平面向量的数量积
平面向量的数量积
泥土中……接着，一棵浅绿色鸡尾模样的贪婪巨大怪芽疯速膨胀起来……一簇簇浅绿色灵芝模样的僵死巨大枝叶疯速向外扩张……突然！一朵亮红色小鱼模样的炽热巨蕾恐怖
地钻了出来……随着紫葡萄色水母模样的狠毒巨花狂速盛开，无数淡橙色牛屎模样的变态花瓣和葱绿色花蕊飞一样伸向远方……突然，无数亮蓝色钉子模样的贪婪果实从巨花
斯玻爱杀手见月光妹妹快要追上，又急忙变成长着离奇牙齿的水青色古怪果冻朝东南方向飞去……月光妹妹笑道：“嘻嘻！又换一套马甲，我随便找出一件都比你们的强……
”月光妹妹一边说着一边变成长着怪异脑袋的锅底色超级闪电追了上去……只见女奴仆Ｙ．曼妍米依仙女和另外三个校精怪突然齐声怪叫着组成了一个巨大的蝴蝶缸须神！这
（a – 4 b ）· （7 a – 2 b ）=0
即 7a ·a + 16 a ·b – 15 b · b =0
7a ·a - 30 a · b + 8 b ·b =0
两式相减得：
2
a
·b
=
b
2，代入其中任一式中得:
2
a
2=
b
例3、求证：直径所对圆周角为直角
• 证明：设AC是圆O的一条直径，
C
∠ABC为圆周角，如图
2 已知 |a| =12，|b| =9，a · b =-54√2，求a和 b3的、夹已角知 △ A B C 中 ， a = 5 ， b = 8 ， C = 6 0 0 ， 求 BC · CA A
B
C
4、已知 | a | =8，e是单位向量，当它们之间的夹
角为
三、典型例题
• 例1、 已知（a – b）⊥（a + 3 b），求
神飞去，变成的巨大植物根基飞去，而月光妹妹则朝那伙校精的真身冲飞去……蝴蝶缸须神的所有果实和替身都被撞得粉碎！而巨大的植物已经被壮妞公主一顿肥拳猛腿弄得
平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
平面向量的数量积和向量积推导
平面向量的数量积和向量积推导平面向量的数量积和向量积是向量运算中常用的两个操作。
它们在几何学、物理学等领域中有广泛的应用。
本文将对平面向量的数量积和向量积进行推导和说明。
一、平面向量的数量积数量积（也称为点积或内积）是两个向量的乘积的数量表示。
设有两个平面向量a和b，它们的数量积为：a ·b = |a| * |b| * cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示a和b之间的夹角。
由此可见，数量积的结果是一个实数。
它有以下几个性质：1. 交换律：a · b = b · a2. 分配律：(a + b) · c = a · c + b · c3. 数乘结合律：(k * a) · b = k * (a · b) = a · (k * b)二、平面向量的向量积向量积（也称为叉积或外积）是两个向量的乘积的向量表示。
设有两个平面向量a和b，它们的向量积为：a ×b = |a| * |b| * sinθ * n其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示a和b之间的夹角，n表示与a和b均垂直的单位向量。
向量积的结果是一个向量，它的方向垂直于平面，由右手法则确定。
由此可见，向量积具有以下几个性质：1. 反交换律：a × b = - (b × a)2. 分配律：(a + b) × c = a × c + b × c3. 数乘结合律：(k * a) × b = k * (a × b) = a × (k * b)三、数量积和向量积之间的关系数量积和向量积之间存在一个重要的关系，即向量积的模长等于数量积的模长和夹角的正弦值的乘积：|a × b| = |a| * |b| * sinθ此外，还可以通过向量积来求得两个向量之间的夹角θ：cosθ = (a · b) / (|a| * |b|)四、应用举例1. 面积计算：对于平行四边形，以两边为相邻边的一条对角线为底，可以使用向量积求得其面积。
平面向量的数量积
平面向量的数量积
什么是平面向量的数量积？
平面向量的数量积，也被称为点积或内积，是指两个向量之间
的运算结果。
它通过将两个向量的对应分量相乘，并将乘积相加得
到一个标量值。
数量积的计算公式
假设有两个平面向量A和B，其坐标分别为(Ax, Ay)和(Bx, By)，则它们的数量积被定义为以下公式：
A ·
B = (Ax * Bx) + (Ay * By)
数量积的性质
交换律
两个向量的数量积满足交换律，即 A · B = B · A。
分配律
数量积满足分配律，即对于向量A和向量B，以及标量k，有
以下等式成立：
k(A · B) = k(Ax * Bx) + k(Ay * By)
数量积的意义
计算角度
通过数量积的计算公式，我们可以得到两个向量之间的夹角的
余弦值。
具体地，设向量A和向量B之间的夹角为θ，则有以下等
式成立：
