平面向量的数量积
平面向量的数量积
泥土中……接着，一棵浅绿色鸡尾模样的贪婪巨大怪芽疯速膨胀起来……一簇簇浅绿色灵芝模样的僵死巨大枝叶疯速向外扩张……突然！一朵亮红色小鱼模样的炽热巨蕾恐怖
地钻了出来……随着紫葡萄色水母模样的狠毒巨花狂速盛开，无数淡橙色牛屎模样的变态花瓣和葱绿色花蕊飞一样伸向远方……突然，无数亮蓝色钉子模样的贪婪果实从巨花
斯玻爱杀手见月光妹妹快要追上，又急忙变成长着离奇牙齿的水青色古怪果冻朝东南方向飞去……月光妹妹笑道：“嘻嘻！又换一套马甲，我随便找出一件都比你们的强……
”月光妹妹一边说着一边变成长着怪异脑袋的锅底色超级闪电追了上去……只见女奴仆Ｙ．曼妍米依仙女和另外三个校精怪突然齐声怪叫着组成了一个巨大的蝴蝶缸须神！这
（a – 4 b ）· （7 a – 2 b ）=0
即 7a ·a + 16 a ·b – 15 b · b =0
7a ·a - 30 a · b + 8 b ·b =0
两式相减得：
2
a
·b
=
b
2，代入其中任一式中得:
2
a
2=
b
例3、求证：直径所对圆周角为直角
• 证明：设AC是圆O的一条直径，
C
∠ABC为圆周角，如图
2 已知 |a| =12，|b| =9，a · b =-54√2，求a和 b3的、夹已角知 △ A B C 中 ， a = 5 ， b = 8 ， C = 6 0 0 ， 求 BC · CA A
B
C
4、已知 | a | =8，e是单位向量，当它们之间的夹
角为
三、典型例题
• 例1、 已知（a – b）⊥（a + 3 b），求
神飞去，变成的巨大植物根基飞去，而月光妹妹则朝那伙校精的真身冲飞去……蝴蝶缸须神的所有果实和替身都被撞得粉碎！而巨大的植物已经被壮妞公主一顿肥拳猛腿弄得
原创1：5.3 平面向量的数量积
A．|a|＝ a·a
B．|a·b|＝|a|·|b|
C．λ(a·b)＝λa·b
D．|a·b|≤|a|·|b|
解析：|a·b|＝|a||b||cos θ|，只有 a 与 b 共线时，才有|a·b|
＝|a||b|，可知选项 B 是错误的．
4．(2015·湖北武汉调研)已知向量 a，b 满足|a|＝3，|b|＝2 3，
平面向量的夹角与模(高频考点) 向量数量积的综合应用
考点一 平面向量数量积的运算
(1)(2015·沧州模拟)已知平面向量 a＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则xx12＋ ＋yy12的值为( B )
2 A.3
B．－23
C.56
D．－56
(2)(2014·高考江苏卷) 如图，在平行四边形 ABCD 中，已
[解] (1)由|a|2＝( 3sin x)2＋sin2x＝4sin2x， |b|2＝cos2x＋sin2x＝1， 及|a|＝|b|，得 4sin2x＝1. 又 x∈[0，π2 ]，从而 sin x＝12，所以 x＝π6 .
(2)f(x)＝a·b＝ 3sin x·cos x＋sin2x
＝ 23sin 2x－12cos 2x＋12＝sin(2x－π6 )＋12，
故|A→B＋A→G＋A→C|的最小值为83.
