高考精选高难度压轴填空题----平面向量
高考数学压轴专题最新备战高考《平面向量》分类汇编及答案
高中数学《平面向量》知识点归纳一、选择题1．已知向量a r 与向量b r 满足||2a =r ，||b =r ||||a b a b +⋅-=r r r r ，则向量a r与向量b r的夹角为( )A ．4π或34π B ．6π或56πC ．3π或23πD ．2π 【答案】A 【解析】 【分析】设向量a r ，b r的夹角为θ，则2||12a b θ+=+r r ，2||12a b θ-=-r r ，即可求出2cos θ，从而得到向量的夹角； 【详解】解：设向量a r ，b r的夹角为θ，222||||||2||||cos 48a b a b a b θθ+=++=++r r r r r r12θ=+，222||||||2||||cos 4812a b a b a b θθθ-=+-=+-=-r r r r r，所以2222||||144128cos 80a b a b θ+⋅-=-==r r r r ，21cos 2θ∴=，因为[0,)θπ∈，故4πθ=或34π，故选：A. 【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算律，及夹角的计算，属于中档题.2．已知5MN a b =+u u u u r r r ，28NP a b =-+u u u r r r ，3()PQ a b =-u u u r r r ，则（ ）A ．,,M N P 三点共线B ．,,M N Q 三点共线C ．,,N P Q 三点共线D ．,,M P Q 三点共线【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量共线定理进行判断即可. 【详解】因为28NP a b =-+u u u r r r ,3()PQ a b =-u u u r r r所以()2835NQ NP PQ a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r ,因为5MN a b =+u u u u r rr ,所以MN NQ =u u u u r u u u r由平面向量共线定理可知,MN u u u u r 与NQ uuur 为共线向量,又因为MN u u u u r与NQ uuu r有公共点N ,所以,,M N Q 三点共线. 故选: B 【点睛】本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.3．已知点M 在以1(,2)C a a -为圆心，以1为半径的圆上，距离为23的两点,P Q 在圆222:8120C x y y +-+=上，则MP MQ ⋅u u u r u u u u r的最小值为（ ）A ．18122-B ．19122-C ．18122+D ．19122+【答案】B 【解析】 【分析】设PQ 中点D ，得到,MP MD DP MQ MD DQ =+=+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r ，求得23MP MQ MD ⋅=-u u u r u u u u r u u u u r ，再利用圆与圆的位置关系，即可求解故()23223MP MQ ⋅≥--u u u r u u u u r ，得到答案.【详解】依题意，设PQ 中点D ，则,MP MD DP MQ MD DQ =+=+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r ，所以23MP MQ MD ⋅=-u u u r u u u u r u u u u r ，22222()12PQ C D QC =-=Q ，D ∴在以1为半径，以2C 为圆心的圆上， 22221[(2)4]2(3)1832C C a a a =+--=-+≥Q ，1221min min MD C C C D MC ∴=-- 故()2322319122MP MQ ⋅≥--=-u u u r u u u u r .【点睛】本题主要考查了圆的方程，圆与圆的位置关系的应用，以及平面向量的数量积的应用，着重考查了推理论证能力以及数形结合思想，转化与化归思想.4．下列说法中说法正确的有（ ）①零向量与任一向量平行；②若//a b r r ，则()a b R λλ=∈r r ；③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r④||||||a b a b +≥+r r r r ；⑤若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，则A ，B ，C为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A ．①④ B ．①②④C ．①②⑤D ．③⑥【答案】A 【解析】 【分析】直接利用向量的基础知识的应用求出结果. 【详解】对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；对于②：若//a b r r ，则()a b R λλ=∈r r ，必须有0b ≠r r，故②错误；对于③：()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r ，a r 与c r不共线，故③错误；对于④：a b a b +≥+r r r r ，根据三角不等式的应用，故④正确； 对于⑤：若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0r，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误. 综上：①④正确. 故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．5．如图，在ABC V 中，AD AB ⊥，3BC BD =u u u v u u u v ，1AD =u u u v ，则AC AD ⋅=u u u v u u u v（ ）A ．3B ．32C ．33D 3【答案】D 【解析】∵3AC AB BC AB =+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u v ，∴(3)3AC AD AB AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅⋅u u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=uuu r，∴cos cos AC AD AD AD ADB BD ADB AD u u u v u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==， 故选D ．6．在平行四边形OABC 中，2OA =，OC =6AOC π∠=，动点P 在以点B 为圆心且与AC 相切的圆上，若OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则43λμ+的最大值为（ ）A ．2+B ．3+C ．5+D ．7+【答案】D 【解析】 【分析】先通过计算证明圆B 与AC 相切于点A ，再求出43OB OA BP OA λμ+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，再求出7OB OA ⋅=u u u r u u u r ，BP OA ⋅u u u r u u u r的最大值为.【详解】如图所示，由2OA =，6AOC π∠=，由余弦定理得24+3221,1AC AC =-⨯=∴=， ∴90OCA BAC ∠=∠=o , ∴圆B 与AC 相切于点A ，又OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r ， ∴243OP OA OA OC OA λμλμ⋅=+⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r；∴()43OP OA OB BP OA OB OA BP OA λμ+=⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r；如图，过点B 作,BD OA ⊥连接,OB 由题得6BAD π∠=,所以3,,222AD DB OB ===∴==, 所以7cosBOA ∠==,所以27OB OA ⋅==u u u r u u u r ，因为BP OA ⋅u u u r u u u r2cos0⨯=o ，∴43λμ+的最大值是7+.故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数和余弦定理解三角形，考查平面向量的数量积运算和范围的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()0,2A ，2220OB OA +=，若平面内点P 满足3PB PA =u u u r u u u r，则PO 的最大值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】C 【解析】 【分析】设(),P x y ，(),B m n ，根据3PB PA =u u u r u u u r 可得262m x n y=-⎧⎨=-⎩，再根据2220OB OA +=可得点P 的轨迹，它一个圆，从而可求PO 的最大值. 【详解】设(),P x y ，(),B m n ，故(),PB m x n y =--u u u r ，(),2PA x y =--u u u r. 由3PB PA =u u u r u u u r可得363m x x n y y-=-⎧⎨-=-⎩，故262m x n y=-⎧⎨=-⎩，因为2220OB OA +=，故()22443420x y +-+=，整理得到()2234x y +-=，故点P 的轨迹为圆，其圆心为()0,3，半径为2，故PO 的最大值为325+=， 故选：C. 【点睛】本题考查坐标平面中动点的轨迹以及圆中与距离有关的最值问题，一般地，求轨迹方程，可以动点转移法，也可以用几何法，而圆外定点与圆上动点的连线段长的最值问题，常转化为定点到圆心的距离与半径的和或差，本题属于中档题.8．若向量(1,1)a =r ，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r满足(3)10a b c +⋅=rrr，则x =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，求得(3)(2,6)a b +=rr ，再根据向量的数量积的坐标运算，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，向量(1,1)a =r，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r ，则向量(3)3(1,1)(1,3)(2,6)a b +=+-=rr ，所以(3)(2,6)(2,)22610a b c x x +⋅=⋅=⨯+=r r r，解得1x =，故选A.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，及向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.9．在平面直角坐标系中，()1,2A -，(),1B a -，(),0C b -，,a b ∈R ．当,,A B C 三点共线时，AB BC ⋅u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示可求得12b a =-，根据数量积的坐标运算可知所求数量积为()211a -+，由二次函数性质可得结果.【详解】由题意得：()1,1AB a =-u u u r ，(),1BC b a =--u u u r，,,A B C Q 三点共线，()()111a b a ∴⨯-=⨯--，即12b a =-，()1,1BC a ∴=-u u u r， ()2111AB BC a ∴⋅=-+≥u u u r u u u r ，即AB BC ⋅u u u r u u u r 的最小值为1.故选：B . 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式，属于基础题.10．已知P 为边长为2的正方形ABCD 所在平面内一点，则PC uuu r ()PB PD +⋅u u ur u u u r 的最小值为（ ） A ．1- B ．3-C ．12-D ．32-【答案】A 【解析】 【分析】建立坐标系，写出各点坐标，表示出对应的向量坐标，代入数量积整理后即可求解． 【详解】建立如图所示坐标系，设(,)P x y ，则(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)A B C D ，所以(2,2),(2,)(,2)(22,22)PC x y PB PD x y x y x y =--+=--+--=--u u u r u u u r u u u r，故223131()(2)(22)(2)(22)222222PC PB PD x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅+=--+--=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r223322122x y ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当32x y ==时，PC uuu r ()PB PD +⋅u u u r u u u r 的最小值为1-.故选：A ． 【点睛】本题考查利用坐标法求向量数量积的最值问题，涉及到向量的坐标运算，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.11．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，则λ＋μ的值为（ ）A ．65B ．85C ．2D ．83【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示,,CA CE DB u u u r u u u r u u u r ，利用(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，列出方程组求解即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0).不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)，(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB ∴=-=-=u u u r u u u r u u u rCA CE DB λμ=+u u u r u u u r u u u r Q∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，2222λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得6525λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则85λμ+=.故选：B 【点睛】本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.12．已知()4,3a =r ，()5,12b =-r 则向量a r 在b r方向上的投影为( )A ．165-B ．165C ．1613-D ．1613【答案】C 【解析】 【分析】先计算出16a b r r⋅=-，再求出b r ，代入向量a r 在b r 方向上的投影a b b⋅r rr 可得【详解】()4,3a =r Q ，()5,12b =-r，4531216a b ⋅=⨯-⨯=-r r，则向量a r 在b r方向上的投影为1613a b b⋅-=r rr ，故选：C. 【点睛】本题考查平面向量的数量积投影的知识点. 若,a b r r的夹角为θ，向量a r 在b r方向上的投影为cos a θ⋅r 或a b b⋅r rr13．在ABC V 中，4AC AD =u u u r u u u r，P 为BD 上一点，若14AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，则实数λ的值（ ）A ．34B ．320C ．316D ．38【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可得出144λ=+u u u r u u u r u u u rAP AB AD ，由于B ，P ，D 三点共线，根据向量共线定理，即可求出λ. 【详解】解：由题知：4AC AD =u u u r u u u r ，14AP AB AC λ=+u u ur u u u r u u u r ，所以144λ=+u u u r u u u r u u u r AP AB AD ，由于B ，P ，D 三点共线，所以1414λ+=， ∴316λ=． 故选：C.【点睛】本题考查平面向量的共线定理以及平面向量基本定理的应用.14．在ABC V 中，若2AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则AB BC=u u u v u u u v （ ）A ．1B ．22C 3D 6【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v可以推得AB AC =，再利用向量运算的加法法则，即可求得结果． 【详解】由题意得，AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v ，即A A =0+BC B C ⋅uu u v uu u v uuu v（），设BC 的中点为D ，则AD BC ⊥，即ABC V 为等腰三角形，B=C AB AC =∠∠， 又因为2BC CA CA AB ⋅=⋅uu u v uu v uu v uu u v 即2222222C C cos 2C 2C cos 112C +22232C 2AB BC CA A B AB BC B A CA B CBC A BC A BC⋅=⋅-=-+-=-+⨯=uu u v uu u v uu v uu u v uuv uu u v uu u v uu u v uu v uuvuu u v uu u v uu u v uu u v uu u v （）所以3AB BC=uu u v uu u v 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算．15．已知AB 是圆22:(1)1C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅u u u v u u u v的最小值是（ ）A ．21-B ．2C ．0D ．1【答案】D【解析】 试题分析：由题意得，设，,,又因为,所以，所以PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值为1，故答案选D. 考点：1.圆的性质；2.平面向量的数量积的运算.16．已知,a r b r 是平面向量，满足||4a =r ，||1b ≤r 且|3|2b a -≤r r ，则cos ,a b 〈〉r r 的最小值是（ ）A ．1116B ．78C ．15D ．315 【答案】B【解析】【分析】设OA a =u u u r r ，3OB b =u u u r r ，利用几何意义知B 既在以O 为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，又在以A 为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，结合图象即可得到答案.【详解】设OA a =u u u r r ，3OB b =u u u r r，由题意，知B 在以O 为圆心，半径为3的圆上及圆的内部， 由|3|2b a -≤r r ，知B 在以A 为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，如图所示则B 只能在阴影部分区域，要cos ,a b 〈〉r r 最小，则,a b <>r r 应最大，此时()222222min 4327cos ,cos 22438OA OB AB a b BOA OA OB +-+-〈〉=∠===⋅⨯⨯r r .故选：B.【点睛】本题考查向量夹角的最值问题，本题采用数形结合的办法处理，更直观，是一道中档题.17．若O 为ABC ∆所在平面内任一点，且满足()()0OB OC OC OA CA AB -⋅-++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r ，则ABC ∆的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 【答案】A【解析】【分析】利用平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质即可进行判断.【详解】 由()()0OB OC OC OA CA AB -⋅-++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即()0CB AC CB CB AB ⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以，CB AB ⊥，即2B π∠=，故ABC ∆为直角三角形.故选：A.【点睛】 本题主要考查了平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质的简单应用，属于基础题.18．已知向量(sin ,cos )a αα=r ，(1,2)b =r ，则以下说法不正确的是（ ）A ．若//a b r r ，则1tan 2α=B ．若a b ⊥r r ，则1tan 2α=C ．若()f a b α=⋅r r 取得最大值，则1tan 2α= D ．||a b -r r 1 【答案】B【解析】【分析】A 选项利用向量平行的坐标表示来判断正确性.B 选项利用向量垂直的坐标表示来判断正确性.C 选项求得()f α的表达式，结合三角函数最值的求法，判断C 选项的正确性.D 选项利用向量模的运算来判断正确性.【详解】A 选项，若//a b r r ，则2sin cos αα=，即1tan 2α=，A 正确.B 选项，若a b ⊥r r ，则sin 2cos 0αα+=，则tan 2α=-，B 不正确.C 选项，si (n )2cos in()f a b ααααϕ+==⋅=+r r ，其中tan 2ϕ=.取得最大值时，22k παϕπ+=+，22k πϕπα=+-，tan 2tan 2k πϕπα=+-⎛⎫ ⎪⎝⎭1tan 22tan παα⎛⎫=== ⎪⎝⎭-，则1tan 2α=，则C 正确.D 选项，由向量减法、模的几何意义可知||a b -r r 的最大值为51+，此时55a b =-rr ，,a b r r 反向.故选项D 正确.故选：B【点睛】 本小题主要考查向量平行、垂直的坐标表示，考查向量数量积的运算，考查向量减法的模的几何意义，属于中档题.19．三角形ABC 中，5BC =，G ，O 分别为三角形ABC 的重心和外心，且5GO BC ⋅=u u u r u u u r ，则三角形ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述均不是 【答案】B【解析】【分析】 取BC 中点D ，利用GO GD DO =+u u u r u u u r u u u r 代入计算，再利用向量的线性运算求解．【详解】如图，取BC 中点D ，连接,OD AD ，则G 在AD 上，13GD AD =，OD BC ^， ()GO BC GD DO BC GD BC DO BC ⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r221111()()()53326GD BC AD BC AB AC AC AB AC AB =⋅=⋅=⨯+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴2223025AC AB BC -=>=，∴2220AB BC AC +-<，由余弦定理得cos 0B <，即B 为钝角，三角形为钝角三角形．故选：B ．【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查向量的线性表示，考查余弦定理．解题关键是取BC 中点D ，用,AB AC u u u r u u u r 表示出,GD BC u u u r u u u r ．20．已知向量(),1a x =-r ， (3b =r ，若a b ⊥r r ，则a =r （ ） A 2 B 3 C ．2 D ．4【答案】C【解析】由a b r r ⊥，(),1a x =-r ， (b r =，可得：x 0x ，==，即)1a =-r所以2a ==r 故选C。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》难题汇编附答案
