黑龙江、吉林两省八校2017届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
黑龙江、吉林两省八校2016-2017学年高一上学期期中考试数学答案
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2016-2017学年黑吉两省八校高二上期中数学(文)试卷
2016-2017学年黑吉两省八校高二上期中数学（文）试卷考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上1．“216x >”是“4x >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2．抛物线26y x =的焦点到准线的距离为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．若()cos f x x x =，则函数()f x 的导函数()f x '等于（ ） A ．1sin x - B ．sin x x - C ．sin cos x x x + D ．cos sin x x x -4．双曲线22123x y -=的焦点到其渐近线距离为（ ）A ．1 BC ．25．若椭圆()222210x y a b a b +=>>a b =（ ）A ．3 BC ．26．曲线()22xf x x x e =+-在点()()0,0f 处的切线的方程为（ ）A ．1y x =-B ．1y x =+C ．21y x =-D ．21y x =+7．P 为抛物线24y x =-上一点，()0,1A ，则P 到此抛物线的准线的距离与P 到点A 的距离之和的最小值为（ ）A ．12 BC8．设函数()ln f x x =的导函数为()f x '，则()f x '最大值为（ ）A ．116 B ．18 C ．14 D ．129．设双曲线()2222:10,b 0x y C a a b-=>>左，右焦点为12,,F F P 是双曲线C 上的一点，1PF 与x 轴垂直，12PF F ∆的内切圆方程为()()22111x y ++-=，则双曲线方程为（ ） A ．22123x y -= B ．2212y x -= C ．2212x y -= D ．2213y x -= 10．设命题:p 函数()43xf x x =-在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭内有零点；命题:q 设()f x '是函数()f x 的导函数，若存在0x 使()00f x '=，则0x 为函数()f x 的极值点．下列命题中真命题是（ ）A ．p 且qB ．p 或qC ．（非p ）且qD ．（非p ）或q11．已知函数()2ln f x kx x =-，若()0f x >在函数定义域内恒成立，则k 的取值范围是（ ）A ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．1,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭12．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线的两条渐近线交于,B C 两点，过,B C 分别作,AC AB 的垂线，两垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于(2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．)C ．(D ．13．命题:,cos sin 1p x R x x ∀∈>-的否定为____________． 14．抛物线23x y =上一点A 的纵坐标为54，则点A 到此抛物线焦点的距离为___________． 15．若函数()2x x f x e-=在0x x =处取得极值，则0x =______________． 16．椭圆()222210x y a b a b +=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，上顶点为B ，下顶点为C ，若直线AB 与直线CF 的交点为()3a,16，则椭圆的标准方程为_____________．17．求双曲线22:1812x y C -=的焦点坐标、实轴长、虚轴长及渐近线方程． 18．已知函数()2ln f x x x x=--的导函数为()f x '． （1）解不等式：()2f x '<；（2）求函数()()4g x f x x =-的单调区间．19．已知：:p 对[]1,1m ∀∈-，不等式恒成立；:q x R ∃∈，使不等式220x ax ++<成立，若p 是真命题，q 是假命题，求a 的取值范围．20．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，直线8y x =-与此抛物线交于A B 、两点，与x 轴交于点,C O 为坐标原点，若3FC OF -．（1）求此抛物线的方程； （2）求证：OA OB ⊥． 21．设函数f (x )=x 2e x ．（Ⅰ）求曲线f (x )在点(1,e )处的切线方程；（Ⅱ）若f (x )<a x 对x ∈(−∞,0)恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求整数n 的值，使函数F (x )=f (x )−1x 在区间(n ,n +1)上有零点．22．已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，离心率为3)，过定点()1,0C -的动直线与该椭圆相交于A B 、两点． （1）若线段AB 中点的横坐标是12-，求直线AB 的方程；（2）在x 轴上是否存在点M ，使MA MB为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．B 【解析】试题分析：由216x >，解得4x <-或4x >，所以“216x >”是“4x >”的必要不充分条件，故选B ．考点：充要条件的判定． 2．C 【解析】试题分析：由题意得，根据抛物线的方程可知3p =，所以抛物线的焦点到准线的距离为3p =，故选C ．考点：抛物线的几何性质． 3．D 【解析】试题分析：由题意得，函数()f x 的导函数()cos (cos )cos sin f x x x x x x x x '''=+=-，故选D ．考点：导数的计算． 4．C 【解析】试题分析：由双曲线的方程22123x y -=，可得a b =，所以c =，所以右焦点坐标为，渐近线方程为b y x x a ==0=，所以焦点到准线的距离为d ==C ． 考点：双曲线的几何性质． 5．D 【解析】试题分析：由椭圆()222210x y a b a b +=>>，即c e a ==，所以22222223144c a b b a a a -==⇒=，所以2a b =，故选D ． 考点：椭圆的几何性质．6．A 【解析】试题分析：由题意得()01f =-，即切点的坐标为(0,1)-，又由()22xf x x e '=+-，所以()0021f e '=-=，即切线的斜率为1k =，由直线的点斜式方程可得切线的方程为(1)y x --=，即1y x =-，故选A ．考点：导数的几何意义． 7．D 【解析】试题分析：由题意得，设P 在抛物线的准线上的投影为P '，抛物线的焦点(1,0)F -，根据抛物线的定义可知点P 到该抛物线的准线的距离为PP PF '=，则点P 到点()0,1A 的距离距离与点P到该抛物线准线的距离之和d PF PA AF =+≥=D ．考点：抛物线的几何性质及其应用． 【方法点晴】本题主要考查了抛物线的几何性质及其应用，其中解答中涉及到抛物线的标准方程、抛物线的几何性质、以及点到直线的距离公式等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题比较基础，属于基础题，此类问题的解答中，合理利用抛物线的定义，把抛物线上的点到准线的距离转化为到抛物线的焦点的距离是解答问题的关键． 8．A 【解析】试题分析：由题意得，()2111)416f x x '=-=--+，所以当16x =时，取得最大值116，故选A ． 考点：导数的运算及函数的最值． 9．D 【解析】试题分析：由题意，点P 是双曲线左支上一点，由双曲线的定义可知212PF PF a -=，若设12PF F ∆的内切圆心在横轴上的投影为(,0)A x ，则该点也是内切圆与横轴的切点，设,B C 分别为内切圆与12,PF PF 的切点，根据切线的性质可知，有212121()()P F P F P C C F P B B F C FB F-=+-+=- ()()22c x c x x a =--+=-=，即x a =-，所以内切圆的圆心横坐标为1-，则1a =，又由1PF 与x 轴垂直，则点2(,)P c b -，且212PF PF -=22b -=，又222c a b =+，解得b =2213y x -=，故选D ．考点：双曲线的标准方程． 10．B 【解析】试题分析：由函数()43xf x x =-为单调递增函数，又()141311f =-=-，3238()3023f =->，所以3(1)()02f f <，所以函数在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭内有零点，所以命题p 为真命题；根据函数极值与导数的关系，可得命题q 为假命题，所以p 且q 为假命题，p 或q为真命题，（非p ）且q 假命题，（非p ）或q 为假命题，故选B ． 考点：复合命题的真假判定． 11．D 【解析】试题分析：由题意得()0f x >在函数定义域内恒成立，即2ln 0kx x ->在函数定义域内恒成立，即2ln x k x >在函数定义域内恒成立，设()2ln xg x x=，则()442ln (12ln )x x x x x g x x x--'==，当()x ∈上，函数()g x 单调递增；当)x ∈+∞上，函数()g x单调递减，所以当x =()g x 取得最大值，此时最大值为()max 12g x e =，所以实数k 的取值范围是1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故选D ． 考点：函数的恒成立问题．【方法点晴】本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、恒成立的分离参数构造新函数等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的思维深度，属于中档试题，解答中根据函数的恒成立，利用分离参数法构造新函数，利用新函数的性质是解答的关键． 12．C 【解析】试题分析：由题意得D 为ABC ∆的垂心，即由AD BC ⊥，即D 在x 轴上，令x c =，可得2222(1)c y b a=-，解得2b y a =±，设22(,),(,)b b B c C c a a -，由B D A C ⊥，可得1BD ACk k ⋅=-，由题意(,0)A a ，设(,0)D x ，则由BD AB ⊥得221b b a a c x c a⋅=---，所以42()b c x a a c -=-，因为D 到直线BC 的距离小于2(2()a a c =+，所以422()()b c x a c a a c -=<+-，所以422222()2b c a b a <-=，所以2()2b a <，则222b a <，即2222c a a -<，即c <，所以1e <<．考点：双曲线的几何性质及其应用．【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质及其应用，其中涉及到三角形垂心的概念、以及两直线垂直的条件，双曲线的几何性质及其性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，解答中合理应用三角形垂心的性质以及双曲线的几何性质是解答的关键，试题有赢的难度，属于中档试题． 13．,cos sin 1x R x x ∃∈≤- 【解析】试题分析：根据命题否定的概念，可知命题:,cos sin 1p x R x x ∀∈>-的否定为“,cos sin 1x R x x ∃∈≤-”． 考点：命题的否定． 14．2 【解析】试题分析：由题意得，抛物线的准线方程为34y =-，所以点A 到准线的距离为53()244--=，根据抛物线的定义可知点A 与抛物线的交点的距离就是点A 与抛物线准线的距离，所以点A 到此抛物线焦点的距离为2．考点：抛物线的定义及其应用． 15．3 【解析】试题分析：由题意得()22(2)()(2)(3)x x x x xx e e x e x f x e e ''----'==，令()0f x '=，即2(3)0x xe x e-=，解得3x =，即0x =3． 