2015届(理科数学)二轮复习课件_专题八_自选模块_第1讲_导数及其应用

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2015届高三数学二轮专项复习课件：专题1 第5讲导数及其应用

②[f(x)·g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
③[gfxx]′＝f
′xgx－fxg′x
g2x
.
④(理)设 y＝f(u)，u＝φ(x)，则 y′x＝y′uu′x.
专题一第五讲
第十一页，编辑于星期五：八点四十四分。
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⑤(ex)′＝ex; ⑥(ax)′＝axlna；
⑦(lnx)′＝1x； ⑧(logax)′＝xl1na.
专题一第五讲
第十页，编辑于星期五：八点四十四分。
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(2)导数的四则运算法则
①[f(x)± g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)；
(x0，f(x0))处的切线的斜率，即 k＝f ′(x0)．
专题一第五讲
第九页，编辑于星期五：八点四十四分。
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3．导数的运算
(1)基本初等函数的导数公式
①c′＝0(c 为常数)；
②(xm)′＝mxm－1；
③(sinx)′＝cosx; ④(cosx)′＝－sinx；
(2)利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及解决生活中的优化问题，已成为近几年高考的主要考点．
专题一第五讲
第六页，编辑于星期五：八点四十四分。
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(3)选择题、填空题侧重于利用导数确定函数的单调性和极值；解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识的综合应用，一般难度较大，属于中高档题．

2015届高三人教A版理科数学二轮复习课件1-2

名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学（理）
思想方法提能专训
第二讲
热点盘点
数形结合思想
[二轮备考讲义]
第一部分第2讲
第 3页
名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学（理）
思想方法
思想方法
热点盘点
归纳概括
高三冲刺,给你一颗勇敢的心
提能专训
[二轮备考讲义]
第一部分第2讲
名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学（理）
(4)精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题
思想方法
几何化，几何问题代数化，以便于问题求解．很多数学概念都具有明显的几何意义，善于利用这些几何意义，往往能达到事半功倍的效果.
提能专训
热点盘点
[二轮备考讲义]
第一部以发现两个函数图象一定有2个交点，因此
热点盘点
函数f(x)有2个零点．
[二轮备考讲义]
第一部分第2讲
第15页
名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学（理）
思想方法
(1)研究方程的根的个数、根的范围等问题时，经常采用数形结合的方法．一般的，方程f(x)＝0的根，就是函数f(x)的零点，方程f(x)＝g(x)的根，就是函数f(x)和g(x)的图象的交点的横坐标．
提能专训
热点盘点
[二轮备考讲义]
第一部分第2讲
第 7页
名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学（理）
3．数形结合思想在解题中的应用
思想方法
(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围． (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围． (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．

