最新人教版高中数学选修2-2第一章《利用导数判断函数的单调性》课后训练
最新人教版高中数学选修2-2第一章《导数的运算》课后导练
课后导练基础达标1.下列运算正确的是( )A.(ax 2-bx+c)′=a(x 2)′+b(-x)′B.(sinx-2x 2)′=(sinx)′-(2)′(x 2)′C.(cosx·sinx)′=(sinx)′cosx+(cosx)′·cosxD.(2cos x x )′=22)()(cos x x x '-' 答案:A2.y=cotx 的导数是() A.y′=x 2sin 1B.y′=x 2cos 1-C.y′=x 2sin 1-D.y′=x 2cos 1答案:C3.曲线f （x ）=x 3+x-2在P 0点处的切线平行于直线y=4x-1,则P 0点的坐标为( )A.(1,0)或(-1,-4)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,4)答案:A4.设y=-2e x sinx,则y′等于( )A.-2e x cosxB.-2e x sinxC.2e x sinxD.-2e x (sinx+cosx) 解析:y′=-2(e x sinx+e x cosx)=-2e x (sinx+cosx).答案:D5.设f(x)=x(x-1)(x-2)…(x -100),则f′(0)等于( )A.100B.0C.100×99×98×…×3×2×1D.1解析:∵f(x)=x(x-1)(x-2)…(x -100),∴f′(x)=(x -1)(x-2)…(x -100)+x·［(x-1)·(x-2)…(x -100)］′.∴f′(0)=(-1)(-2)…(-100)=100×99×98×…×3×2×1.答案:C6.过原点作曲线y=e x 的切线，则切点的坐标为____________，切线的斜率为__________. 解析:将e x 求导知(e x )′=e x .设切点坐标为(x 0,e 0x ),则过该切点的直线的斜率为e0x . ∴直线方程为y-e=e0x (x-x 0). ∴y-e 0x =e 0x ·x-x 0·e 0x .∵直线过原点,∴(0,0)符合上述方程.∴x 0·e 0x =e 0x ,∴x 0=1.∴切点为(1,e),斜率为e.答案:(1,e)，e7.曲线y=x 3在点(a,a 3)(a≠0)处的切线与x 轴、直线x=a 所围成的三角形的面积为61,则a=__________________.解析:∵y=x 3,∴y′=3x 2.∴y=x 3在(a,a 3)点的切线斜率k 为k=3a 2.∴切线方程为y-a 3=3a 2(x-a),y=3a 2x-2a 3.令3a 2x-2a 3=0,得x=32a,即y=3a 2x-2a 3与x 轴交点横坐标为32. 令x=a,得y=3a 2×a-2a 3=a 3,即y=3a 2x-2a 3与x=a 交点纵坐标为a3.则S 三角形=21|3a ||a 3|=61， ∴a 4=1，∴a=1或-1.答案：1或-1.8.曲线y=2-21x 2与y=41x 3-2在交点处的切线夹角是.(以弧度数作答)解析:⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.24,2232x y x y x 3+2x 2-16=0⇒(x-2)(x 2+4x+8)=0⇒x=2. ∴两曲线只有一个交点.∵y′=(2-21x 2)′=-x, ∴当x=2时,y′=-2.又∵y′=(43x -2)′=43x 2,∴当x=2时,y′=3. ∴两曲线在交点处的切线斜率分别为-2,3.∴夹角的正切值的绝对值为|3)2(132⨯-+--|=1. ∴夹角为4π. 答案:4π 9.求下列函数的导数.(1)f(x)=(x 3+1)(2x 2+8x-5); (2)f(x)=xtanx-xcos 2; (3)f(x)=22ln xx x+. 分析:为简化运算,一般先化简再求导.解:(1)∵f′(x)=［2x 5+8x 4-5x 3+2x 2+8x-5］′,∴f′(x)=10x 4+32x 3-15x 2+4x+8. (2)f′(x)=]cos 2sin []cos 2cos sin ['-='-xx x x x x x =x x x x x xsix 2cos sin )2sin (cos )2(-+'- =xx x x x x x x x 22cos sin 2sin cos )cos sin (-++ =xx x x x x 2cos sin 2cos sin -++ =tanx+x x x x cos tan 2cos 2-. (3)f′(x)=(222ln xx x x -)′=(2ln x x )′+(22x x)′=4224222ln 22ln 1xx x x x x x x x x ∙-∙∙+∙-∙ =422)22(ln )ln 21(xx x x x x∙-∙+- =32)22(ln ln 21xx x x∙-∙+-. 10.已知f(x)=x 2+ax+b,g(x)=x 2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且f′(x)=g′(x),f(5)=30,求g(4). 分析:题设中有四个数a 、b 、c 、d,确定它们的值需要四个方程.解:由f(2x+1)=4g(x),得4x 2+2(a+2)x+(a+b+1)=4x 2+4cx+4d.于是有⎩⎨⎧=++=+)2(,41)1(,22d b a c a 由f′(x)=g′(x),得2x+a=2x+c,∴a=c. ③由f(5)=30,得25+5a+b=30. ④∴由①③可得a=c=2.由④得b=-5,再由②得d=21-. ∴g(x)=x 2+2x-21. 故g(4)=16+8-21=247. 综合运用 11.y=x x 4的导数是________________. 答案：y′=x x 44ln 1-. 12.设f(x)=x(1+|x|),则f′(x)=_________________.答案：f′(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+0.0,22x x x x x x 13.曲线y=x 2+1上点P 处的切线与曲线y=-2x 2-1也相切,求点P 的坐标. 分析:利用导数的几何意义.解:设P 点坐标为(a,a 2+1),由y=x 2+1,得y′=2x.过P 点的切线方程为y-(a 2+1)=2a(x-a),即y=2ax-a 2+1,由⇒⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=121222x y a ax y 由相切知此方程Δ=0,即a=±332, ∴P 点为(332,37),(332-,37). 14.当常数k 为何值时,直线y=x 才能与函数y=x 2+k 相切?并求出切点. 解:设切点A(x 0,x 20+k),∵y′=2x,∴⎩⎨⎧=+=.,120020x k x x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.41,210k x 故当k=41时,直线y=x 与函数y=x 2+41的图象相切于点A 且坐标为(21,21). 15.设直线l 1与曲线y=x 相切于P,直线l 2过P 且垂直于l 1,若l 2交x 轴于Q 点,又作PK 垂直于x 轴于K,求KQ 的长.解:设P(x 0,y 0),则K 1l =y′|0x x ==021x , 由l 2和l 1垂直,故K 2l =-20x ,于是l 2:y-y 0=-20x (x-x 0), 令y=0,则-y 0=-20x (x Q -x 0),即-0x =-20x (x Q -x 0),解得x Q =21+x 0.易得x K =x 0, ∴|KQ|=|x Q -x K |=21. 拓展研究16.已知抛物线C 1:y=x 2+2x 和C 2:y=-x 2+a.