高中数学第四章数系的扩充与复数的引入习题课复数的模及几何意义的应用课件北师大版选修1_2
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北师大版高中数学选修1-2课件第四章数系的扩充与复数的引入1第2课时
第四章
数系的扩充与复数的引入 §1 数系的扩充和复数的引入
第2课时 复数的几何意义
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
• 大家知道实数的几何模型是数轴上的点， 即实数和数轴上的点建立了一一对应关系， 那么复数的几何模型又是怎样的呢？在 1806年，德国数学家高斯公布了虚数的图 像表示法，即虚数能用平面内的点来表 示．在直角坐标系中，横轴上取对应实部a 的点A，纵轴上取对应虚部b的点B，通过这
• (2019·北京昌平区新学道临川中学月考C )在 复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分
别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C
对应的复数是( )
• A．4＋8i
B．8＋2i
• C．2＋4i D．4＋i
• [解析] 由题意知A(6,5)，B(－2,3)， ∴C(2,4)，∴点C对应的复数为2＋4i，故选
N，求实数 m 的值．
[解析] ∵M∪N＝N，∴M⊆N， ∴m2－2m＋(m2＋m－2)i＝－1 或 m2－2m＋(m2＋m－2)i＝4i. 由复数相等的充要条件，得
m2－2m＝－1 m2＋m－2＝0
，或mm22－ ＋2mm－＝20＝4
，
解得 m＝1 或 m＝2.
• 『规律方法』 利用复数相等的充要条件， 将复数问题转化为实数问题来解决．在解 题过程中要注意的是：一般由一个复数等 式可转化为一个实数方程组，所求出的解 要同时满足每一个方程．
• (1)复数与复平面内点的对应关系：每一个 复数和复平面内的一个点对应，复数的实 部、虚部分别是对应点的横坐标、纵坐 标．
• (2)复数与复平面内向量的对应关系：当向 量的起点在原点时，该向量可由终点唯一 确定，从而可与该终点对应的复数建立一 一对应关系，借助平面向量的有关知识，
数系的扩充与复数的引入 §1 数系的扩充和复数的引入
第2课时 复数的几何意义
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
• 大家知道实数的几何模型是数轴上的点， 即实数和数轴上的点建立了一一对应关系， 那么复数的几何模型又是怎样的呢？在 1806年，德国数学家高斯公布了虚数的图 像表示法，即虚数能用平面内的点来表 示．在直角坐标系中，横轴上取对应实部a 的点A，纵轴上取对应虚部b的点B，通过这
• (2019·北京昌平区新学道临川中学月考C )在 复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分
别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C
对应的复数是( )
• A．4＋8i
B．8＋2i
• C．2＋4i D．4＋i
• [解析] 由题意知A(6,5)，B(－2,3)， ∴C(2,4)，∴点C对应的复数为2＋4i，故选
N，求实数 m 的值．
[解析] ∵M∪N＝N，∴M⊆N， ∴m2－2m＋(m2＋m－2)i＝－1 或 m2－2m＋(m2＋m－2)i＝4i. 由复数相等的充要条件，得
m2－2m＝－1 m2＋m－2＝0
，或mm22－ ＋2mm－＝20＝4
，
解得 m＝1 或 m＝2.
• 『规律方法』 利用复数相等的充要条件， 将复数问题转化为实数问题来解决．在解 题过程中要注意的是：一般由一个复数等 式可转化为一个实数方程组，所求出的解 要同时满足每一个方程．
• (1)复数与复平面内点的对应关系：每一个 复数和复平面内的一个点对应，复数的实 部、虚部分别是对应点的横坐标、纵坐 标．
• (2)复数与复平面内向量的对应关系：当向 量的起点在原点时，该向量可由终点唯一 确定，从而可与该终点对应的复数建立一 一对应关系，借助平面向量的有关知识，
高考数学 第四章 数系的扩充与复数的引入本章整合课件 北师大版选修12
专题一
专题二
专题三
【应用 3】复数((12-+23ii))45等于
.
提示:直接运算比较麻烦,注意到分子提取 24 后变为(1+i)4,分母提取-25
变为
-
1 2
+
3 2
i
5
,可以利用(1+i)2=2i,
-
1 2
+
3 2
i
3
=1 来简化求解.