2015届高考理科数学二轮复习专题课件2-8-1专题八选修4系列

［二轮备考讲义］第二部分二轮知识专题大突破专题八选修4系列第一讲几何证明选讲（选修4—1）在平面几何的证明中，主要抓好“角度关系”与“长度关系”的转化•“角度”转化的依据主要有“等弧（弦）对等角”“弦切角等于内对角” “相似三角形的对应角相等”“平行线的同位角相等、内错角互补” “圆内接四边形对角互补” 等•“长度”转化的依据主要有“切线定理”“切割线定理”“割线定理”“相交弦定理” “平行线截线段成比例” “相似三角形对应边成比例”等.基础记忆试做真题基础要记牢，真题须做熟基础知识不“背死”,就不能“用活”1・平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.2.平行截割定理（平行线分线段成比例定理）三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.3.相似三角形的判定定理判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.4.相似三角形的性质(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；(2)相似三角形周长的比等于相似比；(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方.5・圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质：①圆内接四边形的对角互补；②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.(2)判定：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.6.与圆有关的定理弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.切割线定理: 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.高考真题要回访，做好真题底气足1. （2014•湖北）如图，P为（DO外一点，过F点作OO的两条切线，切点分别为4, B.xfPA的中点0作割线交OO于C, D两点.若QC=1, CDB D［答案］4［解析］由切割线定理，得QA2 = QCQD=4,解得04 = 2, ^\PB=PA = 2QA=A.2-（2°14・江苏）如图，4B是圆O的直径，c, D是圆O上位于异侧的两点•证明：/OCB=ZD.证明：因为B, C是圆O上的两点，所以OB = OC.故ZOCB=ZB.又因为C, D是O上位于异侧的两点,故ZB, ZD为同弧所对的两个圆周角, 所以ZB=ZZ).因此ZOCB=ZD・3・（2014•新课标全国卷11 ）如图，P是OO外一点，P1是切线，A为切点，割线PBC与（DO相交于点C, PC=2PA, D为PC的中点，4D的延长线交0O于点E证明：⑴ BE=EC；(2)AD・DE=2PBr证明：（1）连接AB, AC.由题设知PA=PD,故PDA.因为ZPDA=ZDAC-\- ZDCA9APAD= ZBAD-\- ZPAB. ZDCA=ZPAB.所以ZDAC=ZBAD.从而豌=記因此BE=EC.(2)由切割线定理，^PA2=PBPC.因为PA=PD=DC,所以DC=2PB, BD=PB.由相交弦定理，得ADDE=BDDC, 所以ADDE=2PB2.热点盘点细研深究必须回访的热点名题［试题调研］［例1］(1)(2014-天津)如图，△ABC是圆的内接三角形，Z B4C的平分线交圆于点D,交BC于点E,过点B的圆的切线与主体一相似三角形的判定与性质AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：BDA E①BD平分ZCBF；②FB2=FDFA；③AE・CE=BE・DE； ®AFBD=ABBF.则所有正确结论的序号是（）A.①②B.③④C.①②③D・①②④（2）（2014•广东）（几何证明选讲选做题）如图，在平行四边形4BCZ）中，点E在佔上且EB=2AE, AC与DE交于点F,贝!J△ CDF的面积瓦4EF的面积----------- ■E B［命题意图］(1)本题背景新颖，涉及圆的性质以及相似三角形等知识点，意在考查考生的逻辑推理能力.(2)本题主要考查相似三角形的判定与性质.［答案］(1)D (2)9［解析］(1)因为ZBAD=ZFBD ，ZDBC=ZDAC,又 4E平分ZBAC,所以ZBAD=ZDAC,所以上FBD=ZDBC,所以结论②正确，选D. BD 平分ZCBF,结论①正确；易证△ ABFsNBDF,所以 AB AF BD所以AB ・BF=AF ・BD,结论④正确；由 AF BF BF =DF J 得 BF 2=AF DF,4F 1(2)在平行四边形ABCD中,因为EB = 2AE,所以忑故j^=3.因为AE//CD,所以△AEFsMDF,所以右型2 = 9.AE ~CD 9 (CD----- 备考A语］----------------------- 判定两个三角形相似要注意结合图形的特点灵活选择判定定理(1)证明三角形相似，往往可以转化为证明角相等，而证明角相等的方法有弦切角、圆周角和圆心角等相关结论.(2)证明三角形相似时也可以转化为证明线段成比例，而证明线段成比例的方法有射影定理、相交弦定理、割线定理和切割线定理等.［回访名题］O 于点D,过点B 作圆O 的切线交直线AD 于点E.求证:⑴ ZEBD=ZCBD ；⑵AB ・BE=AE ・DC. （2014•沈阳质检三）如图，AABC 内接于 O.AD 平分ZBAC交圆证明：(l)VBE为圆O的切线，:.ZEBD=ZBAD.又平分ZBAC, :.ZBAD=ZCAD.:.ZEBD=ZCAD9又•:上CBD=/CAD, :.ZEBD=ZCBD.主体二■!的切割线定理⑵在△EBD 和AEAB 中，ZE=ZE, ZEBD=ZEAB, :.AEBD^AEAB. •BE_BD"AE=AB'：.AB・BE=AE・BD,XVAD 平分ABAC. •••BD=DC,故AB・BE=AE・DC・［试题调研］[例2]（2014•长春调研）如图，是O的直径，G是延长线上的一点，GCD是圆O的割线，过点G作AG的垂线, 交直线4C于点E,交直线AD于点F,过点G作圆O的切线, 切点为H.主体二■!的切割线定理⑴求证:A C,(2)若GH=& GE=4,求EF 的长.［命题意图］本题主要以圆为几何背景考查角相等、四点共圆、圆的切线、割线的性质等基础知识，意在考查考生的化归与转化能力、逻辑推理能力.［解析］⑴证明：如图，连接TAB是圆O的直径，/. ZADB=90°,在RtAABD 和RtAAFG 中,ZABD=ZAFE,又T ZABD= ZACD,:.ZACD= ZAFE,「C D, E, F四点共(2)TC, D, E, F 四点共•••GE・GF=GC・GD ・TGH是圆O的切J 线,:.GH2AE G= GCGD,:.GH2=GEGF,又GH=8, GE=4, /-:.EF=GF-GE=\2 ・= 16,----- 备考金语］------------------------ 相交弦定理、切割线定理及其推论的应用非常广泛、常见(1)找过渡乘积式证明等积式成立.(2)为三角形相似提供对应边成比例的条件.(3)利用等积式来证明有关线段相等.［回访名题］（2014-云南统检）如图，43是OO的直径，4C与OO相切于点儿且AC=AB9 co与0O相交于点P, CO的延长线与。

