大学物理 第4章课件全
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大学物理第四章--功和能
a
a
l
xdx
2l
前已得出：
Af
mg(l a)2
2l
mg(l 2 a2 ) mg(l a)2 1 mv2
2l
2l
2
得v
g l
1
(l 2 a 2 ) (l a)2 2
§3 保守力的功与势能 一、 保守力
rB
B
两个质点之间的引力
B
第四章 功和能
§4.1 功 §4.2 动能定理 §4.3 保守力功与势能 §4.4 功能原理机械能守恒定律
§1 功和功率
一、恒力做功 直线运动
A=Fcos S
记作A F S F r
F
F
M
M
S
位移无限小时：
dA
F
dr
dA称为元功
功等于质点受的力和它的位移的点积(标积)
例１一水平放置的弹簧，其一端固定，另一端系一小球，求小
球的位置由A到B的过程中弹力对它所做的功。（在O处弹簧无 形变）
解：根据胡克定律 F F kx
W F dr
xB Fdx
xA
xB xA
kxdx
O
1 2
A
k xB2
B
xA2
1 2
k xA2
作用在质点
上．在该质点从坐标原点运动到(0，2R)位
置过程中，力
F
对它所作的功为多少？
y
b
b
A a F.dr a (Fxdx Fydy)
R
x O
例4 如图，水平桌面上有质点 m ，桌面的摩 擦系数为μ 求：两种情况下摩擦力作的功
a
l
xdx
2l
前已得出：
Af
mg(l a)2
2l
mg(l 2 a2 ) mg(l a)2 1 mv2
2l
2l
2
得v
g l
1
(l 2 a 2 ) (l a)2 2
§3 保守力的功与势能 一、 保守力
rB
B
两个质点之间的引力
B
第四章 功和能
§4.1 功 §4.2 动能定理 §4.3 保守力功与势能 §4.4 功能原理机械能守恒定律
§1 功和功率
一、恒力做功 直线运动
A=Fcos S
记作A F S F r
F
F
M
M
S
位移无限小时：
dA
F
dr
dA称为元功
功等于质点受的力和它的位移的点积(标积)
例１一水平放置的弹簧，其一端固定，另一端系一小球，求小
球的位置由A到B的过程中弹力对它所做的功。（在O处弹簧无 形变）
解：根据胡克定律 F F kx
W F dr
xB Fdx
xA
xB xA
kxdx
O
1 2
A
k xB2
B
xA2
1 2
k xA2
作用在质点
上．在该质点从坐标原点运动到(0，2R)位
置过程中，力
F
对它所作的功为多少？
y
b
b
A a F.dr a (Fxdx Fydy)
R
x O
例4 如图，水平桌面上有质点 m ，桌面的摩 擦系数为μ 求：两种情况下摩擦力作的功
大学物理4PPT课件
大学物理4ppt课件
• 大学物理4课程简介 • 力学基础 • 电场与磁场 • 电磁感应与麦克斯韦方程组 • 相对论基础 • 实验与习题
01
大学物理4课程简介
课程目标
01
掌握大学物理的基本概念、原理和方法。
02
培养学生对物理现象的观察、分析和解决问题的能力。
培养学生的科学素养和创新能力，为后续专业课程和科研工作
详细描述
电磁波是由电场和磁场相互激发并传播的波。它们的传播速度与介质有关，在真空中等于光速。电磁波的应用广 泛，如无线电通信、雷达和微波炉等。
05
相对论基础
狭义相对论
狭义相对论的基本
假设
所有惯性参照系中光速都是一样 的，即光速的不变性。同时，物 理定律在所有惯性参照系中都是 一样的，即参照系的相对性。
课程考核方式包括平时作业、实验报告和期末考 试等。
02
力学基础
牛顿运动定律
01
02
03
牛顿第一定律
物体若不受外力作用，将 保持静止或匀速直线运动 状态不变。
牛顿第二定律
物体加速度的大小与作用 力成正比，与物体的质量 成反比。
牛顿第三定律
作用力和反作用力大小相 等，方向相反，作用在同 一条直线上。
等效原理
在任何局部区域内，不能通过任何实验区分均匀引力场和加速参照 系。
广义协变原理
物理定律在任何参照系中都应具有相同的数学形式。
黑洞与宇宙学
黑洞的形成
黑洞是由于大质量恒星坍缩形成 的，其强大的引力使得周围的物
质和光线都不能逃脱。
霍金辐射
根据量子力学的不确定性原理，黑 洞会向外辐射能量，即霍金辐射。
磁场概念
磁体或电流周围存在的一种特 殊物质，对放入其中的磁体或
