2017-2018学年山东省烟台第一中学高三12月月考数学(理)试题

烟台一中2015级高三阶段性质量检测数学（理工类）试卷 2017.12本试卷满分150分，考试时间100 分钟。

注意事项：1．答题前，考试务必先认真核对条形码上的姓名，准考证号和座位号，无误后将本人姓名、准考证号和座位号填写在相应位置；2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3．答题时，必须使用黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上； 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 5．考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。

第Ⅰ卷一、选择题1. 已知集合{A k =∈N |}N ，{|2B x x n ==或3,x n n =∈}N ，则（ ）A ．{}6,9B ．{}3,6,9C ．{}1,6,9,10D ．{}6,9,10 2. 若复数z 满足()2z 12i 13i (i -+=+为虚数单位），则（ ）A ．-2-4iB ．-2+4iC ．4+2iD ．4-2i3.《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ） A ．310π B ．320π C.3110π- D ．3120π-4、ABC ∆中，,2,45a x b B ==∠=，则“2x <<ABC ∆有两个解”的 ( )A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件5. 《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的值为35，则输入的值为（ ） A. B. C. D.6、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．28+．36+C. 36+．44+7、已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3≥0，x －3y ＋3≤0，y －1≤0，若目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取到最大值，则实数a 的取值范围为 ( )A.),21(+∞ B ．(3,5)C ．(－1,2)D.)1,31(8、将函数的图像仅向右平移个单位或仅向左平移个单位，所得的函数均关于原点对称，则= ( ) A . B . C . D. 9、已知错误！未找到引用源。

是上可导的增函数，错误！未找到引用源。

是上可导的奇函数，对错误！未找到引用源。

都有错误！未找到引用源。

成立，等差数列错误！未找到引用源。

的前项和为错误！未找到引用源。

，f(x)同时满足下列两件条件：错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则的值为（ ）A . 10B . -5 C. 5 D. 15 10、 如右图所示,已知点G 是ABC ∆的重心,过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,N M 两点,且,则2x y +的最小值( )A ．2B ．13 C ．33+ D ．3411、抛物线的焦点为F ，直线与抛物线交于A ，B 两点，且，则直线AB 与x 轴交点横坐标为 ( )A . B. C . D . 2 12. 已知()'f x 是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()'23(x f x e x f x e =++是自然对数的底数），()01f =，若不等式()0f x k -<的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．21,0e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.21,0e ⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭第II 卷二、填空题13、在锐角ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、.若6cos b aC a b+=， 则tan tan tan tan C CA B+的值是________14、若,则____15、已知椭圆点M 与椭圆的焦点不重合，若M 关于焦点的对称点分别为A,B ，线段MN 的中点在椭圆上，则|AN|+|BN|=_____________ 16、对于定义域为上的函数f(x),如果同时满足下列三条：(1)对任意的,总有, (2)若,都有成立(3)若，则 则称函数f(x)为“超级囧函数”。

