第七章‘ 常微分方程

ln y = x + C1
2
(令 ±e
x2
C1
= C
)
所以方程的通解为 y = Ce .
dy 2 的通解. 练习. 练习 求微分方程 = 3x y 的通解 dx dy 2 解: 分离变量得 = 3x dx y3; C1
3
或
令C = ±e
所以方程的通解为
C1
ln y = x3 + ln C
练习题答案
一、1、3； 2、 2、2； 3、 3、1； 4、 4、2.
π 二、C1 = 1, C2 = . 2
三、 yy′ + 2 x = 0.
第二节 可分离变量的 微分方程
一阶方程的一般形式为 F( x, y, y′) = 0 本节主要研究能把导数解出来的一阶方程
dy = f ( x, y ) dx
也可以视为以 y 为自变量， x 为未知函数的方程 为自变量， 以
dx Q( x, y) =− 很重要的观点 dy P( x, y)
1 2 2 两边积分得 y = x +c 2
dy 考虑方程 y = 2 x ,写成 dx
ydy = 2 xdx
但并不是所有的一阶方程都能象上面那样采取 两边积分的方法来求它的通解. 两边积分的方法来求它的通解 如 dy = 2xy2 , 写成 dx dy = 2xy2dx, 积分 ∫ 2xy2dx 求不出来 求不出来. 困难就在于方程的右端含有未知函数. 困难就在于方程的右端含有未知函数 1 使方程变为 为了解决这个问题, 为了解决这个问题 两边同乘以 2 , y 1
y ( n ) = f ( x , y , y′,⋯, y ( n−1 ) ).
三、主要问题-----求微分方程的解 主要问题-----求微分方程的解 ----微分方程的解: 微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 函数
设y = ϕ( x )在区间 I 上有 n 阶导数 , 若
有何关系? 有何关系
思考题解答
∵ y ′ = 6e 2 x ,
y = 3e 2 x
y ′′ − 4 y = 0
y′′ = 12e 2 x ,
y′′ − 4 y =12e 2 x − 4 ⋅ 3e 2 x = 0,
∵ y = 3e 2 x 中不含任意常数 中不含任意常数,
故为微分方程的特 故为微分方程的特解.
的解法. 的解法 这个方程虽然简单， 这个方程虽然简单，也常常很难求出解 的表达式. 的表达式
一阶方程有时也可以写成如下的对称形式
P( x, y)dx + Q( x, y)dy = 0
为自变量， 它既可视为以 x 为自变量，以 y 为未知函数的方程
dy P( x, y) =− dx Q( x, y)
例3. 解初值问题
内容小结
微分方程的概念 初始条件 微分方程; 微分方程 阶; 解; 通解 特解； 通解; 特解； 说明: 说明 通解不一定是方程的全部解 . 例如, 方程 例如
(x + y) y′ = 0 有解
y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 思考题： 思考题： 2x 函数 y = 3e 与微分方程 y ′′ − 4 y = 0
故 x = C1 cos kt + C 2 sin kt 是原方程的解 .
∵ x t =0
dx = A, = 0, dt t = 0
∴ C1 = A, C 2 = 0.
所求特解为 x = A cos kt .
dx = −kC1 sin kt + kC2 cos kt dt dx x t =0 = A, =0 dt t = 0
y′ = xy ,
2
y′′ + 2 y′ − 3 y = e x ,
( t + x )dt + xdx = 0,
实质: 联系自变量, 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式. 某些导数(或微分)之间的关系式. 分类1: 常微分方程, 偏微分方程. 分类1: 常微分方程, 偏微分方程.
第一节 微分方程的基本概念
几何问题 引例 物理问题
微分方程的基本概念
一、问题的提出
引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的 引例 一曲线通过点 在该曲线上任意点处的 切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 则有如下关系式: 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式
练 习 题
一、填空题: 填空题: 1、 ______阶微分方程 阶微分方程； 1、 xy ′′′ + 2 y ′′ + x 2 y = 0 是______阶微分方程； d 2Q dQ Q ______阶微分方程 阶微分方程； 2、 L 2 + R + = 0 是______阶微分方程； dt c dt dρ ______阶微分方程 阶微分方程； 3、 + ρ = sin 2 θ 是______阶微分方程； dθ 一个二阶微分方程的通解应含有____ ____个任意常数 4、一个二阶微分方程的通解应含有____个任意常数 .