考点：函数的极值点．【方法点晴】本题主要考查了函数的极值点的求解，其中解答中涉及到函数的导数的运算、函数的极值点与极值的概念等知识点的综合考查，试题比较基础，属于基础题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理运算能力，本题的解答中正确求解函数的导数，利用导数等于零，根据极值点的概念是解答的关键．16．2212516x y +=【解析】试题分析：由椭圆的左顶点的坐标为(,0)A a -，上下顶点的坐标为(0,),(0,)B b C b -，右焦点为(,0)F c ，则直线AB 的方程为b y x b a =+，直线CF 的方程为by x b c=-，又因为直线AB 与直线CF 的交点为()3,16a ，把点()3,16a 分别代入直线的方程163163b a b ab a bc ⎧=⨯+⎪⎪⎨⎪=⨯-⎪⎩，解得4b =且35a c =，又因为222a b c =+，解得5a =，所以椭圆的标准方程为2212516x y +=． 考点：椭圆的标准方程．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，其中解答中涉及到直线的方程，椭圆的标准方程及其简单的几何性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题运算量较大，属于中档试题，本题的解答中写出直线AB 与直线CF 方程，求解b 的值是解答的关键．17．焦点为()±，实轴长为y x =． 【解析】试题分析：根据双曲线的标准方程，求得,,a b c 的值，即可求解双曲线的几何性质． 试题解析：∵2228,12,20a b c ===，∴a b c ===∴焦点为()±，实轴长为y x = 考点：双曲线的标准方程及其几何性质．18．（1）()1,+∞；（2）()g x 的单调增区间为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调减区间为2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，利用()2f x '<，得到不等式220x x +->，即可求解不等式的解集；（2）由题意得，得到()23ln g x x x x=---，求得()g x '，即可利用导数得到函数()g x 的单调区间． 试题解析：（1）()()22110f x x x x '=+->，∴由()2f x '<得()221100x x x--<>， ∴()2200x x x +->>，∴1x >，则()2f x '<解集为()1,+∞ （2）()()()()()22221322213243ln ,g 3x x x x g x f x x x x x x x x x x +---+'=-=---=-+-==-， ∴203x <<时，()20,3g x x '>>时，()0g x '<， ∴()g x 的单调增区间为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调减区间为2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭考点：不等式的求解；利用导数研究函数的单调性．19【解析】试题分析：由命题:p 6a ≥或1a ≤-，命题q ：根据p 是真命题，q 是假命题，即可求解a 的取值范围．试题解析：若p 为真命题，∵[]1,1m ∈-，∴∵[]1,1m ∀∈-，不等式可得2533a a --≥，∴6a ≥或1a ≤-， 故命题p 为真命题时，6a ≥或1a ≤-若q 为真命题，即x R ∃∈，使不等式220x ax ++<成立，∴280a ∆=->，∴ 从而q 为假命题时，∴p 为真命题，q 为假命题时，a 的取值范围为考点：命题的真假判定及应用． 20．（1）28y x =；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）由题意，根据3FC OF = ，求得4p =，即可求得抛物线的方程；（2）把直线方程与抛物线的方程联立，利用方程的根与系数的关系及韦达定理，即可求解得到0OA OB ⋅=，从而得到OA OB ⊥．试题解析：（1）解：∵()C 8,0,,0,32p F FC OF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴4p =，抛物线的方程为28y x =．（2）证明：由288y x y x⎧=⎨=-⎩得()288y y =+，即28640y y --=，设()()1122,,,A x y B x y ，∴1264y y =-，又()222121264648864y y x x -=== ， ∴121264640OA OB x x y y =+=-= ，∴OA OB ⊥，即OA OB ⊥． 考点：抛物线的标准方程；直线与抛物线的位置关系的应用． 21．（1）y =3ex −2e ；（2）a <−1e ；（3）n =0．【解析】试题分析：（1）求得f ′(x )=(x 2+2x )e x ，得到f ′(1)，即可利用点斜式方程求解切线的方程；（2）由f (x )<a x ，对x ∈(−∞,0)恒成立，转化为a <f (x )x=xe x ，设g (x )=xe x ，求得g ′(x )，即可利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解a 的取值范围；（3）令F (x )=0得f (x )=1x ，可判定得F (x )的零点在(0,+∞)上，利用导数得到f (x )在(0,+∞)上递增，即可利用零点的判定定理，得到结论． 试题解析：（1）f ′(x )=(x 2+2x )e x ，∴f ′(1)=3e ，∴所求切线方程为y −e =3e (x −1)，即y =3ex −2e （2）∵f (x )<a x ，对x ∈(−∞,0)恒成立，∴a <f (x )x=xe x ，设g (x )=xe x ,g ′(x )=(x +1)e x ，令g ′(x )>0，得x >−1，令g ′(x )<0得x <−1， ∴g (x )在(−∞,−1)上递减，在(−1,0)上递增， ∴g (x )min =g (−1)=−1e ，∴a <−1e（3）令F (x )=0得f (x )=1x ，当x <0时，f (x )=x 2e x >0,1x <0， ∴F (x )的零点在(0,+∞)上，令f ′(x )>0得x >0或x <−2，∴f (x )在(0,+∞)上递增，又1x 在(0,+∞)上递减， ∴方程f (x )=1x 仅有一解x 0，且x 0∈(n ,n +1),n ∈Z ， ∵F (1)=e −1>0,F (12)=e 4−2<0，∴由零点存在的条件可得x 0∈(12,1)，∴n =0考点：导数的综合应用问题． 【方法点晴】本题主要考查了导数的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数的几何意义求解曲线上某点的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值（最值）、以及不等式的恒成立问题等知识点综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的综合性，属于中档试题． 22．（1）10x +=；（2）7,03M ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：（1）椭圆的离心率公式，及,,a b c 的关系，求得,a b ，得到椭圆的方程；设出直线AB 的方程，将直线方程代入椭圆，用舍而不求和韦达定理方法表示出中点坐标，此时代入已知AB 中点的横坐标，即可求出直线AB 的方程；（2）假设存在点M ，使MA MB为常数，分别分当AB 与x 轴不垂直时以及当直线AB 与x 轴垂直时，求出点M 的坐标，最后综合两种情况得出结论．试题解析：（1）易求椭圆的方程为2235x y +=， 直线斜率不存在时显然不成立，设直线():1AB y k x =+， 将():1AB y k x =+代入椭圆的方程2235x y +=，消去y 整理得()2222316350k x k x k +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()()422212236431350631k k k k x x k ⎧∆=-+->⎪⎨+=-⎪+⎩， 因为线段AB 的中点的横坐标为12-，解得3k =±， 所以直线AB的方程为10x +=．（2）假设在x 轴上存在点(),0M m ，使得MA MB 为常数，①当直线AB 与x 轴不垂直时，由（1）知22121222635,3131k k x x x x k k -+=-=++ ，所以()()()()()2222121212121MA MB x m x m y y k x x k mx x km =--+=++-+++()22161423331m m m k +=+--+，因为MA MB 是与k 无关的常数，从而有76140,3m m +==-， 此时49MA MB =②当直线AB 与x 轴垂直时，此时结论成立，综上可知，在x 轴上存在定点7,03M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使49MA MB =，为常数 考点：直线与椭圆的综合问题． 【方法点晴】本题主要考查了直线与椭圆的综合问题，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，此类问题的解答中把直线的方程代入椭圆的方程，转化为根与系数的关系，以及韦达定理是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．。
吉黑两省九校2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题含答案
2017—2018学年度第一学期期中考试高二数学试卷（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.命题“x R ∀∈，2230x x -+>"的否定为（ ）A ．x R ∀∈,2230x x -+≥ B ．x R ∀∈，2230x x -+≤C ．0x R ∃∈,200230x x -+> D ．0x R ∃∈,200230x x -+≤2.计算机执行下边的程序后，输出的结果是( ）2017a = 2018b = a a b =- b a b =+ PRINT ,a bA ．—2018,2017B ．-1,4035C ．1,2019D ．-1，20173.若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则实数m 等于（）A 2B ．32C ．85D ．234. 某学校有小学生125人,初中生95人，为了调查学生身体状况的某项指标，需从他们中抽取一个容量为100的样本，则采取下面哪种方式较为恰当（ ） A ．简单随机抽样B ．系统抽样C.简单随机抽样或系统抽样 D ．分层抽样5。
已知抛物线的方程为22y ax =，且过点(1,4)，则焦点坐标为（）A ．（1,0)B ．1(,0)16C 。
1(0,)16D ．（0,1）6。
设a R ∈,则“1a <”是“220a a +-<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C 。
充要条件D ．既不充分也不必要条件7.已知事件A 、B ,命题p ：若A 、B 是互斥事件，则()()1p A p B +≤；命题q :()()1p A p B +=,则A 、B 是对立事件,则下列说法正确的是（）A ．p ⌝是真命题B ．q ⌝是真命题 C.p 或q 是假命题 D ．p 或q 是真命题8.某市对上下班交通情况做抽样调查，作出上下班时间各抽取12辆机动车行驶时速（单位:/km h )的茎叶图（如下）：则上下班时间机动车行驶时速的中位数分别为（ ）A ．28与28.5B ．29与28。
黑龙江、吉林两省八校联考2017届高三上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
