M波动4
15波动(横波、纵波、行波、简谐波、波长、波速、波动方程)
t
x 20
m
得： u=20m/s
由 = uT = u/ ν = 20/200 = 0.1m
速度和加速度的公式如下：
v y A sin(t 2x / )
18
t
代入相应的量
v 2103 400 sin(400t 20x)
加速度为：
a v 2103 (400 )2 cos(400t 20x)
t x = 1m代入得
v 0.8 sin 400t(m / s) a 320 2 cos(400t)(m / s2 )
19
例2、对于柔软的绳索和弦线中横波波速为 u
F
F为绳索或弦线中张力; 为质量线密度
y(0,0)=0 v0>0 初位相为 φ= －π/2
X
0.2m 0.4m
y Acos(2 t 2x ) T 2
4102 cos(100t 5x
2)m
20
因为：v
y
y( x,
x) u
0
]
所以 v y y(x,t) 12.6cos(100t 5x)(m / s)
第六章
波动
1
6-1、波动学基础
波动是自然界最常见的一种运动形式。例如 机械波：水波、声波、地震波。其传播需要有介质。
电磁波：无线电波、光波、各种射线等，其传播无需 介质。
物质波：近代物理发现实物粒子也具有波性，即物质 波。
各种波性质不同，但又有共性。可以传递能量，可以 产生反射、折射、干涉、衍射等现象。以有限的速率 传播。
初位相不为0时：
y(x,t) Acos[(t x) ]
波动学中的基本概念和波的特性
波动学中的基本概念和波的特性波动学是物理学的一个重要分支，研究波的产生、传播和性质。
波动学的研究可以帮助我们更好地理解自然界中的各种波现象，如光波、声波和水波等。
本文将介绍波动学中的基本概念和波的特性。
一、基本概念1. 波的定义与分类波是能量以波动的形式传播的一种物理现象。
根据波动的性质，波可以分为机械波和电磁波两大类。
机械波需要介质传播，如水波和声波；而电磁波则可以在真空中传播，如光波和无线电波。
2. 波的参数波的传播过程中有一些基本参数需要了解，包括：频率（f）：波动中每单位时间内传播的周期数，单位是赫兹（Hz）。
振幅（A）：波动的最大偏离量或幅度。
波长（λ）：波动中一个完整波形的长度，单位是米（m）。
速度（v）：波动传播的速度，单位是米每秒（m/s）。
二、波的特性1. 反射与折射波在传播过程中会遇到障碍物或介质边界时，会发生反射和折射。
反射是指波碰到障碍物后，改变传播方向，但不改变介质。
折射则是指波从一种介质传播到另一种介质时，改变传播方向和传播速度。
2. 干涉与衍射干涉是指两个或多个波相遇并叠加产生新的波动现象。
衍射则是指波通过一个窄的缝隙或障碍物后，波的传播方向会改变以及波面发生弯曲的现象。
3. 声音的传播声波是一种机械波，需要通过介质传播，一般是通过空气传播。
声音的传播速度与介质的属性有关，一般情况下，在空气中的声速为大约343米每秒。
4. 光的性质光是一种电磁波，可以在真空和介质中传播。
光波可以表现出粒子性和波动性，这一原理被称为光的波粒二相性。
光的波长决定了其在介质中的折射、散射和干涉等现象。
5. 光的衍射与干涉光的衍射和干涉现象直接证明了光具有波动特性。
衍射是指光通过一个缝隙或障碍物后，光波的传播方向会改变和波面会发生弯曲的现象。
干涉则是指两个或多个光波相遇并叠加产生新的光现象。
通过以上介绍，我们了解了波动学中的一些基本概念和波的特性。
波的形成、传播和相互作用是自然界中各种波现象的基础。
大学物理振动波动例题习题
振动波动一、例题（一）振动1。
证明单摆是简谐振动，给出振动周期及圆频率.2. 一质点沿x 轴作简谐运动，振幅为12cm,周期为2s 。
当t = 0时， 位移为6cm ，且向x 轴正方向运动。
求： （1） 振动表达式；(2) t = 0.5s 时，质点的位置、速度和加速度；(3)如果在某时刻质点位于x =—0.6cm ，且向x 轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。
3。
