河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中数学试卷2 (含答案解析)

河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中数学试卷2
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A={x|−3<x<1}，B={x|(x+1)(x−3)≤0}，则A∩B=()
A. (−3,3]
B. [−3,1)
C. (−1,3)
D. [−1,1)
2.若复数(a+i)(2+i)(i为虚数单位)为纯虚数，则实数a=()
A. −2
B. 2
C. −1
2D. 1
2
3.已知直线l:3x+4y+m=0(m>0)被圆C:x2+y2+2x−2y−6=0截得的弦长是圆心C到直
线l的距离的2倍，则m=()
A. 6
B. 8
C. 9
D. 11
4.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BA⊥AD，AD//BC，AB=BC=2，PA=3，
PA⊥底面ABCD，E是棱PD上异于P，D的动点，设PE
ED
=m，则“0<m<2”是“三棱锥C−ABE的体积不小于1”的()
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5.双曲线C：x2
4−y2
2
=1的离心率为()
A. √2
2B. √6
2
C. √2
4
D. √6
4
6.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几
何体的体积是()
A. 2cm 3
B. √3cm 3
C. 3√3cm 3
D. 3cm 3
7. 已知sin (α+π
3
)+sinα=−
4√3
5
，则cos (α−π
3)=( )
A. −4
5
B. −3
5
C. 4
5
D. 3
5
8. 设实数x ，y 满足{x −y ≥0
x +y ≤1x +2y ≥1
则z =2x −3y 的最大值为( )
A. −1
3
B. −1
2
C. 2
D. 3
9. 设a =log 36,b =log 510,c =log 714,则( )
A. a >b >c
B. a >c >b
C. c >a >b
D. c >b >a
10. 若函数f (x )=sinωx (ω>0)在区间[0,π
3]上单调递增，在区间[π3,π
2]上单调递减，则ω=( )
A. 3
B. 2
C. 2
3
D. 3
2
11. 已知椭圆C ：
x 2a 2
+y 2
b 2=1，点F 1，F 2是椭圆的左右焦点，点A 是椭圆上的点，▵AF 1F 2的内切圆
的圆心为M ，若MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则椭圆的离心率为( )
A. 1
2
B. √2
2 C. √32
D. √2−1
12. 已知函数
，若关于x 的方程f(x)−t =0有3个不同的实数
根，则实数t 的取值范围是( )
A. [0,1]
B. (0,1)
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知a ⃗ =(3,−4)，b ⃗ =(2,3)，则2|a ⃗ |−3a ⃗ ⋅b ⃗ = ______ ．
14. 已知等比数列{a n }的各项均为正数，a 6+a 5=4，a 4+a 3−a 2−a 1=1，则a 1的值为______．
15.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，P是面对角线BC1的中点，Q是底面ABCD上一动点，则
D1P+PQ的最小值为．
16.若函数在在[1,2]上单调递增，则实数a的取值范围是__________．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28.记b n=[lg a n]，其中[x]表示不超过x的
最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．
(1)求b1，b11，b101；
(2)求数列{b n}的前1000项的和．
18.已知a,b,c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且2asin(C+π
)=√3b．
3
(1)求角A的值．
(2)若b=3,c=4，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．
19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，
AB//CD，∠ADC=90°，AB=2，AD=4，DC=3，PA=5，E∈PC，AC∩BD=F．
(1)若CE
EP =3
2
，求证：EF//平面PAB；
(2)若FE⊥PC，求二面角E−DB−C的平面角的余弦值．
20.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，M(−2,y0)是C上一点，且|MF|=2．
(Ⅰ)求C的方程；
(Ⅱ)过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，分别过点A，B两点作抛物线C的切线l1，l2，两条切线相交于点P，点P关于直线AB的对称点Q，判断四边形PAQB是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由．
21.已知函数f(x)=ax2−(a+2)x+lnx，其中a∈R．
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)若对于任意x2>x1>0，f(x1)+2x1<f(x2)+2x2恒成立，求a的取值范围
22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的
极坐标方程为ρ=sinθ+cosθ，点P的曲线C上运动．
(I)若点Q在射线OP上，且|OP|⋅|OQ|=4，求点Q的轨迹的直角坐标方程；
)，求△MOP面积的最大值．
(Ⅱ)设M(4,3π
4
23.已知函数f(x)=|x−a|+m|x+a|．
(Ⅰ)当m=a=−1时，求不等式f(x)≥x的解集；
(Ⅱ)不等式f(x)≥2(0<m<1)恒成立时，实数a的取值范围是{a|a≤−3或a≥3}，求实数m 的集合．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：D
解析：解：∵集合A={x|−3<x<1}，
B={x|(x+1)(x−3)≤0}={x|−1≤x≤3}，
∴A∩B={x|−1≤x<1}=[−1,1)．
故选：D．
先求出集合A和B，由此能求出A∩B．
本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D
解析：
本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．
解：由题意可知：(a+i)(2+i)=(2a−1)+(2+a)i，
∵复数为纯虚数，∴2+a≠0，2a−1=0，
∴a=1
2
.
故选D．
3.答案：C
解析：
本题考查直线与圆的位置关系，圆心到直线的距离，求出圆心为(−1,1)，半径为2√2，利用圆心到直
线的距离d=|−3+4+m|
5=2√2×√2
2
，即可求出结论．
解：圆C:x2+y2+2x−2y−6=0，可化为(x+1)2+(y−1)2=8，圆心为(−1,1)，半径为2√2．
由题意得，圆心到直线的距离d=|−3+4+m|
5=2√2×√2
2
．
∵m>0，∴m=9．
故选C．
4.答案：B
解析：
本题考查充要条件的判断及棱锥体积的求解，过E作EH⊥AD得到V C−ABE=V E−ABC=2
3
EH即可求解．
解析：
解：过E作EH⊥AD，H为垂足，则EH⊥面ABCD
∴V C−ABE=V E−ABC，所以三棱锥C−ABE的体积为2
3
EH，
若三棱锥C−ABE的体积不小于1，则EH≥3
2
，
又PA=3，∴PE
ED
=m≤1．
即“0<m<2”是“三棱锥C−ABE的体积不小于1”的必要不充分条件．
故选B．
5.答案：B
解析：解：双曲线C：x2
4−y2
2
=1，可得a=2，b=√2，则c=√6．
双曲线的离心率为：√6
2
．
故选：B．
利用双曲线方程求出a，b，c，然后求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．。