2016-2017学年黑龙江、吉林两省八校联考高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2＜1}，B=x|2x＞，则A∩B=（）A．B． C． D．2．若a＞0，b＞0，则“a+b＞1”是“ab＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知向量=（1，2），=（λ，﹣1），若⊥，则|+|=（）A． B．4 C． D．4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=﹣3，S6=12，则a5等于（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．45．若a=log0.22，b=log0.23，c=20.2，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b6．已知：命题p：若函数f（x）=x2+|x﹣a|是偶函数，则a=0．命题q：∀m∈（0，+∞），关于x的方程mx2﹣2x+1=0有解．在①p∨q；②p∧q；③（￢p）∧q；④（￢p）∨（￢q）中为真命题的是（）A．②③B．②④C．③④D．①④7．已知△ABC三边a，b，c上的高分别为，，1，则cosA等于（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜），其导函数f'（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A．B．C．D．9．已知非零向量，的夹角为60°，且满足|﹣2|=2，则•的最大值为（）A．B．1 C．2 D．310．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=log2（x+1）+3x，则满足f（x）＞﹣4的实数x的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣1，1）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）11．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n=S n+2，则满足的n的最小值为+1（）A．4 B．5 C．6 D．712．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（﹣x）+f（x+3）=0；当x∈（0，3）时，f（x）=，其中e是自然对数的底数，且e≈2.72，则方程6f（x）﹣x=0在[﹣9，9]上的解的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知=﹣1，则tanα=．14．已知向量=（﹣1，﹣3），=（2，t），且∥，则﹣=．15．已知函数f（x）=x2﹣mlnx在[2，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围为．16．已知数列{a n}与{b n}满足a n=2b n+3（n∈N*），若{b n}的前n项和为S n=（3n﹣1）且λa n ＞b n+36（n﹣3）+3λ对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的通项公式为a n=，n∈N*（1）求数列{}的前n项和S n，求{b n}的前n项和T n．（2）设b n=a n a n+118．在锐角△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边sinC﹣cosB=cos（A﹣C）．（1）求角A的度数；（2）若a=2，且△ABC的面积是3，求b+c．19．已知向量=（1+cosωx，1），=（1，a+sinωx）（ω为常数且ω＞0），函数f（x）=在R上的最大值为2．（1）求实数a的值；（2）把函数y=f（x）的图象向右平移个单位，可得函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，]上为增函数，求ω的最大值．20．已知函数f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+acosx+b，（a，b∈R）且均为常数）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若f（x）在区间[﹣，0]上单调递增，且恰好能够取到f（x）的最小值2，试求a，b的值．21．对于数列{a n}、{b n}，S n为数列{a n}的前n项和，且S n﹣（n+1）=S n+a n+n，a1=b1=1，+1=3b n+2，n∈N*．b n+1（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．22．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）=xf（x）+mx在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求m的值；（3）若x≥1时，有不等式f（x）≥恒成立，求实数k的取值范围．2016-2017学年黑龙江、吉林两省八校联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2＜1}，B=x|2x＞，则A∩B=（）A．B． C． D．【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，B={x|2x＞}={x|x＞}，∴A∩B={x|}=（，1）．故选：C．2．若a＞0，b＞0，则“a+b＞1”是“ab＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据a+b＞1，求出ab＞，根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：若a＞0，b＞0，则“a+b≥2＞1”，解得ab＞，故ab＞是ab＞1的必要不充分条件，故选：B．3．已知向量=（1，2），=（λ，﹣1），若⊥，则|+|=（）A． B．4 C． D．【考点】向量的模．【分析】根据向量的垂直求出λ的值，求出+的值，从而求出其模即可．【解答】解：∵=（1，2），=（λ，﹣1），⊥，∴λ﹣2=0，∴λ=2，∴+=（1，2）+（2，﹣1）=（3，1），则|+|==，故选：A．4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=﹣3，S6=12，则a5等于（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．4【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列{a n}的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a5．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a6=﹣3，S6=12，∴，解得a1=7，d=﹣2，∴a5=7+4×（﹣2）=﹣1．故选：B．5．若a=log0.22，b=log0.23，c=20.2，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵y=log0.2x在（0，+∞）上是减函数，∴b＜a＜0，又c=20.2＞0，∴b＜a＜c．故选：B．6．已知：命题p：若函数f（x）=x2+|x﹣a|是偶函数，则a=0．命题q：∀m∈（0，+∞），关于x的方程mx2﹣2x+1=0有解．在①p∨q；②p∧q；③（￢p）∧q；④（￢p）∨（￢q）中为真命题的是（）A．②③B．②④C．③④D．①④【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．【分析】先分析命题p，q的真假，再根据复合命题的真值判断方法即可求解．【解答】解：若函数f（x）=x2+|x﹣a|为偶函数，则（﹣x）2+|﹣x﹣a|=x2+|x﹣a|，即有|x+a|=|x﹣a|，易得a=0，故命题p为真；当m＞0时，方程的判别式△=4﹣4m不恒大于等于零，当m＞1时，△＜0，此时方程无实根，故命题q为假，即p真q假，故命题p∨q为真，p∧q为假，（￢p）∧q为假，（￢p）∨（￢q）为真．综上可得真确命题为①④．故选：D．7．已知△ABC三边a，b，c上的高分别为，，1，则cosA等于（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【分析】由已知利用三角形的面积公式可求：=b=c，进而解得b=，c=，利用余弦定理即可解得cosA的值．【解答】解：∵△ABC三边a，b，c上的高分别为，，1，∴由三角形的面积公式可得：=b=c，解得：b=，c=，∴由余弦定理可得：cosA===﹣．故选：C．8．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜），其导函数f'（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据已知中函数f′（x）=Aωcos（ωx+ϕ）的图象，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（，0）代入解析式，结合|ϕ|＜，可求出ϕ值，进而求出函数的解析式．【解答】解：∵f（x）=Asin（ωx+ϕ），∴f′（x）=Aωcos（ωx+ϕ），由图可得：函数f′（x）=Aωcos（ωx+ϕ）的最大值ωA=1，又∵=﹣，ω＞0，∴T=π，ω=2，可得：A=，∴f′（x）=cos（2x+ϕ），将（，0）代入f′（x）=cos（2x+ϕ），得cos（+ϕ）=0，即+ϕ=k π+，k ∈Z ，即ϕ=k π﹣，k ∈Z ，∵|ϕ|＜，∴ϕ=﹣，∴f ′（x ）=cos （2x ﹣），∴f （x ）=sin （2x ﹣）．故选：D ．9．已知非零向量，的夹角为60°，且满足|﹣2|=2，则•的最大值为（ ）A ．B ．1C ．2D ．3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】非零向量，的夹角为60°，且|﹣2|=2，利用数量积运算性质与基本不等式的性质可得+﹣≥2，即≤2．即可得出．【解答】解：∵非零向量，的夹角为60°，且|﹣2|=2，∴+﹣≥﹣2=2，即≤2．∴•=≤1．故选：B ．10．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且x ＞0时，f （x ）=log 2（x +1）+3x ，则满足f （x ）＞﹣4的实数x 的取值范围是（ ） A ．（﹣2，2） B ．（﹣1，1） C ．（﹣1，+∞） D ．（1，+∞） 【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】先由奇函数求得f （0）=0，再设x ＜0，则﹣x ＞0，适合x ＞0时，求得f （﹣x ），再由满足f （x ）＞﹣4，即可得出结论．【解答】解：∵f （x ）为定义在R 上的奇函数 ∴f （0）=0设x ＜0，则﹣x ＞0，∴f （﹣x ）=log 2（﹣x +1）﹣3x ∵f （x ）为定义在R 上的奇函数∴f （x ）=﹣f （﹣x ）=﹣log 2（﹣x +1）+3x ，此时函数单调递增， x ≥0时，满足f （x ）＞﹣4；x ＜0时，f （x ）＞﹣4可得f （x ）＞f （﹣1），∴x ＞﹣1，∴﹣1＜x ＜0． 综上所述，x ＞﹣1． 故选C ．11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，a n +1=S n +2，则满足的n 的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【考点】数列递推式．【分析】把已知数列递推式变形为S n +1=2S n +2，构造出数列{S n +2}是以3为首项，以2为公比的等比数列，求得S n ，代入得答案．【解答】解：由a n +1=S n +2，得S n +1﹣S n =S n +2， ∴S n +1=2S n +2，则S n +1+2=2（S n +2）， ∵S 1+2=a 1+2=3，∴数列{S n +2}构成以3为首项，以2为公比的等比数列，则，即由，得＜，得22n ﹣10•2n +12＞0，解得：（舍），或．∴n 的最小值为4． 故选：A ．12．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （﹣x ）+f （x +3）=0；当x ∈（0，3）时，f （x ）=，其中e 是自然对数的底数，且e ≈2.72，则方程6f （x ）﹣x=0在[﹣9，9]上的解的个数为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【考点】函数奇偶性的性质．【分析】确定f （x ）的周期为3，函数在（0，e ）上单调递增，在（e ，3）上单调递减，在[0，9]上作出y=f （x ）的图象，作出y=的图象，即可得出结论． 