新高一初高中数学衔接课程课件第十一讲：函数的表示
初升高衔接教材高一预科班数学《第十一讲 函数的概念及表示》
第十一讲 函数的概念及表示课时达标1.下列各组函数中，表示同一函数的是A xx y y ==,1 B .y=x+2 y=x 2-4x-2C .33,x y x y == D.()2,x y x y ==2. 函数y =）A )43,21(- B ]43,21[-C.),43[]21,(+∞⋃-∞ D.),0()0,21(+∞⋃-3. 已知⎩⎨⎧<+≥-=)6()2()6(5)(x x f x x x f ，则f(3)为（ ）A. 2 B . 3 C . 4 D . 5 4. 已知函数11)(22-+-=x x x f 的定义域是（ ）A.[－1，1]B.{－1，1}C.（－1，1） D .),1[]1,(+∞--∞5. 在映射中B A f →:，},|),{(R y x y x B A ∈==，且),(),(:y x y x y x f +-→，则与A 中的元素)2,1(-对应的B 中的元素为（）A.)1,3(-B.)3,1(C.)3,1(--D.)1,3(6.已知f(x)=x 2+1,则f(3x+2)=____________. 思维升华7. 下列各函数中，表示同一函数的有 （ ）组 (1)()2x y x y ==与, (2)2x y x y ==与, (3)1122+=+=t y x y 与(4)1112++-==x x y x y 与, (5)()1112-=-∙+=x y x x y 与A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组 8. 已知函数23212---=x x xy 的定义域为（ ） A ．]1,(-∞B ．]2,(-∞C.]1,21()21,(-⋂--∞ D ．]1,21()21,(-⋃--∞9.若{}{}0,1,2,3,|3,A B x x a a A ===∈，则A B ⋂= ( ) A.｛1,2｝ B ｛0,1｝ C.｛0,3｝ D.｛3｝10. 已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是A . x =60tB .x =60t +50tC x =⎩⎨⎧>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t tD .x =⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150)5.20(,60t t t t t 11. 用长为L 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数式y =f (x )，并写出它的定义域.12. 某商家有一种商品，成本费为a 元，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2．4%，如果月末售出可获利120元，但要付保管费5元，试就 a 的取值说明这种商品是月初售出好，还是月末售出好？13. 求函数()51422-+-=x x x f 的定义域.14.已知函数f(x)=x 2+ax+b,满足f(1)=f(2)=0,则 （1）求a 、b 的值； （2）求f(-1)的值 创新探究15.对于函数f(x),若存在x 0∈R,使得f(x 0)= x 0,则点（x 0，x 0）称为函数的不动点. （1）若函数f(x)=ax 2+bx-b 有两个不动点（1，1）、（3，3），求a 、b 的值；（2）对于任意的两个实数b,都有f(x)=ax 2+bx-b 有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围.16. 某商品在近30天内每件的销售价格p （时间t （天）的函数关系是20,025,,100,2530,.t t t N p t t t N +<<∈⎧=⎨-+≤≤∈⎩该商品的日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系是40+-=t Q ),300(N t t ∈≤<，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？17. 设x 1,x 2是关于x 的一元二次方程x 2-2(m-1)x+m+1=0的两个实根，又y=x 21+x 22，求y=f(m)的解析式及此函数的定义域.18.已知全集为R ，函数f(x)= 2x1-2x 的定义域为集合A ，集合B=｛x ︱x(x-6)＞6｝,求A ∩C R B.19.求下列函数的解析式：（1）已知x f x f 4)21(2)(3=+,求 f(x)（2）已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 求f(x)的解析式.20. 将进货单价40元的商品按50元一个出售时能卖出500个，若每涨价1元，其销售量就减少10个，为赚得最大利润，则销售价应为多少？21. 