江苏省徐州市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题及答案

江苏省徐州市2018—2019学年高一下学期期中考试数学试题2019．4一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．已知直线l 过()1,1A 、()1,3B -两点，则直线l 的倾斜角的大小为 A ．6π B ．4π C ．34π D ．23π 2．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为 A ．163π B ．323π C ．643π D ．2563π 3．如果0AC <且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不经过第几象限 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若3a =，2b =，60A =︒，则B 的大小为 A ．6π B ．4π C ．34π D ．4π或34π 5．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则四棱锥111A BB D D -的体积为 A ．2 B ．13 C ．2 D ．146．已知直线1:310ax y l ++=与直线2:2(1)10l x a y +++=互相平行，则实数a 的值为A ．﹣3B ．35-C ．2D ．﹣3或27．ABC ∆中，30A ∠=︒，AB =1BC =，则ABC ∆的面积等于A B C D 8．设m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，给出下列四个命题： ①若m α⊥，n α⊥，则//m n ； ②若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥；③若//m α，//n α，则//m n ； ④若m α⊥，//m β，则αβ⊥． 其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．49．一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态）．将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面所在的平面与各棱交点E ，F ，1F ，1E 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为A B ．2 C D ．9410．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若22tan tan a B b A =，则ABC ∆的形状为 A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形11．直线1:240x y l k k --+=与x 轴交于点M ，直线2:420x k l y k +--=与y 轴交于点N ，线段MN 的中点为P ，则点P 的坐标(),x y 满足的方程为A ．(25)(2)0x y x y +--=B ．250x y +-=C ．(24)(2)0x y x y +++=D ．240x y +-=12．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC ∆为锐角三角形，且满足22b a ac -=，则11tan A tan B-的取值范围是A ．231,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．()1,2 C ．23,23⎛⎫⎪ ⎪⎝ D ．()1,+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）13．过直线240x y -+=与50x y -+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线方程是 ______________． 14．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则圆柱的体积为 ______________．15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝______________m ．16．在ABC ∆中，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，3BC =，则边AC 的值为______________．三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本题满分10分）已知直线l 过点()2,3P ，根据下列条件分别求直线l 的方程： （1）直线l 的倾斜角等于23π； （2）直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0． 18．（本题满分10分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，D ，E 分别是AB ，AC 的中点． （1）求证：11//B C 平面1A DE ； （2）求证：平面1A DE ⊥平面11ACC A ．19．（本题满分12分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知πsin cos 6b A a B ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝． （1）求角B 的大小；（2）设2a =，2c =，求b 和()sin 2A B -的值． 20．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且22PA PD AD ===，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点． （1）求证：//EF 平面PAD ； （2）求证：EF ⊥平面PDC ．21．（本题满分12分）如图，矩形ABCD 是一个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形BCDE 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在ADE ∆区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头．MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方．经测量得知：6AD =米，6AE =米，2AP =米，4MPN π∠=．记EPM θ∠=(弧度)，监控摄像头的可视区域PMN ∆的面积为S 平方米．（1）求S 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；（参考数据：tan 534≈） （2）求S 的最小值．22．（本题满分14分）如图，在平面四边形ABCD 中，2AB =，6BC =，4AD CD ==． （1）当四边形ABCD 内接于圆O 时，求四边形ABCD 的面积S ； （2）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线BD 的长．2018-2019学年度第二学期期中考试高一年级数学试题参考答案一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1l 12 答案CBCBBADCDDBA二、填空题：13.280x y +-= 14.3π415.1006 16.372 三、解答题：17.解：（1）设直线l 的斜率为k ，由题意得2tanπ33k ==--................1分 又直线l 过点()2,3P ，由直线的点斜式方程可得():332l y x -=--....3分 即直线l 的方程为：()33230x y +-+=...................4分（2）设直线l 在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b ，由题意得0a b +=，即b a =- ①若0b a =-=时，则直线l 又过点（0，0），可得直线l 的方程为：320x y -=....6分 ②若0b a =-≠时，则直线l 的方程为：1x ya a+=- 将()2,3P 代入得：231a a+=-，即1a =-................................8分 直线l 的方程为：10x y -+=.....................................9分所以直线l 的方程为：320x y -=或0x y l -+=.......................10分 18.