学案34.第四单元 图形的相似复习
九年级数学上册第四章图形的相似复习学案2
第四章图形的相似一、目标与要求1．掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似．2．能根据相似比进行计算．3．通过与相似多边形有关概念的类比，得出相似三角形的定义, 领会特殊与一般的关系．4．能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判断能力．5．能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力．6．通过与相似多边形有关概念的类比，渗透类比的教学思想，并领会特殊与一般的关系．二、知识框架三、重点、难点1．理解并相似三角形的判定与性质2．位似图形的有关概念、性质与作图．3．利用位似将一个图形放大或缩小．4．用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．5．把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．四、知识点、概念总结1. 相似：每组图形中的两个图形形状相同，大小不同，具有相同形状的图形叫相似图形。
相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． 若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
互为相似形的三角形叫做相似三角形相似形的识别：对应边成比例，对应角相等。
成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a （或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
黄金分割：用一点P 将一条线段AB 分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。
这种分割称为黄金分割，分割点P 叫做线段AB 的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。
3.相似三角形的判定方法:根据相似图形的特征来判断。
图形相似复习课教案
《图形的相似》复习讲义一、线段的比1、比例线段的概念：在四条线α、b 、c 、d 中，如果其中两条线段的比例等于另外两条线段的比，即)::(d c b a dcb a ==或，那么这四条线段α、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。
2、线段的比例中项：在比例式cbb a =（或c b b a ::=）中，b 叫做α和c 的 。
3、比例的性质①基本性质：。
bd bc ad d cb a 内项之积等于外项之积:)0(≠=⇒= ②合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=。
③等比性质：)0(≠+++=++++++⇒===n d b ba n db mc a n md c b a 。
4. 黄金分割如图1,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果ACBCAB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做 线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. 1:618.0215:≈-=AB AC 课堂练习1、已知正数a 、b 、c ，且 k ba ca cbc b a =+=+=+ ，则下列四个点中在正比例函数y=kx 图象上的 点的坐标是（ ）A. (1，21 ) B. (1，2) C. (1，- 21) D.(1，-1) 2、① 在比例尺是1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm ，则它的实际长度约为______Km 。
② 若 b a =32 则 b b a +=__________ ③ 若 b a b a -+22=59 则 a ：b=__________④ 已知: 2a =3b =5c且3a+2b-c=14 ,则 a+b+c 的值为_____3、已知75===f e d c b a 则 fd b ec a 7272+-+-=_________，d b c a --22 =___________。
4、已知x ：y ：z=3：4：5，则 zy x zy x -+++ =________。
九年级数学上册 第四章 图形的相似 全章学案(新版)北师大版
第四章 图形的相似1．第1课时 线段的比学习目标：1、了解线段的比概念。
2、会求两条线段的比，应用线段的比解决实际问题。
学习重点：理解线段的比的概念及其求解。
学习难点：求线段的比，要注意线段的长度单位一致。
学习过程：一、认识线段的比：线段的比:如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m ，n ,那么就说这两条线段的比AB:CD =m:n ,或写成nmCD AB =其中,AB,CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把n m 表示成比值k,那么k CDAB=,或AB=k·CD .两条线段的比实际上就是两个数的比。
想一想：两条线段长度的比与采用的长度单位有没有关系？例如：数学课本长为21cm ，宽为15cm ，则长与宽的比为______________;如果把单位改为mm ，则数学课本长与宽的比为________________;如果把单位改为m ，则数学课本长与宽的比为________________.结论：两条线段长度的比与采用的长度单位_________. 【基础练习一】1、 线段a=5cm,b=50cm,则a:b=_____.2、 线段a=3cm,b=12mm,则a:b=_____.3、 已知点P 在线段AB 上，且AP:PB=2:5,则AB:PB=_____,AP:AB=___ 二、比例线段：（1）什么是比例线段？ 四条线段中，如果其中两条线段的比________另外两条线段的比，则这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
