重庆市万州二中2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
【精选高中试题】重庆市万州二中高二期中考试题数学Word版含答案
绝密★启用前2017-2018学年度万州二中高2019级期中考试数学试题注意事项：1.选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.2.非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.3.有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共150分.考试时间120分钟第I 卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置） 1．“1x <-”是“210x ->”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知经过点()3,P m 和点(),2Q m -的直线的斜率等于2，则m 的值为（ ）A.43B. 1C. 2D. 1- 3．直线013=-+y x 的倾斜角为（ ）A ．3π B ．6π C ．32π D ．65π4．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）A. ①②B. ①③C. ①④D. ②④5．如图所示的直观图中，O′A′=O′B′=2，则其平面图形的面积是( )A.4B.24C.22D.86．两圆221C 4470x y x y ++-+=：，222C 410130x y x y +--+=：的公切线的条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．若直线()2200,0ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则14a b+的最小值是（ ） A.16 B.9 C.12 D.88．已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -，则球O 的表面积为（ ） A ．36π B ．64π C ．144π D ．256π 9．如图所示，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，以下四个结论中正确的是（ ）A ．直线MN 与BC 1所成角为90°B ．直线AM 与BN 互相平行C ．直线MN 与DC 1互相垂直D ．直线MN 垂直于平面A 1BCD 1 10.在空间直角坐标系Oxyz中,已知()(()(2,0,02,2,20,2,01,1,2A B C ，，，.若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A.B.C.D.11．已知某几何体的外接球的半径为错误！未找到引用源。
重庆市万州区高二数学下学期期中试题 文
重庆市万州区2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1．已知全集{}U=2,3,4,5,6,7，集合{}A=4,5,7， {}B=4,6，则 A (∁U B )=（ ） A. {}5 B. {}2 C. {}2,5 D. {}5,72．已知i 为虚数单位，则13ii+=-（ ） A. 25i - B. 25i + C. 125i - D. 125i+3．命题“N n ∀∈， ()N f n ∉且()f n n ≤”的否定形式是（ ）A. N n ∀∈， ()N f n ∈且()f n n >B. 0N n ∃∈， ()0N f n ∈且()00f n n >C. N n ∀∈， ()N f n ∈或()f n n >D. 0N n ∃∈， ()0N f n ∈或()00f n n > 4．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A.22lg ,lg y x y x == B.()()()01,1f x x g x =-=C.()()21,11x f x g x x x -==+- D.()()f x g t t == 5． 已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 56．设某中学的高中女生体重y (单位：kg )与身高x (单位：cm )具有线性相关关系，根据一组样本数据),(i i y x （n i ,,3,2,1⋅⋅⋅=），用最小二乘法近似得到回归直线方程为71.8585.0ˆ-=x y，则下列结论中不正确的是（ ） A. y 与x 具有正线性相关关系 B. 回归直线过样本的中心点),(y xC. 若该中学某高中女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD. 若该中学某高中女生身高为160cm ，则可断定其体重必为50.29kg .7．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以20a >”，你认为这个推理 （ ）A ．大前提错误B ．小前提错误 C. 推理形式错误 D ．是正确的 8．若实数,x y 满足11ln0x y--=，则y 关于x 的函数图象的大致形状是（ ）A. B. C. D.9． 已知在曲线()21ax f x x =+在点()()1,1f 处切线的斜率为1，则实数a 的值为（ ）A ．34-B ．43 C. 32 D ．32- 10．“一支医疗救援队里的医生和护士，包括我在内，总共是13名．下面讲到的人员情况，无论是否把我计算在内，都不会有任何变化．在这些医务人员中：①护士不少于医生；②男医生多于女护士；③女护士多于男护士；④至少有一位女医生．”由此推测这位说话人的性别和职务是（ ） A. 男护士 B. 女护士 C. 男医生 D. 女医生 11．已知函数⎩⎨⎧≤≤--≤-=73,1|5|1),2(log )(x x x x x f a （0>a 且1≠a ）的图象上关于直线1=x 对称的点有且仅有一对，则实数a 的取值范围是（ ）A.}3{]51,71[ B.}71{]5,3[ C.}5{]31,71[ D.}51{]7,3[12．设函数()(21)xf x e x ax a =--+,其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A. 3[,1)2e -B. 33[,)24e - C. 33[,)24e D. 3[,1)2e 第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．已知复数12z ai =+, 22z i =-（其中0a >， i 为虚数单位）.若12z z =，则a 的值为__________． 14．若x x f 131211)(++++= ，计算得当1=n 时23)2(=f ，当2≥n 时有2)4(>f ，25)8(>f ，3)16(>f ， ,27)32(>f ，因此猜测当2≥n 时，一般有不等式________________15．已知y x ,取值如下表：画散点图分析可知：y 与x 线性相关，且求得回归方程为1ˆ+=x y，则m 的值为___________．16． ．已知函数在上单调递减，且方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________．三、解答题17．（本小题共12分）已知命题0208:2≤--x x p ，命题)0(012:22>≥-+-a a x x q ，若p ⌝是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．18．（本小题共12分）求证：(1)222a b c ab ac bc ++≥++; (2) 6+7>5。
2017—2018学年第二学期高二年级期中考试数学(理)试卷解析版