解析:原式= 16(1+i)4
-25 -12+ 23i
5
=-12 ×
复数的代数形式是 z=x+yi(x,y∈R),所以任意一个复数都可由实数对 (x,y)唯一确定,利用复数的代数形式,在处理复数相等、复数的模、复数对应 点的轨迹问题时,都可以化归为实数 x,y 应满足的条件的问题,即复数问题 实数化,这一思想方法渗透于本章的各个知识点.
专题一
专题二
专题三
【应用 5】设 z∈C,满足 z+1������∈R,z-14是纯虚数,求 z. 提示:设 z=x+yi(x,y∈R),根据条件转化为方程组求解.
解:设 z=x+yi(x,y∈R),
则 ������
������-1
=
������+������i (������-1)+������i
=
(������+������i)[(������-1)-������i] (������-1)2+������2
=(���(���2������+-1���)���22-+���������)���-2������i.
∵y≠0,∴
������2 + ������2 = 5,解得 ������ + ������ = -3,
高中数学第四章数系的扩充与复数的引入模块复习课第4课时复数课件北师大版选修1_2
-i
-i·i
2 -2
∴
+ =-2i+1+i=1-i.故选 A.
-1
)
D.-2
专题归纳
高考体验
变式训练 2 计算:(1)
4
(2+2i)
5;
(1- 3i)
-2 3+i
2
(2)
+
1+2 3i
1-i
解:(1)
(2+2i)4
(1- 3i)
=-
24 (2i)2
1
3
25 -2+ 2 i
5
=
2 016
.
24 (1+i)4
确复数的实部与虚部,由实部与虚部满足的条件,列出方程(组)或不
等式(组),通过解方程(组)或不等式(组)达到解决问题的目的.
知识网络
要点梳理
思考辨析
2.复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除,加
减法是对应实、虚部相加减,而乘法类比多项式乘法,除法类比根
式的分母有理化,要注意i2=-1.在进行复数的运算时,要灵活利用i,ω
1
1
1 1
2b=1⇒a=4,b=2⇒z=4 + 2i.
专题归纳
高考体验
考点四:复数的几何意义
11.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取
值范围是(
)
A.(-∞,1)
B.(-∞,-1)
C.(1,+∞)
D.(-1,+∞)
答案:B
解析:设z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为复数z在复平面内对应的点
-i·i
2 -2
∴
+ =-2i+1+i=1-i.故选 A.
-1
)
D.-2
专题归纳
高考体验
变式训练 2 计算:(1)
4
(2+2i)
5;
(1- 3i)
-2 3+i
2
(2)
+
1+2 3i
1-i
解:(1)
(2+2i)4
(1- 3i)
=-
24 (2i)2
1
3
25 -2+ 2 i
5
=
2 016
.
24 (1+i)4
确复数的实部与虚部,由实部与虚部满足的条件,列出方程(组)或不
等式(组),通过解方程(组)或不等式(组)达到解决问题的目的.
知识网络
要点梳理
思考辨析
2.复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除,加
减法是对应实、虚部相加减,而乘法类比多项式乘法,除法类比根
式的分母有理化,要注意i2=-1.在进行复数的运算时,要灵活利用i,ω
1
1
1 1
2b=1⇒a=4,b=2⇒z=4 + 2i.
