2019届高三数学上学期月考试题(二)文(含解析)

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……2019高三数学上学期月考试题（二）文（含解析）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共10页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x |x 2－2x －3≤0}，N ＝{x|2x＜2}，则M∩N＝( C ) A ．[－1，3] B ．(－∞，1) C ．[－1，1) D ．(1，3] 【解析】M ＝[－1，3]，N ＝(－∞，1)，，故M∩N＝[－1，1)．故选C.2．若2i 2＋ai ＝b ＋4i ，其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则a ＋b ＝( D ) A. －2 B ．－1 C ．0 D ．2【解析】由复数相等得：a ＝4，b ＝－2，a ＋b ＝2，故选D. 3．已知下面四个命题：①“若x 2－x ＝0，则x ＝0或x ＝1”的逆否命题为“若x≠0且x≠1，则x 2－x≠0”②“x ＜1”是“x 2－3x ＋2＞0”的充分不必要条件③命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1＜0，则非p ：任意x∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0 ④若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题 其中真命题个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】由题可知，①正确，②正确，特称命题的否定为全称命题，所以③显然正确；若p 且q 为假命题，则p ，q 至少有一个是假命题，所以④的推断不正确. 故选C.4．设正项等比数列{}a n 的前n 项的和为S n ，且a n ＋1a n<1，若a 3＋a 5＝10，a 1·a 7＝16，则S 4＝( B )A ．60或152B ．60 C.152D ．120【解析】由等比数列{}a n 是单调递减数列，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8，a 5＝2，q ＝12，所以a 1＝32，S 4＝a 1（1－q 4）1－q ＝60 ，故选B.5．如图所示，在三棱锥D －ABC 中，已知AC ＝BC ＝CD ＝2，CD ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°.若其正视图、俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( D )A. 6 B ．2C. 3D. 2【解析】由几何体的结构特征和正视图、俯视图，得该几何体的侧视图是一个直角三角形，其中一条直角边是CD ，另一条直角边为△ABC 的边AB 上的中线，所以其侧视图面积为S ＝12×2×2＝2，故选答案D. 6．已知平面上不重合的四点P 、A 、B 、C 满足PA →＋PB →＋PC →＝0，且AB →＋AC →＋xAP →＝0，那么实数x 的值为( B )A ．2B ．－3C ．4D ．5【解析】由题可知，根据向量的减法有，AB →＝PB →－PA →，AC →＝PC →－PA →，于是有(PB →－PA →)＋(PC →－PA →)＝xPA →，故(－x －2)PA →＋PB →＋PC →＝0，又因为PA →＋PB →＋PC →＝0，所以－x －2＝1，即x ＝－3.故选B.7．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( A )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【解析】根据定理：c b ＝sin Csin B <cos A ，那么sin C ＝sin Bcos A ，根据A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B)，所以sin(A ＋B)<sin Bcos A ，整理为：sin Acos B<0 ，三角形中sin A>0，所以cos B<0，那么π2<B<π.故选A.8．某程序框图如图所示，该程序运行后若输出S 的值是2，则判断框内可填写( B ) A ．i ≤2015 B ．i ≤2016 C ．i ≤2017 D ．i ≤2018【解析】由程序框图，初始值S ＝2，i ＝1. 循环一次后，S ＝－3，i ＝2； 循环两次后，S ＝－12，i ＝3；循环三次后，S ＝13，i ＝4；循环四次后，S ＝2，i ＝5； 循环五次后，S ＝－3，i ＝6； …依次类推，S 的值呈周期性变化，周期为4.如果i≤2 015，则循环结束S ＝13；如果i≤2 016，则循环结束S ＝2.因此条件判断框中的条件是“i≤2 016”. 故选B. 9．函数f ()x ＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( B )【解析】由题意得，f ()x ＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cosx ＝1－e x 1＋e x ·cos x ，所以f ()－x ＝1－e －x1＋e －x ·cos(－x)＝e x－11＋e x ·cos x ＝－f(x)，所以函数f ()x 为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A ，C ；令x ＝1，则f ()1＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e 1－1cos 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－e 1＋e cos 1<0，故选B.10．