与圆有关的位置关系1
圆与圆的位置关系 (1)
练习：判断下列两圆的位置关系：
2 ( x 2) 2 ( y 2) 2 1与（x 2） ( y 5) 2 16 2 2 2 2 （2） x y 6 x 7 0与x y 6 y 27 0 解（1）：两圆的圆心坐标为(-2 , 2), (2 , 5),两圆的圆心距
x
列表如下：
外 离 外 切 相 交 内 切 内 含
d r1 r2 d r1 r2 r1 r2 d r1 r2 d r1 r2 d r1 r2
r1
d
r1
d
r1
r2
d
r1
d r2
r1
d r2
r2
r2
观察：当两圆相切（外切、内切）时，切点与两圆的连心线 有什么关系？ （切点在两圆的连心线上）．
( x 3)2 ( y 3 3)2 16. 解得:
例6.求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和 圆C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆方程． 解法 相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0．
∵所求圆以AB为直径，
于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25 .
6.圆系方程：
①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和
圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0． 若两圆相交，则过交点的圆系方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ为 参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦 所在直线方程)． ②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l： Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆 系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0 (λ为参 数)．
圆与圆位置关系
圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系：两圆(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)与(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)圆心距d ＝(a 1－a 2)2＋(b 1－b 2)2 d >r 1＋r 2⇔两圆__外离__；d ＝r 1＋r 2⇔两圆__外切__；|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆__相交__；d ＝|r 1－r 2|⇔两圆__内切__；0<d <|r 1－r 2|⇔两圆__内含__，d ＝0时为同心圆．2．两圆的公切线条数：当两圆内切时有__一条__公切线；当两圆外切时有__三条__公切线；相交时有__两条__公切线；相离时有__四条__公切线；内含时__无__公切线．随堂练习1．圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系是 ( C )A ．相切B ．外离C ．内含D ．相交[解析] 圆x 2＋y 2＝1的圆心O 1(0,0)，半径r 1＝1，圆x 2＋y 2＝2的圆心O 2(0,0)，半径r 2＝2则d ＝|O 1O 2|＝0，|r 2－r 1|＝2－1∴d <|r 2－r 1|，∴这两圆的位置关系是内含．2．圆x 2＋y 2＝4与圆(x －4)2＋(y －7)2＝1公切线的条数为 ( D )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 圆x 2＋y 2＝4的圆心O 1(0,0)，半径r 1＝2，圆(x －4)2＋(y －7)2＝1的圆心O 2(4,7)，半径r 2＝1，则d ＝|O 1O 2|＝(4－0)2＋(7－0)2＝65>r 1＋r 2＝3．∴这两圆的位置关系是外离．有4条公切线，故选D ．3．若圆x 2＋y 2＝m 与圆x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0内切，则m ＝__1或121__.[解析] 圆x 2＋y 2＝m 的半径r 1＝m 圆x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0的圆心坐标为(－3,4)，半径r 2＝6．∵两圆相内切，两圆心距离d ＝5∴6－m ＝5，或m －6＝5∴m ＝1或m ＝121．4．已知圆C 与圆x 2＋y 2－2x ＝0相外切，并且与直线x ＋3y ＝0相切于点Q (3，－3)，求圆C 的方程.[解析] 圆心C (a ，b )在过点Q (3，－3)与直线x ＋3y ＝0垂直的直线y ＝3x －43上，∴b ＝3a －43．圆心C 到C 1(1,0)和Q (3，－3)距离的差为1可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝0或⎩⎨⎧a ＝0b ＝－43．∴⊙C 的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36． 命题方向1 ⇨两圆位置关系的判断1 、判断圆x 2＋y 2＋6x －7＝0与圆x 2＋y 2＋6y －27＝0的位置关系.[解析] 解法一：圆x 2＋y 2＋6x －7＝0的圆心为C 1(－3,0)，半径r 1＝4，圆x 2＋y 2＋6y －27＝0的圆心为C 2(0，－3)，半径为r 2＝6，则两圆的圆心距d ＝|C 1C 2|＝[0－(－3)]2＋(－3－0)2＝32∴|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2，即两圆相交．解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋6x －7＝0x 2＋y 2＋6y －27＝0，得2x 2＋383x ＋379＝0 Δ＝⎝⎛⎭⎫3832－4×2×379＝1 4849－2969＝1 1889>0∴两圆相交． 2.两圆C 1：x 2＋y 2－2x －3＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0的位置关系是( C )A．相离B．相切C．相交D．内含[解析]把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x－1)2＋y2＝4(x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以两圆圆心为C1(1,0)，C2(2，－1)，半径为r1＝2，r2＝2，则连心线的长|C1C2|＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－2，故r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，两圆相交．