电磁场与电磁波课后答案_郭辉萍版1-6章
电磁场与电磁波课后答案
第一章矢量分析重点和难点关于矢量的定义、运算规则等内容可让读者自学。
应着重讲解梯度、散度、旋度的物理概念和数学表示，以及格林定理和亥姆霍兹定理。
至于正交曲面坐标系一节可以略去。
考虑到高年级同学已学过物理学，讲解梯度、散度和旋度时，应结合电学中的电位、积分形式的高斯定律以及积分形式的安培环路定律等内容，阐述梯度、散度和旋度的物理概念。
详细的数学推演可以从简，仅给出直角坐标系中的表达式即可。
讲解无散场和无旋场时，也应以电学中介绍的静电场和恒定磁场的基本特性为例。
至于格林定理，证明可免，仅给出公式即可，但应介绍格林定理的用途。
前已指出，该教材的特色之一是以亥姆霍兹定理为依据逐一介绍电磁场，因此该定理应着重介绍。
但是由于证明过程较繁，还要涉及? 函数，如果学时有限可以略去。
由于亥姆霍兹定理严格地定量描述了自由空间中矢量场与其散度和旋度之间的关系，因此应该着重说明散度和旋度是产生矢量场的源，而且也是惟一的两个源。
所以，散度和旋度是研究矢量场的首要问题。
此外，还应强调自由空间可以存在无散场或无旋场，但是不可能存在既无散又无旋的矢量场。
这种既无散又无旋的矢量场只能存在于局部的无源区中。
重要公式 直角坐标系中的矢量表示：z z y y x x A A A e e e A ++= 矢量的标积：代数定义：z z y y x x B A B A B A ++=⋅B A几何定义：θcos ||||B A B A =⋅矢量的矢积：代数定义：zyxz y xz y xB B B A A A e e e B A =⨯几何定义：θsin ||B ||A e B A z =⨯标量场的梯度：zy x z y ∂∂+∂∂+∂∂=∇ΦΦΦΦe e e x矢量场的散度：zA y A x A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A 高斯定理：⎰⎰⋅=⋅∇SVV d d S A A矢量场的旋度：zy xz y A A A z y x ∂∂∂∂∂∂=⨯∇e e e A x ； 斯托克斯定理：⎰⎰⋅=⋅⨯∇lSd d )(l A S A无散场：0)(=⨯∇⋅∇A ； 无旋场：0)(=∇⨯∇Φ格林定理：第一和第二标量格林定理：⎰⎰⋅∇=∇+∇⋅∇SVV 2d )(d )(S ΦψΦψΦψ()⎰⎰⋅∇-∇=∇-∇SVV 22d d )(S ψΦΦψψΦΦψ第一和第二矢量格林定理：()⎰⎰⋅⨯∇⨯=⨯∇⨯∇⋅-⨯∇⋅⨯∇SVV d d ])()[(S Q P Q P Q P⎰⎰⋅⨯∇⨯-⨯∇⨯=⨯∇⨯∇⋅-⨯∇⨯∇⋅SVV d ][ d ]()([S P Q Q P Q P P Q亥姆霍兹定理： )()()(r A r r F ⨯∇+-∇=Φ，式中⎰'''-'⋅∇'=V V d )(41)(r r r F r πΦ V V ''-'⨯∇'=⎰'d )(41)(r r r F r A π三种坐标系中矢量表示式之间的转换关系：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z r A A A A A A 100cos sin 0sin cos φφφφφ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x r A A A A A A 0cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin φφθφθφθθφθφθφθ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z r r A A A A A A φφθθθθθ 010sin 0cos cos 0sin题 解第一章 题 解1-1 已知三个矢量分别为z y e e e A x 32-+=；z y e e e B x 23++=；z e e C x -=2。
电磁场与电磁波课后习题及答案六章习题解答
第六章时变电磁场有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场之中，如题图所示。
滑片的位置由确定，轨道终端接有电阻，试求电流i.解穿过导体回路abcda的磁通为故感应电流为一根半径为a的长圆柱形介质棒放入均匀磁场中与z轴平行。
设棒以角速度绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。
解介质棒内距轴线距离为r处的感应电场为故介质棒内的极化强度为极化电荷体密度为极化电荷面密度为则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为平行双线传输线与一矩形回路共面，如题图所示。
设、、，求回路中的感应电动势。
解由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感应强度的方向，在回路中都是垂直于纸面向内的。
故回路中的感应电动势为式中故则有一个环形线圈，导线的长度为l，分别通过以直流电源供应电压U0和时变电源供应电压U（t）。
讨论这两种情况下导线内的电场强度E。
解设导线材料的电导率为，横截面积为S，则导线的电阻为而环形线圈的电感为L，故电压方程为当U=U0时，电流i也为直流，。
故此时导线内的切向电场为当U=U（t）时，，故即求解此微分方程就可得到。
一圆柱形电容器，内导体半径为a，外导体内半径为b，长为l。