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F ，直线x ＝a2c 与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是( D )A. (0，22] B. (0，12) C. [2－1，1) D. [12，1) 【解析】由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A 点的距离相等．而|FA|＝a 2c －c ＝b 2c ，因为|PF|∈[a－c ，a ＋c]，所以b2c∈[a －c ，a ＋c]．即ac －c 2≤b 2≤ac ＋c 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ac －c 2≤a 2－c 2，a 2－c 2≥ac ＋c2⎩⎪⎨⎪⎧ca ≤1，ca ≤－1或c a ≥12，又e∈(0，1)，故e∈[12，1)，故答案选D.11．在体积为43的三棱锥S －ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，SA ＝SC ，且平面SAC⊥平面ABC ，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是( B )A.823π B.92π C.272π D ．12π 【解析】△ABC 外接圆圆心为AC 中点D ，连接SD ，则由平面SAC⊥平面ABC 及SA ＝SC ，知SD⊥平面ABC ，且球心O 在SD 上，则13S △ABC ×SD ＝43，解得SD ＝2.设三棱锥S －ABC 外接球半径为R ，则R ＝OS ＝OB ，所以在Rt △ODB 中，OB 2＝BD 2＋OD 2，即R 2＝(2)2＋(2－R)2，解得R＝32，故所求球的体积为V ＝43πR 3＝92π，故选B. 12．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y ＝ln x 与直线x ＝e ，y ＝0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数x i 和10个在区间[0，1]上的均匀随机数y i (i∈N *，1≤i ≤10)，其数据如下表的前两行.由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为( A ) A. 35(e －1) B. 45(e －1) C. 12(e －1) D. 23(e －1) 【解析】由表可知，向矩形区域⎩⎪⎨⎪⎧1≤x≤e ，0≤y ≤1内随机抛掷10个点，其中有6个点在曲边三角形内，其频率为610＝35. 因为矩形区域的面积为e －1，所以曲边三角形面积的近似值为35(e－1)，选A.选择题答题卡第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知cos(α－π2)＝45且α∈(π2，π)，则tan(α－π4)＝__7__．【解析】由已知得，sin α＝45，cos α＝－35，tan α＝－43，tan(α－π4)＝tan α－11＋tan α＝（－43）－11＋（－43）＝7.14．对于实数a 和b ，定义运算a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （b ＋1），（a ＞b ），b （a ＋1），（a ＜b ），则式子ln e 2*⎝ ⎛⎭⎪⎫19－12的值为__9__．【解析】因为a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （b ＋1），（a ＞b ），b （a ＋1），（a ＜b ），而ln e 2＝2<⎝ ⎛⎭⎪⎫19－12＝3，所以ln e 2*⎝ ⎛⎭⎪⎫19－12＝3×(2＋1)＝9.15．已知函数f(x)＝x α的图象过点(4，2)，令a n ＝1f （n ＋1）＋f （n ），n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2019＝．【解析】由函数f(x)＝x α的图象过点(4，2)得：4α＝2，α＝12，从而f(x)＝x ；∴a n ＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，从而S 2019＝(2－1)＋(3－2)＋…＋2020－2019＝2020－1.16．设函数f(x)＝e x(2x －1)－ax ＋a ，其中a<1，若存在唯一的整数x 0，使得f(x 0)<0，则a 的取值范围是__[32e，1)__．【解析】f(x)<0e x(2x －1)<ax －a ，记g(x)＝e x(2x －1)，则题意说明存在唯一的整数x 0，使g(x)的图象在直线y ＝ax －a 下方，g ′(x)＝e x(2x ＋1)，当x<－12时，g ′(x)<0，当x>－12时，g ′(x)>0，因此当x ＝－12时，g(x)取得极小值也是最小值g(－12)＝－2e －12，又g(0)＝－1，g(1)＝e>0，直线y ＝ax －a 过点(1，0)且斜率为a ，故⎩⎪⎨⎪⎧－a>g （0）＝－1，g （－1）＝－3e －1≥－a －a ， 解得32e≤a<1.