[规律方法] 1.利用数量积求解长度的处理方法： (1)|a|2＝a2＝a·a； (2)|a±b|2＝a2±2a·b＋b2； (3)若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2. 2．求两个非零向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律； (2)数量积大于 0 说明不共线的两个向量的夹角为锐角；数 量积等于 0 说明两个向量的夹角为直角；数量积小于 0 且 两个向量不能共线时两个向量的夹角就是钝角．
平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
平面向量的数量积和向量积推导
平面向量的数量积和向量积推导平面向量的数量积和向量积是向量运算中常用的两个操作。
它们在几何学、物理学等领域中有广泛的应用。
本文将对平面向量的数量积和向量积进行推导和说明。
一、平面向量的数量积数量积（也称为点积或内积）是两个向量的乘积的数量表示。
设有两个平面向量a和b，它们的数量积为：a ·b = |a| * |b| * cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示a和b之间的夹角。
由此可见，数量积的结果是一个实数。
它有以下几个性质：1. 交换律：a · b = b · a2. 分配律：(a + b) · c = a · c + b · c3. 数乘结合律：(k * a) · b = k * (a · b) = a · (k * b)二、平面向量的向量积向量积（也称为叉积或外积）是两个向量的乘积的向量表示。
设有两个平面向量a和b，它们的向量积为：a ×b = |a| * |b| * sinθ * n其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示a和b之间的夹角，n表示与a和b均垂直的单位向量。
向量积的结果是一个向量，它的方向垂直于平面，由右手法则确定。
由此可见，向量积具有以下几个性质：1. 反交换律：a × b = - (b × a)2. 分配律：(a + b) × c = a × c + b × c3. 数乘结合律：(k * a) × b = k * (a × b) = a × (k * b)三、数量积和向量积之间的关系数量积和向量积之间存在一个重要的关系，即向量积的模长等于数量积的模长和夹角的正弦值的乘积：|a × b| = |a| * |b| * sinθ此外，还可以通过向量积来求得两个向量之间的夹角θ：cosθ = (a · b) / (|a| * |b|)四、应用举例1. 面积计算：对于平行四边形，以两边为相邻边的一条对角线为底，可以使用向量积求得其面积。
平面向量的数量积
平面向量的数量积
什么是平面向量的数量积？
平面向量的数量积，也被称为点积或内积，是指两个向量之间
的运算结果。
它通过将两个向量的对应分量相乘，并将乘积相加得
到一个标量值。
数量积的计算公式
假设有两个平面向量A和B，其坐标分别为(Ax, Ay)和(Bx, By)，则它们的数量积被定义为以下公式：
A ·
B = (Ax * Bx) + (Ay * By)
数量积的性质
交换律
两个向量的数量积满足交换律，即 A · B = B · A。
分配律
数量积满足分配律，即对于向量A和向量B，以及标量k，有
以下等式成立：
k(A · B) = k(Ax * Bx) + k(Ay * By)
数量积的意义
计算角度
通过数量积的计算公式，我们可以得到两个向量之间的夹角的
余弦值。
具体地，设向量A和向量B之间的夹角为θ，则有以下等
式成立：
cosθ = (A · B) / (|A| * |B|)
其中，|A| 和 |B| 分别表示向量A和向量B的长度。
因此，通过计算数量积，我们可以得到向量之间的夹角。
判断垂直与平行关系
若两个向量的数量积为0，则它们垂直；若两个向量的数量积
不为0且它们的长度相等，则它们平行。
该文档介绍了平面向量的数量积的定义、计算公式以及性质。
同时，说明了数量积在计算角度和判断垂直与平行关系方面的意义。
5.3 平面向量的数量积
5．3平面向量的数量积1．数量积的概念已知两个非零向量a与b，我们把数量________________叫做a与b的数量积(或内积)，记作____________，即a·b＝________，其中θ是a 与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫向量a在b方向上(b 在a方向上)的____________．a·b的几何意义：数量积a·b等于___________________________________________．2．数量积的运算律及常用结论(1)数量积的运算律①交换律：___________________；②数乘结合律：_________________________；③分配律：______________________________．(2)常用结论①(a±b)2＝________________________；②(a＋b)·(a－b)＝_________________；③a2＋b2＝0⇔______________________；④|||a－||b|________||a＋||b．3．数量积的性质设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则①e·a＝____________．②a⊥b⇔____________．