如果直线l 同时是C 1和C 2的切线,称l 是C 1和C 2的公切线,公切线上两个切点之间的线段称为公切线段.(1)a 取什么值时,C 1和C 2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程.(2)若C 1和C 2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.(1)解:函数y=x 2+2x 的导数y′=2x+2,曲线C 1在点P(x 1,x 12+2x 1)的切线方程是y-(x 12+2x 1)=(2x 1+2)(x-x 1),即y=(2x 1+2)x-x 12.①函数y=-x 2+a 的导数y′=-2x,曲线C 2在点Q(x 2,-x 22+a)的切线方程是y-(-x 22+a)=-2x 2(x-x 2),即y=-2x 2x+x 22+a.②如果直线l 是过P 和Q 的公切线.则①式和②式都是l 的方程⎪⎩⎪⎨⎧+=--=+,,1222121a x x x x 消去x 2得方程2x 12+2x 1+1+a=0,此方程Δ=4-4×2(1+a).由Δ=0,得a=21-,解得x 1=21-,此时P 与Q 重合,即当a=21-时,C 1和C 2有且仅有一条公切线.由①得公切线方程为y=x-41. (2)证明:由(1)可知,当a<21-时,C 1和C 2有两条公切线,设一条公切线上切点为P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2),其中P 在C 1上,Q 在C 2上,则有x 1+x 2=-1,y 1+y 2=x 12+2x 1+(-x 22+a)=x 12+2x 1-(x 1+1)2+a=-1+a,线段PQ 的中点为(21-,21a +-). 同理,另一条公切线段P′Q′的中点也是(21-,21a +-), 所以公切线段PQ 和P′Q′互相平分.。
高中数学选修2-2第一章知识点及测试题
高中数学选修2-2知识点总结第一章 导数及其应用1. 平均变化率 xf x f x y x x ∆-∆+=∆∆)()(00 2. 导数（或瞬时变化率） x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0000导函数(导数)： xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(03. 导数的几何意义：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f '(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f '(x 0)．4. 导数的运算：(1)几种常见函数的导数：①(C )′＝0(C 为常数)； ②(x α)′＝1x αα-(x ＞0，Q α∈)； ③(sin x )′＝cos x ； ④(cos x )′＝－sin x ； ⑤(e x )′＝e x ； ⑥(a x )′＝a x ln a (a ＞0，且a ≠1)； ⑦xx 1)(ln =； ⑧1(log )ln a x x a =(a ＞0，且a ≠1)．(2)导数的运算法则：①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )； ②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )； ③)0)(()()()()()(])()([2=/'-'='⋅x v x v x v x u x v x u x v x u . 5. 设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅'。
最新人教版高中数学选修2-2第一章《函数的极值与导数》课后训练1
1.3.2 函数的极值与导数练习1．函数y＝f(x)＝x2＋x＋1的极小值是()A．1 B.3 4C.74D．不存在2．下列函数存在极值的是()A．f(x)＝1xB．f(x)＝x－e xC．f(x)＝x3＋x2＋2x－3 D．f(x)＝x33．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是() A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6C．a＜－3或a＞6 D．a＜－1或a＞25．设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是()A．(a，b) B．(a，c)C．(b，c) D．(a＋b，c)6．设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为__________．7．函数f(x)＝a ln x＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＝________，b＝________.8．若函数f(x)＝x3－3x－k在R上只有一个零点，则常数k的取值范围为__________．9．求下列函数的极值：(1)f(x)＝3222(1)xx--；(2)f(x)＝x2e－x.10．(2011·重庆高考)设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝12-对称，且f′(1)＝0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值．解：(1)因f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，故f′(x)＝6x2＋2ax＋b.从而f′(x)＝22666a ax b⎛⎫++-⎪⎝⎭，即y＝f′(x)关于直线x＝6a-对称，从而由题设条件知162a-=-，解得a＝3.又由于f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，解得b＝－12.所以，实数a，b的值分别为3，－12.(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0.解得x1＝－2，x2＝1.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；当x∈(－2,1)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－2,1)上为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数；从而函数f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝21，在x2＝1处取得极小值f(1)＝－6. 所以函数f(x)的极大值为f(－2)＝21，极小值为f(1)＝－6.。
最新人教版高中数学选修2-2第一章《导数的概念》课后训练