命题方向2⇨由圆与圆的位置关系求参数的值或取值范围1. 实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？[解析]将两圆的一般方程化为标准方程，得C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C1：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k．则圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k，k<50．∴|C1C2|＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5．当1＋50－k＝5，即k＝34时，两圆外切；当|50－k－1|＝5，即k＝14时，两圆内切；当14<k<34时，4<50－k<6则r2－r1<|C1C2|<r2＋r1，此时，两圆相交；当k<14时两圆内含，当34<k<50时，两圆相离．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时：(1)圆C1与圆C2相外切；(2)圆C1与圆C2内含．[解析]对于圆C1与圆C2的方程，经配方后C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9．圆心C1(m，－2)，半径r1＝3．C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4．圆心C2(－1，m)，半径r2＝2．(1)当两圆相外切时，|C1C2|＝r1＋r2∴(m＋1)2＋(－2－m)2＝5，∴m2＋3m－10＝0解得m＝－5或2．(2)当两圆相内含时，0<|C1C2|<|r1－r2|∴(m＋1)2＋(－2－m)2<1∴m2＋3m＋2<0，∴－2<m<－1．命题方向3⇨两圆的公共弦问题1. 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度．[解析](1)将两圆方程配方化为标准方程C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10．则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝52；圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝10．又|C1C2|＝25，r1＋r2＝52＋10，r1－r2＝52－10．∴r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0．(3两方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0两式相减得x －2y ＋4＝0，即两圆相交弦所在直线的方程； 由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50其圆心为C 1(1，－5)，半径r 1＝52．圆心C 1到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝35 ∴两圆的公共弦长为2r 2－d 2＝250－45＝2 5.2.圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦所在的直线方程是__4x ＋3y －2＝0__，公共弦长为__10__．[解析] 已知圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，①圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0，② ①－②得24x ＋18y －12＝0即4x ＋3y －2＝0．把圆C 1，圆C 2化成标准方程分别为圆C 1：(x －6)2＋(y －1)2＝50，圆心为(6,1)r 1＝52圆C 2：(x ＋6)2＋(y ＋8)2＝125，圆心为(－6，－8)，r 2＝55则连心线的长|C 1C 2|＝(6＋6)2＋(1＋8)2＝15从而r 2－r 1＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2．故两圆相交．所以两圆公共弦所在的直线方程是4x ＋3y －2＝0．圆C 1的圆心到直线的距离d ＝|4×6＋3×1－2|42＋32＝5故公共弦长为2r 21－d 2＝250－25＝10． 基础测试1．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －3)2＝25，圆C 2与圆C 1关于点(2,1)对称，则圆C 2的方程是 ( B )A ．(x －3)2＋(y －5)2＝25B ．(x －5)2＋(y ＋1)2＝25C ．(x －1)2＋(y －4)2＝25D ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝25[解析] 设⊙C 2上任一点P (x ，y )，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y )在⊙C 1上，∴(x －5)2＋(y ＋1)2＝25．2．圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为 ( A )A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0[解析] 解法一：线段AB 的中垂线即两圆的连心线所在直线l ，由圆心C 1(1,0)，C 2(－1,2)，得l 方程为x ＋y －1＝0． 解法二：直线AB 的方程为：4x －4y ＋1＝0，因此线段AB 的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y ＝－(x －1)，故选A ．3．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a 、b 应满足的关系式是 ( B )A ．a 2－2a －2b －3＝0B ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0C ．a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0D ．3a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0[解析] 利用公共弦始终经过圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a ＋2)x ＋(2b ＋2)y －a 2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a 2＋2a ＋2b ＋5＝0．