③当a与b同向时，a·b＝____________；当a与b反向时，a·b＝____________．特别地，a·a＝____________或||a＝____________．④cosθ＝____________．⑤||a·b≤____________．4．数量积的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则①a·b＝____________；a2＝_______________；||a＝________________．②a⊥b⇔____________________．③||x1x2＋y1y2≤________________________．自查自纠：1．||a||b cosθa·b|a||b|cosθ投影a的长度||a与b在a的方向上的投影||b cosθ的乘积2．(1)①a·b＝b·a②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(2)①a2±2a·b＋b2②a2－b2③a＝0且b＝0④≤3．①|a|cosθ②a·b＝0③|a||b|－|a||b||a|2a·a④a·b|a||b|⑤|a||b|4．①x1x2＋y1y2x21＋y21x21＋y21②x1x2＋y1y2＝0③x21＋y21x22＋y22已知a，b是两个单位向量，下列命题中错误的是() A．|a|＝|b|＝1B．a·b＝1C．当a，b反向时，a＋b＝0D．当a，b同向时，a＝b解：因为a，b是两个单位向量，即模为1的向量，对于A，有|a|＝|b|＝1，则A正确；对于B，a·b ＝|a||b|cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉，则B错误；对于C，当a，b反向时，有a＋b＝0，则C正确；对于D，当a，b同向时，有a＝b，则D正确．故选B．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝() A．4 B．3 C．2 D．0解：因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3．故选B．(长沙周南中学2018届高三三模)已知非零向量a，b，满足|a|＝22|b|，且(a＋b)·(3a－2b)＝0，则a与b的夹角为() A．π4B．π2C．3π4D．π解：非零向量a，b，满足|a|＝22|b|，且(a＋b)· (3a －2b)＝0，所以3a2＋a·b－2b2＝0，设a，b的夹角为θ，所以3|a|2＋|a|×|b|×cosθ－2|b|2＝0，所以3×12|b|2＋22|b|×|b|×cosθ－2|b|2＝0，所以cosθ＝22，θ＝π4，所以a与b的夹角为π4．故选A．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________． 解：|a ＋2b |＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝23．故填23．已知AB →＝(2，1)，点C (－1，0)，D (4，5)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________．解：因为点C (－1，0)，D (4，5)，所以CD →＝(5，5)，又AB →＝(2，1)，所以向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322．故填322．类型一 数量积的定义及几何意义(1)若a ，b ，c 均为非零向量，则下列说法正确的是____________．(填写序号即可)①a ·b ＝±||a ·||b ⇔a ∥b ； ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③a ·c ＝b ·c ⇔a ＝b ； ④(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )． 解：a ·b ＝||a ||b cos θ，θ为a ，b 的夹角，则 cos θ＝±1，①正确；②显然正确；③错误，如a ＝－b ，a ⊥c ，则a ·c ＝b ·c ＝0，但a ≠b ；④错误，因为数量积的运算结果是一个数，即等式左边为c 的倍数，等式右边为a 的倍数．故填①②． (2)△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC→方向上的投影为 ( ) A ．32 B ．32 C ．3 D．－32解：由已知可以知道，△ABC 的外接圆的圆心在线段BC 的中点O 处，因此△ABC 是直角三角形．且∠A ＝π2，又因为|OA →|＝|CA →|＝|OC →|，所以∠C＝π3，∠B ＝π6，所以AB ＝3，AC ＝1，故BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos π6＝32．故选A ．点 拨： 数量积a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2(其中两向量夹角为θ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))．其几何意义是：a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．在理解数量积与投影概念的基础上，利用二者的关系解题．