• 大学物理4课程简介 • 力学基础 • 电场与磁场 • 电磁感应与麦克斯韦方程组 • 相对论基础 • 实验与习题
01
大学物理4课程简介
课程目标
01
掌握大学物理的基本概念、原理和方法。
02
培养学生对物理现象的观察、分析和解决问题的能力。
培养学生的科学素养和创新能力，为后续专业课程和科研工作
详细描述
电磁波是由电场和磁场相互激发并传播的波。它们的传播速度与介质有关，在真空中等于光速。电磁波的应用广 泛，如无线电通信、雷达和微波炉等。
05
相对论基础
狭义相对论
狭义相对论的基本
假设
所有惯性参照系中光速都是一样 的，即光速的不变性。同时，物 理定律在所有惯性参照系中都是 一样的，即参照系的相对性。
课程考核方式包括平时作业、实验报告和期末考 试等。
02
力学基础
牛顿运动定律
01
02
03
牛顿第一定律
物体若不受外力作用，将 保持静止或匀速直线运动 状态不变。
牛顿第二定律
物体加速度的大小与作用 力成正比，与物体的质量 成反比。
牛顿第三定律
作用力和反作用力大小相 等，方向相反，作用在同 一条直线上。
等效原理
在任何局部区域内，不能通过任何实验区分均匀引力场和加速参照 系。
广义协变原理
物理定律在任何参照系中都应具有相同的数学形式。
黑洞与宇宙学
黑洞的形成
黑洞是由于大质量恒星坍缩形成 的，其强大的引力使得周围的物
质和光线都不能逃脱。
霍金辐射
根据量子力学的不确定性原理，黑 洞会向外辐射能量，即霍金辐射。
磁场概念
磁体或电流周围存在的一种特 殊物质，对放入其中的磁体或
大学物理上ppt第4章new
练习 方向不变的作用力F = 6tN作用在一质量为3kg的物体上，物 体从静止开始运动，求此作用力的瞬时功率和前2s内做的功。
解: F 方向恒定, 物体开始静止,所以作直线运动，力的方向与
物体运动方向始终一致,且 t
P F
2tdt t
0 t
6t ? F m 6t d dt 2tdt dt m
从A 运动到B 时，W
dW ( Fx dx Fy dy Fz dz )
A
B
4.功的计算： 确定求哪个力的功; 写出该力随位置变化的关系; 写出dW 的表达式（关键）;
确定积分上下限进行积分。
例题 如图，质量为m 的小球系于长为l 的细绳末端，细绳的 另一端固定在点O。现将小球在水平拉力的作用下，缓慢地从 竖直位置移到细绳与竖直方向成θ角的位置。求水平拉力所做 的功（不考虑空气阻力）。 解
dr j
质点系的内力对动量和动能的影响 进一步讨论一对内力的功
dW内 fij drj f ji dri fij drj fij dri fij (drj dri ) fij drji 相对位移
dW dr 由功的定义： P F F F cos Ft dt dt
（瞬时）功率等于力与速度的标积 或等于力的切向分量与速度大小的乘积 力矩的功率为：P
dW d M M dt dt
W Pdt
t1 t2
由功率求功：dW Pdt
外力的功
j f ij
一对内力f ji 和 f ij
时间dt内的功
dW内 fij drj f ji dri
大学物理第4章PPT课件
设有两个质点m1和m2相互作用，把它们看成一个系统，若 m1受到m2的作用力是f1，发生的位移为dr1；m2受到m1的作用 力是f2,发生的位移为dr2,则这一对相互作用的内力的功为
dW=dW1+dW2
第一节 功 和 功 率
因为
所以
f1=-f2
dW=f1·dr1+f2·dr2=f1·dr1-f1·dr2=f1·（dr1-dr2）=f2·dr12 4- 5） 在式（4- 5）中, dr12是m1相对于m2的位移，此相对位移与参考系的 选择无关.由式（4- 5）分析可知，系统内的质点没有相对位移时，一对相互
第二节 动能 动能定理
动量是矢量，不但有大小，而且有方向，这是机械运动 的性质；动能是标量，而且永远为正，它是能量的一种形式， 能量并不限于机械运动.除了动能外，还有其他各种形式的能 量，如电能、热能、光能、原子能等.动能与这些能量是可以 相互转化的.
另外，与动量变化相联系的是力的冲量，冲量是力的时 间累积作用，其效果是使物体的动量发生变化.而与动能变化 相联系的是力所做的功，功是力的空间累积作用，其效果是使 物体的动能发生变化.这两个物理量各自遵从一定的规律，它 们是从不同侧面来描写物体机械运动的物理量.