（2）若a 、b 、c 、d 是比例线段，则________ 【基础练习二】1、下列四组线段中，成比例线段的是（ ） A 3cm,4cm,5cm,6cm B 4cm,8cm,3cm,5cm C 5cm,15cm,2cm,6cm D 8cm,4cm,1cm,3cm2、四条线段a 、b 、c 、d 成比例，其中b=3cm,c=2cm,d=6cm,则线段a 的长度是多少？如果改成四条线段b 、c 、d 、a 成比例，其中b=3cm,c=2cm,d=6cm,则此时线段a 的长度是多少？三、比例的基本性质： （1）如果dcb a =,那么ad =bc （2）如果ad=bc （a,b,c,d 都不等于0），那么dc b a = 【基础练习三】（1）、如果b a 452=， 则ab=____________.（2）、如果3a=7b, 则=ba____________. （3）、如果2c=15b, 则=c b ____________.（4）、如果a 2=bc, 则=ca ___________.例题1： 如图，一块矩形绸布的长AB=am,AD=1m ，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原绸布的长与宽的比相同，即 ,那么a 的值应当是多少？随堂测试：1、在比例尺是1：6000000的地图上，量得南京到北京的距离是15厘米，南京到北京的实际距离是 千米。
中考数学复习指导：《图形的相似》专题复习指导 学案
《图形的相似》专题复习指导图形的相似是集中研究图形形状的内容．在探索图形相似的条件和重要性质的过程中，不仅可以使我们更好的认识、描述物体的形状，体会相似图形在刻画现实世界中的重要作用，而且也可以通过解决实际生活中的具体问题，提高我们应用数学的意识和能力．相似知识有着非常重要的实用价值，如建设某项工程或制造某种产品，先要设计模型或制作图纸，这种模型{或图形}与实物一般是相似形，看地形、搞测绘，进一步学习和实际工作都需要懂得相似形的有关知识．因此，我们很有必要对图形的相似这部分知识内容进行回顾与总结．一、课标要求1、进一步了解线段的比、成比例线段的概念和比例的基本性质，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割的意义．2、通过具体实例认识图形的相似，知道相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一种变换；确认相似图形的特征，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例以及面积比的关系；探索两个三角形相似的条件及其主要性质．3、了解图形的位似，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小．4、通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，能利用相似图形的特征和性质解决一些实际问题（如利用相似知识测量高度、宽度等）．5、在观察、操作、推理、归纳等探究过程中，发展我们的合情推理能力，进一步培养我们数学说理的习惯与能力，形成一定的推理格式．二、知识网络结构三、重点、难点及知识要点本章重点 熟练掌握相似三角形的定义、判定方法及其性质．本章难点 线段成比例问题，找准相似三角形的对应元素，灵活选择不同的判定方法与性质去解决相似三角形的相关问题和实际问题．知识要点1、相似图形：形状相同、大小不一定相同的图形，叫做相似图形．2、相似多边形：对应角相等、对应边成比例的两个多边形，叫做相似多边形．相似多边形的定义也是判别两个多边形相似的重要依据．3、成比例线段：对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即b a ＝dc （或a ∶b ＝c ∶d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．4、比例的基本性质：若b a ＝dc ，则ad ＝bc ；利用比例的基本性质，可以将任何一个比例式进行多种变式．5、相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比叫相似比，也叫相似系数，通常用字母k 表示；全等三角形是相似比为1的特殊的相似三角形．6、相似三角形的判定方法（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形相似．（这种方法一般不常用）（2）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．（3）如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．（4）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．（5）如果一个三角形的三条边分别和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．（6）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形都相似（此知识常用，但用时需要证明）．7、相似三角形的性质（1）对应角相等，对应边成比例．（2）对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比．（3）周长的比等于相似比．（4）面积的比等于相似比的平方．8、相似三角形的应用相似三角形的知识在实际中应用非常广泛，主要是运用相似三角形的有关性质来测量、计算那些不易直接测量的物体的高度或宽度．9、黄金分割就是把一条线段分成两部分，其中较长线段与较短线段之比，恰好等于整条线段与较长线段的比，其数字比为1.618∶1或1∶0.618；黄金分割是一个古老的数学方法，在现实中恰当的运用它，往往能收到意想不到的效果．艺术家们应用它创造出更加令人神奇的艺术珍品；设计师们应用它，设计出巧夺天工的建筑；有人曾断言：“宇宙万物，凡符合黄金分割的，总是最美的物体．”10、位似图形作为一种特殊的相似图形，是最重要的图形之一．但相似图形未必都能够成位似关系．所谓位似图形，是指两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，此时的这个点叫做位似中心，相似比又称为位似比．位似图形具有相似图形的所有性质，利用位似的方法可以将一个多边形放大或缩小．与相似图形相比，位似图形的最大特点就在于，它可以通过方格纸、橡皮筋等简单的工具作出来．比如将一个图形上的各个点的坐标（x，y）同时放大3倍，即变为（3x，3y），那么此时得到的图形就是原来图形的位似图形，位似比为3．在位似变换下每一对位似对应点的连线与位似中心共线；位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．决定一个图形的位似图形位置的主要因素是位似中心和位似似比．画一个图形的位似图形，关键在于画出图形的特殊点经过变换后的对应点，然后顺次连接这些对应点即可．在复习中，我们要亲手实践、经历将一个图形放大或缩小的过程，这样对培养我们的动手操作能力和进一步提高对图形的认识很有帮助．四、数学思想方法小结1、类比思想：本章的相似三角形是在全等三角形及相似多边形的基础上演变而来的，由相似多边形的定义通过类比可联想到相似三角形的定义，由全等三角形的判别通过类比可联想到相似三角形的判别，还可以利用类比思想掌握相似三角形的性质．