1．1.2 导数的概念练习1．自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的变化量D ．在区间[x 0，x 1]上的导数2．函数f (x )在x 0处可导，则00()()lim h f x h f x h→+-( ) A ．与x 0，h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0，h 均无关3．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则0lim x y x ∆→∆∆等于( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋Δx 24．一个物体的运动方程为s (t )＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．8 m/s5．函数y ＝x ＝4处的导数是( ) A.18 B ．18- C.116 D ．116- 6．物体运动的规律是s ＝s (t )，物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是__________．7．已知函数y ＝f (x )＝1x，则此函数在[1,1＋Δx ]上的平均变化率为__________． 8．路灯距地面8 m ，一个身高为1.6 m 的人以84 m/min 的速度从路灯在地面上的射影点C 处沿某直线离开路灯．(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式；(2)求人离开路灯后，在0 s 到10 s 内身影的平均变化率．9．设质点做直线运动，已知路程s 是时间t 的函数：s ＝3t 2＋2t ＋1.(1)求从t ＝2到t ＝2＋Δt 的平均速度，并求Δt ＝1，Δt ＝0.1与Δt ＝0.01时的平均速度；(2)求t ＝2时的瞬时速度．10．已知成本c 与产量q 的函数关系式为c ＝4q 2＋q －6，求当产量q ＝10时的边际成本．(注：边际成本是指在一定产量水平下，增加或减少一个单位产量所引起成本总额的变动数)参考答案1. 答案：A2. 答案：B 由导数的概念可知，000()()lim h f x h f x h→+-＝f ′(x 0)，仅与x 0有关，与h 无关．故选B.3. 答案：A ∵邻近一点的坐标为(1＋Δx,2＋Δy )，∴2＋Δy ＝f (1＋Δx )＝(1＋Δx )2＋1＝2＋2Δx ＋(Δx )2.∴Δy ＝(Δx )2＋2Δx .∴y x ∆∆＝2＋Δx . ∴00lim lim x x y x ∆→∆→∆=∆(2＋Δx )＝2.故选A. 4. 答案：C s ′(3)＝0(3)(3)lim t s t s t∆-+∆-∆ ＝220[1(3)(3)](133)lim t t t t∆--+∆++∆--+∆ ＝0lim t ∆- (5＋Δt )＝5. 5. 答案：C ∵Δy ＝＝12=∴y x ∆=∆∴00lim lim x x y x ∆→∆→∆=∆ 116=. ∴y ′|x ＝4＝116. 6. 答案：()()s t t s t t +∆-∆ ()()s s t t s t t t ∆+∆-=∆∆7.答案：11x-+∆11(1)(1)111y f x f xx x x x-∆+∆--+∆===∆∆∆+∆.8.分析：(1)画出示意图，根据平面几何知识，可求y与x之间的关系；(2)由求平均变化率的步骤可得解．解：(1)如图所示，设人从点C运动到B处的路程为x m，AB为身影的长度，AB的长度为y m，由于CD∥BE，则AB BE AC CD=，即1.68yy x=+，所以y＝14 x.(2)84 m/min＝1.4 m/s，当从0 s到10 s时，身影长度增加了14×1.4×10－14×1.4×0＝72(m)，身影的平均变化率为77210020=-，即人离开路灯后，在0 s到10 s内身影的平均变化率为720m/s.9.分析：(1)根据平均变化率的概念可求平均速度；(2)即求函数s在t＝2处的导数．解：(1)从t＝2到t＝2＋Δt内的平均速度为(2)(2)s s t st t∆+∆-=∆∆＝23(2)2(2)134221t tt+∆++∆+-⨯-⨯-∆＝2143()143t ttt∆+∆=+∆∆.当Δt＝1时，平均速度为14＋3×1＝17；当Δt＝0.1时，平均速度为14＋3×0.1＝14.3；当Δt＝0.01时，平均速度为14＋3×0.01＝14.03.(2)t＝2时的瞬时速度为v＝00lim limt tst∆→∆→∆=∆(14＋3Δt)＝14.10．分析：由题意，知当q＝10时的边际成本，即为函数c在q＝10处的导数．解：∵Δc＝4(10＋Δq)2＋(10＋Δq)－6－(4×102＋10－6)＝4(Δq)2＋80Δq＋Δq＝4(Δq)2＋81Δq，∴24()81c q q q q∆∆+∆=∆∆＝4Δq ＋81. ∴边际成本为00lim lim q q c q ∆→∆→∆=∆ (4Δq ＋81)＝81. ∴当产量q ＝10时的边际成本为81.。
高中数学选修2-2讲义：第一章 3 1 利用导数判断函数的单调性 含答案
1.3导数的应用1．3.1 利用导数判断函数的单调性已知函数y 1＝x ，y 2＝x 2，y 3＝1x的图像如图所示．问题1：试结合图像指出以上三个函数的单调性．提示：函数y 1＝x 在R 上为增函数，y 2＝x 2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，y 3＝1x在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数．问题2：判断它们的导数在其单调区间上的正、负．提示：y 1′＝1在R 上为正，y 2′＝2x ，在(－∞，0)上为负，在(0，＋∞)上为正，y 3′＝－1x2在 (－∞，0)及(0，＋∞)上均为负．问题3：结合问题1、2探讨函数的单调性与其导函数正负有什么关系？ 提示：当f ′(x )>0时，f (x )为增函数，当f ′(x )<0时，f (x )为减函数．利用导数判断函数单调性的法则函数的单调性与其导数正负的关系(1)利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f ′(x )>0(或f ′(x )<0)仅是函数f (x )在某个区间上递增(或递减)的充分条件．(2)在区间(a ，b )内可导的函数f (x )在区间(a ，b )上递增(或递减)的充要条件应是[对应学生用书P14]f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)(x ∈(a ，b ))恒成立且f ′(x )在区间(a ，b )的任意子区间内都不恒等于0.(3)特别地，如果f ′(x )＝0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内是常数函数．[例1] 求证：函数f (x )＝e x －x －1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数． [思路点拨] 根据函数的单调性与导数正负的关系，只要证明f ′(x )在(0，＋∞)上为正，在(－∞，0)上为负即可．[精解详析] 由于f (x )＝e x －x －1， 所以f ′(x )＝e x －1，当x ∈(0，＋∞)时，e x ＞1，即f ′(x )＝e x －1＞0. 故函数f (x )在(0，＋∞)内为增函数，当x ∈(－∞，0)时，e x ＜1，即f ′(x )＝e x －1＜0. 故函数f (x )在(－∞，0)内为减函数．[一点通] 利用导数判断可导函数f (x )在(a ，b )内的单调性，步骤是：①求f ′(x )；②确定f ′(x )在(a ，b )内的符号；③得出结论．1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝x e xC ．y ＝x 3－xD ．y ＝－x ＋ln (1＋x )解析：y ＝x e x ，则y ′＝e x ＋x e x ＝e x (1＋x )在(0，＋∞)上恒大于0. 答案：B2．证明函数f (x )＝x ＋sin x 在R 上是增函数． 证明：f ′(x )＝1＋cos x ，∵－1≤cos x ≤1，∴0≤1＋cos x ≤2，当且仅当cos x ＝－1，即x ＝(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f ′(x )＝0. ∴f (x )＝x ＋sin x 在R 上是增函数．3．讨论函数f (x )＝bxx 2－1(－1＜x ＜1，b ≠0)的单调性．