中考数学二次函数存在性问题及参考答案

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二次函数的存在性问题(面积)及答案

图12-2xCOy ABD 11二次函数的存在性问题(面积问题)1、[08云南双柏]已知：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB <OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）求△ABC 的面积；（4）若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（5）在（4）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．2、 [09湖南益阳]阅读材料：如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算PABCAB 98SS =三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：如图12-2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆； (3)是否存在一点P ，使PABCAB98S S =若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.图13、[09吉林长春]如图，在直角坐标系中，矩形ABCD 的边AD 在y 轴正半轴上，点A 、C 的坐标分别为（0，1）（2，4）．点P 从点A 出发，沿A →B →C 以每秒1个单位的速度运动，到点C 停止；点Q 在x 轴上，横坐标为点P 的横、纵坐标之和．抛物线c bx x y ++-=241经过A 、C 两点．过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，交抛物线于点R ．设点P 的运动时间为t （秒），△PQR 的面积为S （平方单位）．（1）求抛物线对应的函数关系式．（2分）（2）分别求t=1和t=4时，点Q 的坐标．（3分）（3）当0＜t ≤5时，求S 与t 之间的函数关系式，并直接写出S 的最大值．（5分）4、（07云南昆明）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB 。

中考数学二次函数存在性问题与参考答案

中考数学二次函数存在性问题及参考答案一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.如图，把抛物线2=向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2y x=-+.y x h k()所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D.（1）写出h k、的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.2.如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．二、二次函数中面积的存在性问题3.如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线ky x=相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOX ＝4．过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．4.如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）．（1）求抛物线的解析式；（3分）（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；（2分）（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分） (4)在抛物线的BD 段上是否存在点Q 使三角形BDQ 的面积最大，若有，求出点Q 的坐标，若没有，请说明理由。

2024中考数学专题3.9二次函数-存在性问题 (全国通用)

