哈尔滨高等数学竞赛试题
黑龙江省高一数学竞赛初试试题及答案
2
2
所以 ab=3
………………………………………………………………………………9 分
由余弦定理知 c=3 ………………………………………………………………………………12 分
20. 解：（1） an2 4sn 2an 1(n N )
n 2时，an12 4sn1 2an1 1(n N )
故 s 的取值范围是[3，+∞）．
……………………………………………………………6 分
（3） 由题意 g(x) 2 ，化简得 g（x）=2x+1， 1 f (x)
方程 g（2x）﹣mg（x）=0，即 22x m 2x 1 m 0 有唯一实数解
令 t=2x ， 则 t＞0，
即等价为 t2﹣mt+1﹣m=0，（t＞0）有一个正根一个负根或两个相等正根或者一
2018 年黑龙江省高一数学竞赛初试试题
一、选择题（每题 5 分，共 60 分） 1．已知集合 A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x| x≤4，x∈Z}，则 A∩B＝( )
A．(0，2)
B．[0，2]
C．{0，2}
D．{0，1，2}
2．若 a, b, c R, a b, 则下列不等式成立的是( )
……………………………………………………………9 分
T2n b1 b2 b3 ...................b2n1 b2n
试卷第 2页，总 4页
(1 1) (1 1) (1 1) ........ ( 1 1 ) ( 1 1 )
2 23 34
2n 1 2n 2n 2n 1
18. （12 分）设直线 l 的方程为 (a 1)x y 2 a 0.(a R) 。 （1）若直线 l 在两坐标轴上的截距相等，求直线 l 的方程； （2）若 a 1，直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于 M , N 两点，O 为坐标原点，求 OMN
全国高中数学联赛黑龙江省预赛试题及答案
（3）由（2）得，CD=HF．又 CD=1 ∴HF＝1
．..................7 分
在 Rt△HFE 中，EF= 32 12 ＝ 10
∵EF⊥BE ∴∠BEF=90° ∴∠EHF=∠BEF=90° ∵∠EFH=∠BFE ∴△EHF∽△BEF
∴ EF HF ，即 10 1
BF EF
，因 h' (t)
(t 1)2 2t 2
0，
∴ h(t) 在 (1, ) 递增，∵ t 1，∴ h(t) h(1) 0 ，
又t
x2 x1
1 ， ln t
0 ，故 x1
x2
2 成立.
.................. 12 分
4
4
．..................12 分
21．（1）解：由
，得
，即 a2=4b2，∴椭圆 C 的方程可化为 x2+4y2=4b2．又椭圆
C 过点 P（2，﹣1），∴4+4=4b2，得 b2=2，则 a2=8．∴椭圆 C 的方程为
；..................
4分 （2）证明：由题意，直线 PA 斜率存在，设直线 PA 的方程为 y+1=k（x﹣2），
，即
cos C
sin cos
A sin B A cos B
，
所以 sin C cos A sin C cos B cos C sin A cos C sin B ，
即 sin C cos A cos C sin A cos C sin B sin C cos B ，
PX
0
C43 C130
大学生数学竞赛哈工大(第十五届)参考答案
哈尔滨工程大学第十五届数学竞赛非专业高年级组参考答案一、1-15题答案1、由)()()(y f x f xy f +=，可得)1()()1(f x f x f +=⋅，即0)1(=f 。
xf x xx x xf x x x f x x f x x f x f xx f x xx f x x f x x f x f x x x x x 1)1(1)1(lim)1(lim )()1()(lim )())1((lim )()(lim )(00000'=∆∆+=∆∆+=∆-∆++=∆-∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆→∆→∆。
再由1)1(='f ，可得xx f 1)(='，所以C x dx x f x f +='=⎰ln )()(。
再由0)1(=f ，可得x x f ln )(=。
2、因为)0(f ''存在，故在0=x 处)(x f '存在且连续，从而)(x f 存在且连续。
由31arctan lim 30-=-→x x x x ，又由1)(arctan lim30=-→x x xf x x 可得 202020202202030230)(1lim31)(1lim )1(31lim )(1lim 3111lim )(1lim arctan lim )(1arctan lim 1x x f xx f x x x f x x x x f x x x x x f x x x x x x x x x x x -+-=-++-=-+-+=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=→→→→→→→→罗必达法则， 从而341)(lim2-=-→x x f x 。
因为)(x f 在0=x 处连续，所以0)1)((lim 0=-→x f x ，即1)0(=f 。
从而x x f x f x x f x x 1)0()(lim 1)(lim 34020-=-=-→→，即0)0(='f 。
黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2017_2018学年高一数学6月月考学科竞赛试题2018110