2、转化思想：平行线与比例线段之间在证题中的相互作用，可促使图形的位置关系和数量关系之间互相转化；利用比例线段可以解决许多与日常生活联系密切的实际问题，因此要善于根据条件通过判别相似三角形，将各种类型的应用问题化归为比例问题来解决；另外，研究相似多边形的方法一般是将多边形的问题，经过有限分割，使之转化为三角形的问题，这种将多边形分割转化的思想方法是数学中的一种重要思想方法．3、分类讨论思想：当问题含有多种可能情况时，就必须按所有情况进行分类讨论．由于三角形相似条件的多样性和相似三角形知识的综合性，与其相关的问题存在多种情况的现象比较普遍（如两个相似三角形的边、角的对应方式不确定等），这就需要对各种情况进行一一讨论．4、数形结合思想：如果把图形的变换放在直角坐标系或网格中进行研究，或者将一个图形放大或缩小，数形结合思想就起着十分重要的作用．5、一般到特殊的思想：从图形相似到位似的认识过程本身就是一个从一般到特殊的过程，从下面图形的转化中也可以看到相似三角形中由一般到特殊的认识规律．6、变换思想：现实世界中的物体本来就是运动和变化的，它们的位置和运动形式不断在改变，而变换成为处理图形问题的有力工具．相似和位似都是图形之间的一种变换，在位似变换下每一对位似对应点与位似中心共线．五、应注意的几个问题1、线段的比是线段长度的比，是关于线段比值的运算结果，是一个没有单位的正数，其实质就是ba ＝k ，它表示a 是b 的k 倍，k 是正数．比与所选线段的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位要一致．2、线段a 、b 、c 、d 成比例是有顺序的，表示为a ∶b ＝c ∶d ，判断四条线段是否成比例，应先将四线段的长度单位统一，然后再将四线段按大小顺序排列好，再判断前两条线段的长度比是否等于后两条线段的长度比．3、在证两个三角形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样可以比较容易地找出相似三角形的对应角和对应边，如图所示的两个三角形中，若∠A ＝∠A′，∠B ＝∠B′，这时可记作△ABC∽△A′B′C′，从而得∠C ＝∠C′，且''''''A C CA C B BC B A AB ＝＝． 4、对于相似比这个概念，应注意顺序问题和对应问题，即若△ABC ∽△DEF 的相似比为k ，则△DEF ∽△ABC 的相似比为.1K ；还要注意防止出现“面积比＝相似比“的错误，在由相似比求面积时，面积比＝相似比的平方；反之，在由面积比求相似比时，相似比＝面积比．5、在运用相似多边形的特征解题时，要特别注意它们是对应边才成比例，是对应角才相等．即就是说：不是对应边不成比例，不是对应角不相等．6、在判别两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角，公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形（或构造成比例的线段）；或利用特征图形（如公共边、角的两个三角形）找相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形；或利用分别等于中间比的两个比相等实现对等比进行转移；判别三角形相似的方法有时单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．7、应用相似三角形的性质求解实际问题时，往往都会与实际事物联系在一起，因此为了研究问题的方便，通常应根据题意，发挥丰富的想象，画出合乎题意的几何图形，从而将已知与未知有机地结合起来，使问题的求解得以顺利进行．六、典例解析例1下列语句错误的是（）．A、相似图形不一定是位似图形B、位似图形一定是相似图形C、同一底片冲洗出的两张照片是位似图形D、放幻灯时，底片上的图形和银幕上的图形是位似图形分析：本题考查两个相近概念的识别．根据位似图形的定义知：（1）位似图形一定是相似图形；（2）每组对应点所在直线经过同一点的相似图形是位似图形；（3）每组对应点所在直线不经过同一点的相似图形不是位似图形．解：选项A用“不一定是”来概括，无疑是正确的；由于选项B符合（1），B正确；而C中同一底片冲洗出的两张照片尽管是相似图形，它既可能符合（1），又可能符合（2），但却用“是”来概括，显然是错误的；因为沿直线传播的光线，把底片上的图形照射在银幕上，发出光线的光源就是每组对应点所在直线的会聚点，即都“经过同一点”，所以D是正确的．故答案选C．评注：正确理解和掌握概念是学习数学的基础．概念不清，就容易陷入思维混乱，导致判断、推理或理解错误．此题是一道概念辨析题，解答时，必须分清相似图形和位似图形的区别与联系，抓住其本质特征，否则，就易出错．例2如图，已知△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B，②∠APC＝∠ACB，③AC2＝AP·AB．④AB·CP＝AP·CB．能使△APC∽△ACB的条件是（）．A、①②④B、①③④C、②③④D、①②③分析：此题探索三角形相似的条件．由于∠A为公共角，可以考虑利用两对对应角相等或两边对应成比例且夹角相等来判定，因此应选D．评注：熟练应用相似三角形的判定方法，关键抓住两点：（1）判定两个三角形相似的常规思路：①先找两对对应角相等；②若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；③若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．（2）借助图形找三角形相似的环节：①有平行线的可围绕平行线找相似；②有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；③有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边．例3 一个钢筋三角架边长分别是30cm ，75cm ，90cm ，现在要做一个与其相似的三角形钢筋架，而只有长为45cm 和75cm 的两根钢筋，要求以其中一根为边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另两边，则不同的截法有______种．分析：由“三角形任意两边的和大于第三边”知，长为75cm 的钢筋不能作为三角形钢筋架的一边，即必须将75cm 长的钢筋截成两段；另外，长为45cm 的钢筋不可能作为三角形钢筋架的最短边（因为275＜45），但它既可以作最长边，也可以作次长边．因此要分类讨论．解：（1）当长为45cm 的钢筋作最长边时，可设另外两边长为xcm ，ycm ，于是对应边的比为：904575,904530==y x ．解得x ＝15，y ＝37.5．（x ＋y ＜75） （2）当长为45cm 的钢筋作次长边时，可设另外两边长为mcm ，ncm ，于是对应边的比为：754590,754530==n m ．解得m ＝18，n ＝54．（m ＋n ＜75）． 综上，符合该题的不同截法有2种．评注：当涉及到三角形相似，未指明对应顶点、对应边、对应角时，需分情况讨论．分类讨论既是一种数学思想，又是一种解题方法．当问题含多种可能情况时，就必须按所有情况进行分类讨论．正确运用分类讨论解题，可有效地防止漏解或失误，培养思维的严密性．