2017～2018学年第二学期高二年级期中考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面内，复数ii+310对应的点的坐标为( A )A ．)3,1(B ．)1,3(C ．)3,1(-D ．)1,3(-2.已知随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，若15.0)6()2(=>=<ξξP P ，则=<≤)42(ξP （ B ）A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.7 3.设)(x f 在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数)('x f 的图象可能是（ B ）4.用反证法证明命题：“若0)1)(1)(1(>---c b a ，则c b a ,,中至少有一个大于1”时，下列假设中正确的是( B )A ．假设c b a ,,都大于1B ．假设c b a ,,都不大于1C ．假设c b a ,,至多有一个大于1D ．假设c b a ,,至多有两个大于15.用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222+=+++-++-+++n n n n n 时，从)(*N k k n ∈=到1+=k n 时，等式左边应添加的式子是( B )A ．222)1(k k +- B ．22)1(k k ++ C ．2)1(+k D.]1)1(2)[1(312+++k k6.3名志愿者完成4项工作，每人至少1项，每项由1人完成，则不同的安排方式共有（ D ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 7.在62)12(xx -的展开式中，含7x 的项的系数是（ D ） A ．60 B ．160 C ．180 D ．2408.函数xe xf x2)(=的导函数是（ C ）A ．xe xf 2'2)(= B ．x e x f x 2'2)(= C ．22')12()(x e x x f x -= D ．22')1()(x e x x f x -=9.已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处的极值为10，则数对),(b a 为（ C ）A ．)3,3(-B ．)4,11(-C ．)11,4(-D ．)3,3(-或)11,4(-10.若等差数列}{n a 公差为d ，前n 项和为n S ，则数列}{n S n 为等差数列，公差为2d.类似，若各项均为正数的等比数列}{n b 公比为q ，前n 项积为n T ，则等比数列}{n n T 公比为( C )A.2q B ．2q C.q D.n q 11.将3颗骰子各掷一次，记事件A 表示“三个点数都不相同”，事件B 表示“至少出现一个3点”，则概率=)|(B A P ( C )A.21691 B.185 C.9160 D.2112.定义在R 上的偶函数)(x f 的导函数为)('x f ，若对任意实数x ，都有2)()(2'<+x xf x f 恒成立，则使1)1()(22-<-x f x f x 成立的实数x 的取值范围为（ B ）A ．}1|{±≠x xB ．),1()1,(+∞--∞C ．)1,1(-D ．)1,0()0,1( - 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设),(~p n B ξ，若有4)(,12)(==ξξD E ，则=p 2/3 14.若函数32)1(21)(2'+--=x x f x f ，则=-)1('f -1 15.如图所示，阴影部分的面积是 32/316.已知函数)(x f 的定义域为]5,1[-，部分对应值如下表，)(x f 的导函数)('x f y =的图象如图所示，给出关于)(x f 的下列命题：②函数)(x f 在]1,0[是减函数，在]2,1[是增函数； ③当21<<a 时，函数a x f y -=)(有4个零点；④如果当],1[t x -∈时，)(x f 的最大值是2，那么t 的最小值为0． 其中所有正确命题是 ①③④ （写出正确命题的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分）设复数i m m m m z )23()32(22+++--=，试求实数m 的取值，使得 （1）z 是纯虚数； （2）z 对应的点位于复平面的第二象限． 解：（1）复数是一个纯虚数，实部等于零而虚部不等于0分5302303222 =∴⎪⎩⎪⎨⎧≠++=--m m m m m （2）当复数对应的点在第二象限时，分103102303222<<-∴⎪⎩⎪⎨⎧>++<--m m m m m 18.（本小题满分12分) 在数列}{n a 中，已知)(13,2*11N n a a a a n nn ∈+==+（1）计算432,,a a a 的值，并猜想出}{n a 的通项公式； （2）请用数学归纳法证明你的猜想． 解：（1）72123213112=+⨯=+=a a a ,19213,132********=+==+=a a a a a a于是猜想出分5562-=n a n （2）①当1=n 时，显然成立；②假设当)(*N k k n ∈=时，猜想成立，即562-=k a k 则当1+=k n 时，5)1(6216215623562131-+=+=+-⨯-=+=+k k k k a a a k k k ， 即当1+=k n 时猜想也成立． 综合①②可知对于一切分12562,*-=∈n a N n n 19.（本小题满分12分)“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件.（1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X ，求X 的分布列及数学期望； （2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的分布列及数学期望． 解：（1）随机变量X 的可能取值为0,1,23821)0(22021505===C C C X P ，3815)1(22011515===C C C X P ， 191)2(22001525===C C C X P , 所以随机变量X 的分布列为：分62192381380 =⨯+⨯+⨯=∴EX（2）合格机器人的件数可能是0,1,2,3，相应的不合格机器人的件数为3,2,1,0.所以ξ的可能取值为1,3，有题意知：1122213331319(1)()()()()444416P C C ξ==+=，3333331317(3)()()()()444416P C C ξ==+= 所以随机变量ξ的分布列为：分128163161)( =⨯+⨯=∴ξE 20.（本小题满分12分)编号为5,4,3,2,1的五位学生随意入座编号为5,4,3,2,1的五个座位，每位学生坐一个座位．设与座位编号相同的学生人数是X .(1)试求恰好有3个学生与座位编号相同的概率)3(=X P ； (2)求随机变量X 的分布列及均值．解：(1)恰好有3个学生与座位编号相同，这时另两个学生与座位编号不同，所以分412112010)3(5525 ====A C X P(2)随机变量X 的一切可能值为0,1,2,3,4,5. 且121)3(,00)4(,120112011)5(5555=========X P A X P A X P ； 83120459)1(,61120202)2(55155525========A C X P A C X P301112044)]5()4()3()2()1([1)0(===+=+=+=+=-==X P X P X P X P X P X P 随机变量X 的分布列为故分1211205041236281300)( =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E 21.（本小题满分12分)已知函数)(ln )(R a x ax x f ∈+=（1）若2=a ，求曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间；（3）设22)(2+-=x x x g ，若对任意),0(1+∞∈x ，均存在]1,0[2∈x ，使得)()(21x g x f <，求a 的取值范围． 解：（1）2),0(1)('=>+=a x x a x f )0(12)('>+=∴x xx f ， 3)1('=∴f ， 3=∴k又切点)2,1(，所以切线方程为)1(32-=-x y ，即：013=--y x 故曲线)(x f y =在1=x 处切线的切线方程为分4013 =--y x（2）)0(11)('>+=+=x xax x a x f ①当0≥a 时，0)('>x f ，所以)(x f 的单调递增区间为分6),0( +∞②当0<a 时，由0)('=x f ，得ax 1-= 在区间)1,0(a -上0)('>x f ，在区间),1(+∞-a上，0)('<x f . 所以，函数)(x f 的单调递增区间为)1,0(a -，单调递减区间为分8),1( +∞-a（3）由已知，转化为]1,0[,1)1()(,)()(2max max ∈+-=<x x x g x g x f ，2)(max =∴x g 由（2）知，当0≥a 时，)(x f 在),0(+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意． （或者举出反例：存在23)(33>+=ae e f ，故不符合题意．）当0<a 时，)(x f 在)1,0(a -上单调递增，在),1(+∞-a上单调递减， 故)(x f 的极大值即为最大值，)ln(1)1()(max a af x f ---=-=， 所以2)ln(1<---a ，解得31e a -< 综上：分1213 ea -< 22.