4．设r >0，两圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝r 2与x 2＋y 2＝16可能 ( C )A ．相离B ．相交C ．内切或内含或相交D ．外切或外离[解析] ∵两圆圆心坐标为(1，－3)，(0,0)，∴两圆的圆心的距离为(0－1)2＋(0＋3)2＝10<4，半径分别为4，r ，∴当|4－r |<10<4＋r 时，两圆相交，当4－r ＝10时，两圆相切，当4－r <10时，两圆内含，故选C ．5．两圆x 2＋y 2＝16与(x －4)2＋(y ＋3)2＝r 2(r >0)在交点处的切线互相垂直，则r ＝ ( C )A ．5B ．4C ．3D ．22[解析] 设一个交点P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝16，(x 0－4)2＋(y 0＋3)2＝r 2，∴r 2＝41－8x 0＋6y 0∵两切线互相垂直∴y 0x 0·y 0＋3x 0－4＝－1，∴3y 0－4x 0＝－16．∴r 2＝41＋2(3y 0－4x 0)＝9，∴r ＝3． 6．半径长为6的圆与y 轴相切，且与圆(x －3)2＋y 2＝1内切，则此圆的方程为 ( D )A ．(x －6)2＋(y －4)2＝6B ．(x －6)2＋(y ±4)2＝6C ．(x －6)2＋(y －4)2＝36D ．(x －6)2＋(y ±4)2＝36[解析] 半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则a ＝6，再由b 2＋32＝5可以解得b ＝±4，故所求圆的方程为(x －6)2＋(y ±4)2＝36．7．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程.[解析] 解法一：联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－12x －2y －13＝0x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0 相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0．再由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0x 2＋y 2－12x －2y －13＝0 联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为 12(5＋1)2＋(－6－2)2＝5． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25．。
《与圆有关的位置关系(第1课时)》公开课教案 (省一等奖)2022年人教版
24.2 与圆有关的位置关系教学内容1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，那么有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r．2．不在同一直线上的三个点确定一个圆．3．三角形外接圆及三角形的外心的概念．4．反证法的证明思路．教学目标1．理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，那么有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r及其运用．2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．4．了解反证法的证明思想．复习圆的两种定理和形成过程，并经历探究一个点、两个点、•三个点能作圆的结论及作图方法，给出不在同一直线上的三个点确定一个圆．接下去从这三点到圆心的距离逐渐引入点P•到圆心距离与点和圆位置关系的结论并运用它们解决一些实际问题．重难点、关键1．•重点：点和圆的位置关系的结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆其它们的运用．2．难点：讲授反证法的证明思路．3．关键：由一点、二点、三点、•四点作圆开始导出不在同一直线上的三个点确定一个圆．教学过程一、复习引入〔学生活动〕请同学们口答下面的问题．1．圆的两种定义是什么？2．你能至少举例两个说明圆是如何形成的？3．圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何？4．如果在圆外有一点呢？圆内呢？请你画图想一想．老师点评：〔1〕在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，•另一个端点A所形成的图形叫做圆；圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．〔2〕圆规：一个定点，一个定长画圆．〔3〕都等于半径．〔4〕经过画图可知，圆外的点到圆心的距离大于半径；•圆内的点到圆心的距离小于半径．二、探索新知由上面的画图以及所学知识，我们可知：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d那么有：点P在圆外⇒d>r点P在圆上⇒d=r点P在圆内⇒d<r反过来，也十清楚显，如果d>r⇒点P在圆外；如果d=r⇒点P在圆上；如果d<r⇒点P在圆内．因此，我们可以得到：这个结论的出现，对于我们今后解题、判定点P是否在圆外、圆上、圆内提供了依据．下面，我们接下去研究确定圆的条件：〔学生活动〕经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过二点、三点呢？请同学们按下面要求作圆．〔1〕作圆，使该圆经过点A，你能作出几个这样的圆？〔2〕作圆，使该圆经过点A、B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？〔3〕作圆，使该圆经过点A、B、C三点〔其中A、B、C三点不在同一直线上〕，•你是如何做的？你能作出几个这样的圆？老师在黑板上演示：〔1〕无数多个圆，如图1所示．〔2〕连结A、B，作AB的垂直平分线，那么垂直平分线上的点到A、B的距离都相等，都满足条件，作出无数个．其圆心分布在AB的中垂线上，与线段AB互相垂直，如图2所示．lBA(1) (2) (3)〔3〕作法：①连接AB、BC；②分别作线段AB、BC的中垂线DE和FG，DE与FG相交于点O；③以O为圆心，以OA为半径作圆，⊙O就是所要求作的圆，如图3所示．在上面的作图过程中，因为直线DE与FG只有一个交点O，并且点O到A、B、C•三个点的距离相等〔中垂线上的任一点到两边的距离相等〕，所以经过A、B、C三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．