不等式必考
三类含绝对值不等式的解法
解题宝典含绝对值不等式问题是高考的必考内容，此类型问题常与函数、方程、数列等知识点相结合，题型多样，具有一定的难度，需要灵活运用化归、分类讨论、数形结合等数学思想进行解答.本文对三类常见的含绝对值不等式题型及其解法进行了归纳，以帮助同学们提升解答此类问题的效率.一、||f （x ）<a ，||f （x ）>a ，()a ∈R 型不等式的解法对于该类型不等式，我们需要考虑a =0,a >0，a <0这三种情形.1.当a >0时，ìíî||f (x )<a ⇔-a <f (x )<a ,||f (x )>a ⇔f (x )>a 或f (x )<-a .2.当a =0时，ìíî||f (x )<a ⇔无解,||f (x )>a ⇔f (x )≠0的解集.3.当a <0时，ìíî||f (x )<a ⇔无解,||f (x )>a ⇔使y =f (x )成立的x 解集为R.因此，在处理||f (x )<a ，||f (x )>a ，()a ∈R 型不等式时，我们首先要对参数a 进行分类讨论，以便去掉绝对值符号，将绝对值不等式问题转化为常规不等式问题进行求解.例1.若不等式||3x -b <4解集中x 的正整数解有且仅有1,2,3，求b 的取值范围.解:∵||3x -b <4解集中x 的正整数解有且仅有1,2,3，∴||3x -b <4,解得b -43<x <b +43，∴0≤b -43<1,且3<b +43≤4，解得5<b <7.由于题目中给出了||3x -b <4解集，所以我们需要根据其正整数解1，2，3，列出新的不等式0≤b -43<1,且3<b +43≤4，从而求得b 的取值范围.二、||f （x ）<||g (x )型不等式的解法在解该类型不等式时，我们首先要考虑在不等式的两边同时取平方，以便去除绝对值符号，再解不含绝对值的不等式，即：||f （x ）<||g (x )⇔||f （x ）2<||g (x )2⇔||f （x ）2-||g (x )2<0,亦或者将之转化为[]f （x ）+g （x ）[]f （x ）-g （x ）<0.这样可以避免对绝对值内部式子进行分类讨论，能有效简化解题的过程，提升解题的效率.例2.求不等式||x +1-||x -3≥0的解集.分析：首先需将不等式移项，然后在不等式两边同取平方，将其化简成二次不等式进行求解.解：将不等式平方得||x +12≥||x -32,化简得x 2+2x +1≥x 2-6x +9，解得x ≥1.除了上述思路，同学们还可以利用绝对值的几何意义解答本题，即把||x +1-||x -3看作数轴上的点x 到点-1与到点3的距离之差，利用数轴得出x 的取值范围.三、|x -a |＋|x -b |≥c ，|x -a |＋|x -b |≤c (c ＞0)型不等式的解法该类型不等式较为复杂，常规的解题方法是零点区域法.根据绝对值的定义取零点，将定义域将分为几个区间段，去掉绝对值符号，最后把所得的解集进行汇总便可得出不等式的解集.第二种方法是利用绝对值不等式的几何意义求解；第三种是构造函数，利用函数的图象求解.例3.解不等式||x +1>||2x -3-2.解：令x +1=0，则x =-1；令2x -3=0，则x =32，①当x ≤-1时,-()x +1>-（2x -3）-2,得x >2,不符合题意舍去，②当-1<x ≤32时,x +1>-(2x -3)-2,得0<x ≤32，③当x >32时,x +1>2x -3-2,得32<x <6.综合①②③得不等式的解集为{x |0<x <}6.这里采用的是零点区域法，首先取零点，并将定义域分为三段x ≤-1、-1<x ≤32、x >32，然后再分段进行求解，最后将结果进行汇总.通过上述分析，同学们可以发现，求解含绝对值不等式问题的关键在于去掉绝对值符号，将含绝对值不等式转为普通的不等式进行求解.因此同学们在解题时，要善于结合不等式的特点，采用分类讨论、取平方、利用绝对值不等式的几何意义、构造函数等方法来简化问题.（作者单位：湖北省汉川市第一高级中学）祁海成36。
高考数学中如何处理不等式和函数不等式
高考数学中如何处理不等式和函数不等式高中生的一大考验就是高考。
而在高考数学中，不等式和函数不等式是必考的考点。
然而，相较于直观的解题方法，不等式和函数不等式常常需要一定的技巧和灵活的思维方式。
本文将从解不等式和函数不等式的基本方法、案例分析和解题技巧等几个方面来探讨高考数学中如何处理不等式和函数不等式。
一、解不等式和函数不等式的基本方法1、将不等式化为一般形式。
处理不等式的第一步是把它化为一般形式，并且尽量把不等式的系数整理规范化。
然后，要对系数进行讨论来确定解不等式的范围。
举个例子：解不等式 $x-1\ge2x+3$。
我们可以移项化简得到$x\le-4$。
这样，我们就得出了不等式的解，也就是 $(-\infty，-4]$。
2、降低不等关系的阶数。
减少不等式中的绝对值、分式、开方等带有异于一次的函数形式，能促进求根工作。
有时还可以利用平方、移项等方法，将含有不等关系的式子处理为左式和右式的关系，即分成两个简单的不等式。
举个例子：解不等式 $|x+2|+|x+3|\ge5$。
我们可以使用等效方法将不等式处理为两个不等式的和，即 $|x+2|\ge1$ 或$|x+3|\ge4$。