[对应学生用书P15]解：∵f ′(x )＝b (x 2－1)－bx ·2x (x 2－1)2＝－b (x 2＋1)(x 2－1)2，∴当b ＜0时，f ′(x )＞0，故f (x )在(－1,1)上是增函数， 当b ＞0时，f ′(x )＜0，故f (x )在(－1,1)上是减函数．[例2] 求函数f (x )＝x 2－ln x 2的单调区间．[思路点拨] 求定义域―→求导数f ′(x )并分解因式―→ 在定义域内议论导数f ′(x )的符号―→写出单调区间[精解详析] 函数f (x )＝x 2－ln x 2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f ′(x )＝2x －2x ＝2(x 2－1)x ＝2(x －1)(x ＋1)x，由f ′(x )＞0得－1＜x ＜0或x ＞1；由f ′(x )＜0得x ＜－1或0＜x ＜1.因此，函数f (x )的单调递增区间是(－1,0)，(1，＋∞)；单调递减区间是(－∞，－1)，(0,1)． [一点通] 确定可导函数f (x )的单调区间应遵循下列步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )＞0，f ′(x )＜0； (4)写出函数的单调区间．4．函数f (x )＝5x 2－2x 的单调增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫15，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－∞，15 C.⎝⎛⎭⎫－15，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，－15 解析：由f ′(x )＝10x －2＞0得x ＞15，即增区间为⎝⎛⎭⎫15，＋∞. 答案：A5．求函数f (x )＝e xx －2的单调区间．解：函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝e x (x －2)－e x (x －2)2＝e x (x －3)(x －2)2. 因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以e x ＞0，(x －2)2＞0. 由f ′(x )＞0得x ＞3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；由f ′(x )＜0得x ＜3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3).[例3] (12分)已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围．[精解详析] f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2.⇨(2分)要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的， 则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立， 即2x 3－ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立．⇨(5分)∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立， ∴a ≤(2x 3)min .⇨(7分)∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.⇨(10分)当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x 2≥0(x ∈[2，＋∞))，有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是(－∞，16]．⇨(12分)[一点通] 已知f (x )在区间(a ，b )上的单调性，求参数范围的方法：(1)利用集合的包含关系处理：f (x )在(a ，b )上单调递增(减)，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理：f (x )在(a ，b )上单调递增(减)，则f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在(a ，b )内恒成立，注意验证等号对有限个x 成立．6．如果函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a ≠0)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0,2)内单调递减，则常数a 的值为( )A ．1B ．2C ．－6D ．－12解析：f ′(x )＝6x 2＋2ax ，令6x 2＋2ax ＜0，当a ＞0时，解得－a3＜x ＜0，不合题意；当a ＜0时，解得0＜x ＜－a 3，由题意知－a3＝2，a ＝－6.答案：C7．若函数f (x )＝ax 3－x 2－x －5的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－13，1，求实数a 的值． 解：因为f ′(x )＝3ax 2－2x －1，且函数f (x )＝ax 3－x 2－x －5的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－13，1，所以3ax 2－2x －1＜0的解集为⎝⎛⎭⎫－13，1，则－13，1是方程3ax 2－2x －1＝0的两根且a ＞0，代入可得a ＝1.8．已知f (x )＝x 3－ax －1，若f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围． 解：∵f (x )＝x 3－ax －1，∴f ′(x )＝3x 2－a . 由f ′(x )＝0，得x ＝±3a3(a ≥0)， ∵f (x )在区间(－1,1)上不单调， ∴0＜3a3＜1，即0＜a ＜3.1．在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，只能在定义域内通过讨论导数的符号来确定函数的单调区间．2．一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间． 3．当给定问题中含有字母参数时，需要分类讨论确定单调区间． 4．两个单调性相同的区间，不能用并集符号连接．[对应课时跟踪训练(六)]1．函数y ＝12x 2－ln x 的单调减区间为( )A ．(0,1)B ．(0,1)∪(－∞，－1)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：y ′＝x －1x ＝(x －1)(x ＋1)x ，∵x ＞0，∴由y ′＜0得x ＜1，∴0＜x ＜1.答案：A2．设f ′(x )是函数f (x )的导数，y ＝f ′(x )的图像如图所示，则y ＝f (x )的图像最有可能是选项中的( )解析：由y ＝f ′(x )的图像得：当－1<x <1时，f ′(x )>0，所以y ＝f (x )在(－1,1)上单调递增．因为当x <－1和x >1时，f ′(x )<0，所以y ＝f (x )在(－∞，－1)，(1 ，＋∞)上分别单调递减．综合选项得只有B 正确．答案：B3．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)<f (e)<f (3) B ．