例4 如图（1），在一个3×5的正方形网格中，△ ABC 的顶点A ，B ，C 在单位正方形顶点上，请你在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似不为1），而且A1，B1，C1都在单位正方形的顶点上．分析：这是一道利用相似三角形的判定方法作图的开放题，满足条件的图形较多，不要盲目地去画图，关键要抓住已知图形△ABC的特征，如∠ABC＝135°，这样就容易找到解题的突破口．解：如图（1）知∠ABC＝150°，不妨设单位正方形的边长为1个单位，则AB∶BC＝1∶2，由此推断，所画三角形必有一角为135°，且夹该角的两边之比为1∶2，也可以把这一比值看作2∶2，2∶22等，以此为突破口，在图中连出2和2，2和22等线段，即得△EDA∽△AMN∽△GFC∽△ABC，如图（2）所示．评注：此题答案有多种．解此题的关键是认真分析图形，找准切入点，利用所学的知识解决；在判定三角形相似时，要灵活应用定理，如本题若用“两角对应相等，两三角形相似”则较难；通过本题可加强我们对数学素质和数学能力的培养．例5 如图所示，已知平行四边形ABCD中，AE∶EB=1∶2．（1）求△AEF与△CDF的周长之比；（2）如果S△AEF=6cm2，求S△CDF．分析：由（1）问，欲求△AEF与△CDF的周长比，可找其中一组对应边之比，结合已知条件，可求对应边AE与CD之比，而平行四边形ABCD中，CD=AB，因此可先求AE与AB之比．解：（1）∵AE∶EB=1∶2，∴AE∶AB=1∶3．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD．∴AE∶CD=AE∶AB=1∶3．又∵平行四边形ABCD中，AB‖CD，∴△AEF∽△CDF，∴△AEF的周长∶△CDF的周长=1∶3．（2）∵△AEF∽△CDF，∴S△AEF∶S△CDF=1∶9．∵S△AEF=6，∴S△CDF=6×9=54（cm2）．评注：本题主要考查了相似三角形的“周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方”这两个重要性质．在求相似比时，巧妙地运用了平行四边形的特征把已知线段的比转化成相似三角形对应边的比．例6在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A、B两点的距离．请你用学过的数学知识按以下要求设计测量方案．（1）画出测量图案；（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；（3）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）．分析：此题要求设计测量“不能直接达到的两点间的距离”的方案．若用相似形的知识解决，关键是构造相似三角形，构造的相似形可以为“A”字形的，也可以构成“X”型的，并测量出必要的数据，然后根据相似形的性质定理求出所要求的两点间的距离．解：利用相似三角形的知识求解，图案如右图．步骤为：①在地上找一个可以直接到达A、B的一点P；②找到AP、BP的中点M、N，③测出MN＝a，由MN∥AB，则△MNP∽△ABP，得AB＝2a．评注：这是一道方案设计题，又是一道策略开放题，其开放程度较大，解题策略较多，可利用相似三角形、全等三角形、三角函数、解直角三角形、三角形中位线等知识和方法来设计方案并加以解决．它将书本知识与现实生活有机结合，既反映了数学来源于生活实践，又有利于激发学生的学习热情，培养学生的创新能力．例7 某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质可以拓展到扇形的相似中去．例如，可以定义：“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”；相似扇形有性质：弧长比等于半径比，面积比等于半径比的平方．请你协助他们探索这个问题．（1）写出判定扇形相似的一种方法；若，则两个扇形相似．（2）有两个圆心角相等的扇形，其中一个半径为a、弧长为m，另一个半径为2a，则它的弧长为．（3）左图是一完全打开的纸扇，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 长为30cm ，现要做一个和它形状相同、面积是它一半的纸扇（右图），求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径．分析： 本题是以研究性学习小组研究、发现、拓展相似形问题为素材编拟的一道阅读理解题．解题时，需联想相似三角形的定义、判定和性质，结合利用阅读材料中所给相似扇形的定义与性质的示例，类比求解所考查的问题．解：（1）答案不唯一，例如“圆心角相等”、“半径和弧长对应成比例”．（2）2m ．（3）∵两个扇形相似，∴新扇形的圆心角为120°．设新扇形的半径为r ， 则（30r ）2＝21．解得r ＝152，即新扇形的半径为152cm ． 评注：本题是运用联想类比、模仿迁移的方法实现信息的迁移，从而掌握符合问题的条件及其性质的运用，这类题型既能考查学生适应新问题、接受新知识、认识新事物的能力，又能考查学生的自学能力，信息的收集、迁移和应用能力，这种渗透着新课程理念的创新题，应引起大家的关注．例8 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝12cm ，BC ＝6cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D开始向点A 以1厘米/秒的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t （s ）表示移动的时间（0≤t≤6），那么，（1）当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形；（2）求四边形QAPC 面积，并提出一个与计算结果．有关的结论；（3）当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？分析：这是一道富有创意、综合性较强、集点动型与线动型于一体的动态几何探究题．对于动点问题，都是假设动点运动到某一位置时的静态下来研究的．许多相似形问题中常常渗透函数知识、方程知识，要注意它们的综合运用．解 ：（1）对任何时刻t ，有AP ＝2t ，DQ ＝t ，QA ＝6－t ，当QA ＝AP 时，△QAP 为等腰直角三角形，即6－t ＝2t ，解得t ＝2（s ）．（2）在△QAC 中，S △QAC ＝21QA·DC ＝21（6－t ）·12＝36－6t ， 在△APC 中，S △APC ＝21·AP·BC ＝21·2t·6＝6t ， ∴S 四边形QAPC ＝S △QAC ＋S △APC ＝（36－6t ）＋6t ＝36（cm 2）．由计算结果知，在P 、Q 两点移动过程中，四边形QAPC 面积不变．（3）根据题意，可分两种情况来研究，在矩形ABCD 中， ①当BC AP AB QA =时，△QAP ∽△ABC ，则62126t t =-，解得t ＝1.2s ． 