考向3.9 二次函数-存在性问题例1、（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，一次函数y A、B，二次函数2y bx c=++图象过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）对于y x=x=0时，y=；当y=0x-=，妥得，x=3∴A（3，0），B（0，把A（3，0），B（0，2y bx c=++得：+=0b cc⎧⎪⎨=⎪⎩解得，bc⎧=⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为：2y=-（2）抛物线的对称轴为直线12b x a =-== 故设P （1，p ），Q （m ，n ）①当BC 为菱形对角线时，如图，∵B ，C 关于对称没对称，且对称轴与x 轴垂直，∴∴BC 与对称轴垂直，且BC //x 轴∵在菱形BQCP 中，BC ⊥PQ∴PQ ⊥x 轴∵点P 在x =1上，∴点Q 也在x =1上，当x =1时，211y ∴Q （1，；②当BC 为菱形一边时，若点Q 在点P 右侧时，如图，∴BC //PQ ，且BC =PQ∵BC //x 轴，∴令y =，则有2y 解得，120,2x x ==∴(2,C∴PQ =BC =22=∴PB =BC =2∴迠P 在x 轴上，∴P (1,0)∴Q (3，0)；若点Q 在点P 的左侧，如图，同理可得，Q （-1，0）综上所述，Q 点坐标为（1，(3，0)或（-1，0）1．（2021·四川·江油外国语学校九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点左侧，B 点的坐标为（4，0），与y 轴交于C （0，﹣4）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）连接PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP ′C ，那么是否存在点P ，使四边形POP ′C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2021·全国·九年级阶段练习）已知抛物线y ＝14x 2＋bx ＋c 的顶点（0，1）．（1）该抛物线的解析式为；（2）如图1，直线y ＝kx ＋kt 交x 轴于A ，交抛物线于B 、C ，BE ⊥x 轴于E ，CF ⊥x 轴于F ，试比较AE •AF与t 2的大小关系．（3）如图2，D （0，2），M （1，3），抛物线上是否存在点N ，使得NM ＋ND 取得最小值，若存在，求出N 的坐标，若不存在，说明理由．1．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线2x =，项点为D ，点B 的坐标为()3,0．（1）填空：点A 的坐标为_________，点D 的坐标为_________，抛物线的解析式为_________；（2）当二次函数2y x bx c =++的自变量：满足2m x m ≤≤+时，函数y 的最小值为54，求m 的值；（3）P 是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P ，使PAC △是以AC 为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2020·湖南湘潭·中考真题）如图，抛物线25y x bx =-++与x 轴交于A ，B 两点．（1）若过点C 的直线2x =是抛物线的对称轴．①求抛物线的解析式；②对称轴上是否存在一点P ，使点B 关于直线OP 的对称点B '恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）当4b ≥，02x ≤≤时，函数值y 的最大值满足315y ≤≤，求b 的取值范围．3．（2020·山东烟台·中考真题）如图，抛物线y ＝ax 2+bx+2与x 轴交于A ，B 两点，且OA ＝2OB ，与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线对称轴为直线x ＝12，D 为第一象限内抛物线上一动点，过点D 作DE ⊥OA 于点E ，与AC 交于点F ，设点D 的横坐标为m ．（1）求抛物线的表达式；（2）当线段DF 的长度最大时，求D 点的坐标；（3）抛物线上是否存在点D ，使得以点O ，D ，E 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．4．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图象经过点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P ，使PAB ABC ∠=∠，若存在请直接写出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．5．（2020·辽宁阜新·中考真题）如图，二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点()30A -,，()10B ,，交y 轴于点C ．点(),0P m 是x 轴上的一动点，PM x ⊥轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P 仅在线段AO 上运动，如图1．求线段MN 的最大值；②若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2021·内蒙古通辽·中考真题）如图，抛物线23y ax bx =++交x 轴于()3,0A ，()1,0B -两点，交y 轴于点C ，动点P 在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当以P ，B ，C 为顶点的三角形周长最小时，求点P 的坐标及PBC 的周长；（3）若点Q 是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q ，使得以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．1．（1）二次函数的表达式为：y =x 2-3x -4；（2）存在，P ，-2）．【分析】（1）将B 、C 的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP ′C 为菱形，那么P 点必在OC 的垂直平分线上，据此可求出P 点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P 点的坐标．解：（1）将B 、C 两点的坐标代入得16404b c c ++=⎧⎨=-⎩，解得：34b c =-⎧⎨=-⎩，所以二次函数的表达式为：y =x 2-3x -4；（2）存在点P ，使四边形POP ′C 为菱形；设P 点坐标为（x ，x 2-3x -4），若四边形POP ′C 是菱形，则有PC =PO ；如图，连接PP ′，PP′交CO 于E ，则PE ⊥CO 于E ，∵C （0，-4），∴CO =4，又∵OE =EC ，∴OE =EC =2，∴y =-2；∴x 2-3x -4=-2，即x 2-3x -2=0，解得：x 1，x 2，∴P -2）．【点拨】本题考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直，菱形的四条边都相等．2．（1）2114y x =+；（2）2AE AF t ⋅>；（3）存在，51,4N ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）将点（0，1）代入214y x bx c =++中，得c =1，再根据二次函数的图象与性质即可得；（2）设A 的横坐标为1x ，B 的横坐标为2x ，C 的横坐标为3x ，联立2114y x y kx kt ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩得24440x kx kt -++=，再根据根与系数的关系234x x k +=，2344x x kt =-，再令y kx kt =+的纵坐标为0，得1x t =-，最后根据2231231()AE AF x x x x x x =-++ 进行解答即可得；（3）过点N 作NG x ⊥轴，垂足为G ，过点M 作MH x ⊥轴，垂足为H ,交抛物线于0M ，连接0M D ，过点N 作NI MH ⊥,垂足为I ，得90NIH IHG HGN ∠=∠=∠=︒,则四边形IHGN 是矩形，根据二次函数的性质和矩形的性质得00ND NM M M M D +≥+,则点0M 即为所求点,将点0M 的横坐标代入114y x =+中即可得．解：（1）将点（0，1）代入214y x bx c =++中，得c =1，由图象可知，抛物线214y x bx c =++的对称轴为y 轴，所以0124b -=⨯，解得b =0，∴抛物线的解析式为：2114y x =+，故答案为：2114y x =+；（2）设A 的横坐标为1x ，B 的横坐标为2x ，C 的横坐标为3x ，∵BE x ⊥轴，CF x ⊥轴，∴B 、E 横坐标相同且均为2x ，CF 横坐标相同且均为3x ，联立2114y x y kx kt⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，得24440x kx kt -++=，∴234x x k +=，①2344x x kt =-，②令y kx kt =+的纵坐标为0，则0kx kt +=，解得x t =-，即1x t =-，③∵21AE x x =-，31AF x x =-，∴2131()()AE AF x x x x =-- =22321131x x x x x x x --+=2231231()x x x x x x -++ ④将① ② ③代入④得：22244()4()4444AE AF kt t k t kt kt t t =---+-=-++=+ ，∵224t t +>，∴2AE AF t ⋅>（3）存在，5(1,)4N ．如图所示，过点N 作NG x ⊥轴，垂足为G ，过点N 作NJ y ⊥轴，垂足为J ，设点N 的横坐标为a ，则纵坐标为2114a +，则点21(1,0)4J a +，(),0G a ，在Rt NJD 中，根据勾股定理，2114ND a ====+，∵2114NG a =+，∴ND =NG ，过点M 作MH x ⊥轴，垂足为H ,交抛物线于0M ，连接0M D ，过点0M 作0M K y ⊥轴，垂足为K ，连接0KM ，设0M 的横坐标为b ，则纵坐标为2114b +，则点(,0)H b ，在0Rt M KD 中，根据勾股定理，20114M D b ====+，∵20114M H b =+，∴00M D M H =，过点N 作NI MH ⊥,垂足为I ，∵90NIH IHG HGN ∠=∠=∠=︒，∴四边形IHGN 是矩形，∴NG =IH ，∵MN >MI ，∴ND MN NG MN HI MN HI MI MH +=+=+≥+=,∵0000MH M M M H M M M D =+=+,∴0000MH M M M H M M M D =+=+,∴00ND NM M M M D +≥+,∴点0M 即为所求点,∵点0M 的横坐标为1,将x =1代入2114y x =+得: 2151144y =⨯+=,∴05(1,)4M ,∴当点0N M =时,存在NM +ND 取得最小值,点N 坐标为5(1,)4．【点拨】本题考查了二次函数，一元二次方程，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．1．（1）（1，0），（2，-1），243y xx =-+；（2）m 的值为32-或72；（3）点P 的坐标为：（2，1），（2，2）【分析】（1）根据抛物线的对称轴及点B 坐标可求出点A 坐标，根据对称轴可求出b 的值，把点A 或B 的坐标代入抛物线解析式可求出C 的值，通过配方可求出顶点坐标；（2）根据抛物线开口向上，分两种情况讨论求解即可；（3）设P （1，t ），由AC 为斜边，则90APC ∠=︒，根据相似三角形的性质求解即可．解：（1）∵抛物线的对称轴为x =2，点B 坐标为（3，0），且点A 在B 点的左侧，∴A （1，0）又x =22b -= ∴=4b -把A （1，0）代入24y x x c =-+得，3c =∴抛物线的解析式为2243=(2)1y x x x =-+--∴顶点D 坐标为（2，-1）故答案为：（1，0），（2，-1），243y xx =-+；（2）∵抛物线243y xx =-+开口向上，当2x <时，y 随x 的增大而减小；当2x >时，y 随x 的增大而增大，①当22m +<，即0m <时，25=(+22)14y m --=最小值解得，32m =（舍去）或32m =-②当2m >时，25=(2)14y m --=最小值解得，72m =或12m =（舍去）所以，m 的值为32-或72（3）假设存在，设P （2，t ）当=90APC ∠︒时，如图，过点C 作CG ⊥PE 于点G ，则CG =2，PG =3-t90,90,CGP AEP CPG PCG CPG APE ∴∠=∠=︒∠+∠=∠+∠=︒,PCG APE ∴∠=∠∴ CPG PAE ∆∆ ，∴CG PG PE AE = ，即231t t -= 整理得，2320t t -+=解得，11t =，22t =经检验：11t =，22t =是原方程的根且符合题意，∴点P 的坐标为（2，1），（2，2）综上，点P 的坐标为：（2，1），（2，2）【点拨】本题考查了二次函数综合题，二次函数图象的性质，相似三角形的判定与性质，灵活应用以上知识解决问题是本题的关键．