(1) (2017·北京)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解：因为m ，n 是非零向量，所以m ·n ＝ |m |·|n |cos 〈m ，n 〉＜0的充要条件是cos 〈m ，n 〉＜0．因为λ＜0，则由m ＝λn 可知m ，n 的方向相反，〈m ，n 〉＝180°，所以cos 〈m ，n 〉 ＜0，所以“存在负数λ，使得m ＝λn ”可推得“m ·n ＜0”；而由“m ·n ＜0”，可推得“cos 〈m ，n 〉＜0”，但不一定推得“m ，n 的方向相反”，故不能推得“存在负数λ，使得m ＝λn ”．综上，“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件．故选A ．(2)(广东汕头潮南2018届高考冲刺改编)已知向量a ，b 满足|b |＝5，|a ＋b |＝4，|a －b |＝6，，则向量a 在向量b 方向上的投影为 ( )A ．1B ．－1C ．5D ．－5 解：由题意可得(a ＋b )2＝16，(a －b )2＝36，即a 2＋b 2＋2a ·b ＝16，a 2＋b 2－2a ·b ＝36，两式相减可得a ·b ＝－5，则向量a 在向量b 方向上的投影为 a ·b |b |＝－55＝－1．故选B ． 类型二 数量积的基本运算(1)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝ ( )A ．1B ．2C ．3D ．5解：由|a ＋b |＝10得a 2＋b 2＋2a ·b ＝10，① 由|a －b |＝6得a 2＋b 2－2a ·b ＝6，② ①－②得4a ·b ＝4，所以a ·b ＝1．故选A ．(2)已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量， a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则实数k 的值为________． 解：因为a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋(1－2k )(e 1·e 2)－2e 22，且|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝－12，所以k ＋(1－2k )·⎝⎛⎭⎫－12－2＝0，解得k ＝54．故填54．(3)(2018·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________．解：设A (a ，2a )(a >0)，则由圆心C 为AB 中点得C ⎝⎛⎭⎫a ＋52，a ，易得⊙C ：(x －5)(x －a )＋y (y －2a )＝0，与y ＝2x 联立解得点D 的横坐标x D ＝1，所以D (1，2)(或由AB →·CD →＝0及圆的几何性质知BD ⊥AD ，则l BD ：y ＝－12(x －5)，与y ＝2x 联立即可求得D (1，2))．所以AB →＝(5－a ，－2a )，CD →＝⎝⎛⎭⎫1－a ＋52，2－a ，由AB →·CD →＝0得(5－a )(1－a ＋52)＋(－2a )(2－a )＝0，a 2－2a －3＝0，a ＝3或a ＝－1，因为a >0，所以a ＝3．故填3．点 拨：平面向量数量积的四种运算方法：①定义法，要注意两个向量的夹角；②坐标法，引入直角坐标系，明确向量的坐标进行运算；③利用向量数量积的几何意义，注意一个向量在另一向量上的投影是数量；④运用平方的技巧．(1)已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13，则|b | 等于 ( )A ．5B ．4C ．3D ．1 解：向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13，则a ·b ＝|a ||b |cos120°＝－32|b |，|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2．所以13＝9－3|b |＋|b |2，则|b |＝ －1(舍去)或|b |＝4．故选B ．(2)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________．解：b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3e 21－2e 1·e 2－8e 22＝3－2×1×1×cos π3－8＝－6．故填－6．(3)(2017·浙江)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则 ( )A ．I 1<I 2<I 3B ．I 1<I 3<I 2C ．I 3<I 1<I 2D ．I 2<I 1<I 3 解：因为I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →，因为AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3， 所以OB →与CA →所成角为钝角， 所以I 1－I 2<0，即I 1<I 2． 因为I 1－I 3＝OA →·OB →－OC →·OD →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB －|OC →||OD →|·cos ∠COD＝cos ∠AOB (|OA →||OB →|－|OC →||OD →|)， 又∠AOB 为钝角，OA <OC ，OB <OD ， 所以I 1－I 3>0，即I 1>I 3． 