北京市高一下学期数学3月线上月考试卷A卷
北京市高一下学期数学3月网上测试试卷
北京市高一下学期数学3月网上测试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高三上·枣庄期末) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2，b=2 ，C=30°，则角B等于（）A . 30°B . 60°C . 30°或60°D . 60°或120°2. （2分）设向量，，若满足，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高一下·宜昌期中) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=2，b= ，B=120°，则a等于（）A .B . 1C .D . 34. （2分） (2018高一下·北京期中) 设，向量，，若，则等于（）A .B .C . -4D . 45. （2分） (2019高一下·慈利期中) 在△ABC中，已知，∠B=30°，，则等于（）A .B .C .D .6. （2分）在中，，则B=（）A .B .C .D .7. （2分）已知O为内一点，若对任意，恒有,则一定是（）A . 直角三角形B . 钝角三角形C . 锐角三角形D . 不能确定8. （2分）设M是△ABC所在平面内的一点，若+=2， ||=2，则•=（）A . -1B . 1C . -2D . 29. （2分）(2020·淮南模拟) 在中，，，点为的外心，则的值为（）A . 26B . 13C .D . 1010. （2分）(2018·孝义模拟) 在四面体中，，，底面，的面积是，若该四面体的顶点均在球的表面上，则球的表面积是（）A .B .C .D .11. （2分）已知向量=(2,1)=(-1,3)，若存在向量，使得=4,=-9，则向量为（）A . （﹣3，2）B . （4，3）C . （3，﹣2）D . （2，﹣5）12. （2分） (2017高一下·湖北期中) 已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，且3a2+3b2﹣c2=4ab，则△ABC（）A . 可能为锐角三角形B . 一定不是锐角三角形C . 一定为钝角三角形D . 不可能为钝角三角形二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分） (2017高一下·肇庆期末) △ABC面积为，且a=3，c=5，则sinB=________．14. （1分） (2019高三上·上海月考) 向量在向量方向上的投影为________.15. （1分） (2020高三上·静安期末) 若直线的一个法向量为，则若直线的斜率________.16. （1分） (2016高二上·襄阳开学考) 已知三角形两边长分别为2和2 ，第三边上的中线长为2，则三角形的外接圆半径为________．17. （1分） (2016高二上·郸城开学考) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c= ，b= ，B=120°，则a=________．18. （1分） (2019高一上·山西月考) 设，是关于的方程的两个实根，则的最小值是________．三、解答题 (共5题；共50分)19. （10分）已知向量=（3，﹣4），=（6，﹣3），=（5﹣m，﹣3﹣m）．（1）若点A、B、C共线，求实数m的值；（2）若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，求实数m的值．20. （10分） (2016高三上·闽侯期中) △ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，向量 =（2sinB，2﹣cos2B）， =（2sin2（ + ），﹣1）且⊥ ．（1）求角B的大小；（2）若a= ，b=1，求c的值．21. （10分）已知=（2sin（x+），），=（cos（x+），2cos2（x+）），且0≤θ≤π，f（x）=•﹣，且f（x）为偶函数．（1）求θ；（2）求满足f（x）=1，x∈[﹣π，π]的x的集合．22. （10分） (2016高二上·郑州期中) 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC（1）求角B的大小；（2）若b= ，a+c=4，求△ABC的面积S．23. （10分） (2018高一下·龙岩期末) 已知函数，（Ⅰ）求的对称轴方程；（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为，若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共5题；共50分) 19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、。
北京市宏志中学高一数学3月月考试题(含解析)新人教A版
2012-2013学年北京市宏志中学高一（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共14小题，每小题4分，共56分）1．（4分）化简的结果是（）=|cos160°|=﹣cos160°3．（4分）若sin（3π+α）=﹣，则cos等于（），∴，∴=，5．（4分）（2009•山东模拟）函数y=cos（2x+）的图象的一条对称轴方程是（）﹣解：此函数的对称轴方程为．6．（4分）（2012•德阳二模）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x 向左平行移动向右平行移动向右平行移动个单位得到，根据平移后﹣个单位8．（4分）在下列四个函数中，在区间（0，）上为增函数，且以π为最小正周期的偶函，，9．（4分）函数y=f（x）的图象如图所示，则y=f（x）的解析式为（）中函数10．（4分）（2007•江苏）函数f（x）=sinx﹣cosx（x∈[﹣π，0]）的单调递增区间是] ，﹣] ，﹣）∈﹣]∈﹣]﹣11．（4分）（2007•海南）若，则cosα+sinα的值为（）12．（4分）（2005•山东）已知函数，则下列判断正确的，其图象的一个对称中心是，其图象的一个对称中心是，其图象的一个对称中心是，其图象的一个对称中心是化简成一角一函数的形式，再确定最小正周期解：=时，，图象的一个对称中心是13．（4分）已知x，y为锐角，且满足cos x=，cos（x+y）=，则sin y的值是（）=cos x=，；sinx=14．（4分）.函数在区间的简图是（）．B．．D．范围的分）﹣y=时，函数值二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）15．（4分）函数y=sin 2x图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的函数解析式为f（x）= sinx ．的系数换成原来的倍，即得所求函数的解析式．x（4分）设0≤x≤2π，且|cosx﹣sinx|=sinx﹣cosx，则x的取值范围为．16．，，﹣故答案为：17．（4分）化简sin2α+sin2β﹣sin2αsin2β+cos2αcos2β= 1 ．18．（4分）函数与y轴距离最近的对称轴是x=．求出函数2x++2k2x+﹣+k+k求出函数19．（4分）函数y=cos2x﹣2sinx的值域是[﹣2，2] ．20．（4分）给出下列命题：①存在实数α，使sinα•cosα=1②函数是偶函数③是函数的一条对称轴方程④若α、β是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ其中正确命题的序号是②③．；对于③，把代入，∴sin的最大值为是函数，三、解答题：本大题共3小题，共20分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（8分）已知函数．（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；（2）指出f（x）的周期、振幅、初相、对称轴；（3）说明此函数图象可由y=sinx在[0，2π]上的图象经怎样的变换得到．）分别令，，=，然后根据正弦型函数的性质，即可求）令，，中，．初相为，x=①向左平移个单位，得到）的图象；y=y=个单位，得到22．（6分）（2007•重庆）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）若角α在第一象限且，求f（α）．≠k）的定义域为（Ⅱ）由已知条件得23．（6分）（2006•重庆）设函数（其中ω＞0，α∈R），且f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为．（I）求ω的值．（II）如果f（x）在区间上的最小值为，求α的值．上的最小值表达式，令，即可解出参数的值．=sin2x++=x++，]x+]≤sin（）≤1，﹣，+因此，由题设知﹣+==；。
北京市顺义区2023-2024学年高一下学期3月月考试题 数学含答案
顺义高一2023-2024学年第二学期3月月考数学试题（答案在最后）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.一、选择题（每小题4分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.cos12cos18sin12sin18︒︒-︒︒的值等于（）A.2B.12-C.12D.22.如图，在平行四边形ABCD 中，AC AB -=（）A.CBB.ADC.BDD.CD3.为了得到函数πsin 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需把函数πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（）A.向左平移π4个单位长度B.向右平移π4个单位长度C.向左平移π2个单位长度D.向右平移π2个单位长度4.已知α，β都是锐角，3sin 5α=，()5cos 13αβ+=-，则sin β=（）A.5665-B.1665- C.3365 D.63655.已知,a b为非零向量，且a b a b +=+ ，则一定有（）A.a b =B.//a b，且,a b 方向相同C.a b=- D.//a b，且,a b 方向相反6.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边位于第一象限，且与单位圆O 交于点P ，PM x ⊥轴，垂足为M .若OMP 的面积为625，则sin2α=（）A.625B.1225C.1825D.24257.22cos sin 2sin cos y x x x x =-+的最小值是（）A.B. C.2D.2-8.函数()()sin 0,0πy A x A ωϕϕ=+><<在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为（）A.2π2sin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B.π2sin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.7πsin 12y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.11π2sin 12y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9.如果函数()sin (0)f x x x ωωω=>的两个相邻零点间的距离为2，那么()()()()1239f f f f ++++L 的值为（）．A.1B.1- C.D.10.已知函数π()cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，如果存在实数12,x x ，使得对任意实数x ，都有12()()()f x f x f x ≤≤，那么21x x -的最小值为（）A.π3B.π2C.πD.2π二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.ππ2sincos 1212=______.12.已知角α的终边经过点()3,4-，则cos 2=α．13.13πtan 7⎛⎫-⎪⎝⎭与7πtan 8⎛⎫- ⎪⎝⎭的大小关系是______（填：“,><或=”中的一个）.14.已知函数())1cos cos 2f x x x x =⋅-+，那么函数()f x 最小正周期为______；对称轴方程为______.15.已知()sin cos f x x x =⋅，x ∈R .有下列四个说法：①()f x 的一个正周期为2π；②()f x 在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单增；③()f x 值域为11,22⎡⎤-⎢⎣⎦；④()f x 图象关于πx =对称.其中，所有正确说法的序号是______.三、解答题（共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16.已知函数()1π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的单调递增区间；（3）求方程()1f x =的解集．17.已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）求π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的对称中心；（3）作出()f x 在一个周期内的图象（将给定的表格中填全，并描点画图）26x π+x()f x18.已知函数π()4cos sin 16f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.（1）求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()f x 在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎣⎦上的最大值和最小值.19.已知函数()()πsin ,0,0,2f x A x x A ωϕωϕ⎛⎫=+∈>><⎪⎝⎭R 部分图象如图所示．（1）求()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位长度得到函数()y g x =的图象，求曲线()y g x =的对称轴只有一条落在区间[]0,m 上，求m 的取值范围.20.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定.（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()π6g x f x f x a ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，若()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为23+，求a 的值.条件①：()f x 的最小正周期为π；条件②：()f x 为奇函数；条件③：()f x 图象的一条对称轴为π4x =.21.对于函数()y f x =，1x D ∈，()y g x =，2x D ∈及实数m ，若存在11x D ∈，22x D ∈，使得12()()f x g x m +=，则称函数()f x 与()g x 具有“m 关联”性质.（1）分别判断下列两组函数是否具有“2关联”性质，直接写出结论；①()f x x =，[]1,1x ∈-；()g x x =-，[]1,1x ∈-；②()e x f x =，1x ≥；()e x g x =，1x ≤；（2）若()sin f x x =与()cos 2g x x =具有“m 关联”性质，求m 的取值范围；（3）已知0a >，()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足：①在[]0,2a 上，当且仅当2ax =时，()f x 取得最大值1；②对任意x ∈R ，有()()0f a x f a x ++-=.求证：1sin π()y x f x =+与2cos π()y x f x =-不具有“4关联”性质.顺义高一2023-2024学年第二学期3月月考数学试题本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.