2．（1）①245y x x =-++；②存在，P 或(2,；（2）47b ≤≤．【分析】（1）①根据抛物线的对称轴公式即可求出解析式；②如图1，若点P 在x 轴上方，点B 关于OP 对称的点B '在对称轴上，连接OB '、PB ，根据轴对称得到OB OB '=，PB PB '=，求出点B 的坐标，勾股定理得到B '，再根据PB PB '=，列出方程解答，同理得到点P 在x 轴下方时的坐标即可；（2）当4b ≥时，确定对称轴的位置，再结合开口方向，确定当02x ≤≤时，函数的增减性，从而得到当x=2时，函数取最大值，再列出不等式解答即可．解：（1）①抛物线25y x bx =-++的对称轴为直线2(1)2=-=⨯-b b x ，∴若过点C 的直线2x =是抛物线的对称轴，则22b =，解得：b=4，∴245y x x =-++；②存在，如图1，若点P 在x 轴上方，点B 关于OP 对称的点B '在对称轴上，连接OB '、PB ，则OB OB '=，PB PB '=，对于245y x x =-++，令y=0，则2450x x -++=，解得：121,5x x =-=，∴A （-1,0），B （5,0），∴5OB OB '==，∴CB '===，∴B '，设点P （2，m ），由PB PB '=m =m =，∴P ，同理，当点P 在x 轴下方时，(2,P ，综上所述，点P 或(2,（2）∵抛物线25y x bx =-++的对称轴为直线2(1)2=-=⨯-b b x ，∴当4b ≥时，22b x =≥，∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y 随x 的增大而增大，∴当02x ≤≤时，取x=2，y 有最大值，即42521y b b =-++=+，∴32115b ≤+≤，解得：17b ≤≤，又∵4b ≥，∴47b ≤≤．【点拨】本题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数的图象与性质，以及勾股定理的应用，其中第（1）②问要先画出图形再理解，第（2）问运用到了二次函数的增减性，难度不大，解题的关键是熟记二次函数的图象与性质．3．（1）y ＝﹣x 2+x+2；（2）D(1，2)；（3）存在，m ＝1【分析】（1）点A 、B 的坐标分别为（2t ，0）、（﹣t ，0），则x ＝12＝12（2t ﹣t ），即可求解；（2）点D （m ，﹣m 2+m+2），则点F （m ，﹣m+2），则DF ＝﹣m 2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m 2+2m ，即可求解；（3）以点O ，D ，E 为顶点的三角形与△BOC 相似，则DE OB OE OC=或OC OB ，即DE OE ＝2或12，即可求解．【详解】解：（1）设OB ＝t ，则OA ＝2t ，则点A 、B 的坐标分别为（2t ，0）、（﹣t ，0），则x ＝12＝12（2t ﹣t ），解得：t ＝1，故点A 、B 的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0），则抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣2）（x+1）＝ax 2+bx+2，解得：a ＝﹣1，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+x+2；（2）对于y ＝﹣x 2+x+2，令x ＝0，则y ＝2，故点C （0，2），由点A 、C 的坐标得，直线AC 的表达式为：y ＝﹣x+2，设点D 的横坐标为m ，则点D （m ，﹣m 2+m+2），则点F （m ，﹣m+2），则DF ＝﹣m 2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m 2+2m ，∵﹣1＜0，故DF 有最大值，此时m ＝1，点D （1，2）；（3）存在，理由：点D （m ，﹣m 2+m+2）（m ＞0），则OD ＝m ，DE ＝﹣m 2+m+2，以点O ，D ，E 为顶点的三角形与△BOC 相似，则DE OB OE OC =或OC OB ，即DE OE ＝2或12，即22m m m-++＝2或12，解得：m ＝1或﹣2，故m ＝1【点拨】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力．会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键．4．（1）2y x 2x 3=-++；（2）存在，1(2,3)P ，2(4,5)P-【分析】（1）把点AB 的坐标代入2y x bx c =-++即可求解；（2）分点P 在x 轴下方和下方两种情况讨论，求解即可．【详解】（1）∵二次函数2y x bx c =-++的图象经过点A(-1，0)，B(3，0)，∴10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：2y x 2x 3=-++；（2）存在，理由如下：当点P 在x 轴下方时，如图，设AP 与y 轴相交于E ，令0x =，则3y =，∴点C 的坐标为(0，3)，∵A(-1，0)，B(3，0)，∴OB=OC=3，OA=1，∴∠ABC=45︒，∵∠PAB=∠ABC=45︒，∴△OAE 是等腰直角三角形，∴OA=OE=1，∴点E 的坐标为(0，-1)，设直线AE 的解析式为1y kx =-，把A(-1，0)代入得：1k =-，∴直线AE 的解析式为1y x =--，解方程组2123y x y x x =--⎧⎨=-++⎩，得：1110x y =-⎧⎨=⎩(舍去)或2245x y =⎧⎨=-⎩，∴点P 的坐标为(4，5-)；当点P 在x 轴上方时，如图，设AP 与y 轴相交于D，同理，求得点D 的坐标为(0，1)，同理，求得直线AD 的解析式为1y x =+，解方程组2123y x y x x =+⎧⎨=-++⎩，得：1110x y =-⎧⎨=⎩(舍去)或2223x y =⎧⎨=⎩，∴点P 的坐标为(2，3)；综上，点P 的坐标为(2，3)或(4，5-)【点拨】本题是二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质，解方程组，分类讨论是解本题的关键．5．（1）223y x x =+-；（2）①94，②存在，123(0,1),(0,1),1)Q Q Q ---【分析】（1）把(3,0),(1,0)A B -代入2y x bx c =++中求出b ，c 的值即可；（2）①由点(),0P m 得()2(,3),,23M m m N m m m --+-，从而得()2(3)23MN m m m =---+-，整理，化为顶点式即可得到结论；②分MN=MC和MC =两种情况，根据菱形的性质得到关于m 的方程，求解即可．【详解】解：（1）把(3,0),(1,0)A B -代入2y x bx c =++中，得093,01.b c x c =-+⎧⎨=++⎩ 解得2,3.b c =⎧⎨=-⎩∴223y x x =+-．（2）设直线AC 的表达式为y kx b =+，把(3,0),(0,3)A C --代入y kx b =+．得，03,3.k b b =-+⎧⎨-=⎩解这个方程组，得1,3.k b =-⎧⎨=-⎩∴3y x =--．∵点(),0P m 是x 轴上的一动点，且PM x ⊥轴．∴()2(,3),,23M m m N m m m --+-． ∴()2(3)23MN m m m =---+-23m m=--23924m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭． ∵10a =-<，∴此函数有最大值．又∵点P 在线段OA 上运动，且3302-<-<∴当32m =-时，MN 有最大值94． ②∵点(),0P m 是x 轴上的一动点，且PM x ⊥轴．∴()2(,3),,23M m m N m m m --+-． ∴()2(3)23MN m m m =---+-23m m =--（i ）当以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形，则有MN=MC ，如图，∵C （0，-3）∴=∴23m m --整理得，432670m m m ++= ∵20m ≠，∴2670m m ++=，解得，13m =-，23m =-∴当3m =-CQ=MN=2，∴OQ=-3-(2)=1-∴Q(0，1-)；当m=3--时，CQ=MN=-2-，∴OQ=-3-(-2)=1∴Q(0，1)；(ii)若MC =，如图，则有23m m --整理得，432650m m m ++=∵20m ≠，∴2650m m ++=，解得，11m =-，25m =-当m=-1时，MN=CQ=2，∴Q （0，-1），当m=-5时，MN=-10＜0（不符合实际，舍去）综上所述，点Q 的坐标为123(0,1),(0,1),1)Q Q Q ----【点拨】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用菱形的性质得出关于m 的方程，要分类讨论，以防遗漏．6．(1) 2y x 2x 3=-++；(2) P 点坐标为(1,2)，BCP ∆；(3) Q 点坐标存在，为(2，2)或(4或(4，)或(2-，3或(2-，3)【分析】(1)将()3,0A ，()1,0B -代入即可求解；(2)连接BP 、CP 、AP ，由二次函数对称性可知，BP=AP ，得到BP +CP =AP +CP ，当C 、P 、A 三点共线时，△PBC 的周长最小，由此求出AC 解析式，将P 点横坐标代入解析式中即可求解；(3)设P 点坐标为(1，t )，Q 点坐标为(m ，n )，按AC 为对角线，AP 为对角线，AQ为对角线分三种情况讨论即可求解．【详解】解：(1)将()3,0A ，()1,0B -代入二次函数表达式中，∴093303a b a b =++⎧⎨=-+⎩ ，解得12a b =-⎧⎨=⎩，∴二次函数的表达式为：2y x 2x 3=-++；(2)连接BP 、CP 、AP ，如下图所示：由二次函数对称性可知，BP=AP ，∴BP +CP =AP +CP ，BCP C BP CP BC PA CP BC ∆=++=++BC 为定直线，当C 、P 、A 三点共线时，PA CP +有最小值为AC ，此时BCP ∆的周长也最小，设直线AC 的解析式为：y kx m =+，代入()3,0,(0,3)A C ，∴0=330k m m +⎧⎨=+⎩，解得13k m =-⎧⎨=⎩，∴直线AC 的解析式为：3y x =-+，二次函数的对称轴为12b x a=-=，代入3y x =-+，得到2y =，∴P 点坐标为(1,2)，此时BCP ∆的周长最小值=BC AC +=+(3)()3,0,(0,3)A C 设P 点坐标为(1，t )，Q 点坐标为(m ，n )，分类讨论：情况一：AC 为菱形对角线时，另一对角线为PQ ，此时由菱形对角互相平分知：AC 的中点也必定是PQ 的中点，由菱形对角线互相垂直知：1AC PQ k k ⋅=-，∴30103111m t n n t m ⎧⎪+=+⎪+=+⎨⎪-⎪-⋅=--⎩，解得221m n t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴P 点坐标为(1，1)，对应的Q 点坐标为(2，2)；情况二：AP 为菱形对角线时，另一对角线为CQ ，同理有：310030312m t n t n m ⎧⎪+=+⎪+=+⎨⎪--⎪⋅=--⎩，解得43m n t =⎧⎪=⎨⎪=⎩或43m n t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴P 点坐标为(1，3)或(1，3，对应的Q 点坐标为(4或(4，)；情况三：AQ 为菱形对角线时，另一对角线为CP ，()3,0,(0,3)A C 设P 点坐标为(1，t )，Q 点坐标为(m ，n )，同理有：3010303131m n t n t m ⎧⎪+=+⎪+=+⎨⎪--⎪⋅=--⎩，解得23m n t =-⎧⎪=⎨⎪=⎩23m n t =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴P 点坐标为(1)或(1，，对应的Q 点坐标为(-2，3+或(-2，3)；纵上所示，Q 点坐标存在，为(2，2)或(4或(4，)或(2-，3或(2-，3)．【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数对称性求线段最值问题及菱形的存在性问题，本题第三问难度大一些，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键．。