f (e)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2)解析：在(0，＋∞)上，f ′(x )＝12x ＋1x>0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以有f (2)<f (e)<f (3)．答案：A4．若函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[0,1] C ．(－∞，1]D ．(0,1)解析：f ′(x )＝3x 2－2ax －1，∵f (x )在(0,1)内单调递减，∴不等式3x 2－2ax －1≤0在(0,1)内恒成立，∴f ′(0)≤0，f ′(1)≤0，∴a ≥1. 答案：A5．函数f (x )＝sin x －2x 的单调递减区间是________． 解析：∵f ′(x )＝cos x －2<0，∴f (x )在R 上为减函数． 答案：(－∞，＋∞)6．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________．解析：若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则y ′＝－4x 2＋b ＝0有两个不相等的实数根，所以b ＞0.答案：(0，＋∞)7．已知函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调区间．解：∵函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，∴a ＜0，b ＜0.由y ＝ax 3＋bx 2＋5，得y ′＝3ax 2＋2bx . 令y ′＞0，得3ax 2＋2bx ＞0， ∴－2b3a＜x ＜0.令y ′＜0，得3ax 2＋2bx ＜0， ∴x ＜－2b3a或x ＞0.∴函数y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－2b 3a ，0，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－2b 3a 和(0，＋∞)．8．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ，且f ′(－1)＝－4，f ′(1)＝0.(1)求a 和b ；(2)试确定函数f (x )的单调区间； (3)求证当x >3时，f (x )>9.解：(1)∵f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ，∴f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b ，由f ′(－1)＝－4，f ′(1)＝0得⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋b ＝－4，1＋2a ＋b ＝0.解得a ＝1，b ＝－3.(2)由(1)得f (x )＝13x 3＋x 2－3x ，f ′(x )＝x 2＋2x －3＝(x －1)(x ＋3)． 由f ′(x )＞0得x ＞1或x ＜－3； 由f ′(x )＜0得－3＜x ＜1.∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3,1)． (3)证明：由(2)知f (x )在(3，＋∞)上是增函数， ∴x >3时，f (x )>f (3)＝9.。
最新人教版高中数学选修2-2第一章《导数的实际应用》课后导练
课后导练基础达标1.用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边形折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为（ ）A.6B.8C.10D.12解析：设截去的小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积为V cm 3，由题意，得V=x(48-2x)2(0＜x ＜24)，V′=12(24-x)(8-x).令V′=0，则在(0,24)内有x=8.故当x=8时，V 有最大值. 答案:B2.在半径为r 的半圆内作一内接梯形,使其底为直径,其他三边为圆的弦,则梯形的面积最大时,梯形的上底长为（ ） A.2r B.r 23 C.r 33 D.r 解析:设梯形的上底长为2x,高为h,面积为S, 因为h=22x r +, ∴S=2222)(222x r x r x r x r -+=-+ ∴S′=2222222222))(2(2)(xr x r x r xr x rx r xr x r x x r -+-=---=-+--.令S′=0得x=2r ,h=23. 当x ∈(0,2r )时,S′>0;当2r<x<r 时,S′<0. ∴当x=2r时,S 取极大值. 当梯形的上底长为r 时,它的面积最大. 答案:D3.设底为正三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B.32V C.34V D.23V 解析：设底面边长为x ，侧棱长为l ，则V=21x 2·sin60°·l ， ∴l=234x V .∴S 表=2S 底+3S 侧=x 2·sin60°+3·x·l=23x 2+xV34. ∴V′=3x-234xV =0.∴x 3=4V .即x=34. 又当x ∈(0,34)时，y′＜0,x ∈(34,V)时，y′＞0，∴x=34时，表面积最小.答案：C4.以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为（ ） A.10 B.15 C.25 D.50解析：如图，设∠NOB=θ，则矩形面积S=5sinθ·2·5cosθ=50sinθ·cosθ=25sin2θ，故S max =25.答案：C5.函数f(x)=x 3-3x(|x|＜1)( )A.有最大值，但无最小值B.有最大值，也有最小值C.无最大值，也无最小值D.无最大值，但有最小值 答案:C6.某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁.当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________________. 解析：要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短.如右图所示，设场地宽为x 米，则长为x 512米，因此新墙总长度为L=2x+x 512(x ＞0),则L′=2-2512x.令L′=0,得x=±16.∵x ＞0，∴x=16.当x=16时,L 极小值=L min =64,∴堆料场的长为16512=32(米).答案：32 m,16 m7.(006江西南昌一模) 函数y=2x 3-3x 2-12x+5在［0，3］上的最大值、最小值分别是__________. 答案:5，-158.函数y=sin2x-x,x ∈［2π-,2π］的最大值是___________，最小值是____________.答案:2π 2π-9.将一段长为100厘米的铁丝截成两段，一段弯成圆，一段弯成正方形，问如何截能使正方形与圆面积之和最小，并求出最小面积.解：设弯成圆的一段长为x ，另一段长为100-x,正方形与圆的面积之和为S ，则S=π（π2x-）2+(4100x -)2(0＜x ＜100),所以S′=812-πx (100-x). 令S′=0得x=4100+ππ≈44(cm).由于在（0，100）内函数只有一个导数为0的点，故当x=4100+ππ时，S 最小,此时S=42500+π. ∴截成圆的一段铁丝长为4100+ππ时可使正方形与圆的面积之和最小，最小值为42500+π.10.货车欲以x km/h 的速度行驶，去130 km 远的某地.按交通法规，限制x 的允许范围是50≤x≤100.