11-2正项级数及其审敛法
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一、正项级数及其审敛法
1
解 因为 lim n 2 a 2 1 ( 即 = 1 为常数 )
n
1
n
又
1 是调和级数, 它是发散的,
n1 n
故
原级数
n1
1 n2 a2
发散.
例5
判别级 1!2 数 ! n!的敛.散性
n1 (2n)!
解 un1!2(!2 n )!n!n (2 (n n)!!)
当 0 a 1 时 ,n l in 1 m a a n 2 n n l in 1 m a a 2 n a 1 ,
1n
当a1时 , nl i m n1aan2n
nl i m n1aa12n
11, a
故 a0且 a1时 ,原级.数收敛
第二节 正项级数及其审敛法
一、正项级数及其审敛法 二、小结 思考题
常数项级数都有哪些形式呢？
常数项级数有下 面几种形式。
常数项级数
正项级数
任意项级数 交错级数 一般项级数
1.正项级数的定义
定义 若级数 u n 满足
n 1
0 (n1 ,2, ),
则称之为正项级数.
实质上应是非负项级数
n 1
1 n
,
它是发散的.
当 0 < p < 1 时,
有 01 1 , n np
由比较判别法, P 级数此时是发散的.
故p1时, P级数是发 . 散的
当 p >1 时, 按 1, 2, 22, 23, …, 2n, …项 对 P 级数加括号, 不影响其敛散性：
n 1 n 1 p 1 2 1 p 3 1 p 4 1 p 5 1 p 7 1 p
正项项级数的审敛法
例
级数
1 发散,
n1 n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条件是充分的,而非必要.
例
un
2
(1)n 2n
3 2n
vn ,
级数 un
n1
2 (1)n
n1
2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim un1 u n
1
1
(1)
解
sin ; (2) n1 n
(1) lim nsin 1
n
n
n1
3
n
;
n sin 1
lim n
n 1
1,
原级数发散.
1
n
(2)
lim
n
3n
1
n
3n
lim 1
n
1
n 3n
1,
n1
31n收敛,
故原级数收敛.
6.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：
设 un
lim un n vn
l,
则(1) 当 0 l 时,二级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
n1
n1
(3) 当 l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
证明 (1)由lim un l v n
n
对于 l 0,
2
N , 当n N时, l l un l l
(1)若对一切n > N0,成立不等式
第11章 无穷级数 习题 11- (2)
2
故 ∑ vn 收敛, 所以原级数收敛.
n =1
∞
注意 当直接用比值审敛法去判断级数的敛散性但求极限问题较复杂时, 应考 虑先将级数通项变形, 再用比值审敛法. u 2 ⋅ 5" (3n − 1) 3(n + 1) − 1 3 (5) 设 un = , 则 lim n +1 = lim = < 1 , 所以原级数收 n n →∞ →∞ 1 ⋅ 5" (4n − 3) 4(n + 1) − 3 4 un 敛.
所以级数 ∑ un 收敛, 因此 lim un = 0 .
n =1 n →∞
∞ u an a n +1 n ! a = = < , 所以级数 , 而 lim n +1 = lim lim 0 1 un ∑ n →∞ u n →∞ ( n + 1)! a n n →∞ n + 1 n! n =1 n
(2)
n =1 n =1
∞ ∞ 1 但 ∑ un = ∑ (− ) 发散. n n =1 n =1 ∞ ∞
(2)
不正确. 如对于 p -级数 ∑
1 , 当 p > 1 时, p n =1 n
∑ n p 收敛,
பைடு நூலகம்n =1
1
但
un +1 np 1 = lim = lim =1. n →∞ u n →∞ ( n + 1) p n →∞ 1 p n ( + 1) n lim
u π π 设 un = tan n , vn = n , 而 lim n = lim n →∞ vn n →∞ 2 2
tan