最后的解集为 $x\le-3$ 或 $x\le-2$ 或 $x\ge2$。
3、分类讨论解不等式。
不同的不等式形式需要采用不同的解题方法。
没有一个万能的方法。
因此，我们需要根据特点和个别情况，考虑选择合适的解题方法。
举个例子：解不等式 $\frac{3}{1-x}+\frac{x+1}{x-3}\le0$。
我们可以把不等式的解划分为 $x\le-2$，$-2\lt x\lt1$ 和$x\ge1$ 三个区间来分别进行讨论。
二、案例分析1、绝对值不等式绝对值不等式是高中数学中非常重要的一个概念。
例如： $|x-2|<5$ 。
这里，我们可以先把不等式转化成两种不等式：$x-2<5$ 和 $x-2>-5$，再分别求解，得:x<7 和 x>-3。
高考数学必考之传统不等式的解法
高考数学必考之传统不等式的解法一、基础知识1、一元二次不等式：()200ax bx c a ++>≠可考虑将左边视为一个二次函数()2f x ax bx c =++，作出图像，再找出x 轴上方的部分即可——关键点：图像与x 轴的交点 2、高次不等式（1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于x 的表达式为()f x ，不等式为()0f x >）①求出()0f x =的根12,,x x② 在数轴上依次标出根③ 从数轴的右上方开始，从右向左画。
如同穿针引线穿过每一个根 ④ 观察图像，()0f x >⇒ 寻找x 轴上方的部分 ()0f x <⇒ 寻找x 轴下方的部分（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式 3、分式不等式（1）将分母含有x 的表达式称为分式，即为()()f xg x 的形式 （2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即()0g x ≠ （3）对形如()()0f x g x >的不等式，可根据符号特征得到只需()(),f x g x 同号即可，所以将分式不等式转化为()()()0f xg x g x ⋅>⎧⎪⎨≠⎪⎩ （化商为积），进而转化为整式不等式求解4、含有绝对值的不等式 （1）绝对值的属性：非负性（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解： ① ()()f x g x >的解集与()()f x g x >或()()f x g x <-的解集相同 ② ()()f x g x <的解集与()()()g x f x g x -<<的解集相同（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理 5、指对数不等式的解法：（1）先讲一个不等式性质与函数的故事在不等式的基本性质中，有一些性质可从函数的角度分析，例如：a b a c b c >⇒+>+，可发现不等式的两边做了相同的变换（均加上c ），将相同的变换视为一个函数，即设()f x x c =+，则()(),a c f a b c f b +=+=，因为()f x x c =+为增函数，所以可得：()()a b f a f b >⇔>，即a b a c b c >⇒+>+成立，再例如：0,0,c ac bca b c ac bc >>⎧>⇒⎨<<⎩，可设函数()f x cx =，可知0c >时，()f x 为增函数，0c <时，()f x 为减函数，即()()()()0,0,c f a f b a b c f a f b >>⎧⎪>⇒⎨<<⎪⎩ 由以上两个例子我们可以得出：对于不等式两边作相同变换的性质，可将变换视为一个函数，则在变换时不等号是否发生改变，取决于函数的增减性。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式必考知识点归纳(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式必考知识点归纳单选题1、已知a>0，b>0且ab＝1，不等式12a +12b+ma+b≥4恒成立，则正实数m的取值范围是（）A．m≥2B．m≥4C．m≥6D．m≥8答案：D分析：由条件结合基本不等式可求a+b的范围，化简不等式可得m≥4(a+b)−(a+b)22，利用二次函数性质求4(a+b)−(a+b)22的最大值，由此可求m的取值范围.不等式12a +12b+ma+b≥4可化为a+b2ab+ma+b≥4，又a>0，b>0，ab＝1，所以m≥4(a+b)−(a+b)22，令a+b=t，则m≥4t−t22，因为a>0，b>0，ab＝1，所以t=a+b≥2√ab=2，当且仅当a=b=1时等号成立，又已知m≥4t−t22在[2,+∞)上恒成立，所以m≥(4t−t22)max因为4t−t22=12(8t−t2)=−12(t−4)2+8≤8，当且仅当t=4时等号成立，所以m≥8，当且仅当a=2−√3，b=2+√3或a=2−√3，b=2+√3时等号成立，所以m的取值范围是[8,+∞)，故选：D.2、已知正数x，y满足x+y=4，则xy的最大值（）A． 2B．4C． 6D．8答案：B分析：直接使用基本不等式进行求解即可.