下面我们来证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆．证明：如图，假设过同一直线L上的A、B、C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线L1，又在线段BC的垂直平分线L2，•即点P为L1与L2点，而L1⊥L，L2Alm BAC ED OF ⊥L ，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与直线垂直〞矛盾． 所以，过同一直线上的三点不能作圆．上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的得出结论，而是假设命题的结论不成立〔即假设过同一直线上的三点可以作一个圆〕，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立．这种证明方法叫做反证法． 在某些情景下，反证法是很有效的证明方法．例1．某地出土一明代残破圆形瓷盘，如以下图．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心． 作法：〔1〕在残缺的圆盘上任取三点连结成两条线段； 〔2〕作两线段的中垂线，相交于一点． 那么O 就为所求的圆心． 三、稳固练习教材P100 练习1、2、3、4． 四、应用拓展例2．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=BC ，AB=48cm ，CD=30cm ，高27cm ，求作一个圆经过A 、B 、C 、D 四点，写出作法并求出这圆的半径〔比例尺1：10〕分析：要求作一个圆经过A 、B 、C 、D 四个点，应该先选三个点确定一个圆，•然后证明第四点也在圆上即可．要求半径就是求OC 或OA 或OB ，因此，•要在直角三角形中进行，不妨设在Rt △EOC 中，设OF=x ，那么OE=27-x 由OC=OB 便可列出，•这种方法是几何代数解． 作法分别作DC 、AD 的中垂线L 、m ，那么交点O 为所求△ADC 的外接圆圆心． ∵ABCD 为等腰梯形，L 为其对称轴 ∵OB=OA ，∴点B 也在⊙O 上 ∴⊙O 为等腰梯形ABCD 的外接圆 设OE=x ，那么OF=27-x ，∵OC=OB222215(27)24x x +=-+ 解得：x=20∴221520+=25，即半径为25m ．五、归纳总结〔学生总结，老师点评〕 本节课应掌握：点和圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，那么;;.P d r P d r P d r ⇔>⎧⎪⇔=⎨⎪⇔<⎩点在圆外点在圆上点在圆内 2．不在同一直线上的三个点确定一个圆． 3．三角形外接圆和三角形外心的概念．4．反证法的证明思想．5．以上内容的应用．六、布置作业1．教材P110 复习稳固 1、2、3． 2．选用课时作业设计．第一课时作业设计一、选择题．1．以下说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；•③圆有且只有一个内接三角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的个数有〔• 〕A．1 B．2 C．3 D．42．如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，那么它的外心与顶点C的距离为〔〕．A．2.5 B．2.5cm C．3cm D．4cmB ACBACDO3．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，BC=4，AC=3，CD平分∠ACB，那么弦AD长为〔〕A．522 B．52C．2 D．3二、填空题．1．经过一点P可以作_______个圆；经过两点P、Q可以作________•个圆，•圆心在_________上；经过不在同一直线上的三个点可以作________个圆，•圆心是________的交点． 2．边长为a的等边三角形外接圆半径为_______，圆心到边的距离为________．3．直角三角形的外心是______的中点，锐角三角形外心在三角形______，钝角三角形外心在三角形_________．三、综合提高题．1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是AB上一点，连结BD，并延长至E，连结AD，•假设AB=AC，∠ADE=65°，试求∠BOC的度数．B AC O2．如图，通过防治“非典〞，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图24-49所示，A、B、C•为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，•要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址．BAC3．△ABC 中，AB=1，AC 、BC 是关于x 的一元二次方程〔m+5〕x 2-〔2m-5〕x+12=0两个根，外接圆O 的面积为4π，求m 的值．答案:一、1．B 2．B 3．A二、1．无数，无数，线段PQ 的垂直平分线，一个，三边中垂线 2．33 a 36a 3．斜边 内 外 三、1．100°2．连结AB 、BC ，作线段AB 、BC 的中垂线，两条中垂线的交点即为垃圾回收站所在的位置． 3．∵πR 2=4π，∴R=12，∵AB=1，∴AB 为⊙O 直径，∴AC 2+BC 2=1，即〔AC+BC 〕2-2AC ·BC=1， ∴〔255m m -+〕2-•2·125m +=1，m 2-18m-40=0，∴m=20或m=-2， 当m=-2时，△<0〔舍去〕， ∴m=20．[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
第1部分 第6章 第2节 与圆有关的位置关系
解点与圆、直线与圆的位置关系的问题时，未充
分考虑多种情况，出现漏解现象
一个点到圆的最小距离为 6cm，最大距离为 9cm，则该
圆的半径为(
)
A．1.5cm
B．7.5cm
C．1.5cm 或 7.5cm
D．3cm 或 15cm
【错解】 A 【错因剖析】 对于这样的无图题，容易忽视多种情况，只画出 一个相应的图形，造成漏解． 【正解】 C
圆与圆的位置关系(拓展) 1．圆与圆位置关系的判断 设两圆半径分别为 R 和 r，圆心距为 O1O2＝d.两圆外离⇔d＞R＋r； 两圆外切⇔d＝R＋r；两圆相交⇔R－r＜d＜R＋r(R≥r)；两圆内切⇔d ＝R－r(R＞r)；两圆内含⇔0≤d＜R－r(R＞r)． 2．两圆相切、相交的有关性质 (1)相切两圆的连心线必经过⑯ 切点 ． (2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦．
点与圆、直线与圆的位置关系 1．点和圆的位置关系：如图，如果圆的半径是 r， 点到圆心的距离为 d，那么点在圆外⇔① d>r ，如点 A；点在圆上⇔② d＝r ，如点 B；点在圆内⇔③ d<r ， 如点 C.