【解答】解：当x ＞0时，f （﹣x ）+f （x +3）=0，∴f （x +3）=﹣f （﹣x ）， ∵f （x ）是奇函数， ∴f （x ）的周期为3，当x ∈（0，3）时，f （x ）=，∴f ′（x ）=，∴函数在（0，e ）上单调递增，在（e ，3）上单调递减， 在[0，9]上作出y=f （x ）的图象，作出y=的图象，如图所示∴在[0，9]上，有3个交点，由对称性，可得方程6f（x）﹣x=0在[﹣9，9]上的解的个数为6，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知=﹣1，则tanα=．【考点】三角函数的化简求值；同角三角函数间的基本关系．【分析】利用同角三角函数基本关系式，化简表达式为正切函数的形式，然后求解即可．【解答】解：=﹣1，可得：，解得tanα=．故答案为：；14．已知向量=（﹣1，﹣3），=（2，t），且∥，则﹣=（﹣3，﹣9）．【考点】平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．【分析】利用向量共线的充要条件列出方程求出t，然后求解即可．【解答】解：向量=（﹣1，﹣3），=（2，t），且∥，可得﹣t=﹣6，解得t=6．则﹣=（﹣3，﹣9）．故答案为：（﹣3，﹣9）；15．已知函数f（x）=x2﹣mlnx在[2，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围为（﹣∞，8] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数f（x）=x2﹣mlnx在[2，+∞）上单调递增即可转化为：f'（x）在[2，+∞）上恒有f'（x）≥0；【解答】解：对f（x）求导后：f'（x）=2x﹣；函数f（x）=x2﹣mlnx在[2，+∞）上单调递增即可转化为：f'（x）在[2，+∞）上恒有f'（x）≥0；∴2x﹣≥0⇒2x2≥m；故u=2x2在[2，+∞）上的最小值为u（2）=8；所以，m的取值范围为（﹣∞，8]；故答案为：（﹣∞，8]．16．已知数列{a n}与{b n}满足a n=2b n+3（n∈N*），若{b n}的前n项和为S n=（3n﹣1）且λa n＞b n+36（n﹣3）+3λ对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是（，+∞）．【考点】数列递推式．【分析】由{b n}的前n项和为S n=（3n﹣1）求得b n，进一步得到a n，把a n，b n代入λa n ＞b n+36（n﹣3）+3λ，分离λ，然后求出关于n的函数的最大值得答案．【解答】解：由S n=（3n﹣1），得，当n≥2时，，当n=1时，上式成立，∴．代入a n=2b n+3，得，代入λa n＞b n+36（n﹣3）+3λ，得λ（a n﹣3）＞b n+36（n﹣3），即2λ•3n＞3n+36（n﹣3），则λ＞+．由=，得n≤3．∴n=4时， +有最大值为．故答案为：（，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的通项公式为a n=，n∈N*（1）求数列{}的前n项和S n（2）设b n=a n a n，求{b n}的前n项和T n．+1【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a n=，n∈N*，则==4n﹣1，数列{}是以3为首项，以4为公差的等差数列，根据等差数列前n项和公式，即可求得S n；（2）由b n=a n a n+1==（﹣），采用“裂项法”，即可求得{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由a n=，n∈N*，∴==4n﹣1，∴数列{}是以3为首项，以4为公差的等差数列，∴数列{}的前n项和S n==2n2+n，（2）b n=a n a n+1==（﹣），∴{b n}的前n项和T n，T n=b1+b2+b3+…+b n，= [（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，=（1﹣），=，T n=．18．在锐角△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边sinC﹣cosB=cos（A﹣C）．（1）求角A的度数；（2）若a=2，且△ABC的面积是3，求b+c．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由cos B+cos （A﹣C）=sin C，利用两角和与差的三角函数展开可求sin A，进而可求A．（2）由三角形的面积公式可求bc的值，进而利用余弦定理，平方和公式即可解得b+c的值．【解答】解：（1）因为由已知可得：cos B+cos （A﹣C）=sin C，所以：﹣cos （A+C）+cos （A﹣C）=sin C，可得：2sin A sin C=sinC，故可得：sin A=．因为△ABC为锐角三角形，所以A=60°．（2）∵A=60°，△ABC的面积是3=bcsinA=bc，∴bc=12，∵a=2，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：12=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣36，∴解得：b+c=4．19．已知向量=（1+cosωx，1），=（1，a+sinωx）（ω为常数且ω＞0），函数f（x）=在R上的最大值为2．（1）求实数a的值；（2）把函数y=f（x）的图象向右平移个单位，可得函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，]上为增函数，求ω的最大值．【考点】三角函数的最值；平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）把向量=（1+cosωx，1），=（1，a+sinωx）（ω为常数且ω＞0），代入函数f（x）=整理，利用两角和的正弦函数化为2sin（ωx+）+a+1，根据最值求实数a的值；（2）由题意把函数y=f（x）的图象向右平移个单位，可得函数y=g（x）的图象，利用y=g（x）在[0，]上为增函数，就是周期≥π，然后求ω的最大值．【解答】解：（1）f（x）=1+cosωx+a+sinωx=2sin（ωx+）+a+1．因为函数f（x）在R上的最大值为2，所以3+a=2，故a=﹣1．（2）由（1）知：f（x）=2sin（ωx+），把函数f（x）=2sin（ωx+）的图象向右平移个单位，可得函数y=g（x）=2sinωx．又∵y=g（x）在[0，]上为增函数，∴g（x）的周期T=≥π，即ω≤2，∴ω的最大值为2．20．已知函数f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+acosx+b，（a，b∈R）且均为常数）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若f（x）在区间[﹣，0]上单调递增，且恰好能够取到f（x）的最小值2，试求a，b的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用和差化积公式和辅助角公式将已知函数关系式转化为正弦函数，然后由正弦函数的性质求其最小正周期；（2）根据正弦函数图象的单调性和正弦函数的最值的求法进行解答．【解答】解：（1）f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+acosx+b=2sinxcos+acosx+b=sinx+acosx+b=sin（x+θ）+b，所以，函数f（x）的最小正周期为2π．（2）由（1）可知：f（x）的最小值为﹣+b，所以，﹣+b=2．①另外，由f（x）在区间[﹣，0]上单调递增，可知f（x）在区间[﹣，0]上的最小值为f（﹣），所以，f（﹣）=2，得a+2b=7，②联立①②解得a=﹣1，b=4．21．对于数列{a n}、{b n}，S n为数列{a n}的前n项和，且S n+1﹣（n+1）=S n+a n+n，a1=b1=1，b n+1=3b n+2，n∈N*．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由S n+1﹣S n=a n+2n+1，则a n+1﹣a n=2n+1，利用“累加法”即可求得a n=n2，由b n+1+1=3（b n+1），可知数列{b n+1}是以2为首项，以3为公比的等比数列，即可求得{b n}的通项公式；（2）由（1）可知：c n===，利用“错位相减法”即可求得数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由S n+1﹣（n+1）=S n+a n+n，∴S n+1﹣S n=a n+2n+1，∴a n+1﹣a n=2n+1，∴a2﹣a1=2×1+1，a3﹣a2=2×2+1，a4﹣a3=2×3+1，…a n﹣a n﹣1=2（n﹣1）+1，以上各式相加可得：a n ﹣a 1=2×（1+2+3+…+n ﹣1）+（n ﹣1）， ∴a n =2×+（n ﹣1）+1=n 2，∴a n =n 2，∵b n +1=3b n +2，即b n +1+1=3（b n +1）， b 1+1=2，∴数列{b n +1}是以2为首项，以3为公比的等比数列， b n +1=2×3n ﹣1， ∴b n =2×3n ﹣1﹣1；（2）由（1）可知：c n ===，∴T n =c 1+c 2+…+c n =+++…+，T n =+++…+，∴T n =2++++…+﹣，=2+﹣，=﹣，∴T n =﹣，数列{c n }的前n 项和T n ，T n =﹣．22．已知函数f （x ）=．（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）若g （x ）=xf （x ）+mx 在区间（0，e ]上的最大值为﹣3，求m 的值；（3）若x ≥1时，有不等式f （x ）≥恒成立，求实数k 的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的定义域，函数的导数，求出极值点，判断导函数符号，然后求解单调区间．（2）求出，x ∈（0，e ]，通过①若m ≥0，②若m ＜0，判断函数的单调性，求解函数的最值，然后求m ．（3）利用x≥1时，恒成立，分离变量，构造函数，利用函数的导数，求解函数的最值，推出结果即可．【解答】解：（1）易知f（x）定义域为（0，+∞），，令f'（x）=0，得x=1．当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．（2）∵g（x）=1+lnx+mx，，x∈（0，e]，①若m≥0，则g'（x）≥0，从而g（x）在（0，e]上是增函数，∴g（x）max=g（e）=me+2≥0，不合题意．②若m＜0，则由g'（x）＞0，即，若，g（x）在（0，e]上是增函数，由①知不合题意．由g'（x）＜0，即．从而g（x）在上是增函数，在为减函数，∴，令ln（）=﹣3，所以m=﹣e3，∵，∴所求的m=﹣e3．（3）∵x≥1时，恒成立，∴，令，∴恒大于0，∴h（x）在[1，+∞）为增函数，∴h（x）min=h（1）=2，∴k≤2．2016年12月10日。
黑龙江省哈尔滨市高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
