人教A版高中数学计数原理与概率、随机变量及其分布 9.9 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 【教师版】

高三一轮 第九章 计数原理与概率、随机变量及其分布 9.9 离散型随机变量的均值与方差、正态分布（检测教师版）时间:50分钟 总分：70分班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．已知某一随机变量X 的概率分布列如下，且E (X )＝6.3，则a 的值为( )X 4 a 9 P0.50.1bA ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】由分布列性质知：0.5＋0.1＋b ＝1，∴b ＝0.4，∴E (X )＝4×0.5＋a ×0.1＋9×0.4＝6.3，∴a ＝7.2．若X ～B (n ，p )，且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( )A ．3×2－2B ．2－4C ．3×2－10D ．2－8【答案】C【解析】 由题意知{ np ＝6，np－p ＝3，解得⎩⎨⎧p ＝12，n ＝12，∴P (X ＝1)＝C 112×12×⎝⎛⎭⎫1－1211＝12212＝3×2－10. 3．(2015·湖南高考)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )A ．2 386B ．2 718C ．3 413D ．4 772附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4.【答案】C【解析】由P (－1<X ≤1)＝0.682 6，得P (0<X ≤1)＝0.341 3，则阴影部分的面积为0.341 3，故估计落入阴影部分的点的个数为10 000×0.341 31×1＝3 413，故选C.4．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400【答案】B【解析】记不发芽的种子数为ξ，则ξ～B (1 000,0.1)，∴E (ξ)＝1 000×0.1＝100.又X ＝2ξ，∴E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200.5.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%， P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.) A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74% 【答案】B【解析】由题意，知P (3＜ξ＜6)＝P （－6＜ξ＜6）－P （－3＜ξ＜3）2＝95.44%－68.26%2＝13.59%.6.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E (ξ)为( )A.24181 B.26681 C.27481D.670243 【答案】A【解析】由题意知ξ的所有可能取值为2,4,6.且P (ξ＝2)＝⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫132＝59，P (ξ＝4)＝C 12×13×23⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫132＝2081，P (ξ＝6)＝C 12C 12×13×23×13×23＝1681，则E (ξ)＝2×59＋4×2081＋6×1681＝26681. 二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7．已知随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，若P (ξ>1)＝a (a 为常数)，则P (－1≤ξ≤0)＝________. 【答案】12－a【解析】因为P (ξ<－1)＝P (ξ>1)＝a ，所以P (－1≤ξ≤0)＝1－2a 2＝12－a .8．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为23，则此人得分的数学期望与方差分别为________，________. 【答案】 20 2003【解析】记此人三次射击击中目标X 次，得分为Y 分，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，23，Y ＝10X ，∴E (Y )＝10E (X )＝10×3×23＝20，D (Y )＝100D (X )＝100×3×23×13＝2003.9.(2016·四川，12)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是________. 【答案】32【解析】由题可知，在一次试验中，试验成功(即至少有一枚硬币正面向上)的概率为P ＝1－12×12＝34，∵2次独立试验成功次数X 满足二项分布X ～B ⎝⎛⎭⎫2，34，则E (X )＝2×34＝32. 10．假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0，则p 0＝________. 【答案】0.977 2【解析】由X ～N (800,502)，知μ＝800，δ＝50，又P (700<X ≤900)＝0.954 4，则P (800<X ≤900)＝12×0.954 4＝0.477 2，∴P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800<X ≤900)＝0.5＋0.477 2＝0.977 2，故P 0＝P (X ≤900)＝0.977 2.三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）11．某投资公司在2016年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，也可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35、13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．【答案】见解析【解析】 (1)若按“项目一”投资，设获利为ξ1万元．则ξ1的分布列为ξ1 300 －150 P7929∴E (ξ1)＝300×79＋(－150)×29＝200(万元)．若按“项目二”投资，设获利ξ2万元，则ξ2的分布列为：ξ2 500 －300 0 P3513115∴E (ξ2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200(万元)．D (ξ1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000，D (ξ2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140 000，所以E (ξ1)＝E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．12.(2013·湖北，20)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800，502) 的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0. (1)求p 0的值；(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.)(2)某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次， A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆，若每天要以不小于p 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？ 【答案】见解析【解析】 (1)由于随机变量X 服从正态分布N (800，502)，故有μ＝800，σ＝50，P (700<X ≤900)＝0.954 4. 由正态分布的对称性，可得p 0＝P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800<X ≤900) ＝12＋12P (700<X ≤900)＝0.977 2. (2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x ，y 辆，则相应的营运成本为1 600x ＋2 400y . 依题意，x ，y 还需满足：x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，P (X ≤36x ＋60y )≥p 0. 由(1)知，p 0＝P (X ≤900)，故P (X ≤36x ＋60y )≥p 0等价于36x ＋60y ≥900.于是问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N ，且使目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 达到最小的x ，y .作可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7，14)，R (15，6).由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上截距z2 400最小，即z 取得最小值.故应配备A 型车5辆，B 型车12辆.。