2．直线与圆的位置关系
位置关系
相离
示意图
d 与 r 的关系 d④ > r
交点的个数
没有交点
D．8 步
【解析】根据勾股定理得：斜边为 82＋152＝17，则该直角三角形 能容纳的圆形(内切圆)半径 r＝8＋152－17＝3(步)．
点与圆、直线与圆的位置关系(冷考) (注：安徽中考近五年未单独考查)
切线的判定与性质(常考) 1．(2018 安徽，12，5 分)如图，菱形 ABOC 的边 AB，
【解析】A 项：∵弦 PB 是⊙O 的直径时最长，此时∠BCP＝∠BAP ＝90°，∴∠ACP＝∠CAP＝30°，∴△APC 是等腰三角形．B 项： 若点 P 与点 B 不重合，当△APC 是等腰三角形时，△BPA≌△BPC， ∴∠BAP＝∠BCP＝90°，∠BPA＝∠BPC，∴PB 是⊙O 的直径，又 ∵∠BPA＝∠BPC 且 AP＝CP，∴PB⊥AC，即 PO⊥AC，若点 P 与点 B 重合，由于△ABC 是等边三角形，∴BO⊥AC，即 PO⊥AC.C 项： 当点 P 与点 B 重合时满足 PO⊥AC，但此时∠ACP＝60°.D 项：当 ∠ACP＝30°时，则∠BCP＝90°或∠PBC＝90°，∴△BPC 一定是 直角三角形．
圆与圆的位置关系1
2.定圆0的半径是4cm,动圆P的半径是1cm, (1)设⊙ P和⊙ 0相外切,那么点P与点O的距 离是多少?点P可以在什么样的线上运动? (2)设⊙ P 和 ⊙O 相内切,情况又怎样?
解: (1) ∵⊙0和⊙P相外切 · P· ∴OP＝ R + r ∴OP=5cm ∴ P点在以O点为圆心,以5cm为半径的圆上运动
例：如图，⊙○的半径为5cm，点P是
⊙○外一点，○P=8cm ,以P为圆心作一 相切 内切 个圆与⊙○ 外切 ,这个圆的半径应是多 少?
A
B
○
P
1.已知两个圆内切，圆心距是2cm，如果 一个圆的半径是3cm，那么另一个圆的半 径是多少？
2、已知⊙O1,⊙O2的半径为r1、r2如果r1＝1,
r2＝2，且⊙O1、⊙O2相外切，那么与⊙O1、⊙O2 都相切且半径为3的圆能画出几个?
2、⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm， 求⊙O1和 ⊙O2的位置关系.设:
外切 外离 (2)O1O2=7cm ________ (1)O1O2=8cm ______ 内切 相交 (3)O1O2=5cm _______(4)O1O2=1cm _________ 内含 (5)O1O2=0cm _______
圆与圆的位置关系(从公共点个数看) 外离 相离
(没有公共点)
内含特殊情况
外切
相切
(有1个公共点)
内切
相交
(有2个公共点)
相交
圆 与 圆 的 五 种 位 置 关 系
同心圆
活动2：
如果两个圆的半径分别为r1和r2（r1<r2）， 圆心距（两圆圆心的距离）为d，当两圆外 离时，d与r1和r2有怎样的关系？反过来， 当d与r1和r2满足这样的关系时，两圆一定 外离吗？ 其他几种情况呢？
与圆有关的位置关系(弧、弦、圆心角)
1、顶点在 圆心上 的角叫做圆心角。
2、在 同圆或等圆 中，相等的圆心 角所对的弦 相等 ，所对的弧 相等 。
3、在同圆或等圆中，如果两条弧、两条 弦、两个圆心角中有一组量相等，那么对应 的其余各组量也 相等 。
B ∵ »AB B»D=C»D B»D
∴ »AD=B»C
∴AD=BC (在同圆中，相等的弧所对的弦相等)
☆知识巩固
七、当堂训练
1．如果两个圆心角相等，那么（ D ） A．这两个圆心角所对的弦相等;
B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等; D．以上说法都不对
2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与
在同圆或等圆中，如果两条弦，两 条弧，两个圆心角,两条弦的弦心
距中有一组量相等，那么对应的其 余各组量也＿相＿等＿ 。
☆例题解答
︵︵ 如图所示，在⊙O中， AB = AC，
∠ACB=60°。
A
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC
︵︵
证明：∵ AB = AC
O
∴AB=AC,△ABC是等腰三角形 B
C
请大家在书上做83面练习1题
如图，AB，CD是⊙O的两条弦， ①如果∠AOB=∠COD，那么 AB=CD ， »AB C»D . ②如果AB=CD，那么 »AB C»D ，∠AOB=∠COD . ③如果 »AB = C»D ，那AB=CD，OE⊥AB于点E，OF ⊥CD于点F， OE与OF相等吗？为什么？
24.1.3 弧、弦、圆心角
湖北省蕲春县刘河中学 龚自辉
讲课时间：2012年10月22日
与圆有关的位置关系1
1． (2016· 湘西州)在 Rt△ABC 中， ∠C＝90° ， BC＝3 cm ， AC ＝4 cm ，以点 C 为圆心，以 2.5 cm 为半径画圆，则 ⊙C 与直线 AB 的位置关系是( A．相交 B ．相切 C ．相离 ) D．不确定
在 Rt △ABC 中， ∠C＝90°，AC＝4 cm ，BC＝3 cm ，由勾股定理，得 AB ＝ 32＋42＝
(1)证明：∵ BC 为⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90° . 又∵∠ABC ＝30° ，∴∠ACB ＝60° . 又∵OA ＝OC，∴△OAC 为等边三角形， 即∠OAC ＝∠AOC ＝60° . ∵AF 为⊙O 的切线，∴∠OAF ＝90° ， ∴∠CAF ＝∠AFC ＝30° . ∵DE 为⊙O 的切线，∴∠DBC ＝∠OBE ＝90° ， ∴∠D＝∠DEA ＝30° ， ∴∠D＝∠CAF ，∠DEA ＝∠AFC ， ∴△ACF ∽△DAE .