企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R (x )=5x －21x 2(万元)(0≤x ≤5),其中x 是产品售出的数量(单位：百台)(1)把利润表示为年产量的函数； (2)年产量多少时，企业所得的利润最大？ (3)年产量多少时，企业才不亏本？第十一讲 函数的概念及表示同步提升训练参考答案课时达标 1.答案：C解析：两个函数为同一个函数要求定义域和对应法则完全相同，由此判断可知C 正确. 2.答案：B.解析：要求函数有意义，必须满足2x+1≥0;3-4x ≥0,由此可得－12≤x ≤34,故选B.3.答案：A解析：此题为分段函数要选择对应表达式来代入，由f(3)=f(5)=f(7)=7-5=2. 4.答案：B解析：要使此函数有意义，必须满足1-x 2≥0,同时满足x 2-1≥0,由交集可知答案为{－1，1}. 5答案：A解析：由所给的x =－1,y=2可知x-y=-3;x+y=1. 6.答案：9x 2+12x+5解析：利用函数自变量的对应关系，将3x+2作为整体代入即可. 思维创新 7.答案：A解析：两个函数完全相同，则定义域和解析式要完全相同，只有（3），其余（1）（2）（4）(5)的定义域不同. 8.答案：D解析：要使此函数有意义，需满足两个条件，1-x ≥0,且2x 2-3x-2≠0,通过计算可知答案为D. 9.答案：C解析：由所给的集合{}{}0,1,2,3,|3,A B x x a a A ===∈和B 集合对应的函数关系可知B=｛0,3,6,9｝，故选C. 10.答案：D解析：由题意的描述所列的表达式为一分段函数，列出算式化简可知答案为D.11. 分析：此题的已知是函数的题意，要利用周长的关系设出未知数x 表示并求解. 解：由已知，得 AB=2x , CD =πx ,于是AD=22x x L π--， 因此，y =2x · 22x x L π--+22xπ， 即y =Lx x ++-224π. 由⎪⎩⎪⎨⎧>-->02202x x L x π，得0<x <,2+πL 函数的定义域为（0，2+πL） 12. 分析：此题为一实际问题要结合题设来列式，而比较那种方式的利润较大，可通过做差比较的方法来实现.解：由已知商品的成本费为a 元，则若月初售出，到月末共获利润为： y 1=100+（a +100）×2.4% =0.024 a +102.4若月末售出，可获利y 2=120－5=115（元） y 1－y 2=0.024a －12.6=0.024（a －525） 故当成本a 大于525元时，月初售出好； 当成本a 小于525元时，月末售出好； 当成本a 等于525元时，月初、月末售出获利相同.13. 分析：要求函数的定义域，需要函数的解析式有意义，对此题目来说，首先要求根式和分式函数都要有意义，然后展开计算.解：要使函数有意义，需要满足x 2－4≥0且x 2－5≠0,由此求解可得定义域为：{}5,,52,25,5<<≤-≤<--<x x x x x 或或或14.分析：此题要用所给的函数值求表达式，再求值.解：(1)由所给的函数表达式f(x)=x 2+ax+b 可知， F(1)=1+a+b =0 ； f(2)=4+2a+b=0 ∴a=-3 ,b=2则有：f(x)= x 2－3x+2 (2)由f(x)= x 2－3x+2可知 F(-1)=（-1）2－3（－1）+2=6 创新探究15.分析：此题为一信息题，需要结合题目的描述来列式，再利用初中所学的二次函数知识来求解. 解：（1）由函数f(x)=ax 2+bx-b 有两个不动点（1，1）和（3，3）点以函数不动点的定义可知，不动点就是满足ax 2+bx-b=x 的点则有a+b-b=1且9a+3b-b=3∴a=1,b =－3(2)由函数f(x)=ax 2+bx-b 有两个不动点，从而方程ax 2+bx-b=x 总有两个不相等的实数根. ∴⊿=（b －1）2+4ab ＞0恒成立令g(b)=b 2+(4a-2)b+1,则⊿＞0变为g(b)＞0 则g(b)中的⊿1=（4a-2）2-4＜0 ∴ 0＜a ＜116.分析：此题所给函数为一分段函数，我们要根据已知，然后在各段里求最值，比较得到答案. 解：设日销售金额为y （元），则y =p ⋅Q ．2220800,1404000,t t y t t ⎧-++⎪∴=⎨-+⎪⎩ 025,,2530,.t t N t t N <<∈≤≤∈ 22(10)900,(70)900,t t ⎧--+⎪=⎨--⎪⎩ 025,,2530,.t t N t t N <<∈≤≤∈ 当N t t ∈<<,250，t =10时，900max =y (元)；当N t t ∈≤≤,3025，t=25时，1125max =y （元）．由1125>900，知y max =1125（元），且第25天，日销售额最大. 17. 分析：此题要充分的利用根与系数的关系来代换求解.解：∵x 1,x 2是x 2-2(m-1)x+m+1=0的两个实根，∴ ∆=4（m-1）2-4(m+1)≥0, 解得m 0≤或m ≥3. 又∵x 1+x 2=2(m-1), x 1·x 2=2(m-1),x 1·x 2=m+1,y=f(m)=x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=4m 2-10m+2, 即:y=f(m)=4m 2-10m+2(m ≤0或m ≥3)18.