力做的功等于力的大小与位移沿力的方向的分量的乘积.由
此看出，功是力的空间累积作用.功也可以用力F与位移Δr的标
积表示，即
W=F·Δr
（4- 2）
功是一个标量，但有正负之分，功的正负由F与Δr之间的
夹角θ决定.在国际单位制中，功的单位是牛顿·米（N·m）.
第一节 功 和 功 率
2. 变力的功
式（4- 2）为恒力做功的定义式，但在一般情况下作用 在物体上的力不一定都是恒力，质点也不一定做直线运动.这 时，不能直接用式（4- 2）来讨论变力的功，那么如何计算 变力的功呢？设有一个质点，在大小和方向都随时间变化的 力F作用下，沿任意曲线从a点运动到b点，如图4-2所示.
dW=dW1+dW2
第一节 功 和 功 率
因为
所以
f1=-f2
dW=f1·dr1+f2·dr2=f1·dr1-f1·dr2=f1·（dr1-dr2）=f2·dr12 4- 5） 在式（4- 5）中, dr12是m1相对于m2的位移，此相对位移与参考系的 选择无关.由式（4- 5）分析可知，系统内的质点没有相对位移时，一对相互
第二节 动能 动能定理
动量是矢量，不但有大小，而且有方向，这是机械运动 的性质；动能是标量，而且永远为正，它是能量的一种形式， 能量并不限于机械运动.除了动能外，还有其他各种形式的能 量，如电能、热能、光能、原子能等.动能与这些能量是可以 相互转化的.
另外，与动量变化相联系的是力的冲量，冲量是力的时 间累积作用，其效果是使物体的动量发生变化.而与动能变化 相联系的是力所做的功，功是力的空间累积作用，其效果是使 物体的动能发生变化.这两个物理量各自遵从一定的规律，它 们是从不同侧面来描写物体机械运动的物理量.
力做的功等于力的大小与位移沿力的方向的分量的乘积.由
此看出，功是力的空间累积作用.功也可以用力F与位移Δr的标
积表示，即
W=F·Δr
（4- 2）
功是一个标量，但有正负之分，功的正负由F与Δr之间的
夹角θ决定.在国际单位制中，功的单位是牛顿·米（N·m）.
第一节 功 和 功 率
2. 变力的功
式（4- 2）为恒力做功的定义式，但在一般情况下作用 在物体上的力不一定都是恒力，质点也不一定做直线运动.这 时，不能直接用式（4- 2）来讨论变力的功，那么如何计算 变力的功呢？设有一个质点，在大小和方向都随时间变化的 力F作用下，沿任意曲线从a点运动到b点，如图4-2所示.
大学物理第四章
vM (2gh)
12
M h N B C A l/2
碰撞后的瞬间, M、 N具有相同的线速度
l u 2
l
vM (2gh)1 2
l u 2
M
h N
C A
把M、N和跷板作为 B l/2 一个系统, 角动量守恒 l l l 1 1 2 2 mvM J 2mu ml ml 2 2 12 2 解得
二、力矩的功率
r2 r1
F dr
dA d M M P dt dt
P F v
三. 转动动能
设系统包括有 N 个质量元
z
O
P
•
取
,其动能为
刚体的总动能
各质量元速度不同， 但角速度相同
结论：绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的 转动惯量与其角速度平方乘积的一半。
四. 转动动能定理 —— 力矩功的效果
注意
1) M 和L 必须是相对于同一参考点的
2)质点所受合力不为零，但只要该力对参考点的力 矩为零，质点对该参考点的角动量就守恒。 3) 有心力相对于力心的力矩恒为零，因此在有 心力作用下的质点对力心的角动量都是守恒的。
例 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M 、半径为 R 的行星， 当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度v 0发射一 质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面 求 θ角及着陆滑行的初速度多大？ 解 引力场（有心力） 系统的机械能守恒 质点的角动量守恒
4.3 角动量 角动量守恒定律
一. 质点角动量定理和刚体的角动量 1. 质点的角动量(对O点)
其大小
S
O
惯性参照系
特例：质点作圆周运动 说明
大学物理第四章
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二、平动和转动
1、平动 当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直
线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫 平动（translation）。
平动时，刚体内各质点在任一时 刻具有相同的速度和加速度。
刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的 运动，如质心。
可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。
如：车轮的滚动。