（本小题满分12分) 已知函数2()ln(1)f x ax x =++ （1）当14a =-时，求函数()f x 的极值； （2）若函数()f x 在区间[1)+∞，上为减函数，求实数a 的取值范围 （3）当[0)x ∈+∞，时，不等式()f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）)1()1(2)1)(2(1121)('->+-+-=++-=x x x x x x x f 令0)('>x f 得11<<-x ，令0)('<x f 得1>x .)(x f ∴在)1,1(-上是增函数，在),1(+∞上是减函数. 2ln 41)1()(+-==∴f x f 极大值，)(x f 无极小值分4（2）因为函数)(x f 在区间[1)+∞，上为减函数， 所以0112)('≤++=x ax x f 对任意的),1[+∞∈x 恒成立， 即)1(21+-≤x x a 对任意的),1[+∞∈x 恒成立，4121)211(2121)21(21)1(2122-=-+-≥-+-=+-x x x分841-≤∴a（3）因为当[0)x ∈+∞，时，不等式()f x x ≤恒成立， 即0)1ln(2≤-++x x ax 恒成立，令)0()1ln()(2≥-++=x x x ax x g ， 转化为0)(max ≤x g 即可.1)]12(2[1112)('+-+=-++=x a ax x x ax x g 当0=a 时，1)('+-=x x x g ，0>x ，0)('<∴x g 即)(x g 在),0[+∞上单调递减，故0)0()(=≤g x g 成立. 当0>a 时，令0)('=x g 得，0=x 或121-=ax 若0121≤-a 即21≥a 时，),0(+∞∈x 有0)('>x g ， 则)(x g 在),0[+∞上单调递增，0)0()(=≥g x g ，不满足题设； 若0121>-a 即210<<a 时，)121,0(-∈a x 有0)('<x g ，),121(+∞-∈ax 有0)('>x g ， 则)(x g 在)121,0(-a 上单调递减，在),121(+∞-a上单调递增，无最大值，不满足题设； 当0<a 时，0>x ，0)('<∴x g即)(x g 在),0[+∞上单调递减，故0)0()(=≤g x g 成立. 综上：实数a 的取值范围为分12]0,( -∞。
2018-2019学年重庆市万州二中高二下学期期中考试 数学(理)
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
6．已知 ( ) = 3 + 2 + ( + 6) + 1 有极大值和极小值，则 a 的取值范围为( )
A．( − 1,2)
B． ( − ∞, − 3) ∪ (6, + ∞)
C．( − 3,2)
D．( − ∞, − 1) ∪ (2, + ∞)
7．我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》
①当 ≤ 0 时， '( ) < 0， ( )在(0, + ∞)为减函数；
②当
>
0
时，
∈
(0,
1 2
)时，'(
) < 0，故
(
)在(0,
1 2
)为减函数；
∈
(
1 2
, + ∞)时，'(
) > 0，
故
(
)在(
1 2
, + ∞)为增函数.
21．【解析】（1）当 = 0 时，
= − 1 − ，∴ ' = − 1，
22
3
当且仅当
2
=
12
−
,即
= 8 时, ( )有最大值,
最大值为 ( ) = 1536．
即当该框架的底面宽为 8 分米时，长方体框架所占的空间体积最大，最大值为 1536 立方分
米．
法 2：因为 ( ) = 6 2(12 − ) = 72 2 − 6 3(0 < < 12),
所以 '( ) = 144 − 18 2 =− 18 ( − 8)(0 < < 12),
16．【解析】
重庆万州二中高二下学期期中考试数学(理科)试卷
万州二中高2017级高二下中期考试试题理 科 数 学命题人：程远见 审题人：丁勇数学试题共4页。
满分150分。
考试时间120分钟注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1. 设i 为虚数单位，则复数5－6i i等于 A ．6＋5i B ．6－5i C ．－6＋5i D ．－6－5i2．用反证法证明命题：若系数为整数的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数D ．假设a ，b ，至多有两个是偶数3. 已知积分10(1)kx dx k +=⎰，则实数k =A ．2B ．2-C ．1D ．1- 4. 已知函数()f x 的导函数如图所示,若ABC ∆为锐角三角形,则下列不等式一定成立的是( )A.()()sin cos f A f A >B.()()sin cos f A f B >C.()()cos cos f A f B <D.()()sin cos f A f B <5. 某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门；另三名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配方案种数是A.18B.24C. 36D. 726．某个自然数有关的命题，如果当)(1*∈+=N n k n 时，该命题不成立，那么可推得k n =时，该命题不成立.现已知当2012=n 时，该命题成立，那么，可推得A. 2011=n 时，该命题成立B. 2013=n 时，该命题成立C.2011=n 时，该命题不成立D.2013=n 时，该命题不成立7．函数3()3f x x x =-+在区间2(12,)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是 -32e ，32e ） (C) 25[,1)3e(D) e, 2e 12，2hslx3y3h 上恰有两个不相等的实数根,∴⎩⎨⎧g (12)≥0g (1)＜0g (2)≥0 ,∴ ⎩⎨⎧b －54－ln 2≥0b －2＜0b －2＋ln 2≥0, ∴ 54＋ln 2≤b <2，即5ln 2,24b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭． ……8分 (III)由(I) 和(II)可知当10,,2a x ⎡⎫=∈+∞⎪⎢⎣⎭时,)1()(f x f ≥,即1ln -≤x x , ∴当1>x 时, 1ln -<x x ． ……… 10分 令211x n =+（2,n n ≥∈*N ）,则22111ln nn <⎪⎭⎫ ⎝⎛+． 所以当2,n n ≥∈*N 时,2222221 (312)111ln .......311ln 211ln n n +++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ()11111......321211<-=-⨯++⨯+⨯<nn n , 即111.......311211ln 222<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n ,∴e n <⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+22211......311211． ……12分。
2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题 word版含答案
2017-2018学年度高二年级期中考试数学（理科）试卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设正弦函数y ＝sinx 在x ＝0和x ＝π2附近的瞬时变化率为k1、k2，则k1、k2的大小关系为( )A ．k1>k2B ．k1<k2C ．k1＝k2D ．不确定2．命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意x R ∈,使得20x <B ．不存在x R ∈,使得20x <C ．存在0x R ∈,都有200x ≥D ．存在0x R ∈,都有200x <3．设z 是复数,则下列命题中的假命题是（ ）A ．若20z ≥, 则z 是实数B ．若20z <, 则z 是虚数C ．若z 是虚数, 则20z ≥D ．若z 是纯虚数, 则20z <4．一物体以速度v ＝(3t2＋2t)m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是（ ）A ．31mB ．36mC ．38mD ．40m5．3．复数31iz i +=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．对于命题p 和q ，若p 且q 为真命题，则下列四个命题：①p 或¬q 是真命题；②p 且¬q 是真命题；③¬p 且¬q 是假命题；④¬p 或q 是假命题．其中真命题是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④7．三次函数f(x)＝mx3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是( )A ．