哈师大青冈实验中学2017—2018学年度6月份考试（学科竞赛）高一学年数学试题时间：120分钟；满分：150分第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）1.设集合A 2, 1,0,1,2 ,B x x 0 ，则A ( )（C B)=RA． 2, 1,0,1,2 B． 0,1,2 C． 0,1 D． 12.在等差数列{a n}中，a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d等于()1 1A．－2B．－ C. D．22 23.设m,n是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，且m ,n ，下列命题中正确的是（）A．若 ，则m n B．若 // ，则m//n C．若m n，则 D．若n ，5cos( )13则4.已知，且 为第四象限角，则sin 为（）A.-B.C.±D.5．已知在各项均为正数的等比数列{ }中，=16，+ =24，则=( )a a a a a an13345A．128 B．108 C．64 D．326.已知函数f(x)的定义域为R,当x∈[-2,2]时,f(x)单调递减,且函数y=f(x+2)为偶函数,则下列结论正确的是()A.f(π)<f(3)<f( )B.f(π)<f( )<f(3)C.f( )<f(3)<f(π)D.f( )<f(π)<f(3)π(ωx＋(ω>0)的最小正周期为π，则该函数7.已知函数f(x)＝sin3 )的图象()3ππC．关于直线x＝－6对称D．关于点( ，0)对称6- 1 -8．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（）A. 4B.C.D. 29．若b a 0，则下列不等式：①a b；②a b ab；③b a2；④a ba2b2ab中正确的不等式有（）个.A．1个B．2个C．3个D．4个10.在 ABC中，AB BC 0,AB 2,BC 23,D为AC的中点，BD DA=( ) A．2 B．-2 C.23D． 23n11.已知数列 的前项为，且，若，恒成立，则的最小T M n N*M a n T an n nn n 13值是（）8A. 1B. 2C.D.39412．高为的四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）A．B．C．1 D．第Ⅱ卷二、填空题:(每小题5分，共4小题，满分20分)13.若数列{a}的前n项和1,则________S an n2n414.如图，在三棱柱中，底面，是的中点，，，过点、作截面交于点，若点恰好是的中点，则直线与所成角的余弦值为__________．A) abc ，若a b 2 ，则边c 的取值范围为．三、解答题（17题10分，其余每题12分，满分70分）- 2 -17.解关于 x 的不等式 （ ）x N 18．已知平面向量 a 1, x ,b 2x 3, x（1）若 a 与b 垂直，求 x ；ab （2）若 a || b ，求.f xx19.已知函数 2sin 24（1）求函数 f x 的单调递增区间；（2）将函数 y f x 的图像向左平移 个单位后，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的42倍，纵坐标不变，得到函数 y g x 的图像，求 g x 的最大值及取得最大值时的 x 的集合.20 .．已知数列 是等差数列， 是其前 项和，若 ，且 ， ， 成等比数列．- 3 -21．的内角、、的对边分别为、、，已知.（1）求；（2）如图，为外一点，若在平面四边形中，，且，，，求的长.22.如图，已知菱形的对角线交于点，点为中点.将三角形沿线段折起到的位置，如图2所示.图1 图2（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）证明：平面平面；（Ⅲ）在线段上是否分别存在点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.高一学年数学试题答案BBDAD CBBCB DC13. 7 14. 15. 2 16.【1，2）17.解：18.解析：（1）由已知得，1 2x 3 x x 0，解得，x 3或x 1，因为x N，所以x 3.1 x x 2x 3 0x 0x 2 （2）若a//b，则，所以或，因为x N，所以x 0.a b a b 2，.2,019.解：（1） 2 2 ，f x sin x43k x k ，k Z k x k ， k Z 24288当222 即，3因此，函数f（x）的单调递增取间为k ( ),k k Z88（2）由已知， 2 ，g x sin x，即，也即g(x)2 sin x x k x k k Zmax4424∴当{x|x 2k k Z }，g（x）的最大值为2．420.解：（1）设等差数列的公差为，因为，所以，所以，因为，，成等比数列，所以，- 6 -又，，所以，解得，所以．（2）由（1）可得，故，所以21.解：（1）在中，由正弦定理得，又，所以，故，所以，又，所以，故.（2）∵，∴，又在中，，，∴由余弦定理可得，∴，在中，，，，∴由余弦定理可得，即，化简得，解得.故的长为.22.解：(Ⅰ）证明：折叠前，因为四边形为菱形，所以；所以折叠后，, 又平面，所以平面（Ⅱ）因为四边形为菱形，所以.又点为的中点，所以.所以四边形为平行四边形.所以. 又由（Ⅰ）得，平面,所以平面.因为平面，所以平面平面.（Ⅲ）存在满足条件的点,且分别是和的中点.如图，分别取和的中点.连接.因为四边形为平行四边形，所以.所以四边形为平行四边形.所以.在中，分别为中点，所以.又平面, 平面,所以平面平面.。
