-1 -1.2 -1.5 -2 -3 1
1.2 1.5
-6
6
6
1.5 1.2
2
3
-6 -3
-2 -1.5 -1.2 -1
y
6
6 y =x
1 2 3 4 5 6
6 y= x
5 4 3 2 1
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
x
-1
-2 -3
反比例函数的图 象，叫双曲线。
-4 -5 -6
x
y= 6 x
练习1
Try your best !
y
反比例函数y= -
5 x
的图象大致是（ D
y
）
A：
o
x
B：
o
x
y y
C：
x o
D：
o x
练习2
5 1.函数 y = x 的图象在第_____象限，在每 二,四 个象限内，y 随 x 的增大而_____ . 增大 y 1 1 2. 双曲线 y = 3x 经过点（-3，___） 9 o m-2 的图象在二、四象限，则m的x 3.函数 y = x 取值范围是 m < 2 . 1 4.对于函数 y = 2x ，当 x<0时，y 随x的 增大 减小 三 而____，这部分图象在第 ________象限.
… -6
-5 -4
-3 -2
-1 1 -6
2
3
3
4
5
6
…
… -1 -1.2 -1.5 -2 -3
6
2
1.5 1.2
1
…
y
6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 0 1 2 3 4 5 6
y= 6 x
x
1、k＞0 图象在第一和第 三象限，在每个 象限内y随x的增 大而减小。
反比例函数的
图象与性质
新合九义校 邹桂林
定义
y
k x
( k 是常数，
k 0 ) (x≠0)
图象
1、 k＞0 图象在第一和第三象限， 在每个象限内y随x的增大而减小。 2、k＜0 图象在第二和第四象限， 在每个象限内y 随x的增大而增大。
练习
性质
例
6 y= x 和y= 画出反比例函数
的图象。
列 表 描 点 连 线
6 x
画函数图象
描点法
x
y= 6 x
… -6 … … -6 …
-3
-2
-1
1
2
3
6
… …
x
y= 6 x
-3
-2
-1
1
2
3
6
… …
x
… -6
-5 -4
-3 -2
-1 1
2
3
3 2
4
5
6 1
…
… …
y= 6 … x y= 6 … x
y
6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 0
x
A、y1>y2>y3 C、y3>y1>y2
B、y2>y1>y3 D、y3>y2>y1
课堂小结
思考题
请大家围绕以下三个问题小结本节课
① 什么是反比例函数?
② 反比例函数的图象是什么样子的?
k ③ 反比例函数 y = x （k 是常数， ≠ 0） k
的性质是什么?
作业：
1、P52练习第2题; 2、P52习题3、4题。
5.反比例函数 y =(2m+1)x , 在每一象限内 -1 y 随 x 的增大而增大，则m= ____.
m-2
2
能力提高
1. 已知k<0,则函数 y1=kx,y2= 标系中的图象大致是 ( D ) y y
(A)
0
k 在同一坐 x
y
0
y x (D)
0
x
(B)
0
x
(C)
x
2.若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在 反比例函数 y 1 0 0 的图象上，则（ B ）