因为正数x，y满足x+y=4，所以有4=x+y≥2√xy⇒√xy≤2⇒xy≤4，当且仅当x=y=2时取等号，故选：B3、下列命题正确的是（）A．若ac>bc，则a>b B．若ac=bc，则a=bC．若a>b，则1a <1bD．若ac2>bc2，则a>b答案：D分析：由不等式性质依次判断各个选项即可.对于A，若c<0，由ac>bc可得：a<b，A错误；对于B，若c=0，则ac=bc=0，此时a=b未必成立，B错误；对于C，当a>0>b时，1a >0>1b，C错误；对于D，当ac2>bc2时，由不等式性质知：a>b，D正确.故选：D.4、已知x>0，y>0，且x+y=2，则下列结论中正确的是（）A．2x +2y有最小值4B．xy有最小值1C．2x+2y有最大值4D．√x+√y有最小值4答案：A分析：利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可解：x>0，y>0，且x+y=2，对于A，2x +2y=12(x+y)(2x+2y)=2+xy+yx≥2+2√xy⋅yx=4，当且仅当x=y=1时取等号，所以A正确，对于B，因为2=x+y≥2√xy，所以xy≤1，当且仅当x=y=1时取等号，即xy有最大值1，所以B错误，对于C，因为2x+2y≥2√2x⋅2y=2√2x+y=4，当且仅当x=y=1时取等号，即2x+2y有最小值4，所以C错误，对于D，因为(√x+√y)2=x+y+2√xy≤2(x+y)=4，当且仅当x=y=1时取等号，即√x+√y有最大值4，所以D 错误， 故选：A5、已知使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(−∞,−13)B ．(−∞,−13] C ．[−13,+∞)D ．(−13,+∞)答案：C分析：使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解. 解：由3x −1≤0得x ≤13，因为使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0 则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集， 又由x 2+(a +1)x +a ≤0得(x +a )(x +1)≤0， 当a =1，x ∈{−1}⊆(−∞,13]，符合；当a <1，x ∈[−1,−a ]⊆(−∞,13]，则−a ≤13，∴1>a ≥−13， 当a >1，x ∈[−a,−1]⊆(−∞,13]，符合，故实数a 的取值范围为[−13,+∞). 故选：C.6、某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A 为一次性投资300万；方案B 为第一年投资80万，以后每年投资20万.下列不等式表示“经过n 年之后，方案B 的投入不大于方案A 的投入”的是（ ） A ．80+20n ≥300B ．80+20n ≤300C ．80+20(n −1)≥300D ．80+20(n −1)≤300 答案：D分析：由不等关系求解即可.经过n 年之后，方案B 的投入为80+20(n −1)，故经过n 年之后，方案B 的投入不大于方案A 的投入，即80+20(n −1)≤300 故选：D7、已知a >b >0，下列不等式中正确的是（ ） A ．ca >cb B ．ab <b 2C ．a −b +1a−b ≥2D ．1a−1<1b−1 答案：C分析：由a >b >0，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 解：对于选项A ，因为a >b >0,0<1a <1b ，而c 的正负不确定，故A 错误； 对于选项B ，因为a >b >0，所以ab >b 2，故B 错误；对于选项C ，依题意a >b >0，所以a −b >0,1a−b >0，所以a −b +1a−b ≥2√(a −b )×1a−b =2，故C 正确； 对于选项D ，因为a >b >0,a −1>b −1>−1,1a−1与1b−1正负不确定，故大小不确定，故D 错误； 故选：C.8、若不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，则不等式a (x 2+1)+b(x −1)+c >2ax 的解集是（ ）A ．{x |0<x <3}B ．{x |x <0或x >3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |−1<x <3} 答案：A分析：由题知{ba =−1ca=−2，a <0，进而将不等式转化为x 2−3x <0，再解不等式即可. 解：由a (x 2+1)+b (x −1)+c >2ax ，整理得ax 2+(b −2a )x +(a +c −b )>0 ①． 又不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，所以a <0，且{(−1)+2=−ba (−1)×2=c a，即{ba =−1ca=−2②． 将①两边同除以a 得：x 2+(b a −2)x +(1+ca −ba )<0③．将②代入③得：x 2−3x <0，解得0<x <3． 