假设汽油的价格为2元/升，而汽车耗油的速率是（2+3602x ）升/小时，司机的工资是14元/小时，试问最经济的车速是多少？这次行车的总费用最低是多少？解：汽车运行的时间为x 130小时，耗油量为x 130×（2+3602x ）升，耗油费用为2×x 130×(2+3602x )元，司机的工资为14×x130元. 故这次行车的总费用为y=2×x 130×（2+3602x ）+14×x 130=130(x x 18180+). ∴y′=130(2181801x+). 由y′=0,得50≤x≤100内的唯一解为x=1810≈57 km/h. ∴最经济的车速为57 km/h ，最低费用为130×(571818057+)≈82.2(元). 综合运用11.如图，一艘渔船停泊在距岸9千米的A 处,今需派人送信给距渔船334千米处的海岸渔站C,若送信人步行速度为每小时5千米,船速为每小时4千米,问在何处上岸可以使抵站的时间最省?［参考导数公式（)()(21))(x f x f x f '∙='］解：设上岸点为D ，BD=x ，BC=15，AD=281x +,所用时间t(x)=5154812xx -++. ∴t′(x)=41·281x x+-51=0，解得x=12. ∴15-x=15-12=3(km).∴上岸点在距渔站3 km 处.12.如图,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为______________时,其容积最大.解析：设被切去的全等四边形的一边长为x,如题图,则正六棱柱的底面边长为1-2x,高为3x,∴正六棱柱的体积V=6×43(1-2x)2×3x(0<x<21),化简得V=29(4x 3-4x 2+x). 又V′=29(12x 2-8x+1),由V′=0,得x=21(舍去)或x=61. ∵当x ∈(0,61)时，V′>0,V 是增函数;当x ∈(61,21)时，V′<0,V 是减函数，∴当x=61时，V 有最大值，此时正六棱柱的底面边长为2[]3.答案：32拓展研究13.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未出租的车辆数为5030003600-=12,∴这时租出了88辆车.(2)设每辆车的月租金定为x 元，则租凭公司的月收益为 f(x)=(100-503000-x )(x-150)-503000-x ×50=502x -+162x-21 000f′(x)=25x-+162,由f′(x)=0得 ∴当x=4 050时，f(x)最大，其最大值为f(4 050)=307 050(元).。
最新人教版高中数学选修2-2第一章《函数的极值与导数》课后训练2
课后训练1．函数y＝2x3－3x2()A．在x＝0处取得极大值0，但无极小值B．在x＝1处取得极小值－1，但无极大值C．在x＝0处取得极大值0，在x＝1处取得极小值－1D．以上都不对2．若函数f(x)＝ax－ln x在x=处取得极值，则实数a的值为()A BC．2 D．1 23．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)4．三次函数当x＝1时，有极大值4，当x＝3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数可能是()A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则f(2)＝()A．7 B．11C．18 D．11,186．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad＝______．7．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a＞0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是__________．8．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是__________．9．函数f(x)＝x2e x－1＋ax3＋bx2，已知x＝－2和x＝1为f(x)的极值点．(1)求a和b的值；(2)讨论f(x)的单调性．10．设13()ln122f x a x xx=+++，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．参考答案1答案：C解析：y′＝6x(x－1)，令y′＝0，得x＝0，或x＝1．当x单调递增单调递减单调递增(0)＝时有极小值2答案：A解析：f′(x)＝1ax-，令'02f⎛=⎝⎭，即0a=，解得a=3答案：D解析：由图可得函数y＝(1－x)f′(x)的零点为－2,1,2，则当x＜1时，1－x ＞0，此时在(－∞，－2)上f(x)＞0，f′(x)＞0，在(－2,1)上f(x)＜0，f′(x)＜0；当x＞1时，1－x＜0，此时在(1,2)上f(x)＞0，f′(x)＜0，在(2，＋∞)上f(x)＜0，f′(x)＞0．所以f(x)在(－∞，－2)为增函数，在(－2,2)为减函数，在(2，＋∞)为增函数，因此f(x)有极大值f(－2)，极小值f(2)，故选D．4答案：B解析：三次函数过原点，且四个选项中函数的最高次项系数均为1，∴此函数可设为f(x)＝x3＋bx2＋cx，则f′(x)＝3x2＋2bx＋c．由题设知'(1)320,'(3)2760.f b cf b c=++=⎧⎨=++=⎩解得6,9.bc=-⎧⎨=⎩∴f(x)＝x3－6x2＋9x．∴f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)．可以验证当x＝1时，函数取得极大值4；当x＝3时，函数取得极小值0，满足条件．5答案：C解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意有2'(1)320,'(1)10.f a bf a b a=++=⎧⎨=+++=⎩解得a＝4，b＝－11或a＝－3，b＝3．但当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，f(x)在R上单调递增，不可能有极值，应舍去，故只有a＝4，b＝－11．这时f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，f(2)＝18．6答案：2解析：∵y′＝3－3x2，令y′＝0得x＝±1，且当x＞1时，y′＜0，当－1≤x≤1时，y′≥0，当x＜－1时，y′＜0，故x＝1为y＝3x－x3的极大值点，即b＝1，又c＝3b－b3＝3×1－1＝2，∴bc＝2．又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2．7答案：2⎛⎫+∞⎪⎪⎝⎭解析：f′(x)＝3x2－3a2，令f′(x)＝0即x2－a2＝0．∴x＝±a．∵a＞0，∴当x＜－a，或x＞a时，y′＞0；当－a＜x＜a时，y′＜0．∴f(－a)＝2a3＋a是极大值，f(a)＝－2a3＋a是极小值．依题意得－2a 3＋a ＜0,2a 3＋a ＞0，由a ＞0得a >． 8答案：a ＞2，或a ＜－1 解析：∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0．∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8＞0，解得a ＞2，或a ＜－1．9答案：解：因为f ′(x )＝e x －1(2x ＋x 2)＋3ax 2＋2bx ＝x e x －1(x ＋2)＋x (3ax ＋2b )，又x ＝－2和x ＝1为f (x )的极值点，所以f ′(－2)＝f ′(1)＝0． 因此620,3320.a b a b -+=⎧⎨++=⎩解方程组得13a =-，b ＝－1． 