证明：（l ）在ABC ∆中因为D ，E 分别是AB ，AC 的中点，所以//DE BC ....1分 又由三棱柱111ABC A B C -，可得：1//BC BC ......2分所以11//B C DE ........................................3分又11B C ⊄平面1A DE ，DE ⊂平面1A DE ，所以11//B C 平面1A DE :...5分 （2）由（1）知//DE BC ，又BC AC ⊥，所以DE AC ⊥.....6分 由直三棱柱111ABC A B C -可得：1CC ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面ABC ， 所以1CC DE ⊥..............................7分又因为1I AC CC C =，AC ⊂平面11ACC A ，1CC ⊂平面11ACC A ； 所以DE ⊥平面11ACC A ...................................9分又DE ⊂平面1A DE ，所以平面1A DE ⊥平面11ACC A ...............10分 19.解：（1）在ABC ∆中，由正落定理得：sin sin a bA B=，即：sin sin b A a B =..1分 又由πsin cos 6b A a B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得πsin cos 6a B a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭...........2分即πsin cos 6B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即ππsin cos cos sin sin 66B B B =+可得tan B =分又因为()0,πB ∈，可得π3B =......................6分 （2）解：在ABC ∆中，由余弦定理及2a =，3c =，π3B =.有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b =..............8分由πsin cos6b A a B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得sin A =，因为a c <，故cos A =因此sin 22sin 7A A ==，21cos 22cos 17A A =-=...........10分所以，()11sin 2sin 2cos cos 2sin 727214A B A B A B -=-=-⨯=……12分 20.证明：（1）连结AC ，在矩形ABCD 中，F 是BD 的中点， 则F 是AC 的中点，又E 是PC 的中点， 所以在CPA ∆中有//EF PA ……2分 又PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， ∴//EF 平面PAD ……5分（2）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ，又由矩形ABCD 得CD AD ⊥，所以CD ⊂⊥平面PAD .……7分又PA ⊂平面PAD ，∴CD PA ⊥，因为//EF PA ，∴CD EF ⊥……8分 又22PA PD AD ==，所以PAD ∆是等腰直角三角形，且π2APD ∠=，即PA PD ⊥又//EF PA ，∴PD EF ⊥…9分而I CD PD D =，CD ⊂平面PDC ，PD ⊂平面PDC 所以EF ⊥平面PDC ……………………12分 21.(1）方法一：在PME ∆中，EPM θ∠=，4PE AE AP =-=米，π4PEM ∠=，3π4PME θ∠=-. 由正弦定理得sin sin PM PEPEM PME =∠∠，所以sin 2243πsin sin cos sin 4PE PEMPM PMEθθθ⨯∠===∠+⎛⎫- ⎪⎝⎭，……………………12分同理在PNE ∆中，π4PEM ∠=.π2PNE θ∠=-，4PE = 由正弦定理得sin sin PN PEPEN PNE=∠∠'所以sin πsin cos sin 2PE PENPNEθθ⨯∠==∠⎛⎫- ⎪⎝⎭...........4分 所以PMN ∆的面积214sin 2cos sin cos S PM PN MPN θθθ=⨯⨯∠=+......…6分 当M 与E 重合时，0θ=；当N 与D 重合时，tan 3APD ∠=，即54APD ∠=，3π544θ=-， 所以3π5044θ≤≤- 综上可得：243π5,0,cos sin cos 44S θθθθ⎡⎤=∈-⎢⎥+⎣⎦……8分 方法二：在PME ∆中，EPM θ∠=，4PE AE AP =-=米，π4PEM ∠=，3π4PME θ∠=-. 由正弦定理可知，sin sin ME PEPMEθ=∠，所以sin 4sin 3πsin sin 4PE MEPMEθθθ⨯==∠⎛⎫- ⎪⎝⎭.........2分 在PNE ∆中，由正整定理可知：sin sin NE PEEPN PNE=∠∠. )ππsin 4sin sin cos 44πcos cos sin 2PE NE θθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⨯++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭===⎛⎫- ⎪⎝⎭.............4分所以2cos sin cos MN NE ME θθθ=-=+ 又点P 到DE的距离为π4sin 4d == 所以PMN ∆的面积21122cos sin cos S MN d θθθ=⨯=⨯⨯+ 24cos sin cos θθθ+……6分当M 与E 重合时，0θ=：当N 与D 重合时，tan 3APD ∠=，即54APD ∠=，3π54θ=-所以3π054θ≤≤-. 综上可得：243π5,0,cos sin cos 44S θθθθ⎡⎤=∈-⎢⎥+⎣⎦...……8分 （2）由（1）得24cos sin cos S θθθ=+4881cos 21πsin 2cos 21sin 22sin 21224θθθθθ===+++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭....10分 又3π50,44θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 当ππ242θ+=，即π3π50,844θ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦时，S 取得最小值为()82121=-+.…….1分答：可视区域PMN ∆面积的最小值为()821-平方米................12分22.解；（1）连接BD ，由余弦定理得222222cos 24224cos BD AB AD AB AD A A =+-⋅=+-⋅⋅ 222222cos 46246cos BD BC CD BC CD C C =+-⋅=+-⋅⋅即2016cos 5248cos A C -=-....................2分 又四边形ABCD 内接于圆O ，则又πA C +=所以()2016cos 5248cos πA A -=--化简得1cos 2A =-，又()0,πA ∈ 所以2π3A =，同时有π3C =...............4分 所以12π1π24sin46sin 832323ABA BCD S S S ∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=分 （2）设四边形ABCD 的面积为S ，则11sin sin 22ABD BCD S S S AB AD A BC CD C ∆∆=+=⋅⋅⋅+⋅⋅ 222222cos 2cos BD AB AD AB AD A BC CD BC CD C =+-⋅=+-⋅........8分 即22221124sin 46sin 2224224cos 46246cos S A C A C ⎧=⋅⋅+⋅⋅⎪⎨⎪+-⋅⋅=+-⋅⋅⎩ sin 3sin 223cos cos S A C C A⎧=+⎪⎨⎪=-⎩ 平方相加得：24106sin sin 6cos cos 16S A C A C +=+- 即()266cos 16S A C =-+..................10分 又()0,2πA C +∈当πA C +=时，216S 有最大值，即S 有最大值。