cosθ = (A · B) / (|A| * |B|)
其中，|A| 和 |B| 分别表示向量A和向量B的长度。
因此，通过计算数量积，我们可以得到向量之间的夹角。
判断垂直与平行关系
若两个向量的数量积为0，则它们垂直；若两个向量的数量积
不为0且它们的长度相等，则它们平行。
该文档介绍了平面向量的数量积的定义、计算公式以及性质。
同时，说明了数量积在计算角度和判断垂直与平行关系方面的意义。
平面向量的数量积和点积
平面向量的数量积和点积在数学中，向量是用来表示有大小和方向的量的。
而平面向量是指在一个平面内的向量，它由两个实数（或复数）组成。
平面向量的数量积和点积是两个重要的概念，它们在向量运算中起着关键的作用。
一、平面向量的数量积平面向量的数量积，也称为内积或点积，表示了两个向量之间的夹角关系。
设有两个平面向量$\vec{a}=(x_1,y_1)$和$\vec{b}=(x_2,y_2)$，它们的数量积可以用如下公式表示：$$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2$$其中，$\cdot$表示数量积的运算符。
从公式中可以看出，数量积的结果是一个标量，即一个实数。
根据数量积的定义，我们可以得到一些重要的性质：1. 交换律：$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$，表示数量积满足交换律，与向量的顺序无关。
2. 分配律：$(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c} $，表示数量积满足分配律，可以按照矩阵乘法的性质进行运算。
二、点积与夹角的关系数量积不仅可以表示两个向量之间的夹角关系，还可以通过夹角的余弦值来计算数量积。
根据余弦定理，两个向量$\vec{a}$和$\vec{b}$之间的夹角$\theta$可以用下面的公式表示：$$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$$其中，$|\vec{a}|$和$|\vec{b}|$分别表示向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的模。
这个公式非常重要，因为它可以帮助我们计算向量的夹角，而不需要直接通过几何图形进行推导。
三、数量积的几何意义数量积还有一个重要的几何意义，它可以帮助我们计算向量之间的投影。
设有向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，以及它们之间的夹角$\theta$，那么$\vec{b}$在$\vec{a}$上的投影可以表示为：$$\text{proj}_\vec{a}\vec{b}=|\vec{b}|\cos\theta$$通过数量积的计算，我们可以轻松得到投影的结果。
平面向量数量积的概念及几何意义
平面向量数量积的概念及几何意义平面向量数量积是向量分析中一个重要的概念，也称为点乘或内积。
数量积是两个向量的乘积，其结果是一个标量数值。
本文将介绍平面向量数量积的概念及其几何意义。
平面向量数量积是指两个向量在共面情况下的乘积，也就是点乘运算。
若有两个向量，分别为a和b，则它们的数量积可以表示为a•b，其中a•b=|a|*|b|*cosθ，其中|a|和|b|分别为向量a和b的模长，θ为两个向量之间的夹角。
由此可以看出，数量积的结果是一个标量。
1.求夹角从数量积的定义式可以看出，两个向量的数量积是它们的模长和夹角的乘积。
由此，可以推导出两个向量之间的夹角θ=arccos(a•b/|a|*|b|)。
因此，通过数量积可以求出两个向量之间的夹角。
2.平面内向量正交当两个向量的数量积为0时，即a•b=0，此时两个向量互相垂直或正交。
这是因为cos90°=0，在这种情况下，数量积的结果是零，即两个向量之间的夹角为90°。
3.求投影设有向量a和向量b，向量a在向量b上的投影可以表示为|a|cosθ，其中θ为a和b两个向量之间的夹角。
因此，向量a在向量b上的投影可以表示为a•(b/|b|)，这表明向量a在向量b上的投影等于向量a与向量b的单位向量的数量积。
4.求面积对于一个平面内的三角形ABC，如果AB和AC分别表示为向量a和向量b，则三角形ABC 的面积可以表示为S=1/2|a|*|b|sinθ，其中θ为向量a和向量b之间的夹角。
这表明，可以借助数量积来求平面内三角形的面积。
以上四种几何意义，展示了平面向量数量积在向量分析中的重要性。
数量积往往用于推导和计算向量之间的夹角、向量在平面内的正交关系、向量在平面内的投影以及平面内三角形的面积等。
并且，数量积的结果是一个标量，与向量的方向没有关系，因此常用于求解平面内的问题。
平面向量的数量积和向量积的定义和性质
