全国2010年7月自学考试复变函数与积分变换试题
复变函数与积分变换2010上卷A及答案
中南大学考试试卷2009-- 2010学年二学期 时间110分钟课程: 复变函数与积分变换 考试形式：闭卷 专业年级： 工程数学08级 总分100分，占总评成绩 70 %注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上 一、选择题：（5×4'）1、函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点00iy x z +=处连续的充要条件是（ ） A. ),(y x u 在),(00y x 处连续； B. ),(y x v 在),(00y x 处连续； C. ),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续；D. ),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续. 2.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点0z 处解析，则命题( )不成立. A. ),(y x u 和),(y x v 仅在0z 处可微且满足C-R 条件.B. 存在点0z 的某一邻域)(0z U ，),(y x u 和),(y x v 在)(0z U 内满足C-R 条件；C. ),(y x u 和),(y x v 在)(0z U 内可微；D. B 与C 同时成立.3. 函数)(z f 在单连通域B 内解析是函数)(z f 沿B 内任一闭曲线C 的积分0)(=⎰Cdz z f 的（ ）.A. 充分条件；B.必要条件；C. 充分必要条件；D.既非充分条件也非必要条件. 4. 幂级数∑∞=0)(cos n n z in 的收敛半径是（ ）.A.1；B.2；C.e ；D.e1.5.1=z 是函数11-z e的（ ）.A.一级极点；B.二级极点；C.可去奇点；D.本性奇点.二、解答下列各题：（8×10'）1、试求下列函数的极限： （1）zz iz +→1lim； （2）11lim1--+-→z z z z z z ；2、下列函数何处可导？何处解析？（1）i y x z f 3332)(+=； （2）xshy i xchy z f cos sin )(+=； 3、计算积分1|:|,)1( cos 5>=-⎰r z C dz z zC π。
复变函数与积分变换2010A答案
6)题目六：0是 的：(C)
A孤立奇点B本性奇点C零点D原点
7)题目七：级数 ：（C）
A绝对收敛B条件收敛C发散D既不收敛又不发散
二、填空题（每小题2分七小题共14分）
1)题目一：复数-8i的三次单位根是 、、 。(2i)
2)题目二： 。（ ）
3)题目三：函数 的C-R方程是 。
6)题目六：若函数在D内的朗洛展开式中不含 的负幂项，则 是 的可去奇点。（T）
7)题目七：积分 给出了函数 的拉普拉斯变换.( F )
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四、计算题（每题5分五小题共25分）
1)题目一：已知调和函数 。求其共轭调和函数 。
2)题目二：计算
3)题目三：求函数 在 的留数。
4)题目四：求函数 的傅立叶变换。
4)题目四：设 在简单正向曲线C及其所围的区域D内出处解析且 ,那么 。
5)题目五：级数 的收敛半径是。
6)题目六：函数 在 解析，则 是 的m阶零点的充分必要条件是 。
7)题目七：傅立叶变换 的逆变换是。
三、判断题判断下面各题叙述的正误。正确在后面括号里用T标记，错误的用F标记（每小题1分七小题共7分）。
1)题目一：两个复数乘积的模和辐角分别等于两复数模与辐角的乘积。（F）
2)题目二：函数 不仅在 可导，则必然在 解析。( F )
3)题目三：函数 在定义域内一点 可导的充分条件是 和 在点 可微且满足C-R方程。（F）
4)题目四：若级数 在 处收敛，则该级数对任意 的z都绝对收敛。( T )
5)题目五： 是 的m阶极点的充分必要条件是 。（T）
设
5）题目五：求正弦函数 的复频函数（其中k为任意复数）。
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复变函数与积分变换试题和答案
复变函数与积分变换试题(一）一、填空(３分×10)１.得模ﻩﻩ、幅角ﻩ。
２.-8i得三个单根分别为：、、。
3.Lｎz在得区域内连续。
4．得解极域为:ﻩﻩﻩﻩﻩ。
５.得导数ﻩﻩﻩﻩﻩ。
6. ﻩﻩ。
７.指数函数得映照特点就是:ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
8．幂函数得映照特点就是: ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
9.若=F [f(t)]、则= F ﻩﻩﻩﻩ。
１０.若f(ｔ)满足拉氏积分存在条件、则L [f(ｔ)］= ﻩﻩﻩ。
二、(10分)已知、求函数使函数为解析函数、且f(0)＝0。