数学高考《平面向量》复习资料一、选择题1．已知A ，B ，C 是抛物线24y x =上不同的三点，且//AB y 轴，90ACB ∠=︒，点C在AB 边上的射影为D ，则CD =（ ） A ．4 B ．22C ．2D ．2【答案】A 【解析】 【分析】画出图像，设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12y y >， 由90ACB ∠=︒可求221216y y -=，结合221244y y CD =-即可求解 【详解】如图：设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12y y >， 由90ACB ∠=︒可得0CA CB ⋅=u u u r u u u r ，222212121212,,,44y y y y CA y y CB y y ⎛⎫⎛⎫--=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，()222221212004y y CA CB y y ⎛⎫-⋅=⇔--= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，即()()222122212016y y y y ---= 解得221216y y -=（0舍去），所以222212124444y y y y CD -=-==故选：A 【点睛】本题考查抛物线的几何性质与向量的综合应用，计算能力，逻辑推理能力，属于中档题2．已知5MN a b =+u u u u rr r，28NP a b =-+u u u rrr，3()PQ a b =-u u u rrr，则（ ）A ．,,M N P 三点共线B ．,,M N Q 三点共线C ．,,N P Q 三点共线D ．,,M P Q 三点共线【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量共线定理进行判断即可. 【详解】因为28NP a b =-+u u u r r r ,3()PQ a b =-u u u r r r所以()2835NQ NP PQ a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r ,因为5MN a b =+u u u u r rr ,所以MN NQ =u u u u r u u u r由平面向量共线定理可知,MN u u u u r 与NQ uuur 为共线向量,又因为MN u u u u r 与NQ uuur 有公共点N ,所以,,M N Q 三点共线.故选: B 【点睛】本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.3．在ABC V 中，312AB AC ==，D 是AC 的中点，BD u u u r 在AC u u ur 方向上的投影为4-，则向量BA u u u r 与AC u u ur 的夹角为（ ）A ．45°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】C 【解析】 【分析】设BDC α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r 的夹角为θ，BD u u u r 在AC u u u r方向上的投影为cos =4BD α-u u u r，利用线性代换并结合向量夹角公式即可求出夹角．【详解】312AB AC ==，D 是AC 的中点，则4AC =，2AD DC ==， 向量BD u u u r 在AC u u u r方向上的投影为4-， 设BDA α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r的夹角为θ，则cos =4BD α-u u u r，∴()cos ===BD DA AC BA AC BD AC DA ACBA AC BA AC BA ACθ+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()cos cos180444211===1242BD AC DA AC AB ACα⋅+⋅⨯+-⨯-⨯︒⨯⋅-u u u u u r u u u r u u u u r u u u ru ur r u， 故夹角为120°， 故选：C . 【点睛】本题考查向量的投影，利用数量积求两个向量的夹角，属于中等题.4．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=u u u v u u u v（）A ．4B ．6C ．23D ．43【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果． 【详解】 如图所示，菱形形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，∴120C ∠=︒，∴22222222cos12012BD =+-⨯⨯⨯︒=， ∴23BD =30BDC ∠=︒，∴|||3302|326BD CD BD CD cos =⨯⨯︒==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r， 故选B ． 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．5．延长线段AB 到点C ，使得2AB BC =u u u r u u u r ，O AB ∉，2OD OA =u u u v u u u v，则（ ）A ．1263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u vB ．5263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u vC ．5163BD OA OC =-u u u v u u u v u u u vD ．1163BD OA OC =+u u u v u u u v u u u v【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的加法、减法的几何意义，即可得答案；【详解】Q BD OD OB =-u u u v u u u v u u u v ，()22123333OB OA AC OA OC OA OA OC =+=+-=+u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，12OD OA =u u u v u u u v ，∴1263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v ，故选：A. 【点睛】本题考查向量的线性运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.6．在ABC ∆中，若点D 满足3CD DB =u u u r u u u r ，点M 为线段AC 中点，则MD =u u u u r（ ）A ．3144AB AC -u u ur u u u r B ．1136AB AC -u u u r u u u rC ．2133AB AC -u u u r u u u rD ．3144AB AC +u u ur u u u r【答案】A 【解析】 【分析】根据MD MA AB BD =++u u u r u u u u u u r u r u u u r，化简得到答案. 【详解】 ()11312444MD MA AB BD AC AB AC AB AB AC =++=-++-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u uu u u u r r u u u r .故选：A . 【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.7．已知向量,a b r r 满足||a =r ||4=r b ，且()4a b b +⋅=r r r，则a r 与b r的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】D 【解析】 【分析】由()4a b b +⋅=r r r ，求得12a b ⋅=-r r ，再结合向量的夹角公式，求得cos ,a b 〈〉=r r 可求得向量a r 与b r的夹角．【详解】由题意，向量,a b r r 满足||a =r||4=r b ，因为()4a b b +⋅=r r r，可得2164a b b a b ⋅+=⋅+=r r r r r，解得12a b ⋅=-r r，所以cos ,||||a b a b a b ⋅〈〉===r rr r r r又因a r 与b r 的夹角[0,]π∈，所以a r 与b r 的夹角为56π. 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的计算公式，以及向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力．8．已知()4,3a =r ，()5,12b =-r 则向量a r 在b r方向上的投影为( )A ．165-B ．165C ．1613-D ．1613【答案】C 【解析】 【分析】先计算出16a b r r⋅=-，再求出b r ，代入向量a r 在b r 方向上的投影a b b⋅r rr 可得【详解】()4,3a =r Q ，()5,12b =-r，4531216a b ⋅=⨯-⨯=-r r，则向量a r 在b r方向上的投影为1613a b b⋅-=r rr ，故选：C. 【点睛】本题考查平面向量的数量积投影的知识点. 若,a b r r的夹角为θ，向量a r 在b r 方向上的投影为cos a θ⋅r 或a b b⋅r rr9．已知P 为边长为2的正方形ABCD 所在平面内一点，则PC uuu r ()PB PD +⋅u u ur u u u r 的最小值为（ ） A ．1- B ．3-C ．12-D ．32-【答案】A 【解析】【分析】建立坐标系，写出各点坐标，表示出对应的向量坐标，代入数量积整理后即可求解． 【详解】建立如图所示坐标系，设(,)P x y ，则(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)A B C D ，所以(2,2),(2,)(,2)(22,22)PC x y PB PD x y x y x y =--+=--+--=--u u u r u u u r u u u r，故223131()(2)(22)(2)(22)222222PC PB PD x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅+=--+--=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r223322122x y ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当32x y ==时，PC uuu r ()PB PD +⋅u u u r u u u r 的最小值为1-.故选：A ． 【点睛】本题考查利用坐标法求向量数量积的最值问题，涉及到向量的坐标运算，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.10．设x ，y 满足102024x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m的最小值为（ ） A ．125B ．125-C ．32D ．32-【答案】B 【解析】 【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r，由a b ⊥r r得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴416122555m y x =-=-=-， 故选：B.【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．11．已知向量(1,2)a =v ，(3,4)b =-v ，则a v 在b v方向上的投影为A 13B ．22C ．1D ．655【答案】C 【解析】 【分析】根据a v在b v方向上的投影定义求解. 【详解】a v 在b v 方向上的投影为(1,2)(3,4)381(3,4)5a b b⋅⋅--+===-rr r ， 选C. 【点睛】本题考查a v在b v方向上的投影定义，考查基本求解能力.12．已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b +=>>的离心率为32，过右焦点F 且斜率为()0k k >的直线与T 相交于A ，B 两点，若3AF FB =uu u r uu r，则k =（ ）A ．2 BCD ．1【答案】C 【解析】 【分析】由2e =可得a =，b =，可设椭圆的方程为222334x y c +=，()()1122,,,A x y B x y ，并不妨设B 在x 轴上方，由3AF FB =uu u r uu r得到12123430x x c y y +=⎧⎨+=⎩，再由22211334x y c +=，22222334x y c +=得到A 、B 两点的坐标，利用两点的斜率公式计算即可. 【详解】因为c e a ===，所以2a b =，所以a =，b =，则椭圆方程22221x y a b+=变为222334x y c +=. 设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设B 在x 轴上方，则210,0y y ><，又3AF FB =uu u r uu r，所以()()1122,3,c x y x c y --=-，所以()121233c x x c y y ⎧-=-⎨-=⎩，12123430x x cy y +=⎧⎨+=⎩因为A ，B 在椭圆上，所以22211334x y c +=，① 22222334x y c +=②. 由①—9×②，得2121212123(3)(3)3(3)(3)84x x x x y y y y c +-++-=-，所以21234(3)84c x x c ⨯-=-，所以12833x x c -=-， 所以123x c =，2109x c =，从而13y =-，29y c =所以2(,)33A c -，10(,)99B c c，故9102393c k c c +==- 故选：C. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，当然本题也可以利用根与系数的关系来解决，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1=a n +a (n ∈N *，a 为常数)，若平面内的三个不共线的非零向量OAOB OC u u u r u u u r u u u r，，满足10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，A ，B ，C 三点共线且该直线不过O 点，则S 2010等于（ ） A ．1005 B ．1006C ．2010D ．2012【答案】A 【解析】 【分析】根据a n +1=a n +a ，可判断数列{a n }为等差数列，而根据10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r，及三点A ，B ，C 共线即可得出a 1+a 2010=1，从而根据等差数列的前n 项和公式即可求出S 2010的值. 【详解】由a n +1=a n +a ，得，a n +1﹣a n =a ； ∴{a n }为等差数列；由10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，所以A ，B ，C 三点共线； ∴a 1005+a 1006=a 1+a 2010=1， ∴S 2010()12010201020101100522a a +⨯===. 故选：A. 【点睛】本题主要考查等差数列的定义，其前n 项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.14．如图，两个全等的直角边长分别为1,3的直角三角形拼在一起，若AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+等于（ ）A ．333-+ B ．333+ C 31 D 31+【答案】B【解析】 【分析】建立坐标系，求出D 点坐标，从而得出λ，μ的值． 【详解】解：1AC =Q ，3AB =，30ABC ∴∠=︒，60ACB ∠=︒，以AB ，AC 为坐标轴建立坐标系，则13,12D ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭． ()3,0AB =u u u r，()0,1AC =uu u r ，∴13,12AD ⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭u u u r． Q AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，∴132312λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴331λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，231λμ∴+=+． 故选：B ．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．15．如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =u u u v（ ）A ．3155AB AC +u u uv u u u v B ．2155AB AC +u u uv u u u vC ．481515AB AC +u u u v u u u v D ．841515AB AC +u u u v u u u v 【答案】D【解析】【分析】 设出等腰直角三角形ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得cos DAE ∠，由此得到45AF AD =u u u r u u u r ，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将45AF AD =u u u r u u u r 表示为以,AB AC u u u r u u u r 为基底来表示的形式. 【详解】设6BC =，则2AB AC BD DE EC =====，AD AE ===，101044cos 2105DAE +-∠==⨯， 所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =u u u r u u u r . 因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133AB AC =+u u u r u u u r ， 所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：D【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.16．下列命题为真命题的个数是（ ） ①{x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数；②若0a b ⋅=r r ，则0a =r r 或0b =r r；③命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”的逆否命题为真命题； ④函数()x xe ef x x--=是偶函数. A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】利用特殊值法可判断①的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误；利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论.【详解】对于①中，当2x =时，22x =为有理数，故①错误； 对于②中，若0a b ⋅=r r ，可以有a b ⊥r r ，不一定要0a =r r 或0b =r r ，故②错误；对于③中，命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”为真命题，其逆否命题为真命题，故③正确；对于④中，()()x x x xe e e ef x f x x x-----===-， 且函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，定义域关于原点对称，所以函数()x xe ef x x--=是偶函数，故④正确. 综上，真命题的个数是2.故选：B.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.17．如图，向量a b -r r 等于A ．1224e e --u r u u rB ．1242e e --u r u u rC ．123e e -r u u rD ．123e e -+r u u r 【答案】D【解析】【分析】【详解】 由向量减法的运算法则可得123a e b e -=-+r r r u u r ，18．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅u u u u r u u u r的最大值为（ ）A ．714-B ．24-C ．514-D ．30-【答案】A【解析】【分析】依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AE BE =求出E 的坐标，求出边CD 所在直线的方程，设(,M x +，利用坐标表示,AM ME u u u u r u u u r ，根据二次函数的性质求出最大值.【详解】解：依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，()0,0A ∴，(B ，(C ，()5,0D因为点E 在线段CB 的延长线上，设(0E x ，01x < AE BE =Q()222001x x +=-解得01x =-(E ∴-(C Q ，()5,0DCD ∴所在直线的方程为y =+因为点M 在边CD 所在直线上，故设(,M x + (,AM x ∴=+u u u u r(1E x M -=--u u u r()1AM ME x x -∴⋅=--++u u u u r u u u r 242660x x =-+-242660x x =-+-23714144x ⎛⎫= ⎪⎭---⎝当134x =时()max 714AM ME ⋅=-u u u u r u u u r 故选：A【点睛】本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.19．已知,A B 是圆22:16O x y +=的两个动点，524,33AB OC OA OB ==-u u u v u u u v u u u v ，若M 分别是线段AB 的中点，则·OC OM =u u u v u u u u v （ ） A ．843+B ．843-C ．12 D ．4【答案】C【解析】【分析】【详解】 由题意1122OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ，则2252115113322632OC OM OA OB OA OB OA OB OA OB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又圆的半径为4，4AB =uu u r ，则,OA OB u u u r u u u r 两向量的夹角为π3．则8OA OB ⋅=u u u v u u u v ，2216OA OB ==u u u v u u u v ，所以12OC OM ⋅=u u u r u u u u r ．故本题答案选C ．点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.20．在四边形ABCD 中,若12DC AB =u u u r u u u r ,且|AD u u u r |=|BC uuu r |,则这个四边形是( )A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形【答案】C【解析】由12DC ABu u u r u u u r知DC∥AB,且|DC|=12|AB|,因此四边形ABCD是梯形.又因为|ADu u u r|=|BCuuu r|,所以四边形ABCD是等腰梯形.选C。
高中数学压轴题解析：平面向量
平面向量一、单选题1．设向量a ，b ，c 满足1a b，12a b ⋅=-，,60a c b c <-->=°，则c 的最大值等于（ ）A ．1BCD ．22．已如平面向量a 、b 、c ，满足33a =，2b =，2c =，2b c ⋅=，则()()()()222a b a c a b a c ⎡⎤-⋅---⋅-⎣⎦的最大值为（ ）A ．B ．192C ．48D ．3．已知直线1y x =+上有两点1122(,),(,)A a b B a b ，且12a a >.已知1122,,,a b a b 满足12122||a ab b +||AB =，则这样的点A 个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．44．已知P 是函数()e xf x =（112x ≤≤）图象上的动点，点()2,1A ，()1,1B -，O 为坐标原点，若存在实数λ，μ使得OA OP OB λμ=+成立，则λμ-的最小值是（ ）A ．1 BC ．2e 1e -+D ．()22e 1e-+5．在平面内，定点A ，B ，C ，O 满足||||||OA OB OC ==，2OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅=-，动点P ，Q 满足1AP =，PQ QC =，则2437BQ -的最大值是（ ）．A ．12B ．6C ．D ．6．如图梯形ABCD ，AB CD ∥且5AB =，24AD DC ==，E 在线段BC 上，0AC BD ⋅=，则AE DE ⋅的最小值为1595157．若2a b c ===，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则a b c +-的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[0,2]C ．2,2]D ．2,2]8．已知平面向量()1,2,...,6k a k =满足：()1,2,...,6k a k k ==，且126...0a a a +++=，则()()1256a a a a +⋅+的最大值是（ ）A ．9B ．10C ．12D ．149．已知C ，D 是半径为1的圆O 上的动点，线段AB 是圆O 的直径，则AC BD ⋅的取值范围是（ ）A ．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]2,0-C ．14,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]4,0-10．已知平面向量a ，b ，c ，对任意实数x ，y 都有a xb a b -≥-，a yc a c -≥-成立．若2a =，则()b c a ⋅-的最大值是（ ）A ．12B C ．2D 111．在ABC 中，2AB =，3AC =，4BC =，若点M 为边BC 所在直线上的一个动点，则432MA MB MC ++的最小值为（ ）A ．B ．C ．8D ．212．梯形ABCD 中AB 平行于CD ,2,1,4AB CD DAB π==∠=，P 为腰AD 所在直线上任意一点，则32PB PC +的最小值是（ ）A ．B ．C ．4D ．13．已知1F 、2F 是椭圆22143x y+=的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以1PF 为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则12QF QF ⋅=A ．B ．4C ．3D ．114．如图，在等腰梯形ABCD 中，3BC =，45C ∠=︒，高为a ，E 为AD 的中点，P 为折线段C D A --上的动点，设BE BP ⋅的最小值为()f a ，若关于a 的方程()1f a ka =-有两不等实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．711,23⎛⎫⎪⎝⎭B ．7,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．11,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．)+∞15．已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．x 2212y -=1B ．22134x y -=C ．221169x y -=D ．221916x y -=16．已知单位向量a ，b 满足22a b -=，若存在向量c ，使得()()20c a c b -⋅-=，则c 的取值范围是（ ）A ．1⎤⎥⎣⎦B ．-⎣⎦C ．1⎤-+⎥⎣⎦D ．1⎤⎦17．记{},,max ,,.a a b a b b a b ⎧=⎨<⎩在AOB 中，90,AOB P ∠=︒为斜边AB 上一动点．设max{,}M OP OA OP OB =⋅⋅，则当M 取最小值时，||||AP PB =（ ）A B ．||||OA OBC ．2||||OA OB ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3||||OA OB ⎛⎫ ⎪⎝⎭18．已知单位向量,a b ，且0a b ⋅=，若[0,1]t ∈，则5|()|(1)()12t b a a b t a b -+++--的最小值为（ ）A ．12B ．1312C D ．119．在ABC 中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，O 为ABC 的外心，且有3AB BC AC +=，sin (cos cos sin 0C A C A +=，若AO x AB y AC =+，,x y R ∈，则x y -=A ．2-B ．2C D ．20．已知向量a ，b 满足||2a =，4a b ⋅=，且对任意的0x ≠，||a xb -的最小值为1，向量c 满足||1c b -=，记1I a c =⋅，2I b c =⋅，则下列说法正确的是（ ）． A ．存在c ，使得10I = B ．存在c ，使得12I I = C ．对任意的c ，恒有12I I <D ．对任意的c ，恒有12I I >21．已知ABC 中，3AB =，4AC =，3BAC π∠=，I 是BAC ∠的平分线上一点，且AI =若ABC内（不包含边界）的一点D 满足12ID xAB AC =+，则实数x 的取值范围是 A ．11,312⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．11,26--⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭22．定义域为[],a b 的函数()y f x =的图象的两个端点为A ､B ，(),M x y 是()f x 的图象上任意一点，其中()1x a b λλ=+-，([]0,1λ∈)，向量()1ON OA OB λλ=+-，若不等式MN k ≤恒成立，则称函数()f x 在[],a b 上“k 阶线性近似”.若函数1y x x=-在[]1,2上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为A ．32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．32⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭C ．[)0,+∞D ．[)1,+∞23．已知D 、E 、F 分别是ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且满足34AE AC =，23AF AB =，||cos ||cos AB ACAD AB B AC C λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，sin cos ||||BD B AD B DF BD AD μ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(,)R λμ∈DE DA DE DC ⋅=⋅，则||||EF BC =（ ）A ．12B ．23C ．2D 24．已知a ，b 是非零向量，若对任意的实数t ，有1||2b ta b a +≥+，则（ ） A ．||||a a b >+ B ．||||a a b <+C ．||||b a b >-D ．||||b a b <-25．设圆M ，圆N 的半径分别为1，2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M ，圆N 上的两动点，则PA PB ⋅的取值范围是（ ）A ．18,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．316,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]8,1- D ．[]16,1-26．已知1a b ==，12a b ⋅=，(),1c m m =-，(),1d n n =-(m ，n R ∈).存在a ，b ，对于任意实数m ，n ，不等式a c b d T -+-≥恒成立，则实数T 的取值范围为A ．(-∞ B ．)+∞C ．(-∞D ．)+∞27．