已知两同方向，同频率的简谐振动的方程分别为：x 1= 0.05cos （10 t + 0.75π) 20.06cos(100.25)(SI)x t π=+求：(1)合振动的初相及振幅.(2)若有另一同方向、同频率的简谐振动x 3 = 0。
07cos (10 t +ϕ 3 ）, 则当ϕ 3为多少时 x 1 + x 3 的振幅最大？又ϕ 3为多少时 x 2 + x 3的振幅最小？（二）波动1. 平面简谐波沿x 轴正方向传播，振幅为2 cm ，频率为 50 Hz ，波速为 200 m/s.在t = 0时，x = 0处的质点正在平衡位置向y 轴正方向运动，求:(1）波动方程(2)x = 4 m 处媒质质点振动的表达式及该点在t = 2 s 时的振动速度。
2. 一平面简谐波以速度m/s 8.0=u 沿x 轴负方向传播.已知原点的振动曲线如图所示.求:（1）原点的振动表达式；(2）波动表达式；（3）同一时刻相距m 1的两点之间的位相差.3. 两相干波源S 1和S 2的振动方程分别是1cos y A t ω=和2cos(/2)y A t ωπ=+.S 1距P 点3个波长，S 2距P 点21/4个波长。
求:两波在P 点引起的合振动振幅。
4。
沿X 轴传播的平面简谐波方程为：310cos[200(t )]200x y π-=- ，隔开两种媒质的反射界面A 与坐标原点O 相距2。
25m ，反射波振幅无变化，反射处为固定端，求反射波的方程.二、习题课（一)振动1. 一质点在x 轴上作简谐振动，振辐A = 4 cm,周期T = 2 s ，其平衡位置取作坐标原点.若t = 0时刻质点第一次通过x = -2 cm 处，且向x 轴负方向运动，则O 2.25m Ax t O A/2 -A x 1 x 2 质点第二次通过x = -2 cm 处的时刻为［ ］（A) 1 s (B) (2/3) s (C ） (4/3) s （D ） 2 s2.已知某简谐振动的振动曲线如图所示，则此简谐振动的振动方程为(A ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3232cos 2ππt x ;（B ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=332cos 2ππt x ;（C) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3234cos 2ππt x ；（D ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=334cos 2ππt x 。
第一章_波动方程
u ( 3) 2 x 0 y x 2u 2u 2u ( 4) 2 2 2 sin x xy y x
( 5)
2u x
2
2
3u x y
假定有垂直于x轴方向的外力存在，并设其线密度为F(x,t)，则 弦段(x, x+Δx)上的外力为：
x x
x
F ( x ,t) dx
它在时间段(t, t+Δt)内的冲量为：
t x
t t x x
F ( x , t ) dx dt
数学物理方程
第一章 波动方程
于是有：
2 2 u ( x , t ) u ( x , t ) [ 2 T F ( x , t )] dx dt 0 2 t x t x t t x x
u T x
x a
k u x a
或
u u 0 x xa
数学物理方程
第一章 波动方程
§1.2 定解条件
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边
界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即
个性。 初始条件：够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束 情况的条件。 其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。
y
M'
T'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x
ds
'
T
M
gds
x x dx x
