运筹第3章对偶问题

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例3.1 写出下面线性规划的对偶规划 模型
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Max z = x1 - x2+5x3-7x4 s.t. x1 + 3 x2 -2 x3 + x4 = 25 2 x1 + 7x3 + 2x4 ≥ -60 2 x1 + 2x2 -4x3 ≤ 30 x4 ≥-5 x4 ≤10 x1 , x2 , ≥ 0 x3 , x4取值无约束
100 x2 1 1 (1) 100* 0 0 1 0 0 0 1 0
0 x3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 -2 0 -50
0 x4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 x5 0 0 1 0 -1 -1 1 -100 -1 1 1 -50
I
θi 300 400 250 50 75
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Ⅲ弱对偶定理
分别为（ 若 x, y 分别为（LP) 和（DP）的可行解，那么 Tx ≤ ）的可行解，那么c bTy。 。
推论
LP（ DP）可行，那么LP（ DP） ①若LP（或DP）可行，那么LP（或DP）无有限最优 有无界解)的充分必要条件是 解(有无界解 的充分必要条件是 （或LP）无可行解。 有无界解 的充分必要条件是DP（ ）无可行解。 ？？当 （ ？？当LP（或DP）无可行解时，则DP（或LP）具有 ）无可行解时， （ ） 无界解。 无界解。 ②极大化问题的任意一个可行解所对应的目标函数值 是其对偶问题最优目标函数值的一个下界。 是其对偶问题最优目标函数值的一个下界。 ③极小化问题的任意一个可行解所对应的目标函数值 是其对偶问题最优目标函数值的一个上界。 是其对偶问题最优目标函数值的一个上界。
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四、对偶问题的解
利用最优单纯形表求对偶问题最优解 标准形式： 标准形式： Max z = 50 x1 + 100 x2 s.t. x1 + x2 + x3 = 300 2x1 + x2 + x4 = 400 x2 + x5 = 250 x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ≥ 0
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CB 0 0 0 0 0 100 50 0 100
-cB B- 1
x4 = 50 y3 = 50 ,
B -1
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3.1线性规划的对偶问题概念、 线性规划的对偶问题概念、 线性规划的对偶问题概念 理论及经济意义
3.2线性规划的对偶单 线性规划的对偶单 纯形法
3.3线性规划的灵敏度分析 线性规划的灵敏度分析
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对偶单纯形法的基本思想 对偶单纯形法的基本思想是： 从一个对偶可行解 对偶可行解（检验数非正）出 对偶可行解 发；然后检验原问题的基本解是否可 行，即是否有负的分量，如果有小于 零的分量，则进行迭代，求另一个基 本解，此基本解对应着另一个对偶可 行解（检验数非正）。
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如果得到的基本解的分量皆非 负则该基本解为最优解。也就是说， 对偶单纯形法在迭代过程中始终保 持对偶解的可行性（即检验数非 正），使原规划的基本解由不可行 逐步变为可行，当同时得到对偶规 划与原规划的可行解时，便得到原 规划的最优解。
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1.建立初始对偶单纯形表,对应一个基本解, 1.建立初始对偶单纯形表,对应一个基本解,所有检 建立初始对偶单纯形表 验数均非正, 验数均非正,转2； ≥0,则得到最优解 <0则选 2.若 ≥0,则得到最优解,停止;否则, 2.若b’≥0,则得到最优解,停止;否则,若有bk<0则选 的基变量为出基变量, b最小的基变量为出基变量,转3 3.若所有akj’≥0( j = 1,2, ,n )，则原问题无可 1,2,…, 3.若所有 ≥0( 行解,停止; 行解,停止; 否则, 否则,若有akj’<0 则选 <0 θ=min{σj’ / akj’┃akj’<0}=σr’/akr’那么 <0}= / 那么 ┃ <0 xr为入基变量,转4； 为入基变量, 作矩阵行变换使入基变量变为单位向量， 4. 作矩阵行变换使入基变量变为单位向量，转2。
Min W = 65y1+ 40y2 + 75y3
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对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材料 的单位定价 若工厂自己不生产产品A、 和 ， 若工厂自己不生产产品 、B和C，将现有的工时 及原材料转而接受外来加工时，那么上述的价格 及原材料转而接受外来加工时，那么上述的价格 系统能保证不亏本又最富有竞争力（ 系统能保证不亏本又最富有竞争力（包工及原材 料的总价格最低） 料的总价格最低） 当原问题和对偶问题都取得最优解时， 当原问题和对偶问题都取得最优解时，这一对线 性规划对应的目标函数值是相等的： 性规划对应的目标函数值是相等的： Zmax=Wmin=8