2024学年黑龙江省哈尔滨市重点中学高三数学试题理下学期综合练习
2024学年黑龙江省哈尔滨市重点中学高三数学试题理下学期综合练习请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．要得到函数12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将函数23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（ ）A ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4π个单位长度 B ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位长度 C ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移524π个单位长度 D ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移1124π个单位长度2．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．23．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，:q x y =则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线x y e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（ ）A ．NM N-B ．MM N-C ．M NN- D ．M N5．函数()y f x =满足对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-成立，且函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，()14f =，则()()()201620172018f f f ++的值为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．16．已知函数21,0()2ln(1),0x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若函数()()g x f x kx =-有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．(0,1)D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，7．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（ ）A ．[32]-，B ．[42]-，C ．[0]2，D ．2[3]e -，8．设命题:p 函数()x x f x e e -=+在R 上递增，命题:q 在ABC ∆中，cos cos A B A B >⇔<，下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝9．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ）AB ．C ．D ．10．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ） A ．若m //α，α//β，则m //β或m β⊂B ．若m //n ，m //α，n α⊄，则n //αC ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α⊥，则n //α11．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞的是（ ） A ．()lg 1y x =+B ．12y x =C ．2x y =D ．ln y x =12．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ） A ．若//αβ，则l//m B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l β⊥，则αβ⊥D ．若αβ⊥，则m α⊥二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2020学年高一数学6月月考(学科竞赛)试题
哈师大青冈实验中学2020学年度6月份考试（学科竞赛）高一学年数学试题时间：120分钟；满分：150分第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）1.设集合{}2,1,0,1,2,A =-- {}0B x x =<，则A I R （C B)=( ) A ．{}2,1,0,1,2-- B ．{}0,1,2 C ．{}0,1 D ．{}12.在等差数列{a n }中，a 3＝0，a 7－2a 4＝－1，则公差d 等于( ) A ．－2 B ．－12 C.12D ．23.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，且,m n αβ⊂⊂，下列命题中正确的是（ ）A ．若αβ⊥，则m n ⊥B ．若//αβ，则//m nC ．若m n ⊥，则αβ⊥D ．若n α⊥，则αβ⊥ 4.已知 ，且α为第四象限角，则αsin 为（ ） A.-B.C.±D.5．已知在各项均为正数的等比数列{n a }中，13a a =16，3a +4a =24，则5a =( ) A ．