一、选择题（每小题4分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.cos12cos18sin12sin18︒︒-︒︒的值等于（）A.2B.12-C.12D.2【答案】D 【解析】【分析】根据余弦的和角公式即得.【详解】()cos12cos18sin12sin18cos 1218︒︒-︒︒=︒+︒cos302=︒=.故选；D ．2.如图，在平行四边形ABCD 中，AC AB -=（）A.CBB.ADC.BDD.CD【答案】B 【解析】【分析】根据向量运算得AC AB AD -=.【详解】由图知AC AB BC AD -==，故选：B.3.为了得到函数πsin 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需把函数πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（）A.向左平移π4个单位长度B.向右平移π4个单位长度C.向左平移π2个单位长度D.向右平移π2个单位长度【答案】C 【解析】【分析】利用三角函数平移变换对解析式的影响求解即可.【详解】对于A ，πsin 4y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移π4个单位长度得ππsin sin 44y x x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B ，πsin 4y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭向右平移π4个单位长度得πππsin sin cos 442y x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移π2个单位长度得πππsin sin 424y x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ，πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向右平移π2个单位长度得ππ3ππsin sin cos 4244y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 错误；故选：C.4.已知α，β都是锐角，3sin 5α=，()5cos 13αβ+=-，则sin β=（）A.5665-B.1665- C.3365 D.6365【答案】D 【解析】【分析】计算得到4cos 5α=，()12sin 13αβ+=，再根据()sin sin βαβα=+-展开得到答案.【详解】α，β都是锐角，3sin 5α=，()5cos 13αβ+=-，故4cos 5α=，()12sin 13αβ+=.()()()63sin sin sin cos cos sin 65βαβααβααβα=+-=+-+=.故选：D .【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力.5.已知,a b为非零向量，且a b a b +=+ ，则一定有（）A.a b=B.//a b，且,a b 方向相同C.a b=-D.//a b ，且,a b方向相反【答案】B 【解析】【分析】将已知等式两边平方，可得a b a b ⋅=⋅ ，利用数量积的定义可得,0a b =，可知两向量同向.【详解】因为a b a b +=+，两边平方得222222a b a b a b a b ++⋅=++⋅ ，化简得a b a b ⋅=⋅ ，即cos ,a b a b a b ⋅=⋅ ，则cos ,1a b = ，,0a b =，即,a b方向相同，故只有B 正确，故选：B .6.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边位于第一象限，且与单位圆O 交于点P ，PM x ⊥轴，垂足为M .若OMP 的面积为625，则sin2α=（）A.625B.1225 C.1825D.2425【答案】D 【解析】【分析】由三角函数的定义结合三角形面积列出方程，再由倍角公式求出答案.【详解】由三角函数的定义可知：cos ,sin OM PM αα==，故511cos s 62in 22OM PM αα⋅==，故51sin 2462α=，解得：sin2α=2425.故选：D7.22cos sin 2sin cos y x x x x =-+的最小值是（）A.B. C.2D.2-【答案】B 【解析】【分析】利用二倍角公式进行转化，再利用辅助角公式把函数变形为π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可求解.【详解】因为22cos sin 2sin cos y x x x x=-+πcos 2sin 224x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故函数的最小值为，故选：B.8.函数()()sin 0,0πy A x A ωϕϕ=+><<在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为（）A.2π2sin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B.π2sin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.7πsin 12y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.11π2sin 12y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据图象先确定A 的值及周期，进而得到2ω=±，分类讨论，结合函数图象过点π,212⎛⎫- ⎪⎝⎭，求出ϕ的值即可.【详解】根据函数图象可得2A =,由周期5ππ2π1212T ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即2ππ,2ωω==±，当2ω=时，()2sin 2y x ϕ=+，又函数图象过点π,212⎛⎫-⎪⎝⎭，则ππ2sin 221212f ϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以ππ2π,Z 62k k ϕ-+=+∈,即2π2π,Z 3k k ϕ=+∈，又因为0πϕ<<，故2π3ϕ=，则2π2sin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；当2ω=-时，()2sin 2y x ϕ=-+，又函数图象过点π,212⎛⎫-⎪⎝⎭，则ππ2sin 221212f ϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以ππ2π,Z 62k k ϕ+=+∈,即π2π,Z 3k k ϕ=+∈，又因为0πϕ<<，故π3ϕ=，则π2π2sin 22sin π233y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，综上知，2π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选：A .9.如果函数()sin (0)f x x x ωωω=>的两个相邻零点间的距离为2，那么()()()()1239f f f f ++++L 的值为（）．A.1B.1- C.D.【答案】A【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数()f x ，由已知求出ω，再结合函数式计算作答.【详解】依题意，π()2sin(3f x x ω=+，函数()f x 的周期4T =，而0ω>，则2ππ2T ω==，ππ()2sin()23f x x =+，5π11π(1)(3)2sin 2sin 066f f +=+=，4π7π(2)(4)2sin 2sin 033f f +=+=，所以()()()()5π1239(1)2[(1)(2)(3)(4)](1)2sin16f f f f f f f f f f ++++=++++===L .故选：A10.已知函数π()cos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，如果存在实数12,x x ，使得对任意实数x ，都有12()()()f x f x f x ≤≤，那么21x x -的最小值为（）A.π3 B.π2 C.π D.2π【答案】B【解析】【分析】由题意分析可知()1f x 为()f x 的最小值，()2f x 为()f x 的最大值，故12x x -最小值为半个周期，由此得解.【详解】因为π()cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期2ππ2T ==，又由题意可知()1f x 为()f x 的最小值，()2f x 为()f x 的最大值，所以21x x -的最小值为π22T =.故选：B.二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.ππ2sin cos 1212=______.【答案】12##0.5【解析】【分析】利用正弦函数的倍角公式计算即可.【详解】ππππ12sincos sin 2sin 12121262⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭.故答案为：12.12.已知角α的终边经过点()3,4-，则cos 2=α．【答案】725-【解析】【详解】试题分析：由三角函数定义可得：4sin 5α=，由二倍角公式可得:2167cos 212sin 122525αα=-=-⨯=-考点：1．三角函数定义;2．二倍角公式13.13πtan 7⎛⎫- ⎪⎝⎭与7πtan 8⎛⎫- ⎪⎝⎭的大小关系是______（填：“,><或=”中的一个）.【答案】>【解析】【分析】根据诱导公式化简后，利用正切函数的单调性即可比较大小.【详解】因为13π13ππtan tan 2πtan 777⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，7π7ππtan tan πtan 888⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又πππ0872<<<，所以ππtan tan 87<，故13π7πtan tan 78⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：>.14.已知函数())1cos cos 2f x x x x =⋅-+，那么函数()f x 最小正周期为______；对称轴方程为______.【答案】①.π②.ππ,Z 32=+∈k x k 【解析】【分析】根据二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，继而利用周期公式及整体代入法求解对称轴即可.【详解】因为())1cos cos 2f x x x x =⋅-+21sin cos2x x x =-+1sin 2cos 222x x =-πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==，令ππ2π,Z 62x k k -=+∈,得ππ,Z 32=+∈k x k ，所以函数()f x 的对称轴为ππ,Z 32=+∈k x k .故答案为：π；ππ,Z 32=+∈k x k .15.已知()sin cos f x x x =⋅，x ∈R .有下列四个说法：①()f x 的一个正周期为2π；②()f x 在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单增；③()f x 值域为11,22⎡⎤-⎢⎣⎦；④()f x 图象关于πx =对称.其中，所有正确说法的序号是______.【答案】①③④【解析】【分析】利用三角函数的性质：周期性、奇偶性、单调性、对称性等知识即可求得结果.【详解】对于①，因为(2π)sin(2π)cos(2π)f x x x +=+⋅+sin cos ()x x f x =⋅=，所以①正确；对于②，当π[0,]4x ∈时，sin 0x ≥，此时1()sin cos sin 22f x x x x ==，又π2[0,]2x ∈，所以()f x 在π[0,4单调递增，因为()sin()cos()f x x x -=-⋅-sin cos ()x x f x =⋅=，()f x 为偶函数，所以()f x 在π[,0]4-单调递减，故②错误；对于③，因为()sin cos f x x x =⋅1sin 2,2π2ππ21sin 2,2ππ2π2π2x k x k x k x k ⎧≤≤+⎪⎪=⎨⎪-+<<+⎪⎩，(Z)k ∈所以()f x 值域为11,22⎡⎤-⎢⎣⎦，故③正确；对于④，因为(2π)sin(2π)cos(2π)f x x x -=-⋅-sin()cos()x x =-⋅-sin cos ()x x f x =⋅=，所以()f x 图象关于πx =对称.故答案为:①③④.三、解答题（共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16.已知函数()1π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的单调递增区间；（3）求方程()1f x =的解集．【答案】（1）4π（2）()2π4π4π,4π33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z （3）2π4π3x x k ⎧=+⎨⎩或}4π2π,x k k =+∈Z 【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦型函数的周期公式即可得到结果；（2）根据题意，由正弦型函数的单调区间，代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，列出方程，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】最小正周期T 2π4π12==.【小问2详解】∵sin y t =在()ππ2π,2π22t k k k ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦Z 上单增，∴令π1ππ2π2π2262k x k -+≤-≤+，∴2π4π4π4π33k x k -+≤≤+，∴()f x 的单增区间为()2π4π4π,4π33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .【小问3详解】令()1f x =即1π1sin 262x ⎛⎫-=⎪⎝⎭，∴1ππ2π266x k -=+或5π2π6k +，∴2π4π3x k =+或4π2πk +，∴方程()1f x =的解集是2π4π3x x k ⎧=+⎨⎩或}4π2π,x k k =+∈Z 17.已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求π3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的对称中心；（3）作出()f x 在一个周期内的图象（将给定的表格中填全，并描点画图）26x π+0x()f x【答案】（1）12（2）ππ,0,Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据函数的解析式代入求值即可；（2）整体代入法进行求解即可；（3）利用五点作图法填写表格作出图象即可.【小问1详解】因为()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以πππ5π1sin 2sin 33662f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】令π2π,Z 6x k k +=∈，得ππ,Z 122k x k =-+∈，所以函数的对称中心为ππ,0,Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭.【小问3详解】表格如下图：π26x +0π2π3π22πx π12-π65π122π311π12()f x 0101-0图象如下：18.