2015届高考数学(理科)一轮总复习课件：2-11 导数在函数研究中的应用(人教A版)

f′(0)＝0，但x＝0不是极值点；又如f(x)＝|x|，x＝0是它的极小值点，但
f′(0)不存在．
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高考总复习 A 数学（理）
抓主干考点解密
研考向要点探究悟典题能力提升提素能高效训练
3．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3处取得极值，则a＝(
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(2)证明：当m≤2， x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)>0. 1 当m＝2时，函数f′(x)＝ ex－在 (－2，＋∞)上单调递增． x＋2 又f′(－1)<0，f′(0)>0，故f′(x)＝0在 (－2，＋∞)上有唯一实根 x0，且 x0∈ (－1,0)．当 x∈(－2， x0)时，f′(x)<0，当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0，从而当 x＝x0时，f(x)取得最小值． 1 由f′(x0)＝0得 ex0＝，ln(x0＋2)＝－x0， x0＋ 2 x0＋12 1 故f(x)≥f(x0)＝＋x ＝ >0. x0＋ 2 0 x0＋ 2 综上，当m≤2时，f(x)>0.
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高考总复习 A 数学（理）
抓主干考点解密
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解析：(1)f′(x)＝x2－ax＋b，
f0＝1 c＝1 由题意得，即 . f′0＝0 b＝0
(2)由 (1)得，f′(x)＝x2－ax＝ x(x－a)(a>0)，当 x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，当 x∈(0，a)时，f′(x)<0，当 x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0.所以函数f(x)的单调递增区间为 (－∞， 0)， (a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)． (3)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－ 2，－1)，使不等式g′(x)＝ x2－ax＋2<0成立， 2 即 x∈(－2，－1)时，a<x＋ ≤－ 2 2， x 所以满足要求的a的取值范围是(－∞，－2 2)．

2015届高考数学总复习配套专题精讲：专题一高考中的导数应用问题(共64张PPT)

考点自测
高考题型突破
练出高分第十七页，编辑于星期五：十点十分。
高考题型突破
题型二
利用导数研究与不等式有关的问题
【例 2】已知 f(x)＝xln x，g(x) ＝－x2＋ax－3. (1)求函数 f(x)在[t，t＋2](t>0) 上的最小值； (2) 对一切 x∈(0 ，＋ ∞) ，
思维启迪解析思维升华
综上所述，当 a＝0 时，f(x)在 (－∞，0)上单调递减，在 (0，＋∞)上单调递增；当 a>0 时，f(x)在(－∞，0)，(2a，＋∞)上单调递减，在(0，2a)上单调递增；当 a<0 时，f(x)在(2a，0)上单调递减，在(－∞，2a)，(0，＋∞)上单调递增．
考点自测
高考题型突破
【例 1】已知函数 f(x)＝
思维启迪
解析
思维升华
x2e－ax，a∈R.
(1)当 a＝1 时，求函数 y＝f(x) (1)先求切点和斜率，再求的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程；
切线方程． (2)讨论 f(x)的单调性．
(2)先求 f′(x)，然后分 a＝0， a>0，a<0 三种情况求解．
(3)函数 g(x)＝(f(x)－x3)·ex＝(－x2－x＋c)·ex，有 g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex ＝(－x2－3x＋c－1)ex，因为函数 g(x)在 x∈[－3,2]上单调递增，所以 h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0 在 x∈[－3,2]上恒成立．只要 h(2)≥0，解得 c≥11，所以 c 的取值范围是[11，＋∞)．
递增，求实数 c 的取值范围．
(2)由(1)可知 f(x)＝x3－x2－x＋c.

2015年高考数学(理)一轮总复习课件：第二章+函数、导数及其应用第1节函数及其表示

第十八页，编辑于星期五：十一点五十五分。
变式训练 1 (1)(2013·重庆高考)函数 y＝log21x－2的定
义域是( )
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(2,3)∪(3，＋∞)
D．(2,4)∪(4，＋∞)
(2)已知函数 f(2x)的定义域为[－1,1]，则 f(x)的定义域为 ________．
考向 3 分段函数
【例 3】 (1)(2014·潍坊模拟)定义在 R 上的函数 f(x)满足
f(x)＝lfoxg－241－－xfx－2
x≤0， x>0，则 f(3)的值为( )
A．－1
B．－2
C．1
D．2
(2)(2014·无锡模拟 ) 已知实数 a≠0 ，函数 f(x) ＝
2x＋a，x＜1，－x－2a，x≥1.
5．(2013·浙江高考)已知函数 f(x)＝ x－1.若 f(a)＝3，则实数 a＝________.
【解析】因为 f(a)＝ a－1＝3，所以 a－1＝9，即 a＝ 10.
【答案】 10
第十四页，编辑于星期五：十一点五十五分。
考向 1 求函数的定义域
【例 1】
(1)(2013·山东高考)函数 f(x)＝
1－2x＋
1 x＋3
的定义域为( )
A．(－3,0]
B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]
第十五页，编辑于星期五：十一点五十五分。
(2)(2013·大纲全国卷)已知函数 f(x)的定义域为(－1,0)，则
函数 f(2x＋1)的定义域为( )
A．(－1,1)
第二十五页，编辑于星期五：十一点五十五分。