则下列函数是“超级囧函数”的是______ (1)f(x)=sinx; (2), (3)(4)三、解答题17、数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n(n+1)(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1，求数列{b n }的通项公式； (3)令c n ＝a nb n4(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和T n .18、随机询问某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下列联表： 性别与读营养说明列联表（Ⅰ）根据以上列联表进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系？（Ⅱ）从被询问的16名不读营养说明的大学生中，随机抽取2名学生，求抽到男生人数的分布列及其均值（即数学期望）．（注：，其中d c b a n +++=为样本容量．）19、如图,四棱锥P ABCD -中,PA ABCD ⊥底面,2,4,3BC CD AC ACB ACD π===∠=∠=,F 为PC 的中点,AF PB ⊥.(1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值.20、已知椭圆()2222:10x y a b a b Ω+=>>，过点Q ⎫⎪⎪⎝⎭作圆221x y +=的切线，切点分别为,S T .直线ST 恰好经过Ω的右顶点和上顶点.（1）求椭圆Ω的方程；（2）如图，过椭圆Ω的右焦点F 作两条互相垂直的弦,AB CD . ① 设,AB CD 的中点分别为,M N ，证明: 直线MN 必过定点，并求此定点坐标；②若直线,AB CD 的斜率均存在时，求由,,,A C B D 四点构成的四边形面积的取值范围.21、已知 (1)求f(x)的单调区间 (2)设m>1为函数f(x)的两个零点，求证：高三12月理科数学参考答案一、选择 1-5 AABAC 6-10 DACCB 11-12 CD 二、填空13. 30-； 14. 18 （1y e=-）； 15. ① ③； 16. 2018. 17.解：（I）由2s i n (2a A b c B c b=+++得22222(2)(2)a b c b c b c a b c bc =+++∴--=()22212cos ,0,2223b c a bc A A A bc bc ππ+--∴===-∈∴=又（II）2sin ,2,3sin a B A a b c A π==∴===Qsin )sin())3b c B C B B π∴++=+-1(sin ))23B B B π=+0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭又，sin()3B π⎤∴+∈⎥⎝⎦，b c ⎛∴+∈ ⎝⎦ 18.解：（I ）由已知得12121133,1244a ab a a +===--=- 由题意12n n a a n+-=，1122nn n n n a a a a n +++∴==-，1111+1211122111222n n n n n n n n n a n a a n a b a a a ++++++++++----∴=--=-==- 11111=(2)11n n n n n n b a a a a n n a ++++=-----=--又，12nn b b +∴=11102n n b b b +≠∴= ∴数列{}n b 是等比数列. （II ）由（I ）得13131=()4222n n n b --⋅=-⋅，1131311==12222n n n n n n a a a a ++∴---⋅∴--⋅+， 21321121313131=1=1,......=1222222n n n a a a a a a --∴--⋅+--⋅+--⋅+，，11131113()12(2)22222n n n n a a n n n -∴=-++++-=-+≥......ED又112a =满足上式，322n na n ∴=-+.19.解：（I ）取AC 中点D ，连接,SD BD ，,SA SC AB BC ==,,AC SD AC BD AC ∴⊥⊥∴⊥平面SDB ,又SB ⊂平面SDB ，.AC SB ∴⊥（II）平面SAC ⊥平面ABC 且交线为AC ，SD AC ⊥,SD ∴⊥平面ABC ,由已知得SD =又N 是SB 的中点, 作NE ⊥平面ABC 于E ,则1=2NE SD =另BCM ABC S S ∆∆==13B CMN N BCM BCM V V NE S --∆∴==⋅=（III ）NE ⊥平面ABC 于E , ∴过E 作EF CM F ⊥于, 连接NF NF CM ∴⊥, NFE ∴∠是N CM B --的平面角.又E在BD上且为BD 中点，CM 为正ABC∆的中线，计算得1142EF BM ==，tan sin NE NFE NFE EF ∴∠==∠=故二面角N CM B --20.解：（I ）设(,0),(0,),(,),(,),(,)∴=-=--A m B n P x y BP x y n PA m x y u u r u u r,由已知得2(),2x m x y n y =-⎧⎨-=-⎩323xm yn ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩ 又223,9AB m n =∴+=，223()()923x y ∴+= 22:14xy ∴Γ+= （II ）由QM QN=得,QE QF 两直线斜率互为相反数.设1122(,),(,)E x y F x y .设:(1)QE y k x =-2214x y +=得：222(14)8))40k x k k x k +-+-=212)42114k x k -∴⋅=+，1x ∴=2x =121212121212((1)((1)(2)22EF k x k x y y k x x k x x x x x x -----+-∴===---=∴直线EF21.解：（I ）()()()()()()22222222x x e x a x a e x a x f x xax a xax a ⎡⎤-++--⎣⎦'==-+-+∴①当02a <<时，(,)(2,),'()0;(,2),'()0x a f x x a f x ∈-∞+∞>∈<;②当2a =时，'(f x ≥;③当24a <<时，(,2)(,),'()0;(2,),'()0x a f x x a f x ∈-∞+∞>∈<∴当02a <<时，()f x 在(),a -∞，()2,+∞上单调递增，在(),2a 上单调递减；当2a=时，()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增当24a <<时，()f x 在(),2-∞，(),a +∞上单调递增，在()2,a 上单调递减；（II ）,1x t >∴()()()()tf x xf t f x f t -≥-()()()()()()1111f x f t t f x x f t x t ⇔-≥-⇔≥-- 设函数()()()211xf x eg x x x x ==--，即()()g x g t ≥在(]1,t 上恒成立，即()g t 为()g x 的最小值. (]1,t ∴为()g x 的一个单调减区间. 又()()()223421x e x x g x x x -+'=-.故()gx 在(1,2上单调递减，在()2+∞单调递增. 故，max 2t =。