在 Rt △ AOF 中 ，由勾股定理得， AF 2 ＋ OF 2 ＝ AO2 ，即 3－ 2r 2 3 ＋r2＝ 13－ 13r 2 6 ，解得 r ＝ . 3 7
7．(2016· 广东) 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆， BC 是⊙O 的直径，∠ABC ＝30° . 过点 B 作⊙O 的切线 BD ，与 CA 的延长线交于点 D ，与半径 AO 的延长线 交于点 E . 过点 A 作⊙O 的切线 AF ，与直径 BC 的延 长线交于点 F . (1)求证：△ ACF ∽△DAE ； 3 (2)若 S △AOC＝ ，求 DE 的长； 4 (3)连接 EF ，求证：EF 是⊙O 的切线．
【点拨】本题考查了切线的判定、相似三角形的 判定与性质． (1)证明：如图，作 OD⊥ AB 于⊥ AC，∴ OD＝ OC． ∵ OC 是⊙ O 的半径，∴ OD 是⊙O 的半径， ∴ AB 是⊙O 的切线．
圆与圆的位置关系
图1扇形、圆与圆的位置关系一、圆和圆的位置关系.1、外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例. 2、相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. 3、 相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 二、弧长及扇形的面积1、圆周长公式: 圆周长C=2πR (R 表示圆的半径)2. 弧长公式: 弧长180R n l π= (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)3、扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4、弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. 5、圆的面积公式.2R S π= (R 表示圆的半径) 6、扇形的面积公式:扇形的面积3602R n S π=扇形 (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)※弓形的面积公式:(如图5) (1)当弓形所含的弧是劣弧时, 三角形扇形弓形S S S -= (2)当弓形所含的弧是优弧时, 三角形扇形弓形S S S += (3)当弓形所含的弧是半圆时, 扇形弓形S R S ==221π提高试题1、如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为（ ）A. (4+cm B. 9 cmC. D.cm第1题 第2题2、如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN =30°，B 为AN 弧的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则PA+PB 的最小值为（ ）A ．22B ．2C ．1D ．23、已知两圆的半径为Ｒ，r 分别是方程X 2-5X+6=0两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（ ） A.外离 B.外切 C.内切 D.相交4、已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于 （ ）A ．8πB ．9πC ．10πD ．11π 5、一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是 （ ）．A ．1B ．34C ．12D ．136、 现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）.该圆锥底面圆的半径为（ ）A ．B ．C ．D ．7、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连接DP ，DP 交AC 于点Q ．若QO=PQ ，则QA QC的值为（ ） （A ）132-（B ）32（C ）23+（D ）23+8、已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75°9、如图，已知平行四边形ABCD ，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切。
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与圆有关的位置关系【知识要点】1、点与圆的位置关系：点在圆外、点在圆内、点在圆上点P 和圆心O 的距离为d. (1)点P 在⊙O 内⇔d<r (2)点P 在⊙O 上⇔d=r (3)点P 在⊙O 外⇔d>r2、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离。
3、圆心O 到直线L 的距离d 与⊙O 的半径r 之间的关系：(1)直线和圆相交⇔d<r (2)直线和圆相切⇔d=r (3)直线和圆相离⇔d>r4、圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直径。