在三角形OAB 中，M 、N 分别是边OA 、OB 的中点，点R 在线段MN 上（不含端点），且OR xOA yOB =+，则代数式ln x ey +的最大值为（ ）A ．22e- B ．21e-C ．12e - D ．22e -28．在ABC 中，已知9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABCS=，P 为线段AB 上的一点，且CA CB CP x y CACB=⋅+⋅，则11x y+的最小值为A ．712+B ．12C ．43D ．512+29．已知单位向量e ，向量(1,2)i b i =，满足i i e b e b -=⋅，且12xb yb e +=，其中1x y +=，当12||b b -取到最小时，12b b ⋅=A ．0B ．1C D ．1-30．已知M 是函数()ln f x x =图象上的一点，过M 作圆2220x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，则MA MB ⋅的最小值为（ ）A ．3B ．1-C ．0D ．32-二、多选题31．下列说法正确的是（ ）A ．若非零向量0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 为等边三角形 B ．已知,,,OA a OB b OC c OD d ====，且四边形ABCD 为平行四边形，则0a bc d +--= C ．已知正三角形ABC 的边长为圆O 是该三角形的内切圆，P 是圆O 上的任意一点，则PA PB ⋅的最大值为1D ．已知向量()()()2,0,2,2,2cos OB OC CA αα===，则OA 与OB 夹角的范围是5,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦32．在OAB 中，4O OC A =，2O OD B =，AD 、BC 的交点为M ，过M 作动直线l 分别交线段AC 、BD 于E 、F 两点，若OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则λμ+的不可能取到的值为（ ）A ．27+B ．37+C ．37+ D ．47+33．如图，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O 且三组对边分别平行，点,A B 是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P 在“六芒星”上（内部以及边界），若OP xOA yOB =+，则x y +的取值可能是（ ）A ．6-B ．1C ．5D ．934．在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，如图，则下列等式成立的是( )A ．2AC AC AB =⋅B ．2BC BA BC =⋅C ．2AB AC CD =⋅D ．()()22AC AB BA BC CDAB⋅⨯⋅=三、填空题35．半径为2的圆O 上有三点A 、B 、C 满足0OA AB AC ++=，点P 是圆内一点，则PA PO PB PC ⋅+⋅的取值范围为______36．已知||||1OA OB ==，若存在,m n R ∈，使得mAB OA +与nAB OB +夹角为60，且()()12mAB OA nAB OB +-+=，则AB 的最小值为___________.37．已知ABC 是边长为2的正三角形，平面上两动点O 、P 满足123OP OA OB OC λλλ=++（1231λλλ++=且1λ、2λ、30λ≥）．若1OP=，则OA OB ⋅的最大值为__________．38．在ABC 中，2AB =，AC =135BAC ∠=︒，M 是ABC 所在平面上的动点，则w MA MB MB MC MC MA =⋅+⋅+⋅的最小值为________．39．已知1e ，2e 是平面内两个夹角为23π的单位向量，若()()12222a te t e t R =+-∈，则12222e e a a e +-+-的最小值为________.40．已知三点,,T P Q 到点()1,0D 的距离都是它到直线:3l x()2,OT OP OQ R λμλμ=+∈，当直线OP 与OQ 的斜率之积为23-（其中O 为坐标原 点）时，则点(),N λμ与点,G H ⎛⎫⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的距离之和NG NH +的值为____________41．已知平面向量,,,a b c d 满足：||||2,8a b a b a c ==⋅=⋅=.若对满足条件的任意c ，||d c -的最小值恰为||d a -.设d xa yb =+，则2x y +的最大值为_______________________.42．已知平面向量a ，b ，c ，d 满足1a b c ===，10a ba cbc a d-⋅⋅=⋅=>⋅，0c d ⋅=，若平面向量s xa yb =+（,0x y >且1xy=），则2s c s d++-的最小值是______.43．已知非零向量OP 、OQ 不共线，设111mOM OP OQ m m =+++，定义点集FP FM FQ FM A F FP FQ ⎧⎫⋅⋅⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，若对于任意的3m ≥，当1F 、2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12F F k PQ ≤恒成立，则实数k 的取值范围为________.44．圆M 的方程为()()()2225cos 5sin 1x y R θθθ--+-=∈，圆C 的方程为()2224x y -+=，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ，则PE PF ⋅的最小值为__________.45．在平面凸四边形ABCD 中，2AB =，点M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，且1MN =，若，()32MN AD BC ⋅-=，则AB CD ⋅的值为________.46．给出以下几个结论： ①若0a b >>，0c <，则c c a b<； ②如果b d ≠且,b d 都不为0，则111221n n nn n n nd b d db db dbb d b++----+++⋅⋅⋅++=-，*n N ∈； ③若1e ，2e 是夹角为60的两个单位向量，则122a e e ，1232be e 的夹角为60；④在ABC 中，三内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则()22cos cos c a B b A a b -=-； 其中正确结论的序号为______．47．在ABC ∆中，D 是BC 的中点，H 是AD 的中点，过点H 作一直线MN 分别与边AB ，AC 交于,M N ，若,AM x AB AN y AC ==，其中,x y R ∈，则4x y +的最小值是_____．48．如图，在ABC 中，13B BCD →→=，点E 在线段AD 上移动（不含端点），若AE AB AC λμ→→→=+，则12λμ+的取值范围是_____．49．在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点,P M 满足1AP PM MC ==，则2BM 的最大值为________.50．在△ABC 中，12BD DC =，AE EB =，点F 为△ADC 内（包括边界）任意一点，若EF EB ED λμ=+，则2λμ-的取值范围为________【挑战满分】压轴小题3：平面向量答案解析1．D 【分析】由题设知a ，b 的夹角为23π，又,3πa c b c <-->=，若,,OA a OB b OC c ===，则,,,O A C B 四点共圆或,,A C B 在以O 为圆心的圆上，求两种情况下c 的最值，再确定其最大值即可. 【解析】由12a b ⋅=-，知：a ，b 的夹角为23π，又,3πa c b c <-->=，∴若,,OA a OB b OC c ===，即23AOB π∠=，3ACB π∠=，1、如上图，当,,,O A C B 四点共圆，而222||||()23AB b a b a b a b a =-=-=-⋅+=，设圆的半径为R ，则||22sin AB R ACB==∠，即1R =∴当且仅当OC 为圆的直径时，有最大值||||22OC c R ===.2、如上图，当,,A C B 在以O 为圆心的圆上，此时||||1OC c ==， 综上：c 的最大值为2. 故选：D. 【小结】将平面向量转化为点共圆，根据a ，b 的夹角为23π，又,3πa c b c <-->=，讨论位置关系，进而应用圆的性质确定c 的最大值. 2．B 【分析】作OA a =，OB b =，OC c =，取BC 的中点D ，连接OD ，分析出BOC 为等边三角形，可求得OD ，计算得出()()()()()22222ABC a ba c ab ac S ⎡⎤-⋅---⋅-=⎣⎦△，利用圆的几何性质求出ABC 面积的最大值，即可得出结果. 【解析】如下图所示，作OA a =，OB b =，OC c =，取BC 的中点D ，连接OD ， 以点O 为圆心，a 为半径作圆O ，1cos cos ,2b c BOC b c b c⋅∠=<>==⋅，0BOC π≤∠≤，3π∴∠=BOC ， 所以，BOC 为等边三角形，D 为BC 的中点，ODBC ，所以，BOC 的底边BC 上的高为2sin3OD π==，a b OA OB BA -=-=，OA OC a c CA --==，所以，()()cos a b a c BA CA AB AC AB AC BAC -⋅-=⋅=⋅=⋅∠，所以，()()()()()222222cos a b a c a b a c AB AC AB AC BAC ⎡⎤-⋅---⋅-=⋅-⋅∠⎣⎦()()22sin 2ABC AB AC BACS =⋅∠=△，由圆的几何性质可知，当A 、O 、D 三点共线且O 为线段AD上的点时，ABC 的面积取得最大值，此时，ABC 的底边BC 上的高h 取最大值，即max 43h AO OD =+=，则()max 122ABC S =⨯⨯=△因此，()()()()222a b a c a b a c ⎡⎤-⋅---⋅-⎣⎦的最大值为(24192⨯=.故选：B. 【小结】结论小结：已知圆心C 到直线l 的距离为d ，且圆C 的半径为r ，则圆C 上一点到直线l 距离的最大值为d r +. 3．D 【分析】根据题设中的等式可得3AOB π∠=或23AOB π∠=，所以OAB 外接圆C 的半径2R =，故A 的个数记为圆心(),C m n 的个数，根据O 到直线1yx =+的距离可判断出圆224x y +=上存在4个不同的点到直线1y x =+的距离为1，故可得正确答案.【解析】因为12122||a a b b +=2OA OB OA OB ⋅=⨯， 故1cos 2AOB∠=，故1cos 2AOB ∠=±， 而()0,AOB π∠∈，故3AOB π∠=或23AOB π∠=. 因为||AB =，故OAB 外接圆的半径R 满足2R =2R =. 故OAB 外接圆的圆心在圆224x y +=，设OAB 外接圆的圆心为(),C m n ，则,A B 为直线1y x =+与圆()()22:4C x m y n -+-=的两个交点， 故A 的个数即为圆心(),C m n 的个数.因为||AB =，故圆心(),C m n 到直线1y x =+的距离1d ==，因为O 到直线1y x =+的距离为2d =，而212->， 故圆224x y +=上存在4个不同的点到直线1y x =+的距离为1，故这样的点A 个数为4个. 故选：D.【小结】关键小结：根据向量数量积的坐标形式构建向量的等式关系，从而计算出三角形的外接圆的半径，再根据定弦长把点的存在性问题归结为外接圆的圆心的存在性问题. 4．D 【分析】设(),P x y ，由OA OP OB λμ=+把,λμ用x 表示出来，则得出λμ-关于x 的函数，再利用导数的知识求得其最小值． 【解析】解析：设(),P x y ，由OA OP OB λμ=+得21e x x λμλμ=+⎧⎨=-⎩，解得3e 3e 1e xxxx x λμ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，()31e1e xxx λμ--=++，记()()31e1e xxhx x -=++，则()()23e 30e x x x h x x --'=<+，所以()h x 单调递减， 所以()()()min 22e 11eh λμ--==+. 故选：D ． 【小结】本题考查向量共线的坐标表示，考查用导数求函数的最值．解题关键是由向量线性运算把λμ-表示为x 的函数．5．A 【分析】可证明点O 是△ABC 的垂心，又点O 是△ABC 的外心，可知△ABC 是正三角形，则201AOB BOC AOC ︒∠=∠=∠=，进而建立直角坐标系，可求得2π43712sin()3BQ θ=-+，进而可求出最大值.【解析】0OA OB OB OC ⋅-⋅=，即()0OB OA OC OB CA ⋅-=⋅=，所以OB CA ⊥，同理可得OC AB ⊥，OA BC ⊥，所以点O 是△ABC 的垂心. 又||||||OA OB OC ==，所以点O 是△ABC 的外心，故△ABC 是正三角形，且201AOB BOC AOC ︒∠=∠=∠=， 建立如图所示的直角坐标系，||||cos1202OA OB OA OB ︒⋅==-，所以||||||2OA OB OC ===，则()0,2A ，()1B -，)1C-，设(),P x y ，由1AP =，可设cos ,2sin x y θθ==+，[)0,2πθ∈，因为PQ QC =，所以Q 为PC 的中点，所以1sin )2Q θ+， 则33cos 3sin (,)22BQ θθ+=，22233sin 2BQ θ⎛=+⎛⎫+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以222π4cos )(3sin )3712sin()3BQ θθθ=++=++，所以当π6θ=时，π12sin()3θ+取得最大值12，即22π43743712sin 3BQ BQ θ⎛⎫-=-=+ ⎪⎝⎭的最大值为12. 故选：A. 【小结】本题考查平面向量数量积的基本运算，考查平面向量在解决几何问题中的运用，考查学生的计算求解能力，属于难题. 6．B 【分析】先建系解得,D C 坐标，再设E 坐标，根据向量数量积列函数关系式，最后根据二次函数性质求最值. 【解析】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设(,),(2,),(0,0)D m n C m n m n +>>，因此22222221616{{,{(2,)(5,)03100m m n m n m n m n m n m n =+=+=∴+⋅-=+--==因此:5),5)BC y x y x =-=--，设(,5)),45,E x x x --≤≤所以(,5))(2,5)AE DE x x x x ⋅=--⋅----2(,5))(2,5)13110240x x x x x x =--⋅----=-+当55[4,5]13x =∈时，AE DE ⋅最小值为95.13选B. 【小结】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法. 7．D 【解析】如图所示：OA a =，OB b =，OC c =，OD a b =+ ∵()()0a c b c -⋅-≤，∴点C 在劣弧AB 上运动，a b c +-表示C 、D 两点间的距离CD ．CD 的最大值是BD ＝２，CD最小值为OD 22-=.故选D 8．C 【分析】设311232363415,,3,7,1,1b a a b a a b a a b b b →→→→→→→→→→→→=+=+=+≤≤≤，且1320b b b →→→→++=，构造图形如图所示，根据数量积的运算化简可得结果. 【解析】设311232363415,,3,7,1,1b a a b a a b a a b b b →→→→→→→→→→→→=+=+=+≤≤≤，且1320b b b →→→→++=，如图所示：则1313121111256712b b b b b b b a a a b a b →→→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫'=⋅≤⋅⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭≤-≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且等号可以取到. 故选：C.【小结】本题考查几何法解决向量的运算，考查数量积的运算，考查数形结合的能力，属于难题. 9．C 【分析】建立直角坐标系，设出,C D 坐标，求出,AC BD ，然后化简，利用三角函数知识即可求解出它的范围. 【解析】解：如图建立平面直角坐标系.设()cos ,sin ,D θθπθπ-≤≤，(),,,22CAB AC a b ππαα∠==-<<，则tan b a α=，22cos ,2cos sin a b ααα==.()()(),cos 1,sin cos sin AC BD a b a b a a θθθθθφ⋅=⋅-=+-=+-，其中1tan tan a b φα==，,222πππαφφ∴+=-<<，从而3322ππθφ-<+<. ()2AC BD a a θφ⋅=+-a ，最小值为：a .222112cos 2cos 2cos 2cos 22a αααα⎛⎫==-=--+⎪⎝⎭当3πα=时，取最大值12. 22112cos 2cos 2cos 22a ααα⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭，当0α=时，取最小值4-.故AC BD ⋅的取值范围是为14,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：C . 【小结】本题考查向量数量积的应用，考查转化思想和运算能力，建立直角坐标系，利用坐标运算时解答本题的关键，属于中档题. 10．A 【分析】设a OA =, b OB =,c OC =，由题意可得点,B C 在以OA 为直径的圆周上，设圆心为E ,作出图形，过E 作//ED AC ,交OC 于点D ,交圆于点N ,向量OB 在AC 上的投影的长等于向量OB 在EN 上的投影的长.所以向量OB 在EN 上的投影的长的最大值为DN （当,B N重合时取最大值.），设AOC θ∠=,则2sin ,sin 1sin ，DE DN AC θθθ===-， 则()22sin 1sin 2sin 2sin AC DN θθθθ⋅=-=-+，可得答案.【解析】设a OA =, b OB =,c OC =,则a b BA -=,a c CA -= 对任意实数x ，y 都有a xb a b -≥-，a yc a c -≥-成立 即对任意实数x ，y 都有a xb BA -≥，a yc CA -≥成立即BA OB ⊥，CA OC ⊥.所以点,B C 在以OA 为直径的圆周上.设圆心为E .()cos ，b c a OB AC AC OB AC OB ⋅-=⋅=⋅⋅ cos ，OB AC OB ⋅为向量OB 在AC 上的投影的长.过E 作//ED AC ,交OC 于点D ,交圆于点N ,如图,由OC AC ⊥，则OD EN ⊥ 所以向量OB 在AC 上的投影的长等于向量OB 在EN 上的投影.所以向量OB 在EN 上的投影的长的最大值为DN （当,B N 重合时取最大值.）.则()cos ，b c a OB AC AC OB AC OB AC DN ⋅-=⋅=⋅⋅≤⋅ 设AOC θ∠=,则2sin ,sin 1sin ，DE DN AC θθθ===-， 则()22sin 1sin 2sin 2sin AC DN θθθθ⋅=-=-+当1sin 2θ=时，AC DN ⋅有最大值12所以()b c a ⋅-的最大值以为12故选：A【小结】本题考查向量的数量积的最值问题，考查向量的几何意义，考查向量的投影的计算，属于难题. 11．D 【分析】以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立坐标系.由余弦定理可求出11cos 16ABC ∠=，结合同角三角函数的基本关系可求出sin 16ABC ∠=，从而可求出()0,0B ，()4,0C ，118A ⎛ ⎝⎭，设(),0M x ，用x 表示向量432MA MB MC ++的坐标，从而可求出432MA MB MC ++的表达式，进而可求出最小值.【解析】解：由余弦定理可知22222224311cos 222416AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===⋅⋅⨯⨯，所以sin ABC ∠===如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立坐标系，则()0,0B ，()4,0C ，设(),0M x ，因为1111cos 2168AB ABC ⋅∠=⨯=，sin 2AB ABC ⋅∠==则11,88A ⎛ ⎝⎭，所以11,88MA x ⎛=- ⎝⎭，(),0MB x =-，()4,0MC x =-，因为()()11274324982x x x x ⎛⎫-+-+-=-⎪⎝⎭，43020+⨯+⨯=所以274329,22MA MB MC x ⎛++=-⎝⎭， 则27432MA MB MC ⎛++= 227902x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，当32x =时等号成立，所以3154322MA MB MC ++≥， 故选:D.【小结】本题考查了余弦定理，考查了同角三角函数的基本关系，考查了向量的线性坐标运算，考查了向量模的坐标表示.本题的关键是通过建立坐标系，用一个未知数表示所求模长. 12．B 【分析】利用建系的方法，假设,==AD t AP m ，分别计算,PB PC 以及32+PB PC ，然后令2=-k m ，最后根据二次函数的性质可得结果. 【解析】依据题意，建立如图所示平面直角坐标系设,==AD t AP m ， 由4π∠=DAB ，所以(),,,,1,,2,0222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P m D C B则2222,,222⎛⎫⎛⎫=--=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭PB m m PC t所以32822⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭PB PC m m令2=-k m ，则()328,+=+PB PC k k所以()328PB PC k k +=++==当4k =-时，有min32+=PB PC故选：B 【小结】本题考查利用建系的方法解决向量的问题，本题关键在于采用建系，用坐标表示向量，几何问题代数化，便于计算，属难题. 13．C 【分析】利用向量的数量积运算可得()()22121QF QF QOQF ⋅=-，利用||QO QN NO =+，进一步利用椭圆的定义可转化为22a c -，进而得解. 【解析】连接2PF ,设椭圆的基本量为,,a b c ，()()()()2212121QF QF QO OF QO OF QO QF ⋅=+⋅+=-, ()221222222322PF PF QN NO c c a c b ⎛⎫=+-=+-=-== ⎪⎝⎭故答案为：3.【小结】本题考查椭圆的定义与平面向量的数量积的运算，属中档题，关键是利用向量的数量积运算进行转化，并结合椭圆的定义计算. 14．A 【分析】先以B 为坐标原点，BC 为x 轴，建立直角坐标系，设P 的横坐标为x ，将BE BP ⋅用x 表示分段表示出来，再求最小值()f a ，再对()1f a ka =-有两不等实根变形，可转化为两函数有两个交点，数形结合，求出a 的取值范围. 【解析】解：以B 为坐标原点，BC 为x 轴，建立直角坐标系如图所示:则3(,)2E a ，BM QC a ==，32MQ a =-，302a <<， 设P 的横坐标为x ，则3a x ≤≤当3a x a ≤<-时，P 在AD 上动，(,)P x a ，则BE BP ⋅232x a =+ 当x a =时，BE BP ⋅的最小值()232f a a a =+； 当33a x -≤≤，时，P 在CD 上动，则(,3)P x x -， 则BE BP ⋅3(3)2x x a =+-3232a x a -=+， 当3x a =-时，BE BP ⋅的最小值()23922f a a a =-+ 又23()2a a +-239()22a a -+9302a =-<， 故()232f a a a =+，3(0,)2a ∈，又()1f a ka =-有两不等实根，则2312a a ka +=-在3(0,)2a ∈有两不等实根，则132k a a =++在3(0,)2有两不等实根，则y k =与y =132a a ++，3(0,)2a ∈有两个交点.当1a =时，y =132a a ++有最小值为72，当0a →时，y →+∞，当32a →时，113y →，则y =132a a ++，3(0,)2a ∈的图象如图所示，即方程()1f a ka =-有两不等实根有：71123k <<. 故选：A 【小结】本题考查了平面向量及应用，方程根的存在性及个数判断，是方程、向量、不等式的综合应用，还考查了分析推理能力，运算能力，分类讨论思想，数形结合思想，难度较大. 15．D 【分析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可得1||22AF a c =+，再由三角形的余弦定理，可得35c a =，45c b =，即可判断出所求双曲线的可能方程． 【解析】解：由题可知，1212F A F F F A →→→=-+，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，即为2221210F F F F A F F A →→→→⎛⎫+⋅ ⎛⎫-+⎪⎝ ⎭⎪⎭=⎝，可得21222F AF F →→=，即有221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可知122AF AF a -=， 可得1||22AF a c =+， 由于过F 2的直线斜率为247， 所以在等腰三角形12AF F 中，2124tan 7AF F ∠=-， 则217cos 25AF F ∠=-， 由余弦定理得：22221744(22)cos 25222c c a c AF F c c+-+∠=-=，化简得：35c a =， 即35a c =，45b c =， 可得:3:4a b =，22:9:16a b =，所以此双曲线的标准方程可能为：221916x y -=.故选：D ． 【小结】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题． 16．C 【分析】由题意,设向量a ,b 的夹角为θ,由22a b -=化简求得1cos 4θ=，设(1,0)a OA →==,则1,(,)4b OB c OC x y →→⎛==== ⎝⎭,由()()20c a c b -⋅-=化简可知1(2)044x x y y ⎛⎛⎫--+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭即(,)C x y 在以9,88P ⎛ ⎝⎭为圆心,半径为1的圆上,由点与圆的位置关系分析可得||1||||1OP OC OP →-≤≤+即可得答案. 【解析】根据题意,设向量a ,b 的夹角为θ,若22a b -=, 则222(2)444a b a a b b -=-⋅+=, 即44cos 14θ-+=,解得:1cos 4θ=. 则在直角坐标系中,设(1,0)a OA →==,则1,,(,)44b OB c OC x y →→⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭,则有1(1,0),,(,)4A B C x y ⎛⎝⎭,若()()20c a c b -⋅-=,则有1(2)04x x y y ⎛⎛⎫--+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭,即2291042x y x y +-+=,变形可得: 22918x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭,点C 在以9,88⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭为圆心,半径为1的圆上,设9,88P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,则||2OP =,则有||1||||1OP OC OP →-≤≤+,61||12c -≤≤+,所以||c 的取值范围是1⎤-+⎥⎣⎦故选:C. 【小结】本题考查数量积的运算,将平面向量的模转化为点与圆的位置关系问题,属于较难题. 17．C 【分析】当OP AB ⊥时1M M =，讨论P 点位置，计算得到1M M ≥，得到OP AB ⊥时，M 取最小值，再利用射影定理计算得到答案. 