已知函数π()4cos sin 16f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.（1）求π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）求()f x 在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）2（2）2；1-【解析】【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简()f x ，从而可得π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）由ππ64x -≤≤得ππ2π2663x -≤+≤，从而结合正弦函数的性质即可得解.【小问1详解】因为π()4cos sin 16f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭14cos cos 122x x x ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭2cos 2cos 1x x x =+-π2cos 22sin 26x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以πππ2sin 22666f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】由ππ64x -≤≤，可得ππ2π2663x -≤+≤，所以当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值2；当ππ266x +=-，即π6x =-时，()f x 取得最小值1-.19.已知函数()()πsin ,0,0,2f x A x x A ωϕωϕ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭R 部分图象如图所示．（1）求()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位长度得到函数()y g x =的图象，求曲线()y g x =的对称轴只有一条落在区间[]0,m 上，求m 的取值范围.【答案】（1）()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）π5π36m ≤<【解析】【分析】（1）由图象可知1A =，相邻的对称中心和对称轴距离相差4T ，再代入关键点可得解析式；（2）根据图象的变换得到()y g x =解析式，求解函数()y g x =的对称轴，由题意列不等式即可求解.【小问1详解】由图象可知()y f x =的最大值为1，最小值-1，故1A =；又2π5ππ2π431244T ω=-==且0ω>，∴2ω=，将点2π,13⎛⎫-⎪⎝⎭代入()y f x =得，2π4πsin 133f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴4π3π2π32k ϕ+=+，即π=2π,Z 6k k ϕ+∈，又π2ϕ<，∴π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；【小问2详解】由()y f x =的图象向右平移π6个单位长度得到函数πππ()sin 2sin 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令ππ2π62x k -=+得ππ,Z 32k x k =+∈，∴曲线()y g x =的对称轴为ππ,Z 32k x k =+∈，∵曲线()y g x =的对称轴只有一条落在区间[]0,m 上，∴π5π36m ≤<.20.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定.（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()π6g x f x f x a ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，若()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2+，求a 的值.条件①：()f x 的最小正周期为π；条件②：()f x 为奇函数；条件③：()f x 图象的一条对称轴为π4x =.【答案】（1）()sin 2f x x=（2）2【解析】【分析】（1）若选①②，先由周期求得2ω=，再利用奇函数求得0ϕ=即可；若选①③，先由周期求得2ω=，再利用对称轴π4x =求得0ϕ=即可；若选②③，由奇函数求得()sin f x x ω=，可取()sin 2f x x =，再由对称轴为π4x =，可求得()sin 6f x x =，解析式不唯一，不合题意；（2）先由()f x 求出()g x 并化简解析式，求得ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，再利用单调性求得最大值即可求解.【小问1详解】若选①②，则2ππT ω==,解得2ω=，又函数为奇函数，则()()f x f x -=-，即()()sin 2sin 2x x ϕϕ-+=-+，解得π,Z k k ϕ=∈，又π2ϕ<，所以0ϕ=，故()sin 2f x x =.若选①③，则2ππT ω==,解得2ω=，又()f x 图象的一条对称轴为π4x =，所以ππsin 2144f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=±⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故πππ,Z 22k k ϕ+=+∈，解得π,Z k k ϕ=∈，又π2ϕ<，所以0ϕ=，故()sin 2f x x =.若选②③，因为函数为奇函数，则()()f x f x -=-，即()()sin sin x x ωϕωϕ-+=-+，解得π,Z k k ϕ=∈，又π2ϕ<，所以0ϕ=，故()sin f x x ω=，可令2ω=，则()sin 2f x x =，又()f x 图象的一条对称轴为π4x =，所以ππsin 144f ωϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故πππ,Z 42k k ωϕ+=+∈，解得2πππ,Z 4k k ωϕ-=+∈，又π2ϕ<，所以6ω=，1k =时，符合题意，故()sin 6f x x =，此时函数()sin 2f x x =和()sin 6f x x =均为奇函数，且ππsin 21,sin 6144⎛⎫⎛⎫⨯=⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，均满足一条对称轴为π4x =，故解析式不唯一，不合题意.【小问2详解】有()1知()sin 2f x x =，则()()π6g x f x f x a ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭πsin 2sin 23x x a ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭1sin 2sin 2cos 222x x x a =+-+π26x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 得ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，故当ππ262x -=，即π3x =时，()max 2g x a =+=+故2a =.21.对于函数()y f x =，1x D ∈，()y g x =，2x D ∈及实数m ，若存在11x D ∈，22x D ∈，使得12()()f x g x m +=，则称函数()f x 与()g x 具有“m 关联”性质.（1）分别判断下列两组函数是否具有“2关联”性质，直接写出结论；①()f x x =，[]1,1x ∈-；()g x x =-，[]1,1x ∈-；②()e x f x =，1x ≥；()e x g x =，1x ≤；（2）若()sin f x x =与()cos 2g x x =具有“m 关联”性质，求m 的取值范围；（3）已知0a >，()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足：①在[]0,2a 上，当且仅当2a x =时，()f x 取得最大值1；②对任意x ∈R ，有()()0f a x f a x ++-=.求证：1sin π()y x f x =+与2cos π()y x f x =-不具有“4关联”性质.【答案】（1）①有；②没有；（2）[]22-,；（3）证明过程见解析.【解析】【分析】（1）根据具有关系“2关联”性质的定义判断即可.（2）求解()()12f x g x +的值域即可得出结果.（3）根据()f x 的性质求出其值域，结合三角函数的值域推理作答.【小问1详解】①存在[]111,1x =∈-，[]211,1x =-∈-，使得12()()1[(1)]2f x g x +=+--=，所以函数(),()f x g x 具有“2关联”性质；②1x ≥，()e e x f x =≥，而1x ≤，()0e e xg x <=≤，因此121,1x x ∀≥≤，()()12e f x g x +>，显然不存在1[1,)x ∈+∞，2(,1]x ∈-∞，使得()()122f x g x +=，所以函数(),()f x g x 不具有“2关联”性质.【小问2详解】()[]sin 1,1f x x =∈-，()[]cos21,1g x x ==∈-，则()()[]122,2f x g x ⎡⎤+∈-⎣⎦，[]2,2m ∈-，所以m 的取值范围是[]22-,.【小问3详解】因为在[]0,2a 上，当且仅当2a x =时，()f x 取得最大值1，又()f x 为定义在R 上的奇函数，则在[]2,0a -上，当且仅当2a x =-时，()f x 取得最小值1-，由对任意x ∈R ，有()()0f a x f a x ++-=，即()y f x =关于点(),0a 对称，又()()()f a x f a x f x a +-==--，于是函数()f x 的周期为2a ，因此()f x 的值域为[]1,1-；[][]sinπ1,1,cosπ1,1x x ∈-∈-，①当()11f x =时，12,Z 2a x na n =+∈，而1sinπ1x =时，112,Z 2x k k =+∈，若12222a na k +=+，则41,,Z 41k a k n n +=∈+时，有()111sin π2y x f x =+=；②当()21f x =-时，22,Z 2a x ma m =-+∈，而2cosπ1x =时，22,Z x t t =∈，若222a ma t -+=，则4,,Z 41t a t m m =∈-时，有()222cosπ2y x f x =-=，显然4144141k t a n m +=≠+-，因此()()1122sinπcosπ4x f x x f x ++-<，即不存在12R,R x x ∈∈，使得()()1122sinπcosπ4x f x x f x ++-=，所以()1sinπy x f x =+与()2cosπy x f x =-不具有“4关联”性质.【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.。
2023-2024学年北京市房山区高一下学期3月月考质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年北京市房山区高一下册3月月考数学试题一、单选题1．与2022 终边相同的角是（）A ．488-B ．144-C ．142D ．222【正确答案】D【分析】若两角终边相同，则两角应相差360 的整数倍，据此可得答案.【详解】A 选项，()20224882510︒︒︒--=，不是360 的整数倍，故A 错误；B 选项，()20221442166--=，不是360 的整数倍，故B 错误；C 选项，()20221421880-=，不是360 的整数倍，故C 错误；D 选项，()20222221800-=，是360 的5倍，故D 正确.故选：D2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．y x =B ．sin y x =C ．3y x=-D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐项进行判断即可.【详解】A.因为y x =是奇函数，又是增函数，故错误B.因为sin y x =是奇函数，但在定义域上不单调，故错误.C.因为3y x =-是奇函数，又是减函数，故正确.D.因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭非奇非偶，是减函数，故错误.故选：C本题主要考查函数的奇偶性和单调性，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.3．如图，在四边形ABCD 中，若AB DC =，则图中相等的向量是（）A ．AD 与CBB ．OB 与ODC ．AO 与OCD ．AC 与BD【正确答案】C【分析】利用向量相等的定义即可判断出图中相等的向量.【详解】由AB DC =，可得四边形ABCD 为平行四边形.选项A ：AD 与CB互为相反向量，判断错误；选项B ：OB 与OD互为相反向量，判断错误；选项C ：AO 与OC满足向量相等的定义，判断正确；选项D ：AC 与BD方向不同不满足向量相等的定义，判断错误.故选：C4．要得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需把函数sin 2y x =的图像（）A ．向右平移π3个单位B ．向左平移π3个单位C ．向右平移6π个单位D ．向左平移6π个单位【正确答案】C【分析】根据函数图象满足“左加右减”进行求解平移后的解析式，得到正确答案.【详解】把函数sin 2y x =的图象向右平移3π个单位得到π2πsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭把函数sin 2y x =的图象向左平移3π个单位得到π2πsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭把函数sin 2y x =的图象向右平移6π个单位得到ππsin 2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，把函数sin 2y x =的图象向左平移6π个单位得到ππsin 2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；故选：C5．若3a = ,4b = |,,a b 的夹角为135︒,则a b ⋅等于().A．-B．-C．D ．2【正确答案】B【分析】根据向量数量积的定义计算即可.【详解】因为3,4a b == ，,a b的夹角为135︒，所以cos135342a b a b ︒⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭故选:B.6．在ABC 中，点D 在BC 边上，2BD DC = ，则AD =（）A ．2133AB AC + B ．1233AB AC +C ．1122AB AC+ D ．1344AB AC+【正确答案】B【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案.【详解】23AD AB BD AB BC=+=+()212333AB AC AB AB AC =+-=+ .故选：B7．已知ABC ，则“sin cos A B =”是“ABC 是直角三角形”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】D【分析】若sin cos A B =，则2A B π+=或2A B π=+；若2A π=，则sin cos A B ≠；由充分条件和必要条件的概念即可得解.【详解】若sin cos A B =，则2A B π+=或2A B π=+，不能推出ABC 是直角三角形；若2A π=，则sin cos A B ≠，所以ABC 是直角三角形不能推出sin cos A B =;所以“sin cos A B =”是“ABC 是直角三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D .