所以I 3<I 1<I 2．故选C ．类型三 用数量积表示两个平面向量的垂直关系(1)(安徽定远重点中学2018届高三模拟)已知向量m ＝(－2，1)，n ＝(1，1)．若(m －2n )⊥ (a m ＋n )，则实数a ＝________． 解：向量m ＝(－2，1)，n ＝(1，1)，则m － 2n ＝(－4，－1)，a m ＋n ＝(－2a ＋1，a ＋1)， 又(m －2n )⊥(a m ＋n )，则(m －2n )·(a m ＋n )＝ －4×(－2a ＋1)＋(－1)×(a ＋1)＝0，解得a ＝57．故填57．(2)(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则 ( )A ．a ⊥bB ．|a |＝|b |C ．a ∥bD ．|a |＞|b |解：因为|a ＋b |＝|a －b |，所以(a ＋b )2＝(a －b )2，整理得4a ·b ＝0，所以a ⊥b ．故选A ．点 拨：两个非零向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，即：两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0．(1)(2018·北京)设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )，若a ⊥(m a －b )，则m ＝________． 解：因为a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )，所以 m a －b ＝(m ，0)－(－1，m )＝(m ＋1，－m )，由a ⊥ (m a －b )得a ·(m a －b )＝0，所以a ·(m a －b )＝m ＋ 1＝0，即m ＝－1．故填－1． (2)(2018·河南商丘高三二模)已知平面向量 a ＝(－1，2)，b ＝(k ，1)，且a ⊥b ，则a ＋b 在a 方向上的投影为 ( )A ． 5B ．2C ． 2D ．1 解：因为a ⊥b ，所以a ＋b 在a 方向上的投影为（a ＋b ）·a |a |＝a 2＋a ·b |a |＝55＝5．故选A ．1．平面向量的加法、减法及数乘运算的结果仍是一个向量，但是平面向量数量积运算的结果不是一个向量，而是一个实数．2．注意平面向量的数量积与数的乘法的区别 在数的乘法中，若ab ＝0，则a ，b 中至少有一个为0．但在向量的数量积中，由a ·b ＝0不能推得a ＝0或b ＝0，因为当两个非零向量a ，b 垂直时，也有a ·b ＝0．应注意平面向量的数量积不满足结合律，即(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )不一定成立．3．注意向量0与实数0的区别：0a ＝0≠0， a ＋(－a )＝0≠0，a ·0＝0≠0；0的方向是任意的，并非没有方向． 4．注意两个非零向量a ，b 的夹角与a ，b 所在直线的夹角的区别．前者的取值范围是[0，π]，后者的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π2． 5．求向量模的常用方法是利用公式||a 2＝a 2即|a |＝a 2将模的运算转化为向量的数量积．6．利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题，即只需将问题转化为向量形式，用向量的运算来求解．如果能够建立适当的直角坐标系，用向量的坐标运算往往更为简捷．1．(2018·四川高三春季诊断性测试)若向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4，1)共线，则m ·n ＝ ( )A ．0B ．4C ．－92D ．－172解：由条件可得2k －1－4k ＝0，k ＝－12，m ＝⎝⎛⎭⎫－2，－12，m ·n ＝－2×4－12＝－172．故选D ． 2．(2017·东北联考) 已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为 ( )A ．3π4B ．π4C ．π3D ．2π3解：因为(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，|a |＝|b |＝1，所以6a ·b －8＋5＝0，即a ·b ＝12．又a ·b ＝|a ||b |cos θ＝cos θ，所以cos θ＝12．因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3．故选C ．3．设a ，b 是非零向量，“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．若a ·b ＝|a ||b |，则cos 〈a ，b 〉＝1，即〈a ，b 〉＝0，可得a ∥b ；若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π，此时a ·b ＝|a ||b |或a ·b ＝－|a ||b |．故“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分而不必要条件．故选A ．4．