π ∞ 2n = 1 , 且 v 收敛, 所以原 ∑ n π n =1 2n
《高数教学课件》第二节正项级数及其审敛法
习题
求下列级数的和 $sum_{n=1}^{infty} frac{n^2}{2^n}$ $sum_{n=1}^{infty} frac{n^3}{3^n}$
习题
$sum_{n=1}^{infty} frac{2^n}{n^3}$
$sum_{n=1}^{infty} frac{n}{3^n}$
判断下列级数是否收敛， 并说明理由
答案与解析
01
02
03
04
判断下列级数是否收敛，并说 明理由
判断下列级数是否收敛，并说 明理由
判断下列级数是否收敛，并说 明理由
判断下列级数是否收敛，并说 明理由
THANK YOU
感谢聆听
正项级数的性质
02
01
03
性质一
正项级数的和一定是正数。
性质二
正项级数的和不会超过其中任意一项。
性质三
正项级数的和一定不会小于其中任意一项。
正项级数的分类
几何级数
是指每一项都是前一项的固定倍数的 级数，如1+2+4+8+16+...。
算术级数
是指每一项都是等差数列的级数，如 1+2+3+4+5+...。
01
03 02
答案与解析
判断下列级数是正项级数还是 交错级数
$sum_{n=1}^{infty} frac{n}{2^n}$ 是正项级数。
$sum_{n=1}^{infty} (-1)^n frac{n}{2^n}$ 是交错级数。
答案与解析
• 解析：正项级数是指每一项都是非负的级数，而交错级数是指每一项符号交替变化的级数。对于第一个级数，每一项都是正的，因此是正项 级数。对于第二个级数，每一项的符号都与前一项相反，因此是交错级数。
11-2高数下常数项级数的审敛法
3.条件是充分的,而非必要.
例
un
2 (1)n 2n
3 2n
vn ,
级数
n1
un
n1
2
(1)n 2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim n
un1 un
lim
n
an
不存在.
高等数学（下）
例 4 判别下列级数的收敛性:
un
即 un1 (n N )
un
高等数学（下）
当 1时, 取正数，使r 1,
, uN 2 ruN 1 , uN 3 ruN 2 r 2uN 1 ,
un
r
n
N
1uN
1
,
而级数
rnN 1uN 1收敛,
因此 un 收敛 .
n 1
n1
当 1时, 取正数，使r 1,
un1 un
lim
n
x (1 1 )n
x e
n
∴当0 ＜ x ＜ e 时级数收敛 ; 当 x ＞ e 时发散 .
当 x ＝ e 时 , 注意到 (1 1 )n 单增 ,
un1 un
e (1 1 )n
n
1 un
0 级数发散.
n
高等数学（下）
例6
证明
lim
n
nn (n!)2
0.
考虑级数
nn
n1 (n!)2
高等数学（下）
证明 (1)由lim un l 对于 l 0,
v n n
2
11-2 数项级数收敛性的判定
n =1
∑v
n=1
∞
n
也发散 .
推论 设两正项级数
∞ ∞ un 1 （ 若 lim ） = 0 , 则由 vn 收敛可推知 un 收敛. ∑ ∑ n→∞ v n=1 n=1 n
∞ ∞ un 2 若 （） lim = ∞ , 则由 vn 发散可推知 un 发散. ∑ ∑ n→∞ v n=1 n=1 n
∞ n
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
1 1 1 1 (3) 调和级数 ∑ = 1 + + + L + + L 发散 2 3 n n =1 n
©
∞
1 1 1 1 例1. 证明 p－级数 ∑ p = 1 + p + p +L+ p +L 2 3 n n=1 n
∞
0 时发散， 当 < p ≤ 1时发散， p > 1 时收敛. 当
un+1 知存在N ∈Z ,当n ≥ N 时 < r < 1, 即un+1 < run , un
∞ ∞
+
将 ∑ uN + n 与收敛的等比级数
n =1
r n uN 比较， ∑ 比较，
n =1
可知原级数收敛。 可知原级数收敛。
(2) 当 ρ > 1或 ρ = ∞时必存在N ∈ Z+ , uN ≠ 0, 当n ≥ N , 时 从而
§11.2 数项级数的概念和性质
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛和条件收敛
一、正项级数及其审敛法 若 un ≥ 0, 则称 ∑un 为正项级数 .
n=1 ∞
定理 1. 正项级数 有上界 . 证: “ “ ”若 ”
∑v
n=1
∞
n
也发散 .