128 B ．108 C ．64 D ．326.已知函数f (x )的定义域为R,当x ∈[-2,2]时,f (x )单调递减,且函数y=f(x+2)为偶函数,则下列结论正确的是 ( )A .f (π)<f (3)<f ()B .f (π)<f ()<f (3) C .f ()<f (3)<f (π)D .f ()<f (π)<f (3)7.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 135)cos(-=-πα8．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（ ） A. 4 B.C.D. 29．若0b a <<，则下列不等式：①a b >；②a b ab +<；③2b aa b+>；④22a a b b <-中正确的不等式有（ ）个.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10.在ABC ∆中，0,2,23AB BC AB BC •===u u u r u u u r u u u r u u u r ,D 为AC 的中点，BD DA •u u u r u u u r=( )A ．2B ．-2 C.23 D ．23- 11.已知数列{}n a 的前n 项为n T ，且13n n na -=，若n T M <， *n N ∈恒成立，则M 的最小值是（ ）A. 1B. 2C. 83D. 9412．高为的四棱锥S ﹣ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S ，A ，B ，C ，D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为（ ） A ．B ．C ．1D ．第Ⅱ卷二、填空题:(每小题5分，共4小题，满分20分) 13.若数列}{n a 的前n 项和12-=n S n ,则=4a ________14.如图，在三棱柱中，底面，是的中点，，，过点、作截面交于点，若点恰好是的中点，则直线与所成角的余弦值为__________．15.方程x x -=2lg 有__________个解． 16.已知ABC 的内角 A , B ,C 的对边分别是 a ,b ,c ，且(a 2 b 2 c 2 )(a cos B b cosA ) abc ，若a b 2 ，则边c 的取值范围为 ．三、解答题（17题10分，其余每题12分，满分70分）17.解关于x 的不等式（）18．已知平面向量()()1,,23,a x b x x ==+-r r()x N ∈（1）若a r 与b r垂直，求x ；（2）若||a b rr ，求a b -r r .19.已知函数()2sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）将函数()y f x =的图像向左平移4π个单位后，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 的最大值及取得最大值时的x 的集合.20.．已知数列是等差数列，是其前项和，若，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，若，求数列的前项和．21．的内角、、的对边分别为、、，已知.（1）求；（2）如图，为外一点，若在平面四边形中，，且，，，求的长.22.如图，已知菱形的对角线交于点，点为中点.将三角形沿线段折起到的位置，如图2所示.图1 图2（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）证明：平面平面；（Ⅲ）在线段上是否分别存在点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.高一学年数学试题答案BBDAD CBBCB DC13. 7 14. 15. 2 16.【1，2） 17.解：18.解析：（1）由已知得， ()()1230x x x ++-=，解得， 3x =或1x =-， 因为x N ∈，所以3x =.（2）若//a b rr ，则()()1230x x x ⋅--⋅+=，所以0x =或2x =-，因为x N ∈，所以0x =.()2,0a b -=-rr ， 2a b -=r r .19.解：（1）()224f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当()222242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，即()388k x k k Z ππππ-≤≤+∈，， 因此，函数f （x ）的单调递增取间为)(83,8Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ （2）由已知， ()24g x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴当()1224424sin x x k x k k Z ππππππ⎛⎫+=+=+=+∈ ⎪⎝⎭，即，也即时， ()2max g x =．∴当(){|2}4x x k k Z ππ=+∈，g （x ）的最大值为2．20.解：（1）设等差数列的公差为，因为，所以，所以， 因为，，成等比数列，所以，又，，所以，解得，所以．（2）由（1）可得，故，所以21.解：（1）在中，由正弦定理得，又，所以，故，所以，又，所以，故.（2）∵，∴，又在中，，，∴由余弦定理可得，∴，在中，，，，∴由余弦定理可得，即，化简得，解得.故的长为.22.解：(Ⅰ）证明：折叠前，因为四边形为菱形，所以；所以折叠后，, 又平面，所以平面（Ⅱ）因为四边形为菱形，所以.又点为的中点，所以.所以四边形为平行四边形.所以. 又由（Ⅰ）得，平面,所以平面.因为平面，所以平面平面.（Ⅲ）存在满足条件的点,且分别是和的中点.如图，分别取和的中点.连接.因为四边形为平行四边形，所以.所以四边形为平行四边形.所以.在中，分别为中点，所以.又平面,平面,所以平面平面.。