二次函数中的存在性问题(答案)(可编辑修改word版)

二次函数中的存在性问题姓名1.已知抛物线y=﹣x2+ x﹣3 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C．在直线CA 上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD 的面积最大？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．2.已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4 相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x 轴交于原点及点C．（1）求直线和抛物线解析式；（2）在x 轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D 坐标，如果不存在，说明理由．3.已知直线y=x﹣3 与x 轴交于点A，与y 轴交于点C，抛物线y=﹣x2+mx+n 经过点A 和点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线CA 上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD 的面积最大？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由．4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=﹣x2+bx+c 与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 的左侧），过点A 的直线y=kx+1 交抛物线于点C（2，3）．（1）求直线AC 及抛物线的解析式；（2）若直线y=kx+1 与抛物线的对称轴交于点E，以点E 为中心将直线y=kx+1 顺时针旋转90°得到直线l，设直线l 与y 轴的交点为P，求△APE 的面积；（3）若G 为抛物线上一点，是否存在x 轴上的点F，使以B、E、F、G 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x 轴于A，B 两点（A 在B 的左侧），交y 轴于点C．（1）求直线BC 的解析式；（2）求抛物线的顶点及对称轴；（3）若点Q 是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ 是否存在最小值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；（4）若点P 是直线BC 上方的一个动点，△PBC 的面积是否存在最大值？若存在，求出点P 的坐标及此时△PBC 的面积；若不存在，说明理由．解得：x=1 或 x=4，∴B （1，0），A （4，0），令 x=0，得到 y=﹣3，即 C （0，﹣3），设直线 AC 解析式为 y=kx+b ，将 A 与 C 坐标代入得：，解得：k=，b=﹣3，∴直线 AC 解析式为 y=x ﹣3，设平行于直线 AC ，且与抛物线只有一个交点的直线方程为 y=x+m ，此时直线与抛物线交于点 D ，使得△ACD 的面积最大，与二次函数解析式联立消去 y 得：﹣x 2+x ﹣3= x+m ，整理得：3x 2﹣12x+4m+12=0，∴△=144﹣12（4m+12）=0，解得：m=0，∴此时直线方程为 y=x ，点 D 坐标为（2，）．2．（2008•宁波校级自主招生）已知 y=ax 2+bx+c （a ≠0）图象与直线 y=kx+4 相交于 A （1，m ），B （4，8）两点，与 x 轴交于原点及点 C ．（1）求直线和抛物线解析式；（2）在 x 轴上方的抛物线上是否存在点 D ，使 S △OCD =2S △OAB ？如果存在，求出点 D 坐标，如果不存在，说明理由．解答：解：（1）∵直线 y=kx+4 过 A （1，m ），B （4，8）两点，∴ ，解得，∴y=x+4，1. 已知抛物线 y=﹣ x 2+ x ﹣3 与 x 轴交于 A ，B 两点，2. 与 y 轴交于点 C ．在直线 CA 上方的抛物线上是否存在3. 一点 D ，使得△ACD 的面积最大？若存在，求出点 D4. 的坐标；若不存在，请说明理由．解答：解：对于抛物线 y=﹣x 2+x ﹣3，令 y=0，得到﹣ x 2+x ﹣3=0，和点 C ．（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线 CA 上方的抛物线上是否存在点 D ，使得△ACD 的面积最大？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，说明理由．解答：解：（1）把 x=0 代入 y= x ﹣3 得 y=﹣3，则 C 点坐标为（0，﹣3），把 O 、A 、B 三点坐标代入抛物线解析式，得，，∴y=﹣x 2+6x ；（2）存在．设 D 点纵坐标为 h （h ＞0），由 O （0，0），A （1，5），B （4，8），可知 S △OAB =6，∴S △OCD =2S △OAB =12， ×6×h=12，解得 h=4，由﹣x 2+6x=4，得 x=3±， ∴D （3+，4）或（3﹣，4）．3．（2014 春•昌平区期末）已知直线 y=x ﹣3 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 C ，抛物线 y=﹣x 2+mx+n 经过点 A 把 y=0 代入 y=x ﹣3 得x ﹣3=0，解得 x=4，则 A 点坐标为（4，0），把 A （4，0），C （0，﹣3）代入 y=﹣x 2+mx+n 得，解得，所以二次函数解析式为 y=﹣x 2+x ﹣3；（2）存在．过 D 点作直线 AC 的平行线 y=kx+b ，当直线 y=kx+b 与抛物线只有一个公共点时，点 D 到 AC 的距离最大，此时△ACD 的面积最大，∵直线 AC 的解析式为 y=x ﹣3，∴k= ，即 y=x+b ，由直线 y=x+b 和抛物线 y=﹣x 2+ x ﹣3 组成方程组得，消去 y 得到3x 2﹣12x+4b+12=0，∴△=122﹣4×3×（4b+12）=0，解得b=0，∴3x2﹣12x+12=0，解得x1=x2=2，把x=2，b=0 代入y=x+b 得y=，∴D 点坐标为（2，）．4．（2010•孝感模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=﹣x2+bx+c 与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 的左侧），过点A 的直线y=kx+1 交抛物线于点C（2，3）．（1）求直线AC 及抛物线的解析式；（2）若直线y=kx+1 与抛物线的对称轴交于点E，以点E 为中心将直线y=kx+1 顺时针旋转90°得到直线l，设直线l 与y 轴的交点为P，求△APE 的面积；（3）若G 为抛物线上一点，是否存在x 轴上的点F，使以B、E、F、G 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）∵点C（2，3）在直线y=kx+1 上，∴2k+1=3．解得k=1．∴直线AC 的解析式为y=x+1．∵点A 在x 轴上，∴A（﹣1，0）．∵抛物线y=﹣x2+bx+c 过点A、C，∴解得∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）由y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，可得抛物线的对称轴为x=1，B（3，0）．∴E（1，2）．根据题意，知点A 旋转到点B 处，直线l 过点B、E．设直线l 的解析式为y=mx+n．将B、E 的坐标代入y=mx+n 中，联立可得m=﹣1，n=3．∴直线l 的解析式为y=﹣x+3．∴P（0，3）．过点E 作ED⊥x 轴于点D．∴S△PAE=S△PAB﹣S△EAB= AB•PO﹣AB•ED= ×4×（3﹣2）=2．（3）存在，点F 的坐标分别为（3﹣，0），（3+，0），（﹣1﹣，0）（﹣1+，0）．5．（2013 秋•红安县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x 轴于A，B 两点（A 在B 的左侧），交y 轴于点C．（1）求直线BC 的解析式；（2）求抛物线的顶点及对称轴；（3）若点Q 是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ 是否存在最小值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；（4）若点P 是直线BC 上方的一个动点，△PBC 的面积是否存在最大值？若存在，求出点P 的坐标及此时△PBC 的面积；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）令y=0，解关于x 的一元二次方程求出点B 的坐标，令x=0 求出点C 的坐标，设直线BC 的解析式为y=kx+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；（2）把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；（3）根据轴对称确定最短路线问题，直线BC 与对称轴的交点即为使线段AQ+CQ 最小的点Q，然后利用直线解析式求解即可；（4）过点P 作PD∥y 轴与BC 相交于点D，根据抛物线解析式与直线BC 的解析式表示出PD，再根据S△PBC=S△PCD+S△PBD 列式整理，然后利用二次函数最值问题解答．解答：解：（1）令y=0，则﹣x2+x+2=0，整理得，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，所以，点B 的坐标为（3，0），令x=0，则y=2，所以，点C 的坐标为（0，2），设直线BC 的解析式为y=kx+b，则，解得，所以，直线BC 的解析式为y=﹣x+2；（2）∵y=﹣x2+ x+2，=﹣（x2﹣2x+1）+2+ ，=﹣（x﹣1）2+ ，∴顶点坐标为（1，），对称轴为直线x=1；（3）由轴对称确定最短路线问题，直线BC 与对称轴的交点即为使线段AQ+CQ 最小的点，x=1 时，y=﹣×1+2=，所以，存在Q（1，），使线段AQ+CQ 最小；（4）如图，过点P 作PD∥y 轴与BC 相交于点D，则PD=（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，所以，S△PBC=S△PCD+S△PBD，=×（﹣x2+2x）×3，=﹣x2+3x，=﹣（x﹣）2+ ，所以，当x=时，△PBC 的面积最大为，此时，y=﹣×（）2+ ×+2= ，所以，存在P（，），使S △PBC 最大= ．点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与x 轴的交点坐标的求解，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的顶点坐标与对称轴的求法，轴对称确定最短路线问题，二次函数的最值问题．。