2015届高三人教A版理科数学二轮复习课件2-8-2

基础记忆
x＝2cos θ，解：(1)曲线C的参数方程为 y＝3sin θ
2 2 t， 2 t 2
代入抛物线方程y2＝
重访好题
热点盘点
解得t1＝0，t2＝－8 2. 所以|AB|＝|t1－t2|＝8 2.
[二轮备考讲义]
第二部分专题八第2讲
第14页
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x2 y2 2．(2014· 新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C：＋＝1，直线l： 4 9
θ， (θ为参数，0≤θ≤2π)． y＝y0＋rsin θ
[二轮备考讲义]
第二部分专题八第2讲
第11页
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6．圆锥曲线的参数方程
基础记忆
x＝acos θ， x2 y2 (1)椭圆 2＋ 2＝1的参数方程为 (θ为参数)． a b y＝bsin θ
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基础记忆重访好题
[二轮备考讲义]
热点盘点
[二轮备考讲义]
第二部分专题八第2讲
第 1页
名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学（理）
基础记忆重访好题
第二部分二轮知识专题大突破
热点盘点
[二轮备考讲义]
第二部分专题八第2讲
2 θ0)＋ρ2 0－r ＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；
热点盘点
重访好题
(2)当圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcos θ；
π (3)当圆心位于Mr，2，半径为r：ρ＝2rsin