(2018甘肃兰州高三二模)已知非零单位向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b －a 的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．π4D ．3π4解法一：设a 与b －a 的夹角为θ． 因为|a ＋b |＝|a －b |，所以|a ＋b |2＝|a －b |2，即|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，所以a ·b ＝0．因为a ，b 为非零单位向量，所以(b －a )2＝2，即|b －a |＝2．因为a ·(b －a )＝a ·b －a ·a ＝－1＝|a ||b －a |cos θ，所以cos θ＝－11×2＝－22，因为θ∈[0，π]，所以θ＝3π4．解法二：几何法．如图，|a ＋b |与|a －b |分别表示以a ，b 为邻边(共起点)的菱形两对角线长度，且长度相等，从而菱形为正方形，再作出b －a 知所求为3π4．解法三：坐标法．由|a ＋b |＝|a －b |得a ⊥b ，又a ，b 为单位向量，则在平面直角坐标系中取a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，则b －a ＝(－1，1)，由向量夹角的坐标运算知a 与b －a 的夹角为3π4．故选D ．5．(2018·上海黄浦高三二模)在给出的下列命题中，是假命题的是 ( )A ．设O 、A 、B 、C 是同一平面上的四个不同的点，若OA →＝m ·OB →＋(1－m )·OC →(m ∈R )，则点A 、B 、C 必共线B ．若向量a ，b 是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为c ＝ λa ＋μb (λ，μ∈R )，且表示方法是唯一的C ．已知平面向量OA →、OB →、OC →满足|OA →|＝ |OB →|＝|OC →|＝r (r >0)，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 是等边三角形D ．在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a ，b ，c ，d ，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直解：由OA →＝m ·OB →＋(1－m )·OC →⇒OA →－OC →＝m ·(OB →－OC →)⇒CA →＝m ·CB →，则A 、B 、C 必共线，故A 正确；由平面向量基本定理可知B 正确；对OA →＝－OB →－OC →两边平方得cos ∠BOC ＝－12，同理，所以∠AOC ＝∠BOC ＝∠AOB ＝120°，即△ABC 是等边三角形，故C 正确；令a ＝(0，1)，b ＝(0，2)，c ＝(1，0)，d ＝(2，0)，则(a ＋b )·(c ＋d )＝0，故D 错误．故选D ．6．(湖北黄冈2019届模拟)在△ABC 中，AB →·BC →＝0，|AB →|＝2，|BC →|＝23，D 为AC 的中点，则BD →·DA →＝ ( )A ．2B ．－2C ．2 3D ．－2 3解法一：由题意可得|BD →|＝|AD →|＝|AB →|＝2，所以△ABD 为等边三角形，所以∠ADB ＝60°，所以BD →·DA →＝|BD →|·|DA →|cos120°＝－2．解法二：依题意知AB ⊥BC ，则以B 为原点，BC →为x 轴正方向，BA →为y 轴正方向建立平面直角坐标系，则B (0，0)，A (0，2)，C (23，0)，由D 为AC的中点知D (3，1)，则BD →＝(3，1)，DA →＝(－3，1)．故BD →·DA →＝3×(－3)＋1＝－2．故选B ．7．(2018·湖南衡阳高三二模)如图，在正方形ABCD 中，AB ＝2，点E 为BC 的中点，点F 为CD 的中点，则AE →·BF →的值是________．解：由题得AE →·BF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋12BC →·⎝⎛⎭⎫BC →－12AB →＝AB →·BC →＋12BC →2－12AB →2－14AB →·BC →＝0＋2－2－0＝0．所以AE →·BF →＝0．另解：建立适当的平面直角坐标系，写出各点的坐标，从而用向量的坐标求解．故填0．8．(2018吉林长春高三质监三)已知菱形ABCD 的一条对角线BD 长为2，点E 满足AE →＝12ED →，点F为CD 的中点，若AD →·BE →＝－2，则CD →·AF →＝________．解：如图建立平面直角坐标系，设C (t ，0)，则A (－t ，0)，B (0，－1)，D (0，1)，E ⎝⎛⎭⎫－23t ，13，F ⎝⎛⎭⎫t 2，12，故AD →＝(t ，1)，BE →＝⎝⎛⎭⎫－23t ，43，CD →＝(－t ，1)， AF →＝⎝⎛⎭⎫3t 2，12．因为AD →·BE →＝－2，所以－23t 2＋43＝－2，解得t 2＝5，CD →·AF →＝－32t 2＋12＝－7．故填－7．9．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)．(1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )a ；(2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值； (3)求向量a 在b 方向上的投影．