九年级数学上册 _ 月考易错题型专练：二次函数【存在性问题】

九年级数学上册| 月考易错题型二次函数【存在性问题】【一】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）与点C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．（1）直接写出B点的坐标；解：把A（﹣2，0）和C（8，0）代入y＝ax2+bx﹣4，得4a-2b-4=0，64a+8b-4=0解得a=1/4，b=-3/2∴抛物线的解析式为y=1/4x2-3/2x﹣4；当x＝0时，y=1/4x2-3/2x﹣4＝﹣4，则B（0，﹣4）（2）求该二次函数的解析式；解：由（1）知，抛物线的解析式为y=1/4x2-3/2x﹣4（3）若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，AB．请问是否存在点P，使得△BDP的面积恰好等于△ADB的面积？若存在请求出此时点P的坐标，若不存在说明理由．解：存在．∵y=1/4x2-3/2x﹣4=1/4（x﹣3）2﹣25/4，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，∴D（3，0）．由（1）知，B（0，﹣4）．连接OP，如图，设P（m，1/4m2-3/2m﹣4）（0＜m＜8），∵S△PBD＝S△POD+S△POB﹣S△BOD，S△ABD=1/2×5×4＝10，而△BDP的面积恰好等于△ADB的面积，∴1/2×3×（-1/4m2+3/2m+4）+1/2×4×m-1/2×3×4＝10，整理得3m2﹣34m+80＝0，解得m1＝10/3，m2＝8（舍去），∴P点坐标为（10/3，-56/9）．【二】如图，抛物线过A（1，0）、B（﹣3，0），C（0，﹣3）三点，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P （m，n）是线段AD上的动点，过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q．（1）求直线AD及抛物线的解析式；解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将A（1，0），B（﹣3，0）C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得：a+b+c=0；9a-3b+c=0；c=-3解得：a=1；b=2；c=-3；∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3，当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2﹣4﹣3＝﹣3，∴D（﹣2，﹣3），设直线AD的解析式为y＝kx+b，将A（1，0），D（﹣2，﹣3）代入得：k+b=0，-2k+b=-3 解得：k=1，b=-1∴直线AD的解析式为y＝x﹣1；因此直线AD的解析式为y＝x﹣1，抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3．（2）求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？解：∵点P在直线AD上，Q抛物线上，P（m，n），∴n＝m﹣1 Q（m，m2+2m﹣3）∴PQ的长l＝（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣m+2 （﹣2≤m≤1）∴当m=-（-1/-1×2）=1/2时，PQ的长l最大＝﹣（-1/2）2﹣（-1/2）+2=9/4．∴线段PQ的长度l与m的关系式为：l＝﹣m2﹣m+2 （﹣2≤m≤1）当m=-1/2时，PQ最长，最大值为9/4．（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，说明理由．解：①若PQ为平行四边形的一边，则R一定在直线x＝﹣2上，如图：∵PQ的长为0＜PQ≤9/4的整数，∴PQ＝1或PQ＝2，当PQ＝1时，则DR＝1，此时，在点D上方有R1（﹣2，﹣2），在点D下方有R2（﹣2，﹣4）；当PQ＝2时，则DR＝2，此时，在点D上方有R3（﹣2，﹣1），在点D下方有R4（﹣2，﹣5）；②若PQ为平行四边形的一条对角线，则PQ与DR互相平分，当PQ＝1时，即：x﹣1﹣（x2+2x﹣3）＝1，此时x不是整数，当PQ＝2时，即x﹣1﹣（x2+2x﹣3）＝2，此时x1＝﹣1，x2＝0；当x1＝﹣1，R与点C重合，即R5（0，﹣3），当x2＝0；此时R6（2，﹣1）综上所述，符合条件的点R有：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3），R6（2，﹣1）．答：符合条件的点R共有6个，【三】如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，﹣1），图象与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B 两点．（1）求抛物线的解析式；解：∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1（a≠0），把C（0，3）代入可得a（0﹣2）2﹣1＝3，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3；（2）设抛物线对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，点E为直线BC上的任意一点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点F，问是否存在点E使△DEF为直角三角形？若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由．解：在y＝x2﹣4x+3中，令y＝0可得x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或x＝3，∴A（1，0），B（3，0），设直线BC解析式为y＝kx+3，把B（3，0）代入得：3k+3＝0，解得k＝﹣1，∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，由（1）可知抛物线的对称轴为x＝2，此时y＝﹣2+3＝1，∴D（2，1），∴AD2＝2，AC2＝10，CD2＝8，∵AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，由题意知EF∥y轴，则∠FED＝∠OCB≠90°，∴△DEF为直角三角形，分∠DFE＝90°和∠EDF＝90°两种情况，①当∠DFE＝90°时，即DF∥x轴，则D、F的纵坐标相同，∴F点纵坐标为1，∵点F在抛物线上，∴x2﹣4x+3＝1，解得x＝2±√2，即点E的横坐标为2±√2，∵点E在直线BC上，∴当x＝2+√2时，y＝﹣x+3＝1-√2，当x＝2-√2时，y＝﹣x+3＝1，∴E点坐标为（2+√2，1-√2）或（2-√2，1+√2）；②当∠EDF＝90°时，且∠ADC＝90°，∴点F在直线AD 上，∵A（1，0），D（2，1），∴直线AD解析式为y＝x﹣1，∴直线AD与抛物线的交点即为F点，联立直线AD与抛物线解析式有x2﹣4x+3＝x﹣1，解得x＝1或x＝4，当x＝1时，y＝﹣x+3＝2，当x＝4时，y＝﹣x+3＝﹣1，∴E点坐标为（1，2）或（4，﹣1），综上可知存在满足条件的点E，其坐标为（2+√2，1-√2）或（2-√2，1+√2）或（1，2）或（4，﹣1）．。