分析：此题要利用函数求定义域，再结合集合的运算来完成. 解：由f(x)= f(x)= 2x1-2x 的定义域要满足1-2x ＞0即定义域A=｛X ︱X ＜12｝又由B=｛x ︱x ＞3或x ＜-2｝ ∴C R B=｛x ︱－2≤x ≤3｝∴A ∩C R B=｛x ︱－2≤x ＜12｝19.分析：此题是对函数解析式的求解的两种类型，结合题目的特点，可知（1）我们应采取消去法消去f(1x ),(2)已知函数类型，可用待定系数法.（1）解：由已知可得x f x f 4)21(2)(3=+用x 1换x 得到等式3)1(x f +2f(x)= x 4联立两方程可求解出f(x)= xx 58512-（2）设f(x)=ax+b (a ≠0) 由条件得：3[a(x+1)+b]-2[a (x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17 ∴ a=2 ∴ 5a+b=17 ∴a=2,b=7 ∴f(x)=2x+720.分析：此题为实际问题，要结合题设来列式，并利用配方来求最值来回答实际问题. 解： 设销售价为50+x ，利润为y 元， 则y=(500-10x)(50+x-40)=-10(x-20)2+9000,∴当x=20时,y 取得最大值，即为赚得最大利润，则销售价应为70元.21.分析：此题为实际问题应用的一道综合题，要结合题目说明来列式并求值应用. 解：(1）利润y 是指生产数量x 的产品售出后的总收入R (x )与其总成本C (x )x ≤5时，产品能全部售出，当x >5时，只能销售500台，所以y =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-⨯-⨯≤≤+--)1( 25.012)50(5.02175.4)5)(25.05.0()52155()50)(25.05.0(215222x x x x x x x x x x x (2）在0≤x ≤5时，y =－21x 2+4.75x －0.5,当x =－ab2=4.75(百台）时，y max =10.78125(万元），当x >5(百台）时，y ＜12－0.25×5=10.75(所以当生产475台时，利润最大.(3）要使企业不亏本，即要求⎩⎨⎧≥->⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤025.012505.075.421502x x x x x 或解得5≥x ≥4.75－5625.21≈0.1(百台）或5＜x ＜48(百台）时，即企业年产量在10台到4800台之间时，企业不亏本.。
高一数学函数的概念PPT课件
作业
1. 若f(0)=1 , f(n)=nf(n－1), n N
求f(4).
2. 若f(x)=ax2－ 2 ,且 f f( 2) 2,
求a.
3. 已知g(x)=1－2x,
f g (x)1 x2 x2(x0 ),求 f(1 2).
；脂美 / 脂美 超刀美盾 / 超刀美盾 水光美宝 / 水光美宝 ；
(2)
求倒数111 Nhomakorabea2 A 3
2
1
B
3
41
4
(3)
定义
给定两个非空数集A和B,如果按 照某个对应关系f ,对于A中的任何一 个数x, 在集合B中都存在唯一确定的 数 f (x) 与之对应, 那么就把对应关系 f叫做定义在A的函数.
记作: f:A→B 或 y= f (x) x∈A.
其中,x叫做自变量, 集合A叫做定义域,
?
设在一个变化过程中有两个变量 x与y, 如果对于x的每一个值, y都有 唯一的值与它对应, 那么就说 y是 x 的函数. x叫做自变量. 思考: (1) y=1(x∈R)是函数吗？
(2) y=x与y= x 2 是同一函数吗？
x
乘2
1
1 A
2
2 3 4B
35
6
平方
1
－1
1
A2
－2
4
3
B
－3
9
(1)
时的函数值.
集合表示 区间表示 数轴表示
{x a＜x＜b} (a , b)
。。
{x a≤x≤b}
[a , b]
..
{x a≤x＜b} {x a＜x≤b}
{x x＜a} {x x≤a} {x x＞b}
初高中数学衔接函数ppt课件
12
例 7.已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到 x 轴的距离等于 2，
求此二次函数的表达式．
解解：：法法一二 ∵∵二二次次函函数数的的图图象象过过点点((－－33，，00))，，((11，，0)0，)， ∴对称轴为直线 x 1． ∴又可顶设点二到次x函轴数的为距y离为a2(x， 3∴)(x顶点1)的(a纵坐0标) ，为即2 或y －a2x．2 2ax 3a .
7
四、二次函数
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 的函数叫做x的二次函数.
2.定义要点:
(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a≠0.