所以t ＝1.2s 时，△QAP ∽△ABC ． ②当AB AP BC QA =时，△PAQ ∽△ABC ，则12266t t =-，解得t ＝3（s ）． 所以t ＝3s 时，△PAQ ∽△ABC ．评注：本题将“函数——几何——动点”相结合，它要求我们具有较扎实的数学功底和良好的探究心理，把握几何图形的运动过程，关注运动变化中的特殊位置，利用“动”与“静”相互结合、相互转化的规律，分析、解决问题．例9 有一块直角三角形木板如图所示，已知∠C ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，AC ＝4cm ，根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁，才能使正方形木板面积最大？并求出这个正方形木板的边长．分析： 这道实际操作应用题，可用相似形知识加以解决．要在三角形内裁出正方形，且使其面积最大，则此正方形的四个顶点均应在△ABC 的三边上，一般地，这四个顶点中必有两个顶点落在△ABC 的同一边上，另外两个顶点则分别落在其余两边上；又因为此题中有∠C ＝90°，所以裁剪方案有两种：一种是正方形的两个顶点在直角△ABC 的斜边上，另两个顶点分别在两条直角边上，如图（1）；另一种是借助直角△ABC 的直角∠C ，使正方形的直角与三角形的直角∠C 重合，正方形的第四个顶点在斜边上，如图（2）．只要计算出两种方案中正方形的边长，再比较大小即可得出最佳方案．解 ：如图（1）所示，设正方形DEFG 的边长为xcm ，过点C 作CM ⊥AB 于M ，交DE 于N ．∵S △ABC ＝21AC·BC ＝21AB·CM ， ∴AC·BC ＝AB·CM ，即3×4＝5×CM ，∴CM ＝512． ∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ， ∴AB DE CM CN =，即5512512x x =-，∴x ＝3760． 如图（2）所示，设正方形CDEF 的边长为ycm ，∵EF ∥AC ，∴△BFE ∽△BCA ， ∴BC BF ＝AC EF ，即433y y =-， ∴y ＝712，∵x ＝3760，y ＝712＝3560， ∴x ＜y ．∴当按图（2）的方案裁剪时，正方形的面积最大，其边长为712cm ． 评注：这是一道实际背景下的应用题，具有一定的开放性，运用三角形的有关知识解决这种实际问题时，首先应读懂题意，通过分析，画出从实际问题中抽象出来的几何图形，然后构思可能的方案， 再利用相似的知识进行计算、比较，从中选出最佳的设计方案，在进行计算时，用到了相似三角形对应高的比等于相比和相似三角形的对应边成比例的性质．从本题可以看出，相似三角形知识在实际生产、生活中有非常重要的应用．。
第四单元 图形的相似复习学案
第四单元 图形的相似【中考要求解读】1．了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段，黄金分割．2．理解相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于对应边比的平方．3．了解两个三角形相似的概念，会判定两个三角形相似．4．了解图形的位似，会利用位似将一个图形放大或缩小．【基础准备】1.（2008·江西）下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是（ ）2. （2008·威海）如图，已知△EFH 和△MNK 是位似图形，那么其位似中心是点（ ）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D3.（2007·海南）如图，已知21∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍无法．．判定ABC △∽ADE △的是（ ）A ．AE AC AD AB = B ．DEBC AD AB = C ．D B ∠=∠ D ．AED C ∠=∠4.（2007·烟台）如图，在正方形网格上，若使△ABC ∽△PBD ，则点P 应在（ ）A ．P 1处B ．P 2处C ．P 3处D ．P 4处 5.（2008·杭州）在Rt ΔABC 中，∠C 为直角，CD ⊥AB 于点D ，BC=3，AB=5，写出其中的一对相似三角形是__________和__________；并写出它们的面积比_________ 6. （2008·泰州）在比例尺为1：2000的地图上测得AB 两地间的图上距离为5 cm ，则AB 两地间的实际距离为_____________m.7.（2008·西宁）如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换．．．．： （请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换）．8. 已知点P 是线段AB 的黄金分割点，若AB ＝a ，则BP ＝ ．A ．B ．C ．D ． H EF M N K D9.（2007·茂名）现有一个测试距离为5m 的视力表，根据这个视力表，小华想制作一个测试距离为3m 的视力表，则图中 的21____________b b =． 【例题讲授】例1．（2008·无锡）如图，已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF AE ⊥于F ，试说明：ABF EAD △∽△例2.（2008·镇江）如图，在直角坐标系xOy 中，直线122y x =+与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边在第二象限内作矩形ABCD ，使5AD =．（1）求点A ，点B 的坐标，并求边AB 的长；（2）过点D 作DH x ⊥轴，垂足为H ，求证：ADH BAO △∽△；（3）求点D 的坐标．例3.（2008·宁德）在边长为1的正方形网格中，有形如帆船的图案①和半径为2的⊙P ．⑴将图案①进行平移，使A 点平移到点E ，画出平移后的图案；⑵以点M 为位似中心，在网格中将图案①放大2倍，画出放大后的图案，并在放大后的图案中标出线段AB的对应线段CD ；⑶在⑵所画的图案中，线段CD 被⊙P 所截得的弦长为______．（结果保留根号）例4.（2008·福州）如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题：x y O A B C D H（1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？【一课一练】1.（2008·南京）小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）A ．0.5mB ．0.55mC ．0.6mD ．2.2m2. （2008·南通）已知△ABC 和△A′B′C′是位似图形．△A′B′C′的面积为6cm 2，周长是△ABC 的一半．