m<0B ．m<1C ．m≤0D ．m≤18．已知抛物线y ＝－2x2＋bx ＋c 在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，则b ＋c 的值为( )A ．20B ．9C ．－2D ．29．设f(x)=cos 2tdt ，则f =( )A.1B.sin 1C.sin 2D.2sin 410．“ a=b ”是“直线与圆22()()2x a y b -++=相切的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件11．设函数f(x)的图象如图，则函数y ＝f ′(x)的图象可能是下图中的( )12．若关于x 的不等式x3－3x2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2，2]恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，－20]C ．(－∞，0]D ．[－12,7]二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．若曲线f(x)＝x4－x 在点P 处的切线垂直于直线x －y ＝0，则点P 的坐标为________14．f(x)＝ax3－2x2－3，若f′(1)＝2，则a 等于________．15．220(4)x x dx --=⎰_______________．16．已知z C ，且|z|=1，则|z-2i|（i 为虚数单位）的最小值是________三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分10分) (1) 求导数22sin(25)y x x =+ (2)求定积分：10(1)x x dx +⎰18. (本题满分12分)设：x2-8x-9≤0，q ：，且非p 是非q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.19．(本题满分12分)已知z 为复数，i z +和i z-2均为实数，其中i 是虚数单位. （Ⅰ）求复数z 和||z ；（Ⅱ）若immzz27111+--+=在第四象限，求m的范围.20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．21．(本题满分12分) 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋4.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求直线y=2x+4与y=f(x)所围成的图形的面积.22．(本题满分12分) 设函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，4)，且在点P处有相同的切线y=4x+4.(1)求a，b，c，d的值.(2)若存在x≥-2时，f(x)≤k-g(x)，求k的取值范围.20[解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x.令f ′(x)<0，解得x<0，或x>2，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12＋a＝20＋a，f(2)＝－8＋12＋a＝4＋a，∴f(－2)>f(2)．∵在(0,2)上f ′(x)>0，∴f(x)在(0,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，0]上单调递减，因此f(0)是f(x)在区间[－2,2]上的最大值，于是有f(0)=a＝20∴f(x)＝－x3＋3x2－20∴f(2)＝＝－16，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－16.21[解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x.令f ′(x)<0，解得x<0，或x>2，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12＋a＝20＋a，f(2)＝－8＋12＋a＝4＋a，∴f(－2)>f(2)．∵在(0,2)上f ′(x)>0，∴f(x)在(0,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，0]上单调递减，因此f(0)是f(x)在区间[－2,2]上的最大值，于是有f(0)=a＝20∴f(x)＝－x3＋3x2－20∴f(2)＝＝－16，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－16.22【解题指南】(1)根据曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，2)，可将P(0，2)分别代入到y=f(x)和y=g(x)中，再利用在点P处有相同的切线y=4x+2，对曲线y=f(x)和曲线y=g(x)进行求导，列出关于a，b，c，d的方程组求解.(2)构造函数F(x)=kg(x)-f(x)，然后求导，判断函数F(x)=kg(x)-f(x)的单调性，通过分类讨论，确定k的取值范围.【解析】(1)由已知得f(0)=2，g(0)=2，f′(0)=4，g′(0)=4.而f′(x)=2x+a，g′(x)=ex(cx+d+c).故b=2，d=2，a=4，d+c=4.从而a=4，b=2，c=2，d=2.(2)由(1)知f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1).设F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2，则F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)=0，即2(x+2)(kex-1)=0，得x1=-lnk，x2=-2.①若1≤k<e2，则-2<x1≤0，从而当x∈(-2，x1)时，F′(x)<0，当x∈(x1，+∞)时，F′(x)>0，即F(x)在x∈(-2，x1)上单调递减，在x∈(x1，+∞)上单调递增，故F(x)在[-2，+∞)上有最小值为F(x1).F(x1)=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)≥0.故当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).②若当k=e2，则F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2)，当x>-2时，F′(x)>0，即F(x)在(-2，+∞)上单调递增，而F(-2)=0，故当且仅当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).③若k>e2，则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上，k的取值范围为[1，e2].。
2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题 word版
2017-2018学年第二学期高二年段期中考数学（理）试卷（满分：150分，完善时间：120分钟）班级姓名座号一、选择题(本大题共12小题，共60分)1.设复数z的共轭复数为，若（2+i）z=3-i，则的值为（）A.1B.C.2D. 42. 一个包内装有4本不同的科技书，另一个包内装有5本不同的科技书，分别从两个包内各取一本的取法有（）种．A.15B.4C.9D.203.已知对任意x∈R，恒有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时有（）A.f′（x）＞0，g′（x）＞0B.f′（x）＞0，g′（x）＜0C.f′（x）＜0，g′（x）＞0D.f′（x）＜0，g′（x）＜04.函数y=f（x）导函数f'（x）的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.y=f（x）在（-∞，0）上单调递增B. y=f（x）的递减区间为（3，5）C.函数y=f（x）在x=0处取得极大值D.函数y=f（x）在x=5处取得极小值5.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A.假设三内角都不大于60度B.假设三内角都大于60度C.假设三内角至多有一个大于60度D.假设三内角至多有两个大于60度6.设f（x）=，则f（x）dx=（）A. B. C. D.不存在7.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=（a≠1，n∈N*），在验证n=1成立时，左边的项是（）A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a48.