【解析】当OP OA OP OB ⋅=⋅，即0OP AB ⋅=，亦即OP AB ⊥，此时计P 点位置为1P ，1M M =， 当P 在1AP 上时，1111cos cos M OP OA OP OA AOP OP OA AOP OP OA M ≥⋅=⋅∠>⋅∠=⋅=；当P 在1BP 上时，1111cos cos M OP OB OP OB BOP OP OB BOP OP OB M ≥⋅=⋅∠>⋅∠=⋅=；故OP AB ⊥时，M 取最小值，根据直角三角形的射影定理，可得222||||||||||||||||||AP AP PB OP OA PB PB PB OB ⎛⎫⎛⎫⋅=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：C ．【小结】本题考查了向量数量积的最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定OP AB ⊥时，M 取最小值是解题的关键. 18．B 【分析】根据题意可设(1,0)a =,(0,1)b =,则5|()|(1)()12t b a a b t a b -+++--可化简整理为其可理解为动点(,)t t 到两定点7(0,1),1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离之和,因此根据其几何意义即可求出最值. 【解析】由题知,a b 是单位向量,且0a b ⋅=, 故不妨取(1,0)a =,(0,1)b =, 设5|()|(1)()12T t b a a b t a b =-+++-- 5(1,1)(1,0)0,(1)(1,1)12t t ⎛⎫=⋅-+++-- ⎪⎝⎭==设(,)P t t ,(0,1)A ,71,12B ⎛⎫⎪⎝⎭, 则T 表示动点(,)P t t 到两定点7(0,1),1,12A B ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和,所以||||||T PA PB AB =+=1312=, 故选:B. 【小结】本题考查平面向量的运算､平面向量的数量积与模长.解决此类题的关键:一是特取法,根据题设条件,选择满足题意的向量,即可简化求解过程;二是借形解题,即利用函数所表示的几何意义,结合图象的直观性,可快速求得最值. 19．A 【分析】由3AB BC AC +=，利用正弦定理得到3c a +=，再由sin (cos cos sin 0C A C A +=，运用三角函数的和角公式和正弦定理得到b =，进而得到a c =，然后利用余弦定理，求得角B ，A ，C ，再由AO x AB y AC =+的两边点乘,AB AC ，运用平面向量数量积的定义和性质，得到x ，y 的方程组求解. 【解析】因为AB BC AC +=，所以3c a +=，又因为sin (cos cos sin 0C A C A -+=，所以sin cos cos sin C A C A C +=，所以()sin C A C +=，所以sin B C =，即b =， 所以a c =，所以222222231cos 222a cbc c c B ac c +-+-===-， 所以120,30B A C ===， 如图所示：由正弦定理得：12sin cR AO c C===，因为AO x AB y AC =+，则2x AO AB AB AB A y C ⋅=+⋅，所以22221c c x =+， 即231x y +=，则2AO AC xAB AC yAC ⋅=⋅+， 所以22223323x c c y c =+， 即21x y +=，1,1x y =-=， 2x y -=-.故选：A. 【小结】本题主要考查正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数，平面向量的数量积的定义和性质，还考查了运算求解的能力，属于难题. 20．C 【分析】首先根据题中条件得到a ，b 的夹角的大小，然后建立坐标系，利用向量的坐标运算求解． 【解析】记a ，b 的夹角为θ，由||2a =，4a b ⋅=，得||cos 2b θ=，所以cos 0θ>．因为对任意的0x ≠，||a xb -的最小值为1，则||sin 1a θ=，所以6πθ=，43||b =． 记OA a =，OB b =，OC c =，以O 为坐标原点，OA 为x 轴正方向建立平面直角坐标系，则(0,0)O ，(2,0)A ，2,3B ⎛⎝⎭．由||1c b -=，可设2cos ,sin 3C αα⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，则142cos 0I a c α=⋅=+>，2162cos 33I b c αα=⋅=++⋅，则214033I I α-=+>， 故选：C ． 【小结】本题主要考查向量的数量积与向量的几何意义，考查化归与转化思想、数形结合思想．试题围绕平面向量的有关知识设题，可通过选择基底表示出向量的数量积，或是建立坐标系求解，将向量知识迁移到几何情境中考查，重点考查直现想象、数学运算的核心素养．求解有关平面向量的问题时，若考生能用数形结合的方法，往往可以达到事半功倍的效果，从而快速解题． 21．A 【分析】将向量,AB AC 归一化可得1134AI AB AC =+，结合向量的线性运算可得1334AD x AB AC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由等和线性质可知，11034x <+<，从而可求出实数x 的取值范围. 【解析】 解：设,34AB AB AC ACi j ABAC====，则1,1i j ==，且,60i j BAC =∠=︒， 所以()2211211cos603i jAI +=++⨯⨯⨯︒==，即1134AI AB AC =+， 因为111222ID xAB AC AD AI xAB AC AD xAB AC AI =+⇒-=+⇒=++，所以1111323434AD x AB AC AB AC x AB AC ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭， 由等和线性质得11034x <+<，解得11312x -<<-. 故选:A. 【小结】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的数量积运算，考查了等和线性质.本题的关键是以,AB AC 为基底表示出AD .本题的难点在于用,AB AC 表示出向量AI . 22．A 【分析】由题意易知点M ，N 的横坐标相等，MN k ≤恒成立，即max k MN ≥，将恒成立问题转化为函数的最值问题，进而求解. 【解析】由题意知，点M ，N 的横坐标相等，由MN k ≤恒成立，即max k MN ≥， 因为向量()1ON OA OB λλ=+-，所以点A ､B ､N 三点共线. 由N 在线段AB 上，得1,0A ，32,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因此AB 的方程为()312y x =-，由图象可知：()13311222x MN x x x x ⎛⎫=---=-+ ⎪⎝⎭32≤32k ≥故选：A . 【小结】本题考查函数与方程的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 23．D 【分析】如图，由||cos ||cos AB ACAD AB B AC C λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可知0BC AD ⋅=，得到BC AD ⊥，由DE DA DE DC ⋅=⋅，可得()0DE DA DC DE CA ⋅-=⋅=，得到DE CA ⊥，由sin cos ||||BD B AD B DF BD AD μ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得0BA DF ⋅=，得到BA DF ⊥，连接EF ，可得,,,A E D F 四点共圆，因此AEF ADF ∠=∠，又B ADF ∠=∠，可得AEF ∆∽ABC∆，又34AE AC =，23AF AB =，可得AC AB =，即可得出EF BC . 【解析】 解：如图所示，因为||cos ||cos AB ACAD AB B AC C λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以cos cos 0cos cos cos cos AB BC B AC BC C AB AC BC AD BC AB B AC C AB B AC C λλ⎛⎫⎛⎫-⋅⋅ ⎪ ⎪⋅=+⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以BC AD ⊥，因为sin cos ||||BD B AD B DF BD AD μ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以sin cos sin cos 0BD BA cosB B AD BA sinB B BD B AD B BA DF BA BD AD BD AD μμ⎛⎫⎛⎫⋅-⋅ ⎪ ⎪⋅=+⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以BA DF ⊥， 因为DE DA DE DC ⋅=⋅，所以()0DE DA DC DE CA ⋅-=⋅=， 所以DE CA ⊥，连接EF ，因为DE CA ⊥，BA DF ⊥所以,,,A E D F 四点共圆，所以AEF ADF ∠=∠， 又因为BC AD ⊥，所以B ADF ∠=∠， 所以B AEF ∠=∠，所以AEF ∆∽ABC ∆，所以EF AE AFBC AB AC==, 因为34AE AC =，23AF AB =， 所以2334AB AC AB AC=，所以AC AB =，所以343=2AB EF BC AB = 所以2=2EF BC故选：D【小结】此题考查向量垂直和数量积的关系，四点共圆的判定与性质、相似三角形的判定与性质、向量共线定理等知识，考查了推理能力和计算能力，属于难题. 24．D 【分析】将目标式两边平方，根据向量数量积的运算，得到关于t 的一元二次不等式恒成立，由0≤，即可求得结果. 【解析】 因为12b ta b a +≥+，两边平方可得()2221204a t ab t a a b +⋅⨯--⋅≥恒成立， 因为0a ≠，故只需0≤，即()22214404a ba a ab ⎛⎫⋅---⋅≤ ⎪⎝⎭，整理得22102a a b ⎛⎫+⋅≤ ⎪⎝⎭，故只能是2102a a b +⋅=，即220a a b +⋅=. 两边同加2b ，则2222a a b bb +⋅+=，即()22a bb +=，解得a b b +=.故排除,A B .两边同加24b a b -⋅，则22224a a b b b a b -⋅+=-⋅，即()224a bb a b -=-⋅.故224a b b a b -=-⋅；因为220a a b +⋅=，则0,40a b a b ⋅-⋅，则容易得220a b b -->，则b a b <-.故选：D. 【小结】本题考查向量数量积的运算，涉及一元二次不等式恒成立的条件转化，属综合中档题. 25．C 【分析】连接MN 分别与两圆交于,E F ，连AE ，延长AP 交圆N 与C ，连CF ，可得//AE CF ， 2PC PA =，从而有12PA PB PB PC ⋅=-⋅，先固定PB ，根据向量数量积的定义，求出PC 在PB 上投影的最大值和最小值，再利用||PB 的范围，即可求解. 【解析】连接MN 分别与两圆交于,E F ，又两圆外切于点P ，,,P E F ∴三点共线，连AE ，延长AP 交圆N 与C ，连CF ， ,PE PF 分别为圆M ，圆N 的直径， ,,//PA AE PC CF AE CF ∴⊥⊥∴，又2,2PF PE PC PA =∴=，12PA PB PB PC ⋅=-⋅， 设G 为PB 中点，连GN ，先固定PB ，根据向量数量积的定义，当PC 在PB 同向投影最大值时C 为与GN 平行的圆切线的切点，记为图中的D 点，此时PD 在PB 投影1||||22PH PB =+ 1||||||2||2PB PC PB PD PB PH PB PB ⎛⎫∴⋅≤⋅=⋅=⋅+ ⎪⎝⎭21||2||162PB PB =+≤， 当且仅当||4PB =，等号成立，min max 1()()82PA PB PB PC ∴⋅=-⋅=-同理当PC 在PB 投影最小（在PB 反向上）时，C 为与GN 平行的圆切线的切点，记为图中的K 点，此时PK 在PB 投影12||2PB -， 1||2|2PB PC PB PK PB PB ⎛⎫⋅≥⋅=-⋅- ⎪⎝⎭2211||2||(||2)2222PB PB PB =---=≥-， 当且仅当||2PB =时，等号成立，max min 11()()(2)122PA PB PB PC ∴⋅=-⋅=-⨯-=，所以PA PB ⋅的数量积取值范围是[8,1]-. 故选：C.【小结】本题考查向量数量积的取值范围、向量数量积的几何意义，解题的关键是两圆变一圆，考查数形结合思想，考查直观想象能力，属于较难题. 26．A【分析】不等式a c b d T -+-≥恒成立，即求a c b d -+-最小值，利用三角不等式放缩+=+()a c b d a c b d a b c d -+-≥---+，转化即求+()a b c d -+最小值，再转化为等边三角形OAB 的边AB 的中点M 和一条直线上动点N 的距离最小值. 当M N ，运动到MN CD ⊥时且,OM ON 反向时，MN 取得最小值得解. 【解析】1a b ==，12a b ⋅=,易得,3a b π<>= 设,,,OA a OB b OC c OD d ====，AB 中点为M ，CD 中点为N 则,A B 在单位圆上运动，且三角形OAB 是等边三角形,(.1),(,1)1CD C m m D n n k ，CD 所在直线方程为10x y +-=因为a c b d T -+-≥恒成立，+=+()a c b d a c b d a b c d -+-≥---+,(当且仅当a c -与b d -共线同向，即a b +与c d +共线反向时等号成立)即求+()a b c d -+最小值.+()=()()a b c d OA OB OC OD -++-+=22=2OM ON NM -三角形OAB 是等边三角形，,A B 在单位圆上运动，M 是AB 中点，∴ M .又N 在直线方程为10x y +-=上运动，∴ 当M N ，运动到MN CD ⊥时且,OM ON 反向时，MN 取得最小值此时M 到直线10x y +-=的距离322MN232T NM故选：A 【小结】本题考查平面向量与几何综合问题解决向量三角不等式恒成立.平面向量与几何综合问题的求解坐标法：把问题转化为几何图形的研究，再把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． 27．D 【分析】根据平面向量基本定理，求得,x y 之间的关系式，构造函数，利用导数求其最大值即可. 【解析】根据题意，作图如下：设MR MN λ=，()0,1λ∈，故可得1122222OR OA AB OA OB λλλ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭， 故可得122x λ=-，2y λ=，则12x y +=，且1,0,2x y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则12y x =-，构造函数()1122h x lnx e x lnx ex e ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，则()1ex h x x ='-，令()0h x '=，解得1x e=， 故()h x 在区间10,?e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在区间11,2e ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 故可得()122maxeh x h e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 故选：D. 【小结】本题考查平面向量的基本定理，以及利用导数求函数的最值，属综合困难题；本题的关键在于寻找到,x y 之间的等量关系，且要注意参数的范围. 28．A 【分析】在ABC 中，设AB c =，BC a =，AC b =，结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求cos 0C =，可得2C π=，再由已知条件求得4a =，3b =，5c =，考虑建立以AC所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得4312x y +=，然后利用基本不等式可求得11x y+的最小值. 【解析】在ABC 中，设AB c =，BC a =，AC b =，sin cos sin B A C =，即()sin cos sin A C A C +=，即sin cos cos sin cos sin A C A C A C +=，sin cos 0A C ∴=，0A π<<，sin 0A ∴>，cos 0C ∴=，0C π<<，2C π∴=，9AB AC ⋅=，即cos 9cb A =，又1sin 62ABCSbc A ==，sin 4tan cos 3bc A a A bc A b∴===， 162ABCSab ==，则12ab =，所以，4312a b ab ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得43a b =⎧⎨=⎩，5c ∴==. 以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则()0,0C 、()3,0A 、()0,4B ，P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得()()()3,43,401AP AB λλλλλ==-=-≤≤， ()33,4CP CA CB λλ∴=+=-，设1CA e CA=，1C e B CB=，则121e e ==，()11,0e ∴=，()20,1e =，()12,CA CBCP x y xe ye x y CACB =⋅+⋅=+=，334x y λλ=-⎧∴⎨=⎩，消去λ得4312x y +=，134x y∴+=，所以，117773434121231211x y x y x x y y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2x y =时，等号成立，因此，11x y +712+. 故选：A. 【小结】本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解CA CA是一个单位向量，从而可用x 、y 表示CP ，建立x 、y 与参数的关系，解决本题的第二个关键点在于由33x λ=-，4y λ=发现。
专题16 平面向量(选填压轴题)(教师版)-2024年高考数学压轴专题复习
专题16 平面向量（选填压轴题）目录①向量模问题（定值，最值，范围） (1)②向量数量积（定值，最值，范围） (12)③向量夹角（定值，最值，范围） (21)④向量的其它问题 (27)①向量模问题（定值，最值，范围）A ．314B ．132【答案】C【详解】在ABC V 中，由BAC ∠=4．（2023春·江西赣州·高二统考期中）已知O 为坐标原点，0PA PC ⋅=，则O P 的最大值为（ ）A ．2B ．31+C ．2【答案】D【详解】因为2O C ≤，所以点C 在圆22:4O x y +=的内部或圆周上，又动点P 满足0PA PC ⋅=，当点C 在圆O 内时，延长AC 交圆则,,M A M P O N A D A M A =⊥<当点C 在圆O 上时，,M N 两点重合，所以AM AN ≤，当且仅当点C 在圆则O P O M M P O M A M ≤+=+因为O M A M O N M N A +≤++222||||||4ON AN OA +==，所以(,)c x y =的终点在以32⎛ ⎝所以1|2|22a c a c -=-，几何意义为由儿何意义可知22a c -=设OC c = ，则,C A a c C B =- 所以C 点在以AB 为直径的圆上运动，由2352c a c =⋅- ，得23()4c a - 因此O C 的终点C 在以点D 直线l ，于是c tb - 是圆D 上的点与直线所以min2c tbEF DE -==-=12．（2023·上海·高三专题练习）已知非零平面向量则b的最小值是【答案】5【详解】AC a = ，AD b =，AB c = )()0a c a ⋅-=r r r ，即CD CB ⋅=uu u r uu r 的中点O ，则有1122OC BD ==2b c +r r，根据三角形的三边关系可知不妨设(1,0),,e OE a OA b OB====，由π,6a e =知，点A 在直线3(3y x x =>由题意π,456b b e e --= ，可知4,5b e b e --记(4,0)C ，(5,0)D ，则π,6BC BD =，②向量数量积（定值，最值，范围）1．（2023春·山东青岛·高一校考期中）如图，在边长为2的等边ABC V 中，点E 为中线B DA ．316-B ．-【答案】B【详解】由已知，2BA = ，所以cos BA BC BA BC ⋅=∠由ABC ABD ACD S S S =+V V V ，所以1sin2bc 所以2()4bc b c bc =+≥，则16bc ≥π1A ．32-【答案】CA．-2B．【答案】B=【详解】由题意，A B A D ===，所以22BC DC BD∠=∠，即AC 所以ACB ACD7．（2023春·江苏徐州·高一统考期中）八边形是数学中的一种图形，由八条线段首尾相连围成的封闭图形，它有八条边、八个角．八边形可分为正八边形和非正八边形．中，点O为正八边形的中心，点P是其内部任意一点，则A．(22,422)-+-C．(2,4)【答案】A【详解】正八边形ABCDEFGHGF=，设OF x=，由余弦定理得，2△中，222OFG+-x x11．（2023春·山东淄博·高一统考期末）圆C ，D ，且2OC OD ⋅= ，则【答案】846+/468+【详解】因为点,C D 在圆O由三角函数定义知(2cos C 则(22cos ,22CA θ=--于是(22cos CA CB θ⋅=- 同理442sin (DA DB θ-⋅=设a MA =，b MB = ，c 若对任意实数x ，y 都有|则B ，C 在以M A 为直径的圆上，过b MB =在OD 上的射影最长为()b c a b AC DE ⋅-=⋅=⋅【答案】2【详解】设AG ADAE mAB λ⎧=⎪⎪=⎨，由向量共线的充要条件不妨设③向量夹角（定值，最值，范围）12OQ BQ BO BC BC μ=-=-= (cos 1OC OA OC OQ AOC OC OA ⋅⋅∠==④向量的其它问题1．（2023·北京西城·统考二模）在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点P 从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处．则点P 到达点(33,33)Q 所跳跃次数的最小值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】B【详解】每次跳跃的路径对应的向量为()()()()()()()()111122223,4,4,3,5,0,0,5,3,4,4,3,5,0,0,5a b c d a b c d =====--=--=-=-u r u r u r u r u u r u r u r u u r，因为求跳跃次数的最小值，则只取()()()()11113,4,4,3,5,0,0,5a b c d ====u r u r u r u r，设对应的跳跃次数分别为a b c d ,,,，其中,,,a b c d ∈N ，可得()()1111345,43533,33OQ aa bb cc dd a b c a b d =+++=++++=u u u r u r u r u r u r故选：B．3．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）在4．（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）已知2a b λ+ 与3a b λ+的夹角是锐角，则【答案】()(,61,-∞-- ()(6．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）的中点，直线A E 和直线C【答案】2【详解】记BA BG BA= ，BH =因为1BG BH ==，则平行四边形因为A 、E 、F 三点共线，则使得AF AE λ= ，即BF BA λ-= 因为E 为B C 的中点，所以，BF。
(压轴题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(包含答案解析)(1)
一、选择题1．如图，在ABC 中，AD AB ⊥，2AD =，3DC BD =，则AC AD ⋅的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．162．如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为( )A ．19B ．13C ．1D ．33．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝13BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．24．已知M 、N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则PM PN +的取值范围为（ ）A ．53,53+⎡⎣B ．103,103⎡-⎣C ．523,523-+⎡⎣D ．1023,1023-+⎡⎤⎣⎦5．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（ ）A ．(0,21⎤-⎦B ．(0,21⎤+⎦C ．21,21⎡⎤-+⎣⎦D ．)21,⎡-+∞⎣ 6．在平行四边形ABCD 中，3DE CE =，若AE 交BD 于点M .且AM AB AD λμ=+，则λμ=（ ） A ．23 B ．32 C ．34 D ．437．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，且6πθ=，已知对任意实数t ，b ta +的最小值为1，则b =（ ）A ．14B ．12C ．2D ．48．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则AE AF ⋅=（ ）A ．52B ．52-C ．4D ．4-9．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值，最小值分别是（ ）A ．42，0B ．4，42C ．16，0D ．4，010．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．2B ．8 km/hC ．34D ．10 km/h11．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ）A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定12．已知2a b ==，0a b ⋅=，()()0c a c b -⋅-=，若2d c -=，则d 最大值为（ ）A ．22B ．122+C ．222+D ．42 二、填空题13．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G ，作用在行李包上的两个拉力分别为1F ，2F ，且12F F =，1F 与2F 的夹角为θ.给出以下结论：①θ越大越费力，θ越小越省力；②θ的范围为[]0,π；③当2πθ=时，1F G =； ④当23πθ=时，1F G =. 其中正确结论的序号是______.14．在△ABC 中，D 为BC 中点，直线AB 上的点M 满足：32(33)()AM AD AC R λλλ=+-∈，则AMMB =__________．15．把单位向量OA 绕起点O 逆时针旋转120︒，再把模扩大为原来的3倍，得到向量OB ，点C 在线段AB 上，若12AC CB =，则OC BA ⋅的值为__________． 16．如图,在△ABC 中,13AN NC =,P 是BN 上的一点,若AP =m 211AB AC +,则实数m 的值为_____.17．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，圆M 为BCD △的内切圆，点P 为圆上任意一点， 且AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为________.18．在ABC ∆中，1AC BC ==，3AB =，且CE xCA =，CF yCB =，其中(),0,1x y ∈，且41x y +=，若M ，N 分别为线段EF ，AB 中点，当线段MN 取最小值时x y +=__________.19．如图所示，已知OAB ，由射线OA 和射线OB 及线段AB 构成如图所示的阴影区（不含边界）.已知下列四个向量：①12=+OM OA OB ； ②23143OM OA OB =+；③33145=+OM OA OB ；④44899=+OM OA OB .对于点1M ，2M ，3M ，4M 落在阴影区域内（不含边界）的点有________（把所有符合条件点都填上）20．设λ是正实数，三角形ABC 所在平面上的另三点1A 、1B 、1C 满足：()1AA AB AC λ=+，()1BB BC BA λ=+，()1CC CA CB λ=+，若三角形ABC 与三角形111A B C 的面积相等，则λ的值为_____. 三、解答题21．