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3、刚体的定轴转动 定轴转动时，刚体上各点都绕同一固定转轴作
不同半径的圆周运动。
在同一时间内，各点转过的圆弧长度不同，但 在相同时间内转过的角度相同，称为角位移，它可 以用来描述整个刚体的转动。
作定轴转动时，刚体内各点具 有相同的角量，包括角位移、角速 度和角加速度。但不同位置的质点 具有不同的线量，包括位移、速度 和加速度。
直角坐标系中，采用用 、 ，如图所示：
最后，刚体绕定轴转动时，需
要一个坐标来描述，选定参考方 z
向后，转动位置用表示。
p
总的说来，刚体共有6个自由
度，其中3个平动自由度，3个转 动自由度。
y
物体有几个自由度，它
o
的运动定律可归结为几个
独立的方程。
x
返回 退出
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§4-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 一、力矩
v r
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三、定轴转动定律
对刚体中任一质量元
mi
受外力 Fi 和内力 fi
应用牛顿第二定律，可得：
F ifi m ia i
采用自然坐标系，上式切向分量式为：
F isii n fisi i n m ia it m ir i
F ir isiin fir isiin m ir i2
二、平动和转动
1、平动 当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直
线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫 平动（translation）。
平动时，刚体内各质点在任一时 刻具有相同的速度和加速度。
刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的 运动，如质心。
可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。
如：车轮的滚动。
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3、刚体的定轴转动 定轴转动时，刚体上各点都绕同一固定转轴作
不同半径的圆周运动。
在同一时间内，各点转过的圆弧长度不同，但 在相同时间内转过的角度相同，称为角位移，它可 以用来描述整个刚体的转动。
作定轴转动时，刚体内各点具 有相同的角量，包括角位移、角速 度和角加速度。但不同位置的质点 具有不同的线量，包括位移、速度 和加速度。
直角坐标系中，采用用 、 ，如图所示：
最后，刚体绕定轴转动时，需
要一个坐标来描述，选定参考方 z
向后，转动位置用表示。
p
总的说来，刚体共有6个自由
度，其中3个平动自由度，3个转 动自由度。
y
物体有几个自由度，它
o
的运动定律可归结为几个
独立的方程。
x
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§4-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 一、力矩
v r
返回 退出
三、定轴转动定律
对刚体中任一质量元
mi
受外力 Fi 和内力 fi
应用牛顿第二定律，可得：
F ifi m ia i
采用自然坐标系，上式切向分量式为：
F isii n fisi i n m ia it m ir i
F ir isiin fir isiin m ir i2
4-3大学基础物理第四章课件
04_03_势能 —— 力学
11/15
03 一个倔强系数为k=200 N/m的轻弹簧，竖直静止 在桌面上。现在其上端轻轻地放一个质量m=2.0 kg的砝 码后松手。 1）计算此后砝码下降的最大距离ymax 2）计算砝码下降ymax/2时的速度
砝码受到的重力和弹簧力为保守力 —— 选取y轴向上为正方向 —— 弹簧静止时的上端为 重力势能和弹性势能零点
04_03_势能 —— 力学
—— 重力做的功为势能增量的负 值 —— 重力做的元功为重力势能微 小增量的负值
8/15
弹性力做的功
A ( 1 2 kx 2
2
1 2
kx1 )
2
物体在x1点和x2点的弹性势能
E p1 1 2 kx1
2
E p2
1 2
kx 2
2
A ( E p 2 E p1 ) dA dE p
—— 只和质点的位置有关
5/15
04_03_势能 —— 力学
2) 弹性势能
—— O点弹簧原长度位置为势能零点
物体在M点的弹性势能
M
0
EP
M
0
F dr
Ep
( kx )dx
x
M0 _ x 0
Ep
1 2
kx
2
—— 只和物体的位置有关
6/15
04_03_势能 —— 力学
物体在A点的弹性势 能
Ep
1 2
kx
2
弹性势能曲线
04_03_势能 —— 力学
7/15
势能定理