本题考查了三角函数的性质和充分条件、必要条件的概念，属于基础题.8．已知空间向量a ，b，且2AB a b =+ ，56BC a b =-+ ，72CD a b =- ，则一定共线的三点是（）A ．、、ABC B ．B CD 、、C ．A B D 、、D ．A C D、、【正确答案】C【分析】根据向量共线判断三点共线即可．【详解】解：567224BD BC CD a b a b a b=+=-++-=+2(2)2a b AB =+= ，又AB与BD 过同一点B ，∴A 、B 、D 三点共线．故选：C ．9．已知,a b 为单位向量，则2332a b a b +=- 是a b ⊥的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】因为向量,a b均为单位向量所以2332a b a b +=-⇔()()222332a b a b+=-⇔222241299124a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ⇔41299124a b a b +⋅+=-⋅+⇔0a b ⋅= ⇔a b ⊥ ，所以“2332a b a b +=- ”是“a b ⊥ ”的充要条件故选：B.本题考查的是向量数量积的应用和充要条件的判断，属于基础题.10．若平面向量a 与b的夹角为60°，()2,0a = ,1b = ，则2a b + 等于（）.AB ．C ．4D ．12【正确答案】B【分析】先根据数量积的定义求出a b，再根据模的计算法则求2a b + .【详解】由题意2a ==r ，1cos 602112a b a b ︒∴==⨯⨯= ，22a b +=；故选：B.11．已知非零向量a b ，满足2a b =，且ba b ⊥ （–），则a 与b的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【正确答案】B【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥ 得出向量,a b的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥ ，所以2()a b b a b b -⋅=⋅- =0，所以2a b b ⋅= ，所以cos θ=22||122||a b b b a b ⋅==⋅ ，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ．对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．12．在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-【正确答案】D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，表示出PA ，PB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=-- ，()cos ,4sin PB θθ=--，所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯-22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈-；故选：D二、填空题13．cos84cos51sin84sin 51︒︒-︒︒=__________.【正确答案】##【分析】根据和角余弦公式的逆用，即可求解.【详解】()cos84cos51sin 84sin 51cos 8451cos135cos 452︒︒-︒︒=︒+︒=︒=-︒=-故214．若4cos 5=-α，且α为第三象限角，则sin α=________；【正确答案】35-【分析】先根据同角三角函数的关系求出sin α，再结合第三象限角判断符号即可.【详解】4cos ,5α=- 且α为第三象限角，3sin 5α∴==-，故答案为.35-15．已知向量a ，b满足2a = ，1b = ，a b += a b -=r r _________.【分析】根据模长公式及向量的数量积公式求解即可.【详解】由a b += 可得，2223a a b b +⋅+= ，即4213a b +⋅+=，解得：1a b ⋅=- ，所以a b -===16．已知πcos 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.【正确答案】13-【分析】首先将πsin 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭化简为ππsin 262α⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再利用诱导公式和余弦二倍角公式即可得到答案.【详解】2πππππ1sin 2sin2cos 212cos 662663αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为.13-17．若点(cos ,sin )A θθ关于y 轴对称点为(cos(66B ππθθ++，写出θ的一个取值为___．【正确答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）【分析】根据,A B 在单位圆上，可得,6πθθ+关于y 轴对称，得出2,6k k Z πθθππ++=+∈求解.【详解】 (cos ,sin )A θθ与cos ,sin 66B ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称，即,6πθθ+关于y 轴对称，2,6k k Z πθθππ++=+∈，则5,12k k Z πθπ=+∈，当0k =时，可取θ的一个值为512π.故512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）.三、双空题18．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上一点，且25AP AC =，则DP BP ⋅= __________，若点M 为线段BD （含端点）上的动点，则MP MB ⋅的最小值为__________．【正确答案】1225-18-【分析】建立平面直角坐标系，求得正方形各顶点坐标，利用向量的坐标运算求得22(,)55P ，可得,DP BP 的坐标，根据数量积的坐标运算，求得DP BP ⋅；设(,),01DM DB λλλλ==-≤≤ ，表示出(,1)M λλ-，可得,MP MB 坐标，继而求得MP MB ⋅ 的表达式，结合二次函数性质求得MP MB ⋅的最小值.【详解】如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则(1,),(0,0),00(),,,11(1)A B D C ，∴(1,1)AC =，∵P 是对角线AC 上一点，且2225(,)55AP AC == ，可得22(,)55P ，∴3(2,)55DP =- ，2(,)553BP =- ，∴33212()()5555225DP BP ⋅=⨯-+-⨯=- ；因为点M 为线段BD （含端点）上的动点，则设(,),01DM DB λλλλ==-≤≤,故(,1)M λλ-，所以23=(,)55MP λλ-- ，=(1,1)MB λλ-- ，故222331(,)(1,1)23125548MP MB λλλλλλλ⋅=--⋅--=-+=-- （，由于01λ≤≤，所以34λ=时，231248λ--（取到最小值18-，即MP MB ⋅ 的最小值为18-，故1225-；18-四、解答题19．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(1)求sin cos αα+的值；(2)求sin(π)cos(π)πtan(2π)sin()2αααα--+++的值.【正确答案】(1)15-；(2)14【分析】（1）先利用三角函数定义求得sin cos αα、的值，进而求得sin cos αα+的值；（2）先求得tan α的值，再利用三角函数诱导公式即可求得该式的值.【详解】（1）角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则43sin ,cos 55αα=-=，则431sin cos 555αα+=-+=-；（2）由（1）得43sin ,cos 55αα=-=，则4tan 3α=-，则sin(π)cos(π)sin cos πtan cos tan(2π)sin()2αααααααα--++=++41sin cos tan 1134sin tan 43ααααα-+++====-20．已知函数()cos(2)2sin cos 3f x x -x x π=-.（I ）求f (x )的最小正周期；（II ）求证：当[,]44x ππ∈-时，()12f x ≥-．【正确答案】（1）22T ππ==（2）见解析【详解】试题分析：（Ⅰ）首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角公式化简为()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最后根据公式2T πω=求周期；（Ⅱ）先求23x π+的范围再求函数的最小值.试题解析:（Ⅰ）()31sin2sin2sin2sin 2223f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期22T ππ==.（Ⅱ）因为44x ππ-≤≤，所以52636x πππ-≤+≤.所以1sin 2sin 362x ππ⎛⎫⎛⎫+≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()12f x ≥-.【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，属于基础题，要求准确应用两角差的余弦公式和辅助角公式进行变形，化为标准的()sin y A ωx φ=+的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等，但要注意函数的定义域，求最值时要注意自变量的取值.21．已知1a =，2b = ．(1)若a b ∥ ，求a b；(2)若,60a b =︒ ，求a b + ；(3)若a b - 与a垂直，求当k 为何值时，()()2ka b a b -⊥+ ？【正确答案】(1)2±(3)3【分析】（1）由平行向量的定义可知，若a b ∥ ，则它们的夹角为0 或180 ，即可计算a b；（2）根据平面向量的应用可知将a b + 平方即可求得结果；（3）根据a b - 与a 垂直可得1a b = ，再由()()02ka b a b +-=可计算出3k =.【详解】（1）由a b ∥可知，,a b 两向量的夹角为0 或180 ，当夹角为0时，cos 0122a b a b ==⨯=；当夹角为180时，cos18012(1)2a b a b ==⨯⨯-=-；所以，2a b =±.（2）由题意可知，若,60a b =︒ ，则1,cos 12cos 60a a b b a b ==⨯⨯= 22221427a b a b a b =+++=++= ，所以a b += .（3）由a b - 与a 垂直可得()0a b a -= ，即1a b = ；若()()2ka b a b -⊥+ ，则()()02ka b a b +-= ，即22220k a ka b a b b +--= ，得390k -=，所以3k =.当3k =时，()()2ka b a b -⊥+ .22．已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为π；②最大值为2；③()01f =-；④06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）给出函数()f x 的解析式，并说明理由；（2）求函数()f x 的单调递增区间【正确答案】（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，理由见解析；（2）5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【分析】（1）根据题意，先判断()f x 不能满足条件③，再由条件①求出2ω=，由条件②，得2A =，由条件④求出3πϕ=，即可得出函数解析式；（2）根据正弦函数的单调区间，列出不等式，即可求出结果.【详解】（1）若函数()f x 满足条件③，则(0)sin 1f A ϕ==-.这与0A >，02πϕ<<矛盾，故()f x 不能满足条件③，所以函数()f x 只能满足条件①，②，④.由条件①，得2||ππω=，又因为0ω>，所以2ω=.由条件②，得2A =.由条件④，得2sin 063f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为02πϕ<<，所以3πϕ=.所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）由222232k x k πππππ-≤+≤+，Z k ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+，所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.本题主要考查由三角函数的性质求函数解析式，以及求正弦型函数的单调区间，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.。
北京市高一下学期3月月考数学试题(解析版)
一、单选题1．已知向量，，则（ ）．()4,3a =- ()5,12b = a b ⋅=A ．52B ．C ．D ．163-10-【答案】D【分析】直接根据数量积的坐标运算求解.【详解】由已知得. 203616a b =-+⋅=故选：D.2．如图，在矩形中，为中点，那么向量等于（ ） ABCD E BC 12AD AE +A ．B ．C ．D ．AB AC BC BE 【答案】B【解析】根据平面向量的线性运算，直接可得出结果. 【详解】因为在矩形中，为中点， ABCD E BC 所以. 1122AD AE BC AE EC AE AC +=+=+=故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题型.3．设是向量，则“”是“”的 ,a ba b = a b a b +=- A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【详解】试题分析：由无法得到，充分性不成立；由，得a b = a b a b +=- a b a b +=- ，两向量的模不一定相等，必要性不成立，故选D.0a b ⋅=【解析】充要条件,向量运算【名师点睛】由向量数量积的定义(为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘cos a b a b θ⋅=⋅⋅ a b积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.4．已知，，，则（ ）．2a = 4b = a b λ=a b -=r r A ．1 B ．2 C ．3 D ．2或者6【答案】D【详解】根据条件可得与共线，进而得到关系，代入目标式计算即可.a b,a b 【点睛】，a b λ=与共线，a ∴r b又，，则或，2a = 4b = 12a b =12a b =- 或.11222a b b b b ∴-=-== 13622a b b b b -=--==故选：D.5．向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则（ ） 12a b e e ，，，12()a b e e R λμλμ-=+∈ ，λμ=A ．3B ．C ．-3D ．1313-【答案】D【分析】利用向量减求得，利用向量的坐标运算性质，向量相等即可得出． ()1,3a b -=-【详解】解： 根据向量的减法得,()1,3a b -=-，()()()121,00,1,a b e e λμλμλμ+=-=+=且，∴1λ=3μ=-因此，则13λμ=-故选：D ．6．在直角坐标平面内，为坐标原点，已知点，将向量绕原点按逆时针方向xOy O 1,2A ⎛- ⎝OA旋转得到，则的坐标为（ ）2πOA ' OA 'A ．B ．C ． D．21⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭21⎫-⎪⎪⎭1,2⎛ ⎝12⎛- ⎝【答案】B【分析】结合平面向量模长的坐标计算公式即可求出结果.【详解】设，且，则, (),A x y '0,0x y><()1,,,,2A A x y OA x y ⎛⎫''=--= ⎪ ⎪⎝⎭所以，解得， 22221221x y x y ⎧⎛⎫⎛⎫⎪--+-= ⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪+=⎩12x y ⎧⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则，12OA ⎫'=-⎪⎪⎭ 故选：B.7．已知，是非零向量且满足，，则的形状为AB AC()2AB AC AB -⊥ ()2AC AB AC -⊥ ABC （ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】B【分析】由、是非零向量且满足，，利用向量垂直与数AB AC(2)AB AC AB -⊥ (2)AC AB AC -⊥ 量积的关系可得，进而得到，即(2)(2)0AB AC AB AC AB AC -=-= 22||||2||||cos AB AC AB AC BAC ==∠可得出．【详解】、是非零向量且满足，，AB AC(2)AB AC AB -⊥ (2)AC AB AC -⊥ ， ∴(2)(2)0AB AC AB AC AB AC -=-=，∴22||||2||||cos AB AC AB AC BAC ==∠，．∴||||AB AC =60BAC ∠=︒是等边三角形，ABC ∴ 故选：B8．已知向量，，．若λ为实数，()∥，则λ＝（ ）.(1,2)a = (1,0)b = (3,4)c = a λb + cA ．B ．C ．1D ．21412【答案】B【分析】先求出的坐标，再由()∥，，列方程可求得结果a λb + a λb + c【详解】因为向量，，(1,2)a =(1,0)b = 所以，(1,2)(1,0)(1,2)a b λλλ+=+=+因为()∥，，a λb +c (3,4)c =所以，解得， 1234λ+=12λ=故选：B9．已知平面向量，满足，与的夹角为120°，记，的取值a b 2a = a a b -()()1m ta t b t R =+-∈ m u r 范围为（ ）A ．B ．C ．D ．)+∞)+∞[)1,+∞1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】设，根据与的夹角为120°，得到，再根据,a OA b OB == a a b -120,60OAB OAC ∠=∠= ，得到的终点在直线AB 上求解. ()()1m ta t b t R =+-∈ ,,m a b【详解】设，如图所示：,a OA b OB ==则，a b OA OB BA -=-=r r u u r u u u r u u r 因为与的夹角为120°， a a b -所以，120,60OAB OAC ∠=∠= 因为，且的起点相同， ()()1m ta t b t R =+-∈ 11,,,t t m a b +-=所以其终点共线，即在直线AB 上，所以当时，最小，最小值为 m AB ⊥m ur 所以的取值范围为，m u r )+∞故选；A10．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的ABC 12AN NC = P BN 1139AP m AB AC⎛⎫=++ ⎪⎝⎭m 值为（ ）A ．B ．C ．D ．19292313【答案】D【分析】利用向量的线性运算将条件化为，再根据1139AP m AB AC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1133AP m AB AN ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 、、三点共线，得出，即可求解B P N 11+133m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【详解】由题意可知，，所以，12AN NC = 3AC AN =又，即.1139AP m AB AC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1133AP m AB AN ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 因为、、三点共线，所以，解得.B P N 11+133m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭13m =故选：D ．二、填空题11．已知平面向量，，且，则实数_______________. ()2,a k = ()3,2b = a b ⊥k =【答案】3-【分析】由向量垂直的坐标表示列方程即可求解.【详解】因为，，且，()2,a k = ()3,2b = a b ⊥所以，解得：，2320a b k ⋅=⨯+=3k =-故答案为：.3-12．已知两个力，的夹角为直角，且已知它们的合力与的夹角为，，则的1F 2F F 2F π310N F = 2F 大小为__________N ． 【答案】5【分析】根据向量夹角公式列方程，结合数量积的运算律化简可求的大小. 2F【详解】因为，的夹角为直角，它们的合力， 1F 2F F 所以，，12π,2F F = 12F F F =+所以，，120F F ⋅= ()()22212222F F F F F F F ⋅=+⋅== 因为与的夹角为，F 2F π3所以，又2221cos ,2F F F F F F ⋅==⋅10N F = 所以. 25F = 故答案为：.513．已知，与的夹角为，则在方向上的投影向量的模为__________． 3a = a b 120︒a b【答案】## 321.5【分析】直接根据公式求解即可.【详解】在方向上的投影向量的模为.a b 31223os 01c 2a ⎛⎫=⨯ ⎝︒-=⎪⎭ 故答案为：. 3214．如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的614 ()sin y A x b ωϕ=++函数解析式为______________．【答案】， 310sin 2084y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭[]6,14x ∈【解析】根据图象得出该函数的最大值和最小值，可得，，结合图象max min2y y A -=max min 2y y b +=求得该函数的最小正周期，可得出，再将点代入函数解析式，求出的值，即可T 2Tπω=()10,20ϕ求得该函数的解析式.【详解】由图象可知，，，，， max 30y =min 10y =max min102y y A -∴==max min 202y y b +==从题图中可以看出，从时是函数的半个周期，则，614 ()sin y A x b ωϕ=++()214616T =⨯-=. 28T ππω∴==又，，得，取， 10228k πϕππ⨯+=+Z k ∈()324k k Z πϕπ=+∈34πϕ=所以，． 310sin 2084y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭[]6,14x ∈故答案为：，．310sin 2084y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭[]6,14x ∈【点睛】本题考查由图象求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.三、双空题15．如图，在菱形 中，，.ABCD 3B π∠=4AB =（1）若为的中点，则 ______P BC ·PA PB =（2）点在线段上运动，则||的最小值为___________P BC PA PB +【答案】 0， 【分析】（1）菱形ABCD 中，∠B ，AB ＝4，P 为BC 的中点，可判断AP ⊥BP 可求3π=（2）可设BP ＝x ，M 为AB 中点，结合向量加法的平行四边形法则可知||＝2||，然后PA PB + PM结合余弦定理及二次函数的性质可求. 【详解】（1）菱形ABCD 中，∠B ，AB ＝4，P 为BC 的中点，3π=∴BP ＝2，AP ＝ ∴AP 2+BP 2＝AB 2，即AP ⊥BP则•0PA PB = （2）∵点P 在线段BC 上运动， 可设BP ＝x ，M 为AB 中点 则||＝2||PA PB + PM △BPM 中，PM 2x 2-2x +4，2212222x x ⎛⎫=+-⨯⨯= ⎪⎝⎭∵0≤x ≤4，当x ＝1时，PM ||＝2||的最小值为PA PB + PM故答案为0，【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算性质及向量的基本运算，二次函数性质的应用，属于中档试题四、填空题16．设向量与的夹角为，定义与的“向量积”： 是一个向量，它的模为a b θa ba b ⨯ ．若 ，则 ____________． ||||||sin a b a b θ⨯=⋅⋅ (1,1),(0,2)a b =-= ||a b ⨯=【答案】2【分析】根据向量积的定义求解即可.【详解】由 ()()1,1,0,2a b =-=10122,a b =-⨯+⨯=则 ，又 ，所以 ，即， cos a b a b θ== []0,θπ∈4πθ=sin θ=又 ；sin 22a b a b θ⨯=== 故答案为：2．五、解答题17．已知，，与的夹角为．4a = 8b = a b2π3(1)求；a b + (2)当为何值时，？ k ()()2a b ka b +⊥-【答案】(1)(2) 7k =-【分析】（1）根据向量数量积定义和运算律可求得，进而得到；2a b + a b + （2）由向量垂直可得，根据向量数量积定义和运算律可构造方程求得结果.()()20a b ka b +⋅-=【详解】（1）， 2πcos ,32cos 163a b a b a b ⋅=⋅<>==-，222216326448a b a a b b ∴+=+⋅+=-+= a b ∴+= （2）由得：()()2a b ka b +⊥-，()()()()2222121616211280a b ka b k a k a b b k k +⋅-=+-⋅-=---=解得：.7k =-18．如图，在中，设，，又，，向量，的夹角为．ABC AB a =AC b = 2BD DC = 2,1a b == a b π3(1)用，表示；a b AD (2)若点E 是边的中点，直线交于F 点，求．AC BE AD AF BC ⋅【答案】(1)1233AD a b =+(2) 35-【分析】（1）利用几何图形，对向量做加减线性运算即可；（2）根据E ，F ，B 三点共线，得，再设，通过平面12AF AB AC λλ-=+ 233AF AD a b μμμ==+ 向量基本定理求出，再根据向量的数量积即可求出答案. λ【详解】（1）,,2AB a AC b BD DC ===；221212()333333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC a b ∴=+=+=+-=+=+ （2）E ，F ，B 三点共线，存在实数使，∴λ11(1)22AF AB AE AB AC a b λλλλλλ--=+-=+=+设， 233AF AD a b μμμ==+，解得，31223μλλμ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ 15λ=，1255AF a b ∴=+ 由，向量，的夹角为得，2,1a b == a b π311212a b ⋅=⨯⨯= 112()()()()255AF BC AB AC AC AB a b b a λλ-∴⋅=+⋅-=+- .22121121345555555a b a b =-+-⋅=-⨯+-=- 19．记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，，． ABC 21a t =-4b t =()411c t t =+>(1)当时，求；3t =cos B (2)是否存在正整数t ，使得角C 为钝角？若存在，求t 的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)513(2)存在， 2t =【分析】（1）代入值，直接用余弦定理求解即可； t cos B （2）通过可求得t 的值.cos 0C <【详解】（1）当时，，，，3t =5a =12b =13c =；222251691445cos 2251313a c b B ac +-+-∴===⨯⨯（2）假设存在正整数t ，使得角C 为钝角，则，222cos 02a b c C ab+-=<即， ()()2222222116410a b c t t t +-=-+-+<1t >解得，13t <<，2t ∴=所以存在正整数，使得角C 为钝角. 2t =20．已知△中，，．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，ABC 7cos 8C =3a =求：（1）的值； b （2）△的面积．ABC条件①：；2b c =条件②：．6b c +=注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案不唯一，具体见解析．【分析】若选择①，（1）由余弦定理可得或．3b =4b =（2）先求得的值,再利用三角形面积公式计算;sin C 若选择②，（1）由余弦定理求得．4b =（2）先求得的值,再利用三角形面积公式计算．sin C 【详解】解：若选择①，（1）由，得， 7cos 8C =222728a b c ab +-=由，，得，3a =2b c =229()7268b b b +-=解得或．3b =4b =（2），，则7cos 8C =0πC <<sin C =当时，，△的面积 3b =3a =ABC 11sin 3322S ab C ==⨯⨯当时，，△的面积 4b =3a =ABC 11sin 3422S ab C ==⨯⨯=若选择②， （1）由，得， 7cos 8C =222728a b c ab +-=由，，得， 3a =6b c +=229(6)768b b b +--=解得．4b =（2），，则7cos 8C =0πC <<sinC=所以△的面积 ABC 11sin 3422S ab C ==⨯⨯=21．已知数集．如果对任意的{}()123123,,,,1,2,n n A a a a a a a a a n n *=≤<<<<≥∈N L L ，与两数中至少有一个属于A ，则称数集A 具有性质P ．(),1,,i j i j n i j n *≤≤≤∈N 且i j a a ji a a (1)分别判断数集，是否具有性质，并说明理由；{}2,3,6{}1,3,4,12P (2)设数集具有性质P ．若{}()123123,,,,1,2,n n A a a a a a a a a n n *=≤<<<<≥∈N L L，证明：对任意都有是的因数． ()1,2,3,k a k *∈=N L ()1,i n i n *≤≤∈N i a n a 【答案】(1)数集不具有性质，具有性质；{}2,3,6P {}1,3,4,12P (2)证明见解析.【分析】（1）根据定义检验数集是否满足条件即可.（2）假设存在不是的因数，结合性质推出矛盾，由此证明结论.i a n a 【详解】（1）因为，，6636,661⨯=÷={}36,12,3,6∉所以数集不具有性质，{}2,3,6P 因为，111,133,144,11212,3412⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=， 1341212121,4,31341234======即对于任意的，与两数中至少有一个属于A ，(),1,,i j i j n i j n *≤≤≤∈N 且i j a a ji a a 所以数集具有性质，{}1,3,4,12P （2）假设存在一个数不是的因数．i a n a 又，()1,2,3,k a k *∈=N L 所以，且，N i a *∈1i a >所以，所以，i n n a a a ⋅>i n a a A ⋅∉又不是自然数，所以， n ia a n i a A a ∉这与数集具有性质相矛盾，A P 假设不成立，所以对任意都有是的因数． ()1,i n i n *≤≤∈N i a n a 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。