AB ＝8cm ，则AB 边上高等于 （ ）A ．3 cmB ．6 cmC ．9cmD ．12cm3.（2008·金华）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P 处放一水平的平面镜, 光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是（ ）A 、6米B 、8米C 、18米D 、24米4.（2007·茂名）上午九时，阳光灿烂，小李在地面上同时摆弄两根长度不相等的竹竿，若它们的影子长度相等，则这两根竹竿的相对位置可能是（ ）A ．两根都垂直于地面B ．两根都倒在地面上C ．两根不平行斜竖在地面上D ．两根平行斜竖在地面上5. （2008·绍兴）兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ）A ．11.5米B ．11.75米C ．11.8米D ．12.25米6.（2008·天津）如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1=AG ，2=BF ，︒=∠90GEF ，则GF 的长为 ．7.（2007·连云港）右图是一山谷的横断面示意图，宽AA '为15m ，用曲尺（两直尺相交成直角）从山谷两侧测量出1m OA =，3m OB =， 0.5m O A ''=，3m O B ''=（点A O O A ''，，，在同一条水平线上）则该山谷的深h 为m ． 8.（2007·茂名）如图是一盏圆锥形灯罩AOB ，两母线的夹角 90AOB ∠=︒，若灯炮O 离地面的高OO 1是2米时，则光束照射到地面的面积是米2（答案精确到0.1）．9. 在△ABC 中，AB >BC >AC ，D 是AC 的中点，过点D 作直线l ，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l 有 条．10. （2007·滨州）在ABC △和DEF △中，90A D ==∠∠，3AB DE ==，24AC DF ==．（1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？（2）能否分别过A D ，在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC △分割成的两个三角形与DEF△分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．11. （2008·安徽）如图四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分别交AC 、CD 于点P 、Q 。
2022年北师版九上数学第四章《图形的相似》复习
第四章图形的相似复习【教学目标】知识与技能通过例题的讲解使学生进一步巩固相似三角形的概念、三角形相似的判定及相似三角形的性质等知识。
过程与方法：培养学生把课本上所学知识应用到实践中去的认识以及提高学生解决实际问题的能力。
培养学生将实际问题抽象成数学问题的思想方法。
情感、态度与价值观通过学习，养成严谨科学的学习品质。
【教学重难点】教学重点：通过例题的分析、研究，揭示应用相似三角形有关知识解题的规律。
教学难点：提高分析问题和解决问题的能力。
2、数学知识的综合运用。
【导学过程】【创设情景，引入新课】1、相似三角形的判定：1）相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2）相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边（或其延长线）分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似。
3）判定定理：两角对应相等，两三角形相似。
4）判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
5）判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。
6）直角三角形相似的判定定理：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似。
2、相似形的性质：相似三角形除具有对应角相等、对应边成比例的性质外，还具有如下性质：（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
（2）相似三角形周长的比等于相似比。
（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
指出判定中第6个定理只适用于直角三角形相似的判定，而第1个相似三角形的定义因用起来较烦，因此平时不使用。
在性质中强调前提条件是相似。
【自主探究】1、判断题1）所有的等边三角形都相似 ( )2）所有的等腰直角三角形都相似 ( )3）所有的直角三角形都相似 ( )4）所有等腰三角形都相似 ( )5）有一个角是100°的两个等腰三角形相似 ( )6）有一个角是70°的两个等腰三角形相似 ( )7）如果两个三角形周长之比是1∶2，那么它的面积之比为1∶4( )8）若两等腰三角形面积之比为9∶25，则它的底边之比为3∶5( )2、填空1）已知两个相似三角形的对应角平分线的比是1∶4，则对应高的比为_____，面积的比为_____。
第4章 图形的相似复习课 北师大版九年级数学上册学案
单元复习课第四章 图形的相似答案①__ad ＝bc__；②__成比例__；③__相似比__；④__平方__； ⑤__成比例__；⑥__同一直线__；⑦__相似比__． 平行线分线段成比例平行线分线段成比例是相似的基础，也是求线段长的一种方法．在中考命题时，常以选择题和填空题形式出现．1．(2020·上海期中)已知线段a ，b ，c ，求作线段x ，使x ＝bc a，以下作法正确的是(C )2. (2021·攀枝花质检)如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a ，b 与l 1，l 2，l 3分别相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F, AB BC ＝14，DE ＝1.5，则EF 的长为__6__．方法·技巧 利用平行线分线段成比例定理时，先确定对应线段，然后写出比例式，注意比例式不唯一． 特别提醒用平行线分线段成比例定理时，易出错的地方是线段没有对应，为减少错误，应用时可把在同一条直线上被截得的两条线段安排在比例的一边． 相似三角形的判定与性质相似三角形的判定和性质是中考常见考点，相似三角形的判定方法有多种，解题时要合理选用判定方法，相似三角形的性质在应用时经常结合判定．1. (2019·枣庄中考)如图，将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC 的面积为16，阴影部分三角形的面积为9.若AA′＝1，则A′D 等于(B )A ．