平面向量的数量积和向量积的定义和性质平面向量是代表有大小和方向的箭头，它可以用坐标表示。
在平面向量的运算中，数量积和向量积是两个重要的概念，它们分别有各自的定义和性质。
接下来将详细介绍平面向量的数量积和向量积，包括它们的定义、性质及应用。
一、数量积的定义和性质数量积又称为点积或内积，表示两个向量之间的乘积。
给定平面向量a和b，它们的数量积定义为a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ是a和b的夹角。
数量积是一个标量。
1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(c·a)·b = c·(a·b)3. a·a = |a|^2 ≥ 0，等号成立当且仅当a = 04. 如果a·b = 0，则称a和b垂直或正交。
5. 若θ是锐角，则a·b > 0；若θ是直角，则a·b = 0；若θ是钝角，则a·b < 0。
数量积的一个重要应用是求两个向量之间的夹角。
根据数量积的定义，可以得到夹角θ的公式：cosθ = a·b / (|a||b|)。
通过计算数量积可以求解两个向量之间的夹角大小。
二、向量积的定义和性质向量积又称为叉乘或外积，表示两个向量之间的叉积。
给定平面向量a和b，它们的向量积定义为a×b = |a||b|sinθn，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ是a和b的夹角，n是垂直于a和b构成的平面的单位法向量。
向量积是一个向量。
1. 反交换律：a×b = -b×a2. 分配律：a×(b+c) = a×b + a×c3. 若a和b共线或其中任意一个为零向量，则a×b = 0。
4. |a×b| = |a||b|sinθ，模长等于两个向量的模长和夹角的正弦值的乘积。
平面向量的数量积和数量积的性质
平面向量的数量积和数量积的性质在数学中，向量是具有大小和方向的物理量，常用于描述物体的位移和力的方向。
平面向量是指在平面上表示的向量，它由两个有序实数组成，并且可以在平面上进行运算。
其中，数量积是平面向量的一种重要的运算，它描述了两个向量之间的相对方向和大小关系。
一、平面向量的数量积的定义在平面上，设有两个向量a=(a1,a2)和a=(a1,a2)，其数量积表示为a·a。
根据向量的数量积的定义，可得：a·a=a1a1+a2a2二、平面向量的数量积的性质平面向量的数量积具有以下性质，下面将分别进行介绍。
性质一：交换律向量的数量积满足交换律，即a·a=a·a。
这是因为根据数量积的定义可知：a·a=a1a1+a2a2a·a=a1a1+a2a2对比两式，可以发现a·a和a·a的表达式是相同的，因此向量的数量积满足交换律。
性质二：分配律向量的数量积满足分配律，即a·(a+a)=a·a+a·a，其中a和a为平面上的两个向量。
这一性质可以用如下方式证明：设向量a=(a1,a2)，a=(a1,a2)，a=(a1,a2)，则有：左边=a·(a+a)=(a1,a2)·[(a1+a1),(a2+a2)]=a1(a1+a1)+a2(a2+a2)=a1a1+a1a1+a2a2+a2a2右边=a·a+a·a=a1a1+a2a2+a1a1+a2a2左边=右边，根据向量的数量积的定义可知，分配律成立。
性质三：数量积与向量的夹角向量的数量积与向量的夹角有一定的关系。
设向量a=(a1,a2)和a=(a1,a2)，它们之间的夹角记为a，且a∈[0,a]。
则有：a·a=a1a1+a2a2=|a||a|cos a其中|a|和|a|分别表示向量a和a的模，cos a表示a的余弦值。
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平面向量的数量积
一．选择题：
1.在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ⋅= ( ) A ．23-
B ．3
2
- C ．32 D ．23
2.已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ）
A. －1
B. 1
C. －2
D. 2
3．若,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥ ，则a 与b 的夹角是（ ）
A ．
6π B ．3π C ．32π D ．65π
4、若向量a =),sin ,(cos θθb =(1，－1)，则|2a b -|的取值范围是( ) (A)]22,22[+
- (B)]2,0[ (C)]2,0[ (D)[1,3]
5.（选）已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向
量
1)(cos sin )A A =-=，，m n ．若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A B