故选：A 多选题9、（多选题）下列命题为真命题的是（ ）A ．若a >b >0，则ac 2≥bc 2B ．若a <b <0，则a 2>ab >b 2C ．若a >b >0且c >0，则ca 2>cb 2D ．若a >b 且1a >1b ，则ab <0 答案：ABD解析：由不等式的性质结合作差法，逐项判断即可得解.对于A ，若a >b >0，则ac 2−bc 2=c 2(a −b )≥0，即ac 2≥bc 2，故A 正确； 对于B ，若a <b <0，则a 2−ab =a (a −b )>0，ab −b 2=b (a −b )>0， 所以a 2>ab >b 2，故B 正确；对于C ，若a >b >0且c >0，则ca 2−cb 2=c (b 2−a 2)a 2b 2=c (b−a )(b+a )a 2b 2<0，所以c a 2<c b 2，故C 错误；对于D ，若a >b 且1a >1b ，则b −a <0，1a −1b =b−a ab>0，所以ab <0，故D 正确. 故选：ABD.10、已知函数y =x 2+ax +b （a >0）有且只有一个零点，则（ ） A ．a 2−b 2≤4 B ．a 2+1b ≥4C ．若不等式x 2+ax −b <0的解集为(x 1,x 2)，则x 1x 2>0D ．若不等式x 2+ax +b <c 的解集为(x 1,x 2)，且，则c =4答案：ABD分析：由函数的零点的定义和二次方程有两个相等的实数解的条件可得a ，b 的关系式，由二次函数的最值求法，可判断A ；由基本不等式可判断B ；由二次方程的韦达定理可判断C ，D ．124x x -=根据题意，函数y =x 2+ax +b(a >0)有且只有一个零点，必有a 2−4b =0，即a 2=4b ，(b >0)， a 2−b 2−4=4b −b 2−4=−(b 2−4b +4)=−(b −2)2≤0，b =2时，等号成立，即有a 2−b 2≤4，故A 正确；a 2+1b =4b +1b ≥2√4b ⋅1b =4，当且仅当b =12时，取得等号，故B 正确； 由x 1，x 2为方程x 2+ax −b =0的两根，可得x 1x 2=−b <0，故C 错误； 由x 1，x 2为方程x 2+ax +b −c =0的两根，可得x 1+x 2=−a ，x 1x 2=b −c ， 则|x 1−x 2|2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=a 2−4(b −c)=a 2−4b +4c =4c =16， 解得c =4，故D 正确． 故选：ABD ．11、设a >0，b >0，给出下列不等式恒成立的是（ ） A ．a 2+1>a B ．a 2+9>6aC ．(a +b )(1a +1b )≥4D ．(a +1a )(b +1b )≥4答案：ACD分析：选项A ，B 可用作差法比较大小；选项C ，D 可用基本不等式求范围. 由(a 2+1)−a =(a −12)2+34>0可得a 2+1>a ，故A 正确； 由(a 2+9)−6a =(a −3)2≥0可得a 2+9≥6a ，故B 错误；由(a +b )(1a +1b )=2+ab +ba ≥2+2√ab ⋅ba =4，当且仅当a =b 时取等号，故C 正确； 由(a +1a )(b +1b )=(ab +1ab )+(ab +ba )≥2√ab ⋅1ab +2√ab ⋅ba =4， 当且仅当{ab =1aba b =b a ，即a =b =1时取等号，故D 正确.故选：ACD.12、已知a >0，b >0，a 2+b 2=1，则（ ） A ．ab 的最大值为12B ．2ab+3a+b的最小值为2√2C ．a 2(1+2b 2)的最大值为94D ．1a 2+4b 2的最小值为9答案：ABD分析：利用基本不等式判断A 、B 、D 的正误，注意等号成立条件，将a 2(1+2b 2)化为关于a 2的二次函数形式求最值判断C.因为a >0，b >0，a 2+b 2=1， 所以1≥2ab ，即ab ≤12，2ab+3a+b=(a+b )2+2a+b=a +b +2a+b≥2√2，当且仅当a =b =√22时等号成立，则A ，B正确． a 2(1+2b2)=a 2[1+2(1−a2)]=3a 2−2a 4=−2(a 2−34)2+89，当a 2=34时取得最大值98，则C 错误．1a 2+4b 2=(a 2+b 2)(1a 2+4b 2)=5+b 2a 2+4a 2b 2≥5+2√4=9，当且仅当b 2=2a 2=23时等号成立，则D 正确．故选：ABD13、已知a,b ∈R +且a +b =1，那么下列不等式中，恒成立的有（ ）． A ．ab ⩽14B ．ab +1ab ⩾174C ．√a +√b ⩽√2D ．1a +12b ⩾2√2 答案：ABC分析：利用基本不等式，逐个进行验证，即可得到结论． ∵a,b ∈R +,a +b =1，∴ab ⩽(a+b 2)2=14(当且仅当a =b =12时取得等号)．所以选项A 正确由选项A 有ab ≤14，设y =x +1x ，则y =x +1x 在(0，14]上单调递减. 所以ab +1ab ≥14+4=174，所以选项B 正确∵(√a +√b)2=a +b +2√ab ⩽a +b +a +b =2(当且仅当a =b =12时取得等号)， ∴√a +√b ⩽√2．