设外加电压为，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。
解当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同（准静态电场），即故电容器两极板间的位移电流密度为则式中，是长为l的圆柱形电容器的电容。
流过电容器的传导电流为可见由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。
解点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程和由得据散度定理，上式即为利用球对称性，得故得点电荷的电场表示式由于，可取，则得即得泊松方程试将麦克斯方程的微分形式写成八个标量方程：（1）在直角坐标中；（2）在圆柱坐标中；（3）在球坐标中。
解（1）在直角坐标中（2）在圆柱坐标中（3）在球坐标系中已知在空气中，求和。
电磁场与电磁波课后习题及答案六章习题解答
第六章 时变电磁场6.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场5cos mT z e t ω=B 之中，如题6.1图所示。
滑片的位置由0.35(1cos )m x t ω=-确定，轨道终端接有电阻0.2R =Ω，试求电流i.解 穿过导体回路abcda 的磁通为5cos 0.2(0.7)cos [0.70.35(1cos )]0.35cos (1cos )z z d B ad ab t x t t t t ωωωωωΦ==⨯=⨯-=--=+⎰B S e e故感应电流为110.35sin (12cos ) 1.75sin (12cos )mAin d i R R dt t t t t R ωωωωωωΦ==-=-+-+E6.2 一根半径为a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0z B =B e 中与z 轴平行。
设棒以角速度ω绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。
解 介质棒内距轴线距离为r 处的感应电场为 00z r r r B φωω=⨯=⨯=E v B e e B e故介质棒内的极化强度为 00000(1)()e r r r r B r B εεεωεεω==-=-P E e e X极化电荷体密度为2000011()()2()P rP r B r r r rB ρεεωεεω∂∂=-∇⋅=-=--∂∂=--P极化电荷面密度为0000()()P r r r a e r a B σεεωεεω==⋅=-⋅=-P n B e则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为220020012()212()P P PS P Q a a B Q a a B πρπεεωπσπεεω=⨯⨯=--=⨯⨯=-6.3 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。
设0.2a m =、0.1m b c d ===、71.0cos(210)A i t π=⨯，求回路中的感应电动势。
《电磁场与电磁波》课后习题解答(全)
（3）
【习题3.4】
解：（1）在区域中，传导电流密度为0，即J=0
将 表示为复数形式，有
由复数形式的麦克斯韦方程，可得电场的复数形式
所以，电场的瞬时值形式为
（2） 处的表面电流密度
（3） 处的表面电荷密度
（4） 处的位移电流密度
【习题3.5】
解：传导电流密度 （A/ ）
位移电流密度
【习题3.6】
（2）内导体表面的电流密度
（3）
所以，在 中的位移电流
【习题2.13】
解：（1）将 表示为复数形式:
则由时谐形式的麦克斯韦方程可得：
而磁场的瞬时表达式为
（2）z=0处导体表面的电流密度为
z=d处导体表面的电流密度为
【习题2.14】
已知正弦电磁场的电场瞬时值为
式中
试求：（1）电场的复矢量；
（2）磁场的复矢量和瞬时值。
由安培环路定律： ，按照上图所示线路积分有
等式左边
等号右边为闭合回路穿过的总电流
所以
写成矢量式为
将 代入得
【习题3.18】
解：当 时， ，
当 时， ，
这表明 和 是理想导电壁得表面，不存在电场的切向分量 和磁场的法向分量 。
在 表面，法线
所以
在 表面，法线
所以
【习题3.19】
证明：考虑极化后的麦克斯韦第一方程
（1）
和 （2）
若采用库仑规范，即 （3）
对（1）式两边取散度，有
将（2）、（3）式代入，得
故电流连续性也是满足的。
【习题4.3】解：
【习题4.4】
证明：因为 即
故 满足连续性方程。
另外， 满足洛仑兹条件。
电磁场与电磁波课后答案第1章
第一章习题解答给定三个矢量、和如下：求：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）在上的分量；（6）；（7）和；（8）和。
解（1）（2）（3）－11（4）由，得（5）在上的分量（6）（7）由于所以（8）三角形的三个顶点为、和。
（1）判断是否为一直角三角形；（2）求三角形的面积。
解（1）三个顶点、和的位置矢量分别为，，则，，由此可见故为一直角三角形。
（2）三角形的面积求点到点的距离矢量及的方向。
解，，则且与、、轴的夹角分别为给定两矢量和，求它们之间的夹角和在上的分量。
解与之间的夹角为在上的分量为给定两矢量和，求在上的分量。