重力做功 A ( m gh b m gh a )
质点在a点和b点的重力势能
11/15
03 一个倔强系数为k=200 N/m的轻弹簧，竖直静止 在桌面上。现在其上端轻轻地放一个质量m=2.0 kg的砝 码后松手。 1）计算此后砝码下降的最大距离ymax 2）计算砝码下降ymax/2时的速度
砝码受到的重力和弹簧力为保守力 —— 选取y轴向上为正方向 —— 弹簧静止时的上端为 重力势能和弹性势能零点
04_03_势能 —— 力学
—— 重力做的功为势能增量的负 值 —— 重力做的元功为重力势能微 小增量的负值
8/15
弹性力做的功
A ( 1 2 kx 2
2
1 2
kx1 )
2
物体在x1点和x2点的弹性势能
E p1 1 2 kx1
2
E p2
1 2
kx 2
2
A ( E p 2 E p1 ) dA dE p
—— 只和质点的位置有关
5/15
04_03_势能 —— 力学
2) 弹性势能
—— O点弹簧原长度位置为势能零点
物体在M点的弹性势能
M
0
EP
M
0
F dr
Ep
( kx )dx
x
M0 _ x 0
Ep
1 2
kx
2
—— 只和物体的位置有关
6/15
04_03_势能 —— 力学
物体在A点的弹性势 能
Ep
1 2
kx
2
弹性势能曲线
04_03_势能 —— 力学
7/15
势能定理
重力做功 A ( m gh b m gh a )
质点在a点和b点的重力势能
大学物理课件4质点动力学-功能
l-a
O
对链条应用动能定理：
1 2 1 A＝AG＋A f mV mV02 2 2 1 V0 0 AG＋A f mV 2 2 mg( l 2 a 2 ) l l mg AG a G dr a xdx l 2l
a
x
前已得出：
2
Af
2
mg ( l a )
3 势能曲线：
E p f 空间位置
故可作出曲线：Ep~h， Ep~x， Ep~r， 统称势能曲线。
重力势能： E p mgh
1 2 弹性势能： E p kx 2 mM 引力势能： E p G r
E p f ( x)
Ep
E p f ( h)
xh r
E p f (r )
2 保守力作功的数学表达式：
L F dr 0
四、势能：
1 概念： 与质点位置有关的能量即为势能Ep。
重力势能： E p mgh
重力功 引力功 弹性力功
mM 引力势能： E p G r 1 2 弹性势能： E p kx 2
A mg( h1 h2 )
1 1 A GmM ( ) rb ra 1 2 2 A k ( x1 x2 ) 2
力 F 在△Si 上的功可写为：
S i a ri r F r ri
·
·
b
Ai F ri cos i
当 n →∞时，则为：
i ( F , r i )
dA F dr cos F dr ——力 F 在位移元 dr 上的元功 则：自a →b的过程，变力 F的功为：
a
rb r F
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T2 T1 dm a
T2 T1条件
忽略重力
M
o
dm
L
r
T2
T1
dm
dm 0 不计绳质量 a 0 绳静止或匀速直线运动
本题均不满足
T T r
r 0 T Tmax r L T Tmin 0
边界条件
o
M
r
dr
T r d m T r dr
§4.1 动量 动量的时间变化率
一. 质点 1. 质点的动量
p 点动量的时间变化率 dp dmv dv m ma F (v c) dt dt dt 质点动量的时间变化率是质点所受的合力 牛顿第二定律的一般形式
同学们好！
A
o
o
A
o
m2
B
m3
m1
m2
m1
运动的描述（第三章）
第四章： 动量 动量守恒定律
运动的度量
第五章： 角动量 角动量守恒定律
第六章： 能量 能量守恒定律
第四章 动量 动量守恒定律
结构框图
质量
速度
动 量
动量
变化率
动量 定理
动量守 恒定律
空间平移 对称性
牛顿运动定律 以动量及其守恒定律为主线，从动量变化率引入牛顿运 动定律，并在中学基础上扩展其应用范围。 恒力，质点，惯性系 学时：4 变力，质点系，非惯性系
地面绕过地心的轴自转： n 3.4 102 m s-2 a 地面参考系：非惯性系
地面参考系：近似的惯性系
对于日常运动的研究和实验，地面可作为近似程度相当 好的惯性系；而相对地面加速运动的参考系是非惯性系。
实际生活中存在大量非惯性系，分为两类：
加速平动参考系
其中牛顿运动定律不成立
转动参考系 分别讨论惯性系和非惯性系中的力学定律
将以上各式相加，并考虑到
N F内 Fi内 0 得： i 1
d F1外 F2外 FN外 ( p1 p2 p N ) dt
即
N dp F外 Fi外 dt i 1
结论：质点系所受外力的矢量和等于质点系的总动 量的时间变化率。
例题： 已知：m ,
M , , 0 求：m 对 M 的正压力 N m 对 M 的加速度 a a gsin
m
M
解： N mgcos
对不对？
y
此结果是以M为参考系得出的
N
Fx mgsin ma Fy N mgcos 0
a gsin N mgcos