，的大小分别为（ ） A ．ππ
63
，
B ．
2ππ36
， C ．ππ36， D ．ππ33
，
二．填空题：
1、如图，半圆的直径6AB =，O 为圆心，C 为半圆 上不同于A B 、的任意一点，若P 为半径OC 上的动 点，则()PA PB PC +⋅的最小值是__________．
2．已知)1,2(=a
与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________。
3.（选）已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足()0b a b -=，则||b 的取值范围是 。
三．解答题；
1． △ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，向量m =(2sinB ，2-cos2B)，
2(2sin (),1)42
B
n π=+ ,m ⊥n ,
(I)
求角B 的大小；
O
P C B
A
第13题图
(Ⅱ)若a =b=1，求c 的值．
2．已知向量m 4x ，1），n ＝(cos 4x ，2cos 4x )。
（I ） 若m •n=1,求2cos()3
x π
-的值;
（II ） 记f(x)=m •n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a,b,c ，且满足
（2a-c ）cosB=bcosC ，求函数f(A)的取值范围。
3.（选）设向量),1,2(),2cos ,1(==θ)1,sin 2
1(),1,sin 4(θθ==，其中)4
,0(π
θ∈.
（1）求⋅-⋅的取值范围；
（2）若函数)()(|,1|)(d c f b a f x x f ⋅⋅-=与比较的大小.
答案：
一． DABAC
二．-18 -4/5 [01]， 三.1.解(I)
20,4sin sin ()cos 22042
m n m n B B ππ
⊥∴⋅=∴⋅++-= ，
222sin [1cos()]cos 220,2sin 2sin 12sin 0
21
sin 2
b B B B B B B π
-++-=∴++-=∴=
5
0,66
B B π
ππ<<∴=
或 (Ⅱ)
a 3,6
b B π
=>∴=
此时
方法一：由余弦定理得
2222
2cos 320,21
b a
c a B
c c c c =+-∴-+=∴==或
方法二：由正弦定理得
,sin sin 12,sin 0,1sin 2332
b a
B A A A A A ππππ=∴
=∴=<<∴=或， 若,,2;3
6
2
A B c π
π
π
=
=
∴=，因为所以角C=
边
22b,1
3366
c 2c 1
A c c πππππ=--=∴=∴===若，则角C=，边综上或
2. 解：
（I ）m •n 2
cos cos 444
x
x x +
=
11cos 22222
x x ++
=1
sin()262
x π++
∵m •n =1
∴1
sin()262x π+=
2cos()12sin ()326
x x ππ
+=-+
=1
2
21
cos()cos()332
x x ππ-=-+=-
（II ）∵（2a-c ）cosB=bcosC
由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -= ∴2sin sin cos sin cos AcosB C B B C -=
∴2sin cos sin()A B B C =+ ∵A B C π++=
∴sin()sin B C A +=，且sin 0A ≠
∴1cos ,23B B π
==
∴203
A π
<<
∴1,sin()16262226
A A ππππ
<+<<+< 又∵f(x)=m •n ＝1
sin()262
x π++，
∴f(A)=1
sin()262
A π++
故函数f(A)的取值范围是（1,3
2
）
3．解：（1）∵22cos 2 2sin 12cos 2a b c d ⋅=+⋅=+=-θθθ，
， ∴2cos 2a b c d ⋅-⋅=θ， ∵04
<<
π
θ，∴022
<<
π
θ，∴02cos22<<θ，
∴(0,2)a b c d ⋅-⋅的取值范围是
（2）∵2
()|2cos 21||1cos 2|2cos f a b ⋅=+-=+=θθθ，
2()|2cos 21||1cos 2|2sin f c d ⋅=--=-=θθθ，
∴22
()()2(cos sin )2cos 2f a b f c d ⋅-⋅=-=θθθ，
∵04
<<π
θ，∴022
<<
π
θ，∴2cos20>θ，∴()()f a b f c d ⋅>⋅。