(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数 项,但不能没有二次项.
3.几种不同表示形式:
y k x
y k x
o
x
o
x
驶向胜利 பைடு நூலகம்彼岸
• (4).图象的发展趋势 反比例函数的图象无限接近
于x,y轴,但永远达不到x,y轴,画图象时,要体现出这
个特点.
• (5).对称性 反比例函数的图象是关于原点成中心
对称的图形.
6
画出下列反比例函数图象
1.
y6 x
y6
2.
x
3.
y3 x
4.
y3 x
15
练习：
1、抛物线 y 4x2 3 的对称轴及顶点坐标分
别是（ D ） A、y轴，（０，-4） B、x＝３，（０，４） C、x轴，（０，０） D、y轴， （０，３）
2、二次函数 y (x 1)2 2 图象的顶点坐标
高一数学ppt课件函数
有界性
函数在其定义域内有最 大值和最小值。
周期性
函数在其定义域内每隔 一定周期重复出现。
对称性
函数图像关于某条直线 对称。
02
函数的分类
一次函数
01
02
03
04
一次函数是函数的一种，其图 像为一条直线。
一次函数的一般形式为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数
，且 a ≠ 0。
一次函数的图像会根据 a 和 b 的值变化，当 a > 0 时，函 数为增函数；当 a < 0 时，
在物理学中，许多基本定律和定 理都是通过函数来表达的，如牛
顿第二定律和万有引力定律。
化学反应的动力学
在化学反应动力学中，反应速率 与反应物浓度的关系通常可以用 函数来表示，如指数函数和双曲
线函数。
生物学的生长模型
在生物学中，许多生物体的生长 和繁殖规律可以用函数来描述， 如指数增长和逻辑斯蒂增长模型
函数为减函数。
一次函数在数学、物理和工程 等领域有广泛应用。
二次函数
二次函数的一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
二次函数的图像会根据 a 的值变化， 当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
二次函数的图像是一个抛物线，其顶 点坐标可以通过公式 (-b/2a, cb^2/4a) 计算得出。
三角函数
三角函数包括正弦函数、余弦 函数和正切函数等。
三角函数的图像是周期性的波 形曲线。
三角函数的性质包括周期性、 奇偶性和振幅等，对于不同的 函数表达式有不同的性质。
三角函数在解决实际问题如振 动、波动和交流电等方面有广 泛应用。
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偶函数
如果对于函数$f(x)$的定 义域内任意$x$，都有$f(x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶 函数。
奇偶性的判断
可以通过计算$f(-x)$并与 $f(x)$进行比较，来判断 函数的奇偶性。
函数的单调性
单调递增
单调性的判断
如果对于函数$f(x)$的定义域内的任 意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，则称$f(x)$在定义域内单调 递增。
观地了解它们的性质。
02
反函数和对数函数的性质
反函数和对数函数都有其独特的性质，例如反函数的对称性和对数函数
的单调性等。这些性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
03
反函数和对数函数的应用
在实际问题中，反函数和对数函数的应用非常广泛，例如在科学计算、
工程技术和金融领域中都有广泛的应用。
06
函数的实际应用
二次函数性质
函数的图像是一个抛物线，开口方 向由a决定（a>0向上，a<0向下 ），对称轴为x=-b/2a。
二次函数的应用
在现实生活中，二次函数的应用也 非常广泛，如物体自由落体运动、 抛射运动等。
一次函数和二次函数的图像和性质
图像绘制
通过描点法或解析法可以绘制出一次函数和二次函数的图像。
性质分析
可以通过计算$f(x_1) - f(x_2)$的值， 并判断其符号，来判断函数的单调性 。
单调递减
如果对于函数$f(x)$的定义域内的任 意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称$f(x)$在定义域内单调 递减。
函数的周期性
周期函数
如果存在一个非零常数$T$，使 得对于函数$f(x)$的定义域内的 任意$x$，都有$f(x+T) = f(x)$ ，则称$f(x)$为周期函数，$T$
【完整】高一数学函数的表示法资料PPT
设里程为x公里，票价为y元，则
2,0 x 5,
y
3 , 5 x 1 0 ,
4
,
1
0
x
15,
5 , 1 5 x 2 0 .