2023-2024学年北京市顺义区高一下学期3月月考质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年北京市顺义区高一下册3月月考数学试题一、单选题1．下列各组向量中，可以作为基底的一组是（）A ．()10,0e = ，()20,1e =u rB ．()11,2e =- ，()23,6e =-C ．()13,4e = ，()23,4e =--D ．()12,1e =u r ，232,4e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 【正确答案】D【分析】判断所给的两个向量是否共线，若不共线，则可以作为一组基底【详解】选项A ：因为0100⨯=⨯，所以向量1e ，2e共线，故A 错误，选项B ：因为()1623-⨯-=⨯，所以向量1e ，2e共线，故B 错误，选项C ：因为()()3443⨯-=⨯-，所以向量1e ，2e共线，故C 错误，选项D ：因为32124⎛⎫⨯-≠⨯ ⎪⎝⎭，所以向量1e ，2e 不共线，故D 正确，故选：D.2．函数()22cos 2sin 2f x x x =-的最小正周期是（）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【正确答案】A【分析】利用二倍角公式化简()f x 解析式，由此求得其最小正周期.【详解】依题意()cos 4f x x =，所以()f x 的最小正周期为242T ππ==.故选：A3．cos 72cos12sin 72sin12+=A ．12-B ．12C ．D ．2【正确答案】B【详解】()1cos72cos12sin72sin12cos 7212cos602+=-=︒=.故选：B.4．已知非零向量a b ，满足2a b =，且ba b ⊥ （–），则a 与b的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【正确答案】B【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥ 得出向量,a b的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥ ，所以2()a b b a b b -⋅=⋅- =0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||122||a b b b a b ⋅==⋅ ，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ．对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．5．为了得到函数1cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数1cos 2y x =图象上所有的点（）A ．向左平移3π个单位长度B ．向左平移6π个单位长度C ．向右平移3π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度【正确答案】C【分析】根据已知条件，结合“左加右减”的原则即可求解.【详解】∵1π1πcos cos 2623y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴把函数1cos 2y x =的图形向右平移π3个单位可得到函数1cos 26πy x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：C.6．在ABC中，若222a c b +=，则B ∠=（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【正确答案】D【分析】利用余弦定理直接求解即可.【详解】因为222a c b +=，所以222a c b +-=，所以222cos 222a c b B ac ac +-===-，又(0,)B π∈，所以56B π=.故选：D7．设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC的夹角为锐角”是“AB AC BC +> ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.【详解】∵A ､B ､C 三点不共线,∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AB -AC |⇔|AB +AC |2>|AB -AC|2AB ⇔•AC >0AB ⇔与AC的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC|”的充分必要条件,故选C.本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.8．在平行四边形ABCD 中，1AD =，12AB =，60BAD ︒∠=，E 为CD 的中点，则·AC BE = （）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【正确答案】C作出图形，利用AB 、AD 表示向量AC 、BE，然后利用平面向量数量积的运算律可求得AC BE ⋅ 的值.【详解】如下图所示：由题意可得AC AB AD =+ ，12BE BC CE AD AB =+=-，1AD = ，12AB =，60BAD ∠= ，1cos 4AB AD AB AD BAD ∴⋅=⋅∠= ，因此，()22111222AC BE AD AB AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅- ⎪⎝⎭ 221111112422⎛⎫=+⨯-⨯= ⎪⎝⎭.故选：C.关键点点睛：本题考查平面向量数量积的计算，解答的关键就是利用合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.9．如果平面向量(2,1)a =，()1,3b = .那么下列结论中正确的是（）A ．3b a=B ．//a bC ．a 与b的夹角为30D ．a 在b上的投影向量的模为2【正确答案】D【分析】由向量模长的坐标公式、向量共线的坐标公式、向量夹角的坐标公式以及向量的投影求解即可.【详解】对于A，a b = 3b a ≠，A 错误；对于B ，2311⨯≠⨯，则,a b不平行，B 错误；对于C，cos ,2a b a b a b ⋅==⋅，又,0,180a b ⎡⎤∈⎣⎦ ，则,45a b = ，C 错误；对于D ，a 在b上的投影向量的模为2a b b⋅，D 正确.故选：D.10．已知O 为坐标原点，点P 在以(0,1)为圆心的单位圆上，(2,0)A -，则AO AP ⋅的最大值为（）A ．2B ．4C ．6D．【正确答案】C【分析】由条件可知点P 的方程，三角换元写出P 点坐标，用坐标表示AP ，AO，坐标运算向量的数量积，根据角的范围即可求出最大值.【详解】解：点P 在以()0,1为圆心的单位圆上，所以点P 的方程为()2211x y +-=，设P [)cos ,0,2π1sin x y θθθ=⎧∈⎨=+⎩，则()cos 2,1sin AP θθ=++ ，()2,0AO = ，所以[]2cos 42,6AO AP θ⋅=+∈ ，即AO AP ⋅的最大值为6.故选：C 二、填空题11．已知tan 2α=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．【正确答案】13-【分析】根据正切函数两角和公式直接运算即可.【详解】()πtan tanπ2114tan π412131tan tan 4ααα+-+⎛⎫+===- ⎪--⨯⎝⎭-⋅.故答案为.13-三、双空题12．已知向量(4,3)a =- ，(6,)b m = ，若a b ⊥ ，则m =________，若a b∥，则m =________．【正确答案】892-【分析】根据平面向量共线以及垂直的坐标运算，即可得到结果.【详解】由题意可得，若a b ⊥，则46308m m -⨯+=⇒=；若a b ∥，则43962m m -=⇒=-故答案为:8;92-四、填空题13．向量a →，b →在正方形网格中的位置如图所示，则cos ,a b →→<>=__________.【正确答案】【分析】建立平面直角坐标系，通过平面向量夹角的坐标运算得到答案.【详解】根据题意，设正方形网格的边长为1，如图建立坐标系，则()3,1a →=，()1,2b →=--，故||9110a →=+=||145b →=+325a b →→⋅=--=-，故2cos ,||||a ba b a b →→→→→→⋅<>==-故答案为.2214．在矩形ABCD 中，6AB =，4=AD ，E 为CD 的中点，若3EF FB = ，AF AB AD λμ=+，则λμ+=________．【正确答案】98【分析】建立如下图的平面直角坐标系，求出各点坐标，由平面向量线性运算的坐标表示可得AF的坐标，由()6,4AF λμ=，列方程组，解方程组可得λ和μ的值即可求解.【详解】建立如下图的平面直角坐标系，由已知得()6,0B ，()0,4D ，()3,4E ，()3,4EB =-，由3EF FB = 得934,34EF EB ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，设(),F x y ，则()93,4,34x y ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，可得93443x y ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩，解得2141x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以21,14F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21,14AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又因为()()()6,00,46,4AF AB AD λμλμλμ=+=+=，所以412164μλ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得78λ=，14μ=，则98λμ+=.故答案为.9815．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转简车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点(3,A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(,)x y ，其纵坐标满足()sin()y f t R t ωϕ==+（0t ≥，0ω>，π2ϕ<），①π3ϕ=-②当(]0,60t ∈时，函数()y f t =单调递增③当100t =时，6PA =④当(]0,60t ∈时，()f t的最大值为则上面叙述正确的是________．【正确答案】①③【分析】根据题意，结合条件可得,ωϕ的值，从而求得函数()f x 的解析式，然后根据正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】由题意，6R ==，120T =，所以2ππ60T ω==，又点(3,A -代入()f t 可得6sin ϕ-=，解得sin ϕ=，又π2ϕ<，所以π3ϕ=-，故①正确；因为()ππ6sin 603f t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当(]0,60t ∈时，πππ2π,60333t ⎛⎤-=∈- ⎥⎝⎦，所以函数()f t 先增后减，故②错误；当100t =时，ππ4π6033t -=，P的纵坐标为y =-3x =-，所以336PA =--=，故③正确；当(]0,60t ∈时，点P 到x 轴的距离的最大值为6，故④错误；所以说法正确的是①③故答案为:①③五、解答题16．已知向量a 与b 的夹角3π4θ=，且3a =，b = ．(1)求a b ⋅，()(2)a b a b +⋅- ；(2)求a b + ；(3)a与a b + 的夹角的余弦值．【正确答案】(1)6a b ⋅=- ，()(2)1a b a b +⋅-=-【分析】（1）根据数量积的定义求解a b ⋅，利用数量积的运算()(2)a b a b +⋅- ；（2）按照数量积的性质求解模长即可；（3）根据向量夹角余弦值的公式运算即可.【详解】（1）已知向量a 与b 的夹角3π4θ=，且3a =，b =，则3πcos 3642a b a b ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()22()(2)296281a b a b a a b b +⋅-=-⋅-=---⨯=-；（2）a b +=（3）a 与a b + 的夹角的余弦值为()2cos ,5a a b a a b a a b a a b a a b ⋅++⋅+====⋅+⋅+.17．已知向量(1,3)a =- ，(1,2)b =．(1)求a b ⋅ ；(2)求2a b - 及a 在b上的投影向量的坐标；(3)()a mb a -⊥，求m 的值．【正确答案】(1)5(2)25a b -=，a 在b 上的投影向量的坐标为()1,2(3)2m =【分析】（1）根据数量积的坐标运算即可；（2）根据向量坐标的线性运算求解2a b -的坐标，即可得2a b - ；按照投影向量的定义列式求解即可；（3）由向量垂直得数量积为零，进行计算即可得m 的值．【详解】（1）已知向量(1,3)a =- ，(1,2)b = ，所以11325a b ⋅=-⨯+⨯=；（2）()()()221,31,23,45a b -=--=-=，又a 在b 上的投影向量的坐标为()()225cos ,1,21,2b a b a a b b b b⋅⋅=⋅=⋅= （3）因为()a mb a -⊥ ，所以()222()1350a mb a a ma b m -⋅=-⋅=-+-= ，解得2m =.18．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且3tan 4α=．(1)求tan 2α，sin 2α，cos 2α；(2)若β为锐角，且5cos()13αβ+=，求sin β．【正确答案】(1)24tan 27α=，24sin 225α=，7cos 225α=.(2)sin β=3365【分析】（1）二倍角公式直接求tan 2α，由tan 2α的正负判断角的范围，结合()()22sin 2cos 21αα+=解出sin 2α和cos 2α的值.（2）由tan α的值和α的范围求出sin α、cos α的值，利用βαβα=+-，结合两角差的正弦公式即可求出sin β的值.【详解】（1）解：因为3tan 4α=，所以232tan 242tan 291tan 7116ααα===--；又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()20,πα∈，24tan 207α=>，所以π20,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 20α>，cos 20α>，又sin 224tan 2cos 27ααα==，且()()22sin 2cos 21αα+=，解得：24sin 225α=，7cos 225α=.（2）因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且3tan 4α=，所以3sin 5α=，4cos 5α=，因为β为锐角，5cos()013αβ+=>，所以12sin()13αβ+=，则()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+124533313513565=⨯-⨯=.19．设平面向量21,cos 2a x x ⎫=-⎪⎭ ，(cos ,1)b x =- ，函数()f x a b =⋅ ．