解：(1)因为a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，所以c ＝4a ＋b ＝(4，8)＋(2，－2)＝(6，6)． 所以b ·c ＝2×6－2×6＝0，所以(b ·c )a ＝0·a ＝0．(2)a ＋λb ＝(1，2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1，2－2λ)， 由于a ＋λb 与a 垂直，所以2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，所以λ＝52．(3)设向量a 与b 的夹角为θ，向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ．所以|a |cos θ＝a ·b |b |＝1×2＋2×（－2）22＋（－2）2＝－222＝－22． 10．已知平面向量a ，b 满足|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°．(1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |；(2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．解：由已知得，a ·b ＝4×8×⎝⎛⎭⎫－12＝－16． (1)①因为|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，所以|a ＋b |＝43．②因为|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，所以|4a －2b |＝163． (2)因为(a ＋2b )⊥(k a －b )，所以(a ＋2b )·(k a －b )＝0，所以k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0，解得k ＝－7． 即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．11．(湖北宜昌2018届高三适应性训练)在△ABC 中，AB ＝3AC ＝9，AC →·AB →＝AC →2，点P 是△ABC 所在平面内一点，则当P A →2＋PB →2＋PC →2取得最小值时，求P A →·BC →的值．解：由AC →·AB →＝AC →2，得AC →·CB →＝0， 所以BC →⊥AC →，即∠C ＝π2，则BC ＝AB 2－AC 2＝62．以C 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A (3，0)，B (0，62)，设P (x ，y )， 则P A →2＋PB →2＋PC →2＝(x －3)2＋y 2＋x 2＋(y －62)2＋x 2＋y 2＝3x 2－6x ＋3y 2－122y ＋81 ＝3[(x －1)2＋(y －22)2＋18]， 所以当x ＝1，y ＝22时取得最小值，此时P (1，22)，则P A →·BC →＝(2，－22)·(0，－62)＝24．(2018·河北唐山高三二模)在△ABC中，∠C ＝90°，|AB |＝6，点P 满足|CP |＝2，则P A →·PB →的最大值为 ( )A ．9B ．16C ．18D ．25解：取AB 的中点D ，连接CD ，令PC →与CD →的夹角为α．P A →·PB →＝(PC →＋CA →)·(PC →＋CB →)＝PC →2＋PC →·(CA →＋CB →)＋CA →·CB →＝22＋PC →·2CD →＝4＋2PC →·CD →＝ 4＋2|PC →||CD →|cos α＝4＋2×2×3cos α＝4＋12cos α，所以当α＝0时，P A →·PB →的最大值为16．故选B ．。
平面向量的数量积
∴ （a – b）·（a + 3 b）=0 即 a · a + 3 a· b – b · a – 3 b · b = 0 即 a · a + 2 a· b– 3 b · b = 0 ∴ (a + b)2 = 4 b2 即 | a + b |2 = 4 | b |2
∴|a+b| =2|b|
例2、已知a、b都是非零向量，且a + 3 b 与7 a – 5 b 垂直，a – 4 b 与7 a – 2 b垂 直，求a与b的夹角。 cosθ=
|
• • 特别地：a · a=| a |
2
或 |a|=
• （4）cosθ=
（5）| a· b|≤|a||b
|
3、平面向量的数量积满足的运算率 （1） (交换律） a ·b = b ·a （2）（实数与向量结合律）
（λ a ）· b =λ（a · b ）=a · （λb ）
（3）（分配律）（a + b ）· c =a· c+b· c
2 已知 |a| =12，|b| =9，a ·b =-54√2，求a和b 的夹角 3、已知△ABC中，a =5，b =8，C=600，求BC · CA
A
B C
4、已知 | a | =8，e是单位向量，当它们之间的夹 角为
三、典型例题
• 例1、 已知（a – b）⊥（a + 3 b），求 证： ab + b（ |= 23 |b b | 解：∵ （| a– ）⊥ a+ ）
四、巩固练习