哈中模拟试题及答案(一)
哈中模拟试题及答案(一)哈中模拟试题及答案哈尔滨市中学生数学比赛（简称哈中）是每年针对中学生开展的一项数学竞赛活动，是中小学数学人才选拔和培养的重要渠道之一。
模拟试题是备战比赛的重要准备，本篇将提供一组哈中模拟试题及答案，帮助参赛者提高备战效率。
一、选择题部分1、已知函数 $y=\frac{x+1}{x-1}$，则当 $x$ 取什么值时，$y$ 最小？A、$x=1$B、$x=2$C、$x=0$D、$x=-1$答案：A。
解析：当 $x=1$ 时，$y$ 的值不存在。
对于其它选项，只需考虑$y$ 的导数即可。
$y'=-\frac{2}{(x-1)^2}$，显然当 $x=1$ 时，$y'$ 变为正无穷大，说明此时函数无最小值。
2、如图所示，矩形 $ABCD$ 中，$AB=4$，$BC=2$，$M$ 为 $CD$ 上一点，求 $\angle AMD$ 的大小。
A、$120^\circ$B、$90^\circ$C、$60^\circ$D、$45^\circ$答案：C。
解析：易知 $\angle ABC=90^\circ$，$\angle BCD=60^\circ$，$AB\parallel CD$，$AM=BD$，所以 $\triangle ABM \cong\triangle CBD$，$\angle AMD=\angle ABC+\angle BCD+\angle CBD=120^\circ$。
3、如图所示，$\triangle ABC$ 中，$\angle CAB=90^\circ$，$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的高线，$DE\parallel BC$，$DF\perp ED$，$EC=2BD$，$\angle BCE=\angle ACB$，求 $\tan\angle ACB$。
A、$3\sqrt{2}$B、$5\sqrt{2}$C、$7\sqrt{2}$D、$9\sqrt{2}$答案：C。
黑龙江哈尔滨市(新版)2024高考数学统编版真题(拓展卷)完整试卷
黑龙江哈尔滨市（新版）2024高考数学统编版真题(拓展卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知椭圆：的两条弦相交于点（点在第一象限），且轴，轴.若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．第(2)题已知二次函数，对任意的，有，则的图象可能是（）A．B．C．D．第(3)题若，则（）A．B．C．D．第(4)题在长方形中，，，点在线段上（不包含端点），沿将折起，使二面角的大小为，，则四棱锥体积的最大值为（）A．B．C．D．第(5)题数列1，3，2，…中，，则（）A．6B．5C．4D．3第(6)题某实验室委派2位研究员与3位副研究员到A，B，C三个研究所进行工作交流，每个研究所至少有1人，若每人只委派到一个研究所，且2位研究员不能委派到同一个研究所，则所有委派方案共有（）A．114种B．66种C．60种D．48种第(7)题在中，的平分线与对边交于点，若的面积为的2倍，且，则（）A．3B．4C．6D．8第(8)题在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，且，则的取值范围为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（）A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同第(2)题若x，y满足x2+xy+y2=3，则（）A．2x+y≤B ．2x+y≥-1C．x2+y2-xy≤8D．x2+y2-xy≥1第(3)题已知动点在双曲线上，双曲线的左､右焦点分别为，下列结论正确的是（）A．双曲线的渐近线与圆相切B．满足的点共有2个C．直线与双曲线的两支各有一个交点的充要条件是D．若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题一个口袋里有形状一样仅颜色不同的4个小球，其中白色球2个，黑色球2个.若从中随机取球，每次只取1个球，每次取球后都放回袋中，则事件“连续取球四次，恰好取到两次白球”的概率为__________；若从中一次取2个球，只取一次，记所取球中白球可能被取到的个数为ξ，则随机变量ξ的期望为_______.第(2)题已知集合，，则_____________．第(3)题已知、为圆上的两点，且，设为弦的中点，则的最小值为________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线：（，）被称为“三叶玫瑰线”（如图所示）．（1）求以极点为圆心的单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标；（2）射线，的极坐标方程分别为，（，），，分别交曲线于点，两点，求的最小值．第(2)题在如图所示的空间几何体中，与均是等边三角形，直线平面，直线平面，.(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.第(3)题已知等比数列满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，其前项和记为，求．第(4)题如图，四棱锥中，，，，，，．(1)若平面，求证．(2)点为线段上一点，若三棱锥的体积为，试确定点的位置，并说明理由．第(5)题如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1(﹣2，0)，A2(2，0)，右准线方程为x＝4．过点A1的直线交椭圆C于x轴上方的点P，交椭圆C的右准线于点D．直线A2D与椭圆C的另一交点为G，直线OG与直线A1D交于点H．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若HG⊥A1D，试求直线A1D的方程；（3）如果，试求的取值范围．。