解所以在上的分量为证明：如果和，则；解由，则有，即由于，于是得到故如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。
设为一已知矢量，而，和已知，试求。
解由，有故得在圆柱坐标中，一点的位置由定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。
解（1）在直角坐标系中、、故该点的直角坐标为。
（2）在球坐标系中、、故该点的球坐标为用球坐标表示的场，（1）求在直角坐标中点处的和；（2）求在直角坐标中点处与矢量构成的夹角。
解（1）在直角坐标中点处，，故（2）在直角坐标中点处，，所以故与构成的夹角为球坐标中两个点和定出两个位置矢量和。
证明和间夹角的余弦为解由得到一球面的半径为，球心在原点上，计算：的值。
解在由、和围成的圆柱形区域，对矢量验证散度定理。
解在圆柱坐标系中所以又故有求（1）矢量的散度；（2）求对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求对此立方体表面的积分，验证散度定理。
解（1）（2）对中心在原点的一个单位立方体的积分为（3）对此立方体表面的积分故有计算矢量对一个球心在原点、半径为的球表面的积分，并求对球体积的积分。
解又在球坐标系中，，所以求矢量沿平面上的一个边长为的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与轴和轴相重合。
再求对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。
电磁场与电磁波课后习题及答案六章习题解答
第六章 时变电磁场6.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场5cos mT z e t ω=B 之中，如题 6.1图所示。
滑片的位置由0.35(1cos )m x t ω=-确定，轨道终端接有电阻0.2R =Ω，试求电流i.解 5cos 0.2(0.7)cos [0.70.35(1cos )]0.35cos (1cos )z z d B ad ab t x t t t t ωωωωωΦ==⨯=⨯-=--=+⎰g g B S e e故感应电流为110.35sin (12cos ) 1.75sin (12cos )mAin d i R R dt t t t t R ωωωωωωΦ==-=-+-+E6.2 一根半径为a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0z B =B e 中与z 轴平行。
设棒以角速度ω绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。
解 介质棒内距轴线距离为r 处的感应电场为00z r r r B φωω=⨯=⨯=E v B e e B e故介质棒内的极化强度为 00000(1)()e r r r r B r B εεεωεεω==-=-P E e e X极化电荷体密度为2000011()()2()P rP r B r r r rB ρεεωεεω∂∂=-∇⋅=-=--∂∂=--P极化电荷面密度为00()(P r r r a e r σεεωε==⋅=-⋅=-P n B e 则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为220020012()212()P P PS P Q a a B Q a a B πρπεεωπσπεεω=⨯⨯=--=⨯⨯=-6.3 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。
设0.2a m=、0.1m b c d ===、71.0cos(210)A i t π=⨯，求回路中的感应电动势。
解 由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感应强度的方向，在回路中都是垂直于纸面向内的。
电磁场与电磁波课后习题及答案六章习题解答
第六章 时变电磁场有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场5cos mTz e t ω=B 之中，如题图所示。
滑片的位置由0.35(1cos )m x t ω=-确定，轨道终端接有电阻0.2R =Ω，试求电流i.解 穿过导体回路abcda 的磁通为5cos 0.2(0.7)cos [0.70.35(1cos )]0.35cos (1cos )z z d B ad ab t x t t t t ωωωωωΦ==⨯=⨯-=--=+⎰g g B S e e故感应电流为110.35sin (12cos ) 1.75sin (12cos )mAin d i R R dt t t t t R ωωωωωωΦ==-=-+-+E一根半径为a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0z B =B e 中与z 轴平行。
设棒以角速度ω绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。