专题归纳
高考体验
考点四:复数的几何意义
11.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取
值范围是(
)
A.(-∞,1)
B.(-∞,-1)
C.(1,+∞)
D.(-1,+∞)
答案:B
解析:设z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为复数z在复平面内对应的点
北师大版选修12第四章数系的扩充与复数的引入ppt课件
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
4.1 数系的扩充和复数的概念
2、数的发展过程
自然数 分数
有理数 无理数
实数 虚数
复数
虚数集 复数集
纯虚数集
实数集
解:令x=bi(b∈R,b≠0),则 (bi)2+[t2-t+2t(bi)]=0
即 (-b2-2bt)+(t2-t)i=0 ∴ -b2-2bt＝０ t2-t＝０
3.2.1复数代数形式的四则运算
复数 加法
复数 减法
1、规定复数的加法法则如下： 设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)I (a,b) +(c,d) =(a+c , b+d)
2、复数加法交换律、结合律： 对任意复数z1,z2,z3有
Z1+z2= z2+Z1 (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) 3、规定复数的减法法则如下： 设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
３、熟悉应用
例１实数m取什么值时，复平面内表示复数 Ｚ＝（m2_8m+15)+(m2-5m-14)i的点
（１）位于第四象限？ （２）位于第一、三象限？ （３）位于直线y=x上？
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
4.1 数系的扩充和复数的概念
2、数的发展过程
自然数 分数
有理数 无理数
实数 虚数
复数
虚数集 复数集
纯虚数集
实数集
解:令x=bi(b∈R,b≠0),则 (bi)2+[t2-t+2t(bi)]=0
即 (-b2-2bt)+(t2-t)i=0 ∴ -b2-2bt＝０ t2-t＝０
3.2.1复数代数形式的四则运算
复数 加法
复数 减法
1、规定复数的加法法则如下： 设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)I (a,b) +(c,d) =(a+c , b+d)
2、复数加法交换律、结合律： 对任意复数z1,z2,z3有
Z1+z2= z2+Z1 (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) 3、规定复数的减法法则如下： 设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
３、熟悉应用
例１实数m取什么值时，复平面内表示复数 Ｚ＝（m2_8m+15)+(m2-5m-14)i的点
（１）位于第四象限？ （２）位于第一、三象限？ （３）位于直线y=x上？
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
高中数学北师大版选修2-1第四章《数系的扩充与复数的引入》ppt课件
(1)由点 Z 位于第二象限得aa22＋ －a3－a＋2<2>0，0， 解得－2<a<1. 故满足条件的实数 a 的取值范围为(－2,1)． (2)由点 Z 位于直线 y＝x 上得 a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得 a ＝1. 故满足条件的实数 a 的值为 1.
[一点通] 按照复数集和复平面内所有的点的集合之间 的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对， 只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根 据点的位置确定复数的实部、虚部满足的条件．
()
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：对于①，若a＝－1时，(a＋1)i为实数； 对于②，若x＋yi(x，y∈R)是实数，则y＝0； 对于③，因为a＋i和b＋i是虚数，所以不能比较大小； 由复数相等的条件可知④正确． 答案：B
[例 2] (1)已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，x，y∈R，求 x 与 y；
问题1：实数与数轴上的点一一对应，复数可以用平面 内的点表示吗？
提示：可以． 问题2：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有何 对应关系？与平面直角坐标系中的点Z(a，b)有何对应关系？ 提示：一一对应，一一对应．
问题3：在平面直角坐标系中点Z(a，b)与向量 OZ ＝(a， b)有何对应关系？
的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量 BA 的坐标是
()
A．(－5,5)
B．(5，－5)
C．(5,5)
D．(－5，－5)
解析：向量 OA ，OB 对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2
＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向
量 OA ＝(2，－3)， OB ＝(－3,2)．
由向量减法的坐标运算可得向量
[一点通] 按照复数集和复平面内所有的点的集合之间 的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对， 只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根 据点的位置确定复数的实部、虚部满足的条件．
()
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：对于①，若a＝－1时，(a＋1)i为实数； 对于②，若x＋yi(x，y∈R)是实数，则y＝0； 对于③，因为a＋i和b＋i是虚数，所以不能比较大小； 由复数相等的条件可知④正确． 答案：B
[例 2] (1)已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，x，y∈R，求 x 与 y；
问题1：实数与数轴上的点一一对应，复数可以用平面 内的点表示吗？
提示：可以． 问题2：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有何 对应关系？与平面直角坐标系中的点Z(a，b)有何对应关系？ 提示：一一对应，一一对应．
问题3：在平面直角坐标系中点Z(a，b)与向量 OZ ＝(a， b)有何对应关系？
的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量 BA 的坐标是
()
A．(－5,5)
B．(5，－5)
C．(5,5)
D．(－5，－5)
解析：向量 OA ，OB 对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2
＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向
量 OA ＝(2，－3)， OB ＝(－3,2)．
由向量减法的坐标运算可得向量
北师大版选修2-1高中数学第四章《数系的扩充与复数的引入》章末小结课件
(2)(1±i)2＝±2i. (3)作复数除法运算时，有如下技巧： ab＋－baii＝ab＋－baiiii＝aa＋＋bbiii＝i，利用此结论可使一些 特殊的计算过程简化．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
3．复数是实数的充要条件 (1)z＝a＋bi(a，b∈R)∈R⇔b＝0； (2)z∈R⇔z＝ z ； (3)z∈R⇔z2≥0. 4．复数是纯虚数的充要条件 (1)z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0，且 b≠0； (2)z 是纯虚数⇔z＋ z ＝0(z≠0)； (3)z 是纯虚数⇔z2<0.