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哈尔滨工程大学第十五届数学竞赛非专业高年级组参考答案一、1-15题答案1、由)()()(y f x f xy f +=，可得)1()()1(f x f x f +=⋅，即0)1(=f 。
xf x xx x xf x x x f x x f x x f x f xx f x xx f x x f x x f x f x x x x x 1)1(1)1(lim)1(lim )()1()(lim )())1((lim )()(lim )(00000'=∆∆+=∆∆+=∆-∆++=∆-∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆→∆→∆。
再由1)1(='f ，可得xx f 1)(='，所以C x dx x f x f +='=⎰ln )()(。
再由0)1(=f ，可得x x f ln )(=。
2、因为)0(f ''存在，故在0=x 处)(x f '存在且连续，从而)(x f 存在且连续。
由31arctan lim 30-=-→x x x x ，又由1)(arctan lim30=-→x x xf x x 可得 202020202202030230)(1lim31)(1lim )1(31lim )(1lim 3111lim )(1lim arctan lim )(1arctan lim 1x x f xx f x x x f x x x x f x x x x x f x x x x x x x x x x x -+-=-++-=-+-+=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=→→→→→→→→罗必达法则， 从而341)(lim2-=-→x x f x 。
因为)(x f 在0=x 处连续，所以0)1)((lim 0=-→x f x ，即1)0(=f 。
从而x x f x f x x f x x 1)0()(lim 1)(lim 34020-=-=-→→，即0)0(='f 。
)0(212)(lim 2)(lim 1)(lim 340020f x f x x f x x f x x x ''=''='=-=-→→→罗必达法则罗必达法则，从而38)0(-=''f 。
3、记nn n n n n n n I n 1)1ln(21)21ln(11)11ln(+++++++++=，则 ∑∑==+≤≤++ni nn i n n iI n n i n n 11)1ln()1ln(1。
再由⎰∑+=+=∞→101)1ln()1ln(lim dx x n n in i n 和夹逼性可知， 12ln 2]2ln 1[2ln )]1ln([2ln 1112ln 1)]1ln([)1ln(1010101010-=--=+--=+--=+-+=+=⎰⎰⎰x x dxx dx x x x x dx x 。
4、由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+++-≥≥+=⎰⎰⎰--0,)1(1110,11)(02011x dx x xe dx e x dx e x F x xx xx， 而)]1ln()1[ln(2|)1ln(2)2(1)(21121212221e e e ee e x d e edx e x x xx xxx x xx++-++-=++-=-+-=+---------⎰⎰，从而)]1ln()21[ln(21101e e dx e x++-+-=+⎰-。
111|11)1(1)1()11()1(0000200202-+=+-+++=+-+=+-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰x e dx x e x e dx x e dx x e dx x e dx x e x dx x xe xx x x x xx x xx x x x xx 分部积分。
所以⎪⎩⎪⎨⎧>++-+--+-≥≥++-++-=--0)],1ln()21[ln(21110)],1ln()1[ln(2)(2x e e x e x e e e e x F x x x。
5、令na x a x a x x f -++-+-=111)(21 ，则0)(1)(1)(1)(22221<-------='n a x a x a x x f ， 可知)(x f 在区间()1,a ∞-，()21,a a ，……，()n n a a ,1-，()+∞,n a 内单调递减。
又因为n i x f ia x ,,2,1,)(lim =∞=→，0)(lim =∞→x f x ，所以n i a x i ,,2,1, ==为垂直渐近线，0=y 为水平渐近线。
从而0)(=x f 有1-n 个实根，分属于()21,a a ，……，()n n a a ,1-（每个区间一个实根）。