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原问题的对偶问题DP： 原问题的对偶问题DP： DP Min W= 65y1+ 40y2 + 75y3 s.t. 3y1+2y2 ≥1500 2y1+y2+3y3 ≥2500 y1, y2 , y3 ≥ 0
6ห้องสมุดไป่ตู้
Max z = 1500x1 + 2500x2 s.t. 3x1 + 2x2 ≤ 65 2x1 + x2 ≤ 40 原问题 3x2 ≤ 75 x1 ,x2 ≥ 0 Min W = 65y1+ 40y2 + 75y3 s.t. 3y1+2y2 ≥1500 2y1+y2+3y3 ≥2500 对偶问题 y 1, y 2 , y 3 ≥ 0
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设备的租金收入不能低于自己组织生产 时的获利收入： 时的获利收入：
不少于甲产品的利润） 3y1+2y2 ≥1500（不少于甲产品的利润） 不少于乙产品的利润） 2y1+y2+3y3 ≥2500（不少于乙产品的利润）
用于生产第i种产品的资源转让收益不小 用于生产第 种产品的资源转让收益不小 于生产该种产品时获得的利润 租方希望在满足上述条件下尽量要求全 部设备的总租金越少越好， 部设备的总租金越少越好，即
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二、对偶问题的基本性质
Ⅰ对称性定理
对偶问题的对偶是原问题。 对偶问题的对偶是原问题。
Ⅱ 主对偶定理
若(LP)和(DP)均可行，那么(LP)和(DP)均有最优解,且 (LP)和(DP)均可行 那么(LP)和(DP)均有最优解 均可行， 均有最优解, 最优值相等。 最优值相等。 如果原问题有最优解， 如果原问题有最优解，则其对偶问题也一样具有最优 且有max w。 解，且有max z=min w。
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需要指出， 需要指出 ， 影子价格不是固定不变 当约束条件、 的 ， 当约束条件 、 产品利润等发生变化 有可能使影子价格发生变化。 另外， 时 ， 有可能使影子价格发生变化 。 另外 ， 影子价格是指资源在一定范围内增加时 的情况， 当某种资源的增加超过了这个 的情况 ， 一定的范围” “ 一定的范围 ” 时 ， 总利润的增加量则 不是按照影子价格给出的数值线性地增 加 。 这个问题还将在灵敏度分析一节中 讨论。 讨论。
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Ⅳ 最优性准则定理
若x,y分别(LP)，(DP)的可行解,且cTx=bTy ，那么x,y x,y分别 分别(LP)，(DP)的可行解 的可行解, 那么x,y 分别为(LP)和(DP)的最优解 的最优解。 分别为(LP)和(DP)的最优解。
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三、影子价格
市场价格 确切的定义是： 影子价格 ，确切的定义是：一个线性规划对偶问 题的最优解（简称为“对偶最优解” 题的最优解（简称为“对偶最优解”）。 对偶变量y 代表对一个单位第i种资源的估价 种资源的估价。 对偶变量 i ：代表对一个单位第 种资源的估价。 这种估价不是资源的市场价格， 这种估价不是资源的市场价格，而是根据资源在 生产中做出的贡献而作的估价。 生产中做出的贡献而作的估价。 bi 是线性规划原问题约束条件右端项，它代表第 是线性规划原问题约束条件右端项，它代表第i 种资源的拥有量。 种资源的拥有量。
第三章 线性规划问题的对偶与 灵敏度分析
本章内容重点 3.1线性规划的对偶问题概念、 线性规划的对偶问题概念、 线性规划的对偶问题概念 理论及经济意义 3.2线性规划的对偶单纯形法 线性规划的对偶单纯形法 3.3线性规划的灵敏度分析 线性规划的灵敏度分析
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线性规划原问题
三种类型的设备， 例2.1:某工厂拥有A、B、C三种类型的设备， 生产甲、 乙两种产品。 生产甲 、 乙两种产品 。 每件产品在生产中需要 占用的设备机时数， 占用的设备机时数 ， 每件产品可以获得的利润 以及三种设备可利用的时数如下表所示。 以及三种设备可利用的时数如下表所示 。 求获 最大利润的方案。 最大利润的方案。
产品甲 设备A 设备B 设备C 利润（元/件） 3 2 0 1500 产品乙 2 1 3 2500
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设备能力 （h） 65 40 75
3.1线性规划对偶问题 3.1线性规划对偶问题
一、对偶问题： 对偶问题： 它的对偶问题就是一个价格系统， 它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后， 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力 若另外一个工厂要求租用该厂的设备A 若另外一个工厂要求租用该厂的设备A、B、C ， 那么该厂应如何确定合理的租金。 那么该厂应如何确定合理的租金。 设 y1 ，y2 ，y3 分别为每工时设备 A、B、C 的租金。 的租金。
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企业可以根据现有资源的影 子价格， 子价格 ， 对资源的使用有两种考 虑： 第一， 第一 ，是否将设备用于外加工或出 租 ， 若租费高于某设备的影子价 可考虑出租该设备， 格 ， 可考虑出租该设备 ， 否则不 宜出租。 宜出租。 第二，是否将投资用于购买设备， 第二 ，是否将投资用于购买设备 ， 以扩大生产能力， 以扩大生产能力 ， 若市价低于某 设备的影子价格， 设备的影子价格 ， 可考虑买进该 设备，否则不宜买进。 设备，否则不宜买进。