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)为增强市民的环保意识，某市政府向社会征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中挑选了100名，按年龄(单位：岁)分为5组：第1组[20，25)，第2组[25，30)，第3组[30，35)，第4组[35，40)，第5组[40，45]，其频率分布直方图如图所示．(Ⅰ)根据频率分布直方图，估计这100名志愿者的平均年龄；(Ⅱ)现指定第3组中某3人，第4组中某2人，第5组中某1人，共6名志愿者参加某项宣传活动．活动结束后，从这6人中随机抽取2人介绍经验，求第4组中至少有一名志愿者被抽中的概率．【解析】(Ⅰ)在频率分布直方图中，从左至右各小矩形的面积分别是0.05，0.35，0.3，0.2，0.1.(2分)下底边中点值分别是22.5，27.5，32.5，37.5，42.5.(4分)因为22.5×0.05＋27.5×0.35＋32.5×0.3＋37.5×0.2＋42.5×0.1＝32.25. 由此估计，这100名志愿者的平均年龄为32.25岁．(6分) (Ⅱ)设“第4组中至少有一名志愿者被抽中”为事件A ， 记第3组的3名志愿者为A 1，A 2，A 3，第4组的2名志愿者为B 1，B 2，第5组的1名志愿者为C 1.(7分)则从6名志愿者中抽取2名志愿者的取法有：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)共有15种．(9分)其中第4组的2名志愿者B 1，B 2至少有一名被抽中的取法有：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)共有9种．(11分)所以P(A)＝915＝35，故第4组中至少有一名志愿者被抽中的概率为35.(12分)18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD ，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点． (Ⅰ)求三棱锥F －DEC 的体积；(Ⅱ)在线段CD 上是否存在一点G ，使得平面EFG⊥平面PDC ？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．【解析】(Ⅰ)过点P 作AD 的垂线PH ，垂足为H. 又∵侧面PAD⊥底面ABCD ，PH 平面PAD ， 侧面PAD∩底面ABCD ＝AD ，∴PH ⊥平面ABCD.连接HC ，(2分)∵E 为PC 中点，∴三棱锥E －FDC 的高h ＝12PH ，又PA ＝PD ＝22AD 且AD ＝2，∴PH ＝1，∴h ＝24＝12，(4分) ∴三棱锥F －DCE 的体积是V F －DCE ＝V E －FDC ＝13S △DFC ·h ＝13×2×2×12×12＝16.(6分)(Ⅱ)在线段CD 上存在一点G 为CD 的中点时，使得平面EFG⊥平面PDC ，理由如下：(7分)∵底面ABCD 是边长为2的正方形，∴CD ⊥AD, 又侧面PAD⊥底面ABCD ，CD 平面ABCD ， 侧面PAD∩底面ABCD ＝AD ， ∴CD ⊥平面PAD ，(9分) 又EF∥PA，∴CD ⊥EF ， 取CD 中点G ，连接FG ， ∵F 为AC 中点，∴FG ∥AD ， 又CD⊥AD，∴FG ⊥CD ，又FG∩EF＝F ，∴CD ⊥平面EFG ，(11分) 又CD 平面PCD ，∴平面EFG⊥平面PCD.(12分) 19．(本小题满分12分)已知数列{}b n 满足S n ＋b n ＝n ＋132，其中S n 为数列{}b n 的前n 项和．(Ⅰ)求证数列{b n －12}是等比数例，并求数列{b n }的通项公式；(Ⅱ)如果对任意n∈N *，不等式12k 12＋n －2S n ≥2n －5恒成立，求实数k 的取值范围．【解析】(Ⅰ)证明：当n ＝1时，2b 1＝7，b 1＝72.(1分)当n≥2时，S n ＋b n ＝n ＋132，①S n －1＋b n －1＝（n －1）＋132， ②由①－②得2b n －b n －1＝12，所以⎝⎛⎭⎪⎫b n －12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫b n －1－12，(4分) 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n －12是首项为b 1－12＝3，公比为12的等比数列，所以b n －12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，即b n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12.(6分) (Ⅱ)由题意及(Ⅰ)得：S n ＝n ＋132－b n ＝n ＋132－3⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12＝n ＋122－3⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(7分)不等式12k 12＋n －2S n≥2n －5，化简得k≥(2n －52n )max ，对任意n∈N *恒成立．(8分)设c n ＝2n －52n ，则c n ＋1－c n ＝2n －32n ＋1－2n －52n ＝－2n ＋72n ＋1.当n≥3.5时，c n ＋1≤c n ，c n 为单调递减数列，当1≤n＜3.5时，c n ＋1＞c n ，c n 为单调递增数列，(10分) 所以n ＝4时，c n 取得最大值316，(11分) 所以，要使k≥2n －52n 对任意n∈N *恒成立，k ≥316.(12分)20．