y
N
a
x
mg am
m aM
am地 amM aM地 am a aM
amx a aM cos amy aM sin
以地面为参考系列方程：
Fx mgsin mamx ma aM cos Fy N mgcos mamy maM sin
dp F dt
特例
F ma
v c
二. 质点系 1. 质点系的动量
N个质量分别为 m1 , m2 ,, mN ，动量分别为 p1, p2 ,, pN
的质点组成质点系，其总动量： p p1 p2 p N m1v1 m2 v2 mN v N mi vi
质心速度是各质点速度的加权平均
同理：
dvc d rc ac 2 dt dt
2
mi ai
i
M
或
adm M
质心加速度是各质点加速度的加权平均
vc , ac
也可以写成分量式。
3.质点系动量的时间变化率 质心运动定理 内力和外力： 内力——质点系内质点间的相互作用力 外力——质点系外的物体对系内任一质点 的作用力 F2外 m2 F
m
M
m gcos
注意：
只能对惯性系建立牛顿运动方程
会解决类似的关联体问题
A
o
o
A
o
m2
B
m3
m1
m2
57页例4
m1
71页 4 — 2
B不是惯性系
绳不是惯性系
例题：教材 72页 4-7 已知：质量均匀的绳在水平面内转动； M , L,
求：张力 T r
绳内部相邻两部 分相互作用力 解：在绳上取微元 d m
z
dmx, y, z
M
yc
mi yi
i 1 N
r
M
M
zc
mi zi
i 1
zdm
M
x o
y
M
质心的速度与加速度：
drc d mi ri mi dri vc dt dt i M M dt mi vi
i
M
或
v dm M
例题：一艘质量为 m 的潜水艇，全部浸没水中，并由 静止开始下沉。设浮力为 F ，水的阻力 f kAv ， 式中 A为潜水艇水平投影面积，k 为常数。求潜水艇 下沉速度与时间的关系。 解：以潜艇为研究对象，受力如图： 在地球系中建立如图坐标 由牛顿第二定律： F c mg + f o
dv m g F kAv m dt v t mdv m g F kAv dt 0 0
极限速率（收尾速率）
类似处理：跳伞运动员下落， 有阻力的抛体运动
小球在粘滞流体中下落…...
练习：一物体作有阻力的抛体运动 已知：m,
v0 , ,
f kmv 求： 轨道方程
解： 先建立 x，y 方向的运动微分方程， 受力情况如图：
y
dv x km vx m dt km vy m g m dv y dt
如何简化？ 类比法 质点系总质量为 M mi 1 dr p mv m 质点 dt 寻找特殊点 c — 质心， 质点系 p Mvc M drc 其位矢为 rc dt
i
N
2. 质心
质点系总动量： dri p pi mi dt i i
实际上：力、运动、参考系三者不是互相独立的。 惯性系是参 考系中的理想模型，其存在是牛顿力学的基础和前提。
相对已知惯性系静止或匀速直线运动的参考系是惯性 系；相对已知惯性系加速运动的参考系是非惯性系。 实际处理：选择对所研究问题适宜的近似惯性系 太阳绕银河系中心公转：an 1.8 1010 m s-2 太阳参考系（恒星基准）：较好的惯性系 地球绕太阳公转：an 6 103 m s-2 地球参考系：非惯性系 地心参考系（恒星基准）：近似的惯性系
x
a
m
mg
能否在M系中用牛顿定律列方程？M是否惯性系？
以地面为参考系, 列 M 的运动方程：
受力情况如图：
M
y Q
aM
x
Mg
N N
Fx N sin MaM
(1)
Fy Q Mg N cos 0 (2)
aM 0 , M不是惯性系。
以地面为参考系, 列 m 的运动方程：
将
p Mvc 代入上式得
dMvc dvc F外 M Mac ——质心运动定理 dt dt
质心的运动 ~ 质点
位于 rc
质量 M 受力 F
外
其运动与系统 内质点相互作 用无关
小结：
质点： p mv dp F dt 质点系： p pi Mvc dp F外 dt
m m g-F-kAv ln t kA m g F m g F kAv e m g F
kA t m
v
vm
t
kA t m g F m 1 e v kA
o
讨论潜艇 运动情况：
dv t 0 v 0, t v , dt mg F t v vmax 恒量 kA
r2
rc
C
质心位矢是各质点 位矢的加权平均
O x
mN rN
y
直角坐标系中，质心的位置： 分立的质点系
rc mi ri
i 1 N N
质量连续分布的质点系
M
rc xc yc zc
r dm M
xc
mi xi
i 1 N
xdm
M ydm M
F外 Fi外
i
1外
F12
F21
m1
F13
F3外
F23 F32
F31
m3
质点系内质点间的内力总是成对出现，因此必有
F内 Fi内 0
i
同一力对某一系统为外力， 而对另一系统则可能为内力
m1, m2 ,, mN 动量分别为 p1, p2 ,, pN N个质量分别为 的质点组成一个质点系，各质点所受的合力分别为 dp1 F1 F1外 F1内 dt dp2 F2 F2 外 F2内 dt dp N FN FN外 FN内 dt