有八名运动员参加男子100米的决赛．已知运动场有从内到外编号依次为1，2，3，4，5，6，7，8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续的数字（如：4，5，6），则参加比赛的这八名运动员安排跑道的方式共有（）A.360种 B.4320种 C.720种 D.2160种9.如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为（）A.ln2B.1-ln2C.2-ln2D.1+ln210.若函数f（x）=x3-ax2+1在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围为（）A.a≥3B.a=3C.a≤3D.0＜a＜311.已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A. B. C. D.12.已知，则导函数f′（x）是（）A.仅有最小值的奇函数B.既有最大值，又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数D.既有最大值，又有最小值的奇函数二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知物体的运动方程为s=t2+（t是时间，s是位移），则物体在时刻t=2时的速度为14. 将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法15.若函数存在极值，则m的取值范围是16.用火柴棒按图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an 与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是三、解答题(本大题共6小题，共72分)17. 已知m∈R，复数z=+（m2+2m-3）i，当m为何值时，（1）z∈R；（2）z是纯虚数；（3）z对应的点位于复平面第二象限；18.设函数f（x）=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11）．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．19.设a、b∈R+且a+b=3，求证．20.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an-2．（1）求a1，a2，a3并由此猜想an的通项公式；（2）用数学归纳法证明{an}的通项公式．21.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式：y=+10（x-6）2，其中3＜x＜6，a 为常数，已知销售的价格为5元/千克时，每日可以售出该商品11千克．（1）求a的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值．22.已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．（1）当a=-时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（3）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）-x≤0恒成立，求实数a的取值范围．。
高二第二学期期中数学试卷理科及答案
2017-2018学年度第二学期期中考试高二数学试题（理）一、选择题（每题5分，共60分）1．设复数z满足11zz-+=2i,则z =A．35-45-B．35-+45i C．35+45i D．3545-i2.已知椭圆+=1上一点P到其中一个焦点的距离为3,则点P到另一个焦点的距离为A.2B.3C.5D.7 3．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB→与AC→夹角为()A．30° B．45° C．60° D．90°4.椭圆+=1的焦距是2,则m的值是( )A.5B.3或8C.3或5D.20 5．中心在原点，焦点在x轴上,若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()A.x281＋y272＝1 B.x281＋y29＝1 C.x281＋y245＝1 D.x281＋y236＝16．观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可归纳出第n－1个式子为( )A．1＋122＋132＋…＋1n2<12n－1B．1＋122＋132＋…＋1n2<12n＋1C．1＋122＋132＋…＋1n2<2n－1n D．1＋122＋132＋…＋1n2<2n2n＋17．已知函数 的导函数 图象如图所示,则函数 有 A．两个极大值,一个极小值 B．两个极大值,无极小值 C．一个极大值,一个极小值 D．一个极大值,两个极小值 8．设a ≠0，a ∈R，则抛物线y ＝ax 2的焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0B.⎝⎛⎭⎪⎫0，12aC.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0D.⎝⎛⎭⎪⎫0，14a9.三角形的面积为S=(a+b+c)·r,其中a,b,c为三角形的边长,r为三角形内切圆的半径,利用类比推理可以得出四面体的体积为 ( ) A.V=abcB.V=ShC.V= (S 1+S 2+S 3+S 4)· r(S 1,S 2,S 3,S 4分别为四面体的四个面的面积,r为四面体内切球的半径)D.V=(ab+bc+ac)·h(h为四面体的高)10．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．[－3，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)11．若直线与抛物线 相交于 ， 两点，则 等于 A ．B ．C ．D ．12．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( ) A．30°B．45°C．60°D．90°二、填空题（每题5分，共20分） 13.已知()20d f x x ⎰＝8，则()202d f x x x ⎡⎤-⎣⎦⎰＝______14．若双曲线11622=-m x y 的离心率2=e ，则=m ______________．15．在平面直角坐标系xOy 中，二元一次方程Ax ＋By ＝0(A ，B 不同时为0)表示过原点的直线．类似地，在空间直角坐标系Oxyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示____________________．16．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在x ＝±1处的切线的倾斜角均为34π，有以下命题：①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]． ②f (x )的极值点有且只有一个． ③f (x )的最大值与最小值之和等于零． 其中正确命题的序号为________． 三、解答题（17题10分，18—22每题12分）17．( 本小题满分10分)（1）已知斜率为1的直线l 过椭圆1422=+y x 的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长。