2015届高考理科数学第一轮总复习教案2

第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示1．函数映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法． 3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则． 2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数．3．误把分段函数理解为几种函数组成． [试一试]1．(2013·江西高考)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1]D ．[0,1]解析：选B 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ≥0，解得0≤x <1，即所求定义域为[0,1)．2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg 101B ．2C ．1D ．0解析：选B f (10)＝lg 10＝1，故f (f (10))＝f (1)＝12＋1＝2.求函数解析式的四种常用方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x )．[练一练]1．设g (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则f (x )等于( ) A ．－2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7答案：D2．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (x )＝________. 答案：x 2－4x ＋3函数与映射的概念1.下列四组函数中，表示同一函数的是( )A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100答案：D2．以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？ (1)f 1：y ＝xx ；f 2：y ＝1.(2)f 1：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2；f 2：(3)f 1：y ＝2x ；f 2：如图所示．解：(1)不同函数．f 1(x )的定义域为{x ∈R|x ≠0}，f 2(x )的定义域为R.(2)同一函数．x 与y 的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式．(3)同一函数．理由同②. [类题通法]两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x 表示，但也可用其他字母表示，如：f (x )＝2x －1，g (t )＝2t －1，h (m )＝2m －1均表示同一函数．函数的定义域问题角度一求给定函数解析式的定义域 1．(1)(2013·山东高考)函数f (x )＝ 1－2x ＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1](2)(2013·安徽高考)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分.归纳起来常见的命题角度有：(1)求给定函数解析式的定义域； (2)已知f x的定义域，求f gx的定义域；(3)已知定义域确定参数问题.解析：(1)由题意，自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x >－3，∴－3<x ≤0.(2)要使函数有意义，需⎩⎨⎧1＋1x >0，1－x 2≥0，即⎩⎨⎧x ＋1x>0，x 2≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1，解得0<x ≤1，所以定义域为(0,1]．答案：(1)A (2)(0,1]角度二已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域2．已知函数f (x )的定义域是[－1,1]，求f (log 2x )的定义域．解：∵函数f (x )的定义域是[－1,1]，∴－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.故f (log 2x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 角度三已知定义域确定参数问题 3．(2014·合肥模拟)若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．解析：函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥1，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.答案：[－1,0] [类题通法]简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．求函数的解析式[典例] (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )； (4)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．[解] (1)由于f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)． (2)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ，又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)． (4)当x ∈(－1,1)时，有 2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代x ，得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )，得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)． [类题通法]求函数解析式常用的方法(1)待定系数法；(2)换元法(换元后要注意新元的取值范围)； (3)配凑法；(4)解方程组法． [针对训练]1．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．解：法一：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)；代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)，即f (x )＝x 2－1(x ≥1)．2．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又∵方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.分段函数[典例] (1)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．(2)(2013·福建高考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. [解析] (1)当a >0时，1－a <1,1＋a >1. 这时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ， f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32. 不合题意，舍去．当a <0时，1－a >1,1＋a <1，这时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34. 综上可知，a 的值为－34. (2)∵π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. [答案] (1)－34 (2)－2 [类题通法]分段函数“两种”题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论． [针对训练]设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ∈(－∞，1)，x 2，x ∈[1，＋∞)，若f (x )>4，则x 的取值范围是______．解析：当x <1时，由f (x )>4，得2－x >4，即x <－2；当x ≥1时，由f (x )>4得x 2>4，所以x >2或x <－2，由于x≥1，所以x>2.综上可得x<－2或x>2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)第二节函数的单调性与最值1．增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1<x2，则有：(1)f(x)在区间D上是增函数⇔f(x1)<f(x2)；(2)f(x)在区间D上是减函数⇔f(x1)>f(x2)．2．单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．3．函数的最值1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．2．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )，1f (x )等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．[试一试]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．函数f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为______；f (x )max＝________.解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8.答案：[1,4] 81．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数；(3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的，或者f (x )的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性．2．求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域． [练一练]1．(2013·北京高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1 D. y ＝lg|x |答案：C2．函数f (x )＝1x ＋1在区间[2,3]上的最大值是________，最小值是________．答案：15 110求函数的单调区间1.函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．解析：要使y ＝log 5(2x ＋1)有意义，则2x ＋1>0，即x >－12，而y ＝log 5u 为(0，＋∞)上的增函数，当x >－12时，u ＝2x ＋1也为R 上的增函数，故原函数的单调增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－12，＋∞2．函数y ＝x －|1－x |的单调增区间为________．解析：y ＝x －|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥1，2x －1， x <1.作出该函数的图像如图所示．由图像可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]．答案：(－∞，1]3．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤k ，k ，f (x )＞k ，取函数f (x )＝2－|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：选C 由f (x )>12，得－1<x <1.由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以f 12(x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≥1，12，－1＜x ＜1，2x，x ≤－1.故f 12(x )的单调递增区间为(－∞，－1)．[类题通法]求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即： (1)定义法；(2)复合法；(3)图像法；(4)导数法．函数单调性的判断[典例] 试讨论函数f (x )＝x ＋kx (k >0)的单调性．[解] 法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令x 1<x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)x 1x 2－k x 1x 2. 因为0<x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 1x 2>0. 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)<f (x 2)，即函数在(k ，＋∞)上单调递增．当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)>f (x 2)，即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋kx (k >0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．法二：f ′(x )＝1－k x 2.令f ′(x )>0得x 2>k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )<0得x 2<k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )．故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．[类题通法]1．利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后要注意差式的分解变形彻底．2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确．[针对训练]判断函数g (x )＝－2xx －1在 (1，＋∞)上的单调性．