已知ABC 中C ∠是直角，CA CB =，点D 是CB 的中点，E 为AB 上一点．（1）设CA a =，CD b =，当12AE AB =，请用a ，b 来表示AB ，CE . （2）当2AE EB =时，求证：AD CE ⊥.22．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()()sin sin ,sin sin ,sin sin ,sin m B C A B n B C A =++=-，且m n ⊥.（1）求角C 的大小；（2）若3c =2a b +的取值范围.23．已知向量()1,2a =，(),1b x =.（1）若|2|||a b a b -=+，求实数x 的值；（2）若2x =，求2a b -与a b +的夹角.24．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上中点，点F 在边CD 上．（1）若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，设EF AB AD λμ=+，求λ+μ的值． （2）若AB ＝2，当AE BF ⋅=1时，求DF 的长．25．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a =（1）若||25c =，且//c a ，求c 的坐标；（2）若5||b =，且2 a b +与2a b -垂直，求a 与b 的夹角θ. 26．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(1,2)a =-，(1,)b k =．（1）若()a a b ⊥+，求实数k 的值； （2）若对于平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，求实数k 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】利用AB 、AD 表示向量AC ，再利用平面向量数量积的运算性质可求得AC AD ⋅的值.【详解】()3343AC AD DC AD BD AD AD AB AD AB =+=+=+-=-， AD AB ⊥，则0⋅=AD AB ，所以，()224344216AC AD AD AB AD AD ⋅=-⋅==⨯=.故选：D.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 2．A解析：A【解析】 因为2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭29mAB AC =+，设BP tBN =，而31()()(1)44AP AB BP AB t BC CN AB t BC AC t AB t AC =+=++=+-=-+，所以1m t =-且249t =，故811199m t =-=-=，应选答案A ． 3．C解析：C【分析】 根据向量的运算法则，求得12AM AD AB =+，2132MN AD AB =-+，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由题意，作出图形，如图所示： 由图及题意，根据向量的运算法则，可得12AM AD DM AD AB =+=+， 2132MN CN CM CB CD =-=-21213232BC DC AD AB =-+=-+， 所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21936334=-⨯+⨯=. 故选C ．【点睛】本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 4．B解析：B【分析】作出图形，可求得线段MN 的中点Q 的轨迹方程为2234x y +=，由平面向量加法的平行四边形法则可得出2PM PN PQ +=，求得PQ 的取值范围，进而可求得PM PN +的取值范围. 【详解】 由1MN =，可知OMN 为等边三角形，设Q 为MN 的中点，且3sin 602OQ OM ==Q 的轨迹为圆2234x y +=， 又()3,4P ，所以，33PO PQ PO -≤≤+，即3355PQ ≤≤+. 由平面向量加法的平行四边形法则可得2PM PN PQ +=，因此2103,103PM PN PQ ⎡+=∈+⎣.故选：B.【点睛】本题考查平面向量模长的取值范围的计算，考查了圆外一点到圆上一点距离的取值范围的计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.5．C解析：C【分析】法一：将A ,C 视为定点,根据A 、C 分别在 x 轴、y 轴上,得到垂直关系, O 是AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为圆心M ,根据圆心M 和BO 的位置关系即可得取值范围. 法二：设B 的坐标,根据2AC =,1BC =得到224a c +=,()221x y c +-=,整理式子至()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,利用均值不等式得出22OB x y d =+=,则212d d -≤即可算出距离的取值范围.【详解】解：法一：将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 取得最小值21-,O 在BM 的延长线上时,OB 取得最大值21+．故选:C法二：设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,()()2222222ax cy a c x y x y +≤++=+,取等号条件：ay cx =,令22OB x y d =+=,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,解得2121d -≤≤+．故选:C【点睛】本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题.6．B解析：B【分析】根据已知找到相似三角形，用向量AB 、AD 线性 表示向量AM .【详解】如图，平行四边形ABCD 中，3DE CE =，ABM EDM ，3322DE DC AB ∴==，()22223323555255AM ME AE AD DE AD AB AB AD ⎛⎫===+=+=+ ⎪⎝⎭. 32λμ= 故选：B【点睛】此题考查平面向量的线性运算，属于中档题.7．C解析：C【分析】由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+，由二次函数的性质可知，当22cos 62b a b t a a π⋅=-=-时，()g t 取得最小值1，变形可得22sin 16b π=，从而可求出b【详解】解：由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+， 因为2222224()44(cos1)06a b a b a b π∆=⋅-=-<， 所以()g t 恒大于零， 所以当232cos 622b b a b t a a a π⋅=-=-=-时，()g t 取得最小值1， 所以2223332122b b b g a a b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-+⋅-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得2114b =， 所以2b =，故选：C【点睛】此题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，考查转化思想和计算能力，属于中档题8．C解析：C【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即可.【详解】以点A 为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系(0,0),(2,1),(1,2)A E F(2,1),(1,2)AE AF ∴==21124AE AF ∴⋅=⨯+⨯=故选：C【点睛】本题主要考查了求平面向量的数量积，属于中档题.9．D解析：D【分析】利用向量的坐标运算得到|2|a b -用θ的三角函数表示化简求最值．【详解】解：向量()a cos sin θθ=，，向量()31b =-，，则2a b -=（2cosθ32sinθ+1）， 所以|2|a b -2＝（2cosθ3-2+（2sinθ+1）2＝8﹣3cosθ+4sinθ＝8﹣8sin（3πθ-）， 所以|2|a b -2的最大值，最小值分别是：16，0； 所以|2|a b -的最大值，最小值分别是4，0；故选：D ．【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性．10．A解析：A【解析】设客船在静水中的速度大小为 /v km h 静，水流速度为 v 水，则2/v km h =水，则船实际航行的速度v v v =+静水，60.160t h =，由题意得100.1AB v ≤=． 把船在静水中的速度正交分解为x y v v v 静=+， ∴0.660.1y v ==，在Rt ABC 中，221060.8BC =-=．． ∵80.1x x BCv v v v +=+==水水，∴826x v =-= ∴2262x yv v v 静=+=设v v 静水＜，＞＝θ，则tan 1yxv v θ==，∴2cos 2θ=．此时222272242410102v v v v v v v +=+⋅+=+⨯+=≤静水静静水水＝ ，满足条件，故选A.11．C解析：C 【分析】由0a b c ++=，可得2222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+，利用||||||a b c <<，即可比较． 【详解】解：由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+． 同理可得2222()bc a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ． 故选：C ． 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．12．C解析：C【分析】不妨设(2,0),(0,2)a b ==，设(,),(,)c m n d x y ==，则由()()0c a c b -⋅-=求出点(,)a b 满足的关系（点(,)C a b 在一个圆上），而2d c -=表示点(,)D x y 在以(,)C a b 为圆心，2为半径的圆上，d 表示该圆上的点到原点的距离，由几何意义可得解． 【详解】∵2a b ==，0a b ⋅=，∴不妨设(2,0),(0,2)a OA b OB ====，如图，设(,)c OC m n ==，(,)d OD x y ==，则()()(2,)(,2)(2)(2)0c a c b m n m n m m n n -⋅-=-⋅-=-+-=，即22(1)(1)2m n -+-=，∴点(,)C m n 在以(1,1)M 为圆心，2为半径的圆M 上， 又2d c -=，∴(,)D x y 在以(,)C a b 为圆心，2为半径的圆C 上， 则2d OC ≤+，当且仅当D 在OC 延长线上时等号成立， 又OC 的最大值是圆M 的直径22， ∴d 最大值为222+． 故选：C ．【点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，解题关键是引入坐标表示向量，用几何意义表示向量，求解结论．二、填空题13．①④【分析】根据为定值求出再对题目中的命题分析判断正误即可【详解】解：对于①由为定值所以解得；由题意知时单调递减所以单调递增即越大越费力越小越省力；①正确对于②由题意知的取值范围是所以②错误对于③当解析：①④. 【分析】根据12G F F =+为定值，求出()22121cos GF θ=+，再对题目中的命题分析、判断正误即可. 【详解】解：对于①，由12G F F =+为定值， 所以()2222121212cos 21cos G F F F F F θθ=++⨯⨯=+，解得(22121cos GF θ=+；由题意知()0,θπ∈时，cos y θ=单调递减，所以21F 单调递增， 即θ越大越费力，θ越小越省力；①正确.对于②，由题意知，θ的取值范围是()0,π，所以②错误. 对于③，当2πθ=时，2212GF =，所以12F G =，③错误. 对于④，当23πθ=时，221F G =，所以1F G =，④正确.综上知，正确结论的序号是①④. 故答案为：①④. 【点睛】此题考查平面向量数量积的应用，考查分析问题的能力，属于中档题14．1【解析】设∵D 为BC 中点所以可以化为3x=λ（）+（3-3λ）化简为（3x-λ）=（3-2λ）只有3x-λ=3-2λ=0时（3x-λ）=（3-2λ）才成立所以λ=x=所以则M 为AB 的中点故答案为1解析：1 【解析】设 AM AB λ=，∵D 为BC 中点，所以12AD AB AC （）=+,() 3233AM AD AC λλ=+- 可以化为3x AB =λ（AB AC +）+（3-3λ）AC ，化简为（3x-λ）AB =（3-2λ）AC ，只有3x-λ=3-2λ=0时，（3x-λ）AB =（3-2λ）AC 才成立，所以λ=32，x=12所以12AM AB =，则M 为AB 的中点 故答案为1点睛：本题考查向量的基本定理基本定理及其意义，考查向量加法的三角形法则，考查数形结合思想，直线AB 上的点M 可设成 AM AB λ=，D 为BC 中点可得出12AD AB AC （）=+，代入已知条件整理可得.15．【分析】由题意可得与夹角为先求得则再利用平面向量数量积的运算法则求解即可【详解】单位向量绕起点逆时针旋转再把模扩大为原来的3倍得到向量所以与夹角为因为所以所以故答案为【点睛】本题主要考查平面向量几何 解析：116-【分析】由题意可得3OB =，OA 与OB 夹角为120︒，先求得1(2)3OC OA AC OA OB =+=+，则1(2)()3OC BA OA OB OA OB ⋅=+⋅-，再利用平面向量数量积的运算法则求解即可. 【详解】单位向量OA 绕起点O 逆时针旋转120︒，再把模扩大为原来的3倍，得到向量OB ， 所以3OB =，OA 与OB 夹角为120︒， 因为12AC CB =，所以111()(2)333OC OA AC OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+-=+，所以()2211(2)()233OC BA OA OB OA OB OA OB OA OB ⋅=+⋅-=--⋅ 11291332⎡⎤⎛⎫=--⨯⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦116=-，故答案为116-. 【点睛】 本题主要考查平面向量几何运算法则以及平面向量数量积的运算，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）．16．【解析】由得设=n 所以+n=+n()=(1-n)=m 由n=得m=1-n= 解析：311【解析】由13AN NC =,得14AN AC =. 设BP =n BN ,所以AP AB BP AB =+=+n BN =AB +n (AN AB -)=(1-n )14AB nAC +=m 211AB AC +. 由14n=211,得m=1-n=311. 17．【分析】以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示由已知条件得出点坐标圆M 的方程设由得出再设（为参数）代入中根据三角函数的值域可求得最大值【详解】以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示因为在 解析：116【分析】以点B 为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，由已知条件得出点坐标，圆M 的方程，设(),P x y ，由AP AB AD λμ=+，得出134y x λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再设3cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），代入λμ+中，根据三角函数的值域，可求得最大值. 【详解】以点B 为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，因为在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，所以圆M 的半径为3+4512r -==， 所以()0,0B ，()0,3A ，()4,0C ，()4,3D，()3,1M ，圆M 的方程为()()22311x y -+-=，设(),P x y ，又AP AB AD λμ=+，所以()()(),30,34,0x y λμ-=-+，解得134y x λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又点P 是圆M 上的点，所以3cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），所以()1sin 3cos 517sin 1+1+34312124+y x θθβθλμ+=+--+=-=，其中3tan 4β=，所以，当()sin 1βθ-=时，λμ+取得最大值116， 故答案为：116.【点睛】本题考查向量的线性表示，动点的轨迹中的最值问题，属于中档题.18．【分析】根据平面向量的数量积运算求得的值再利用中线的性质表示出由此求得计算当的最小时的值即可【详解】解：连接如图所示：由等腰三角形中知所以∵是的中线∴同理可得∴又∴故当时有最小值此时故答案为：【点睛 解析：47【分析】根据平面向量的数量积运算求得CA CB 的值，再利用中线的性质表示出CM 、CN ，由此求得MN ，计算当||MN 的最小时x y +的值即可． 【详解】解：连接CM ，CN ，如图所示：由等腰三角形中，1AC BC ==，3AB =120ACB ∠=︒，所以1=2CA CB ⋅-.∵CM 是CEF ∆的中线，∴()()1122CM CE CF xCA yCB =+=+. 同理可得()1=2CN CA CB +. ∴()()111122MN CN CM x CA y CB =-=-+-， ()()()()222111111114224MN x x y y ⎛⎫=-+--⨯-+- ⎪⎝⎭， 又41x y +=，∴222131424MN y y =-+，(),0,1x y ∈. 故当17y =时，2MN 有最小值，此时3147x y =-=. 故答案为：47. 【点睛】本题考查了平面向量数量积公式及其运算性质问题，也考查了二次函数求最值的应用问题，属于中档题．19．①②④【分析】射线与线段的公共点记为根据平面向量基本定理可得到由在阴影区域内可得实从而且得出结论【详解】解：设在阴影区域内则射线与线段有公共点记为则存在实数使得且存在实数使得从而且又由于故对于①中解解析：①②④ 【分析】射线OM 与线段AB 的公共点记为N ，根据平面向量基本定理，可得到(1)ON tOA t OB =+-，由M 在阴影区域内可得实1r ≥，从而(1)OM rtOA r t OB =+-，且(1)1rt r t r +-=≥得出结论【详解】解：设M 在阴影区域内，则射线OM 与线段AB 有公共点，记为N ， 则存在实数(0,1]t ∈，使得(1)ON tOA t OB =+-，且存在实数1r ≥，使得OM rON =，从而(1)OM rtOA r t OB =+-，且(1)1rt r t r +-=≥．又由于01t ≤≤，故(1)0r t -≥． 对于①中1,(1)2rt r t =-=，解得313,r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故①满足条件． 对于②中31,(1)43rt r t =-=，解得139,1213r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故②满足条件， 对于③31,(15)4rt r t =-=，解得19,152019r t ==，不满足1r ≥，故③不满足条件， 对于④,(189)49rt r t =-=，解得,4133r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故④满足条件．故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理，向量数乘的运算及其几何意义，属于中档题．20．【分析】设的重心为点可知与关于点对称利用重心的向量性质可求得实数的值【详解】设的重心为点则由于和的面积相等则与关于点对称则解得故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的数乘运算和线性运算涉及三角形重心向解析：23【分析】设ABC ∆的重心为点G ，可知ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称，利用重心的向量性质可求得实数λ的值. 【详解】设ABC ∆的重心为点G ，则3AB AC AG +=，()13AA AB AC AG λλ∴=+=， 由于ABC ∆和111A B C ∆的面积相等，则ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称， 则12AA AG =，32λ∴=，解得23λ=. 故答案为：23. 【点睛】本题考查了平面向量的数乘运算和线性运算，涉及三角形重心向量性质的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）2AB b a =-，12CE a b =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出2CB b =，利用AB CB CA =-与12CE CA AB =+化简可得答案； （2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设()0,A a ， 求出,2a AD a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 可得0AD CE ⋅=，进而可得答案.【详解】（1）∵CA a =，CD b =，点D 是CB 的中点， ∴2CB b =，∴2AB CB CA b a =-=-，∵()1112222CE CA AE a AB a b a a b =+=+=+-=+. （2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设()0,A a ，∴B 点坐标为(),0a ，另设点E 坐标为(),x y ，∵点D 是CB 的中点，∴点D 坐标为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭， 又∵2AE EB =，∴()(),2,x y a a x y -=--，∴23a x =，3ay =， 所以,2a AD a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()20233a a aAD CE a ⋅=⨯+-⨯=， ∴AD CE ⊥.【点睛】方法点睛：平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用． 22．（1）2C 3π=；（2）(323，.【分析】（1）根据向量m n ⊥得到22sin sin (sin sin )sin 0B C A B B -++=，再由正弦定理将边化为角的表达式，结合余弦定理求得角C 的值．（2）利用正弦定理求的△ABC 的外接圆半径，将2a b +表示成A 与B 的三角函数式，利用辅助角公式化为角A 的函数表达式；再由角A 的取值范围求得2a b +的范围． 【详解】 （1）∵m n ⊥ ∴0m n ⋅=∴22sin sin (sin sin )sin 0B C A B B -++= ∴222c a b ab =++ ∴1cos 2C =- 又()0,C π∈ . ∴23C π=.（2）∵23C π=，c = ∴△ABC 外接圆直径2R=2∴24sin 2sin a b A B +=+4sin 2sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭4sin sin A A A =+-3sin A A =6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴,662A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴1sin ,162A π⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2a b + 的取值范围是 .【点睛】本题考查了向量垂直的坐标表示，正弦定理、余弦定理的综合应用，辅助角公式化简三角函数表达式，知识点多，较为综合，属于中档题． 23．（1）12；（2）4π． 【分析】（1）求出向量2a b -与a b +的坐标，然后由模的坐标运算列出方程可求得x ； （2）求出向量2a b -与a b +的坐标，由向量夹角的坐标运算计算． 【详解】（1）因为()1,2a =，(),1b x =， 所以()22,3a b x -=-，()1,3a b x +=+. 因为|2|||a b a b -=+，=解得12x =. （2）当2x =时，()20,3a b -=，()3,3a b +=， 所以()()203339a b a b -⋅+=⨯+⨯=，23a b -=，32a b +=.设2a b -与a b +的夹角为θ.则(2)()cos |2|||332a b a b a b a b θ-⋅+===-⋅+⋅. 又[]0,θπ∈，所以4πθ=，即2a b -与a b +的夹角为4π. 【点睛】 本题考查向量模的坐标运算，考查向量夹角的坐标运算，掌握向量的坐标运算是解题基础．24．（1）16；（2）32． 【分析】（1）先转化得到13CF AB =-，12EC AD =，再表示出1132EF AB AD =-+，求出λ13=-，μ12=，最后求λ+μ的值； （2）先得到12AE AB AD =+和0AB AD ⋅=，再建立方程421λ-+=求解λ14=，最后求DF 的长.【详解】 （1）∵点E 是BC 边上中点，点F 是CD 上靠近C 的三等分点，∴1133CF DC AB =-=-，1122EC BC AD ==， ∴1132EF EC CF AB AD =+=-+， ∴λ13=-，μ12=， 故λ+μ111326=-+=. （2）设CF =λCD ，则BF BC CF AD =+=-λAB ，又12=+=+AE AB BE AB AD ，AB AD ⋅=0， ∴AE BF ⋅=（12AB AD +）•（AD -λAB ）＝﹣λAB 2212AD +=-4λ+2＝1， 故λ14=， ∴DF ＝（1﹣λ）×232=． 【点睛】 本题考查利用向量的运算求参数，是基础题25．（1）(2,4)或(2,4)--；（2）π.【分析】（1）根据共线向量的坐标关系运算即可求解；（2）由向量垂直及数量积的运算性质可得52a b ⋅=-，再利用夹角公式计算即可. 【详解】（1）设(,)c x y =，||25c =且//c a ， 222020x y x y ⎧+=∴⎨-=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩， (2,4)c ∴=或(2,4)c =--；（2）由 已知得(2)(2),(2)(2)0a b a b a b a b +⊥-∴+⋅-= ，即2252320,253204a ab b a b +⋅-=∴⨯+⋅-⨯=， 整理得52a b ⋅=-，cos 1||||a b a b θ⋅∴==-， 又[0,π]θ∈，πθ∴=.【点睛】本题主要考查了共线向量的坐标运算，数量积的运算，夹角公式，属于中档题. 26．（1）2k =-；（2）2k ≠-．【分析】（1）根据向量垂直，其数量积等于0，利用向量数量积公式得到对应的等量关系式，求得结果；（2）平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，其等价结果为向量(1,2)a =-和向量(1,)b k =是两个不共线向量，根据坐标关系得到结果.【详解】（1）若()a a b ⊥+，则有()0a a b ⋅+=，即20a a b +⋅=，又因为(1,2)a =-，(1,)b k =，所以222[(1)2](1)120a a b k +⋅=-++-⋅+=，即5120k -+=，解得2k =-；（2）对于平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，所以向量(1,2)a =-和向量(1,)b k =是两个不共线向量，所以121k -⋅≠⋅，即2k ≠-，所以实数k 的取值范围是2k ≠-.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，平面向量基本定理，一组向量可以作为基底的条件，属于基础题目.。
平面向量经典练习题(含答案)
高中平面向量经典练习题【编著】黄勇权一、填空题1、向量a=（2，4），b=（-1，-3），则向量3a-2b的坐标是。
2、已知向量a与b的夹角为60°，a=（3，4），|b | =1，则|a+5b | = 。
3、已知点A（1，2），B（2，1），若→AP=（3，4），则→BP= 。
4、已知A（-1，2），B（1，3），C（2，0），D（x，1），若AB与CD共线，则|BD|的值等于________。