答案：因为13a =-，b ＝－1， 所以f ′(x )＝x (x ＋2)(e x －1－1)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝0，x 3＝1．因为当x ∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f ′(x )＞0．所以f (x )在(－2,0)和(1，＋∞)上单调递增；在(－∞，－2)和(0,1)上单调递减．10答案：解：因f (x )＝13ln 122a x x x +++， 故f ′(x )＝21322a x x -+． 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而13022a -+=，解得a ＝－1． 答案：由(1)知f (x )＝13ln 122x x x -+++(x ＞0)， f ′(x )＝211322x x --+ ＝223212x x x-- ＝2(31)(1)2x x x +-． 令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，213x =-（因213x =-不在定义域内，舍去）． 当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3．。
人教版高中数学选修2-2习题第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数
第一章 导数及其应用1.3 导数在研究函数中的应用函数的单一性与导数A 级基础稳固一、选择题2 1)1．函数 y ＝ 4x ＋ 的单一增区间是 (xA ． (0，＋ ∞ )B ． (－ ∞， 1)C. 1，＋ ∞D ． (1，＋ ∞)21 11分析： y ′＝ 8x － 22＞ 0 得 x ＞2.x，令 y ′＞ 0，即 8x － x 答案： C2．若在区间 (a ， b)内有 f ′(x)＞ 0，且 f(a) ≥0，则在 (a ， b) 内有 ( )A ． f( x)＞ 0B ． f(x)＜ 0C ． f( x)＝ 0D ． f(x) ≥0分析：依题意， f(x)在 (a ， b)内单一递加， f( a) ≥0，因此 f(x)＞ 0.答案： A3．以下区间中，使函数 y ＝ x ·cos x － sin x 为增函数的区间是 ()π 3πA. ，2B ． ( π， 2π)2 C. 3π 5πD ． (2 π， 3π)2 ，2分析： f ′(x)＝ cos x － xsin x － cos x ＝－ x ·sin x ，当 x ∈( π， 2π)时， f ′(x)＞ 0.答案： B4．若函数 y ＝ a(x 3－ x)的单一减区间为－ 3，3，则 a 的取值范围是 ()33A ． (0，＋ ∞ )B ． (－ ∞， 0)C ． (1，＋ ∞ )D ． (－ ∞，－ 1)分析：依题意f ′(x)＝ a(3x 2－ 1)＝ 3a x －3x ＋3＜0 的解集为 － 3，3，因此 a ＞33330.答案： A5．已知函数 f(x)＝ x 3－ ax － 1，若 f( x)在 (－ 1， 1)上单一递减，则 a 的取值范围为 ()A． a≤ 3 B． a＜ 3 C ．a＞ 3D． a≥ 322在 (－ 1， 1)上恒成分析： f′(x)＝ 3x － a，由已知 f′(x)≤0在 (－ 1， 1)上恒建立，因此 a≥3x2立．又 0≤3x≤ 3，因此 a≥3.答案： D二、填空题6．若函数 f(x)＝ x3＋ ax＋ 5 的单一递减区间是(－2， 2)，则实数 a 的值为 ________．分析： f′(x)＝ 3x2＋ a，依题意 3x2＋ a＜ 0 的解集为 (－ 2，2)，因此 a＝－ 12.答案：－ 127．若函数 y＝－4x3＋ ax 有三个单一区间，则 a 的取值范围是 ________．3分析：由于 y′＝－ 4x2＋ a，且函数有三个单一区间，因此方程－4x2＋ a＝ 0 有两个不等的实根，因此＝ 02－ 4× (－ 4) ×a＞ 0，因此 a＞ 0.答案： (0，＋∞)8．若 f(x)＝－1x2＋ bln (x＋2)在 (－ 1，＋∞)上是减函数，则 b 的取值范围是 ________．2分析：由于 f(x)在 (－ 1，＋∞)上为减函数，因此f′(x)≤0在 (－1，＋∞)上恒建立，由于f′(x)＝－ x＋b，x＋ 2b因此－ x＋≤ 0，即b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒建立，得b≤－ 1.答案： (－∞，－ 1]三、解答题329．若函数f(x)＝ x ＋ bx ＋ cx＋ d 的单一减区间为(－ 1， 3)，求 b 和 c 的值．由条件知f′（－1）＝0，f′（ 3）＝ 0，3－ 2b＋ c＝ 0，即27＋ 6b＋ c＝ 0，解得b＝－ 3， c＝－ 9.10．已知 a≥0，函数 f(x)＝ (x2－ 2ax)e x .设 f(x)在区间上是单一函数，求 a 的取值范围．解： f′(x)＝ (2x－ 2a)e x＋ (x2－ 2ax)e x＝e x．令 f′(x)＝ 0，即 x2＋ 2(1－ a)x－ 2a＝ 0，解得 x1＝ a－ 1－ 1＋ a2， x2＝ a－ 1＋ 1＋ a2(x1＜ x2)．当 x 变化时， f′ (x)， f( x)的变化状况见下表：x(－∞， x1)x1(x1， x2)x2(x2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f( x)由于 a＞ 0，因此 x1＜－ 1， x2≥ 0， f(x)在 (x1， x2)上单一递减．由此可得f( x)在上是单一函数的充要条件为x2≥ 1，即 a－1＋21＋a≥1，解得3 a≥4.故所求 a 的取值范围为3，＋∞.4B 级能力提高1.已知函数y＝ f(x)的图象是以下四个图象之一，且其导函数则该函数y＝ f (x)的图象是 ()y＝ f′(x)的图象如右图所示，分析：由于f′(x)＞ 0，因此 f(x)在 (－ 1， 1)为增函数，又 x∈(－ 1， 0)时， f′ (x)为增函数，因此 f(x)图象愈来愈峻峭， x∈ (0， 1)时，f′ (x)为减函数，因此f(x)图象愈来愈缓和．答案： B2．函数 f(x)＝ 2x＋ x3－ 2 在区间 (0， 1)内的零点个数是____．分析：由于f(x)＝ 2x＋ x3－ 2， 0＜ x＜ 1，x2因此 f′(x)＝ 2 ln 2＋ 3x ＞ 0 在 (0， 1)上恒建立，又 f(0)＝－ 1＜ 0， f(1) ＝ 1＞ 0， f (0)f(1) ＜ 0，则 f(x)在 (0， 1)内起码有一个零点，又函数 f(x)在 (0， 1)上单一递加，故函数 f(x)在 (0， 1)内有且仅有一个零点．答案： 11＋ ax(a ∈ R)，求 f( x)在 [2，＋ ∞)上是单一函数时 a 的取值范围．3．已知 f(x)＝ ln x ＋ x1 1ax 2＋ x － 1 解： f ′(x)＝ x － x 2＋ a ＝x 2 .x － 1(1)当 a ＝ 0 时， f ′ (x)＝ x 2 在 x ∈ [2，＋ ∞)上，有 f ′(x)＞ 0，因此 f(x)在 [2，＋ ∞)上是单调函数，切合题意．(2)当 a ＜ 0 时，令 g(x)＝ ax 2＋ x － 1，则 f(x)在 [2，＋ ∞)上只好单一递减，因此 f ′(x)≤0在 [2，＋ ∞)上恒建立，因此 g( x) ≤0在 [2，＋ ∞)上恒建立．1 21－11 ，又由于 g(x)＝ ax 2＋ x － 1＝ a x ＋ － 的对称轴为 x ＝－ 2a 4a2a 因此－ 1 14a － 1≤0，因此 a ≤－ .4 (3)当 a ＞ 0 时， f(x)在 [2，＋ ∞)上只好递加，因此 f ′(x)≥0在 [2，＋ ∞)上恒建立，因此 g( x) ≥0在 [2，＋ ∞)上恒建立．又由于 g(x)＝ ax 2＋ x － 1 的对称轴 x ＝－1＜ 0，2a1因此 g(2) ≥0，因此 a ≥－ .4又由于 a ＞ 0，因此得 a ＞ 0.综上所述，实数 a 的取值范围为－ ∞，－ 1∪ [0，＋ ∞)．4。