数学物理方程
波节和波腹的位置公式
波节和波腹的位置公式以波节和波腹的位置公式为标题，让我们来探讨一下波动现象中的波节和波腹的位置关系。
在物理学中，波动是一种能量传播的现象，它可以在空间中传播，而不需要传递物质本身。
波动可以分为机械波和电磁波两种类型。
在机械波中，波动的介质会在传播过程中发生振动，从而形成波节和波腹的位置。
波节是波动过程中的振动幅度最小的点，也就是说，波节是振幅为零的点。
而波腹则是振动幅度最大的点，它是波动过程中振幅最大的位置。
波节和波腹的位置关系可以使用一定的数学公式来表示。
对于一维波动，可以使用以下公式来计算波节和波腹的位置：波节的位置公式为：x = (2n-1)λ/4其中，x表示波节的位置，n表示波的阶数，λ表示波长。
公式中的2n-1表示奇数，因为波节是振幅为零的点。
而λ/4则表示在波动过程中，相邻的波节之间的距离。
波腹的位置公式为：x = nλ/2其中，x表示波腹的位置，n表示波的阶数，λ表示波长。
公式中的n表示整数，因为波腹是振幅最大的点。
而λ/2则表示在波动过程中，相邻的波腹之间的距离。
这两个位置公式可以帮助我们确定波的振动情况。
例如，当n为1时，根据波节的位置公式，我们可以计算出第一个波节的位置在波长的1/4处；而根据波腹的位置公式，我们可以计算出第一个波腹的位置在波长的1/2处。
在实际应用中，这些位置公式可以帮助我们分析和理解波动现象。
例如，在音乐中，声音可以看作是一种机械波的传播，我们可以利用波节和波腹的位置关系来控制声音的音调和音质。
在工程中，我们可以利用波节和波腹的位置关系来优化声波的传输和反射，以提高声音的质量。
除了一维波动，波节和波腹的位置关系在二维和三维波动中也有相应的公式。
在二维波动中，波节和波腹的位置可以由以下公式确定：波节的位置公式为：x = (2n-1)λx/4，y = (2m-1)λy/4波腹的位置公式为：x = nλx/2，y = mλy/2其中，x和y分别表示波节和波腹的位置，n和m表示波的阶数，λx和λy分别表示波在x和y方向上的波长。
简谐振动与波动
简谐振动与波动简谐振动与波动是物理学中的两个重要概念，它们在科学研究和日常生活中有着广泛的应用。
简谐振动是指物体在一个恒定的力的作用下，沿着一个确定的轴向往复振动的运动方式。
波动则是指一种从一个地方传递到另一个地方的能量的传播形式。
本文将从原理、特点和应用等方面介绍简谐振动与波动的相关知识。
简谐振动的原理是基于弹簧的力学性质。
当物体固定在弹簧上，并受到与位移成正比的恢复力时，会发生简谐振动。
根据胡克定律，弹簧的恢复力与位移成正比，即F = -kx，其中F为恢复力，k为弹簧常数，x为位移。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与受力成正比，即F = ma，其中m为物体的质量，a为加速度。
结合这两个定律，可以得出简谐振动的微分方程：m(d²x/dt²) = -kx。
解这个微分方程可以得到简谐振动的运动方程：x(t) = A*cos(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
简谐振动具有几个重要的特点。
首先，振动周期与振幅无关，只与物体的质量和弹簧的劲度系数有关。
其次，振动频率与弹簧的劲度系数和物体的质量有关，频率越高，弹簧越硬或物体越轻。
再次，简谐振动是一个周期性的振动，即振动重复的间隔是相等的。
最后，简谐振动的能量在一个完整的周期内来回转化，始终保持总能量不变。
简谐振动的应用非常广泛。
在物理学中，简谐振动是研究其他复杂振动的基础，例如电磁振动和声波振动等。
在工程领域，简谐振动的原理和特性被用于设计和调节机械装置，例如钟摆、天平和弹簧悬挂等。
在日常生活中，简谐振动的例子也很常见，例如摇椅的摆动、钟表的摆动以及弹簧床垫的震动等。
波动是一种能量传播的现象，常见的波动包括机械波和电磁波。
机械波是由介质的振动传播引起的，例如水波和声波。
电磁波是由电场和磁场的振动引起的，例如光波和无线电波。
波动具有几个重要的特点。
首先，波动是沿着某个方向传播的，例如水波是沿着水平方向传播的，声波是沿着空气中的压力变化方向传播的。