5、向量a、b满足|a|=1，|b|= 2 ，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为________。
6、设向量a，b满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6 ，则a·b＝。
7、已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是。
8、在△ABC中，D为AB边上一点，→AD =12→DB，→CD =23→CA + m→CB，则m= 。
9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥（2a+b），则a与b的夹角是。
10、在三角形ABC中，已知A（-3，1），B（4，-2），点P（1，-1）在中线AD上，且→AP= 2→PD，则点C的坐标是（）。
二、选择题1、设向量→OA=（6，2），→OB=（-2，4），向量→OC垂直于向量→OB，向量→BC平行于→OA，若→OD +→OA=→OC，则→OD坐标=（）。
A、（11，6）B、（22，12）C、（28，14）D、（14，7）2、把A（3,4）按向量a（1,-2）平移到A',则点A'的坐标（）A、（4 , 2）B、（3，1）C、（2，1）D、（1，0）3、已知向量a，b，若a为单位向量, 且 | a| = | 2b| ,则（2a+ b）⊥（a-2b），则向量a与b的夹角是（）。
A、90°B、60°C、30°D、0°4、已知向量ab的夹角60°，| a|= 2，b=（-1，0），则| 2a-3b|=（）A、 15B、 14C、 13D、 115、在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|2·→0C ＋→CD|＝4，则,|→BC+→CD|＝______.A、12B、8C、4D、26题、7题、8、若向量a＝(3,4)，向量b＝(2,1)，则a在b方向上的投影为________．A、2B、4C、8D、169题、10、已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则→AE·→BD＝.A、-1B、1C、-2D、2三、解答题1、在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，求→AB·→AC的值。
新高考高中数学 名师预测 考前押题精品 平面向量(选择与填空)(解析版)
精选04 平面向量（选择与填空）1．向量共线：对于向量a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），若存在实数λ，使a =λb ，则a 与b 共线，且x 1y 2－x 2y 1=0．2．三点共线：若存在实数λ，使AB =λAC ，则A ，B ，C 三点共线．3．求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值.4．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，OA 、OB 不共线，满足OP =x OA ＋y OB （x ，y ∈R ），则P 、A 、B 共线⇔x ＋y =1．5．计算数量积的方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义．要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.6．已知非零向量11(,)x y =a ，22(,)x y =b ：一、单选题1．已知向量(5,)a t =-，(1,3)b =，(2)a b b +⊥，则t 的值为 A ．2- B ．2 C ．1-D ．0【答案】D【解析】依题意，22(5,)a b t +=-(1,3)(9,23)t +=-+，又(2)a b b +⊥，所以(2)(9,23)(1,3)a b b t +⋅=-+⋅93(23)0t =-++=， 解得0t =．故选 D.2．已知向量(1,2),(0,2),(1,)a b c λ==-=-，若(2)//a b c -，则实数λ的值为 A ．13- B ．3- C ．13D ．3【答案】B【解析】由题意得，2(2,4)a =，2(2,6)a b -=， 又(2)a b c -∥，(1,)c λ=-，则260λ+=， 解得3λ=-．故选B ．3．已知点P 是ABC 所在平面内一点，且0PA PB PC ++=，则A ．1233PA BA BC =-+B ．2133PA BA BC =+ C ．1233PA BA BC =--D ．2133PA BA BC =-【答案】D【解析】由题意，,PA BA PB PA AC PC -=+=，而 0PA PB PC ++=， 所以30PA BA AC -+=，又AC BC BA =-，即320PA BA BC -+=， 所以2133PA BA BC =-．故选D ． 4．已知单位向量,a b 满足23,b a -=则a b ⋅= A ．12- B ．2- C ．12D ．2【答案】C【解析】由题意，单位向量,a b ，即1,1a b ==， 又由()2222244543b a b ab a b a a b -=-=-⋅+=-⋅=，解得12a b ⋅=．故选C ．5．在平行四边形ABCD 中，2AB =，AD =点F 为边CD 的中点，若0AF DF ⋅=，则BF AC ⋅=C ．2D ．1【答案】C【解析】因为0AF DF ⋅=，所以AF AB ⊥，如图建立平面直角坐标系，()()()0,2,1,2,2,0F C B ，所以()()1,2,2,2AC BF ==-， 所以242BF AC ⋅=-+=，故选C6．已知向量(1,2),(2,)a b m =-=，若//a b ，则m = A ．4- B ．12- C ．12D ．4【答案】A【解析】因为(1,2),(2,)a b m =-=，//a b ， 所以1220m -⨯-⨯=，4m =-，故选A7．如图，在ABC 中，4AB =，3BC =，5AC =，点P 是以BC 为直径的圆上的动点，则AB AP ⋅的最大值为A ．18B ．20【答案】C【解析】如下图，AP 在AB 方向上的投影的最大值为311422AH =+=， 故22AB AP AB AH ⋅≤⋅=，故AB AP ⋅的最大值为22．故选C ．8．几何学有两个伟大的瑰宝，一个是毕达哥拉斯定理，另一个是黄金分割．毕达哥拉斯几何学中有一个关于五角星结构的问题．如图，一个边长为4的正五边形ABCDE 有5条对角线，这些对角线相交于,,,,A B C D E '''''五点，它们组成了另一个正五边形，则AC AC '⋅的值为(参考数值：πcos5=)A 1B 1C ．4D ．4【答案】C【解析】由正五边形的性质知3πππ,555EAB CAC EAC ''∠=∠=∴∠=，， 在AEC '中，2πcos5AC '=，在ABC 中，2AC =⨯ππ4cos8cos 55=，故π2π||||cos 8cos cos 4π55cos 5AC AC AC AC CAC '''⋅=⋅⋅∠=⨯⨯=．故选C ．9．已知向量a 与b ，3a =，2b =，19a b +=，则已知向量a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3 C ．5π3D ．2π3【答案】B【解析】设向量a 与b 的夹角为α， 因为3a =，2b =，()2219a b +=，所以9232cos 419α+⨯⨯+=，所以1cos 2α=，[]0,απ∈，所以π3α=．10．在边长为3的正方形ABCD 中，以点A 为圆心作单位圆，分别交AB ，AD 于E ，F 两点，点P 是EF 上一点，则PB PD ⋅的取值范围为A ．12⎡⎤--⎣⎦B ．1,2⎡--⎢⎣⎦C ．2,1⎡-⎣D ．1⎡-⎣【答案】A【解析】根据题意画出图形，并建立平面直角坐标系，如图：由题意可知()0,0A ，()3,0B ，()3,3C ，()0,3D ．设点()cos ,sin P θθπ02θ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，则()()3cos ,sin cos ,3sin PB PD θθθθ⋅=--⋅--()()cos 3cos sin 3sin 13sin 3cos θθθθθθ=-⋅---=--π14θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．又π02θ≤≤，则ππ3π444θ≤+≤，所以πsin 124θ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以π1124θ⎛⎫-≤-+≤- ⎪⎝⎭，即PB PD ⋅的取值范围为12⎡⎤--⎣⎦，故选A ．11．已知向量()1,2a =，()sin ,cos b θθ=，且//a b ，则sin cos sin cos θθθθ+-的值为A ．3B ．3-C ．13D ．13-【答案】B 【解析】()1,2a =，()sin ,cos b θθ=，由//a b ，cos 2sin 0θθ∴-=，即cos 2sin θθ=，则sin cos 3sin 3sin cos sin θθθθθθ+==---，故选B ．12．已知A ，B ，C 是单位圆O 圆周上的三等分点，则()OA OB OC +⋅= A ．1 B ．1- CD．【答案】B【解析】因为A ，B ，C 是单位圆O 圆周上的三等分点， 所以23AOC BOC π∠=∠=， 2π2π()11cos11cos 133OA OB OC OA OC OB OC ∴+⋅=⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=-．故选B. 13．在△OAB 中，点P 为边AB 上的一点，且2AP PB =，点Q 为直线OP 上的任意一点(与点O 不重合)，且满足12OQ OA OB λλ=+，则12λλ= A ．1B ．2C ．1-D ．12【答案】D【解析】如图，因为点O ，P ，Q 三点共线，且点Q 与点O 不重合，所以存在非零实数λ满足OQ OP λ=，又2AP PB =，所以212333OP OA AP OA AB OA OB =+=+=+，则233OQ OP OA OB λλλ==+，又12OQ OA OB λλ=+，所以122,33λλλλ==，所以1212λλ=．故选D ．14．如图，在平行四边形ABCD 中，M 是边CD 的中点，N 是AM 的一个三等分点（AN NM <），若存在实数λ和μ，使得BN AB AD λμ=+，则λμ+=A ．54 B ．12C ．12-D ．54-【答案】C【解析】因为N 是AM 的一个三等分点（AN NM <），所以13AN AM =．因为M 是边CD 的中点，所以1122DM DC AB ==．又13BN AN AB AM AB =-=-=()111332AD DM AB AD AB AB ⎛⎫+-=+-= ⎪⎝⎭5163AB AD -+， 所以511632λμ+=-+=-．故选C ． 15．在ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AC 边上的点，且2AE EC =，则DE = A ．1126AB AC - B ．1126AB AC -+C ．1223AB AC - D ．1223AB AC -+ 【答案】B【解析】如图，可知()111111232362DE DC CE BC AC AC AB AC AC AB =+=-=--=-．故选B16．已知3AB =，2AC =，若关于m 的不等式AB AC AB mAC +≤+恒成立，则sin BAC ∠=A ．4B ．3C ．13D ．23【答案】B【解析】因为3AB =，2AC =，且关于m 的不等式AB AC AB mAC +≤+恒成立， 所以22AB AC AB mAC +≤+，所以29412cos 9412cos BAC m m BAC ++∠≤++∠， 整理得23cos 3cos 10m m BAC BAC +∠-∠-≥，所以()229cos 12cos 43cos 20BAC BAC BAC ∆=∠+∠+=∠+≤， 所以3cos 20BAC ∠+=，2cos 3BAC ∠=-，又0πBAC ≤∠<，所以sin 3BAC ∠=，故选B. 17．平面直角坐标系xoy 中，若点的横、纵坐标均为整数，则称该点为整点．已知点(A B ，若整点P 满足||||4PA PB PA PB ⋅+⋅≤，则点P 的个数为A ．10B ．11C ．14D ．15【答案】D【解析】设(,)P x y ，则(,)PA x y =--，(6,)PB x y =-，4PA PB PA PB ⋅+≤为2264x y -+，2210x y ≤--，平方整理得2248x y +≤，所以P 点在椭圆22182x y +=内部（含椭圆上）， 椭圆22182x y +=内部（含椭圆上）的整点有：(2,1),(2,0),(2,1),(1,1),(1,0),(1,1)--------， (0,1),(0,0),(0,1)-，(1,1),(1,0),(1,1)-，(2,1),(2,0),(2,1)-共15个．故选D ．18．已知圆O 的半径为1，A ，B 是圆O 上两个动点，2OA OB OA OB +=-⋅，则OA ，OB 的夹角为A ．3π B ．23π C ．34π D ．56π 【答案】B【解析】22222cos ,OA OB OA OB OA OB OA OB +=++⋅=+，22cos ,OA OB OA OB -⋅=-，得22cos ,2cos ,OA OB OA OB +=-，解得cos ,1OA OB =或1cos ,2OA OB =-，由题意得cos ,0OA OB ≤， 故2,3OA OB π=，故OA ，OB 的夹角为23π．故选B ．19．ABC 中，D 为边BC 上一点，且满足3BD DC =，则AD =A ．1344AB AC B ．3144AB AC C ．1344ABACD ．3144ABAC【答案】A 【解析】3BD DC =，则()3AD AB AC AD -=-，解得1344AD AB AC =+，故选A ． 20．在平行四边形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，点F 在边CD 上，且满足14AE AC =，23CF CD =，则EF =A ．13124AB BC + B ．13124AB BC -- C ．13124AB BC -D ．13124AB BC -+【答案】A【解析】3232()4343EF EC CF AC CD AB BC BA =+=+=++ 3213()43124AB BC AB AB BC =+-=+，故选A 21．G 是ABC 的重心，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若30aGA bGB cGC ++=，则角A = A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°【答案】D【解析】因为G 是ABC 的重心，所以有0GA GB GC ++=．又303aGA bGB cGC ++=，所以a ∶b ∶3c ＝1∶1∶1，设c 则有a ＝b ＝1，由余弦定理可得，cos A2=，所以A ＝30°，故选D ． 22．,a b 为非零向量，且a b a b +=+，则 A ．//a b ，且a 与b 方向相同 B ．,a b 是共线向量 C ．a b =-D ．,a b 无论什么关系均可【答案】A【解析】当两个非零向量a 与b 不共线时，a b +的方向与,a b 的方向都不相同，且a b a b +<+；向量a 与b 同向时，a b +的方向与,a b 的方向都相同，且a b a b +=+；向量a 与b 反向且a b <时，a b +的方向与b 的方向相同(与a 方向相反)，且a b b a +=-，综上，//a b ，且a 与b 方向相同．故选A ．23．已知向量,a b 满足||1,(1,2)a b ==-，且||2a b +=，则cos ,a b 〈〉=A ．B ．-CD 【答案】B【解析】1,5a b ==，2222()4241+2+5=4a b a b a a b b a b +=⇒+=⇒++=⇒，所以1a b =-，cos ,15a b a b a b<>===⨯．故选B ．24．已知三角形ABC 的边长分别为3AB =，4AC =，5BC =，3BC BD =，则AD BC ⋅= A ．1 B ．23 C ．3D ．23-【答案】D 【解析】3AB =，4AC =，5BC =，满足222AB AC BC +=，故AB AC ⊥，则AB AC ⊥，3BC BD =，()13AD BC AB BD BC AB BC BC ⎛⎫∴⋅=+⋅=+⋅ ⎪⎝⎭()2211cos 33AB BC BC AB BC B BC π=⋅+=⋅⋅-+2312355533⎛⎫=⨯⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭．故选D ．25．设向量()1,2a =，(),1b m =-，且()a b a +⊥，则实数m = A ．3-B ．32C ．2-D ．32-【答案】A【解析】由题意，向量()1,2a =，(),1b m =-，可得()1,1a b m +=+， 因为()a b a +⊥，可得()120a b a m +⊥=++=， 解得3m =-．故选A ．26．已知平面向量(2,1)a =-，(3,2)b =-，则()a a b ⋅-= A ．13 B ．1 C ．1-D ．11-【答案】A【解析】因为()()2,1,3,2a b =-=-，所以()5,3a b -=-， 所以()()()251313a a b ⋅-=⨯+-⨯-=，故选A ．27．平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，4AB AD ⋅=，DE AB ⊥，垂足为E ，F 是DE 中点，则DF DB ⋅= A ．12-B ．32-C ．32D ．1【答案】C【解析】因为4AB =，2AD =，4AB AD ⋅=， 所以cos 42cos 4AB AD A A =⨯=，所以1cos 2A =，因为(0,)A π∈，所以3A π=，因为DE AB ⊥，所以6ADE π∠=，所以112AE AD ==，DE == 所以413=-=-=BE AB AE ，所以在Rt EBD 中，BD ===所以1cos 2DE EDB BD ∠===，因为F 是DE 中点，所以12DF DE ==，13cos 222DF DB DF DB EDB ⋅=∠==，故选C28．已知ABC 三个顶点都在抛物线28x y =上，且F 为抛物线的焦点，若()13AF AB AC =+，则AF BF CF ++= A ．6 B ．8 C ．10D ．12【答案】D【解析】由28x y =得焦点()0,2F ，准线方程为2y =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，由()13AF AB AC =+得()()()112121313111,2,,33x y x x y y x x y y --=--+--， 则()12131123y y y y y -=-+-，化简得1236y y y ++=，所以123236612A y F BF C y y F ++=+++⨯=+=，故选D29．在ABC 中，90,4,3C AC BC =︒==，点P 是AB 的中点，则CB CP ⋅=A ．94B ．4C ．92D ．6【答案】C【解析】如图建立平面直角坐标系，则()4,0A ，()0,3B ，()0,0C ，32,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()0,3CB =，32,2CP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以3902322CB CP ⋅=⨯+⨯=故选C30．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===，若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为A ．2116 B ．32C ．2516D ．3【答案】A【解析】连接BD ，可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD △为等边三角形，BD =，设(01)DE tDC t =≤≤AE BE ⋅()()AD DE BD DE =+⋅+2()AD BD DE AD BD DE =⋅+⋅++232BD DE DE =+⋅+ =233322t t -+(01)t ≤≤ 所以当14t =时，上式取最小值2116，故选A ． 31．已知向量(2,1)=-m λ，(2,5)=-n λ且22m n m n +=-，则λ= A ．53-B ．32-C ．1D ．32【答案】A【解析】由题意：2(2,1)2(2,5)(24,211)m n λλλλ+=-+-=+-，2(2,1)2(2,5)(24,29)m n λλλλ-=---=--+，又22m n m n +=-，所以2282813785297λλλλ-+=-+， 解得53λ=-，故选A ． 32．已知0,0a b >>，且a ，1，b 构成等差数列，若向量1m a a ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎭，0n b ⎛=+ ⎝，，则m n +的最小值是 A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】由a ，1，b 构成等差数列，得2a b +=，因为1m a a ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎭，0n b ⎛=+ ⎝，，所以m n +=2===， 当且仅当1a b ==时，等号成立．故选C ．33．已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且4b =，点O 为其外接圆的圆心．已知6CO BA ⋅=，则角A 的最大值为 A ．6π B ．3π C ．4π D ．2π 【答案】A【解析】取AB 的中点D ，则()CO BA CD DO BA CD BA ⋅=+⋅=⋅，()211()()16622CA CB CA CB a =+⋅-=-=，所以2a =，又由222cos 2c b a A bc21211288c c c c +⎛⎫==+≥⎪⎝⎭c =时等号成立， 所以06A π<≤，故选A ．34．已知ABC 中，45ABC ACB ∠=∠=，12BC =，点M 是线段BC 上靠近点B 的三等分点，点N 在线段AM 上，则AN CN ⋅的最小值为A ．365-B ．725-C ．185-D ．545-【答案】C【解析】由45ABC ACB ∠=∠=，可知90BAC ∠=．以点A 为坐标原点，AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示．则()0,0A 、(M 、(C ，设1,2N x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中0x ≤≤1,2AN x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,2CN x x ⎛=- ⎝，故22115224AN CN x x x x ⎛⋅=+-=- ⎝．令()254f x x =-，0x ≤≤5x =时，函数()f x 有最小值，且()max185f x f ==-⎝⎭，即AN CN ⋅的最小值为185-，故选C ． 【名师点睛】求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．35．在ABC 中，4AB =，6AC =，3AC AM =，CN NB =，3AN BM ⋅=-，则AB AC ⋅=A ．32B ．3C ．6D ．15【答案】B【解析】如图所示，因为3AC AM =，所以13BM AM AB AC AB =-=-． 因为CN NB =，所以1()2AN AC AB =+， 所以1113223AN BM AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即221113623AC AB AB AC --⋅=-， 又222236,16AC AC AB AB ====，所以3AB AC ⋅=．故选B ．36．已知a ，b 是非零向量且满足()2a b a -⊥，()2b a b -⊥，则a 与b 的夹角是 A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B【解析】()2a b a -⊥，()2b a b -⊥，()2220a b a a a b ∴-⋅=-⋅=，()2220b a b b a b -⋅=-⋅=，222a b a b ∴==⋅，设a 与b 的夹角为θ，1cos 2a b a bθ⋅==， []0,θπ∈，3πθ∴=，故选B ．【名师点睛】求解向量夹角长选择夹角公式cos a b a bθ⋅=，还要注意向量的夹角范围[]0,π．37．若向量(1,2),(0,1)a b ==，且ka b -与2a b +共线，则实数k 的值为 A ．1- B ．12-C ．1D ．2【答案】B 【解析】(1,2),(0,1)a b ==，∴()()()=1,20,1,21ka b k k k --=-，()()()2=1,2+20,11,4a b +=，ka b -与2a b +共线，∴()4210k k --=，解得12k =-．故选B ．【名师点睛】已知()()1122,,,a x y b x y ==，若//a b ，则12210x y x y -=． 38．若向量π，n 满足π2﹣n 2＝4，且＜π+n ，π﹣n ＞＝3π，则|π|+2|n |的最小值是A BCD【答案】B【解析】设π＝a b +，n ＝a b -，＜π+n ，π﹣n ＞＝3π，可得,a b <>＝3π， 向量π，n 满足π2﹣n 2＝4，可得a b ⋅＝1，所以2a b =，所以2224a b a b +≥=， 所以222222222n a b a b a b a b π+=++-=++++-≥=B ．【名师点睛】此题考查平面向量的数量积的有关运算，考查向量的模的计算，考查基本不等式的应用，解题的关键是由＜π+n ，π﹣n ＞＝3π，得,a b <>＝3π，由π2﹣n 2＝4，得a b⋅＝1，2a b =，从而可得222222222n a b a b a b a b π+=++-=++++-≥=39．在平行四边形ABCD 中，已知12DE EC =，12BF FC =，2AE =6AF =，则AC BD ⋅= A ．9- B ．92-C ．7-D ．72-【答案】B 【解析】因为12DE EC =，12BF FC = 所以13AE AD DE AD AB =+=+，13AF AB BF AD AB =+=+， 而2AE =6AF =，所以1=23AD AB +，1=63AD AB +，所以2221239AD AD AB AB +⋅+=，2212693AD AD AB AB +⋅+=， 两式相减得2288499AD AB -=-，所以2292AD AB -=-．所以()()2292AC BD AB AD AD AB AD AB ⋅=+⋅-=-=-．故选B ． 40．已知A 、B 、P 是直线l 上三个相异的点，平面内的点O l ∉，若正实数x 、y 满足42OP xOA y OB →→→=+，则2x yxy+的最小值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】B【解析】因为42OP xOA y OB →→→=+，所以24x y OP OA OB →→→=+，由于A 、B 、P 是直线l 上三个相异的点， 所以124x y+=，又0x >，0y >， 由基本不等式得2121212244x y x y x yxy x y x y y x⎛⎫+⎛⎫=+=++=++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当2y x =时取等号．故选B ．【名师点睛】设,OA OB →→是平面内不共线的斜率，若存在实数12,λλ使得12OC OA OB λλ→→→=+，则当12=1λλ+时，,,A B C 三点共线，反之，当,,A B C 三点共线时，12=1λλ+．二、多选题41．如果平面向量(2,4)(6,12)a b =-=-，，那么下列结论中正确的是 A ．||3||b a = B ．//a bC ．a 与b 的夹角为30D ．a 在b 方向上的投影为【答案】AB【解析】因为(2,4)(6,12)a b =-=-，，所以3a b =-． 在A 中，由3a b =-，可得||3||b a =，故A 正确； 在B 中，由3a b =-，可得//a b ，故B 正确；在C 中，由3a b =-，可得a 与b 的夹角为180︒，故C 错误；在D 中，a 在b 方向上的投影为||(6)a b b ⋅==--，故D 错误．故选AB ．42．已知向量,a b 满足||||1a b ==，且|2|5b a -=，则下列结论正确的是 A ．a b ⊥B ．||2a b +=C ．||2a b -=D ．,60〈〉=︒a b【答案】AC【解析】因为|2|5b a -=，所以()22b a-=22||4||45b a a b +-⋅=，又||||1a b ==，所以0a b ⋅=，所以a b ⊥，A 正确；因为222()22a b a b a b +=++⋅=，所以||2a b +=，B 不正确；因为222()22a b a b a b -=+-⋅=，所以||2a b -=，C 正确；因为a b ⊥，所以,90a b 〈〉=︒，D 不正确． 故选AC ．43．