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
第 四 章
章 末 小 结
核心要点归纳 阶段质量检测
一、复数的基本概念
实数b＝0 1．复数 a＋bi虚数b≠0纯非虚纯数虚数a＝a0≠ 0 2．复数的相等 两个复数 z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)， 当且仅当 a＝c 且 b＝d 时，z1＝z2.特别地，当且仅当 a＝b ＝0 时，a＋bi＝0.
2019/8/13
最新中小学教学课件
11
二、复数的运算 复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、 除的运算，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项 式乘法，除法类比分式的分子、分母有理化，注意 i2＝－1. 在运算的过程中常用来降幂的公式有： (1)i 的乘方：i4k＝1，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i(k ∈N＋)．
高中北师大数学选修1-2课件：第四章 数系的扩充与复数的引入 1 第1课时
扩充到复数系后，各数系之间的关系为：N Z Q R C．
(3)实数集 R 和虚数集都是复数集 C 的真子集，且 R∪{虚数}＝C，R∩{虚 数}＝∅.
(4)实数也是复数，但是复数不一定是实数，它也可能是虚数． 2．对于复数 a＋bi，当且仅当 b＝0 时，它是实数；当且仅当 a＝b＝0 时， 它是实数 0；当 b≠0 时，叫作虚数；当 a＝0 且 b≠0 时，叫作纯虚数．即
(2)当 k2－5k－6≠0，即 k≠6 且 k≠－1 时，z 是虚数．
(3)当kk22－－35kk－－46＝≠00 ，即 k＝4 时，z 是纯虚数．
(4)当kk22－－35kk－－46＝＝00 ，即 k＝－1 时，z 是零．
互动探究学案
命题方向1 ⇨复数的概念
(1)给出下列三个命题：①若 z∈C，则 z2≥0；②2i－1 虚部是 2i；
实数b＝0 复数 a＋bi(a、b∈R)虚数b≠0非纯纯虚虚数数a＝a≠0 0
• 1．复数1－i的A虚部是( )
• A．－1
B．1
• C．i D．－i
• [解析] 虚部是i的系数，为实数，故选A
．
• 2．若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈C R)是实数， 则a＝( )
• A．－1 B．1
• C．±1 D．不存在
• 〔跟踪练习3〕 • 已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i， • 求实数x、y的值．
[解析] 因为 x、y 为实数， 所以 2x－1、y＋1、x－y、－x－y 均为实数． 由复数相等的充要条件，
知2y＋x－11＝＝－x－x－yy ，
所以xy＝＝3－2 .
准确掌握概念
在下列命题中，正确命题的个数是( A )
• 〔跟踪练习2〕 • 实数m取什么值时，复数(m2－5m＋6)＋(m2
(3)实数集 R 和虚数集都是复数集 C 的真子集，且 R∪{虚数}＝C，R∩{虚 数}＝∅.