哈三中2016—2017学年度上学期 高三学年期中考试 数学(理科) 试卷考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1． ︒15sin ︒+15cos 的值为A ．22 B ．22- C ．26D ． 26-2. 已知向量=a ),3,2(=b )1,(x ，若b a ⊥，则实数x 的值为A.23 B.23- C. 32 D. 32- 3. 设B A ,是两个集合，则“A B A = ”是“B A ⊇”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 若等差数列{}n a 满足π41371=++a a a ，则7tan a 的值为A.3-B.33-C.3±D.3 5. 将函数)62cos()(π-=x x f 的图象向右平移12π个单位长度后，所得图象的一条对称轴方程可以是A.6π=x B. 4π=x C. 3π=x D. 12π=x6. 在边长为4的菱形ABCD 中，︒=∠60BAD ,E 为CD 的中点，则=⋅−→−−→−BD AEA.4B.8C.6-D.4-7. 在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若C b a cos 2=，则ABC ∆的形状是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形8. 设P 为ABC ∆所在平面内一点,且=++−→−−→−−→−PC PB PA 220,则PAC ∆的面积与ABC∆的面积之比等于A ．14BC D ．不确定9． 函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤+-=01lg 02122x x x x x x f 的零点个数为 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10. 已知31)cos(,31cos -=+=βαα，且)2,0(,πβα∈，则=-)cos(βα A.21-B. 21C. 2713D. 272311．在ABC ∆中,⊥-)3(，则角A 的最大值为A ．6π B ．4πC ．3π D ．2π12.已知O 是锐角ABC ∆的外接圆的圆心,且4A π∠=,若cos cos 2sin sin B CAB AC mAO C B+=,则m =A.21 B. 22 C. 31D. 33第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上) 13. 已知a ),2,1(=b ()1,1=,则a 在b 方向上的投影为 .14. 已知,3)4tan(=+θπ则θθ2cos 22sin -= .15. 已知,822,0,0=++>>xy y x y x 则y x 2+的最小值是 .16. 设ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为a b c 、、，且2,sin sin sin 2=+=a C B A ,则ABC ∆面积的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知m (),1,2a ==n ()C c b c o s ,2-，且n m //.（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若,3=a ，求c b +的取值范围.18．（本小题满分12分）若向量=a ),sin x x ωω，=b ()sin ,0x ω，其中0ω>，记函数()f x ()12=+⋅-a b b .若函数()f x 的图象与直线y m =（m 为常数）相 切，并且切点的横坐标依次成公差是π的等差数列. （Ⅰ）求()f x 的表达式及m 的值； （Ⅱ）将()f x 的图象向左平移6π个单位，再将得到的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）后得到()y g x =的图象， 求()y g x =在]2,0[π上的值域.19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知22=a ，972cos -=A ，1-=⋅AC AB .（Ⅰ）求b 和c ； （Ⅱ）求()B A -sin 的值.20.（本小题满分12分）已知函数()()3log 91xf x mx =++为偶函数，()93x xng x +=为奇函数.（Ⅰ）求m n -的值；（Ⅱ）若函数()y f x =与a x g y x33log ]43)([log +-+=-的图象有且只有一个交点，求实数a 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数()1ln )(--=x a x x f ，其中a 为实数. （Ⅰ）讨论并求出()x f 的极值；（Ⅱ）在1a <时，是否存在1m >，使得对任意的()1,x m ∈恒有()0>x f ，并说明理由；(III) 确定a 的可能取值，使得存在1n >，对任意的()n x ,1∈，恒有()()21-<x x f .请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos 2y x ,(α为参数)．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为22)4cos(=-πθρ.（Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值.23. （本小题满分10分）已知c b a 、、均为正数．（Ⅰ）求证：22211a b a b ⎛⎫+++≥ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）若194=++c b a ，求证：941100a b c++≥.理科答案一、选择题1-12CBCDA ACBDD AB 二、填空题13.223 14.54- 15.4 16.3 三、解答题 17.（1））3π（2）]323，（ 18.（1）)62sin()(π-=x x f ，1±=m（2）[]2,1-19. （1）3==c b（2）935 20. （1）0（2）1>a21.（1） 当0≤a 时，没有极值；当0>a 时，有极大值a a af ln 1)1(--=，没有极小值. （2） 存在； （3） 1=a22.（1）04=-+y x （2）22210+23.略。
吉林省长市高三数学上学期期中试题 理
吉林省长春市2017-2018学年高三数学上学期期中试题 理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。
考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数=+-=z z iiz 的共轭复数的模则,4334（ ）. A.5 B.1 C.54D.532.已知集合{}{}=≤--=>=B A x x x B x x A 则,032,12( ).A.(-1,1)B.RC.(1,3]D.(-1,3] 3..已知向量()与则,1,1,3,1,=⋅==（ ）.A.6π B.3π C.4π D.32π4.“2-πϕ=”是“()()ϕω+=x A x f sin 是偶函数”的（ ）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.已知命题p “函数()()()上单调递增，在∞+--=132log 22x x x f ”，命题q “函数()()点，的图像恒过0011-=+x a x f ”，则下列命题正确的是（ ）.A.q p ∧B.q p ∨C.()q p ⌝∧D.()q p ∨⌝6.已知向量()()()x f a e e x x ⋅===-函数,,2,,是奇函数，则实数a 的值为（ ）.A.2B.0C.1D.-2 7. 要得到21cos cos sin 2+-⋅=x x x y 的图像，只需将函数x y 2sin 22=的图像（ ）. A.左移4π B.右移4π C.左移8π D.右移8π8. 已知实数c b a c b a ,,,23tan 123tan 2,25sin 21,24sin 24cos 2222则︒-︒=︒-=︒-︒=的大 小关系为（ ）.A.c a b >>B.b a c >>C.c b a >>D.a b c >> 9. 直线x y xy e x x ====,1,1与曲线围成的面积是（ ）. A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-523123e B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-123123e C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-223123e D.5223-e10. 已知等差数列{}4213,,,3a a a a a n 且满足=成等比数列，则=5a （ ）. A.5 B.3 C.5或3 D.4或311. 若函数()()+∞++-+=,01ln 2为a ax x x x f 上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ）.A.(]22,∞- B.(]2,∞- C.[)∞+，1 D.[)∞+，2 12. 已知()x f 为定义域为R 的函数，()x f '是()x f 的导函数，且()()()()x e x f x f x f R x e f <>'∈∀=则不等式都有,,1的解集为（ ）.A.()1,∞-B.()0,∞-C.()∞+，0 D.()∞+，1 第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
长春市2017-2018学年高三数学上学期期中试题理
吉林省长春市2017—2018学年高三数学上学期期中试题理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。
考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1. 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0。
5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5。
保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1。
已知复数=+-=zziiz的共轭复则,4334（)。
A。
5 B.1 C。
54D.532。
已知集合{}{}=≤--=>=BAxxxBxxA则,32,12( ）.A.（—1，1) B。
R C。
(1，3]D.（—1，3]3..已知向量()的与则满足bababa,1,1,3,1=⋅==( ）.A.6πB.3πC。
4πD.32π4。
“2-πϕ="是“()()ϕω+=xAxf sin是偶函数”的( ).A.充分不必要条件 B 。
必要不充分条件C 。
充要条件 D.既不充分又不必要条件 5。
已知命题p “函数()()()上单调，在∞+--=132log 22x x x f "，命题q “函数()()点，的图像恒过0011-=+x a x f "，则下列命题正确的是( ）.A.q p ∧ B 。
q p ∨ C.()q p ⌝∧ D.()q p ∨⌝6.已知向量()()()b a x f a b e e a xx ⋅===-函数,,2,,是奇函数,则实数a 的值为（ ）。
A 。
2 B 。
0 C 。
1 D.-2 7. 要得到21cos cos sin 2+-⋅=x x x y 的图像，只需将函数xy 2sin 22=的图像( ）。
黑龙江、吉林两省八校2017届高三上学期期中联考数学文试卷(解析版)
2016-2017学年黑龙江、吉林两省八校联考高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2＞1}，B={﹣2，﹣1，0，2}，则A∩B=（）A．{0，﹣1} B．{﹣2，﹣1}C．{﹣2，2} D．{0，2}2．若a＞0，b＞0，则“a+b＞1”是“ab＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．函数y=的定义域为（）A．（0，1]B．[1，2）C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）4．已知向量=（1，2），=（λ，﹣1），若⊥，则|+|=（）A． B．4 C． D．5．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=﹣3，S6=12，则a5等于（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．46．若a=log0.22，b=log0.23，c=20.2，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角C等于（）A．B．C．D．8．已知：命题p：若函数f（x）=x2+|x﹣a|是偶函数，则a=0．命题q：∀m∈（0，+∞），关于x的方程mx2﹣2x+1=0有解．在①p∨q；②p∧q；③（￢p）∧q；④（￢p）∨（￢q）中为真命题的是（）A．②③B．②④C．③④D．①④9．等比数列{a n}中，a1=3，a4=24，则数列{}的前5项和为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0）的一条对称轴与最近的一个零点的距离为，要y=f （x）的图象，只需把y=cosωx的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位11．