回归分析与协方差分析

把这些数据点(xi, yj )画在xoy坐标系中，图形 称为散点图。
* *
* * * *
L
散点图
记L为
y a bx
yi ( a bxi ) i
进行n次独立试验，测得数据如下：
X Y
x1 y1
x2 y2

xn yn
我们的问题是，如何根据这些观测值用“最 佳的”形式来表达变量Y与X之间的相关关系？ 一般而言，在变量x取值以后，若Y所取 的值服从N (α+βx,σ2)分布，当α、β及σ2 未知时，根据样本(x1,Y1),(x2,Y2),…,(xn,Yn)的 观测值(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn) 对未知参数α、 β及σ2所作的估计与检验称为一元线性回归 分析，而α称为截距，β称为回归系数， E(Y)＝α+βx 称为回归方程。
i
x )Yi
l xx
,
SSE [Yi (a bxi )] ,
2 i 1
n
ˆ Y a bx Y b( x x ),
ˆ Yi Y b( xi x ).
这些统计量之间以及它们与总体参数之间 有以下的内在联系：
(1)Y , b与SSE相互独立； (2) E (b) , E (a ) , 2 2 1 x 2 D(b) , D(a ) ( ) ; l xx n l xx
2
3. 线性回归方程的显著性检验 因此，必须对回归方程的拟合情况或效果 作显著性检验。 其理论基础就是总平方和的分解，即
( y
i 1
n
i
ˆ ˆ y) ( yi yi ) ( yi y) .
2 2 2 i 1 i 1
n
n
ˆ ˆ ( y i y ) [( y i y i ) ( y i y )]
r
l xy
,r
2
l
2 xy
,
当F≥F1-α(1,n-2)或|r|≥rα(n-2)时应该放 弃原假设H0，式中的 F1 (1, n 2) r ( n 2) F1 (1, n 2) ( n 2)
可由r检验用表中查出。
r
2
因此，r常常用来表示x与Y的线性关系在x 与Y的全部关系中所占的百分比，又称为x 与Y的观测值的决定系数。
i 1 n i i i i 1 n i i i 1 n
n
i
y)
[ y i ( y bx ) bx i ][b( x i x )] b( x i x )( y i y ) b ( x i x )
2 n 2 i 1 i 1
bl xy b l xx 0.
并求出
n
b
l xy l xx
, a y bx ,
n
l xx
1 n 2 2 2 ( x i x ) x i ( x i ) , n i 1 i 1 i 1
n i 1 n
l xy ( x i x )( y i y )
n 1 n x i y i ( x i )( y i ), n i 1 i 1 i 1
l yy
1 n 2 2 2 ( y i y ) y i ( y i ) . n i 1 i 1 i 1
n n n
n
n
建立一元线性回归方程的具体步骤：
(1)计 算 x i， y i , x ,
y ， x
i 1 2 i i 1
i 1 n
i 1 n

可以导出
t
Z SSE 1 ( x0 x ) (1 ) n2 n l xx
2
~ t ( n 2).
因此，Y0的1-α预测区间为 a+bx0±Δ(x0)，
SSE 1 ( x0 x ) ( x 0 ) t10.5 ( n 2) (1 ). n2 n l xx
由回归方程可以推出
Yi x i i , ( i 1,2,, n)
式中的 i 相互独立且都 N (0, ). ~
2
根据样本及其观测值可以得到α、β及 2的估计量及估计值 , 和 2， ˆ ˆ ˆ σ 得到回归方程的估计式或经验回归方程
ˆ ˆ ˆ y x ,
得到一元线性回归的正规方程组
n n
y i a b x i 0, i 1 i 1 i 1 n n n x i y i axi b x i2 0, i 1 i 1 i 1
n n n
na b x i y i , i 1 i 1 n n n a x i b x i2 x i y i , i 1 i 1 i 1
最常用的是最小二乘法，即求出
ˆ ˆ ˆ a, b及yi a bxi 使
ˆ Q ( yi yi )
i 1 n i 1 n 2
[ y i (a bxi )]
2
的值最小，所求出的a称为经验截距，简称 为截距，b称为经验回归系数，简称为回归 系数，而