三、(10分)应用留数得相关定理计算四、计算积分(5分×2)1.2．C:绕点ｉ一周正向任意简单闭曲线。
五、(1０分)求函数在以下各圆环内得罗朗展式。
1.2.六、证明以下命题：（5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。
（2）七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x （0)＝y （０)=z (0)＝0得解y (t )。
八、(１0分)就书中内容、函数在某区域内解析得具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案(一)一、1．ﻩﻩ、ﻩ ﻩ２、ﻩ-i ﻩﻩ2ｉﻩ-i ﻩ3、ﻩZ 不取原点与负实轴 ４、 空集５、ﻩ2z ﻩ6.０ 7、将常形域映为角形域ﻩ８、 角形域映为角形域 9、ﻩ ﻩ1０、 二、解:∵ﻩ ∴ ﻩ(5分)∵f (0）=0ﻩﻩﻩﻩc =0(３分)∴ﻩﻩ(2分)三、解：原式＝(2分)ﻩ（2分）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=(2分) =四、1.解:原式ﻩ(３分) z 1=0 ﻩｚ2=１ﻩ=0ﻩﻩ(2分)2．解:原式=五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（ ﻩﻩ(2分) ﻩ２.解: （1分)ﻩ(2分）六、1.解:∵ﻩ(3分）ﻩ∴结论成立 （２)解:∵ﻩ(２分)ﻩ ∴与1构成傅氏对∴（2分)七、解:∵ﻩﻩ（3分)S (２)-（1):∴ （3分)∴八、解：①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 得共扼函数ﻩ1０分复变函数与积分变换试题（二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导就是ｆ(ｚ）在D 内解析得（ﻩ ﻩ）条件。
复变函数考试题及答案自考
复变函数考试题及答案自考一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项是复数z = 3 + 4i的共轭复数？A. 3 - 4iB. -3 + 4iC. -3 - 4iD. 3 + 4i答案：A2. 如果复变函数f(z)在点z₀处解析，那么它的导数f'(z₀)等于：A. 极限lim(Δz→0) [f(z₀ + Δz) - f(z₀)] / ΔzB. f(z₀)的实部C. f(z₀)的虚部D. f(z₀)的模答案：A3. Cauchy积分定理适用于：A. 仅在实数域B. 仅在复平面上的简单闭合曲线C. 仅在复平面上的开区域D. 所有以上情况答案：C4. 如果一个复变函数在某区域内除了一个孤立奇点外处处解析，那么这个函数在该区域内：A. 一定有原函数B. 一定没有原函数C. 可能是周期函数D. 以上都不对答案：A5. 复变函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)中，u和v分别表示：A. 实部和虚部B. 模和辐角C. 辐角和模D. 都不对答案：A6. 以下哪个是复变函数的柯西-黎曼方程？A. ∂u/∂x = ∂v/∂yB. ∂u/∂y = -∂v/∂xC. ∂u/∂x = ∂v/∂yD. ∂u/∂y = ∂v/∂x答案：B7. 复变函数的级数展开式中的系数是：A. 常数B. 复数C. 实数D. 以上都不对答案：B8. 如果一个复变函数在某个区域内处处连续，那么它的模：A. 也必定处处连续B. 可能不连续C. 必定不连续D. 以上都不对答案：A9. 复变函数的Taylor级数展开是关于：A. 模的展开B. 辐角的展开C. z的展开D. 共轭复数的展开答案：C10. 下列哪个是复变函数的Laurent级数展开的一个特性？A. 它只能展开在解析函数上B. 它包含负幂项C. 它只能展开在奇点附近D. 以上都是答案：B二、填空题（每题3分，共30分）11. 复数z = 2 - 3i的模是________。
2010年全国自考复变函数与积……2
2010年全国自考复变函数与积分变换模拟试卷(十)一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.A. AB. BC. CD. D答案：D2.A. z=0B. z=1C. z=-1D. 无奇点答案：A3.A. |z|<1B. |z|>1C. |z|=1D. 不确定答案：A4. 复数-1+i的模是()A. AB. BC. CD. D 答案：D5.A. 0B. 1C. eD. 1/e 答案：D6.A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C7.A. AB. BC. CD. D答案：D8.A. 0B. 1C. 2D. 6πi 答案：D9.A. 绝对收敛B. 收敛C. 发散D. 不能确定答案：A10.A. δ(t)costB. δ(t)-costC. δ(t)(1-sint)D. δ(t)-sint答案：D二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1. 