振动学基础-大学物理
2
A cos (t
)
7
8
特征量：
x 位移
A 振幅
广义：振动的物理量 最大位移 由初始条件决定 表征了系统的能量
9
x Acos t
圆频率 角频率
频率
2π
T 周期 T 1
系统的周期性 固有的性质 称固有频率…
t 相位 位相
初相位
初位相
取决于时间零点的选择
10
小结
S. H. V. 的判据
= /4 = /2 = 3/4
P··Q
= = 5/4 = 3/2 = 7/4
（-3/4） （-/2） （-/4）
35
§3 平面简谐波 一 机械波产生的条件 1 机械波的基本概念
一、波的产生 二、横波和纵波 三、波长 波的周期和频率 波速
36
一、机械波的产生 1、机械波——机械振动在弹性介质（固体、液 体和气体）内的传播
45
因 t' x u
yP (t)
A cos
t
x u
0
波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出， 此即所求的沿x 轴方向前进的平面简谐波的波动方程。
如果波沿x轴负方向传播,则相应的波动方程为:
yP (t)
A c os
t
x u
0
利用关系式 2 T 和 2 ，并uT概括波的两种可能的
y
hSg mg
船在任一位置时，以水面为坐标原点,竖直 向下的坐标轴为y 轴，船的位移用y 表示。
12
船的位移为y 时船所受合力为：
f (h y)Sg mg ySg
船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为:
Sg
m
因 m Sh,
横波和纵波横波质元的振动方向与波动的传播方向垂直纵波
----平面波波动方程的微分形式
上式反映一切平面波的共同特 征
服从该式的任何物理量或系 统，一定是以u速度沿x方向 传播的平面波
波线上任一点的振动速度v是 t 的函数。而波的传播速度u(即相 速)，与 t 无关
[例1]由麦克斯韦方程组说明真空 中电磁波为平面波。
解：在真空中有
D
E
0
B
BH0D
y 2cos[2 (t x ) ]
B Ax
10
令x=-0.05m，得到B点的振动方程
yB
2cos[2 (t 2 cos(2t
0.05
10) ] )
100
以B点y为坐2标co原s[点2的(t波动x )方程为 ]
vB
d yB dt
4
u sin(
100
2t
100
)
vB max 4
§16-3 波的能量 波的强度
3 18
得 x (12 36k) k 0,1,2
----各波峰的位置坐标
[例3]下图为一平面余弦横波 t=0时的波 形，此波形以u=0.08米/秒的速度沿x轴 正向传播。求： a,b两点的振动方向；
0点的振动方程； 波动方程
解： 由波形传播过程 a向下, b向上
知y m
0.2 a b
u
0.4
2 9 2 y( x, t) 6102 cos[ (t x ) ] m
9 23
x=9m时，其振动方程
y(t) 6102 cos( t ) m
96
t =3s时，波形方程
y( x) 6102 cos(2 x) m
波峰处有
cos( 2
3 x)
18 1
3 18
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
) cos 2t
x
谐振因子
讨论： 2
A( x) 2 A cos
2
当 — x = (2k+1) — 时， 振幅最小 2 波节位置坐标
x = (2k +1) — 4
波节、波腹位置
A(x)=0 ——波节 (9-30)
(k =0,1,2,)
——波腹
2 当 — x= k 时，振幅最大
第 9 章 波动 (第四讲) 主讲：王建星
作业：重做 例题１ 预习：§10. 1、§10. 2
§9. 5 驻波 ——干涉特例 一．驻波的形成 两列振幅 A 相同的相干波在同一直线上沿相
反方向传播叠加而形成的波。
+ 电动音叉 波 波 节 腹
u
u
驻波特征： (1) 波形不移动，出现波节、波腹；相邻波节(波腹)间距 =/2 。 (2) 质点做分段振动；相邻两波节间的质点具有相同的相位，
波节两侧的质点具有相反的相位。