(本小题满分12分)设A 、B 分别为双曲线C 1：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0) 的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为1.(Ⅰ)求双曲线的方程；(Ⅱ)已知椭圆C 2：x 2m 2＋y 2n 2＝1 (m>n>0)的焦点与双曲线C 1：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的左右顶点重合，且离心率为12.直线l ：y ＝kx －4交椭圆C 2于A 、B 两个不同的点，若原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，求k 的取值范围．【解析】(Ⅰ)由题意知a ＝2，焦点坐标为(±4＋b 2，0)一条渐近线为y ＝b 2x ，即bx －2y＝0，焦点到渐近线的距离为1. 即4＋b 2·b b 2＋4＝1，∴b 2＝1， ∴双曲线的方程为x 24－y 2＝1.(4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)得双曲线C 1的顶点F(±2，0) ，∵ 椭圆C 2的焦点与双曲线C 1的顶点重合，∴椭圆C 2半焦距c ＝2, m 2－n 2＝c 2＝4. ∵椭圆C 2的离心率为12，∴2m ＝12m ＝4，n ＝23，∴椭圆C 2的方程为：x 216＋y212＝1.(6分)设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，x 216＋y 212＝1 ，得(4k 2＋3)x 2－32kx ＋16＝0.由Δ>0(－32k)2－4×16(4k 2＋3)>0k>12或k<－12. ①(7分) 由韦达定理得：x 1＋x 2＝32k 4k 2＋3，x 1x 2＝164k 2＋3.(8分)∵原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，则OA →·OB →>0，(9分) OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝y 1y 2＋x 1x 2＝(kx 1－4)·(kx 2－4)＋x 1x 2 ＝(k 2＋1)x 1x 2－4k(x 1＋x 2)＋16＝(k 2＋1)×164k 2＋3－4k×32k 4k 2＋3＋16＝16（4－3k 2）4k 2＋3>0 －233<k<233②(11分)由①、②得实数k 的范围是－233<k<－12或12<k<233.(12分)21．(本小题满分12分)已知函数f ()x ＝12x 2，g ()x ＝aln x.(Ⅰ)若曲线y ＝f ()x －g ()x 在x ＝1处的切线的方程为6x －2y －5＝0，求实数a 的值；(Ⅱ)设h ()x ＝f ()x ＋g ()x ，若对任意两个不等的正数x 1、x 2，都有h ()x 1－h ()x 2x 1－x 2>2恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)若在[]1，e 上存在一点x 0，使得f′()x 0＋1f′()x 0<g ()x 0－g′()x 0成立，求实数a的取值范围．【解析】(Ⅰ)由y ＝f ()x －g ()x ＝12x 2－aln x ，得y′＝x －a x ，由题意，1－a ＝3，所以a ＝－2.(2分) (Ⅱ)h ()x ＝f ()x ＋g ()x ＝12x 2＋aln x ，因为对任意两个不等的正数x 1，x 2，都有h ()x 1－h ()x 2x 1－x 2>2，设x 1>x 2，则h ()x 1－h ()x 2>2()x 1－x 2，即h ()x 1－2x 1>h ()x 2－2x 2恒成立，问题等价于函数F ()x ＝h ()x －2x ，即F ()x ＝12x 2＋aln x －2x 在()0，＋∞为增函数．(4分)所以F′()x ＝x ＋a x －2≥0在()0，＋∞上恒成立，即a≥2x－x 2在()0，＋∞上恒成立，所以a ≥()2x －x 2max＝1，即实数a 的取值范围是[)1，＋∞.(6分)(Ⅲ)不等式f′()x 0＋1f′()x 0<g ()x 0－g′()x 0等价于x 0＋1x 0<aln x 0－ax 0，整理得x 0－aln x 0＋1＋ax 0<0.设m ()x ＝x －aln x ＋1＋ax ，由题意知，在[]1，e 上存在一点x 0，使得m ()x 0<0.(8分)由m′()x ＝1－a x －1＋a x 2＝x 2－ax －（1＋a ）x 2＝（x －1－a ）（x ＋1）x2. 因为x>0，所以x ＋1>0，即令m′()x ＝0，得x ＝1＋a.①当1＋a≤1，即a≤0时，m ()x 在[]1，e 上单调递增， 只需m ()1＝2＋a<0，解得a<－2.(9分)② 当1<1＋a≤e ，即0<a≤e －1时，m ()x 在x ＝1＋a 处取最小值．令m ()1＋a ＝1＋a －aln(1＋a)＋1<0，即a ＋1＋1<aln(a ＋1)，可得a ＋1＋1a <ln(a ＋1)．考查式子t ＋1t －1<ln t ，因为1<t≤e ，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立．(10分) ③ 当1＋a>e ，即a>e －1时，m ()x 在[]1，e 上单调递减， 只需m ()e ＝e －a ＋1＋a e <0，解得a>e 2＋1e －1.综上所述，实数a 的取值范围是()－∞，－2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞.(12分)请考生在第22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。