题中横线处答案为：___答案：2. 题中横线处答案为：___答案：3. 题中横线处答案为：___答案：4. 题中横线处答案为：___答案：5. 题中横线处的答案为：___答案：6πi6. 题中横线处答案为：___答案：三、计算题（本大题共8小题，共52分）1.答案：2. 已知F(ω)=π［δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)］为函数f(t)的傅氏变换，求f(t).答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：四、综合题（下列3个小题中，第1题必做，第2、3题中只选做一题。
每小题8分，共16分）1.答案：2.答案：3.答案：。
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
自考复变函数与积分变换试题试卷真题
复变函数与积分变换试题一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)1.z=2-2i ，|z 2|=（ ）A.2B.8C.4D.82.复数方程z=cost+isint 的曲线是（ ）A.直线B.圆周C.椭圆D.双曲线3.Re(e 2x+iy )=（ ）A.e 2xB.e yC.e 2x cosyD.e 2x siny4.下列集合为有界单连通区域的是（ ）A.0<|z-3|<2B.Rez>3C.|z+a|<1D.π≤<πargz 215.设f(z)=x 3-3xy 2+(ax 2y-y 3)i 在Z 平面上解析，则a=（ ）A.-3B.1C.2D.36.若f(z)=u(x ，y)+iv(x ，y)在Z 平面上解析，v(x,y)=e x (ycosy+xsiny)，则u(x ，y)=（）A.e x (ycosy-xsiny)B.e x (xcosy-xsiny)C.e x (ycosy-ysiny)D.e x (xcosy-ysiny) 7.⎰=-3|i z |zdz =（ ）A.0B.2πC.πiD.2πi 8.⎰=---11212z z sinzdz |z |=（ ） A.0 B.2πisin1C.2πsin1D.1sin 21i π9.⎰302dz zcosz =（ ） A.21sin9 B.21cos9 C.cos9D.sin9 10.若f(z)=tgz ，则Res[f(z)，2π ]=（ ） A.-2πB.-πC.-1D.0 11.f(z)=2i)z(z cosz -在z=1处泰勒展开式的收敛半径是（ ） A.0B.1C.2D.3 12.z=0为函数cosz 1的（ ） A.本性奇点B.极点C.可去奇点D.解析点 13.f(z)=)z )(z (121--在0<|z-2|<1内的罗朗展开式是（ ） A.∑∞=-01n n n z )( B.∑∞=-021n n z )z ( C.∑∞=-02n n )z ( D.∑∞=---0121n n n )z ()(14.线性变换ω=iz z i +-（ ） A.将上半平面Imz>0映射为上半平面Im ω>0B.将上半平面Imz>0映射为单位圆|ω|<1C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<115.函数f(t)=t 的傅氏变换J [f(t)]为（ ）A.δ(ω)B.2πi δ(ω)C.2πi δ'(ω)D.δ'(ω)二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)16.若z 1=e 1+i π,z 2=3+i ，则z 1·z 2=________.17.若cosz=0，则z=________.18.设f ′(z)=⎰==ζ<-ζζζL )z (f L )|z (|，则｜：｜， 55d ζz)( cos e 2________. 19.幂级数∑∞=1n n n z n !n 的收敛半径是________.20.线性映射ω=z 是关于________的对称变换.三、计算题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)21.计算复数z=327-的值.22.已知调和函数v=arctg xy ,x>0，求f ′(z)，并将它表示成z 的函数形式. 23.设f(z)=x 2+axy+by 2+i(-x 2+2xy+y 2)为解析函数，试确定a ，b 的值.24.求积分I=⎰+C dz z i 的22值，其中C ：|z|=4为正向. 25.求积分I=⎰+C zdz )i z (e 的42值，其中C ：|z|=2为正向. 26.利用留数计算积分I=⎰C zsinzdz ，其中C 为正向圆周|z|=1. 27.将函数f(z)=ln(3+z)展开为z 的泰勒级数.28.将函数f(z)=()22+z z 在圆环域0<|z|<2内展开为罗朗级数. 四、综合题(下列3个小题中，第29小题必做，第30、31小题中只选做一题。
高等教育自学考试-复变函数与积分变换试题与答案-课程代码