(4)实数也是复数，但是复数不一定是实数，它也可能是虚数． 2．对于复数 a＋bi，当且仅当 b＝0 时，它是实数；当且仅当 a＝b＝0 时， 它是实数 0；当 b≠0 时，叫作虚数；当 a＝0 且 b≠0 时，叫作纯虚数．即
(2)当 k2－5k－6≠0，即 k≠6 且 k≠－1 时，z 是虚数．
(3)当kk22－－35kk－－46＝≠00 ，即 k＝4 时，z 是纯虚数．
(4)当kk22－－35kk－－46＝＝00 ，即 k＝－1 时，z 是零．
互动探究学案
命题方向1 ⇨复数的概念
(1)给出下列三个命题：①若 z∈C，则 z2≥0；②2i－1 虚部是 2i；
实数b＝0 复数 a＋bi(a、b∈R)虚数b≠0非纯纯虚虚数数a＝a≠0 0
• 1．复数1－i的A虚部是( )
• A．－1
B．1
• C．i D．－i
• [解析] 虚部是i的系数，为实数，故选A
．
• 2．若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈C R)是实数， 则a＝( )
• A．－1 B．1
• C．±1 D．不存在
• 〔跟踪练习3〕 • 已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i， • 求实数x、y的值．
[解析] 因为 x、y 为实数， 所以 2x－1、y＋1、x－y、－x－y 均为实数． 由复数相等的充要条件，
知2y＋x－11＝＝－x－x－yy ，
所以xy＝＝3－2 .
准确掌握概念
在下列命题中，正确命题的个数是( A )
• 〔跟踪练习2〕 • 实数m取什么值时，复数(m2－5m＋6)＋(m2
北师大版选修1-2--第四章-数系的扩充与复数的引入-本章整合----课件(31张)
证法一:设 z=a+bi(a,b∈R,b≠0).
由|z|=1,得 a2+b2=1,
1-
∴μ= 1+ =
2
1-(+i)
1++i
=
[(1-)-i][(1+)-i]
(1+)2 +
2
2
(1-2 )- -(1 + + 1-)i 1-2 - -2i
=
=
2
2
2
2
(1 + ) +
= -2
= -1.
∴存在复数 z=-1-2i 或 z=-2-i 满足题意.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
10
1(2018·北京高考)在复平面内,复数 1-i 的共轭复数对应的点位于
(
)
A.第一象限
C.第三象限
1
B.第二象限
D.第四象限
1+i
解析:由 1-i = (1-i)(1+i) =
1
1
1+i
2
1
(1 + ) +
2
=−
i.
2
2
(1 + ) +
∵b≠0,∴μ 为纯虚数.
综合应用
专题一
专题二
专题三
专题四
证法二∵|z|=1,∴ = 1.
1-
-
-1
-1
∴μ= 1+ = + = +1 = +1 = −,
∴μ+ = 0. ∴ 为纯虚数.
综合应用
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【例 2】 已知复数 z,满足|z|=2,求|z+1+ 3i|的最大值和最小值.
思路分析: 利用复数的几何意义求解;不等式||z1|-|z2||≤|z1+z2| ≤|z1|+|z2|中,当|z1+z2|=|z1|+|z2|时,z1,z2 对应的向量������������1 , ������������2 同向共 线,而||z1|-|z2||=|z1+z2|时,z1,z2 对应的向量������������1 , ������������2 反向共线.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(方法二)利用||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|. ∵|z|=2,∴|2-|1+ 3i|| ≤|z+1+ 3i|≤2+|1+ 3i|. ∴0≤|z+1+ 3i|≤2+2. ∴|z+1+ 3i|min=0,|z+1+ 3i|max=4.
反思感悟解决有关复数模的最值问题的常用方法 1.先建立关于复数模的函数,再求函数的最值,此时常设 z=x+yi(x,y∈R). 2.写出复数表示的几何意义,利用数形结合思想,结合平面几何知 识求解最值.
【做一做1】 满足条件|z-i|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的 轨迹是( ) A.一条直线 B.两条直线 C.圆 D.椭圆 解析:根据复数模的几何意义,|z-i|=|3+4i|=5,即表示复数z在复平 面上对应点到点(0,1)的距离等于常数5的轨迹,即表示以点(0,1)为 圆心,5为半径的圆. 答案:C 【做一做 2】 若复数 z 满足|z+3- 3i|= 3,则|z|的最大值和最小
(3)将 z=x+yi(x,y∈R)代入得 心, 为半径的圆.
4 3
5 2 2 16 5 ������+y = ,即表示以 ,0 3 9 1)为端点,倾斜角为 (x≥0)的一条射线(不是双曲 线,因为两定点之间的距离为 2).