1、已知△ABC中，AB=a，AC=b，当a· b<0, a· b=0时， △ABC各是什么样的图形？ 2、已知| a |=3，| b |=4，且a与b的夹角θ=1500，求a · b， ( a + b )2，| a + b | 3、设a是非零向量，且b ≠ c，求证：a · b=a· c的充要 条件是a⊥（b - c） 4、若b =（1，1）且a · b =0，（a – b）2=3，求向量a的模 5、证明： （λ a ）· b =λ（a · b ）=a · （λb ）
平面向量的数量积和向量积的角度
平面向量的数量积和向量积的角度平面向量的数量积和向量积是向量的两种重要运算，它们在数学和物理学中具有广泛的应用。
本文将介绍平面向量的数量积和向量积的概念、计算方法以及它们之间的关系。
一、平面向量的数量积平面向量的数量积也叫点积或内积，表示为两个向量的点乘结果。
设有两个向量a和b，它们的数量积记作a·b，计算方法为a·b = |a| |b| cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a和b之间的夹角。
数量积的计算方法可以看出，它是一个实数。
当两个向量夹角为锐角时，数量积的值为正；当夹角为直角时，数量积的值为零；当夹角为钝角时，数量积的值为负。
这一特点使得数量积在判断向量之间的夹角关系时非常有用。
数量积的应用广泛，其中一个典型的应用是计算向量的投影。
通过数量积，我们可以得到一个向量在另一个向量方向上的投影的长度。
这在物理学中特别重要，比如我们可以通过数量积计算物体在某一方向上的运动速度。
二、平面向量的向量积平面向量的向量积也叫叉积或外积，表示为两个向量的叉乘结果。
设有两个向量a和b，它们的向量积记作a×b，计算方法为|a×b| = |a| |b|sinθ n，其中|a×b|表示向量积的模长，θ表示a和b之间的夹角，n为垂直于a和b所在平面的单位向量。
向量积的计算方法可以看出，它是一个向量，方向垂直于原来的两个向量所在的平面。
向量积的模长等于两个向量模长的乘积与它们夹角的正弦值的乘积。
向量积也具有一些重要的应用。
例如，在物理学中，它可以用来求解力矩，力矩是一个向量，方向由向量积确定。
此外，向量积还可以用于求解平面的面积，通过向量积可以得到由两个向量所确定平面的面积。
三、平面向量的数量积和向量积的角度关系对于平面向量a和b，其数量积和向量积之间存在一定的角度关系。
设数量积的结果为N，向量积的结果为V，则有以下关系式：N = |a| |b| cosθ|V| = |a| |b| sinθ根据三角函数的定义，我们可以得到tanθ = |V| / N这说明向量积的模长和数量积之间的关系可以通过夹角的正切值来表示。
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C． 1 6
D． 1 6
5．平面向量 a 与 b 的夹角为 60°， a =（2，0），| b |=1，则| a +2 b |=（ ）
A． 3 B． 2 3 C．4 D．12
6．设 a (sin ,
3)
，
b
(cos ,
1)
，且
a
//
b
，则锐角
为（
）
3
3
A． 300 B． 600 C． 750 D． 450
(1)求 a, b 所成角的大小； (2)求 3a b 的值. 15．已知 O（0，0），A（2，0），B（0，2），C（cos ，sin ），且 0＜ ＜π． （1）若| OA OC | 7 ，求 OB 与 OC 的夹角；
（2）若 AC BC ，求 tan 的值．
a 1．若〈 ， b 〉=60°，| b |=4，( a +2 b )·( a ―3 b )=―72，则向量 a 的模是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
2．若向量 a =（1，2）， b =（1，―1），则 2 a + b 与 a ― b 的夹角等于（ ）
A． 4
B． 6
C． 4
D． 3 4
等于（ ）．
A．25 B． 25 C．50 D． 50
9．已知〈 a ， b 〉=30°，| a |=2，| b | 3 ，则向量 a 和向量 b 的数量积 a · b =____．
10.已知 a ， b 均为单位向量，〈 a ， b 〉=60°，那么| a +3 b |=
.
11.已知| a |=4，| b | 1 ，| a －2 b |=4,则 cos〈 a ， b 〉=
7.设 A(a,1) ，B(2, b) ，C(4,5) 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若 OA 与 OB 在 OC 方
向上的投影相同，则 a 与 b 满足的关系式为( ) A. 4a 5b 3 B. 5a 4b 3 C. 4a 5b 14
D. 5a 4b 14
8．平面上三点 A、B、C ，若| AB | 3,| BC | 4,| CA | 5 ，则 AB BC BC CA CA AB
.
12.设向量 a ，b ， c 满足 a + b + c =0,( a - b )⊥ c , a ⊥ b ,若| a |=1，则| a |2+| b |2+| c |2 的
值是
．
13．以原点和 A（5，2）为两个顶点作等腰 Rt△OAB，使∠B=90°，求点 B 和向量 AB 的坐
标
14．设向量 a,b 满足 a b 1 及 3a 2b 7
3．若| a |=1，| b |=2， c = a + b ，且 c ⊥ a ，则 a 与 b 的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
4．已知 a =（－3，2），b =（―1，0），向量 a + b 与 a ―2 b 垂直，则实数 的值为（ ）
A． 1 7
B． 1 7