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2017-2018学年重庆市万州二中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求）1．设i是虚数单位，则复数=（）A．6+5i B．6﹣5i C．﹣6+5i D．﹣6﹣5i2．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数3．已知积分，则实数k=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣14．已知函数f（x）的导函数如图所示，若△ABC为锐角三角形，则下列不等式一定成立的是（）A．f（sinA）＞f（cosA）B．f（sinA）＞f（cosB）C．f（cosA）＜f（cosB）D．f（sinA）＜f（cosB）5．某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门，另三名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配方案种数是（）A．18 B．24 C．36 D．726．某个自然数有关的，如果当n=k+1（n∈N*）时，该不成立，那么可推得n=k时，该不成立．现已知当n=2012时，该成立，那么，可推得（）A．n=2011时，该成立B．n=2013时，该成立C．n=2011时，该不成立D．n=2013时，该不成立7．函数f（x）=﹣x3+3x在区间（a2﹣12，a）上有最小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，） B．（﹣1，2）C．（﹣1，2] D．（1，4）8．记f（n）（x）为函数f（x）的n（n∈N*）阶导函数，即f（n）（x）=[f（n﹣1）（x）]′（n≥2，n ∈N*）．若f（x）=cosx且集合M={m|f（m）（x）=sinx，m∈N*，m≤2013}，则集合M中元素的个数为（）A．1006 B．1007 C．503 D．5049．某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为（）A．1860 B．1320 C．1140 D．102010．已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log3 x]=4，则函数g（x）=f（x﹣1）﹣f′（x﹣1）﹣3的零点所在区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（，1）D．（0，）11．已知函数f（x）的导函数为f′（x），满足xf′（x）+2f（x）=，且f（1）=2，则函数f （x）的最大值为（）A．B．C．D．2e12．设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在两个整数x1，x2，使得f（x1），f （x2）都小于0，则a的取值范围是（）A．[，）B．[﹣，）C．[，1）D．[，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．复数的虚部为．14．如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：…，则第n（n≥3）行第3个数字是．15．如图，用五种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有种．16．设f（x）=x2lnx，由函数乘积的求导法则，（x2lnx）′=2xlnx+x，等式两边同时求区间[1，e]上的定积分，有：．移项得：．这种求定积分的方法叫做分部积分法，请你仿照上面的方法计算下面的定积分：=．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知p：“复数z=（λ2﹣1）+（λ2﹣2λ﹣3）i，（λ∈R）是实数”，q：“在复平面C内，复数z=λ+（λ2+λ﹣6）i，（λ∈R）所对应的点在第三象限”．（1）若p是真，求λ的值；（2）若“￢p∧q”是真，求λ的取值范围．18．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？19．已知函数f（x）=x3﹣2ax2+bx+c，（1）当c=0时，f（x）在点P（1，3）处的切线平行于直线y=x+2，求a，b的值；（2）若f（x）在点A（﹣1，8），B（3，﹣24）处有极值，求f（x）的表达式．=+n+1（n∈N*，n≥2），20．在数列{a n}中，a1=6，且a n﹣a n﹣1（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．21．已知函数f（x）=﹣ax．（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）已知f′（x）表示f（x）的导数，若∃x1，x2∈[e，e2]（e为自然对数的底数），使f（x1）﹣f′（x2）≤a成立，求实数a的取值范围．22．已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）（a是常数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当y=f（x）在x=1处取得极值时，若关于x的方程f（x）+2x=x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（3）求证：当n≥2，n∈N*时，（1+）（1+）…（1+）＜e．2015-2016学年重庆市万州二中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求）1．设i是虚数单位，则复数=（）A．6+5i B．6﹣5i C．﹣6+5i D．﹣6﹣5i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把的分子分母同时乘以i，得到，利用虚数单位的性质，得，由此能求出结果．【解答】解：===﹣6﹣5i．故选D．2．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数【考点】反证法与放缩法．【分析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否与的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可．【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．3．已知积分，则实数k=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【考点】微积分基本定理．【分析】先找出已知被积函数的一个原函数，然后结合积分基本定理即可求解【解答】解：∵，∴=k∴∴k=2故选A4．已知函数f（x）的导函数如图所示，若△ABC为锐角三角形，则下列不等式一定成立的是（）A．f（sinA）＞f（cosA）B．f（sinA）＞f（cosB）C．f（cosA）＜f（cosB）D．f（sinA）＜f（cosB）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】根据函数单调性和导数之间的关系，结合三角函数值的取值范围即可得到结论．【解答】解：若△ABC为锐角三角形，则0＜A＜，0＜B＜，0＜C＜，即0＜π﹣A﹣B＜，即A+B＞，∴B＞﹣A，∴0＜﹣A＜B＜，即cos（﹣A）＞cosB，∴0＜cosB＜sinA＜1，由导函数图象可知当0＜x＜1时，f′（x）＜0，即f（x）在（0，1）上单调递减，∴f（sinA）＜f（cosB），故选：D．5．某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门，另三名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配方案种数是（）A．18 B．24 C．36 D．72【考点】计数原理的应用．【分析】分类讨论：①甲部门要2个2电脑编程人员和一个翻译人员；②甲部门要1个电脑编程人员和1个翻译人员．分别求得这2个方案的方法数，再利用分类计数原理，可得结论．【解答】解：由题意可得，有2种分配方案：①甲部门要2个电脑编程人员，则有3种情况；翻译人员的分配有2种可能；再从剩下的3个人中选一人，有3种方法．根据分步计数原理，共有3×2×3=18种分配方案．②甲部门要1个电脑编程人员，则方法有3种；翻译人员的分配方法有2种；再从剩下的3个人种选2个人，方法有3种，共3×2×3=18种分配方案．由分类计数原理，可得不同的分配方案共有18+18=36种，故选：C．6．某个自然数有关的，如果当n=k+1（n∈N*）时，该不成立，那么可推得n=k时，该不成立．现已知当n=2012时，该成立，那么，可推得（）A．n=2011时，该成立B．n=2013时，该成立C．n=2011时，该不成立D．n=2013时，该不成立【考点】反证法的应用；四种的真假关系；进行简单的演绎推理；反证法．【分析】根据条件关系，利用反证法进行推理即可．【解答】解：利用反证法证明，若当n=2013时，该不成立，则当n=2012时，该不成立，与已知当n=2012时，该成立矛盾，故假设不成立，则n=2013时，该成立，故选：B7．函数f（x）=﹣x3+3x在区间（a2﹣12，a）上有最小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，） B．（﹣1，2）C．（﹣1，2] D．