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探究二
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思维辨析
利用复数的几何意义求最值
为焦点,2 为实轴长的双曲线的左支上.∴x 由 ������ = -������, ������ 2 ������2 2
2
������2 - =1(x<0). 2
= 1(������ < 0),
得
������ = - 2, ������ = 2.
故所求的复数 z=- 2 + 2i.
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习题课——复数的模及几何意义的应用
学 习
目 标
思 维 脉
络
1.理解复数模的几何意义 及其应用. 2.能够运用复数的运算法 则进行有关的计算.
一、复数的几何意义 复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点Z(a,b)及以原点为起点, Z(a,b)为终点的向量 ������������ 相对应,它们之间都是一一对应的关系. 二、复数的模及其几何意义 1.已知复数z=a+bi(a,b∈R),则复数z的模|z|=|a+bi|= ������2 + ������ 2 . 2.复数的模的几何意义:复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|表示复数 z对应的点Z(a,b)到原点的距离. 3.复数的模,复数对应的点到原点的距离,复数所对应向量的模三 者是一致的.
������2 4 ������2 + =1 3
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思维辨析
复数与轨迹问题 【例 1】 设复数 z 满足|z-1|=|z+i|,且|z- 3|-|z+ 3|=2,求复数 z.
思路分析: 在复平面内,满足|z-1|=|z+i|的复数 z 对应的点到点 (1,0)和点(0,-1)的距离相等;满足|z- 3|-|z+ 3|=2 的复数 z 对应的点 到( 3,0)和(- 3,0)的距离之差等于 2. 解: 设 z=x+yi(x,y∈R),∵|z-1|=|z+i|, ∴复数 z 对应的点(x,y)在以点(1,0)和(0,-1)为端点的线段的垂直 平分线上.∴y=-x. ∵|z- 3|-|z+ 3|=2,∴复数 z 对应的点(x,y)在以( 3,0)和(- 3,0)
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思维辨析
解: (方法一)设 w=1+ 3i+z,则 z=w-1- 3i, ∵由已知可得复数 z 对应的点 Z 在复平面内以原点 O 为圆心,2 为半径的圆上,∴|z|=|w-(1+ 3i)|=2.
∴复数 w 对应的点在复平面内以(1, 3)为圆心,2 为半径的圆上
(如图所示). 此时圆上的点 A 对应的复数 wA 的模为最大值,圆上的点 B 对应 的复数 wB 的模为最小值. 故|1+ 3i+z|max=4,|1+ 3i+z|min=0.
值分别是
.
解析:由于|z+3- 3i|= 3表示以 C(-3, 3)为圆心, 3为半径的圆, 则|z|表示该圆上的点到原点 O 的距离,显然|z|的最大值为 |OC|+ 3=2 3 + 3=3 3,最小值为|OC|- 3=2 3 − 3 = 3.
答案:3 3, 3
【做一做3】 在复平面内,若复数z满足|z+1|+|z-1|=4,则z在复平 面内对应的点的轨迹是 ,其方程为 . 解析:根据模的几何意义,复数z在复平面内对应的点到两定点(1,0),(1,0)的距离之和为定值 4,故其轨迹是以 (-1,0),(1,0)为焦点,4为 2 2 ������ ������ + =1. 长轴长的椭圆,其方程为 4 3 答案:以(-1,0),(1,0)为焦点,4为长轴长的椭圆
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反思感悟复数的实质是有序实数对,也就是复平面内点的坐标, 如果复数按照某种条件变化,那么复平面内的对应点就构成具有某 种特征的点的集合(或轨迹),这里应特别注意复数的模的几何意义, 复数的模就是复数对应的点到原点的距离.
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变式训练 1 设复数 z=x+yi(x∈R,y∈R),在下列条件下求动点 Z(x,y)的轨迹. (1)|z+1+i|-|z-1-i|=0; (2)|z+i|+|z-i|=2 2; (3)|z+1|=2|z-1|; (4)|z+1|-|z-i|= 2. 解: (1)原式可转化为|z+1+i|=|z-1-i|,表示到两点(-1,-1),(1,1)距离 相等的点的轨迹,即以(-1,-1),(1,1)为端点的线段的垂直平分线. (2)表示以点(0,-1)和(0,1)为焦点,长轴长为 2 2的椭圆.