函数f（x）=x+sinx在x=处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=log2（x+1）+3x，则满足f（x）＞﹣4的实数x的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣1，1）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S8=2S4，则=．14．已知=﹣1，则tanα=．15．已知向量=（﹣1，﹣3），=（2，t），且∥，则﹣=．16．已知函数f（x）=x2﹣mlnx在[2，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知数列{a n}的通项公式为a n=，n∈N*（1）求数列{}的前n项和S n（2）设b n=a n a n+1，求{b n}的前n项和T n．18．（12分）在锐角△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边sinC﹣cosB=cos（A﹣C）．（1）求角A的度数；（2）若a=2，且△ABC的面积是3，求b+c．19．（12分）已知向量=（1+cosωx，1），=（1，a+sinωx）（ω为常数且ω＞0），函数f（x）=在R上的最大值为2．（1）求实数a的值；（2）把函数y=f（x）的图象向右平移个单位，可得函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，]上为增函数，求ω的最大值．20．（12分）已知函数f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+acosx+b，（a，b∈R）且均为常数）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若f（x）在区间[﹣，0]上单调递增，且恰好能够取到f（x）的最小值2，试求a，b的值．21．（12分）对于数列{a n}、{b n}，S n为数列{a n}的前n项和，且S n+1﹣（n+1）=S n+a n+n，a1=b1=1，b n+1=3b n+2，n∈N*．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．22．（12分）已知函数f（x）=x3+（2a+1）x2﹣2（a+1）x．（1）若f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围；（2）存在x∈[1，2]，使f（x）≤0，求实数a的取值范围．2016-2017学年黑龙江、吉林两省八校联考高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2016秋•吉林期中）已知集合A={x|x2＞1}，B={﹣2，﹣1，0，2}，则A∩B=（）A．{0，﹣1} B．{﹣2，﹣1}C．{﹣2，2} D．{0，2}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；转化思想；定义法；集合．【分析】先求出集合A和B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x2＞1}={x|x＞1或x＜﹣1}，B={﹣2，﹣1，0，2}，∴A∩B={﹣2，2}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（2016秋•吉林期中）若a＞0，b＞0，则“a+b＞1”是“ab＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】对应思想；转化法；简易逻辑．【分析】根据a+b＞1，求出ab＞，根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：若a＞0，b＞0，则“a+b≥2＞1”，解得ab＞，故ab＞是ab＞1的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，考查既不不等式的性质以及集合的包含关系，是一道基础题．3．（2016秋•吉林期中）函数y=的定义域为（）A．（0，1]B．[1，2）C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：2﹣2x≥0，解得：x≤1，故函数的定义域是（﹣∞，1]，故选：C．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．4．（2016秋•吉林期中）已知向量=（1，2），=（λ，﹣1），若⊥，则|+|=（）A． B．4 C． D．【考点】向量的模．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用．【分析】根据向量的垂直求出λ的值，求出+的值，从而求出其模即可．【解答】解：∵=（1，2），=（λ，﹣1），⊥，∴λ﹣2=0，∴λ=2，∴+=（1，2）+（2，﹣1）=（3，1），则|+|==，故选：A．【点评】本题考查了向量的垂直问题，考查向量求模问题，是一道基础题．5．（2016秋•黑龙江期中）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=﹣3，S6=12，则a5等于（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．4【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列{a n}的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a5．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a6=﹣3，S6=12，∴，解得a1=7，d=﹣2，∴a5=7+4×（﹣2）=﹣1．故选：B．【点评】本题考查等差数列的第5项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6．（2016秋•吉林期中）若a=log0.22，b=log0.23，c=20.2，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵y=log0.2x在（0，+∞）上是减函数，∴b＜a＜0，又c=20.2＞0，∴b＜a＜c．故选：B．【点评】本题考查了指数函数、对数函数，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（2016秋•吉林期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角C等于（）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】整理原等式利用余弦定理求得cosA的值，进而求得A．【解答】解：∵，∴a2﹣c2=ab﹣b2，∴可得：b2+a2﹣c2=ab，∴cosC==，∵C∈（0，π），∴C=．故选：A．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8．（2016秋•吉林期中）已知：命题p：若函数f（x）=x2+|x﹣a|是偶函数，则a=0．命题q：∀m∈（0，+∞），关于x的方程mx2﹣2x+1=0有解．在①p∨q；②p∧q；③（￢p）∧q；④（￢p）∨（￢q）中为真命题的是（）A．②③B．②④C．③④D．①④【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．【专题】计算题；简易逻辑．【分析】先分析命题p，q的真假，再根据复合命题的真值判断方法即可求解．【解答】解：若函数f（x）=x2+|x﹣a|为偶函数，则（﹣x）2+|﹣x﹣a|=x2+|x﹣a|，即有|x+a|=|x ﹣a|，易得a=0，故命题p为真；当m＞0时，方程的判别式△=4﹣4m不恒大于等于零，当m＞1时，△＜0，此时方程无实根，故命题q为假，即p真q假，故命题p∨q为真，p∧q为假，（￢p）∧q为假，（￢p）∨（￢q）为真．综上可得真确命题为①④．故选：D．【点评】本题考查复合命题的真假的判断．解题关键真确判断命题p，q的真假，再根据复合命题真值的判断方法求解．属于基础题．9．（2016秋•吉林期中）等比数列{a n}中，a1=3，a4=24，则数列{}的前5项和为（）A．B．C．D．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；方程思想；等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的通项公式求得a n，则易得=．然后来求数列{}的前5项和．【解答】解：设等比数列{a n}中的公比为q，∵a1=3，a4=24，则a1q3=24，即3q3=24，故q=2．故a n=3×2n﹣1=．则==．∴数列{}的前5项和为：（20+2﹣1+2﹣2+2﹣3+2﹣4）=×=．故选：C．【点评】本题主要考查等比数列的应用，根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键．10．（2015•包头校级模拟）已知函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0）的一条对称轴与最近的一个零点的距离为，要y=f（x）的图象，只需把y=cosωx的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】依题意，知，利用正弦函数的周期公式即可求得ω的值，根据三角函数图形变换规律即可得解．【解答】解：∵函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0）的一条对称轴与最近的一个零点的距离为，∴周期T=4×=，可解得：ω=2，∵f（x）=cos（2x﹣）=cos[2（x﹣）]，∴要y=f（x）的图象，只需把y=cosωx的图象向右平移个单位即可．故选：A．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的周期公式的应用，考察诱导公式的应用，属于基本知识的考查．11．（2016秋•吉林期中）函数f（x）=x+sinx在x=处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；转化思想；演绎法；导数的概念及应用．【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，可得切线的方程，求得x，y轴的截距，运用三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：f（x）=x+sinx，则f'（x）=1+cosx，则，而，故切线方程为．令x=0，可得y=1；令y=0，可得x=﹣1．故切线与两坐标围成的三角形面积为．故选A．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及直线方程的运用，正确求导是解题的关键，属于基础题．12．（2016秋•吉林期中）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=log2（x+1）+3x，则满足f（x）＞﹣4的实数x的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣1，1）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】综合题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】先由奇函数求得f（0）=0，再设x＜0，则﹣x＞0，适合x＞0时，求得f（﹣x），再由满足f（x）＞﹣4，即可得出结论．【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数∴f（0）=0设x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=log2（﹣x+1）﹣3x∵f（x）为定义在R上的奇函数∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x+1）+3x，此时函数单调递增，x≥0时，满足f（x）＞﹣4；x＜0时，f（x）＞﹣4可得f（x）＞f（﹣1），∴x＞﹣1，∴﹣1＜x＜0．综上所述，x＞﹣1．故选C．【点评】本题主要考查用奇偶性求函数对称区间上的解析式，要注意求哪个区间上的解析式，要在哪个区间上取变量．