（1，4）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求函数f（x）=﹣x3+3x的导数，研究其最小值取到的位置，由于函数在区间（a2﹣12，a）上有最小值，故最小值点的横坐标是集合（a2﹣12，a）的元素，由此可以得到关于参数a的等式，解之求得实数a的取值范围【解答】解：解：由题f'（x）=3﹣3x2，令f'（x）＞0解得﹣1＜x＜1；令f'（x）＜0解得x＜﹣1或x＞1由此得函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数，在（﹣1，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，∵f（0）=0，∴函数f（x）=﹣x3+3x在R上的图象大体如下：故函数在x=﹣1处取到极小值﹣2，判断知此极小值必是区间（a2﹣12，a）上的最小值∴a2﹣12＜﹣1＜a，解得﹣1＜a＜，又当x=2时，f（2）=﹣2，故有a≤2综上知a∈（﹣1，2]故选：C．8．记f（n）（x）为函数f（x）的n（n∈N*）阶导函数，即f（n）（x）=[f（n﹣1）（x）]′（n≥2，n ∈N*）．若f（x）=cosx且集合M={m|f（m）（x）=sinx，m∈N*，m≤2013}，则集合M中元素的个数为（）A．1006 B．1007 C．503 D．504【考点】导数的运算．【分析】利用记n阶导函数定义，判断其周期性，问题得以解决．【解答】解：∵[f（cosx）]′=﹣sinx，[f（﹣sinx）]′=﹣cosx，[f（﹣cosx）]′=sinx，[f（sinx）]′=cosx，∴周期是4，∴2013÷4=503余1，∴集合M中元素的个数为503个．故选C．9．某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为（）A．1860 B．1320 C．1140 D．1020【考点】排列、组合的实际应用．【分析】分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C21•C63•A44=960种情况；若甲乙两人都参加，有C22•C62•A44=360种情况，其中甲乙相邻的有C22•C62•A33•A22=180种情况；则不同的发言顺序种数960+360﹣180=1140种．故选C．10．已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log3 x]=4，则函数g（x）=f（x﹣1）﹣f′（x﹣1）﹣3的零点所在区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（，1）D．（0，）【考点】导数的运算；函数零点的判定定理．【分析】由∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log3 x]=4，可设f（x）﹣log3 x=c（c为常数），求出g（x）的解析式，并说明g（x）的单调性，计算g（2），g（3），确定符号，由零点存在定理即可得到答案．【解答】解：∵对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log3 x]=4，∴可设f（x）﹣log3 x=c（c为常数），则f（x）=log3 x+c，∴f[f（x）﹣log3 x]=f（c）=log3c+c=4，∴c=3，∴f（x）=log3 x+3，∴g（x）=f（x﹣1）﹣f′（x﹣1）﹣3=log3（x﹣1）﹣log3e在（1，+∞）上为增函数，g（2）=﹣log3e＜0，g（3）=log32﹣log3e=log3＞0，由零点存在定理得，函数g（x）的零点所在的区间为（2，3）．故选B．11．已知函数f（x）的导函数为f′（x），满足xf′（x）+2f（x）=，且f（1）=2，则函数f（x）的最大值为（）A．B．C．D．2e【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由xf′（x）+2f（x）=，变形为（x2f（x））′=（lnx）′，可得f（x）=，由于f（1）=2，可得C=2．f（x）=，（x＞0）．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．【解答】解：由xf′（x）+2f（x）=，变形为（x2f（x））′=（lnx）′，∴f（x）=，∵f（1）=2，∴C=2．∴f（x）=，（x＞0）．f′（x）=，当x＞时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当0＜x＜时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．∴当x=时，函数f（x）取得最大值为f（）=．故选：A．12．设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在两个整数x1，x2，使得f（x1），f （x2）都小于0，则a的取值范围是（）A．[，）B．[﹣，）C．[，1）D．[，1）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，则存在两个整数x1，x2，使得g（x）在直线y=ax ﹣a的下方，由此利用导数性质能求出a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，∵存在两个整数x1，x2，使得f（x1），f（x2）都小于0，∴存在两个整数x1，x2，使得g（x）在直线y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，∴当x=﹣时，[g（x）]min=g（﹣）=﹣2．当x=0时，g（0）=﹣1，g（1）=e＞0，直线y=ax﹣a恒过（1，0），斜率为a，故﹣a＞g（0）=﹣1，且g（﹣1）=﹣3e﹣1＜﹣a﹣a，解得a＜．g（﹣2）≥﹣2a﹣a，解得a≥，∴a的取值范围是[，）．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．复数的虚部为1．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】利用复数的乘除运算将复数转化为代数形式，即可得出虚部．【解答】解：==1+i，∴z的虚部为1．故答案为：1．14．如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：…，则第n（n≥3）行第3个数字是．【考点】归纳推理．【分析】根据“莱布尼兹调和三角形”的特征，每个数是它下一个行左右相邻两数的和，得出将杨晖三角形中的每一个数C n r都换成分数，就得到一个如图所示的分数三角形，最后即可求出第n（n≥3）行第3个数字．【解答】解：将杨晖三角形中的每一个数C n r都换成分数，就得到一个如图所示的分数三角形，即为莱布尼兹三角形．2，∵杨晖三角形中第n（n≥3）行第3个数字是C n﹣1则“莱布尼兹调和三角形”第n（n≥3）行第3个数字是=．故答案为：．15．如图，用五种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有1920种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】分两步来进行，先涂A、B、C，再涂D、E、F．然后分①若5种颜色都用上；②若5种颜色只用4种；③若5种颜色只用3种这三种情况，分别求得结果，再相加，即得所求．【解答】解：分两步来进行，先涂A、B、C，再涂D、E、F．①若5种颜色都用上，先涂A、B、C，方法有A53种；再涂D、E、F中的两个点，方法有A32种，最后剩余的一个点只有2种涂法，故此时方法共有A53•A32•2=720种．②若5种颜色只用4种，首先选出4种颜色，方法有C54种；先涂A、B、C，方法有A43种；再涂D、E、F中的1个点，方法有3种，最后剩余的两个点只有3种涂法，故此时方法共有C54•A43•3•3=1080种．③若5种颜色只用3种，首先选出3种颜色，方法有C53种；先涂A、B、C，方法有A33种；再涂D、E、F，方法有2种，故此时方法共有C53•A33•2=120 种．综上可得，不同涂色方案共有720+1080+120=1920种，故答案为：1920．16．设f（x）=x2lnx，由函数乘积的求导法则，（x2lnx）′=2xlnx+x，等式两边同时求区间[1，e]上的定积分，有：．移项得：．这种求定积分的方法叫做分部积分法，请你仿照上面的方法计算下面的定积分：=1．【考点】定积分．【分析】由分部积分法即可求出．【解答】解：=xlnx|﹣xd（lnx）=xlnx|﹣dx=e﹣x|=e﹣（e﹣1）=1，故答案为：1．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知p：“复数z=（λ2﹣1）+（λ2﹣2λ﹣3）i，（λ∈R）是实数”，q：“在复平面C内，复数z=λ+（λ2+λ﹣6）i，（λ∈R）所对应的点在第三象限”．（1）若p是真，求λ的值；（2）若“￢p∧q”是真，求λ的取值范围．【考点】复合的真假；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】（1）根据复数的概念，即可求λ的值；（2）根据￢p∧q是真，得到p，q的真假，即可求λ的取值范围．【解答】解：（1）若p是真，即复数z=（λ2﹣1）+（λ2﹣2λ﹣3）i，（λ∈R）是实数．