中考数学复习指导：初中数学二次函数中存在性问题总复习(含答案)

初中数学二次函数中存在性问题总复习1．如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）． (1）求抛物线的解析式；(2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；(3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △P AD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．答案：（1）、因为点A 、B 均在抛物线上，故点A 、B 的坐标适合抛物线方程 ∴403a c a c +=⎧⎨+=-⎩ 解之得：14a c =⎧⎨=-⎩；故24y x =-为所求(2）如图2，连接BD ，交y 轴于点M ，则点M 就是所求作的点设BD 的解析式为y kx b =+，则有203k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，12k b =⎧⎨=-⎩，故BD 的解析式为2y x =-；令0,x =则2y =-，故(0,2)M - (3)、如图3，连接AM ，BC 交y 轴于点N ，由（2）知， OM=OA=OD=2，90AMB ∠=︒易知BN=MN=1，易求AM BM ==122ABM S =⨯= ；设2(,4)P x x -，图2依题意有：214422AD x -=⨯ ，即：2144422x ⨯-=⨯解之得：x =±0x =，故符合条件的P 点有三个：123((0,4)P P P --2．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = -41-m x 2+45mx +m 2-3m +2与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2，n )(1) 求点B 的坐标；(2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E 。

延长PE 到点D 。

使得ED =PE 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD (当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动)当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求 OP 的长；若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动)。

二次函数的存在性问题(Word版解析+答案)

中考压轴题解析二次函数的存在性问题【典例分析】【考点 1】二次函数与相似三角形问题例1】已知抛物线y ax2 bx 3与 x轴分别交于A( 3,0)，B(1,0)两点，与 y轴交于点 C．2)点 F 是线段 AD 上一个动点．1AD .2ABC 相似？若相似，求出点 F 的坐标；若不相似，请说明理由．变式1-1】如图，抛物线y ax2 2x c经过A( 1,0)，B两点，且与y轴交于点C(0,3) ，抛物线与直线y x 1交于A，E 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)坐标轴上是否存在一点Q，使得AQE是以AE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．(3)P点在x轴上且位于点B 的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与ABE相似，求点P的坐AF①如图 1，设k ，当 k 为何值时，CFAD1)求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标；标．1【变式1-2】如图，已知抛物线y m（x 2）（x m）（m > 0）与 x 轴相交于点 A，B，与 y轴相交于点 C，且点 A 在点 B 的左侧 .（ 1）若抛物线过点（ 2， 2），求抛物线的解析式；（2）在（ 1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点H ，使 AH+CH 的值最小，若存在，求出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M ，使得以点 A，B，M 为顶点的三角形与△ACB 相似？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 .考点 2】二次函数与直角三角形问题BC交于点D，连接AC 、AD ，求VACD的面积；3 点E为直线BC上的任意一点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点F ，问是否存在点E使VDEF 为直角三角形？若存在，求出点E 坐标，若不存在，请说明理由．例2】如图，抛物线y ax2bx c a 0的顶点坐标为2, 1 ，图象与y 轴交于点C 0,3 ，与x轴2 设抛物线对称轴与直线【变式2-1】如图，经过x 轴上A（ 1，0）， B（3，0）两点的抛物线y m（x 1）2 4m （m 0）交y 轴于点C ，设抛物线的顶点为D ，若以DB 为直径的⊙ G 经过点C ，求解下列问题：1）用含m的代数式表示出C，D 的坐标；2）求抛物线的解析式；3）能否在抛物线上找到一点Q，使△BDQ 为直角三角形？如能，求出Q点的坐标，若不能，请说明理由。

中考专题：二次函数函数的存在性问题(相似三角形)

二次函数函数的存在性问题（相似三角形）1、）如图，已知抛物线与x 交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y 轴交于点B(0，3)。

（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积；（3）△AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。