推论 设两正项级数
∞ ∞ un 1 （ 若 lim ） = 0 , 则由 vn 收敛可推知 un 收敛. ∑ ∑ n→∞ v n=1 n=1 n
∞ ∞ un 2 若 （） lim = ∞ , 则由 vn 发散可推知 un 发散. ∑ ∑ n→∞ v n=1 n=1 n
∞ n
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
1 1 1 1 (3) 调和级数 ∑ = 1 + + + L + + L 发散 2 3 n n =1 n
©
∞
1 1 1 1 例1. 证明 p－级数 ∑ p = 1 + p + p +L+ p +L 2 3 n n=1 n
∞
0 时发散， 当 < p ≤ 1时发散， p > 1 时收敛. 当
un+1 知存在N ∈Z ,当n ≥ N 时 < r < 1, 即un+1 < run , un
∞ ∞
+
将 ∑ uN + n 与收敛的等比级数
n =1
r n uN 比较， ∑ 比较，
n =1
可知原级数收敛。 可知原级数收敛。
(2) 当 ρ > 1或 ρ = ∞时必存在N ∈ Z+ , uN ≠ 0, 当n ≥ N , 时 从而
§11.2 数项级数的概念和性质
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛和条件收敛
一、正项级数及其审敛法 若 un ≥ 0, 则称 ∑un 为正项级数 .
n=1 ∞
定理 1. 正项级数 有上界 . 证: “ “ ”若 ”
数项级数及审敛法
设对一切
都有
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分别表示
和
的部分和, 则有
(1) 若级数
收敛, 由定理1，则 有界，
因此 也有界 由定理 1 可知, 级数
也收敛 .
(2) 是(1) 的逆否命题。
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比较审敛法的基本形式：
设正项级数
满足：
则 (1) 若级数
收敛 , 则级数
故有界.
“”
∴部分和数列 单调递增,
又已知
有界, 故 收敛 , 从而
也收敛.
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定理2 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且存在
对一切
有
则有
(1) 若级数
收敛 , 则级数
(常数 k > 0 ), 也收敛 ;
(2) 若级数
发散 , 则级数
也发散 .
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
2) 若 p 1, 因为当
Sn
1
1 2p
L
1 np时,Fra bibliotek1 np
1 xp
,故
1
2 1
1 2p
d
x
L
n1 n1 n p d x
1 2 1 d x L n 1 d x
1 xp
x n1 p
1 n x p d x 1 x1 p n 1 1 n1 p
1
1 p 1
p 1
1 1 , 故 p 级数收敛 . p 1
推论：
为二个正项级数，且当 n N
（N为某一正整数）时，存在 C1 > 0, C2 > 0, 使
§11.2常数项级数审敛法
证明: 因为
1 1 1 , 2 n( n 1) n1 ( n 1)
1 1 发散, 所以级数 发散. 而级数 n1 n( n 1) n1 n 1
Hale Waihona Puke 比较审敛法是一基本方法, 虽然有用, 但应用起来 却有许多不便. 因为它需要建立定理所要求的不等式, 而这种不等式常常不易建立, 为此介绍在应用上更为 方便的极限形式的比较审敛法. 4. 比较审敛法的极限形式: un 设 un , vn 为两个正项级数, 如果 lim l , n v n1 n1 n 则: (1) 当 0 < l <+ 时, 二级数有相同的敛散性; (2) 当 l = 0 时, 若 vn 收敛, 则 un 收敛;
故当 vn 发散时 un 发散.
n1 n1
5. 极限审敛法:
设 un 为正项级数,
n1
lim nun ), 则级数 un 发散; 如果 lim nun l 0 (或 n
n
p lim n 如果有 p>1, 使得 n un 存在, 则级数 un 收敛.
n1
极限审敛法是以p-级数为比较级数的审敛法. 例3: 判定下列级数的敛散性: 1 1 . (1) sin ; (2) n n1 3 n n n1 1 sin 1 n 1, 解(1): 由于 lim n sin lim n n n 1 1 n 所以级数 sin 发散. n n1
故原级数收敛. 当 >1时, 取 < –1, 使得 r = – > 1, 当n>N时, un+1> run > un, 故数列{ un }严格单调增加的, 所以有 lim un 0. 故原级数发散.