所以选项C 正确. ∵1a +12b=a+b a+a+b 2b=32+b a+a 2b⩾32+2√b a⋅a 2b=32+√2（当且仅当a 2=2b 2时等号成立），所以选项D 不正确．故A ，B ，C 正确 故选：ABC小提示：本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题填空题14、已知x,y∈(0,+∞),a∈R，若(x−y+sin2α+1)(x+3y−2sin2α)=2，则3x+y的最小值为______. 答案：2分析：利用基本不等式即可求解.∵(x−y+sin2α+1)(x+3y−2sin2α)=2，∴4=(2x−2y+2sin2α+2)(x+3y−2sin2α)即4=(2x−2y+2sin2α+2)(x+3y−2sin2α)≤(2x−2y+2sin2α+2+x+3y−2sin2α2)2=(3x+y+2)24，所以(3x+y+2)2≥16，解得3x+y≥2，当且仅当2x−2y+2sin2α+2=x+3y−2sin2α时，取等号，所以3x+y的最小值为2.所以答案是：2小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15、已知x>0，则7−x−9x的最大值为________．答案：1分析：直接利用基本不等式求最大值.∵x>0，则7−x−9x =7−(x+9x)≤7−2√x⋅9x=1，当且仅当x=9x即x=3时取等号．所以答案是：116、已知关于x的不等式−x2+6ax−3a2≥0(a>0)的解集为[x1,x2]，则x1+x2+3ax1x2的最小值是___________.答案：2√6分析：由题知x1+x2=6a,x1x2=3a2，进而根据基本不等式求解即可.解：因为关于x的不等式−x2+6ax−3a2≥0(a>0)的解集为[x1,x2]，所以x1,x2是方程−x2+6ax−3a2=0(a>0)的实数根，所以x1+x2=6a,x1x2=3a2，因为a>0，所以x1+x2+3ax1x2=6a+1a≥2√6，当且仅当6a=1a，即a=√66时等号成立，所以x1+x2+3ax1x2的最小值是2√6所以答案是：2√6解答题17、已知不等式(a+1)x2−4x−6<0的解集是{x|−1<x<3}．(1)求常数a的值；(2)若关于x的不等式ax2+mx+4≥0的解集为R，求m的取值范围．答案：(1)a=1(2)[−4,4]分析：（1）由题意可得－1和3是方程(a+1)x2−4x−6=0的解，将x=−1代入方程中可求出a的值；（2）由x2+mx+4≥0的解集为R，可得Δ≤0，从而可求出m的取值范围（1）因为不等式(a+1)x2−4x−6<0的解集是{x|−1<x<3}．所以－1和3是方程(a+1)x2−4x−6=0的解，把x=−1代入方程解得a=1．经验证满足题意（2）若关于x的不等式ax2+mx+4≥0的解集为R，即x2+mx+4≥0的解集为R，所以Δ=m2−16≤0，解得−4≤m≤4，所以m的取值范围是[−4,4]．18、为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.答案：（1）最大值为16米；（2）最小值为(824+160√3)平方米.分析：（1）设草坪的宽为x米，长为y米，依题意列出不等关系，求解即可；（2）表示S=(2x+6)(y+4)=(2x+6)(400x+4)，利用均值不等式，即得最小值.（1）设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为400平方米，得y=400x.因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以400x⩾x+9，所以x2+9x−400⩽0，解得−25⩽x⩽16.又x>0，所以0<x⩽16.所以宽的最大值为16米.（2）记整个的绿化面积为S平方米，由题意可得S=(2x+6)(y+4)=(2x+6)(400x +4)=824+8(x+300x)⩾(824+160√3)（平方米）当且仅当x=10√3米时，等号成立.所以整个绿化面积的最小值为(824+160√3)平方米.。
高中不等式题型及解题方法
高中不等式题型及解题方法高中不等式是高中数学中的重要内容之一，也是高考数学中必考的考点之一。
不等式的题型主要包括一元一次不等式、一元二次不等式、二元一次不等式、绝对值不等式等。
本文将介绍高中不等式的各个题型及解题方法。
一、一元一次不等式一元一次不等式是高中数学中最基础的不等式。
解这类不等式的方法有两种：图像法和代数法。
图像法是通过绘制不等式的解集来求出解集的范围；代数法是通过将不等式转化为等价不等式，然后进行比较大小来求出解集的范围。
常用的代数法有加减消元法、乘法消元法、绝对值法等。
二、一元二次不等式一元二次不等式是高中数学中较难的不等式之一。
解这类不等式的方法有两种：图像法和代数法。
图像法是通过绘制不等式的解集来求出解集的范围；代数法是通过将不等式转化为等价不等式，然后进行比较大小来求出解集的范围。
常用的代数法有配方法、求根式、绝对值法等。
三、二元一次不等式二元一次不等式是高中数学中较难的不等式之一。