5、圆的切线的性质：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
6、三角形的内切圆：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
7、三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
8、圆和圆的位置关系：相离、外切、相交、内切、内含。
9、相切两圆的圆心距的圆心距的d 与两圆的半径R 、r ()R r >之间的关系：若两圆外切⇔d R r =+；若两圆内切⇔d R r =-。
10、弧长公式：180n Rl π=11、扇形面积公式：2360n R S π=扇形，12S lR =扇形【典型例题选讲】例1．2006年福建省南平（8分）如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由。
解：题 图②例2．（2005云南玉溪）（10分）如图20，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ， 切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO. （1） 求证：CD ∥AO ；（3分）（2） 设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3分）（3） 若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。
（4分） 解：例3．（2006山西临汾）（本小题满分8分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1．在AB 的左侧，分别以ABC △的三边为直径作三个半圆围成图中的阴影部分．（1）图中ABC △是什么特殊三角形? （2）求图中阴影部分的面积；（3）作出阴影部分关于AB 所在直线的对称图形． 注：（本小题主要考查勾股定理、轴对称图形、中心对称图形的知识，考查动手操作、面积的计算及审美能力，本小题满分8分） 解：例4．（2006宜昌）（6分）某校编排的一个舞蹈需要五把和图①形状完全相同的绸扇。
学校现有三把符合要求的绸扇，将这三把绸扇完全展开刚好组成图②所示的一朵圆形的花。
请你算一算：再做两把这样的绸扇至少需要多少平方米的绸布？(单面制作，不考虑绸扇的折皱，结果用含π的式子表示)A BC例5．（2006贵阳市）（本题满分10分）如图8，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径AB =cm 12，高BC =cm 8，求这个零件的表面积；（结果保留 ）解：例6 （2005安徽）（10分）下图中, 图(1)是一个扇形AOB,将其作如下划分:第一次划分: 如图(2)所示,以OA 的一半OA 1为半径画弧,再作∠AOB 的平分线, 得到扇形的总数为6个, 分别为: 扇形AOB 、扇形AOC 、扇形COB 、扇形A 1OB 1、扇形A 1OC 1、扇形C 1OB 1;第二次划分: 如图(3)所示, 在扇形C 1OB 1中, 按上述划分方式继续划分, 可以得到扇形的总数为11个; 第三次划分: 如图(4)所示; ……依次划分下去.图(1) 图(2)第一次划分图(3)第二次划分 图(4)第三次划分(1) 根据题意,(2) 根据上表, 请你判断按上述划分方式, 能否得到扇形的总数为2005个? 为什么? 【解】A C O 第5 【历届试题精选】 一、选择题：1．（2006湖南郴州）圆O 的直径为12cm ，圆心O 到直线l 的距离为7cm ，则直线l 与圆O 的位置关系是（ ） Ａ．相交 Ｂ．相切 Ｃ．相离 Ｄ．不能确定 2．（2006广东湛江）如图2，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，点M 在线段AB （包括端点A B ，）上移动，则OM 的取值范围是（ ）A ．35OM ≤≤B ．35OM <≤C ．45OM ≤≤D ．45OM <≤3．（2006聊城）如图，⊙I 是ABC △的内切圆，D ，E ，F 为三个切点，若52DEF =∠，则A ∠的度数为（ ）Ａ．76Ｂ．68Ｃ．52Ｄ．384、（2006四川眉山）如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是D 、E 、F ，已知∠A = 100°，∠C = 30°，则∠DFE 的度数是（ ）A 、55°B 、60°C 、65°D 、70° 5．（2006宜昌）如图，点O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠BAC ＝80°，则∠BOC ＝（ ）。