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（2016秋•吉林期中）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S8=2S4，则=1．【考点】等比数列的性质．【专题】计算题；分类讨论；方程思想；等差数列与等比数列．【分析】分类讨论：公比q=1和q≠1两种情况．结合等比数列的前n项和公式进行解答．【解答】解：公比为1时，S8=8a1，S4=4a1，满足S8=2S4，所以=1；公比不为1时，=2×，无解．故答案为：1．【点评】本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，比较基础．14．（2016秋•吉林期中）已知=﹣1，则tanα=．【考点】三角函数的化简求值；同角三角函数间的基本关系．【专题】解题思想；函数思想；方程思想；三角函数的求值．【分析】利用同角三角函数基本关系式，化简表达式为正切函数的形式，然后求解即可．【解答】解：=﹣1，可得：，解得tanα=．故答案为：；【点评】本题考查同角三角函数基本关系式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力．15．（2016秋•吉林期中）已知向量=（﹣1，﹣3），=（2，t），且∥，则﹣=（﹣3，﹣9）．【考点】平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】利用向量共线的充要条件列出方程求出t，然后求解即可．【解答】解：向量=（﹣1，﹣3），=（2，t），且∥，可得﹣t=﹣6，解得t=6．则﹣=（﹣3，﹣9）．故答案为：（﹣3，﹣9）；【点评】本题考查向量的共线与坐标运算，考查计算能力．16．（2016秋•吉林期中）已知函数f（x）=x2﹣mlnx在[2，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围为（﹣∞，8] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用．【分析】函数f（x）=x2﹣mlnx在[2，+∞）上单调递增即可转化为：f'（x）在[2，+∞）上恒有f'（x）≥0；【解答】解：对f（x）求导后：f'（x）=2x﹣；函数f（x）=x2﹣mlnx在[2，+∞）上单调递增即可转化为：f'（x）在[2，+∞）上恒有f'（x）≥0；∴2x﹣≥0⇒2x2≥m；故u=2x2在[2，+∞）上的最小值为u（2）=8；所以，m的取值范围为（﹣∞，8]；故答案为：（﹣∞，8]．【点评】本题主要考查了导函数与原函数的关系，以及转化思想与分离参数法的应用，属中等题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2016秋•黑龙江期中）已知数列{a n}的通项公式为a n=，n∈N*（1）求数列{}的前n项和S n（2）设b n=a n a n+1，求{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由a n=，n∈N*，则==4n﹣1，数列{}是以3为首项，以4为公差的等差数列，根据等差数列前n项和公式，即可求得S n；==（﹣），采用“裂项法”，即可求得{b n}的前n （2）由b n=a n a n+1项和T n．【解答】解：（1）由a n=，n∈N*，∴==4n﹣1，∴数列{}是以3为首项，以4为公差的等差数列，∴数列{}的前n项和S n==2n2+n，==（﹣），（2）b n=a n a n+1∴{b n}的前n项和T n，T n=b1+b2+b3+…+b n，=[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，=（1﹣），=，T n=．【点评】本题考查等差数列前n项和公式，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．18．（12分）（2016秋•吉林期中）在锐角△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边sinC﹣cosB=cos （A﹣C）．（1）求角A的度数；（2）若a=2，且△ABC的面积是3，求b+c．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】（1）由cos B+cos （A﹣C）=sin C，利用两角和与差的三角函数展开可求sin A，进而可求A．（2）由三角形的面积公式可求bc的值，进而利用余弦定理，平方和公式即可解得b+c的值．【解答】解：（1）因为由已知可得：cos B+cos （A﹣C）=sin C，所以：﹣cos （A+C）+cos （A﹣C）=sin C，可得：2sin A sin C=sinC，故可得：sin A=．因为△ABC为锐角三角形，所以A=60°．（2）∵A=60°，△ABC的面积是3=bcsinA=bc，∴bc=12，∵a=2，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：12=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣36，∴解得：b+c=4．【点评】本题主要考查了两角和与差的三角函数，余弦定理及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．19．（12分）（2015•普陀区二模）已知向量=（1+cosωx，1），=（1，a+sinωx）（ω为常数且ω＞0），函数f（x）=在R上的最大值为2．（1）求实数a的值；（2）把函数y=f（x）的图象向右平移个单位，可得函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，]上为增函数，求ω的最大值．【考点】三角函数的最值；平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】（1）把向量=（1+cosωx，1），=（1，a+sinωx）（ω为常数且ω＞0），代入函数f（x）=整理，利用两角和的正弦函数化为2sin（ωx+）+a+1，根据最值求实数a的值；（2）由题意把函数y=f（x）的图象向右平移个单位，可得函数y=g（x）的图象，利用y=g（x）在[0，]上为增函数，就是周期≥π，然后求ω的最大值．【解答】解：（1）f（x）=1+cosωx+a+sinωx=2sin（ωx+）+a+1．因为函数f（x）在R上的最大值为2，所以3+a=2，故a=﹣1．（2）由（1）知：f（x）=2sin（ωx+），把函数f（x）=2sin（ωx+）的图象向右平移个单位，可得函数y=g（x）=2sinωx．又∵y=g（x）在[0，]上为增函数，∴g（x）的周期T=≥π，即ω≤2，∴ω的最大值为2．【点评】本题是基础题，以向量的数量积为载体，三角函数的化简求值为主线，三角函数的性质为考查目的一道综合题，考查学生分析问题解决问题的能力．20．（12分）（2016秋•黑龙江期中）已知函数f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+acosx+b，（a，b∈R）且均为常数）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若f（x）在区间[﹣，0]上单调递增，且恰好能够取到f（x）的最小值2，试求a，b的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】计算题；函数思想；三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用和差化积公式和辅助角公式将已知函数关系式转化为正弦函数，然后由正弦函数的性质求其最小正周期；（2）根据正弦函数图象的单调性和正弦函数的最值的求法进行解答．【解答】解：（1）f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+acosx+b=2sinxcos+acosx+b=sinx+acosx+b=sin（x+θ）+b，所以，函数f（x）的最小正周期为2π．（2）由（1）可知：f（x）的最小值为﹣+b，所以，﹣+b=2．①另外，由f（x）在区间[﹣，0]上单调递增，可知f（x）在区间[﹣，0]上的最小值为f（﹣），所以，f（﹣）=2，得a+2b=7，②联立①②解得a=﹣1，b=4．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．21．（12分）（2016秋•黑龙江期中）对于数列{a n}、{b n}，S n为数列{a n}的前n项和，且S n+1﹣（n+1）=S n+a n+n，a1=b1=1，b n+1=3b n+2，n∈N*．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由S n+1﹣S n=a n+2n+1，则a n+1﹣a n=2n+1，利用“累加法”即可求得a n=n2，由b n+1+1=3（b n+1），可知数列{b n+1}是以2为首项，以3为公比的等比数列，即可求得{b n}的通项公式；（2）由（1）可知：c n===，利用“错位相减法”即可求得数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由S n+1﹣（n+1）=S n+a n+n，∴S n+1﹣S n=a n+2n+1，∴a n+1﹣a n=2n+1，∴a2﹣a1=2×1+1，a3﹣a2=2×2+1，a4﹣a3=2×3+1，…a n﹣a n﹣1=2（n﹣1）+1，以上各式相加可得：a n﹣a1=2×（1+2+3+…+n﹣1）+（n﹣1），∴a n=2×+（n﹣1）+1=n2，∴a n=n2，∵b n+1=3b n+2，即b n+1+1=3（b n+1），b1+1=2，∴数列{b n+1}是以2为首项，以3为公比的等比数列，b n+1=2×3n﹣1，∴b n=2×3n﹣1﹣1；（2）由（1）可知：c n===，∴T n=c1+c2+…+c n=+++…+，T n=+++…+，∴T n=2++++…+﹣，=2+﹣，=﹣，∴T n=﹣，数列{c n}的前n项和T n，T n=﹣．【点评】本题考查数列的递推公式，考查“累加法”，构造等比数列及“错位相减法”的综合应用，考查计算能力，属于中档题．22．（12分）（2016秋•吉林期中）已知函数f（x）=x3+（2a+1）x2﹣2（a+1）x．（1）若f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围；（2）存在x∈[1，2]，使f（x）≤0，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；导数的综合应用．【分析】（1）求导数，利用（x）在x=1处取得极大值，可得﹣2a﹣2＞1，即可求实数a的取值范围；（2）存在x∈[1，2]，使f（x）≤0，即x∈[1，2]，使f（x）max≤0．分类讨论，即可得出结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=x3+（2a+1）x2﹣2（a+1）x，∴f′（x）=x2+（2a+1）x﹣2（a+1）=（x﹣1）（x+2a+2），∵f（x）在x=1处取得极大值，∴﹣2a﹣2＞1，∴a＜﹣；（2）存在x∈[1，2]，使f（x）≤0，即x∈[1，2]，使f（x）max≤0．①﹣2a﹣2≤1，函数在[1，2]上单调递增，∴f（x）max=f（2）=，不符合题意；②﹣2a﹣2＞2，即a＜﹣2，函数在[1，2]上单调递减，∴f（x）max=f（1）=﹣a﹣≤0，∴a≥﹣，无解；③1＜﹣2a﹣2≤2，即﹣2≤a≤﹣，函数在[1，﹣2a﹣2]上单调递减，在[﹣2a﹣2，2]上单调递增，f（2）=＞0，x∈[1，2]，使f（x）max≤0，不成立．综上所述，不存在a，对于存在x∈[1，2]，使f（x）≤0成立．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查存在性问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