二．驻波方程
设两分波动方程
合成波动方程
t x y1 A (波节)间距为 /2
t x y2相邻波腹与波节位置间距 A cos 2 ( ) ? /4 T
(9-29) ——驻波方程 驻波的波函数
y = y1+ y2 (2 A cos 2
相当于 =/2 实验 2) 反射点 为自由端
半波损失！ u u
在反射点出现波腹
合振幅为 2A
12= 0
相位不变，无半波损失！
当波在两种介质 界面上反射时： 入射波
1.u1
2 .u2
透射波
u大者为波密介质， u小者为波疏介质。
理论和实验证明： 若
反射波
1u1 2u2
x 解：求波节位置坐标： cos —— = 0 4 x =2(2k+1) x =2,6,10,
显然这两点在波节（ x = 2 ）两侧，故 = 。
还可将x=1、x=3分别代入，由它们的符号相同与否来判断
=0或 。
A(x)=2A
波腹位置坐标
x=k— 2
(k =0,1,2,)
(9-31)
三． (1) 振幅
驻波 随 x 做周期性变化。 波节 Amin=0； 波腹 Amax=2A； 其它处 0 ～2A
与
行波
不变
(2) 相位
2 相邻两波节之间的点同相；波 (t,x)=t — x+ 节两侧的点反相。无相位传播， 沿波向逐点落后。 仅在波节处发生相位突变。
因 x l ，所以， k =0,1,2
2 |sin — (l x )|=1 波腹坐标 x =l(2k+1)/4
波腹
2 — (l x )= (2k+1) — 2
k=0,1,2
例2：设波的表达式为
10 y =10cos——xcos——t 。 4 4
。
位于 x =1和 x =3的两点之相位差
反射波方程（B点为已知点）
l x l y2=Acos[(t —— —) ] c c x 2l =Acos[(t + — —) ] c c
x y1=Acos(t —) c y = y1+ y2
x 2l y2 =Acos[(t + — —) ] c c
Y O l
(2) 合成后，波节和波腹的位置
B
l l x =2Acos[(t — c)— 2 ]cos[( —— c )+— 2] (l x )sin(t — l ) = 2Asin 2 — c
X
2 波节 sin — (l x )=0
波节坐标
x=lk— 2
2 — (l x )= k
例1．有一平面波在距反射壁B为 l 处的振动规律为
y =Acost
设波速为 c (反射时有半波损失)。求： (1) 入射波和反射波的表达式； (2) 合成后，波节和波腹的位置。 解：(1) 建立图示坐标，
y
O
l
B
x
x 入射波方程 y1=Acos(t —) c l y1B=Acos(t —) 在B点(x=l) 引起的振动 c l 反射波在B点引起的振动 y2B=Acos[(t —) ] c
无能量传播。 能量时而集中在波节， 时而集中在波腹。 • • • • 沿波向传播能量
(3) 能量
– 1 P = — u2A2 S 2
– （参与题）为何驻波 P=0
四．相位跃变 （半波损失） 实验 1) 反射点 为固定端 入射波引起 反射波引起 C
在反射点出现波节
y1=Acos(t+ ) y2=Acos(t + ) 相位突变 ！
（从波疏介质进入波密介质）
反射波中产生“半波损失”，界面出现节 若
1u1 2u
点 2（从波密介质进入波疏介质）
反射波中无“半波损失”，界面出现波腹
五．振动的简正模式 声源均作驻波式振动
（了解） • 波节 l •
弦的振动——两端固定 • • 只有那些半波长的整数倍恰等于弦 音调：决定于基音的频率。 l 长的波动，才能在弦中激发起来。 音色：决定于泛音频率的 • • 2l 多少和相对振幅。 n= —— 即： l =n — 2 n l u u 利用驻波测量声波 ，u 因 n =1，2，… ——本征频率 故 n n 2l 用孔特管测波长 对应的振动方式称为“简正模式” E u 0 金属横杆 u0 L 0 n =1，1=2l， 1 4 基音(基频) A1最大 强度最大 2l 孔特管中：测出 ，由 u =u u n =2，2=l， 2 2 1声速 第一泛音 …… l A2, A3 ……较小 n =k， k =k 1