(1)求()f x 的单调增区间；(2)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域；(3)若锐角α满足124f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，求2πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【正确答案】(1)πππ,π,Z63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(3)78-【分析】（1）化简得到()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取πππ2π22π262k x k -≤-≤+，解得答案.（2）π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，得到值域.（3）代入数据得到π1sin 264f αα⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得到22ππcos 22sin 136αα⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，计算得到答案.【详解】（1）()211cos 21cos cos 22222x x x x f x a b x +=-+=-=⋅+1π2cos 2sin 2226x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，取πππ2π22π262k x k -≤-≤+，Z k ∈，解得ππππ63k x k -≤≤+，Z k ∈，故()f x 的单调增区间为πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，（2）π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故()1,12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（3）π1sin 264f αα⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22ππππ7cos 2cos 2πcos 22sin 136668αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20．如图，在ABC 中，D 是BC 边上一点，3cos 5C =，7CD =，5AC =．（1）求AD 的长；（2）若8AB =，求角B 的大小【正确答案】（1）AD =（2）6B π=【分析】（1）直接利用余弦定理求出结果．（2）利用余弦定理和正弦定理求出结果．【详解】解：（1）在ADC △中，3cos 5C =，7CD =，5AC =．利用余弦定理2222232cos 57257325AD AC CD AC CD C =+-=+-⨯⨯⨯= ，解得AD =（2）利用余弦定理222cos 2AD CD AC ADC AD CD +-∠=所以sin sin BDA ADC ∠=∠，在ABD △中，利用正弦定理sin sin AB AD BDA B =∠∠，整理得12sin 82B ∠==，故6B π=．本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．21．在ABC 中，73a c =，sin C =(1)A ∠的大小；(2)cos B 和b 的值．条件①：1b a -=；条件②：3cos 2c A =-．【正确答案】(1)若选择①：π3A ∠=；若选择②：2π3A ∠=(2)若选择①：1cos 7B =-，8b =；若选择②：11cos 14B =．5b =【分析】选择①：1b a -=．（1）在ABC 中，由73a c =，sin C =，结合正弦定理得sin A ．由1b a -=，得a b <，推出A ∠；（2）由73a c =，推出02C π<∠<．由sin C =，推出cos C ，cos B ，再由正弦定理可得b ．选择②：3cos 2c A =-．（1）在ABC 中，因为73a c =，sin 14C =，结合正弦定理得sin A ．由3cos 02c A =-<，得ππ2A <∠<，推出A ∠；（2）因为73a c =，推出π02C <∠<．由sin C =，推出cos C ，cos B ，再由正弦定理可得b ．【详解】（1）选择①：1b a -=．在ABC 中，因为73a c =，sin C =，所以由正弦定理得sin sin a A C c ==因为1b a -=，所以a b <．所以π02A <∠<．所以3A π∠=．选择②：3cos 2c A =-．在ABC 中，因为73a c =，sin C =，所以由正弦定理得sin sin a A C c ==在ABC 中，3cos 02c A =-<，所以ππ2A <∠<．所以2π3A ∠=．（2）选择①：1b a -=．因为73a c =，所以a c >．所以02C π<∠<．因为sin C =，所以13cos 14C ==．所以1131cos cos[()]cos()sin sin cos cos 2147B A C A C A C A C π=-+=-+=--⨯=-．所以sin 7B ==．72=，即78b a =．因为1b a -=，所以8b =．选择②：3cos 2c A =-．因为73a c =，所以a c >．所以02C π<∠<．因为sin C =，所以13cos 14C ==．所以11311cos cos[()]cos()sin sin cos cos 21414B A C A C A C A C π=-+=-+=-=⨯=．所以sin 14B ==．因为3cos 2c A =-，所以32312c -==-．=所以5b =．。
北京市高一下学期数学3月阶段测试题A卷
北京市高一下学期数学3月阶段测试题A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分）若角α与角β终边相同，则一定有（）A . α+β=180°B . α+β=0°C . α﹣β=k•360°，k∈ZD . α+β=k•360°，k∈Z2. （2分）(2017·邯郸模拟) 已知函数f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）为增函数，则“ ＜x＜2”是“f[log2（2x﹣2）]＞f（log ）”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若cos2 ，则△ABC的形状为（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 不确定4. （2分）化简的结果是（）.A .B .C .D .二、填空题 (共10题；共10分)5. （1分） (2018高三上·黑龙江期中) 已知，则 ________．6. （1分） =________．7. （1分）已知sin（﹣α）=m，则cos（+α）=________．8. （1分）cos240°+tan315°的值为________．9. （1分） (2019高一下·上海月考) 若则的取值范围是________.10. （1分） (2019高一下·上海月考) 已知角是三角形一内角，且，则 ________．11. （1分）已知cos（θ+）=﹣，θ∈（0，），则sin（2θ﹣）=________12. （1分） (2016高二下·宝坻期末) 已知tanα=2，tan（α+β）=﹣1，则tanβ=________．13. （1分） (2015高三上·泰州期中) 已知sin（α﹣45°）=﹣，且0°＜α＜90°，则c os2α的值为________．14. （1分） (2018高一下·栖霞期末) 在中，内角所对的边分别为，若，则的值为________．三、解答题 (共4题；共40分)15. （10分） (2018高一下·大同期末) 已知向量，，（1）若，求向量、的夹角；（2）若，求函数的最值以及相应的的取值.16. （10分） (2019高三上·汉中月考) 的内角，，所对的边分别为，，，已知 .（1）求的大小；（2）若，，求的内切圆的半径.17. （10分） (2016高二下·佛山期末) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA ﹣ sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若b= ，c=1，求△ABC的面积．18. （10分） (2019高一下·上海月考) 已知，求值：（1）；（2） .参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共10题；共10分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共4题；共40分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、。
北京市2023-2024学年高一下学期3月阶段测试数学试题含答案
高一数学学科（答案在最后）2024年3月姓名班级考号（考试时间90分钟满分100分）提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答．一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.下列量中是向量的为（）A.频率 B.拉力C.体积D.距离【答案】B 【解析】【分析】根据向量与数量的意义直接判断即可.【详解】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.故选：B2.已知,a b是两个单位向量，则下列等式一定成立的是（）A.0a b -= B.1a b ⋅= C.a b= D.0a b ⋅= 【答案】C 【解析】【分析】由向量分减法法则和数量积以及模长逐一判断即可.【详解】A ：由向量减法法则可得,a b的差为向量，不等于数，故A 错误；B 、D ：11cos ,cos ,a b a b a b ⋅=⨯⨯=，由于夹角大小不定，故值不确定，故B 、D 错误；C ：单位向量的模长相等，故C 正确；故选：C.3.设()1i 1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则x y +的值为（）A.1B.C.D.2【答案】D【解析】【分析】根据复数相等的充要条件得到方程，即可得解.【详解】因为()1i 1i x y +=+，即i 1i x x y +=+，又x ，y 是实数，依据复数相等的条件得1x x y =⎧⎨=⎩，即1x y ==，故2x y +=.故选：D.4.已知向量a 与b是两个不平行的向量，若//a c 且//b c ，则c 等于（）A.0B.aC.bD.不存在这样的向量【答案】A 【解析】【分析】由零向量与任意向量共线再结合已知条件得出.【详解】因为向量a 与b是两个不平行的向量，且//a c 且//b c ，所以c 等于0 ，故选：A5.若复数()22i m m m -+是纯虚数，则实数m 的值为（）A.0B.2C.3D.0或2【答案】B 【解析】【分析】根据复数的概念列方程求解即可得实数m 的值.【详解】因为复数()22i m m m -+是纯虚数，所以220m m m ⎧-=⎨≠⎩，解得2m =.故选：B .6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，P 是函数sin y x =图象的最高点，Q 是sin y x =的图象与x 轴的交点，则OP PQ +的坐标是（）A.π,12⎛⎫⎪⎝⎭B.()π,0 C.()π,0- D.()2π,0【答案】B 【解析】【分析】由向量加法以及正弦函数对称中心（零点）即可得解.【详解】由题意以及题图可知()()π,0,0,0Q O ，所以()π,0O O P Q PQ ==+.故选：B.7.抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑.现在“解放碑”是重庆的地标性建筑，吸引众多游客来此打卡拍照.如图甲所示，解放碑的底座外观呈正八棱柱形，记正八棱柱的底面是正八边形ABCDEFGH ，如图乙所示，若O 是正八边形ABCDEFGH 的中心，且(),AC xAB y AH x y =+∈R，则x y +=（）A.1+ B.1 C.2 D.3【答案】C 【解析】【分析】设正八边形的边长为1，作平行四边形AHCM ，则根据向量的平行四边形法则可以找到关系，即可求解.【详解】由图可知角度关系，外角45θ= ，作平行四边形AHCM ，180290BCM θ∠=-=oo，设八边形的边长为1，则BM =AC AM AH xAB y AH =+=+uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r，所以111AM x AB+===+，1y =，所以2x y +=+故选：C8.已知点O 为ABC 外接圆的圆心，且0OA OB CO =++，则ABC 的内角A 等于（）A.30B.60C.90D.120【答案】A 【解析】【分析】由题意可得OA OB OC +=，又因为OA OB OC == ，所以四边形OACB 为菱形，且60CAO ∠= ，即可得答案.【详解】由0OA OB CO =++ 得，OA OB OC +=，由O 为ABC 外接圆的圆心，所以OA OB OC ==，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB 为菱形，且60CAO ∠= ，故30CAB ∠= ，即ABC 的内角A 等于30 .故选：A.9.复数()i ,R z x y x y =+∈满足条件4i 2z z -=+，则24x y +的最小值为（）A.2 B.4 C. D.16【答案】C 【解析】【分析】根据复数的模整理得到23x y +=，再利用基本不等式计算可得.【详解】由()i ,R z x y x y =+∈且4i 2z z -=+，得()4i 2i x y x y +-=++，∴()()222242x y x y +-=++，整理得23x y +=，∴22422x y x y +=+≥，当且仅当222x y =，即32x =，34y =时，24x y +取得最小值.故选：C10.已知向量,,a b c 满足1,a b == 3,,302a b a c b c ⋅---==，则c r 的最大值等于（）A. B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】由150AOB ∠=︒，cos 30ACB ∠=︒即得到点,,,A O B C 共圆，再利用余弦定理和正弦定理求解即可.【详解】设OA a,OB b,OC c ===，因为1,a b == 32a b ⋅=- ，所以3cos 1502a b AOB AOB a b ⋅∠==-⇒∠=︒，又,30a c b c --=，所以cos 30ACB ∠=︒，所以点,,,A O B C 共圆，要使c 的最大，即OC 为直径，在AOB 中，由余弦定理可得2222cos 7AB OA OB OA OB AOB AB =+-⋅∠=⇒=，又由正弦定理2sin ABR AOB==∠，即c的最大值等于，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键是由向量之间的夹角确定点,,,A O B C 共圆，再由正弦和余弦定理求解即可.二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11.复平面上，点()2,1-对应的复数z =______．【答案】2i-【解析】【分析】根据复数的坐标表示写出答案.【详解】由复数的几何意义知2i z =-故答案为：2iz =-12.已知平面向量,a b ，()()1,2,3,a b λ== ，若a b ⊥.则λ=_________.【答案】32-【解析】【分析】利用向量垂直的充分必要条件代入点的坐标求出即可.【详解】因为a b ⊥ ，所以()()31,23,3202a b λλλ⋅=⋅=+=⇒=- ，故答案为：32-.13.写出一个与向量()3,4a =-共线的单位向量_____________.【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】先求出a r ，则aa ±即为所求.【详解】5a ==所以与向量()3,4a =- 共线的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）14.已知平面内的向量a 在向量b 上的投影向量为12b，且1a b == ，则2a b -= _________.【解析】【分析】由投影向量的公式求出12a b ⋅= ，再利用模长公式求出结果即可.【详解】因为向量a 在向量b 上的投影向量为12b，且1a b == ，所以1122a b b b a b bb ⋅⨯=⇒⋅=，所以2a b -===15.