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(方法 比较法 un 方法2) 方法
−n−( −1)n =2
≤ 2−n ⋅ 2 =
1 2n−1
(n ≥ 1)
Q ∑
. 收敛，∴ 原级数收敛 收敛， n−1 n=1 2
∞
1
注 对于∑2
n=1
∞
−n−(−1)n
, 比值法失效！ 比值法失效！
2, n偶数 −1+2(−1)n = 1 =2 ， n奇数 8
但 p > 1, 级数收敛 ; p ≤ 1, 级数发散 .
判别下列级数的收敛性: 例11 判别下列级数的收敛性 ∑2
n=1
∞
−n−(−1)n
.
方法1) 方法 解 (方法 根值法
(−1)n −1− n Q lim n un = lim 2 n→∞ n→∞
. = 2−1< 1 ∴ 原级数收敛
−n ⋅ 2( −1)n+1 =2
n=1 n=1 ∞ ∞
(c ≠ 0) 同敛散 同敛散.
(ⅰ) 若 ⅰ 则 (ⅱ) 若 ⅱ 则
收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 .
c
(n ≥ N ),
c
(n ≥ N ),
比较法的使用思路： 比较法的使用思路： 欲证收敛(发散 ，则放大(缩小 缩小) 欲证收敛 发散)，则放大 缩小 发散
2 . 的敛散性 例2 判断正项级数 ∑ n=1 n(n + 1)
n
3d x
o
1 2 n −1 n
= 1+ ∫
n
1
1 1 1 1 d x= 1+ (1 − p−1 ) < 1 + (n = 2,3,L) p p −1 p −1 x n
级数收敛. 级数收敛 p -级数部分和 n有上界， 级数部分和 级数部分和S 有上界， 故当p > 1时, p -级数收敛 时
收敛， 收敛， 级数： 结论 p -级数： 级数 发散. 发散
2. 根值审敛法 定理11.5 (柯西审敛法 柯西审敛法) 定理 柯西审敛法 为正项级数, 为正项级数 且 lim n un = ρ, 则
n→∞
证明与比 值法类似
根值审敛法失效 失效. (3) 当ρ = 1 时, 根值审敛法失效 如 p – 级数
1 nu = n n n
(
)
p
→ 1 (n → ∞)
n→∞
(3)当ρ = 1 时, 即 lim un+1 = 1时， n→∞ un
级数可能收敛也可能发散. 级数可能收敛也可能发散. 可能收敛 例如, 例如, p – 级数
1 un+1 (n+1) p lim = lim 1 n→∞ un n→∞ np
=1
p > 1, 级数收敛 ;
但
p ≤ 1, 级数发散 .
收敛的充要条件是 收敛的充要条件是: 充要条件
故有界. 故有界 单调递增, 单调递增, 收敛 , 也收敛. 也收敛
二、比较审敛法
1. 引例
∞
分析：欲寻找能控制该级 分析 欲寻找能控制该级 数部分和S 数部分和 n的新收敛级数
1 的敛散性. 例1 判定正项级数 ∑ n 的敛散性 3 +e n=1
1 1 < n , 部分和 解 由于 n 3 +e 3
un > vn
定理11.2知 由定理11.2知, ∑vn 发散时
n=1 ∞
极限形式的 比较审敛法 使用思路： 使用思路：
un lim =l n→∞ vn (0 < l < +∞),
寻找u 寻找 n的 同阶无穷小
2 例5 判定级数的敛散性: ∑ ln(1 + 3 ). n n=1 2 分析 寻找 un = ln(1 + 3 )的同阶无穷小 的同阶无穷小. n
则
0 ≤ Sn = u1 + u2 + L+ un
σn有上界
≤ v1 + v2 + L+ vn = σn < σ
有界， 故Sn有界，
收敛 .
(2) 用反证法： 用反证法：
由(1)
⇒
收敛 ,
矛盾! 矛盾
比较审敛法) 推论 (比较审敛法 设正项级数 比较审敛法
(1) 有限项不影响 级数的敛散性
(2) ∑ un与∑cun
1 n(n + 1)2
收敛.