则λ2﹣2λ﹣3=0，解得λ=3或λ=﹣1．（2）若复数z=λ+（λ2+λ﹣6）i，（λ∈R）所对应的点在第三象限，则，即，解得﹣3＜λ＜0，若￢p∧q为真，则￢p，q都为真，即p是假，q是真．即￢p：λ≠3且λ≠﹣1，则，解得﹣3＜λ＜﹣1或﹣1＜λ＜0．18．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？【考点】分类加法计数原理．【分析】（1）由题意知本题是一个分类计数问题，取4个红球，没有白球，有C44种，取3个红球1个白球，有C43C61种；取2个红球2个白球，有C42C62，根据加法原理得到结果．（2）设出取到白球和红球的个数，根据两个未知数的和是5，列出方程，根据分数不少于7，列出不等式，根据这是两个整数，列举出结果．【解答】解（1）由题意知本题是一个分类计数问题，将取出4个球分成三类情况取4个红球，没有白球，有C44种取3个红球1个白球，有C43C61种；取2个红球2个白球，有C42C62，∴C44+C43C61+C42C62=115种（2）设取x个红球，y个白球，则∴∴符合题意的取法种数有C42C63+C43C62+C44C61=186种19．已知函数f（x）=x3﹣2ax2+bx+c，（1）当c=0时，f（x）在点P（1，3）处的切线平行于直线y=x+2，求a，b的值；（2）若f（x）在点A（﹣1，8），B（3，﹣24）处有极值，求f（x）的表达式．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出原函数的导函数，利用f（1）=3，f′（1）=1联立方程组求解a，b的值；（2）由f（x）在点A（﹣1，8），B（3，﹣24）处有极值，得到f′（﹣1）=f′（3）=0，结合f （1）=8求解a，b，c的值，验证f（3）=﹣24得答案．【解答】解：（1）当c=0时，f（x）=x3﹣2ax2+bx．∴f′（x）=3x2﹣4ax+b．依题意可得f（1）=3，f′（1）=1，即，解得；（2）由f（x）=x3﹣2ax2+bx+c，得f′（x）=3x2﹣4ax+b．令，解得，由f（﹣1）=﹣1﹣2a﹣b+c=8，，可得c=3．∴f（x）=x3﹣3x2﹣9x+3．检验知f（3）=33﹣3×32﹣9×3+3=﹣24符合题意．∴f（x）=x3﹣3x2﹣9x+3．=+n+1（n∈N*，n≥2），20．在数列{a n}中，a1=6，且a n﹣a n﹣1（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【考点】数学归纳法；数列递推式．【分析】（1）分别取n=2，3，4即可得出；（2）由（1）猜想a n=（n+1）（n+2），再利用数学归纳法证明即可．【解答】解：（1）n=2时，a2﹣a1=+2+1，∴a2=12．同理可得a3=20，a4=30．（2）猜测a n=（n+1）（n+2）．下用数学归纳法证明：①当n=1，2，3，4时，显然成立；②假设当n=k（k≥4，k∈N*）时成立，即有a k=（k+1）（k+2），则当n=k+1时，=+n+1，得+n+1，由且a n﹣a n﹣1故==（k+2）（k+3），故n=k+1时等式成立；由①②可知：a n=（n+1）（n+2）对一切n∈N*均成立．21．已知函数f（x）=﹣ax．（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）已知f′（x）表示f（x）的导数，若∃x1，x2∈[e，e2]（e为自然对数的底数），使f（x1）﹣f′（x2）≤a成立，求实数a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）由题意得，a≥=h（x）在（1，+∞）上恒成立，即a≥h max（x）即可，根据配方法易得h max（x）=，即得结论；（Ⅱ）通过分析，问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有f min（x）≤”，结合（Ⅰ）及f′（x），分①a≥、②a≤0、③0＜a＜三种情况讨论即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）在（1，+∞）递减，∴f′（x）=﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，∴x∈（1，+∞）时，f′（x）max≤0，∵f′（x）=﹣（﹣）2+﹣a，∴当=，即x=e2时，f′（x）max=﹣a，∴﹣a≤0，于是a≥，故a的最小值为．（Ⅱ）“若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a”等价于“当x∈[e，e2]时，有f min（x）≤f′max（x）+a”，由（2）得，当x∈[e，e2]时，f′max（x）=﹣a，则f′max（x）+a=，故问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有f min（x）≤”，∵f′（x）=﹣a，由（Ⅰ）知∈[0，]，①当a≥时，f′（x）≤0在[e，e2]上恒成立，因此f（x）在[e，e2]上为减函数，则f min（x）=f（e2）=﹣ae2≤，故a≥﹣；②当a≤0时，f′（x）≥0在[e，e2]上恒成立，因此f（x）在[e，e2]上为增函数，则f min（x）=f（e）=a﹣ae≥e＞，不合题意；③当0＜a＜时，由于f′（x）=﹣（）2+﹣a=﹣（﹣）2+﹣a在[e，e2]上为增函数，故f′（x）的值域为[f′（e），f′（e2）]，即[﹣a，﹣a]．由f′（x）的单调性和值域知，存在唯一x0∈（e，e2），使f′（x0）=0，且满足：当x∈（e，x0），时，f′（x）＜0，此时f（x）为减函数；当x∈（x0，e2），时，f′（x）＞0，此时f（x）为增函数；所以，f min（x）=f（x0）=﹣ax0≤，x0∈（e，e2），所以，a≥﹣＞﹣＞﹣=与0＜a＜矛盾，不合题意．综上所述，得a≥﹣．22．已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）（a是常数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当y=f（x）在x=1处取得极值时，若关于x的方程f（x）+2x=x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（3）求证：当n≥2，n∈N*时，（1+）（1+）…（1+）＜e．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）函数f（x）=x﹣ln（x+a），定义域为{x|x＞﹣a}．=．对a分类讨论即可得出；（2）函数y=f（x）在x=1处取得极值，可得f′（1）=0，解得a=0．关于x的方程f（x）+2x=x2+b化为x2﹣3x+lnx+b=0．令g（x）=x2﹣3x+lnx+b，（x∈[，2]）．利用导数研究其单调性极值与最值，关于x的方程f（x）+2x=x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，必须满足，解得即可．（3）由（1）可知：a=1，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，可得：当x≥0时，x＞ln（1+x）．令x=（n∈N*），则．利用“累加求和”、对数的运算性质、放缩、“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）函数f（x）=x﹣ln（x+a），定义域为{x|x＞﹣a}．=．当a≥1时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣a，+∞）上单调递增；当a＜1时，令f′（x）＞0，解得x＞1﹣a，此时函数f（x）在（1﹣a，+∞）上单调递增；令f′（x）＜0，解得﹣a＜x＜1﹣a，此时函数f（x）在（﹣a，1﹣a）上单调递减．（2）∵函数y=f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=0，解得a=0．关于x的方程f（x）+2x=x2+b化为x2﹣3x+lnx+b=0．令g（x）=x2﹣3x+lnx+b，（x∈[，2]）．==，令g′（x）=0，解得x=或1．令g′（x）＞0，解得1＜x≤2，此时函数g（x）单调递增；令g′（x）＜0，解得x＜1，此时函数g（x）单调递减．∵关于x 的方程f （x ）+2x=x 2+b 在[，2]上恰有两个不相等的实数根，则，解得．∴实数b 的取值范围是；（3）由（1）可知：a=1，函数f （x ）在（﹣1，+∞）上单调递增， ∴当x ≥0时，x ＞ln （1+x ）．令x=（n ∈N *）．则．依次取n=2，3，…，n ．累加求和可得： ++…+＜…+．当n ≥2时，=，依次取n=2，3，…，n ．则+…+＜+…+=．∴++…+＜1﹣＜1．∴（1+）（1+） (1)）＜e ．2016年10月17日。