已知非零向量,a b ，满足a b a b ==- ，则,a b 的夹角为_____________.【答案】π3【解析】【分析】设1a b a b ==-=，再由模长的计算得到向量的数量积，最后代入夹角公式即可.【详解】设1a b a b ==-=，则()2221212a ba ab b a b -=-⋅+=⇒⋅= ，所以1cos ,2a b a b a b ⋅==⋅，所以,a b的夹角为π3，故答案为：π3.16.设复数z 满足2i 2i 4z z ++-=，则1i z --的取值范围是_________.【答案】⎡⎣【解析】【分析】由复数的几何意义确定复数z 复平面上的对应点的轨迹，结合图象确定可得结果.【详解】设复数z 在复平面上的对应点为Z ，复数1i +的在复平面上的对应点为(1,1)P ，由2i 2i 4z z ++-=，可知点Z 的轨迹为以()0,2A ，()0,2B -为端点的一条线段，又1i z --表示点Z 到点()1,1的距离，观察图象可知当i z =时，1i z --取最小值，最小值为1，当2i z =-时，1i z --取最，所以1i z --取值范围为⎡⎣.故答案为：⎡⎣.三、解答题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2222a b ac c -=-．（1）求B ；（2）若5b =，2cos 10C =，求c ．【答案】（1）π4（2）7【解析】【分析】（1）利用余弦定理进行求解；（2）先利用同角三角函数关系得到2sin 10C =，再使用正弦定理求解【小问1详解】2222a b ac c -=-变形为：2222a c b ac +-=，所以2222cos 22a cb B ac +-==，因为()0,πB ∈，所以π4B =，【小问2详解】因为2cos 10C =()0,πC ∈，所以272sin 1cos 10C C =-=由正弦定理得：sin sin b cB C =，即5π72sin 410=解得：7c =18.在①2c s 2o c A ab=-，②()cos 2cos b C a c B =-中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答.问题：在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知_________.（1）求B ；（2）若ABC 的外接圆半径为2，且1cos cos 8A C =-，求a c +.注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分.【答案】（1）条件选择见解析，π3B =（2）a c +=【解析】【分析】（1）根据正余弦定理边角互化，即可结合三角恒等变换求解，（2）根据余弦的和差角公式可得3sin sin 8A C =，进而利用率正弦定理可得6ac =，由余弦定理即可求解.【小问1详解】选择条件①：因为2c s 2o c A ab=-，在ABC 中，由余弦定理可得222222b c a c abc b+--=，由余弦定理可得222a c b ac +-=，则2221cos 222a cb ca B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.选择条件②：因为()cos 2cos b C a c B =-，由正弦定理得，sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=.即()sin 2sin cos B C A B +=，则sin 2sin cos A A B =，因为()0,π,sin 0A A ∈≠，所以1cos 2B =，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为π3B =，所以2π3A C +=，即()1cos 2A C +=-，即1cos cos sin sin 2A C A C -=-，又因为1cos cos 8A C =-，所以3sin sin 8A C =.由于ABC 的外接圆半径为2R =，由正弦定理可得sin sin 44a cA C =⋅，可得6ac =，所以2sin b R B ==，由余弦定理可得()2222cos 312b a c ac B a c ac =+-=+-=，所以a c +=.19.已知集合{}*12(,,),,1,2,(2)n n i S X X x x x x N i n n ==∈=≥ .对于()()1212,,,,,,,n n n A a a a B b b b S ==∈ ，给出如下定义：①()1122,,,n n AB b a b a b a =---；②()()1212,,,,,,()n n a a a a a a λλλλλ=∈R ；③A 与B 之间的距离为1(,)niii d A B a b==-∑.说明：()()1212,,,,,,n n a a a b b b = 的充要条件是(1,2,,)i i a b i n == .（1）当5n =时，设(1,2,1,2,5),(2,4,2,1,3)A B ==，求(,)d A B ；（2）若,,n A B C S ∈，且存在0λ>，使得AB BC λ=，求证：(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=；（3）记20(1,1,,1)I S =∈ .若20,A B S ∈，且(,)(,)13d I A d I B ==，求(,)d A B 的最大值.【答案】（1）(,)7d A B =（2）见解析（3）26【解析】【分析】（1）当5n =时，直接利用1(,)niii d A B a b==-∑求得(,)d A B 的值（2）设{}{}{}121212,,,,,,,n n n A a a a B b b b C c c c === ，则由题意可得0λ∃>，使得()i i i i b a c b λ-=-，其中1,2,i n = ，得出i i b a -与i i c b -同为非负数或同为负数，由此计算(,)(,)d A B d B C +的结果，计算(,)d A C 的结果，从而得出结论（3）设(1,2,20)i i b a i -= 中有(20)m m ≤项为非负数，20m -项为负数不妨设1,2i m = 时，0i i b a -≥，1,2,,20i m m =++ 时，0i i b a -<利用(,)(,)13d I A d I B ==，得到202011i ii i a b ==∴=∑∑得到()()2012121,2i i m m i d A B b ab b b a a a =⎡⎤=-=+++-+++⎣⎦∑ 求出12m a a a m +++≥ ，1213m b b b m +++≤+ ，即可得到(,)d A B 的最大值得到(,)26d A B ≤，再验证得到成立的条件即可；【小问1详解】解：由于1(,)n i i i d A B a b==-∑，(1,2,1,2,5),(2,4,2,1,3)A B ==则(,)12241221537d A B =-+-+-+-+-=故(,)7d A B =【小问2详解】解：设{}{}{}121212,,,,,,,n n n A a a a B b b b C c c c === 0,λ∃> 使AB BC λ= ，0,λ∴∃>使得：11221122(,,)(,)n n n n b a b a b a c b c b c b λ---=--- ，0λ∴∃>，使得()i i i i b a c b λ-=-，其中1,2,i n = ，i i b a ∴-与(1,2,)i i c b i n -= 同为非负数或同为负数，i i i i i ib ac b c a ∴-+-=-1111(,)(,)()(,)n n n ni i i i i i i i i i i i i i d A B d B C a b b c b a c b c a d A C ====∴+=-+-=-+-=-=∑∑∑∑，故得证；【小问3详解】解：201(,)i ii d A B b a==-∑设(1,2,20)i i b a i -= 中有(20)m m ≤项为非负数，20m -项为负数不妨设1,2i m = 时，0i i b a -≥1,2,,20i m m =++ 时，0i i b a -<所以201(,)i ii d A B b a==-∑121212201220[()()][()()]m m m m m m b b b a a a a a a b b b ++++=+++-++++++-++ (,)(,)13d I A d I B ==202011(1)(1)i i i i a b ==∴-=-∑∑，整理得202011i i i i a b ===∑∑201(,)i i i d A B b a =∴=-∑()()()()21212201220i m m m m m m b b b a a a a a a b b b ++++=+++-++⋯+++++-+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 12122[()]m m b b b a a a =+++-+++ 1212201220()()m m m b b b b b b b b b +++++=+++-+++ (1320)(20)113m m ≤+--⨯=+又121m a a a m m +++≥⨯= 1212(,)2[()]2[(13)]26m m d A B b b b a a a m m ∴=+++-+++≤+-= 即(,)26d A B ≤对于(1,1,1,,14),(14,1,1,1)A B == 有20,A B S ∈，且(,)(,)13d I A d I B ==(,)26d A B =综上所得，(,)d A B 的最大值为26。
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北京市高一下学期数学 3 月线上月考试卷 A 卷
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)
1. （2 分） (2018 高一上·哈尔滨月考) 时钟的分针在 1 点到 3 点 20 分这段时间里转过的弧度为（ ）
A.
B.
C.
D. 2. （2 分） (2019 高三上·临沂期中) 已知集合 A={x|﹣2＜x＜3}，B={x|log2x＞0}，则 A∩B=（ ） A . （﹣2，1） B . （0，1） C . （0，3） D . （1，3）
3. （2 分） 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E 为上底面 A1C1 的中心，若 的值是（ ）
， 则 x,y
A.
B.
C.
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D . x=1,y=1
4. （ 2 分 ） △ABC 为 锐 角 三 角 形 ， 若 角 终 边 上 一 点 P 的 坐 标 为
A.1
的值是（ ）
B . -1
C.3
D . -3
5. （2 分） 已知函数 单调递增数列,则实数 的取值范围（ ）
A. B. C. D.
数列 满足
6. （2 分） 要得到一个奇函数，只需将
的图象（ ）
A . 向右平移 个单位
B . 向右平移 个单位
C . 向左平移 个单位
D . 向左平移 个单位 7. （2 分） 如果一扇形的弧长为 π，半径等于 2，则扇形所对圆心角为（ ）
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，则 ,且 是
A.π B . 2π C.
D. 8. （2 分） 已知函数 的导函数图象如图所示，若
为锐角三角形，则一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
9. （2 分） (2018 高二上·南宁月考) 设向量
，
则 的值为（ ）
A.
B. C.
D.
10. （2 分） (2017·雨花模拟) 若 数时（ ）
是函数
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，
，若
与 平行，
图象的一条对称轴，当 ω 取最小正
A . f（x）在 B . f（x）在 C . f（x）在 D . f（x）在
单调递减 单调递增
单调递减 单调递增
11. （2 分） (2019 高三上·衡水月考) 如图是函数
图象，将该图象向右平移
个单位长度后，所得图象关于直线
在区间
上的
对称，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D. 12. （2 分） M，N 是曲线 y=πsinx 与曲线 y=πcosx 的两个不同的交点，则|MN|的最小值为（ ） A.π B. π C. π D . 2π
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二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)
13. （1 分） 设 P 为平行四边形 ABCD 所在平面内一点，则① ＋
＝
＋
；②
＋
＝
＋
；③
＋
＝
＋
中成立的序号为________．
14. （1 分） (2018 高三上·扬州期中) 函数
的定义域为________．
15. （1 分） (2018·兴化模拟) 将函数
得函数为奇函数，则
________．
的图像向右平移
个单位长度后，所
16. （1 分） 若 a=sin ，b=cos
三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)
，c=cos ，则 a，b，c 从小到大的顺序是________．
17. （5 分） (2018 高一上·鹤岗月考) 已知角 的终边过点
，且
值.
，求
和
的
18. （10 分） 计算式子的值 sin（﹣1395°）•cos1110°+cos（﹣1020°）•sin750°．
19. （10 分） (2019 高一上·汤原月考)
（1） 已知
，且
，求
；
（2） 已知函数
，若
20. （10 分） (2017 高一下·济南期末) 计算：
，求
的值域.
（1） 已知
，且 α 为第三象限角，求 sinα 的值
（2） 已知 tanα=3，计算
的值．
21. （10 分） (2019 高一下·中山月考) 如图，在平面斜坐标系
中，
，平面上任意一
点 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若
（其中 ， 分别为与 轴， 轴同方向
的单位向量），则 点的斜坐标为
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（1） 若点 在斜坐标系
中的坐标为
，求点 到原点 的距离.
（2） 求以原点 为圆心且半径为 的圆在斜坐标系
中的方程.
（3） 在斜坐标系
中，若直线
面积取得最大值？并求此最大值.
交（2）中的圆于
两点，则当 为何值时，
的
22. （15 分） 将函数 y=msinx（其中 m≠0）的图象上的所有点向左平移 个单位，再将所得图象上所有点的 横坐标压缩到原来的 倍，纵坐标保持不变，得到了函数 y=f（x）的图象．
（1）写出函数 f（x）的表达式；
（2）当 m= 时，求函数 f（x）的最小正周期及对称中心；
（3）若 x∈[﹣ ， ]时，函数 f（x）的最大值为 2，试求函数 f（x）的最小值．
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一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)
1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、
二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)
13-1、 14-1、
参考答案
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15-1、 16-1、
三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)
17-1、
18-1、
19-1、 19-2、
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20-1、 20-2、 21-1、 21-2、
21-3、
第 9 页 共 10 页
22-1、
第 10 页 共 10 页
。