已知不共线的两个单位向量,a b ，若向量2a kb -与2a kb +的夹角为锐角，则符合上述条件的k 值可以是 A ．1- B ．1 C ．2D ．3【答案】AB【解析】因为向量2a kb -与2a kb +的夹角为锐角，所以()()222222440a kb a kb a k b k -⋅+=-=->且22a kb a kb -≠+， 所以22k -<<且0k ≠，即20k -<<或02k <<， 观察各选项可知符合条件的k 值可以是1-，1． 故选AB ．44．已知a ，b 是平面上夹角为3π的两个单位向量，c 在该平面上，且(a ﹣c )·(b ﹣c )=0，则下列结论中正确的有A ．1a b +=B ．1a b -=C ．3c <D ．a b +，c 的夹角是钝角【答案】BC【解析】如图，OA a =，OB b =，1OA OB ==，3AOB π∠=，则1AB OA ==，即1a b -=，B 正确；OC c =，由(a ﹣c )·(b ﹣c )=0得BC AC ⊥，点C 在以AB 直径的圆上（可以与,A B 重合）．AB 中点是M ，则23a b OM +==，A 错；c OC =的最大值为122OM MC +=+<C 正确；a b +与OM 同向，由图，OM 与c 的夹角不可能为钝角．D 错误．故选BC ．【名师点睛】本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出OA a =，OB b =，OC c =，确定C 点轨迹，然后由向量的概念判断．本题也可以放到平面直角坐标系中用坐标解决．45．设向量(1,1)a =-，(0,2)b =，则 A ．||||a b =B ．()a b a -∥C ．()a b a -⊥D ．a 与b 的夹角为4π 【答案】CD 【解析】对于A ，(1,1)a =-，(0,2)b =，2,2a b ∴==，a b ∴≠，故A 错误；对于B ，(1,1)a =-，(0,2)b =，()=1,1a b ∴---，又(0,2)b =，则()12100-⨯--⨯≠，()a b ∴-与b 不平行，故B 错误； 对于C ，又()()()11110a b a -⋅=-⨯-+-⨯=，()a b a ∴-⊥，故C 正确；对于D ，又cos ,222a b a b a b⋅<>===⋅， 又a 与b 的夹角范围是[]0,π，a ∴与b 的夹角为π4，故D 正确． 故选CD ．【名师点睛】本题考查了平面向量的坐标运算，熟记平面向量的模､垂直､夹角坐标运算公式及共线向量的坐标运算时解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．46．如图所示，在凸四边形ABCD 中，对边BC ，AD 的延长线交于点E ，对边AB ，DC 的延长线交于点F ，若,,3(,0)BC CE ED DA AB BF λμλμ===>，则A ．3144EB EF EA =+ B ．14λμ=C ．11λμ+的最大值为1D ．49EC AD EB EA⋅≥-⋅【答案】ABD【解析】选项A ． 由3AB BF =，可得34AB AF = 所以()33134444EB EA AB EA AF EA AE EF EA EF =+=+=++=+，故A 正确 ． 选项B ． 过B 作//BG FD 交AE 于点G所以,AF AD BC DG FB DG CE DE ==， 由这两式可得AF BC AD DG ADFB CE DG DE DE ⨯=⨯= 由,,3BC CE ED DA AB BF λμ===，则4AF FB =，BC CE λ=，1AD DE μ=所以14λμ=，即14λμ=，故B 正确．选项C ． 由B 可得()1144λμλμλμλμ++==+≥= 当且仅当λμ=，即12λμ==时取得等号， 故C 不正确． 选项D ． 由,,3BC CE ED DA AB BF λμ===得()1EB EC CB EC λ=+=+，()()11EA ED DA DA AD μμ=+=+=-+()()()()11511114EC AD EC AD EB EA EC AD λμλμλμ⋅⋅==-=-++⋅-++⋅++由555914444λμ++≥=+=，当且仅当λμ=，即12λμ==时取得等号 所以14594EC AD EB EA λμ⋅=-≥-⋅++，故D 正确．故选ABD 【名师点睛】本题考查向量的线性运算共线等的应用，考查利用均值不等式求最值，解答本题的关键是过B 作//BG FD 交AE 于点G ，得到,AF AD BC DGFB DG CE DE==，()()11EC AD EC ADEB EA EC ADλμ⋅⋅=⋅-++⋅，属于中档题．47．设点A ，B 的坐标分别为()0,1，()1,0，P ，Q 分别是曲线x y e =和ln y x =上的动点，记12,IAQ AB I BP BA =⋅=⋅，则下列命题不正确的是 A ．若12I I =，则()PQ AB R λλ=∈B ．若12I I =，则AP BQ =C ．若()PQ AB R λλ=∈，则12I I =D ．若AP BQ =，则12I I =【答案】ABD【解析】根据题意，在直线AB 上取点,P Q ''，且满足||||AP BQ ''=，过,P Q ''分别作直线AB 的垂线，交曲线x y e =于1P ，2P ，交曲线ln y x =于12,Q Q ，在曲线x y e =上取点3P ，使13||||AP AP =，如图所示：1||||cos I AQ AB AQ AB QAB =⋅=⋅∠，令||cos ||AQ QAB AQ '∠=，则1||||I AQ AB '=⋅， 2||||cos I BP BA BP BA PBA =⋅=⋅∠，令||cos ||BP PBA BP '∠=，则2||||I BP BA '=⋅， 若||||AP BQ ''=，则||||AQ BP ''=，若12I I =，则||||AQ BP ''=即可，此时P 可以与1P 重合，Q 与2Q 重合，满足题意，但是()PQ AB R λλ=∈不成立，且||||AP BQ ≠，所以A 、B 不正确；对于选项C ，若PQ AB =λ，此时P 与1P 重合，且Q 与1Q 重合，或P 与2P 重合，且Q 与2Q 重合，所以满足12I I =，所以C 正确；对于D ，当P 与3P 重合时，满足13||||AP AP =，但此时3P 在直线AB 上的投影不在P '处，因而不满足||||AQ BP ''=，即12I I ≠，所以D 不正确． 故选ABD【名师点睛】利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义求解是解题关键． 48．已知边长为4的正方形ABCD 的对角线的交点为O ，以O 为圆心，6为半径作圆；若点E 在圆O 上运动，则A ．72EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= B ．56EA EC EB ED ⋅+⋅= C ．144EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= D ．28EA EC EB ED ⋅+⋅=【答案】BC【解析】作出图形如图所示，以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ； 观察可知，()2,2A --，()2,2B -，()2,2C ，()2,2D -， 设(),E x y ，则2236x y +=，故()2,2EA x y =----，()2,2EB x y =---，()2,2EC x y =--， 故ED =()2,2x y ---，故EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅()()24144EA EC EB ED EO =+⋅+==，56EA EC EB ED ⋅+⋅=．故选BC.49．如图，已知点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，()n F n N *∈为边BC 上的一列点，连接n AF 交BD 于n G ，点()n G n N*∈满足()1223nn n n n G D aG A a G E +=⋅-+，其中数列{}n a 是首项为1的正项数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）A ．313a =B ．数列{}3n a +是等比数列C ．43n a n =-D ．122n n S n +=--【答案】AB 【解析】E 为AB 中点，2n n n G E G A G B ∴=+，即2n n n G B G A G E =-+，,,n D G B 三点共线，2n n n n G D G B G A G E λλλ∴==-+，又()1223n n n n n G D a G A a G E +=⋅-+，()12232n n a a λλ+=-⎧∴⎨-+=⎩，化简得123n n a a +=+，()1323n n a a +∴+=+，{}3n a ∴+是以134a +=为首项，2为公比的等比数列，B 正确；113422n n n a -+∴+=⋅=，123n n a +∴=-，C 错误；则432313a =-=，A 正确；()()223122122223324312nn n n S n n n ++-∴=++⋅⋅⋅+-=-=---，D 错误．故选AB ．【名师点睛】本题考查数列与向量的综合应用问题，解题关键是能够根据平面向量的线性运算和向量共线的性质推导得到数列的递推关系式，由此构造出所需的等比数列进行求解． 50．对于给定的ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是 A ．212AO AB AB ⋅=B ．OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅C ．过点G 的直线l 交AB AC 、于E F 、，若AE AB λ=，AF AC μ=，则113λμ+=D ．AH 与cos cos AB AC AB BAC C+共线【答案】ACD【解析】如图，设AB 中点为M ，则OM AB ⊥，AO cos OAM AM ∴∠=()21·cos cos ?22ABAO AB AO AB OAB AB AO OAB AB AB ∴=∠=∠==，故A 正确；··OAOB OAOC =等价于()·0OA OB OC -=等价于·0OACB =，即OA BC ⊥，对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中， 若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直．故B 错误； 设BC 的中点为D ，则()211111133333AG AD AB AC AE AF AE AF λμλμ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭， 因为E ，F ，G 三点共线，11133λμ∴+=，即113λμ+=，故C 正确；cos cos cos cos AB AC AB BC AC BC BC AB B AC C AB B AC C ⎛⎫⋅⋅ ⎪+⋅=+ ⎪⎝⎭()cos cos cos cos AB BC B AC BC C AB BAC Cπ⋅-⋅=+0BC BC =-+=，∴cos cos AB ACAB BAC C+与BC 垂直，又AH BC ⊥，所以cos cos AB ACAB BAC C+与AH 共线，故D 正确．故选ACD ．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，进而逐一作出判定． 三、填空题51．已知单位向量a 与b 的夹角为4π，则||+=a __________．【解析】因为单位向量a 与b 的夹角为4π，所以||||1a b ==，π||||cos 4⋅==b a a b因此||a52．若(0,0),(1,2)O A 且2OA OA '=，则A ′的坐标为__________． 【答案】(2,4)【解析】设(,)A x y '，则(,)OA x y '=，(1,2)OA =， 因为2OA OA '=，所以(,)2(1,2)(2,4)x y ==， 则2,4x y ==，即A '坐标为()2,4． 故答案为()2,4．53．已知a ，b 都是平面向量．若(1,1)a =-，(3,2)a b -=-，则a b ⋅=__________． 【答案】3-【解析】因为()(1,1)(3,2)(2,1)b a a b =--=---=-，所以(1,1)(2,1)3a b ⋅=-⋅-=-．故答案为3-．54．已知向量()3,cos a α=，()sin ,1b α=，且a b ⊥，则sin 2α=__________． 【答案】35【解析】因为a b ⊥，所以3sin cos 0αα+=，即1s 3in cos αα=-， 又22sin cos 1αα+=，所以29cos 10α=，所以223sin 22sin cos cos 35αααα==-=-．故答案为35． 55．已知向量1,,()()1,a m b m ==-，若(2)a b b -⊥，则b =__________． 【答案】2【解析】2(23,,23)0)(a b m a b b m -=-⋅=-+=，得23m =，所以212b m =+=．故答案为2．56．设向量(,3),(1,2),(1,1)a m b c ===-，若()a b c -⊥，则实数m =__________． 【答案】2【解析】由向量的坐标运算得(1,1)a b m -=-，因为()a b c -⊥，所以()0a b c -⋅=，即()()111120m m -⨯+-⨯=-=，解得2m =． 故答案为2【名师点睛】已知()()1122,,,a x y b x y ==，若a b ⊥，则12120a b x x y y ⋅=+=57．如图，由四个全等的三角形与中间的一个小正方形EFGH 拼成的一个大正方形ABCD 中，3AF AE =．设AF AB AD x y =+，则x y +的值为__________．【答案】65【解析】过点F 作FM AB ⊥，垂足为M ，根据正方形的性质，可知DA AB ⊥，因此//FM AD ， 由题意可知ADE ABF ≌，所以AE BF =，由题意可知EFGH 是小正方形，因此可知ABF 是直角三角形，设大正方形ABCD 的边长为1，AE BF a ==， 因为3AF AE =，所以33AF AE a ==，由勾股定理可知2222219AB AF BF a a a =+⇒=+⇒=，由310sin 11010BF FM FAB FM AB AF ∠==⇒=⇒=，由910cos 11010AF AM FAB AM AB AF ∠==⇒=⇒=， 因为931010AF AM MF AB AD ==++，所以391261010105x y +=+==， 故答案为6558．已知平面向量,,a b c ，若a b a c ⋅=⋅，则__________．（填你认为正确的结论）【答案】0a =或b c =或()a b c ⊥-【解析】若a b a c ⋅=⋅，则()0a b c ⋅-=，可得0a =或b c =或()a b c ⊥-． 故答案为0a =或b c =或()a b c ⊥-．59．已知||2a =，(1,3)b =，(2)10a b b +⋅=，则a 与b的夹角为__________．【答案】3π 【解析】因为2134b =+=，所以||2b = 因为2(2)2810a b b a b b a b +⋅=⋅+=⋅+=， 所以2a b ，所以21cos ,42a b a b a b〈〉===⨯， 因为[],0,a b π〈〉∈，所以a 与b 的夹角为3π． 故答案为3π． 60．已知平面向量(3,3a =，则与a 夹角为45°的一个非零向量b 的坐标可以为__________．（写出满足条件的一个向量即可） 【答案】(1,0)【解析】设(,)b x y =，3a b x ∴⋅=+=，x y =+，0xy ∴=，且b 为非零向量，x 1∴=，y 0=满足题意，(1,0)b ∴=．故答案为(1,0)．61．已知平面向量a ，b 满足2=a ，1b =，()231a b b -⋅=-，则向量a 与b 的夹角的余弦值为__________． 【答案】12【解析】设向量a 与b 的夹角为θ，由()231a b b -⋅=-，可得21231221cos 31cos 2a b b θθ⋅-=-⇒⨯⨯⨯⇒-=-=． 故答案为1262．已知向量(1,2),(,3)a b m ==，若()a a b ⊥-，则a 在b 方向上的投影为__________．【解析】由(1,2),(,3),a b m ==可得(1,1)a b m -=--，因为()a a b ⊥-，所以()1201a a b m m ⋅-=--=⇒=-，所以(1,3)b =-．所以a 在b 方向上的投影为2||(1)a b b ⋅===-．． 63．已知平面向量a ，b 满足2244a b ==，()231a b b -⋅=-，则向量a 与b 的夹角的余弦值为__________． 【答案】12【解析】由2244a b ==，得2a =，1b =，设向量a 与b 的夹角为θ，由()231a b b -⋅=-可得2231a b b ⋅-=-，即1a b ⋅=又cos 21cos 1a b a b θθ⋅=⋅⨯=⨯⨯=，所以1cos 2θ=故答案为1264．若向量a 与b 的夹角为60，4b =，()()2372a b a b +-=-，则a =__________．【答案】6【解析】因为向量a 与b 的夹角为60，4b =，()()2372a ba b +-=-22672a a b b =-⋅--∴22cos 76620a a b b ∴=---⋅，即21496272a a -⨯-=-整理得22402a a -=-，解得6a =或4a =-（舍去） 故答案为665．平面向量a 与b 的夹角为60°，0,2a ，1b =，则2a b +=__________．【答案】【解析】因为2a =，1b =，a 与b 的夹角为60°，则1||||cos602112a b a b ⋅=⋅=⋅⋅=， 所以()222244a b a b a ba b +=+=++⋅==故答案为66．已知向量3,2cos 2a α→⎛⎫= ⎪⎝⎭，11,52b →⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且a b ⊥，则cos α=__________．【答案】725-【解析】因为向量3,2cos 2a α→⎛⎫= ⎪⎝⎭，11,52b →⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且a b ⊥，所以3cos 052α-+=，即3cos 25α=，所以27cos 2cos 1225αα=-=-． 故答案为725-． 【名师点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，半角公式的应用，考查运算求解能力，是中档题．向量垂直的坐标表示：已知()()1122,,,a x y b x y →→==，若a b →→⊥，则12120a b x x y y →→⋅=+=．67．如图，已知圆O 的半径为2，AB 是圆O 的一条直径，EF 是圆O 的一条弦，且2EF =，点P 在线段EF 上，则PA PB ⋅的最小值是__________．【答案】1-【解析】连接OP ，由题可知，()()224PA PB PA PBPA PB +--⋅=222224444PO BOPO BO PO -==--=，连接,OE OF ，在OEF 中，当OP EF ⊥时，OP 最小，由于2OE OF EF ===，所以OP =因此PA PB ⋅的最小值为1-， 故答案为1-．【名师点睛】把求PA PB ⋅最小值问题转化为求解点到线的最短距离问题是解决本题的关键． 68．平面向量(1,2),(4,2),()a b c ma b m ===+∈R ，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =__________． 【答案】2【解析】由题意得()4,22,145,16425c ma b m m a b =+=++=+==+=， 58,820a c m b c m ⋅=+⋅=+．因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，c a c bc a c b⋅⋅∴=，=，解得2m =． 故答案为2．69．点D 为△ABC 的边BC 上一点（不含端点），且满足32x yA AB D AC +=，则12x y +的最小值为__________．． 【解析】由题意，点D 为△ABC 的边BC 上一点，且32x yA AB D AC +=， 根据平面向量的基本定理，可得030)21(,x x yy =>>+，则12124244()()3232333x y y x x y x y x y ++=++=++≥+=，当且仅当223y xx y=时，即3y =所以12x y +的最小值为43+．． 70．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且2MN =，P 为MN 的中点，AP AB AD λμ=+，则11λμ+的最大值是__________．【答案】43【解析】以A 为坐标原点，以AB ，AD 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系， 设()2,2M a ，()2,2N b ，则()1,1P b a ++． 由2MN =可得()()22111a b -+-=，所以可设1cos a θ=+，1sin b θ=+，,2πθπ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦．因为(1,1),(2,0),(0,2)AP b a AB AD =++==， 由AP AB AD λμ=+可得12b λ+=，12a μ+=， 所以()()82sin cos 112222112sin 2cos 42sin cos sin cos b a θθλμθθθθθθ+++=+=+=+++++++．设sin cos t θθ+=，1t ⎡⎤∈-⎣⎦，则2111644477744444t t t t t t t λμ++===≤+++++-++即当4t =时，11λμ+．故答案为43．【名师点睛】一般关于平面向量中的最值运算，如果没有坐标的话，通常根据题意建立直角坐标系，利用坐标表示向量的关系，然后数形结合，将式子转化为函数的最值或者利用基本不等式求解最值．。
高考数学压轴专题新备战高考《平面向量》难题汇编及答案
数学《平面向量》试卷含答案一、选择题1．如图所示，ABC ∆中，点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则AC =u u u v（ ）A ．43AD BE +u u uv u u u vB ．53AD BE +u u uv u u u vC ．4132AD BE +u u uv u u u vD ．5132AD BE +u u uv u u u v【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减运算求解即可 【详解】 据题意，2533AC DC DA BD AD BE ED AD BE AD AD AD BE =-=+=++=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r．故选B ． 【点睛】本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题2．如图，在ABC ∆中，12AN NC =u u u r u u u r，P 是线段BN 上的一点，若15AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则实数m 的值为（ ）A ．35B ．25C ．1415D ．910【答案】B 【解析】【分析】根据题意，以AB u u u r ，AC u u ur 为基底表示出AP u u u r 即可得到结论. 【详解】由题意，设()NP NB AB AN λλ==-u u u r u u u r u u u r u u u r，所以，()()113AP AN NP AN AB AN AB AN AB AC λλλλλ-=+=+-=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 又15AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ，所以，1135λ-=，且m λ=，解得25m λ==. 故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的应用以及平面向量基本定理的应用，属于基础题．3．如图，在ABC V 中，AD AB ⊥，3BC BD =u u u v u u u v ，1AD =u u u v ，则AC AD ⋅=u u u v u u u v（ ）A ．3B 3C 3D 3【答案】D 【解析】∵3AC AB BC AB =+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u v，∴(3)3AC AD AB AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅⋅u u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=uuu r，∴33cos 3cos 33AC AD AD AD ADB BD ADB AD u u u v u u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==， 故选D ．4．已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()0,2A ，2220OB OA +=，若平面内点P 满足3PB PA =u u u r u u u r，则PO 的最大值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】C【分析】设(),P x y ，(),B m n ，根据3PB PA =u u u r u u u r可得262m x n y=-⎧⎨=-⎩，再根据2220OB OA +=可得点P 的轨迹，它一个圆，从而可求PO 的最大值. 【详解】设(),P x y ，(),B m n ，故(),PB m x n y =--u u u r ，(),2PA x y =--u u u r. 由3PB PA =u u u r u u u r可得363m x x n y y-=-⎧⎨-=-⎩，故262m x n y=-⎧⎨=-⎩，因为2220OB OA +=，故()22443420x y +-+=，整理得到()2234x y +-=，故点P 的轨迹为圆，其圆心为()0,3，半径为2，故PO 的最大值为325+=， 故选：C. 【点睛】本题考查坐标平面中动点的轨迹以及圆中与距离有关的最值问题，一般地，求轨迹方程，可以动点转移法，也可以用几何法，而圆外定点与圆上动点的连线段长的最值问题，常转化为定点到圆心的距离与半径的和或差，本题属于中档题.5．已知向量a r 与向量b r 满足||2a =r ，||b =r ||||a b a b +⋅-=r r r r ，则向量a r与向量b r的夹角为( )A ．4π或34π B ．6π或56πC ．3π或23πD ．2π 【答案】A 【解析】 【分析】设向量a r ，b r的夹角为θ，则2||12a b θ+=+r r ，2||12a b θ-=-r r ，即可求出2cos θ，从而得到向量的夹角； 【详解】解：设向量a r ，b r的夹角为θ，222||||||2||||cos 48a b a b a b θθ+=++=++r r r r r r12θ=+，222||||||2||||cos 4812a b a b a b θθθ-=+-=+-=-r r r r r，所以2222||||144128cos 80a b a b θ+⋅-=-==r r r r ，21cos 2θ∴=，因为[0,)θπ∈，故4πθ=或34π，故选：A.本题考查平面向量的数量积的运算律，及夹角的计算，属于中档题.6．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r（ ）A ．2133BA AC +u u u r u u u rB ．2133BA AC -u u u r u u u r C ．1233BA AC +u u u r u u u rD ．4233BA AC +u uu r u u u r【答案】A 【解析】 【分析】连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ， 则()()221121332333OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===⨯+=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r u u u r . 故选：A.【点睛】本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题.7．已知向量(sin ,cos )a αα=r，(1,2)b =r ， 则以下说法不正确的是（ ）A ．若//a b r r ，则1tan 2α=B ．若a b ⊥r r ，则1tan 2α=C ．若()f a b α=⋅rr 取得最大值，则1tan 2α= D ．||a b -r r 51【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行、垂直、模以及向量的数量积的坐标运算即可判断. 