高一数学同步测试(11)数列与等差数列_10

高一数学同步测试（11）—数列与等差数列一、选择题：1．有穷数列1， 23， 26， 29， …，23n ＋6的项数是 （ ）A ．3n ＋7B ．3n ＋6C ．n ＋3D ．n ＋22．已知数列{}n a 的首项11a =，且()1212n n a a n -=+≥，则5a 为 （ ）A ．7B ．15C ．30D ．313．某数列第一项为1，并且对所有n ≥2，n ∈N *，数列的前n 项之积n 2，则这个数列的通项公式是（ ） A ．a n =2n －1B ．a n =n 2C ．a n =22)1(-n nD ．a n =22)1(n n +4．若{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7=45，a 2＋a 5＋a 8=39，则a 3＋a 6＋a 9的值是（ ）A ．39B ．20C ．19.5D ．335．若等差数列{a n }的前三项为x －1，x ＋1，2x ＋3，则这数列的通项公式为（ ）A ．a n =2n －5B ． a n =2n －3C ． a n =2n －1D ．a n =2n ＋16．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）A ．d ＞38 B ．d ＜3 C ．38≤d ＜3 D ． 38＜d ≤3 7．等差数列{a n }的前n 项和S n =2n 2＋n ，那么它的通项公式是（ ）A ．a n =2n －1B ．a n =2n ＋1C ．a n =4n －1D ．a n =4n ＋18．{}n a 中29100n a n n =--，则值最小的项是 （ ）A ．第4项B ．第5项C ．第6项D ．第4项或第5项9．已知)*n a n N =∈，则1210a a a +++ 的值为 （ ）A 1B 1C 1D ．210．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 9＋a 15＋a 21=8，则a 12等于（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－2 11．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7－a 10=8，a 1－a 4=4，则S 13等于（ ）A ．168B ．156C ．78D ．15212．数列{a n }的通项a n =2n ＋1，则由b n =na a a n+++ 21(n ∈N *)，所确定的数列{b n }的前n 项和是（ ） A ．n (n ＋1) B ．2)1(+n n C ．2)5(+n n D ．2)7(+n n 二、填空题：13．数列1，0，－1，0，1，0，－1，0，…的通项公式的为a n = ． 14．在－1，7之间插入三个数，使它们顺次成等差数列，则这三个数分别是_ ______．15．数列{ a n }为等差数列，a 2与a 6的等差中项为5，a 3与a 7的等差中项为7，则数列的通项a n 等于___.16、数列{a n }为等差数列，S 100=145，d =21，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99的值为___ __． 三、解答题：17．已知关于x 的方程x 2－3x ＋a =0和x 2－3x ＋b =0(a ≠b )的四个根组成首项为43的等差数列，求a ＋b 的值.18．在数列{a n }中，a 1=2，a 17=66，通项公式是项数n 的一次函数.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)88是否是数列{a n }中的项.19．数列｛a n ｝是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负.（1）求数列的公差；（2）求前n 项和S n 的最大值； （3）当S n ＞0时，求n 的最大值．20．设函数2()log log 4(01)x f x x x =-<<，数列{}n a 的通项n a 满足)(2)2(*N n n f n a ∈=．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）判定数列{a n }的单调性.21．已知数列{a n }满足a 1=4，a n =4－14-n a (n ≥2)，令b n =21-n a ．（1）求证数列{b n }是等差数列； （2）求数列{a n }的通项公式.22．某公司决定给员工增加工资，提出了两个方案，让每位员工自由选择其中一种.甲方案是：公司在每年年末给每位员工增资1000元；乙方案是每半年末给每位员工增资300元.