全国2010年4月高等教育自学考试复变函数与积分变换试题课程代码：02199一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.arg(-1+i 3)=( ) A.-3π B.3π C.π23 D.π23+2n π 2.w =|z |2在z =0( )A.不连续B.可导C.不可导D.解析3.设z =x +iy ，则下列函数为解析函数的是( )A.f (z )=x 2-y 2+i 2xyB.f (z )=x -iyC.f (z )=x +i 2yD.f (z )=2x +iy 4.设C 为由z =-1到z =l 的上半圆周|z |=1，则⎰C z z d ||=( ) A.2πiB.0C.1D.2 5.设C 为正向圆周|z |=1，则⎰-C z z z )2(d =( ) A.-πiB.0C.πiD.2πi 6.设C 为正向圆周|z |=2，则⎰-C izi z z e 3)(d z =( )A.0B.e -1C.2πiD.-πe -1i7.z =0是3sin z z的极点，其阶数为( )A.1B.2C.3D.48.以z=0为本性奇点的函数是( ) A.z z sin B.2)1(1-z z C.z 1e D.1e 1-z9.设f (z )的罗朗展开式为-11)1(22---z z +(z -1)+2(z -l)2+…+n (z -1)n +…则Res[f (z ),1]=() A.-2 B.-1C.1D.210.设z =a 为解析函数f (z )的m 阶零点，则函数)()(z f z f '在z =a 的留数为( )A.-mB.-m +lC.m -1D.m二、填空题(本大题共6小题，每小题2分,共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.|z -i |=|z -1|的图形是_______________.12.设z =i i ，则Im z =_______________.13.设C 为由点z =-l-i 到点z =l+i 的直线段，则⎰C z 3d z =_______________.14.设C 是顶点为z=±21,z=±i 56的菱形的正向边界，则⎰-C i z e 2dz=______________.15.设C 为正向圆周|z|=1，则⎰C z cos z d z =_________.16.函数21-z 在点z =4的泰勒级数的收敛半径为_________.三、计算题（本大题共8小题，共52分）17.设z =x +iy ,求复数11+-z z 的实部与虚部.（6分）18.求复数i 8-4i 25+i 的模.(6分)19.求f (z )=(z -1)2e z 在z =1的泰勒展开式.(6分)20.求f (z )=)2)(1(2--z z 在圆环域1<|z|<2内的罗朗展开式.(6分) 21.求解方程cos z =2.（7分）22.设z =x +iy ,试证v (x ,y )=x 2+2xy -y 2为调和函数，并求解析函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y ).(7分)23.设C 为正向圆周|z-2|=1,求⎰-C z z z 2)2(e d z .(7分) 24.设C 为正向圆周|z|=1，求⎰C z1sin d z .(7分) 四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。
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全国2010年7月自学考试复变函数与积分变换试题
课程代码：02199
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.arg =+i i
3( ) A.-3π B.-3π
+2πk ,(k =0,±1,±2) C.3π D.3π
+2πk ,(k =0,±1,±2)
2.设D ={z |0<|z +2i |2},则D 为( )
A.有界单连通区域
B.有界多连通区域
C.无界单连通区域
D.无界多连通区域
3.ln(-4-3i )=( )
A.ln5+i (-π+arctg 43)
B.ln5+i (π+arctg 43
)
C.ln5+i (-π+arctg 34
) D.ln5+i (π+arctg 34
)
4.设f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y ),(z =x +iy ,z 0=x 0+iy 0)，则ib a z f z z +=→)(lim 0
的充要条件是(
) A.a y x u y x y x =→),
(lim ),(),(00 B.b y x v y x y x =→),(lim )
,(),(00 C.a y x u y x y x =→),(lim ),(),(00或b y x v y x y x =→),(
lim ),(),(00 D.a y x u y x y x =→),(lim ),(),(00且b y x v y x y x =→),(lim )
,(),(00 5.