A 、130°B 、100°C 、50°D 、65°6．(2005十堰)如图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线，∠OBA=75°，⊙O 的半径为1，则OC 的长等于（ ） A、B7、（2006南平）如果⊙O 1和⊙O 2相外切，⊙O 1的半径为3，O 1O 2=5，则⊙O 2的半径为（ ）A 、8B 、2C 、6D 、7第3图8．（2006南安）已知⊙1O 和⊙2O 的半径分别为2cm 和3cm ，两圆的圆心距是1cm ，则两圆的位置关系是（ ）A.外离；B.外切；C.相交；D.内切．9．（2006泉州）已知两圆半径分别为1与5，圆心距为4，则这两圆的位置关系是（ ）A ．外离；B ．外切；C ．相交；D ．内切.10．（2006河池）已知两圆的半径分别为3厘米和5厘米，若圆心距为9厘米，那么这两个圆的公切线共有（ ） Ａ．1条 Ｂ．2条 Ｃ．3条 Ｄ．4条11．（2006泰州）两圆的半径R 、r 分别是方程x 2－3x ＋2=0的两根，且圆心距d =3，则两圆的位置关系为A ．外切B ．内切C ．外离D ．相交 12．（2006武汉）如图，用半径R=3cm ，r=2cm 的钢球测量口小内大的内孔的直径D.测得钢球顶点与孔口平面的距离分别为a=4cm ，b=2cm ，则内孔直径D 的大小为（ ）.13．（2006山西临汾）半径分别为5和8的两个圆的圆心距为d ，若313d ≤，则这两个圆的位置关系一定是（ ）A ．相交B ．相切C ． 内切或相交D ．外切或相交14．（2005兰州）已知关于ｘ的一元二次方程ｘ２－2（Ｒ＋ｒ）ｘ＋ｄ２＝０没有实数根，其中Ｒ、ｒ分别为⊙Ｏ１、⊙Ｏ２的半径，ｄ为两圆的圆心距，则⊙Ｏ１与⊙Ｏ２的位置关系是（ ） Ａ．外离 Ｂ．相交 Ｃ．外切 Ｄ．内切 15．（2006新疆）某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（ ） Ａ．图（1）需要的材料多 Ｂ．图（2）需要的材料多 Ｃ．图（1）、图（2）需要的材料一样多 Ｄ．无法确定图（1）图（2）第15第17A B C D16. （2006武汉）已知：如图，AB=BC ，∠ABC=90°，以AB 为直径的⊙O 交OC 于点D ，AD 的延长线交BC于点E ，过D 作⊙O 的切线交BC 于点F.下列结论：①CD 2=CE ·CB ；②4EF 2=ED ·EA ；③∠OCB=∠EAB ；④DF=12CD. 其中正确的结论只有（ D ）. (A)①②③ (B)②③④ (C)①③④ (D)①②④17.（2006济宁）. 如图，一平面经过圆锥的顶点截圆锥所得到的截面形状是（ ）18．（2006陕西）若圆锥的侧面展开图市一个弧长为 36的扇形，则这个圆锥的底面半径是 【 】 A ．36 B ．18 C ．9 Ｄ．6 19．（2005扬州） 如果一个圆柱的侧面积为16，那么这个圆柱的高l 与底面半径r 之间函数关系的大致图象是（ ）20．（2006青海张掖）如图，ABC △的边长都大于2，分别以它的顶点为圆心，1为半径画弧（弧的端点分别在三角形的相邻两边上），则这三条弧的长的和是（ ） Ａ．4π Ｂ．3π Ｃ．6π Ｄ．5πFE BA B C D圆柱体A C第2题21、（2005年基础教育课改）设计一个商标图案：先作矩形ABCD，使AB＝2BC，AB＝8，再以点A为圆心、AD的长为半径作半圆，交BA的延长线于F，连FC. 图中阴影部分就是商标图案，该商标图案的面积等于（）（A）4π＋8；（B）4π＋16；（C）3π＋8；（D）3π＋16；22．（2006山东青岛）如图，在△ABC 中，BC ＝4，以点A为圆心、2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是（）．A．4－94πB．4－98πC．8－94πD．8－98π23．（2006衡阳）劳技课上，王红制成了一顶圆锥形纸帽，已知纸帽底面圆半径为10cm，母线长50cm，则制成一顶这样的纸帽所需纸面积至少为A．250πcm2 B．500πcm2C．750πcm2D．1000πcm2 24.．（2006）。
25．如图5，现有一圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（）A．4cm B．3cmC．2cm D．1cm26．（2006衡阳）劳技课上，王红制成了一顶圆锥形纸帽，已知纸帽底面圆半径为10cm，母线长50cm，则制成一顶这样的纸帽所需纸面积至少为（）A．250πcm2 B．500πcm2C．750πcm2D．1000πcm227.（2006济宁）如图，以BC为直径，在半径为2圆心角为900的扇形内作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是（）图5A.1π-B. 2π-C. 112π-D. 122π-28．（2006湖南郴州）如图11，两个半圆，大半圆中长为16cm 的弦AB 平行于直径CD ，且与小半圆相切，则图中阴影部分的面积为（ ） Ａ．234cm π Ｂ．2128cm πＣ．232cm πＤ．216cm π29．（2006台州）如图，圆锥的母线长为5cm ，底面半径为3cm ， 则此圆锥的高线长为（ ） (A) 4cm (B) 5cm (C) 3cm (D) 8cm30．（2006厦门） 如图3,在水平面上放置一圆锥,在圆锥顶端斜靠着一根木棒(木棒的厚度可忽略不计)小明为了探究这个问题,将此情景画在了草稿纸上(如图4): 友情提醒:小明所绘制的草图均为正视图 运动过程:木棒顶端重A 点开始严圆锥的法线下滑(木棒下滑为匀速)已知木棒与水平地面的夹角为θ的下滑而不断减小.θ的最大值为30°,若木棒长为问:当木棒顶端重A 滑到B 这个过程中,木棒末端 的速度'v 为ABDCD图28图3 图4（A ）v （B）1v a （C） （D）v a二、填空题：1．（2006湖州）如图，⊙O 的半径为4cm ，直线ι⊥OA ，垂足为O ，则直线ι沿射线OA 方向平移________cm时与⊙O 相切。