ln y = x + C1
2
(令 ±e
C1
= C
)
又 y = 0 也是方程的解， 所以方程的通解为 也是方程的解，
y = Ce (C为 意 数 . 任 常 ）
x2
dy . = 2xy 的通解 例1′求微分方程 dx dy 解 分离变量 = 2xdx , y dy = ∫ 2 xdx , 两端积分 ∫ y
最终形式： 最终形式：g ( y )dy = f ( x )dx
4 4 − dy 例如 = 2 x 2 y 5 ⇒ y 5 dy = 2 x 2dx , dx
dy 标准形式： 标准形式： = ϕ(x)ψ ( y) ① dx
1 解法： 解法： 分离变量 d y = ϕ(x)dx ψ ( y)
两边积分
用来确定任意常数的条件. 用来确定任意常数的条件.
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
y′ = f ( x , y ) 一阶: 一阶 y x = x0 = y 0
过定点的积分曲线; 过定点的积分曲线
y ′′ = f ( x , y , y ′ ) 二阶: 二阶 ′ y x = x0 = y0 , y ′x = x0 = y0
dy = 2x dx
y(1) = 2
① ② (C为任意常数 为任意常数) 为任意常数
由①得
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y = x2 +1.
的速度行驶, 引例2. 引例 列车在平直路上以 20 m s 的速度行驶 制动时 获得加速度 a = −0.4 m s2 , 求制动后列车的运动规律 求制动后列车的运动规律. 秒行驶了s 解: 设列车在制动后 t 秒行驶了 米 , 即求 s = s (t) . 已知
y
2
dy = 2 xdx
已经分离在等式的两端. 这样变量 x, y 已经分离在等式的两端 两边积分得
1 1 2 − = x +c 或 y = − 2 x +c y
定义： 定义：
经过适当整理， 经过适当整理，可使方程的两边各只含有 一个变量和其微分，这样的方程即称之为可分离 一个变量和其微分，这样的方程即称之为可分离 变量的微分方程. 变量的微分方程.
微分方程
在力学、 在力学、物理学及工程技术等领域中 为了对客观事物运动的规律性进行研究， 为了对客观事物运动的规律性进行研究， 往往需要寻求变量间的函数关系， 往往需要寻求变量间的函数关系，但根据 问题的性质， 问题的性质，常常只能得到待求函数的导 数或微分的关系式， 数或微分的关系式，这种关系式在数学上 称之为微分方程。 称之为微分方程。微分方程又分为常微分 方程和偏微分方程，本章讨论的是前者。 方程和偏微分方程，本章讨论的是前者。
常微分方程是现代数学的一个重要分支， 常微分方程是现代数学的一个重要分支，内容 十分丰富，作为一种有效的工具在电子科学、 十分丰富，作为一种有效的工具在电子科学、自动 控制、人口理论、生物数学、 控制、人口理论、生物数学、工程技术以及其它自 然科学和社会科学领域中有着十分广泛的应用。 然科学和社会科学领域中有着十分广泛的应用。 由于学时有限， 由于学时有限，高等数学中的常微分方程仅包含 几种特殊类型的一阶微分方程的求解， 几种特殊类型的一阶微分方程的求解，可通过降阶求 解的高阶微分方程， 解的高阶微分方程，二阶常系数齐次和非齐次线性微 分方程及其解的结构和特殊情况下的求解方法。 分方程及其解的结构和特殊情况下的求解方法。 本章先从解决这类实际问题入手， 本章先从解决这类实际问题入手，引出微分 方程的一些基本概念，然后着重讨论一些特殊类型 方程的一些基本概念， 的微分方程的求解方法。 的微分方程的求解方法。
1 设函数 G ( y ) 和 F ( x ) 依次为 和 ϕ ( x) ψ ( y) 的原函数， 的原函数，则有 ②
通解. 由②确定的隐函数 y＝Φ(x) 是①的通解 ＝ 为方程① 隐式通解, 通积分. 称②为方程①的隐式通解 或通积分
= ∫ϕ(x)dx
dy . = 2xy 的通解 例1 求微分方程 dx dy 解 分离变量 = 2xdx , y dy = ∫ 2 xdx , 两端积分 ∫ y
所含的参数, 二、确定函数关系式 y = c1 sin(x − c2 ) 所含的参数,使其 满足初始条件 y x =π = 1, y′x =π = 0 .
三、设曲线上点 P ( x , y ) 处的法线与 x 轴的交点为 Q , 轴平分, 且线段 PQ 被 y 轴平分,试写出该曲线所满足的微 分方程. 分方程.