2B ．3C ．4D ．322. (2020·眉山中考)如图，正方形ABCD 中，点F 是BC 边上一点，连接AF ，以AF 为对角线作正方形AEFG ，边FG 与正方形ABCD 的对角线AC 相交于点H ，连接DG.以下四个结论：①∠EAB ＝∠GAD ；②△AFC ∽△AGD ；③2AE 2＝AH·AC ；④DG ⊥AC.其中正确的个数为(D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3. (2020·乐山中考)把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F.则AF AC ＝__35__．4．(2020·杭州中考)如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 边上，DE ∥AC ，EF ∥AB.(1)求证：△BDE ∽△EFC.(2)设AF FC ＝12.①若BC ＝12，求线段BE 的长；②若△EFC 的面积是20，求△ABC 的面积．【解析】(1)∵DE ∥AC ，∴∠DEB ＝∠FCE ，∵EF ∥AB ，∴∠DBE ＝∠FEC ，∴△BDE∽△EFC.(2)①∵EF∥AB，∴BEEC＝AFFC＝12，∵EC＝BC－BE＝12－BE，∴BE12－BE＝12，解得：BE＝4.②∵AFFC＝12，∴FCAC＝23，∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，∴S△EFCS△ABC＝(FC AC)2＝(23)2＝49，∴S△ABC＝94S△EFC＝94×20＝45.5．(2020·福建中考)如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P.(1)求∠BDE的度数；(2)F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC.①判断DF和PF的数量关系，并证明；②求证：EPPF＝PCCF.【解析】见全解全析方法·技巧1.利用相似求三角形面积比的基本思路利用已知条件→三角形相似→求出相似比→面积比.2.判定三角形相似的常见类型DE∥BC DE∥BC ∠ADE=∠B∠ACD=∠B ∠ACB=90°,CD⊥AB ∠D=∠C3.特别提醒(1)利用两边成比例且夹角相等判定三角形相似时,一定要找准对应边.(2)求三角形的面积比不一定都用相似,也可以用三角形底与高的比. 相似三角形的应用主要考查利用相似三角形的判定和性质测量物体的高度、宽度或两点间的距离．1. (2020·绍兴中考)如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2∶5，且三角板的一边长为8 cm.则投影三角板的对应边长为(A)A．20 cm B．10 cm C．8 cm D．3.2 cm2. (2020·上海中考)《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B 处立一根垂直于井口的木杆BD ，从木杆的顶端D 观察井水水岸C ，视线DC 与井口的直径AB 交于点E ，如果测得AB ＝1.6米，BD ＝1米，BE ＝0.2米，那么井深AC 为__7__米．方法·技巧1．利用相似三角形解决应用问题的一般步骤建立数学模型→判定三角形相似→利用相似三角形的性质→求解未知线段．2．特别提醒(1)利用镜面反射测物高注意应用反射角等于入射角.(2)利用影长测物高时，注意灯光与阳光的区别． 位似位似图形常与平移、旋转、轴对称进行综合命题，主要考查学生的动手操作能力，常用填空题的形式考查．1. (2020·盘锦中考)如图，△AOB 三个顶点的坐标分别为A(5，0)，O(0，0)，B(3，6)，以点O 为位似中心，相似比为23，将△AOB 缩小，则点B 的对应点B′的坐标是__(2，4)或(－2，－4)__．2. (2019·百色中考)如图，△ABC 与△A′B′C′是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，若点A(2，2)，B(3，4)，C(6，1)，B′(6，8)，则△A′B′C′的面积为__18__．方法·技巧1．位似判断：相似是前提，对应点的连线都过同一点是保证．2．作图原理：位似中心在对应点连线上且两对应点与位似中心的距离之比等于相似比．3．位似与坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k.关闭Word文档返回原板块。
八年级(下)第四章__相似图形复习课学案
第四章 相似图形复习课学案一、【知识·构架】二、【基本知识】 (一)比例线段 1、两条线段的比：如果选用 量得两条线段AB,CD 的长度分别是m,n,那么就说这两条线段的比AB:CD= ,或写成ABCD=比例线段：四条线段a,b,c,d 中，如果 ，即 那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段。
黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果 那么称线段AB 被点C 黄金分割 黄金比： 2、比例的性质⑴比例的基本性质： ⑵合比性质： ⑶等比性质：温馨提示：两条线段的长度单位必须统一，在同一单位下线段长度的比与所选用的单位无关3、基础训练 例1：已知a,b,c,d 是成比例线段，其中a=3cm ，b=2cm,c=6cm,求线段d 的长.例2：.,2bba b a +=求已知例3：数，写出一个比例式三个数，请你再添一个，，已知221（二）相似多边形1、相似多边形定义：相似比：相似多边形的性质：①相似多边形的对应角相等、对应边成比例②相似多边形的周长等于相似比③面积比等于相似比的平方温馨提示：在判断两个多边形相似时，必须同时满足两个条件，即各角对应相等，各边对应成比例方法点拨：所有的边数相同的正多边形都相似2、相似三角形定义及记法：ABC DEF 与相似，记作相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等、对应边成比例、对应线段的比等于相似比②相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比 ③相似三角形的周长比等于相似比 ④相似三角形面积比等于相似比的平方相似三角形的判定：①② ③3、基础训练例1：下列判断中正确的是：（ ）A ．两个矩形一定相似B ．两个平行四边形一定相似C ．两个正方形一定相似D ．两个菱形一定相似例2：如果两个相似三角形对应中线的比为8：9，则它们的相似比和面积比分别为（ ）A.8:9, 8:9B.9:8, 81:64C.8:9, 64:81D.8:9, 3:22例3：如果两个相似多边形最大边分别为5cm 和2cm ，它们的周长差是60cm ，那么它们的周长分别为 ；它们的面积之比为 .例4：如图，已知△AB C ∽△DEF,AB=3,BC=4,CA=2,EF=6,求线段DE,DF 的长。