i
v c F ma F外 Mac
基本方法：用质心作为物体（质点系）的代表， 描述质点系整体的平动。
刚体或柔体
§4.2 习题课 —— 运动定律的应用
一. 惯性系和非惯性系 惯性系：惯性定律在其中成立的参考系，即其中不受外 力作用的物体（自由粒子）永远保持静止或匀速直线运 动的状态。 如何判断一个参考系是否惯性系？ 理论上：分别考察受力和运动，检验其是否遵守惯性定律 “惯性原理的弱点在于它会有这样一种循环论证：如 果一个物体离开别的物体都足够远，那么它运动起来没 有加速度；而只有由于它没有加速度这一事实，我们才 知道它离开别的物体是足够远。” —— 爱因斯坦
T2 T1条件
忽略重力
M
o
dm
L
r
T2
T1
dm
dm 0 不计绳质量 a 0 绳静止或匀速直线运动
本题均不满足
T T r
r 0 T Tmax r L T Tmin 0
边界条件
o
M
r
dr
T r d m T r dr
§4.1 动量 动量的时间变化率
一. 质点 1. 质点的动量
p 点动量的时间变化率 dp dmv dv m ma F (v c) dt dt dt 质点动量的时间变化率是质点所受的合力 牛顿第二定律的一般形式
同学们好！
A
o
o
A
o
m2
B
m3
m1
m2
m1
运动的描述（第三章）
第四章： 动量 动量守恒定律
运动的度量
第五章： 角动量 角动量守恒定律
第六章： 能量 能量守恒定律
第四章 动量 动量守恒定律
结构框图
质量
速度
动 量
动量
变化率
动量 定理
动量守 恒定律
空间平移 对称性
牛顿运动定律 以动量及其守恒定律为主线，从动量变化率引入牛顿运 动定律，并在中学基础上扩展其应用范围。 恒力，质点，惯性系 学时：4 变力，质点系，非惯性系
地面绕过地心的轴自转： n 3.4 102 m s-2 a 地面参考系：非惯性系
地面参考系：近似的惯性系
对于日常运动的研究和实验，地面可作为近似程度相当 好的惯性系；而相对地面加速运动的参考系是非惯性系。
实际生活中存在大量非惯性系，分为两类：
加速平动参考系
其中牛顿运动定律不成立
转动参考系 分别讨论惯性系和非惯性系中的力学定律
将以上各式相加，并考虑到
N F内 Fi内 0 得： i 1
d F1外 F2外 FN外 ( p1 p2 p N ) dt
即
N dp F外 Fi外 dt i 1
结论：质点系所受外力的矢量和等于质点系的总动 量的时间变化率。
例题： 已知：m ,
M , , 0 求：m 对 M 的正压力 N m 对 M 的加速度 a a gsin
m
M
解： N mgcos
对不对？
y
此结果是以M为参考系得出的
N
Fx mgsin ma Fy N mgcos 0
a gsin N mgcos
y
N
a
x
mg am
m aM
am地 amM aM地 am a aM
amx a aM cos amy aM sin
以地面为参考系列方程：
Fx mgsin mamx ma aM cos Fy N mgcos mamy maM sin
dp F dt
特例
F ma
v c
二. 质点系 1. 质点系的动量
N个质量分别为 m1 , m2 ,, mN ，动量分别为 p1, p2 ,, pN
的质点组成质点系，其总动量： p p1 p2 p N m1v1 m2 v2 mN v N mi vi
质心速度是各质点速度的加权平均
同理：
dvc d rc ac 2 dt dt
2
mi ai
i
M
或
adm M
质心加速度是各质点加速度的加权平均
vc , ac
也可以写成分量式。
3.质点系动量的时间变化率 质心运动定理 内力和外力： 内力——质点系内质点间的相互作用力 外力——质点系外的物体对系内任一质点 的作用力 F2外 m2 F
m
M
m gcos
注意：
只能对惯性系建立牛顿运动方程
会解决类似的关联体问题
A
o
o
A
o
m2
B
m3
m1
m2
57页例4
m1
71页 4 — 2
B不是惯性系
绳不是惯性系
例题：教材 72页 4-7 已知：质量均匀的绳在水平面内转动； M , L,
求：张力 T r
绳内部相邻两部 分相互作用力 解：在绳上取微元 d m
z
dmx, y, z
M
yc
mi yi
i 1 N
r
M
M
zc
mi zi
i 1
zdm
M
x o
y
M
质心的速度与加速度：
drc d mi ri mi dri vc dt dt i M M dt mi vi
i
M
或
v dm M
例题：一艘质量为 m 的潜水艇，全部浸没水中，并由 静止开始下沉。设浮力为 F ，水的阻力 f kAv ， 式中 A为潜水艇水平投影面积，k 为常数。求潜水艇 下沉速度与时间的关系。 解：以潜艇为研究对象，受力如图： 在地球系中建立如图坐标 由牛顿第二定律： F c mg + f o
dv m g F kAv m dt v t mdv m g F kAv dt 0 0
极限速率（收尾速率）
类似处理：跳伞运动员下落， 有阻力的抛体运动
小球在粘滞流体中下落…...