解这类不等式的方法有两种：图像法和代数法。
图像法是通过绘制不等式的解集来求出解集的范围；代数法是通过将不等式转化为等价不等式，然后进行比较大小来求出解集的范围。
常用的代数法有加减消元法、乘法消元法、绝对值法等。
四、绝对值不等式绝对值不等式是高中数学中较难的不等式之一。
解这类不等式的方法有两种：图像法和代数法。
图像法是通过绘制不等式的解集来求出解集的范围；代数法是通过将不等式转化为等价不等式，然后进行比较大小来求出解集的范围。
常用的代数法有分段讨论法、绝对值法等。
总之，高中数学中的不等式是一个需要掌握的重要知识点，需要通过大量的练习来熟练掌握各种不等式的解法，才能在高考数学中得到高分。
不等式：基本不等式、对勾函数、判别式解法
不等式不等式是高考必考的热点内容，考查的广度和深度是其他章节无法比拟的，任何一份高考试卷中，涉及到不等式内容的考点所占比例超过70%。
一方面，考查不等式的性质、解法、证明以及实际应用；另一方面，与高中阶段的数学各个部分都存在着密切的联系。
因此，对于不等式的学习，应达到多层面，多角度熟练掌握的程度。
第一节 基本不等式1.若a ,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab，等号成立的条件：a =b；证明：当a ,b ∈R 时，(a −b )2≥0,展开后即可得到所求不等式及等号成立的条件。
2.基本不等式的变形（包括2个方面）①若a ,b ≥0的实数，则a +b ≥2√ab , 等号成立的条件：a =b； 若a ,b ∈R ,ab >0则ba+ab ≥2, 等号成立的条件：a =b；若x ∈R ,x >0则x +1x≥2, 等号成立的条件：x =1；(上述3个不等式，考虑如何证明？)注：上述的a ,b不能仅仅理解为两个参数，它可以是表达式或函数的解析式。
②若a ,b ∈R ,则a 2+b 2≥(a +b )22≥2ab ;等号成立的条件：a =b （注意：不等式的右边是(a +b )2）例题1.已知x ,y ∈(0,+∞),且4x+3y=1，求x +y 的最小值及xy 的最小值。
解：x +y =(x +y )(4x +3y )=7+(4yx +3xy)≥7+2√4y x ×3x y=7+4√3，∴x +y 的最小值为：7+4√3；求(xy )min 有两种方法，其一是配式，1xy =112×4x ×3y ≤112(4x +3y2)2=148，∴(xy )max =48；另一种方法是，由4x +3y =1→xy =4y +3x ≥2√3x ×4y =4√3√xy ,∵x ,y ∈(0,+∞)→√xy ≥4√3，∴(xy )min =48。
例题2. 已知a √1−b 2+b √1−a 2=1,求证：a 2+b 2=1。
一元一次不等式(组)的解法及其解集表示(必考)
3.一元一次不等式组的解法及解集表示
解法步骤
①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②将每个不等式的解集在同一个数轴上表示出来，找出它们的公共部分；③根据公共部分写出不等式组的解集，如果没有公共部分，那么不等式组无解
解集的类型及其在数轴上的表示
类型
解集
解集在数轴上的表示
确定解集的口诀
______
√
2.解不等式组 并将解集在数轴上表示出来.
[答案] ，解图略
变式拓展：含参不等式组的相关计算已知关于 的不等式组
（1）若不等式组无解，则 <m></m> 的取值范围为_______；
（2）若不等式组有唯一整数解，则 <m></m> 的取值范围为___________；
（3）若不等式组有4个整数解，则 <m></m> 的取值范围为___________;
解法步骤
与解一元一次方程类似：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（特别注意性质3的变号）
解集的表示
_______
.
_______
.
_______
.
_______
.
总结
在数轴上表示解集时,要注意“两定”：一定边界点，二定方向.定边界点时，“≥”或“≤”是实心圆点，“＞”或“＜”是空心圆圈；定方向的原则为小于向左，大于向右
1.不等式的基本性质
基本性质
数学表达
在解不等式中的应用
性质1
如果 ，那么 ____
移项
性质2
如果 , ,那么 ____ （或 ）
去分母，系数化为1
性质3
如果 , ,那么 ____ （或 ）
必考问题10基本不等式及其应用
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必备知识 方法
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必备知识 1．基本不等式
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 即若a，b＞0，则a＋2 b≥ ab(当且仅当a＝b时取等号) 基本变形：(1)a＋b≥2 ab；a＋2 b2≥ab； (2)若a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，a2＋2 b2≥a＋2 b2.