⎰=-2
||3cos z dz i z z =( ) A.0 B.1
C.2π
D.2πi
第 2 页 6.
⎰=1|| z z dz z
e =( ) A.0
B.1
C.2π
D.2πi 7.幂级数∑∞=122n n n nz 的收敛半径是( )
A.2
B.3
C.4
D.5 8.Res[tg πz ,
21]=( ) A.-
π2 B.-π1 C.π1 D.π
2 9.分式线性映射ω=
z 2将单位圆内部|z |<1映射成( ) A.|ω|<1
B.|ω|<2
C.|ω|>2
D.|ω|>1
10.函数f (t )=cos t sin t 的傅氏变换
为( A.)]2()2([2
π--+ωδωδ B.)]2()2([2π-++ωδωδ C.)]2()2([2π--+ωδωδi D.)]2()2([2
π-++ωδωδi 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.方程z 3-1=0根的三角表示式z k =________________.
12.若函数ω=f (z )________________，则称函数ω=f (z )在点z 0处解析.
13.=+⎰+dz z i )13(20________________.
14.z =0是函数)4(cos 22+=z z z
ω的孤立奇点，且孤立奇点的类型是________________. 15.=]0,1sin [s Re 2z
z ________________. 16.将z =∞，i 和0分别对应0=ω，i 和∞的分式线性映射=ω________________.
三、计算题（本大题共8小题，共52分）
17.（本题6分）用cos θ与sin θ表示sin4θ.
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18.（本题6分）已知z 0≠时22y x y x u ++=
为调和函数，求解析函数f (z )=u +iv 的导数)(z f '，并将它表示成z 的函数形
式. 19.(本题6分)设f (z )=x 2-y 2-3y +i (axy +3x )在复平面上解析,试确定a 的值.
20.(本题6分)计算积分I =⎰
C dz z z Re ,其中C 为连接由点0到点1+i 的直线段. 21.(本题7分)计算积分I=⎰-+-C dz z z z 22)1(1
2,其中C 为正向圆周|z|=2.
22.(本题7分)将函数2
31)(-=z z f 在z =2处展开为泰勒级数. 23.(本题7分)将函数)1)(2(5
2)(22+-+-=z z z z z f 在圆环域1<|z |<2内展开为罗朗级数.
24.(本题7分)利用留数计算积分I =⎰+-C dz z z )1()1(12
2,其中C 为正向圆周x 2+y 2=2(x +y ). 四、综合题（本大题共3小题，第25小题必做,第26、27小题只选做一题，两题都做，以26小题计分。
每小题8
分，共16分）
25.(1)求)4)(1()(22++=z z e z f iz
在上半平面内的所有孤立奇点;
(2)求f (z )在以上各孤立奇点的留数;
(3)利用以上结果计算I =dx x x x
)4)(1(cos 220++⎰+∞.
26.设Z 平面上区域D:0<arg z <2
π,试求下列保角映射: (1)ω1=f 1(z )把D 映射成W 1平面上区域D 1:Im ω1>0;
(2)ω2=f 2(ω1)把D 1映射成W 2平面上区域D 2:|ω2|<1,并且满足f 2(i )=0;
(3)ω=f 3(ω2)把D 2映射成W 平面上区域D 3:|ω-i|<2;
(4)综合以上三步,求保角映射ω=f (z )把D 映射成D 3:|ω-i|<2.
27.(1)求e -t 的拉氏变换;
(2)设F(p)= [y(t)],其中函数,y(t)三阶可导
,
存在,
且y (0)=y '(0)=0)0(=''y ,求； (3)利用拉氏变换,求解常微分方程初值问题:
第 4 页 ⎪⎩
⎪⎨⎧=''='==+'+''+'''-0)0()0()0(633y y y e y y y y t
中国自考人()——改写昨日遗憾 创造美好明天！用科学方法牢记知识点顺利通过考试！。