解：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)，由于1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0，因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)．故g (x )在(1，＋∞)上是增函数．函数单调性的应用角度一求函数的值域或最值1．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．解：(1)证明：∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )， ∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0. 再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )．在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵当x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．因此f (x )在R 上是减函数． (2)∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 角度二比较两个函数值或两个自变量的大小2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0. 角度三解函数不等式3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)解析：选B 作出函数f (x )的图像，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．角度四求参数的取值范围或值4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 C ．(－∞，2]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2 解析：选B 函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎨⎧a －2<0，(a －2)×2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 .[类题通法]1．含“f ”不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．2．比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．第三节函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性2.周期性 (1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)、f (－x 0)＝f (x 0)．3．分段函数奇偶性判定时，f (－x 0)＝f (x 0)利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的．[试一试]1．(2013·广东高考)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C 由奇函数的概念可知，y ＝x 3，y ＝2sin x 是奇函数． 2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13 B.13 C.12 D ．－12解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )， ∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.1．判断函数奇偶性的两个方法 (1)定义法：(2)图像法：2．周期性常用的结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ；(3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a .(a >0)[练一练]已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2 014)＝________.解析：∵f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32，∴f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )．∴f (x )是以3为周期的周期函数．则f (2 014)＝f (671×3＋1)＝f (1)＝2. 答案：2函数奇偶性的判断1.判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (3)f (x )＝3x －3－x ； (4)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；(5)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.解：(1)∵由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1， ∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0，即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)∵函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，不关于坐标原点对称，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (3)∵f (x )的定义域为R ，∴f (－x )＝3－x －3x ＝－(3x －3－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(4)∵由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]， ∴f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2(x ＋3)－3＝4－x 2x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．[类题通法]判断函数奇偶性除利用定义法和图像法，应学会利用性质，具体如下：(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．函数奇偶性的应用[典例] (1)已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.(2)已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．[解析] (1)∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且x ＝1时，y ＝2，∴当x ＝－1时，y ＝－2，即f (－1)＋(－1)2＝－2，得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. [答案] －1[解] (2)∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.① 又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴f (x )在[－2,2]上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1，即－2<m <1.② 综合①②可知，－1≤m <1.解：改变．∵f (x )为奇函数且在[－2,0]上递增， ∴f (x )在[－2,2]上递增． ∴m 2－1>1－m . 即m >1或m <－2. 由例(2)①知1<m ≤ 3. 故m 的取值范围为(1，3]．[类题通法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图像和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区间上的单调性．[针对训练]1．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)，(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)解析：选A 由题意知x ∈[0，＋∞)时，f (x )为减函数且当x ∈R 时，f (x )的图像关于直线x ＝0对称，所以f (1)>f (－2)>f (3)，故选A.2．(1)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R)是偶函数，则实数a 的值为________．(2)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是________．解析：(1)∵函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R)是偶函数，∴设g (x )＝e x ＋a e －x ，x ∈R ，由题意知，g (x )为奇函数，∴g (0)＝0，则1＋a ＝0，即a ＝－1.(2)∵y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数， ∴函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上是增函数． ∴当a >0时，由f (a )≥f (2)可得a ≥2，当a <0时，由f (a )≥f (2)＝f (－2)，可得a ≤－2. 所以实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．答案：(1)－1 (2)(－∞，－2]∪[2，＋∞)函数的周期性及其应用[典例] 已知函数f (x )对任意的实数满足：f (x ＋3)＝－1f (x )，且当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 014)＝________.[解析] ∵对任意x ∈R ，都有f (x ＋3)＝－1f (x )，∴f (x ＋6)＝f (x ＋3＋3) ＝－1f (x ＋3)＝－1－1f (x )＝f (x )，∴f (x )是以6为周期的周期函数，∵当－3≤x <－1时， f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1， f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0. ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12)＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝1×2 0106＝335.而f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1＋2－1＋0＝2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝335＋2＝337. [答案] 337 [类题通法]函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．[针对训练]设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数． (2)∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8. 又∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．第四节函数的图像1．利用描点法作函数图像其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线．2．利用图像变换法作函数的图像 (1)平移变换：y ＝f (x )――――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )； y ＝f (x )―――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b . (2)伸缩变换：y ＝f (x )10111ωωωω<<>−−−−−−−−→，伸原的倍，短原的长为来缩为来y ＝f (ωx )；y ＝f (x )――――――――――――→A >1，伸为原来的A 倍0<A <1，缩为原来的A 倍y ＝Af (x )．(3)对称变换：y ＝f (x )―――――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； y ＝f (x )――――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )． (4)翻折变换：y ＝f (x )―――――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图像翻折到左边去y ＝f (|x |)； y ＝f (x )―――――――――→留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y ＝|f (x )|.1．在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x ，y 变换”的原则，写出每一次的变换所得图像对应的解析式，这样才能避免出错．2．明确一个函数的图像关于y 轴对称与两个函数的图像关于y 轴对称的不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数的对称关系．[试一试](2014·安徽“江南十校”联考)函数y ＝log 2(|x |＋1)的图像大致是( )解析：选B 首先判断定义域为R.又f (－x )＝f (x )．所以函数y ＝log 2(|x |＋1)为偶函数，当x >0时，y ＝log 2(x ＋1)．故选B.1．数形结合思想借助函数图像，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质；利用函数的图像，还可以判断方程f (x )＝g (x )的解的个数、求不等式的解集等．2．分类讨论思想画函数图像时，如果解析式中含参数，还要对参数进行讨论，分别画出其图像．[练一练]若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意a ＝|x |＋x令y ＝|x |＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，0，x ＜0，图像如图所示，故要使a＝|x |＋x 只有一解则a >0.