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必备方法
1．利用基本不等式
x＋y 2
≥
xy 时，要注意“正、定、等”三要
素，“正”，即x，y都是正数；“定”，即不等式另一边为
定值；“等”，即当且仅当x＝y时取等号．
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2．利用基本不等式
x＋y 2
≥
xy 时，要注意“积定和最大，和定
积最小”这一口诀，并且适当运用拆、拼、凑等技巧，但应
该注意，一般不要出现两次不等号，若出现，则要看两次等
号成立的条件是否同时成立．
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热点命题 角度
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命题角度一 利用基本不等式求最值 [命题要点] ①应用基本不等式求和的最小值或积的最大值； ②构造基本不等式满足的条件求最值．
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5．(2012·扬州中学检测)已知x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1， x2＋y2＋z2＝3，则xyz的最大值是________．
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思路分析：
（1）本题的不等关系是：
生产A种产品所需的甲种原料≤360 生产B种产品所需的乙种原料≤290 根据上述关系可列不等式组：
9x+4(50-X)≤360 3x+10(50-x)≤290
解得：30≤X≤32
（ 2 ） 可有三种生产方案：A种30件，B 种20件或A种31件，B种19件或A种32件， B种18件
解：设有x间宿舍，则有4x+20人住宿，依题意可得 4x+20-8(x-1)>0
解得
x<7 x>5
4x+20-8(x-1)<8 因为宿舍是整数所以 x=6; 4x+20=44
答：该班有6间宿舍及44人住宿。
(2010· 莱芜)为打造“书香校园”， 某学校计划用不超过 1 900 本科技类书籍和 1 620 本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共 30 个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍 80 本，人文类书籍 50 本；组建一个小型图书角需科技类书籍 30 本，人文类书籍 60 本． (1)问符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来； (2)若组建一个中型图书角的费用是 860 元，组建一个小型图书角的费用是 570 元，试说 明在(1)中哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
期末必考题型1
例１ 解不等式
解：去分母，得
2 ( x 1)
x2 3
Байду номын сангаас
7x 2
1
开始
去分母 去括号 移项
12 ( x 1) 2 ( x 2 ) 21 x 6
去括号，得
移项，得
12 x 12 2 x 4 21 x 6
12 x 2 x 21 x 12 4 6
4X+19
最后一间宿舍 6 6 6 6 0人到6人之间
(X-1)间宿舍
可以看出: 0<最后一间宿舍住的人数<6 列不等式组为: 0<4x+19-6(x-1)<6
解: 设有x间宿舍,根据题意得不等式组:
0<4x+19-6(x-1)<6
即:
6x>4x+19
6(x-1)<4x+19
解得: 18.5<x<12.5
一堆玩具分给若干个小朋友，若每人 分２件，则剩余３件；若前面每人分３件， 则最后一个人得到的玩具数不足２件．求 小朋友的人数与玩具数
例3．（深圳）“震灾无情人有情”．民政局将全市 为四川受灾地区捐赠的物资打包成件，其中帐篷和食 品共320件，帐篷比食品多80件． （1）求打包成件的帐篷和食品各多少件？ （2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将 这批帐篷和食品全部运往受灾地区．已知甲种货车最 多可装帐篷40件和食品10件，乙种货车最多可装帐 篷和食品各20件．则民政局安排甲、乙两种货车时 有几种方案？请你帮助设计出来． （3）在第（2）问的条件下，如果甲种货车每辆需 付运输费4000元，乙种货车每辆需付运输费3600 元．民政局应选择哪种方案可使运输费最少？最少运 输费是多少元？
• 班委会决定，由小敏、小聪两人负责选购 圆珠笔、钢笔共22支，送给结对的山区学 校的同学，他们去了商场，看到圆珠笔每 支5元，钢笔每支6元。 • (1)若他们购买圆珠笔、钢笔刚好用去120元， 问圆珠笔、钢笔各买了多少支？ • (2)若购圆珠笔可9折优惠，钢笔可8折优惠， 在所需费用不超过100元的前提下，请你写 出一种选购方案。
合并同类项，得
7 x 14
合并同类项 化成ax>b(a0)
是 否
b
两边都除以－7，得
2 原不等式的解集为 x ．
x 2
a>0
{x| x > }
a
b
{x| x < a }
x y x y 1 5 2 3( x y ) 2 ( x y ) 6 ．
4 ( x y 1) 3(1 y ) 2 y x 2 2 3
3 x y 4 x y 4 x y x y 1 2 6
x 1 y 2 0, 3 4 x 3 y 3 1 . 4 3 12
例3: 某工厂现有甲种原料360kg,乙种原料290kg, 计划利用这两种原料生产A,B两种产品共50件,已 知生产一件A产品需要甲原料9kg,乙原料3kg,生产 一件B产品需要甲原料4kg,乙原料10kg，