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第四单元 图形的相似
【中考要求解读】
1．了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段，黄金分割．
2．理解相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于对应边比的平方．
3．了解两个三角形相似的概念，会判定两个三角形相似．
4．了解图形的位似，会利用位似将一个图形放大或缩小．
【基础准备】
1.（2008·江西）下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是（ ）
2. （2008·威海）如图，已知△EFH 和△MNK 是位似图形，那么其位似中心是点（ ）
A ．点A
B ．点B
C ．点C
D ．点D
3.（2007·海南）如图，已知21∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍无法．．
判定ABC △∽ADE △的是（ ）
A ．
AE AC AD AB = B ．DE
BC AD AB = C ．D B ∠=∠ D ．AED C ∠=∠
4.（2007·烟台）如图，在正方形网格上，若使△ABC ∽△PBD ，则点
P 应在（ ）
A ．P 1处
B ．P 2处
C ．P 3处
D ．P 4处 5.（2008·杭州）在Rt ΔABC 中，∠C 为直角，CD ⊥AB 于点D ，BC=3，AB=5，
写出其中的一对相似三角形是__________和__________；并写出它们的面积比
_________ 6. （2008·泰州）在比例尺为1：2000的地图上测得AB 两地间的图上距离为5 cm ，则AB 两地间的实际距离为_____________m.
7.（2008·西宁）如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换．．．．
： （请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换）．
8. 已知点P 是线段AB 的黄金分割点，若AB ＝a ，则BP ＝ ．
A ．
B ．
C ．
D ．
M N K
9.（2007·茂名）现有一个测试距离为5m 的视力表，根据这
个视力表，小华想制作一个测试距离为3m 的视力表，则图中 的21
____________b b =． 【例题讲授】
例1．（2008·无锡）如图，已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF AE ⊥于F ，试说明：ABF EAD △∽△
例2.（2008·镇江）如图，在直角坐标系xOy 中，直线122y x =
+与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边在第二象限内作矩形ABCD
，使AD =
（1）求点A ，点B 的坐标，并求边AB 的长；
（2）过点D 作DH x ⊥轴，垂足为H ，求证：ADH BAO △∽△；
（3）求点D 的坐标．
例3.（2008·宁德）在边长为1的正方形网格中，有
形如帆船的图案①和半径为2的⊙P ．
⑴将图案①进行平移，使A 点平移到点E ，画出平移
后的图案；
⑵以点M 为位似中心，在网格中将图案①放大2倍，
画出放大后的图案，并在放大后的图案中标出线段AB
的对应线段CD ；
⑶在⑵所画的图案中，线段CD 被⊙P 所截得的弦长
为______．（结果保留根号）
例4.（2008·福州）如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题：
x
（1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；
（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；
（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？
【一课一练】
1.（2008·南京）小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）
A ．0.5m
B ．0.55m
C ．0.6m
D ．2.2m
2. （2008·南通）已知△ABC 和△A′B′C′是位似图形．△A′B′C′的面积为6cm 2，
周长是△ABC 的一半．AB ＝8cm ，则AB 边上高等于 （ ）
A ．3 cm
B ．6 cm
C ．9cm
D ．12cm
3.（2008·金华）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P 处放一水平的平面镜, 光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，
CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是（ ）
A 、6米
B 、8米
C 、18米
D 、24米
4.（2007·茂名）上午九时，阳光灿烂，小李在地面上同时摆弄两根长度不相等的
竹竿，若它们的影子长度相等，则这两根竹竿的相对位置可能是（ ）
A ．两根都垂直于地面
B ．两根都倒在地面上
C ．两根不平行斜竖在地面上
D ．两根平行斜竖在地面上
5. （2008·绍兴）兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长
为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落
在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高
为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ）
A ．11.5米
B ．11.75米
C ．11.8米
D ．12.25米
6.（2008·天津）如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，
BC 边上的点，若1=AG ，2=BF ，︒=∠90GEF ，则GF 的长为 ．
7.（2007·连云港）右图是一山谷的横断面示意图，宽AA '为15m ，用曲尺
（两直尺相交成直角）从山谷两侧测量出1m OA =，3m OB =， 0.5m O A ''=，3m O B ''=（点A O O A ''，，，在同一条水平线上）
则该山谷的深h 为
m ． 8.（2007·茂名）如图是一盏圆锥形灯罩AOB ，两母线的夹角 90AOB ∠=︒，
若灯炮O 离地面的高OO 1是2米时，则光束照射到地面的面积是
米2（答案精确到0.1）．
9. 在△ABC 中，AB >BC >AC ，D 是AC 的中点，过点D 作直线l ，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l 有 条．
10. （2007·滨州）在ABC △和DEF △中，90A D ==∠∠，3AB DE ==，24AC DF ==．
（1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？
（2）能否分别过A D ，在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC △分割成的两个三角形与DEF
△分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．
11. （2008·安徽）如图四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分别
交AC 、CD 于点P 、Q 。
⑴请写出图中各对相似三角形(相似比为1 除外)；
(2)求BP ∶PQ ∶QR
12.（2007·乐山）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，10AD =．直角尺的直角顶点P 在AD 上滑动时（点P 与A D ，不重合）
，一直角边经过点C ，另一直角边AB 交于点E ．我们知道，结论“Rt Rt AEP DPC △∽△”成立．
（1）当30CPD =∠时，求AE 的长；
（2）是否存在这样的点P ，使D P C △的周长等于AEP △周长的2倍？若存在，求出DP 的长；若不
存在，请说明理由．
课后反思。