答案：(0，＋∞)作函数的图像分别画出下列函数的图像： (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2； (3)y ＝x 2－2|x |－1.解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0<x <1.图像如图1.(2)将y ＝2x 的图像向左平移2个单位．图像如图2.(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0.图像如图3.[类题通法]画函数图像的一般方法(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；(2)图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．识图与辨图[典例] (1)(2013·福建高考)函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图像大致是( )(2)(2012·湖北高考)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图像如图所示，则y ＝－f (2－x )的图像为( )[解析] (1)f (x )＝ln(x 2＋1)，x ∈R ，当x ＝0时，f (0)＝ln 1＝0，即f (x )过点(0,0)，排除B ，D.∵f (－x )＝ln[(－x )2＋1]＝ln(x 2＋1)＝f (x )， ∴f (x )是偶函数，其图像关于y 轴对称，故选A. (2)法一：由y ＝f (x )的图像知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (0≤x ≤1)，1(1<x ≤2).当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1(0≤x ≤1)，2－x (1<x ≤2)，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1(0≤x ≤1)，x －2(1<x ≤2).法二：当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1；当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1. 观察各选项，可知应选B. [答案] (1)A (2)B [类题通法]识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．[针对训练]1．(2014·佛山一模)函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ，x ≤1，log 13x ，x >1，则y ＝f (x ＋1)的图像大致是( )解析：选B 作出f (x )＝⎩⎨⎧3x ，x ≤1，log 13x ，x >1的图像，如图．再把f (x )的图像向左平移一个单位，可得到y ＝f (x ＋1)的图像．故选B.2.如图，函数f (x )的图像是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (3)的值等于________．解析：∵由图像知f (3)＝1，∴1f (3)＝1.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (3)＝f (1)＝2. 答案：2函数图像的应用角度一确定方程根的个数1．(2014·日照一模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．解析：方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图像，由图像知零点的个数为5.答案：5角度二求参数的取值范围2．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R.若函数y ＝f (x )－c 的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1]解析：选B ∵a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1，∴函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x <－1或x >2.结合图像可知，当c ∈(－2，－1]∪(1,2]时，函数f (x )与y ＝c 的图像有两个公共点，∴c 的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]．角度三求不等式的解集3．函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图像如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集为________．解析：在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上y ＝cos x >0，在⎝⎛⎭⎪⎫π2，4上y ＝cos x <0.由f (x )的图像知在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2上f (x )cos x <0，因为f (x )为偶函数，y ＝cos x 也是偶函数，所以y ＝f (x )cos x 为偶函数，所以f (x )cos x <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 [类题通法]1．研究函数性质时一般要借助于函数图像，体现了数形结合思想；2．有些不等式问题常转化为两函数图像的上、下关系来解决； 3．方程解的问题常转化为两熟悉的函数图像的交点个数问题来解决．第五节二次函数与幂函数1．五种常见幂函数的图像与性质2．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f (x)＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 3．二次函数的图像和性质1．研究函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的性质，易忽视a 的取值情况而盲目认为f (x )为二次函数．2．形如y ＝x α(α∈R)才是幂函数，如y ＝3x 12不是幂函数． [试一试]1．若f (x )既是幂函数又是二次函数，则f (x )可以是( ) A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝5x 2 C ．f (x )＝－x 2 D ．f (x )＝x 2答案：D2．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图像在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，120 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－120 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－120，0 解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0得a >120.1．函数y ＝f (x )对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )，如果定义域内有不同两点x 1，x 2且f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图像关于x ＝x 1＋x 22对称．(2)二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．2．与二次函数有关的不等式恒成立两个条件(1)ax 2＋bx ＋c >0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.3．两种数学思想(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次方程根的大小等．[练一练]如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图像关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的最小值为________．解析：由题意知⎩⎨⎧－a ＋22＝1，a ＋b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝6. 则f (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5≥5.答案：51.幂函数y ＝f (x )的图像过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图像是( )解析：选C 令f (x )＝x α，则4α＝2，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.2.图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的图像．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值依次为________．答案：2，12，－12，－23．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：∵y ＝x 25(x >0)为增函数，∴a >c .∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x (x ∈R)为减函数，∴c >b ，∴a >c >b . 答案：a >c >b [类题通法]1．幂函数y ＝x α的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α的正负：α>0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键．[典例] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．[解] 法一(利用一般式)：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二(利用顶点式)：设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8. ∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三(利用零点式)：由已知f (x )＋1＝0两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 24a ＝8. 解得a ＝－4或a ＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. [类题通法]求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：[针对训练]已知y ＝f (x )为二次函数，且f (0)＝－5，f (－1)＝－4，f (2)＝－5，求此二次函数的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，因为f (0)＝－5，f (－1)＝－4，f (2)＝－5，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－5，a －b ＋c ＝－4，4a ＋2b ＋c ＝－5，解得a ＝13，b ＝－23，c ＝－5，故f (x )＝13x 2－23x －5.二次函数的图像与性质角度一轴定区间定求最值1．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6] (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值； (2)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．解：(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0].∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．角度二轴动区间定求最值2．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．解：函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a .(1)当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ， ∴1－a ＝2，∴a ＝－1.(2)当0≤a ≤1时，f (x )max ＝a 2－a ＋1， ∴a 2－a ＋1＝2，∴a 2－a －1＝0， ∴a ＝1±52(舍)．(3)当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，∴a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2. 角度三轴定区间动求最值3．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，求g (a )．解：∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴对称轴为直线x ＝1，∵x ＝1不一定在区间[－2，a ]内， ∴应进行讨论．当－2<a ≤1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y 取得最小值，即y min ＝a 2－2a ；当a >1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y 取得最小值，即y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a ≤1，－1，a >1.[类题通法]影响二次函数在闭区间上的最大值与最小值的要素和求法： (1)最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素有关．(2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图像求解，在区间的端点或二次函数图像的顶点处取得最值．当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论．第六节指数与指数函数1．根式的性质。