练习：一物体作有阻力的抛体运动 已知：m,
v0 , ,
f kmv 求： 轨道方程
解： 先建立 x，y 方向的运动微分方程， 受力情况如图：
y
dv x km vx m dt km vy m g m dv y dt
如何简化？ 类比法 质点系总质量为 M mi 1 dr p mv m 质点 dt 寻找特殊点 c — 质心， 质点系 p Mvc M drc 其位矢为 rc dt
i
N
2. 质心
质点系总动量： dri p pi mi dt i i
实际上：力、运动、参考系三者不是互相独立的。 惯性系是参 考系中的理想模型，其存在是牛顿力学的基础和前提。
相对已知惯性系静止或匀速直线运动的参考系是惯性 系；相对已知惯性系加速运动的参考系是非惯性系。 实际处理：选择对所研究问题适宜的近似惯性系 太阳绕银河系中心公转：an 1.8 1010 m s-2 太阳参考系（恒星基准）：较好的惯性系 地球绕太阳公转：an 6 103 m s-2 地球参考系：非惯性系 地心参考系（恒星基准）：近似的惯性系
x
a
m
mg
能否在M系中用牛顿定律列方程？M是否惯性系？
以地面为参考系, 列 M 的运动方程：
受力情况如图：
M
y Q
aM
x
Mg
N N
Fx N sin MaM
(1)
Fy Q Mg N cos 0 (2)
aM 0 , M不是惯性系。
以地面为参考系, 列 m 的运动方程：
将
p Mvc 代入上式得
dMvc dvc F外 M Mac ——质心运动定理 dt dt
质心的运动 ~ 质点
位于 rc
质量 M 受力 F
外
其运动与系统 内质点相互作 用无关
小结：
质点： p mv dp F dt 质点系： p pi Mvc dp F外 dt
m m g-F-kAv ln t kA m g F m g F kAv e m g F
kA t m
v
vm
t
kA t m g F m 1 e v kA
o
讨论潜艇 运动情况：
dv t 0 v 0, t v , dt mg F t v vmax 恒量 kA
r2
rc
C
质心位矢是各质点 位矢的加权平均
O x
mN rN
y
直角坐标系中，质心的位置： 分立的质点系
rc mi ri
i 1 N N
质量连续分布的质点系
M
rc xc yc zc
r dm M
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mi xi
i 1 N
xdm
M ydm M
F外 Fi外
i
1外
F12
F21
m1
F13
F3外
F23 F32
F31
m3
质点系内质点间的内力总是成对出现，因此必有
F内 Fi内 0
i
同一力对某一系统为外力， 而对另一系统则可能为内力
m1, m2 ,, mN 动量分别为 p1, p2 ,, pN N个质量分别为 的质点组成一个质点系，各质点所受的合力分别为 dp1 F1 F1外 F1内 dt dp2 F2 F2 外 F2内 dt dp N FN FN外 FN内 dt
i
v c F ma F外 Mac
基本方法：用质心作为物体（质点系）的代表， 描述质点系整体的平动。
刚体或柔体
§4.2 习题课 —— 运动定律的应用
一. 惯性系和非惯性系 惯性系：惯性定律在其中成立的参考系，即其中不受外 力作用的物体（自由粒子）永远保持静止或匀速直线运 动的状态。 如何判断一个参考系是否惯性系？ 理论上：分别考察受力和运动，检验其是否遵守惯性定律 “惯性原理的弱点在于它会有这样一种循环论证：如 果一个物体离开别的物体都足够远，那么它运动起来没 有加速度；而只有由于它没有加速度这一事实，我们才 知道它离开别的物体是足够远。” —— 爱因斯坦