思考3:该函数用列表法怎样表示？
里程x （公里）
票价y （元）
（0，5] 2
（5，10] （10，15] （15，20]
3
4
5
知识探究（二）
下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六 次数学测试的成绩及班级平均分表：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
王 伟 98 87 91 92 88 95 张 城 90 76 88 75 86 80 赵 磊 68 65 73 72 75 82 班平分 88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6
思考4:试根据图象对这三位同学在高一
学年度的数学学习情况做一个分析.
y
王伟
100
90
平均分
80
张
70 赵磊
城
60
O
1 2 3 4 56x
王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情
况比较稳定而且成绩优秀；张城同学的数学成绩不稳定， 总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大；赵磊 同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩呈上升趋 势，表明他的数学成绩在稳步提升.
S x (1 0 x ),x (0 ,1 0 )
例2 画出函数y=|x|的图象.
y
o
x
设里程为x公里，票价为y元，则 王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀； 思考3:该函数用列表法怎样表示？ 思考3:该函数用列表法怎样表示？ 赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提升. 思考2:该函数用列表法怎样表示？ 在日常生活中，我们会遇到许多函数问题，如何选择适当的方式来表示问题中的函数关系呢？ 下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表： 某市某条公交线路的总里程是20公里，在这条线路上公交车“招手即停”，其票价如下： 思考1:上表反映了几个函数关系？这些函数的自变量是什么？定义域是什么？ 思考3:该函数用图象法怎样表示？ 思考2:上述4个函数能用解析法表示吗？能用图象法表示吗？ 思考3:该函数用图象法怎样表示？ 思考1:该函数用解析法怎样表示？ 下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表：
初高中数学衔接函数课件
汇报人：XXX
2024-01-28
CONTENTS
• 函数概念与性质 • 一次函数与二次函数 • 指数函数与对数函数 • 三角函数与反三角函数 • 数列与数学归纳法 • 极限思想与微积分初步
01
函数概念与性质
函数定义及表示方法
函数定义
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意 一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集 合A到集合B的一个函数。
对数函数概念及图像
对数函数定义
形如$y=log_a x$（$a>0$且 $aneq 1$）的函数称为对数函
数。
对数函数图像
对数函数的图像是一条从原点出 发，沿x轴正向或负向无限延伸 的曲线。当$a>1$时，图像上升 ；当$0<a<1$时，图像下降。
对数函数性质
对数函数具有单调性、周期性、 对称性等性质。
一次函数的图像是一条直 线。当 $k > 0$ 时，直线 向右上方倾斜；当 $k < 0$ 时，直线向右下方倾斜
。
斜率与截距
在一次函数 $y = kx + b$ 中，$k$ 是斜率，表示直 线的倾斜程度；$b$ 是截 距，表示直线在 $y$ 轴上
的截距。
二次函数概念及图像
01
二次函数定义
二次函数是形如 $y = ax^2 + bx + c$（其中 $a neq 0$）的函数，它
高阶导数
引入高阶导数的概念，探讨高阶导数的求法及其在实际问题中的应 用，提高学生的数学素养。
微分概念及其运算规则
微分的定义与几何意义
阐述微分的数学定义，解释微分在几何上表示曲线在某一点处的 切线纵坐标的增量，帮助学生理解微分的本质。
人教版高中数学必修一：《集合与函数概念》之《函数的表示法》教学PPT
.E D C B A
些孤立的点。
01 2 3 4 5
想一想:下列图形中可作为函数y=f(x)的图像的有哪些?
__(_A_)_,(_D_)。
y
y
y
y
o x
o
1
o x -1
xox
(A)
(B)
o
o
(C)
(D)
点评：判断一个图形是否是一个函数图像 的依据就是函数的定义。
比较函数的三种表示方法，它们各自 的优点是什么？所有的函数都能用解析法 表示吗？
§1.2.2 函数的表示方法
第一课时
学习目标
学 科网
1、掌握函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法， 体会三种表示方法的特点。(重点)
2、能根据实际问题情境选择恰当的方法表示一个函数。
3、体会数形结合思想在理解函数概念中的重要作用， 在图形的变化中感受数学的直观美。
复 习 引入
y
3
1.试画出函数y=x-1的图像. 2
例题分析
例5 请画出函数 y | x | 的图像:
解: 由绝对值的意义,有
y=
x -x
x≥0 x<0
所以,函数图像为第一和第二象限的角平
分线.
y
4
3
21-ຫໍສະໝຸດ 0 1 2 3 xP23T3
注意: （1）有时表示函数的式子可以不止一个， 对于分几个式子表示的函数，不是几个函数， 而是一个函数,我们把它称为分段函数.
笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25
例题分析
它的图像如图所示,由五个孤立的点
A (1, 5),B (2,10),C(3,15),D(4,20),