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由此得出 x 与 h′(x)、h(x)的关系如下表:
x h′ (x) h(x)
1 0, 2
+ ↗
答案:2
热点三利用导数研究函数的极(最)值
1 1 【例 3】 (2013 广东惠州高三一模)已知 f(x)=ln x,g(x)= x3+ x2+mx+n,直线 l 3 2
与函数 f(x),g(x)的图象都相切于点(1,0). (1)求直线l的方程及g(x)的解析式;
(2)若h(x)=f(x)-g′(x),(其中g′(x)是g(x)的导函数),求函数h(x)的极大值.
m 1, 1 3 1 2 1 ≨ g(x)= x + x -x+ . 1 n . 3 2 6 6
(2)h(x)=f(x)-g′(x)=ln x-x2-x+1(x>0),
1 (2 x 1)( x 1) 1 2 x2 x ≨h′(x)= -2x-1= =. x x x
式f′(x)>0(或f′(x)<0);④根据③的结果确定函数f(x)的单调区间.
(2)已知f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数的范围问题一般有
两种处理方法:①利用集合的包含关系处理.f(x)在区间(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.②利用不等式的恒成
立处理.f(x)在区间(a,b)上单调,则f′(x)≥0或f′(x)≤0在区
答案: (1)5x+y-3=0 (2)1
技巧方法 (1)曲线y=f(x)在点x=x0处的导数f′(x0)的几何意义
是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即k=f′(x0). 因此,当f′(x0)存在时,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). (2)过P点的切线方程的切点坐标的求解步骤:①设出切点坐标;
解析:(1)y′=a-
1 ,当 x=0 时,y′=a-1 即是 y=2x 的斜率, x 1
1 , x
≨a-1=2,≨a=3.故选 D.
(2)f′(x)=2f′(1)+ 令 x=1,
得 f′(1)=2f′(1)+1, 故选 B.
≨f′(1)=-1,
热点二利用导数研究函数的单调性
【例2】已知函数f(x)=(x2-ax)ex(x∈R),a为实数. (1)当a=0时,求函数f(x)的单调增区间; (2)若f(x)在闭区间[-1,1]上为减函数,求a的取值范围. 解: (1)当a=0时,f(x)=x2ex, f′(x)=2xex+x2ex=(x2+2x)ex, 由f′(x)>0⇒x>0或x<-2, 故f(x)的单调增区间为(0,+≦)和(-≦,-2). (2)由f(x)=(x2-ax)ex,x∈R, 得f′(x)=(2x-a)ex+(x2-ax)ex=[x2+(2-a)x-a]ex. 记g(x)=x2+(2-a)x-a, 依题意,x∈[-1,1]时,g(x)≤0恒成立,
专题八自选模块
第1讲导数及其应用
热点透析
思想方法
热点透析
热点一导数的几何意义及运算方程为 .
突典例
熟规律
【例1】 (1)(2014高考广东卷)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线
π π (2)已知函数 f(x)=f′ cos x+sin x,则 f 的值为 4 4
②表示出切线方程;③已知点P在切线上,代入求得切点坐标的横
坐标,从而求得切点坐标.
热点训练1:(1)(2014高考新课标全国卷Ⅱ)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0) 处的切线方程为y=2x,则a等于( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (2)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+ln x,则 f′(1)等于( ) (A)-e (B)-1 (C)1 (D)e
解: (1)直线l是函数f(x)=ln x在点(1,0)处的切线, 故其斜率k=f′(1)=1, ≨直线的方程为y=x-1. 又≧直线与g(x)的图象相切,且切于点(1,0),
1 3 1 2 ≨g(x)= x + x +mx+n 在点(1,0)处的导函数值为 1, 3 2
g 1 0, ⇒ g 1 1
g 1 3 2a 0, 结合 g(x)的图象特征得 g 1 1 0,
即 a≥
3 3 ,所以 a 的取值范围是 , . 2 2
技巧方法 (1)导数法求函数f(x)单调区间的一般步骤:①求函数
f(x)的定义域;②求导数f′(x);③在函数f(x)的定义域内解不等
f (1) 1 2a b 0, ≨ f 3 9 6a b 0,
2a b 1, ≨ 6a b 9,
满足条件的点(a,b)如图阴影部分. 设 u=a+b,作直线 a+b=0 并平移, 则直线过点 P(-1,3)时 u 最小,最小值为-1+3=2.
.
解析: (1)由题意知点(0,3)是切点.y′=-5e-5x,令x=0,得所求切线斜率为-5.从而所求方程为5x+y-3=0.
π (2)因为 f′(x)=-f′ sin x+cos x, 4
把 x=
π 代入,得 4
π π π π π f′ =-f′ sin +cos ,即 f′ = 2 -1, 4 4 4 4 4 π π π π π 故 f =f′ cos +sin ,得 f =1. 4 4 4 4 4
间(a,b)内恒成立,不要忽略等号. (3)注意转化思想的用.
1 热点训练 2:已知函数 f(x)= x3+ax2-bx+1(a,b∈R)在区间[-1,3]上是减函数, 3
则 a+b 的最小值是
.
解析:f′(x)=x2+2ax-b. ≧f(x)在[-1,3]上是减函数, ≨[-1,3]是 f′(x)<0 的解集的子集,