（1）设生产X件A种产品，写出X应满足的不等 式组。
（2）有哪几种符合的生产方案？
（3）若生产一件A产品可获利700元，生产一件B 产品可获利1200元，那么采用哪种生产方案可使 生产A、B两种产品的总获利最大？最大利润是多 少？
期末必考题型2
某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料 生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克， 乙种原料3千克；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克，乙种原料10 千克．请你根据需要，设计出A、B两种产品的生产方案．
设安排生产A种产品x件，那 么B种产品生产多少件？生产 A、B两种产品共需要甲种原 料多少千克？乙种原料呢？
• 某公司有员工50人，为了提高经济效益，决定引进一条新 的生产线并从现有员工中抽调一部分员工到新的生产线上 工作，经调查发现：分工后，留在原生产线上工作的员工 每月人均产值提高40％；到新生产线上工作的员工每月人 均产值为原来的3倍，设抽调x人到新生产线上工作. • ⑴填空：若分工前员工每月的人均产值为a元，则分工后， 留在原生产线上工作的员工每月人均产值是 元，每 月的总产值是 元；到新生产线上工作的员工每月人 均产值是 元，每月的总产值是 元； • ⑵分工后，若留在原生产线上的员工每月生产的总产值不 少于分工前原生产线每月生产的总产值；而且新生产线每 月生产的总产值又不少于分工前生产线每月生产的总产值 的一半。问：抽调的人数应该在什么范围？
【点拨】本题考查一元一次不等式组的应用． 【解答】(1)设组建中型图书角 x 个，则组建小型图书角为(30－x)个． 80x＋3030－x≤1 900. 由题意，得 50x＋6030－x≤1 620. 解这个不等式组得 18≤x≤20. 由于 x 只能取整数，∴x 的取值是 18,19,20. 当 x＝18 时，30－x＝12；当 x＝19 时，30－x＝11；当 x＝20 时，30－x＝10. 故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角 18 个，小型图书角 12 个；方案二，组建 中型图书角 19 个，小型图书角 11 个；方案三，组建中型图书角 20 个，小型图书角 10 个． (2)方法一：由于组建一个中型图书角的费用大于组建一个小型图书角的费用，因此组建 中型图书角的数量越少，费用就越低，故方案一费用最低．最低费用是 860×18＋570×12＝ 22 320(元)． 方法二：①方案一的费用是：860×18＋570×12＝22 320(元)； ②方案二的费用是：860×19＋570×11＝22 610(元)； ③方案三的费用是：860×20＋570×10＝22 900(元)； 故方案一费用最低，最低费用是 22 320 元．
如果生产一件产品，可获利润700元，生产一件B种产品可获利润1200元， 那么，上述哪种生产方案获得的总利润最大？
方案一的利润＝30×700＋20×1200＝45000 方案二的利润＝31×700＋19×1200＝44500 方案三的利润＝32×700＋18×1200＝44000 上述生产方案一获得的总利润最大．
• 情系灾区. 5月12日我国四川汶川县发生里氏8.0级大地震, 地震给四川,甘肃,陕西等地造成巨大人员伤亡和财产损失. 灾难发生后,我校师生和全国人民一道,迅速伸出支援的双 手,为灾区人民捐款捐物.为了支援灾区学校灾后重建,我校 决定象灾区捐助床架60个,课桌凳100套.现计划租甲、乙 两种货车共8辆将这些物质运往灾区,已知一辆甲货车可装 床架5个和课桌凳20套, 一辆乙货车可装床架10个和课桌 凳10套. • (1)学校如何安排甲、乙两种货车可一次性把这些物资运到 灾区?有几种方案? • (2)若甲种货车每辆要付运输费1200元,乙种货车要付运输 费1000元,则学校应选择哪种方案,使运输费最少?最少运 费是多少?
例2.一群女生住若干间 宿舍,每间住4人,剩19 人无房住;每间住6人, 有一间宿舍住不满. (1)设有x间宿舍,请写出 x应满足的不等式组 (2)可能有多少间宿舍和 多少名学生?
思路分析
这里有X间宿舍,每间住4人,剩下19人,因此 学生人数为4X+19人,若每间住6人,则有一间住 不满, 这 是什么不等关系呢? 你明白吗?
• 某校在“五一”期间组织学生外出旅游，如果单 独租用45座的客车若干辆，恰好坐满；如果单独 租用60座的客车，可少租一辆，并且余30个座 位． • (1)求外出旅游的学生人数是多少？单租45座客车 需多少辆？ • (2)已知45座客车每辆租金250元，60座的客车每 辆租金300元，为节省租金，并且保证每个学生 都能有座，决定同时租用两种客车．使得租车总 数可比单租45座客车少一辆，问45座客车和60座 客车分别租多少辆才能使得租金最少？
根据题意填表（质量单位：千克）
产品 所需原料
A x件
B
合计
(50－x)件
原料
甲（360） 乙（290）
9x 3x
4(50 x)
9 x 4(50 x)
10(50 x) 3x 10(50 x)
设安排生产A种产品x件，则生产B种产品为（50－x）件，根 据题意得 ① 9 x 4 ( 50 x ) 360
解
3 x 10 ( 50 x ) 290
②
解不等式①，得 x≤32 解不等式①，得 x ≥ 30 所以，不等式组的解集是 30≤ x≤32 因为x是整数，所以x取30，31，32，于是有三种设计方案： 方案一：生产A种产品30件，B种产品20件； 方案二：生产A种产品31件，B种产品19件； 方案三：生产A种产品32件，B种产品18件；