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课后训练
1．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是()．A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)
C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)
2．下列函数中，在(0，＋∞)内是增函数的是()．
A．f(x)＝sin2x B．f(x)＝x e x
C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋ln(1＋x)
3．已知f(x)，g(x)均为(a，b)内的可导函数，在[a，b]内没有间断点，且f′(x)＞g′(x)，f(a)＝g(a)，则x∈(a，b)时有()．
A．f(x)＞g(x) B．f(x)＜g(x)
C．f(x)＝g(x) D．大小关系不能确定
4．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＜0，则当a ＜x＜b时有()．
A．f(x)g(x)＞f(b)g(b)
B．f(x)g(a)＞f(a)g(x)
C．f(x)g(b)＞f(b)g(x)
D．f(x)g(x)＞f(a)g(a)
5．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解区间是()．
A．(－3,0)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
6．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．
7．使函数y＝sin x＋ax在R上是增函数的实数a的取值范围为________．
8．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处切线的斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调减区间为__________．
9．已知
π
0<<
2
x，求证：tan x＞x.
10．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
参考答案
1. 答案：B f ′(x )＝3x 2＋a .令3x 2＋a ≥0，
得a ≥－3x 2.
由题意a ≥－3x 2在x (1，＋∞)恒成立，
∴a ≥－3.
2. 答案：B 选项B 中，f (x )＝x e x ，则在区间(0，＋∞)上，f (x )′＝e x ＋x e x ＝e x (1＋x )＞0.
3. 答案：A ∵f ′(x )＞g ′(x )，∴f ′(x )－g ′(x )＞0，即[f (x )－g (x )]′＞0，
∴f (x )－g (x )在(a ，b )内是增函数．
∴f (x )－g (x )＞f (a )－g (a )．
∴f (x )－g (x )＞0，∴f (x )＞g (x )．
4. 答案：C 记()=f x F x g x ()()，则2()=f'x g x f x g'x F'x g x ()()-()()(). ∵f ′(x ) g (x )－f (x ) g ′(x )＜0，
∴F ′(x )＜0，即F (x )在(a ，b )内是减函数．
又a ＜x ＜b ，∴F (x )＞F (b )． ∴f x f b g x g b ()()>()()
.∴f (x )g (b )＞g (x )f (b )． 5. 答案：D ∵[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，
∴由题意知，当x ＜0时，[f (x )g (x )]′＞0.
∴f (x )g (x )在(－∞，0)内是增函数．
又g (－3)＝0，
∴f (－3)g (－3)＝0.
∴当x (－∞，－3)时，f (x )g (x )＜0；
当x (－3,0)时，f (x )g (x )＞0.
又∵f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，
∴f (x )g (x )在R 上是奇函数，其图象关于原点对称．
∴当x (0,3)时，f (x )g (x )＜0.故不等式f (x )g (x )＜0的解区间是(－∞，－3)∪(0,3)．
6. 答案：(－1,11) f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x ＋1)(x －11)，令3(x ＋1)(x －11)＜0，得－1＜x ＜11，故减区间为(－1,11)．
7. 答案：[1，＋∞) y ′＝cos x ＋a ，∴cos x ＋a ≥0恒成立，∴a ≥－cos x ，又－1≤cos x ≤1，∴a ≥1.
8. 答案：(－∞，2) 由于切线的斜率就是函数在该点的导数值，所以由题意知f ′(x )＝(x －2)(x ＋1)2＜0，解得x ＜2，故单调减区间为(－∞，2)．
9. 答案：分析：设f (x )＝tan x －x ，x π0,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，注意到f (0)＝tan 0－0＝0，因此要证的不等式变为：当0＜x ＜π2时，f (x )＞f (0)．这只要证明f (x )在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上是增函数即可．
证明：令f (x )＝tan x －x ，显然f (x )在π0,
2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是连续的，且f (0)＝0. ∵f ′(x )＝(tan x －x )′＝211cos x
-＝tan 2x ， ∴当x π0,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
时，f ′(x )＞0， 即在区间π0,
2⎛⎫ ⎪⎝⎭内f (x )是增函数． 故当0＜x ＜π2
时，f (x )＞f (0)＝0， 即tan x －x ＞0. ∴当0＜x ＜
π2时，tan x ＞x . 10. 答案：分析：根据题意，列方程组求出b ，c ，d 的值．再应用导数求单调区间． 解：(1)由f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2，
所以f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .
由f (x )在点M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0， 所以f (－1)＝1，又f ′(－1)＝6.
所以326,121,
b c b c -+=⎧⎨-+-+=⎩ 即23,0.b c b c -=-⎧⎨-=⎩
解得b ＝c ＝－3.
故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.
(2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令3x 2－6x －3＝0，
即x 2－2x －1＝0，
解得1=1x 2x
当1x <x >时，f ′(x )＞0；
当1x ＜1f ′(x )＜0.
故f (x )的单调增区间为(－∞，1和(，＋∞)，单调减区间为(1)．。