6、由积分区域的对称性，可知⎰⎰⎰⎰+++=++++DDd yx x d yx xy x σσ2222252111)1(。
由轮换性可知，⎰⎰⎰⎰++=++DDd yx y d yx x σσ22222211，所以)425(313122311)1(3221111211112112211)1(23102232201022222222222252-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+++++=++++=++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰πππθσσσπr r rdr r r d d y x y x d y x y x d yx xy x D D D。
7、由对称性，⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ+=+dv z x dv z x )()(222，设1:2221≤++Ωz y x 。
由对称性可知，⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ+=+1)(21)(222dv z x dv z x 。
方法1：ππϕϕθππ154512231sin 31)(3221)(21)(1040202222221=⋅⋅⋅==++⋅=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩdr r d d dv z y x dv z x dv z x 。
方法2：ππππ154)5131(2)(2)1(222)(21)(104210222102222211=-=-=-====+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩdz z z dz z z dxdy z dz dv z dv z dv z x dv z x D。
8、因为柱面3222=+y x 在()1,1点的法向量为)1,1(}0,4,2{y x n =，所以曲线C ：3222=+y x 在()1,1点的外法线上的法向量为}4,2{y x n =。
{}{}{}{}7,1)332(1),3222(11)3(),22(,)1,1()1,1()1,1(-=⋅+-⋅-⋅+='+'-'-'+=''=v u v u y x f f x f f x f z z z grad ，所以{}{}551351352,17,1==⋅-=⋅=∂∂n z grad n z。
9、考虑)(x f 的泰勒公式，()x x f x f f x f x f ,0,!3)(2)0()0()0()(32∈'''+''+'+=ηη。
有()0,1,!3)(2)0()0(!3)(2)0()0()0()1(0111-∈'''-''+='''-''+'-=-=ξξξf f f f f f f f ， ()1,0,!3)(2)0()0(!3)(2)0()0()0()1(1222∈'''+''+='''+''+'+==ξξξf f f f f f f f ， 所以6)()(12='''+'''ξξf f ，因为)(x f '''连续，所以存在()1,1-∈ξ，使3)(='''ξf 。
10、不妨设0)(>'a f ，0)(>'b f 。
由0)()(lim)(>--='+→ax a f x f a f a x 可知，存在01>δ，使得()111,,0)(δ+∈>a a x x f 。
由0)()(lim )(>--='-→bx b f x f b f b x 可知，存在02>δ，使得()b b x x f ,,0)(222δ-∈<。
并且()()φδδ=-⋂+b b a a ,,21，所以存在()b a ,∈ξ，使0)(=ξf 。
令)()(x f e x F x -=，由0)()()(===ξf b f a f 可得0)()()(===ξF b F a F 。
所以存在()ξξ,1a ∈，()b ,2ξξ∈，使0)()(21='='ξξF F ，即)()(11ξξf f '=，)()(22ξξf f '=。
令))()(()(x f x f e x G x -'=，则0)()(21==ξξG G ，所以存在()()b a ,,21⊂∈ξξη，使0)(='ηG ，即)()(ηηf f =''。
11、过A 、B 两点的直线方程为101011-=-=--z y x ，所以⎩⎨⎧=-=zy z x 1，])1[()(2222z z y x ds +-=+=ππ，πππ32|)32(])1[(10321022=+-=+-=⎰z z z dz z z V12、因为22222222222]4)1(3[4)1(3]4)1(3[84)1(31y x y x y x y y x y P +---=+--+-=∂∂， 22222222222]4)1(3[4)1(3]4)1(3[)1(64)1(31y x y x y x x y x x Q +---=+--++--=∂∂。
所以xQy P ∂∂=∂∂。
令0,4)1(3:222>=+-y y x C δ，则有 [].3210271)1(1)1(22πσδδ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰+--=--=⎰+⎰=⎰⎰⎰⎰+DOBBOC CC AO d dy x ydx dyx ydx I13、由y x x z x 2243--='，y x y z y 2243--='，令0,0='='y x z z 可得1,0±==y x 。
所以驻点为())1,1(),1,1(,0,0--。
令2122-=''=x z A xx ，2-=''=xy z B ，2122-=''=y z C yy 。