【详解】A 选项，若//a b r r ，则2sin cos αα=，即1tan 2α=，A 正确.B 选项，若a b ⊥r r，则sin 2cos 0αα+=，则tan 2α=-，B 不正确.C 选项，若()f a b α=⋅r r取得最大值时，则())f ααϕ=+，取得最大值时，()sin 1αϕ+=，2,2k k Z παϕπ+=+∈，又tan 2ϕ=，则1tan 2α=，则C 正确.D 选项，||a b -==r r的最大值为1=，选项D 正确.故选：B . 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及模的求法，掌握向量平行、垂直、数量积的坐标运算是解题的关键，是基础题.8．已知平面向量,,a b c r r r满足()()2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ，则b c -r r 的最小值为（ ）A ．2B ．2C ．2-D ．12【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，易知a r 与b r的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由()()21a c b c -⋅-=r r r r，可得221202x y x +-+=，所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值， 利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果. 【详解】因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r，因为()()21a c b c -⋅-=r r r r ，所以221202x y x +-+=，又b c -=r r所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值，又圆221202x y x +-+=的圆心坐标为12⎛ ⎝⎭，，所以点()20，与圆221202x y x +-+=上一动点距离的最小值为=. 故选：A. 【点睛】本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．9．已知点1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，过原点O 且倾斜角为60°的直线l 与椭圆C 的一个交点为M ，且1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r，则椭圆C的离心率为（ ）A 1B ．2C ．12D ．2【答案】A 【解析】 【分析】由1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r两边平方，得120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，在12Rt MF F V 中，求出2MF ，1MF ，,a c 的关系，求出离心率可得选项. 【详解】将1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r两边平方，得120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，即12121||2MF MF OM F F c ⊥==，.又60MOF ∠=︒，∴2MF c =，1MF =，∴2a c =+，∴1ce a==. 故选:A. 【点睛】考查了向量的数量积,椭圆的定义，离心率的求法,关键在于得出关于,a c 的关系，属于中档题.10．已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b +=>>F 且斜率为()0k k >的直线与T 相交于A ，B 两点，若3AF FB =uu u r uu r，则k =（ ） A ．2 BCD ．1【答案】C 【解析】 【分析】由2e =可得a =，b =，可设椭圆的方程为222334x y c +=，()()1122,,,A x y B x y ，并不妨设B 在x 轴上方，由3AF FB =uu u r uu r得到12123430x x c y y +=⎧⎨+=⎩，再由22211334x y c +=，22222334x y c +=得到A 、B 两点的坐标，利用两点的斜率公式计算即可. 【详解】因为c e a ===，所以2a b =，所以a =，b =，则椭圆方程22221x y a b+=变为222334x y c +=. 设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设B 在x 轴上方，则210,0y y ><， 又3AF FB =uu u r uu r，所以()()1122,3,c x y x c y --=-，所以()121233c x x c y y ⎧-=-⎨-=⎩，12123430x x cy y +=⎧⎨+=⎩因为A ，B 在椭圆上，所以22211334x y c +=，① 22222334x y c +=②. 由①—9×②，得2121212123(3)(3)3(3)(3)84x x x x y y y y c +-++-=-，所以21234(3)84c x x c ⨯-=-，所以12833x x c -=-， 所以123x c =，2109x c =，从而13y =-，29y c =所以2(,)33A c -，10()9B c，故9102393c k c c +==- 故选：C. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，当然本题也可以利用根与系数的关系来解决，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.11．在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，3BAD π∠=，M 为DC 的中点，N为平面ABCD 内一点，若AB NB AM AN -=-u u u v u u u v u u u u v u u u v ，则AM AN ⋅=u u u u v u u u v（ ）A ．16B ．12C ．8D ．6【答案】D 【解析】 【分析】根据条件及向量加减法的几何意义即可得出|AN u u u r |＝|MN u u u u r|，再根据向量的数量积公式计算即可 【详解】由|AB NB -u u u r u u u r |＝|AM AN -u u u u r u u u r |，可得|AN u u u r |＝|NM u u u u r|， 取AM 的中点为O ，连接ON ，则ON ⊥AM ，又12AM AD AB =+u u u u r u u u r u u u r，所以AM u u u u r •21122AN AM ==u u u r u u u u r （12AD AB +u u u r u u u r ）212=（2214AD AB AD ++u u u r u u u r u u u r •AB u u u r ）12=（414+⨯16+2×412⨯）＝6， 故选：D ．【点睛】本题主要考查了平面向量的几何表示，数量积的几何意义，运算求解能力，属于中档题12．在边长为1的等边三角形ABC 中，点P 是边AB 上一点，且．2BP PA =，则CP CB ⋅=u u u v u u u v（ ） A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的加减法及数乘运算用,CA CB u u u r u u u r 表示CP u u u v，再利用数量积的定义得解．【详解】依据已知作出图形如下：()11213333CP CA AP CA AB CA CB CA CA CB =+=+=+-=+u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u v u u v u u u v .所以221213333CP CB CA CB CB CA CB CB ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⋅=⋅⋅u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v221211cos 13333π=⨯⨯⨯+⨯= 故选C 【点睛】 本题主要考查了向量的加减法及数乘运算，还考查了数量积的定义，考查转化能力，属于中档题．13．已知向量(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r，则当,1[]2t ∈-时，a tb-r r 的最大值为（ ） A 2 B 3C ．2D 5【答案】D 【解析】 【分析】根据(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r，得到1a =r ，1b =r ，0a b ⋅=r r ，再利用22()1a tb a tb t -=-=+r r r r 求解.【详解】因为(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r，所以1a =r ，1b =r ，0a b ⋅=r r，所以22()1a tb a tb t -=-=+r r r r当[]2,1t ∈-时，max5a tb-=r r故选：D 【点睛】本题考查向量的模以及数量积的运算，还考查运算求解能力，属于中档题.14．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，3BAC π∠=，若23BD BC =u u u v u u u v ，则AD BD ⋅=u u u v u u u v（ ）A ．229B ．229-C ．169D ．89-【答案】A 【解析】 【分析】本题主要是找到两个基底向量AB u u u v ，AC u u u v ，然后用两个基底向量表示AD u u u v ，BD u u u v，再通过向量的运算即可得出结果． 【详解】解：由题意，画图如下：则：()22223333BD BC AC AB AB AC ==-=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v ， 2233AD AB BD AB AB AC =+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 1233AB AC =+u u u v u u u v .∴12223333AD BD AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 22242999AB AC AB AC =-⋅+⋅-⋅⋅u u uv u u u v u u u v u u u v24249cos 999AB AC BAC =-⋅+⋅-⋅⋅⋅∠u u uv u u u v82423cos 993π=-+-⋅⋅⋅229=. 故选A ． 【点睛】本题主要考查基底向量的建立以及用两个基底向量表示别的向量，考查平面向量的数量积的计算．本题属基础题．15．已知向量()()75751515a b ︒︒︒︒==r r cos ,sin ,cos ,sin ，则a b -r r 的值为 A ．12 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】【分析】【详解】因为11,1,cos75cos15sin 75sin15cos602a b a b ==⋅=︒︒+︒︒=︒=r r r r ，所以2221||()12112a b a b -=-=-⨯+=r r r r ，故选B. 点睛：在向量问题中，注意利用22||a a =r ，涉及向量模的计算基本考虑使用此公式，结合数量积的运算法则即可求出.16．已知AB 是圆22:(1)1C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅u u u v u u u v 的最小值是（ ）A ．21-B ．2C ．0D ．1【答案】D【解析】 试题分析：由题意得，设，,,又因为,所以，所以PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值为1，故答案选D. 考点：1.圆的性质；2.平面向量的数量积的运算.17．已知单位向量a r ，b r 的夹角为3π，(),c a b R μλμ+=λ+∈r u u r u u r ，若2λμ+=，那么c r 的最小值为（ ）A 2B 6C ．102D 3【答案】D【解析】【分析】 利用向量的数量积的运算公式，求得12a b ⋅=r r ，再利用模的公式和题设条件，化简得到24c λμ=-u r ，最后结合基本不等式，求得1λμ≤，即可求解．【详解】由题意，向量,a b r r 为单位向量，且夹角为3π，所以11cos 11322a b a b π⋅=⋅=⨯⨯=r r r r ， 又由(),c a b μλμ=λ+∈R r u u r u u r ， 所以()22222222()4c a b a b λμλμλμλμλμλμλμλμ=+=++⋅=++=+-=-u r r r r r ， 因为,R λμ+∈时，所以222()122λμλμ+⎛⎫≤== ⎪⎝⎭，当且仅当λμ=时取等号， 所以23c ≥u r，即c ≥u r 故选：D ．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及向量的模的计算，其中解答中熟记向量的数量积和模的计算公式，以及合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．18．已知平面向量,,a b c r r r 满足||||2a b ==r r ，a b ⊥r r ，()()a c b c -⊥-r r r r ，则(a b c ⋅r r r +)的取值范围是( )A ．[0,2]B．[0, C ．[0,4] D ．[0,8] 【答案】D【解析】【分析】以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，根据AC BC ⊥，得到点C 在圆22(1)(1)2x y -+-=，再结合直线与圆的位置关系，即可求解．【详解】 设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r， 以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r 分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，则(2,0),(0,2)A B ，依题意，得AC BC ⊥，所以点C 在以AB 为直径的圆上运动， 设点(,)C x y ，则22(1)(1)2x y -+-=，()22a b c x y +⋅=+r r r ，由圆心到直线22x y t +=的距离d =≤，可得[0,8]t ∈.故选：D ．【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及直线与圆的位置关系的综合应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力．19．已知A ，B 是圆224+=O: x y 上的两个动点，||2AB =u u u r ，1233OC OA OB =+u u u r u uu r u u u r ，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅u u u r u u u u r 的值为（ ）. A ．3B ．23C ．2D ．3 【答案】D【解析】【分析】 判断出OAB ∆是等边三角形，以,OA OB u u u r u u u r 为基底表示出OM u u u u r ，由此求得OC OM ⋅u u u r u u u u r 的值.【详解】 圆O 圆心为()0,0，半径为2，而||2AB =u u u r ，所以OAB ∆是等边三角形.由于M 是线段AB 的中点，所以1122OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r .所以OC OM ⋅u u u r u u u u r 12331122OA O O O B A B ⎛⎫=+⋅⎛⎫+ ⎪⎝ ⎪⎭⎝⎭u u uu u u r u u u r r u u u r 22111623OA OA OB OB =+⋅⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r 21422cos603323=+⨯⨯⨯+=o . 故选：D【点睛】本小题主要考查用基底表示向量，考查向量的数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.20．如图，向量a b -r r 等于A ．1224e e --u r u u rB ．1242e e --u r u u rC ．123e e -r u u rD ．123e e -+r u u r 【答案】D【解析】【分析】【详解】由向量减法的运算法则可得123a e b e -=-+r r r u u r，。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考精选高难度压轴填空题----平面向量专题试题1. 在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝3，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ⋅＝_____________2. 已知0,31=⋅==，点C 在AOB ∠内，A O C∠30o =.设(,)OC mOA nOB m n R =+∈ ，则mn等于3. 在△ABC 中，若4=∙=∙，则边AB 的长等于4. 已知点G 是ABC ∆的重心，点P 是GBC ∆内一点，若,AP AB AC λμλμ=++则的取值范围是___________ABCGPG ’P ’ ABCPQ5. 已知O 为ABC ∆所在平面内一点，满足22OA BC += 22OB CA += 22OC AB + ，则点O 是ABC ∆的 心6. 设点O 是△ABC 的外心，AB ＝c ，AC ＝b ，()1122=+-c b 则→BC ·→AO 的取值范围7. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于____8. 已知向量α ,β ,γ 满足||1α= ,||||αββ-= ,()()0αγβγ-⋅-= .若对每一确定的β ,||γ的最大值和最小值分别为,m n ,则对任意β,m n -的最小值是.,A BCDABCOαβB9. 已知向量a ，b ，c 满足 | a | = 1，|a - b | = | b |，(a - c ) (b - c ) = 0 ，若对每一个确定的b ，|c | 的最大值和最小值分别为m ，n ，则对于任意的向量b ，m + n 的最小值为_________ ．10. 设21,e e 是夹角为060的两个单位向量，已知21,e ON e OM ==，ON y OM x OP +=，若P M N ∆是以M 为直角顶点的直角三角形，则实数y x -取值的集合为_____________11. 如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点D A ,分别在x 轴，y 轴上正半轴上滑动，则OC OB ⋅的最大值为________212. 给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为0120。
如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OB y OA x OC +=，其中R y x ∈,，则y x +的最大值是_ __ __ __ _【变题】给定两个长度为1且互相垂直的平面向量OA 和OB ，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若y x +=，其中x 、y ∈R ，则22)1(y x +-的最大值为 _ _13. 在平行四边形中，ABCD 已知︒=∠==60DAB 1,AD 2,AB ，点AB M 为的中点，点P 在CD BC 与上运动（包括端点），则∙的取值范围是14. 在周长为16的PMN ∆中，6MN =，则PM PN ⋅的取值范围是15. 已知||4,||6,,OA OB OC xOA yOB ===+ 且21x y +=，AOB ∠是钝角，若()||f t OA tOB =-的最小值为||OC 的最小值是16. 如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC DE AP λμ=+ ，则λμ+的最小值为 1217. 已知P 为边长为1的等边ABC ∆所在平面内一点，且满足2+=，则⋅=________18. 已知向量M={ a | a =(1,2)+λ(3,4) λ∈R}， N={a |a =(-2,2)+ λ(4,5) λ∈R }，则M ⋂N=________19. 等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AB ，AD 是BC 边上的高，P 为AD 的中点，点M N 、分别为AB 边和AC 边上的点，且M N 、关于直线AD 对称，当12PM PN ⋅=- 时，AMMB=______PA21. 已知A ，B ，C 是平面上不共线上三点，动点P 满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-=→→→→OC OB OA OP )21()1()1(31λλλ)0(≠∈λλ且R ,则P 的轨迹一定通过ABC ∆的______________22. 已知点O 为ABC ∆24==,则=∙ 623. 设D 是ABC ∆边BC 延长线上一点，记)1(λλ-+= ，若关于x 的方程01sin )1(sin 22=++-x x λ在)2,0[π上恰有两解，则实数λ的取值范围是____24. O 是锐角∆ABC 所在平面内的一定点,动点P满足:OP OA =+2ABAB Sin ABCλ⎛ +∠⎝2ACACSin ACB ⎫⎪⎪⎪∠⎭ ,()0,λ∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过∆ABC 的______心CADEB25. 已知O 为坐标原点，(),OP x y = ，(),0OA a = ，()0,OB a = ，()3,4OC =，记PA 、PB 、PC中的最大值为M ，当a 取遍一切实数时，M 的取值范围是_____26. 已知ABC ∆中，I 为内心，2,3,4,AC BC AB AI xAB yAC ====+且，则x y +的值为 _________ .27. 设G 是ABC ∆的重心，且0)sin 35()sin 40()sin 56(=++GC C GB B GA A ，则角B 的大小 为__________28. 平面内两个非零向量βα,1=，且α与αβ-的夹角为0135的取值范围是_________29. 在ABC ∆中，2,1==AC AB ，O 为ABC ∆外接圆的圆心，则=⋅____30. △ABC 内接于以O 为圆心的圆，且3450OA OB OC +-=．则C ∠= ．31. 在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝7，AC =3，以A 为圆心，r =2为半径作一个圆，设PQ 为圆A 的任意一条直径，记T ＝→→∙CQ BP ,则T 的最大值为 ．32. 如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥，BC = BD ，1AD =，则AC AD ⋅=____________33. 已知点O 为△ABC 内一点，且OA →＋2OB →＋3OC →＝0→，则△AOB 、△AOC 、△BOC 的面积之比等于_______________34.已知 A.B.C 是△ABC 的三个顶点，ABC CA BC CB AB AC AB AB ∆⋅+⋅+⋅=则,2为_________________三角形.A BCPAB CODE35.平面上的向量,满足422=+，且0=⋅,若向量PB PA PC 3231+=的最大值为___________36.已知在平面直角坐标系中，),,(),3,2(),1,0(),21,1(),0,0(y x P Q N M O 动点满足0OQ OP ON OP OM OP ⋅≤⋅≤≤⋅≤则.10,1的最大值为37、在△ABC 中，已知2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AH BC ⊥于H ，M 为AH的中点，若AM AB BC λμ=+，则λμ+= .38. 如图，在ABC ∆和AEF ∆中，B 是EF 的中点，2AB EF ==，3CA CB ==，若7AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于 _．39. 如图，在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB=EF=1，CA=CB=2，若2AB A E AC A F ⋅+⋅=，则EF与BC的夹角等于 ；C40. 如图，已知Rt BCD △的一条直角边BC 与等腰Rt ABC △的斜边BC 重合，若2AB =，30CBD ∠=，AD mAB nAC =+，则m n - ＝ .41.在ABC ∆中，若I 是其内一点，满足0=⋅+⋅+⋅IC c IB b IA a ，求证：I 为内心42. 已知向量,,满足条件：0OA OB OC ++= ，且O A O B O C ===2，点P 是∆ABC 内一动点，则=⋅+⋅+⋅CP CA BP BC AP AB .43. 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若B nO A mOC O+=，则n m +的取值范围是44.如图，n m +=，点Pn m ,满足的条件是___________45. 在△ABC 中，π6A ∠=，D 是BC 边上任意一点（D 与B 、C 不重合），且22||||AB AD BD DC =+⋅ ，则B ∠等于46. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，,2==BC AC D 是ABC ∆内切圆圆心，设P 是⊙D 外的三角形ABC 区域内的动点，若μλ+=，则点),(μλ所在区域的面积为高考精选高难度压轴填空题----平面向量专题试题 及答案1. 在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝3，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ⋅＝_____________【答案】27- 解析：27)(21)()()()(-=+⋅-=⋅-=+⋅-=⋅2.0,31=⋅==OB OA ，点C 在AOB ∠内，AOC ∠30o =.设(,)OC mOA nOB m n R =+∈ ，则mn等于【答案】3[解析]：法一：建立坐标系，设),(y x C 则由(,)OC mOA nOB m n R =+∈得⎩⎨⎧==⇒+=ny m x n m y x 3)3,0()0,1(),(而030=∠AOC 故n m x y 330tan 0==法二：(,)OC mOA nOB m n R =+∈两边同乘或得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅⇒=⋅=⇒=⋅n n mm 3321323两式相除得3=n m 3. 在△ABC 中，若4=∙=∙，则边AB 的长等于 22ABCPQ解析：4=∙=∙88)(2=⇒=+⇒4. 已知点G 是ABC ∆的重心，点P 是GBC ∆内一点，若,AP AB AC λμλμ=++则的取值范围是___________)1,32(解析：=+=+=''32GP AG λ )()(31n m t +++(其中1,10=+<<n m t ) =)](31)(31[)(31BC AC n CB AB m t AC AB +⋅++⋅++ =nt mt )1(31)1(31+++，则)1,32(3132∈+=+t μλ 5. 已知O 为ABC ∆所在平面内一点，满足22OA BC += 22OB CA +=22OC AB + ，则点O 是ABC ∆的 心 垂心解析： 22OA BC += 22OB CA += 0))(())((=-++-+⇒CA BC CA BC OB OA OB OA02=⋅⇒OC BA ，可知AB OC ⊥，其余同理6. 设点O 是△ABC 的外心，AB ＝c ，AC ＝b ，()1122=+-c b 则→BC ·→AO 的取值范围 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,41-ABCGP G ’P ’解析：()1122=+-c b 222b b c -=⇒200<<⇒>b)(2122cos cos )(22c b R c cR R b bR cR bR AO AB AC AO BC -=⋅-⋅=-=⋅-=⋅βα ∈--=-=41)21(22b b b ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,41-7. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于_____32解析：（2007全国联赛类似38.39题）因为2=⋅+⋅AF AC AE AB ， 所以2)()(=+⋅++⋅，即22=⋅+⋅+⋅+。