2、）矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图所示，A C 、两点的坐标分别为(60)A ，，(03)C -，，直线34y x =-与BC 边相交于D 点．（1）求点D 的坐标；（2）若抛物线294y ax x =-经过点A ，试确定此抛物线的表达式；（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ，点P 为对称轴上一动点，以P O M 、、为顶点的三角形与OCD △相似，求符合条件的点P 的坐标．3、）如图，已知抛物线y ＝34x 2＋bx ＋c 与坐标轴交于A 、B 、C 三点， A 点的坐标为（－1，0）过点C 的直线y ＝34tx －3与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ，且0＜t ＜1．（1）填空：点C 的坐标是_ _，b ＝ _，c ＝_ _；（2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．4、）已知，如图1，过点()01E -，作平行于x 轴的直线l ，抛物线214y x =上的两点A B 、的横坐标分别为-1和4，直线AB 交y 轴于点F ，过点A B 、分别作直线l 的垂线，垂足分别为点C 、D ，连接CF DF 、．（1）求点A B F 、、的坐标；（2）求证：CF DF ⊥；（3）点P 是抛物线214y x =对称轴右侧图象上的一动点，过点P 作PQ PO ⊥交x 轴于点Q ，是否存在点P 使得OPQ △与CDF △相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5、如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．6、）如图，ABCD 在平面直角坐标系中，6AD =，若OA 、OB 的长是关于x 的一元二次方程27120x x -+=的两个根，且OA OB >．（1）求sin ABC ∠的值．（2）若E 为x 轴上的点，且163AOE S =△，求经过D 、E 两点的直线的解析式，并判断AOE △与DAO △是否相似？（3）若点M 在平面直角坐标系内，则在直线AB 上是否存在点F ，使以A 、C 、F 、M 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F 点的坐标；若不存在，请说明理由．答案1、（09贵州安顺）解：（1） ∵抛物线与y 轴交于点（0，3），∴设抛物线解析式为)0(32≠++=a bx ax y (1′) 根据题意，得⎩⎨⎧=++=+-033903b a b a ，解得⎩⎨⎧=-=21b a∴抛物线的解析式为322++-=x x y (5′) (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）设对称轴与x 轴的交点为F∴四边形ABDE 的面积=ABO DFE BOFD S S S ∆∆++梯形 =111()222AO BO BO DF OF EF DF ⋅++⋅+⋅=11113(34)124222⨯⨯++⨯+⨯⨯=9（3）相似如图，==∴====∴2220BD BE +=, 220DE = 即： 222BD BE DE +=,所以BDE ∆是直角三角形 ∴90AOB DBE ∠=∠=︒,且AO BO BD BE ==∴AOB ∆∽DBE ∆ 2、（09青海）解：（1）点D 的坐标为(43)-，．（2）抛物线的表达式为23984y x x =-．（3）抛物线的对称轴与x 轴的交点1P 符合条件． ∵OA CB ∥， ∴1POM CDO ∠=∠． ∵190OPM DCO ∠=∠=°， ∴1Rt Rt POM CDO △∽△． ∵抛物线的对称轴3x =， ∴点1P 的坐标为1(30)P ，．过点O 作OD 的垂线交抛物线的对称轴于点2P ． ∵对称轴平行于y 轴， ∴2P MO DOC ∠=∠．∵290POM DCO ∠=∠=°， ∴21Rt Rt P M O DOC △∽△∴点2P 也符合条件，2OP M ODC ∠=∠． ∴121390PO CO P PO DCO ==∠=∠=，°， ∴21Rt Rt P PO DCO △≌△． ∴124PP CD ==．∵点2P 在第一象限，∴点2P 的坐标为2P (34)，， ∴符合条件的点P 有两个，分别是1(30)P ，，2P (34)，3、（09广西钦州）解：（1）（0，－3），b ＝－94，c ＝－3．（2）由（1），得y ＝34x 2－94x －3，它与x 轴交于A ，B 两点，得B （4，0）． ∴OB ＝4，又∵OC ＝3，∴BC ＝5．由题意，得△B HP ∽△BOC ，∵OC ∶OB ∶BC ＝3∶4∶5 ， ∴HP ∶HB ∶BP ＝3∶4∶5 ， ∵PB ＝5t ，∴HB ＝4t ，HP ＝3t ． ∴OH ＝OB －HB ＝4－4t ．由y ＝34tx －3与x 轴交于点Q ，得Q （4t ，0）． ∴OQ ＝4t ． ①当H 在Q 、B 之间时， QH ＝OH －OQ ＝（4－4t ）－4t ＝4－8t ． ②当H 在O 、Q 之间时，QH ＝OQ －OH ＝4t －（4－4t ）＝8t －4．综合①，②得QH ＝｜4－8t ｜；（3）存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似． ①当H 在Q 、B 之间时，QH ＝4－8t ，若△QHP ∽△COQ ，则QH ∶CO ＝HP ∶OQ ，得483t -＝34tt， ∴t ＝732．若△PHQ ∽△COQ ，则PH ∶CO ＝HQ ∶OQ ，得33t ＝484t t -，即t 2＋2t －1＝0．∴t 11，t 21（舍去）．②当H 在O 、Q 之间时，QH ＝8t －4．若△QHP ∽△COQ ，则QH ∶CO ＝HP ∶OQ ，得843t -＝34t t ，∴t ＝2532．若△PHQ ∽△COQ ，则PH ∶CO ＝HQ ∶OQ ，得33t ＝844t t -，即t 2－2t ＋1＝0．∴t 1＝t 2＝1（舍去）．综上所述，存在t 的值，t 11，t 2＝732，t 3＝2532．4、（09福建莆田）（1）解:方法一，如图1，当1x =-时,14y =；当4x =时,4y = ∴1A ⎛⎫- ⎪⎝⎭1，4 ()44B ，设直线AB 的解析式为y kx b =+则1444k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得341k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AB 的解析式为314y x =+ ，当0x =时,1y = ()01F ∴，方法二:求A B 、两点坐标同方法一,如图2,作FG BD ⊥,AH BD ⊥,垂足分别为G 、H ,交y 轴于点N ,则四边形FOMG 和四边形NOMH 均为矩形,设FO x =图3BGF BHA △∽△ BG FG BH AH ∴= 441544x -∴=-解得1x = ()0F ∴，1(2)证明：方法一：在Rt CEF △中，1,2CE EF == 22222125CF CE EF ∴=+=+=CF ∴在Rt DEF △中，42DE EF ==， 222224220DF DE EF ∴=+=+= DF ∴=由（1）得()()1141C D ---，，，， 5CD ∴=， 22525CD ∴== 222CF DF CD ∴+=90CFD ∴∠=° ∴CF DF ⊥方法二：由（1）知5544AF AC ===，AF AC ∴= 同理：BF BD = ACF AFC ∴∠=∠AC EF ∥ ACF CFO ∴∠=∠ AFC CFO ∴∠=∠ 同理：BFD OFD ∠=∠ 90CFD OFC OFD ∴∠=∠+∠=° 即CF DF ⊥（3）存在. 如图3，作PM x ⊥轴，垂足为点M 又PQ OP ⊥ Rt Rt OPM OQP ∴△∽△ PM OMPQ OP∴= PQ PM OP OM ∴= 设()2104P x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，，则214PM x OM x ==，①当RtRt QPO CFD △∽△时，12PQ CF OP DF === 21142xPM OM x ∴== 解得2x = ()121P ∴， ②当Rt Rt OPQ CFD △∽△时，2PQ DF OP CF === 2142xPM OM x ∴==解得8x = ()2816P ∴，综上，存在点()121P ，、()2816P ，使得OPQ △与CDF △相似.（图2）5、（09山东临沂）解：（1）该抛物线过点(02)C -，，∴可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-．将(40)A ，，(10)B ，代入，得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩，解得1252a b .⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴此抛物线的解析式为215222y x x =-+-．（2）存在．如图，设P 点的横坐标为m ，则P 点的纵坐标为215222m m -+-，当14m <<时， 4AM m =-，215222PM m m =-+-．又90COA PMA ∠=∠=°， ∴①当21AM AO PM OC ==时， APM ACO △∽△，即21542222m m m ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭．解得1224m m ==，（舍去），(21)P ∴，．②当12AM OC PM OA ==时，APM CAO △∽△，即2152(4)222m m m -=-+-．解得14m =，25m =（均不合题意，舍去） ∴当14m <<时，(21)P ，．类似地可求出当4m >时，(52)P -，．当1m <时，(314)P --，．综上所述，符合条件的点P 为(21)，或(52)-，或(314)--，．（3）如图，设D 点的横坐标为(04)t t <<，则D 点的纵坐标为215222t t -+-．过D 作y 轴的平行线交AC 于E ．由题意可求得直线AC 的解析式为122y x =-．E ∴点的坐标为122t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 2215112222222DE t t t t t ⎛⎫∴=-+---=-+ ⎪⎝⎭．22211244(2)422DAC S t t t t t ⎛⎫∴=⨯-+⨯=-+=--+ ⎪⎝⎭△．∴当2t =时，DAC △面积最大．(21)D ∴，． 6、（09牡丹江）（1）解27120x x -+=得1243x x ==，，OA OB >， 43OA OB ∴==，在Rt AOB △中，由勾股定理有5AB = 4sin 5OA ABC AB ∴∠== （2）∵点E 在x 轴上，163AOES =△ 11623AO OE ∴⨯= 83OE ∴= 880033E E ⎛⎫⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，或，由已知可知D （6，4）设DE y kx b =+，当803E ⎛⎫⎪⎝⎭，时有46803k b k b =+⎧⎪⎨=+⎪⎩解得65165k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴61655DEy x =- 同理803E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，时，6161313DE y x =+ 在AOE △中，89043AOE OA OE ∠===°，，在AOD △中，9046OAD OA OD ∠===°，， OE OAOA OD= AOE DAO ∴△∽△ （3）满足条件的点有四个123475224244(38)(30)1472525F F F F ⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，；，；，；，。

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xyCB_ D_ AO三、二次函数中直角三角形的存在性问题5.如图,△ABC 是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．（1）求b ,c 的值；（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由.四、二次函数中等腰三角形的存在性问题6.如图，直线33+=x y交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3,0）. ⑴ 求抛物线的解析式;⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.五、二次函数中等腰梯形、直角梯形的存在性问题26题备用图26题图7．如图，二次函数y = -x 2+ax +b 的图像与x 轴交于A (-21，0)、B (2，0)两点，且与y 轴交于点C ；(1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC 的形状；(2) 在x 轴上方的拋物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标；(3) 在此拋物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

六、二次函数中菱形的存在性问题8．如图，已知抛物线经过原点O 和x 轴上一点A （4，0），抛物线顶点为E ，它的对称轴与x 轴交于点D ．直线y=﹣2x ﹣1经过抛物线上一点B （﹣2，m ）且与y 轴交于点C ，与抛物线的对称轴交于点F ．（1）求m 的值及该抛物线对应的解析式；（2）P （x ，y ）是抛物线上的一点，若S △ADP =S △ADC ，求出所有符合条件的点P 的坐标；（3）点Q 是平面内任意一点，点M 从点F 出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M 的运动时间为t 秒，是否能使以Q 、A 、E 、M 四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M 的运动时间t 的值；若不能，请说明理由．1、【答案】解：（1）∵由平移的性质知，2()y x h k =-+的顶点坐标为Ｄ（－１，－４），yA B C O x∴14h k =-=-，。