某员工分别依两种方案计算增资总额后得到下表：(说明：①方案的选择应以让自己获得更多增资为准. ②假定员工工作年限均为整数.)（1）他这样计算增资总额，结果对吗？如果让你选择，你会怎样选择增资方案？说明你的理由；（2）若保持方案甲不变，而方案乙中每半年末的增资数改为a 元，问：a 为何值时，方案乙总比方案甲多增资？参考答案一、选择题： CDCDB DCDBC BC二、填空题： 13.sin 2πn 或a n =])1(1[)1(2121n n ----．14.1，3，5．15.2n －3．16、60．三、解答题：17.解析：由方程x 2－3x ＋a =0和x 2－3x ＋b =0(a ≠b )可设两方程的根分别为x 1，x 2和x 3，x 4，由x 1＋x 2=3和x 3＋x 4=3所以，x 1，x 3，x 4，x 2(或x 3，x 1，x 2，x 4)组成等差数列，由首项x 1=43，x 1＋x 3＋x 4＋x 2=6，可求公差d =21，所以四项为：49,47,45,43， ∴a ＋b =83147454943=⨯+⨯．18.解析： (1)设a n =An ＋B ，由a 1=2，a 17=66，得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=+=+24,66172B A B A B A 解得 ∴a n =4n －2(2)令a n =88，即4n －2=88得n =245∉N * ∴88不是数列{a n }中的项.19.解析： (1)由已知a 6=a 1＋5d =23＋5d ＞0，a 7=a 1＋6d =23＋6d ＜0，解得:－523＜d ＜－623，又d ∈Z ，∴d =－4 (2)∵d ＜0，∴{a n }是递减数列，又a 6＞0，a 7＜0∴当n =6时，S n 取得最大值，S 6=6×23＋256⨯ (－4)=78 (3)S n =23n ＋2)1(-n n (－4)＞0，整理得：n (50－4n )＞0 ∴0＜n ＜225，又n ∈N *，所求n 的最大值为12.20.解析：⑴∵2()log log 4(01)x f x x x =-<<，又)(2)2(*N n n f n a∈=， ∴22(2)log 2log 42(021,0)n n na n aaa n f n a =-=<<<即令2log 2n a t =，则22t n t-=，∴2220t nt --=，t n =注意到2log 2na t =，因此2log 2n a＝n ，22n a n =0n a n =±，∴)*n a n n N =∈即为数列{}n a 的通项公式；另解：由已知得1,0,21,22log 12log 22222+±==-=-∴=--n n a na a n a a n n n n nn n n kk 解得 ),3,2,1(0,11)1()1(111)1()1()2()3,2,1(1,0120,10222212 =<<++++++=+-++-+=+-=∴<<<<<+n a n n n n n n n n a a n n a a x n n n n n k 而即 1n n a a +∴>，可知数列{}n a 是递增数列.注：数列是一类特殊的函数，判定数列的单调性与判定函数的单调性的方法是相同的，只需比较a n ＋1与a n 的大小． 21.(1)证明： a n ＋1－2=2－nn n a a a )2(24-=∴2121)2(2211-+=-=-+n n n n a a a a (n ≥1) 故2121211=---+n n a a (n ≥1)，即b n ＋1－b n =21 (n ≥1)∴数列{b n }是等差数列.(2)解析： ∵{21-n a }是等差数列∴221)1(21211nn a a n =⋅-+-=-， ∴a n =2＋n 2∴数列{a n }的通项公式a n =2＋n222.解析： (1)设根据甲方案第n 次的增资额为a n ，则a n =1000n第n 年末的增资总额为T n =500n (n ＋1)根据乙方案，第n 次的增资额为b n ，则b n =300n 第n 年末的增资总额为S 2n =300n (2n ＋1)∴T 1=1000，S 2=900，T 1＞S 2只工作一年选择甲方案T 2=3000，S 4=3000，T 2=S 4 当n ≥3时，T n ＜S 2n ，因此工作两年或两年以上选择乙方案. (2)要使T n =500n (n ＋1)，S 2n =an (2n ＋1)S 2n ＞T n 对一切n ∈N *都成立即a ＞500·121++n n 可知{500121++n n }为递减数列，当n =1时取到最大值. 则a ＞500·32=31000 (元)，即当a ＞31000时，方案乙总比方案甲多增资.。