定理11.3 (极限形式的比较审敛法 极限形式的比较审敛法) 定理 极限形式的比较审敛法 设正项级数 满足
un lim = l (0 ≤ l ≤ +∞), n→∞ vn
则有 (1) 当 0 < l <+∞ 时, 两级数同敛散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l = +∞
n→∞
lim un = 0
？
否
是 或不能肯定
ρ <1
un+1 比值法 lim u = ρ n→∞ n
可判） （可判）
ρ>1
根值法 lim n un = ρ
n→∞
un+1 比值法 lim u = ρ n→∞ n
（可判） 可判）
根值法 lim n un = ρ
n→∞
比较审敛法或 部分和极限法
ρ=1
比值法、 比值法、根值法 失效！ 失效！
p>1 p≤1
注 常用的比较级数 等比级数 常用的比较级数: 等比级数, 级数. 调和级数 与 p-级数 级数
例4 判断正项级数 ∑
∞
1 n(n + 1)2
n=1
. 的敛散性
解 Q un =
∞
1 n(n + 1)2
∞
≤
1 n
3 2
= vn
而 ∑vn = ∑
n=1
1
3
n=1 n 2
收敛,
∴
n=1
∑
∞
证 (1)当ρ < 1时, 时
un+1 有N ∈ Z , 当n > N时, u < ρ+ ε < 1 n
+
由比较法， ∴ 由比较法，
(2) 当ρ > 1 或 ρ = +∞时,
有N ∈ Z + ,
当n ≥ N时，
从而
un+1 > un> un−1 > L> uN
所以级数发散. 因此 lim un ≥ uN ≠ 0 , 所以级数发散
1 1 1 Sn = + 2 +L+ n 3+e 3 +e 3 +e
∞
< 1 + 1 +L+ 3 2
3
1 =σ n 3n
1 3 有上界， 由 ∑3n = 2收敛, 知σn < σ有上界， n=1 ∞ 1 ∑ 故级数 n=1 3n + e 收敛 收敛. 有上界， 从而Sn < σn < σ有上界，
定理11.2 (比较审敛法 设正项级数 比较审敛法) 定理 比较审敛法 (1) 若 (2) 若 证 收敛 , 发散 , 则 也收敛 ; 也发散 . 部分和满足p > 1 时,
1 1 分析： 分析： ≥ n, p ≤ (n = 1,2,L) n n 1 ∞ n n1 n 1 1 ≤ p， ∫ d x1 ∫ d∞ 1 ≤ p ?p x p n−1 n ∑ 发散 x ∑ n−1 ⇒ 发散 . n x p n n =1 n n =1 (n = 2,3,L )
un 证 由 lim = l ( l ≠ +∞ ) n→∞ vn
( l − ε )vn ≤ un ≤ ( l + ε )vn
(1) 当0 < l <+∞时, 时
(n > N )
由定理 11.2 知
n=1
∑vn 同敛散 ;
∞
(2) l = 0 情形 请自证; 情形, 请自证
un (3) 当l = +∞时, 由 lim 时 = +∞, n→∞ vn
解 Q
∞
∞
2 2 > ， n(n + 1) n + 1
1 且 ∑ 发散 n=1 n + 1
. ∴ 所给级数发散
1 1 1 例3 讨论 p -级数 1 + p + p + L+ p + L 的敛散性 级数 2 3 n ( 常数 p > 0 ). 1 猜： ≥ ， 解 1) p ≤ 1时, 敛 大 ? n p ∞ 1 散 小 而 ∑ 发散 , 发散 .
小结：通项含n! 的级数， 小结：通项含 的级数， 适合用比值法判敛散. 适合用比值法判敛散 比值法判敛散
1!+2!+L+ n! 例9 判定级数的敛散性: ∑ . (2n)! n=1
∞
1!+2!+L+ n! 解 Q un = (2n)! n!+n!+L+ n! n⋅ n! ≤ = = vn (2n)! (2n)!
1 . : 例6 判定级数的敛散性 ∑ n n n=1 3 − 2
1 分析 寻找 un = n 的等价无穷小. 的等价无穷小 3 − 2n
∞
3n 起主 要 作用
1 1 1 1 ~ (n → ∞), 解 由于 un = n n = n ⋅ 2 n 3n 3 − 2 3 1− ( ) 1 1 即un ~ n , 故取 vn = ,则 3 3 3n 1 un 1 3n −2n lim = lim 1 = lim = 1. 2)n n→∞ vn n→∞ n→∞1 − ( n 3 3 ∞ ∞ 1 1 收敛. 收敛， 而 ∑ n 收敛， ∑ 由定理11.3 知， n n n=1 3 − 2 n=1 3