①为提高a的估计精度，最理想的选择是 使 x ＝0，其绝对值越小越好； ②为提高b的估计精度，应该使lxx 取较大 的数值，x1、x2、…、xn越分散越好； ③观测值的个数n不能太小。
(3) E( SSE ) (n 2) , SSE 2 2 ˆ 即 是 的无偏估计； n2 ˆ (4)b和a以及Y都服从正态分布， SSE 2 而 2 ~ ( n 2).
内容
§9.1
一元线性回归
学习目标
散点图, 回归系数, 正规方程, 经验 回归方程；回归平方和,剩余平方和, 相关系数, 显著性检验.
§9.1
一元线性回归
1. 一元线性回归的基本概念 不确定关系 人的身高 体重
农作物的单位面积产量 施肥量
线性模型
例 为了研究弹簧悬挂不同重量(单位：克力) x时长度(单位：厘米)y的关系。通过试验得到 一组数据。 重量xi 5 10 15 20 25 30 长度yj 7.25 8.12 8.95 9.90 10.90 11.80
⑴ F检验法：
当H0为真时，
SSE
SSR

2
2
~ 2 ( n 2),
2

~ ( 1 );
且SSR与SSE相互独立；因此，当H0为真时，
SSR F ~ F (1, n 2), SSE ( n 2)
当F≥F1-α(1,n-2)时应该放弃原假设H0。
(2)t检验法：
b ~ N ( ,
2 2
2
i 1
SSE SST bl xy .
SSE SST bl xy 2 2 l xy l xy l yy l yy 1 l xx l yy l xx

现引进r
2
l
2 xy
l xx l yy
,r
l xy l xx l yy
.
如果|r|较大，SSE的数值便比较小，说明 回归的效果好或者说x与Y的线性关系密切； 如果|r|较小，SSE的数值便比较大，说明回 归的效果差或者说x与Y的线性关系不密切； 因此称r为x与Y的观测值的相关系数。 又由r及回归系数的计算公式
b
l xy l xx
,
可以推出：r>0时b>0，x增加时Y的观测值 呈增加的趋势；r<0时b<0，x增加时Y的观测 值呈减少的趋势。因此r>0时称x与Y正相关， r<0时称x与Y负相关。 综上所述，如果设H0为β＝0，也就是假设 x与Y不是线性关系，则可以用以下三种实质 相同的方法检验线性回归方程的显著性，且 当检验的结果显著时x与Y的线性关系显著， 回归方程可供应用；当检验的结果不显著时 x与Y的线性关系不显著，回归方程不可应用。
Q 2 ˆ 是 的无偏估计。 n2
2
2. 总体中未知参数的估计 根据最小二乘法的要求由
Q Q 0, 0, 得 a b
n
2 [ y i (a bx i )] 0, i 1 n 2 [ y i (a bx i )] x i 0, i 1
2
( y
i 1
n
i
ˆ ˆ y) ( yi yi ) ( yi y) .
2 2 2 i 1 i 1
n
n
式中的l yy ( y i y )
i 1
n
2
表示n个y1、y2、…、yn与 y 之间的差异，当 各个yi已知时，它是一个定值，称为总平方 和，记作SST。

2
l xx
),
SSE

2
~ 2 (n 2),
当H0为真时，
l xx t b ~ T (n 2), SSE (n 2)
当|t|≥t1-0.5α(n-2)时应该放弃原假设H0。
根据x与Y的观测值的相关系数 (3)r检验法：
l xx l yy SSR 2 可以推出 r . SST 当H0为真时， 2 r F ~ F (1, n 2), 2 (1 r ) ( n 2) l xx l yy
因此，SST＝SSE+SSR。 如果SSR的数值较大，SSE的数值便比较 小，说明回归的效果好；如果SSR的数值 较小，SSE的数值便比较大，说明回归的 效果差。
ˆ SSR ( y i y ) 2 (a bx i y )
i n1 i 1 n i 1 n 2
n
( y bx bx i y ) 2 b ( x i x ) b l xx bl xy ,
2
例1.1《吸附方程》某种物质在不同温度下可 以吸附另一种物质，如果温度x(单位：℃)与 吸附重量Y(单位：mg)的观测值如下表所示：