（2）由（1）得()2=14y x +-.当=0y 时，()2140x +-=．解之，得1231x x =-=，。

∴A(30)B 10- ，，(，).又当0x =时，()()22=140143y x +-=+-=-，∴C 点坐标为（0，－3）。

又抛物线顶点坐标D （－1，－4），作抛物线的对称轴1x =-交x 轴于点E ，DF ⊥y 轴于点F 。

易知在Rt △AED 中，AD 2=22+42=20，在Rt △AOC 中，AC 2=32+32=18，在Rt △CFD 中，CD 2=12+12=2， ∴AC 2＋ CD 2＝AD 2。

∴△ACD 是直角三角形。

（3）存在．作OM ∥BC 交AC 于M ，Ｍ点即为所求点。

由（2）知，△AOC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝450，AC 1832==。

由△AOM ∽△ABC ，得AO AMAB AC =。

即39,AM 24432== 。

过M 点作MG ⊥AB 于点G ，则AG=MG=29281942164⎛⎫⎪⎝⎭==， OG=AO －AG=3－9344=。

又点M 在第三象限，所以M （－34，－94）。

2、【答案】解：（1）设抛物线的解析式为()20y ax bx c a =++≠，∵抛物线过A （﹣2，0），B （﹣3，3），O （0，0）可得 42=093=3=0a b c a b c c -+⎧⎪-+⎨⎪⎩，解得 =1=2=0a b c ⎧⎪⎨⎪⎩。

∴抛物线的解析式为22y x x =+。

（2）①当AE 为边时，∵A 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，∴DE=AO=2，则D 在x 轴下方不可能，∴D 在x 轴上方且DE=2，则D 1（1，3），D 2（﹣3，3）。

②当AO 为对角线时，则DE 与AO 互相平分。

∵点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为﹣1，由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即C（﹣1，﹣1）。

故符合条件的点D有三个，分别是D1（1，3），D2（﹣3，3），C（﹣1，﹣1）。

（3）存在，如图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根据勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，∴BO2+CO2=BC2．∴△BOC是直角三角形。

假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似，设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且22y x x=+，①若△AMP∽△BOC，则AM PM BO CO=。

即x+2=3（x2+2x）得：x1=13，x2=﹣2（舍去）．当x=13时，y=79，即P（13，79）。

②若△PMA∽△BOC，则，BO PM CO BO=。

即：x2+2x=3（x+2）得：x1=3，x2=﹣2（舍去）当x=3时，y=15，即P（3，15）．故符合条件的点P有两个，分别是P（13，79）或（3，15）。

3、【答案】解：（1）把点B（－2，－2）的坐标代入kyx=得，22k-=-，∴k＝4。

∴双曲线的解析式为：4yx=。

设A点的坐标为（m，n）．∵A点在双曲线上，∴mn＝4。

又∵tan∠AOX＝4，∴mn＝4，即m＝4n。

∴n2＝1，∴n＝±1。

∵A点在第一象限，∴n＝1，m＝4。

∴A点的坐标为（1，4）。

把A、B点的坐标代入2y ax bx=+得，4422a ba b+=⎧⎨-=-⎩，解得，a＝1，b＝3。

∴抛物线的解析式为：23y x x=+。

（2）∵AC∥x轴，∴点C的纵坐标y＝4，代入23y x x=+得方程，2340x x+-=，解得x1＝－4，x2＝1（舍去）。

∴C点的坐标为（－4，4），且AC＝5。

又∵△ABC 的高为6，∴△ABC 的面积＝12×5×6＝15。

（3）存在D 点使△ABD 的面积等于△ABC 的面积。

理由如下：过点C 作CD ∥AB 交抛物线于另一点D ，此时△ABD 的面积等于△ABC 的面积（同底：AB ，等高：CD 和AB 的距离）。

∵直线AB 相应的一次函数是：22y x =+，且CD ∥AB ， ∴可设直线CD 解析式为2y x p =+，把C 点的坐标（﹣4，4）代入可得，12p =。

∴直线CD 相应的一次函数是：212y x =+。

解方程组23212y x x y x ⎧=+⎨=+⎩，解得，318x y =⎧⎨=⎩。

∴点D 的坐标为（3，18）。

4.（1）、因为点A 、B 均在抛物线上，故点A 、B 的坐标适合抛物线方程∴403a c a c +=⎧⎨+=-⎩ 解之得：14a c =⎧⎨=-⎩；故24y x =-为所求（2）如图2，连接BD ，交y 轴于点M ，则点M 就是所求作的点设BD 的解析式为y kx b =+，则有203k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，12k b =⎧⎨=-⎩，故BD 的解析式为2y x =-；令0,x =则2y =-，故(0,2)M -(3)、如图3，连接AM ，BC 交y 轴于点N ，由（2）知，OM=OA=OD=2，90AMB ∠=︒ 易知BN=MN=1，易求22,2AM BM ==122222ABMS=⨯⨯=；设2(,4)P x x -，依题意有：214422AD x -=⨯，即：2144422x ⨯-=⨯解之得：22x =±，0x =，故符合条件的P 点有三个：123(22,4),(22,4),(0,4)P P P --xyN MO P 2P 1BDAP 3C5.解答：解：（1）由已知得：A（﹣1，0），B（4，5），∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，5），∴，解得：b=﹣2，c=﹣3；（2）如图：∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），∴直线AB的解析式为：y=x+1，∵二次函数y=x2﹣2x﹣3，∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），∴EF=（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，EF的最大值为，∴点E的坐标为（，）；（3）①如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD．可求出点F的坐标（，），点D的坐标为（1，﹣4）S四边形EBFD =S△BEF+S△DEF=××（4﹣）+××（﹣1）=；②如图：ⅰ）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3）则有：m2﹣2m﹣2=，解得：m1=，m2=，∴P1（，），P2（，），ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3）则有：n2﹣2n﹣2=﹣，解得：n 1=，n 2=（与点F 重合，舍去）， ∴P 3（，），综上所述：所有点P 的坐标：P 1（，），P 2（，），P 3（，）能使△EFP 组成以EF 为直角边的直角三角形．6.解：（1）∵当x =0时，y =3 当y =0时，x =﹣1∴A （﹣1，0），B （0，3） ∵C （3，0）··························1分设抛物线的解析式为y =a （x +1）（x ﹣3） ∴3=a ×1×（﹣3） ∴a=﹣1∴此抛物线的解析式为y =﹣（x + 1）（x ﹣3）=-x 2+2x +3·····2分（2）存在=231+-=1···············4分 ∵抛物线的对称轴为：∴如图对称轴与x 轴的交点即为Q 1x∵OA =OQ 1，BO ⊥AQ 1 ∴AB =Q 1B∴Q 1（1，0）··························6分当Q2A =Q 2B 时，设Q 2的坐标为（1，m ）∴22+m 2=12+（3﹣m ）2 ∴m=1∴Q 2（1，1）··························8分当Q3A =AB 时，设Q 3（1，n ）∴22+n 2=12+32 ∵n ＞0 ∴n=6∴Q 3（1，6）∴符合条件的Q 点坐标为Q 1（1，0），Q 2（1，1），Q 3（1，6）·10分7、答案：[解] (1) 根据题意，将A (-21，0)，B (2，0)代入y = -x 2+ax +b 中，得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+--02402141b a b a ，解这个方程，得a =23，b =1，∴该拋物线的解析式为y = -x 2+23x +1，当 x =0时，y =1， ∴点C 的坐标为(0，1)。