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2016-2017黑吉两省八校联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合}1|{2<=x x A ，}22|{>=x x B ，则=B A （ ） A ．)21,21(- B ．)21,0( C ．)1,21( D ．)1,21(-2.若0,0>>b a ，则“1>+b a ”是“1>ab ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.已知向量)2,1(=a ，)1,(-=λb ，若b a ⊥，则=+||b a （ ） A ．10 B ．4 C ．17 D ．524.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若36-=a ，216=S ，则5a 等于（ ） A ．3- B ．1- C ．1 D ．45.若2.02.02.02,3log ,2log ===c b a ，则（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a << 6.已知：命题p ：若函数||)(2a x x x f -+=是偶函数，则0=a .命题q ：),0(+∞∈∀m ，关于x 的方程0122=+-x mx 有解.在①q p ∨；②q p ∧；③q p ∧⌝)(；④)()(q p ⌝∨⌝中为真命题的是（ ） A ．②③ B ．②④ C ．③④ D ．①④ 7.已知ABC ∆三边c b a ,,上的高分别为1,22,21，则A cos 等于（ ） A ．23B ．22-C ．42-D ．43-8.已知函数)2||,0,0(sin)(πϕωϕω<>>+=A x A x f ）（，其导函数)('x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为（ ）9.已知非零向量,的夹角为60，且满足2|2|=-，则⋅的最大值为（ ） A ．21B ．1C ．2D ．3 10.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且0>x 时，x x x f 3)1(log )(2++=，则满足4)(->x f 的实数x 的取值范围是（ ）A ．)2,2(-B ．)1,1(-C ．)1(∞+-D ．),1(+∞ 11.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，21+=+n n S a ，则满足1012<n n S S 的n 的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．712.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，0)3()(=++-x f x f ；当)3,0(∈x 时，xxe xf ln )(=，其中e 是自然对数的底数，且72.2≈e ，则方程0)(6=-x x f 在]9,9[-上的解的个数为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知1cos sin cos 2sin -=+-αααα，则=αtan .14.已知向量),,2(),3,1(t b a =--=且//，则=- .15.已知函数x m x x f ln )(2-=在),2[+∞上单调递增，则实数m 的取值范围为 . 16.已知数列}{n a 与}{n b 满足)(32*∈+=N n b a n n ，若}{n b 的前n 项和为)13(23-=nn S 且λλ3)3(36+-+>n b a n n 对一切*∈N n 恒成立，则实数λ的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列}{n a 的通项公式为121-=n a n ，*∈N n . （1）求数列}2{nn a a +的前n 项和n S ； （2）设1+=n n n a a b ，求}{n b 的前n 项和n T .18.在锐角ABC ∆中，c b a ,,是角C B A ,,的对边，)cos(cos sin 3C A B C -=-. （1）求角A 的度数；（2）若32=a ，且ABC ∆的面积是33，求c b +.19.已知向量)1,cos 1(x a ω+=，)sin 3,1(x a b ω+=（ω为常数且0>ω），函数b a x f ⋅=)(在R 上的最大值为2. （1）求实数a 的值；（2）把函数)(x f y =的图象向右平移ωπ6个单位，可得函数)(x g y =的图象，若)(x g y =在]4,0[π上为增函数，求ω的最大值.20.已知函数b x a x x x f ++-++=cos )6sin()6sin()(ππ（R b a ∈,，且均为常数）.（1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）若)(x f 在区间]0,3[π-上单调递增，且恰好能够取到)(x f 的最小值2，试求b a ,的值.21.对于数列}{n a 、}{n b ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，且n a S n S n n n ++=+-+)1(1，111==b a ，231+=+n n b b ，*∈N n .（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式； （2）令)1()(2++=n n n b n n a c ，求数列}{n c 的前n 项和n T .22.已知函数xxx f ln 1)(+=. （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若mx x xf x g +=)()(在区间],0(e 上的最大值为3-，求m 的值； （3）若1≥x 时，有不等式1)(+≥x kx f 恒成立，求实数k 的取值范围.理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．21； 14．)9,3(--； 15．]8,(-∞； 16．),1813(+∞三、解答题：本大题共6个题，共70分． 17. 已知数列}{n a 的通项公式为121-=n a n ，*∈N n . （1）求数列}2{nn a a +的前n 项和n S ； （2）设1+=n n n a a b ，求}{n b 的前n 项和n T .17．解：（1）因为242-=n a n ，所以14212-=+=+n a a a n n n ，所以}2{nn a a +是首项为3，公差为4的等差数列.所以n n n n n S n +=⨯-+=2242)1(3. （2）因为)121121(211211211+--=+⨯-==+n n n n a a b n n n ， 所以)]121321()5131()311[(21---++-+-=n n T n 12)1211(21+=+-=n n n . 大18.在锐角ABC ∆中，c b a ,,是角C B A ,,的对边，)cos(cos sin 3C A B C -=-. （1）求角A 的度数；（2）若32=a ，且ABC ∆的面积是33，求c b +.18．解：（1）在ABC ∆中，π=++C B A ，那么由)cos(cos sin 3C A B C -=-，可得C A C A C A B C A C sin sin 2)cos()cos(cos )cos(sin 3=++-=+-=，得23s i n =A ，则在锐角ABC ∆中，3π=A .（2）由（1）知，3π=A ，且33sin 21==∆A bc S ABC ，得12=bc ，由余弦定理得 A bc c b a cos 2222-+=，那么bc c b bc c b A bc c b a 3)(cos 2222222-+=-+=-+=，则483)(22=+=+bc a c b ，可得34=+c b .19.已知向量)1,cos 1(x a ω+=，)sin 3,1(x a b ω+=（ω为常数且0>ω），函数b a x f ⋅=)(在R 上的最大值为2. （1）求实数a 的值；（2）把函数)(x f y =的图象向右平移ωπ6个单位，可得函数)(x g y =的图象，若)(x g y =在]4,0[π上为增函数，求ω的最大值.19．（1）解：=)(x f 1)6sin(2sin 3cos 1+++=+++a x x a x πωωω，因为函数)(x f 在R 上的最大值为2，所以23=+a ，故1-=a .（2）由（1）知)6sin(2)(πω+=x x f ，把函数)6sin(2)(πω+=x x f 的图象向右平移ωπ6个单位，可得函数x x g y ωsin 2)(==，又)(x g y =在]4,0[π上为增函数，∴)(x g 的周期πωπ≥=2T ，即2≤ω，所以ω的最大值为2.20.已知函数b x a x x x f ++-++=cos )6sin()6sin()(ππ（R b a ∈,，且均为常数）.（1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）若)(x f 在区间]0,3[π-上单调递增，且恰好能够取到)(x f 的最小值2，试求b a ,的值.20．解：（1）b x a x b x a x x x f ++=++-++=cos 6cossin 2cos )6sin()6sin()(πππb x a b x a x +++=++=)sin(3cos sin 32θ（其中3tan a=θ），所以函数)(x f 的最小正周期为π2.（2）由（1）可知，)(x f 的最小值为b a ++-32，所以232=++-b a ① 另外，由)(x f 在区间)0,3(π-上单调递增，可知)(x f 在区间)0,3(π-上的最小值为)3(π-f ，所以2)3(=-πf ，得72=+b a ②，联立①②解得4,1=-=b a .21.对于数列}{n a 、}{n b ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，且n a S n S n n n ++=+-+)1(1，111==b a ，231+=+n n b b ，*∈N n .（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式； （2）令)1()(2++=n n n b n n a c ，求数列}{n c 的前n 项和n T .21．解：（1）因为n a S n S n n n ++=+-+)1(1，所以121++=+n a a n n ，所以=+++-+-=+-+-++-+-=---+13)32()12()()()()(112232111 n n a a a a a a a a a a n n n n n22)112(n nn =+-=，所以}{n a 的通项公式为2n a n =.由231+=+n n b b ，得)1(311+=++n n b b ，所以}1{+n b 是等比数列，首项为211=+b ，公比为3，所以1321-⋅=+n n b ，所以}{n b 的通项公式为1321-⋅=-n n b .（2）1123132)(2---=⋅+=n n n n n n n c ，所以12210313343332--++++++=n n nn n T ，① 则2310031334333323--++++++⋅=n n n n n T ②22.已知函数xx x f ln 1)(+=. （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若mx x xf x g +=)()(在区间],0(e 上的最大值为3-，求m 的值；（3）若1≥x 时，有不等式1)(+≥x k x f 恒成立，求实数k 的取值范围.22.（1）解：（1）易知)(x f 定义域为),0(+∞，2ln )('x x x f -=，令0)('=x f ，得1=x . 当10<<x 时，0)('>x f ；当1>x 时，0)('<x f .∴)(x f 在)1,0(上是增函数，在),1(+∞上是减函数.（2）∵mx x x g ++=ln 1)(，xm x g 1)('+=，],0(e x ∈， ①若0≥m ，则0)('≥x g ，从而)(x g 在],0(e 上是增函数，∴02)()(max ≥+==me e g x g ，不合题意.②若0<m ，则由0)('>x g ，即mx 10-<<，若e m ≥-1，)(x g 在],0(e 上是增函数，由①知不合题意. 由0)('<x g ，即e x m ≤<-1.从而)(x g 在)1,0(m -上是增函数，在],1(e m-为减函数，∴)1ln()1()(max m m g x g -=-=，令，所以3e m -=，∵e em <=-311，∴所求的3e m -=. （3）∵1≥x 时，1)(+≥x k x f 恒成立，∴11ln ln )()1(+++=+≥xx x x x f x k ，（应该是k 小于等于）令11ln ln )(+++=x x x x x h ，∴2ln )('x x x x h -=恒大于0，∴)(x h 在),1[+∞为增函数，∴2)1()(min ==h x h ，∴2≤k .。