解 介质棒内距轴线距离为r 处的感应电场为00z r r r B φωω=⨯=⨯=E v B e e B e故介质棒内的极化强度为 00000(1)()e r r r r B r B εεεωεεω==-=-P E e e X极化电荷体密度为2000011()()2()P rP r B r r r rB ρεεωεεω∂∂=-∇⋅=-=--∂∂=--P极化电荷面密度为0000()()P r r r a e r a B σεεωεεω==⋅=-⋅=-P n B e则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为220020012()212()P P PS P Q a a B Q a a B πρπεεωπσπεεω=⨯⨯=--=⨯⨯=-平行双线传输线与一矩形回路共面，如题图所示。
设0.2a m =、0.1m b c d ===、71.0cos(210)A i t π=⨯，求回路中的感应电动势。
解 由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感应强度的方向，在回路中都是垂直于纸面向内的。
电磁场与电磁波第三版-郭辉萍-第三章习题答案
电磁场与电磁波第三版-郭辉萍-第三章习题答案第一题题目一个半径为R的均匀带电球壳的电荷面密度为σ，以电荷面密度为0的球心C为球心作半径为R的球面S，球面上一点P的电场强度E的大小与距离R的关系。
### 答案由于球壳上各点带电量的方向相反，由球壳对球内外各一点的电场叠加，所以无论球面内或球面外，点P的电场强度大小与距离R 无关。
即E不随R的变化而变化。
第二题题目电势能缺少的条件是什么？ ### 答案电势能缺少的条件有两个：第一是电势为零点的规定，第二是确定电势差。
电势能只能说是一个与地球或其他准零电位的参考体系有关的概念，它取决于选取零点时电势与参考体系的差，而不是取决于问题中的具体点或场点的电势。
题目在有限导体平面上有一面密度为质量面密度σ的均匀带电薄片，试推导在它所在面的垂直平分线上的电势。
### 答案在面上任选此点坐标为(x,0)，显然它距离面上各点的距离和面在此点的电势分别为：r = (x^2 + y^2) ^ (1/2)，V = kq / r。
这里面的q = σdx。
由于对称性可知任一垂直平分线上的电势是相等的，所以我们可以通过积分的方法求出垂直平分线上的电势。
电势V为此线两边同号。
所以，由于σdx$$ V=\\int_0^{+\\infty}\\frac{k\\sigma dx}{x^2}+\\int_0^{-\\infty}\\frac{k\\sigma dx}{x^2} =+\\infty $$两项分别收敛。
所以原版电势。
题目试推导导体表面任意点上电场强度的切线与导体表面的夹角θ与电势的关系。
### 答案任意一个点r(k)在导体表面上，电场E的方向就垂直于导体表面，从而与该点处的法向量n垂直。
另一方面，根据高斯定理得出E.EA=Φ/ε，导体表面n方向上在2S表面积内的电荷为，即σ*2S,而2S又等于dA。
从而得到该方向上场强为E的切向分量EEE=2EE其中，E=dΦ/dA=-dΦ2S/εdA这样就有了场强与导体表面的法线方向上单位面积上电荷量与电势的关系题目试设内半径为a，外半径为b，中心位于轴线上的两同心导体球壳A、B，A球壳带正电+q，B球壳不带电，试详细分析以下两种情况：(1)球壳之间无绝缘介质；(2)球壳之间有绝缘介质。
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第一章 习题解答1.2给定三个矢量A ，B ，C ： A =x a +2y a -3z a B = -4y a +z aC =5x a -2za求：错误！未找到引用源。
矢量A 的单位矢量A a ； 错误！未找到引用源。
矢量A 和B 的夹角AB θ； 错误！未找到引用源。
A ·B 和A ⨯B错误！未找到引用源。
A ·（B ⨯C ）和（A ⨯B ）·C ；错误！未找到引用源。
A ⨯（B ⨯C ）和（A ⨯B ）⨯C解：错误！未找到引用源。
A a =A A=149A++=（x a +2y a -3z a ）/14错误！未找到引用源。
cos AB θ=A ·B /A BAB θ=135.5o错误！未找到引用源。
A ·B =-11, A ⨯B =-10x a -y a -4z a 错误！未找到引用源。
A ·（B ⨯C ）=-42（A ⨯B ）·C =-42错误！未找到引用源。
A ⨯（B ⨯C ）=55x a -44y a -11z a（A ⨯B ）⨯C =2x a -40y a +5z a1.3有一个二维矢量场F(r)=x a （-y ）+y a (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图形。
解：由dx/(-y)=dy/x,得2x +2y =c1.6求数量场ψ=ln （2x +2y +2z ）通过点P （1，2，3）的等值面方程。
解：等值面方程为ln （2x +2y +2z ）=c 则c=ln(1+4+9)=ln14 那么2x +2y +2z =141.9求标量场ψ（x,y,z ）=62x 3y +ze 在点P （2，-1，0）的梯度。
解：由ψ∇=x a x ψ∂∂+y a yψ∂∂+z a z ψ∂∂=12x 3y x a +182x 2y y a +ze z a 得ψ∇=-24x a +72y a +z a1.10 在圆柱体2x +2y =9和平面x=0，y=0,z=0及z=2所包围的区域，设此区域的表面为S: 错误！未找到引用源。
求矢量场A 沿闭合曲面S 的通量，其中矢量场的表达式为A =x a 32x +y a （3y+z ）+z a (3z -x)错误！未找到引用源。
验证散度定理。
解：错误！未找到引用源。
⎰∙s d A=A d S ∙⎰曲+A dS ∙⎰xoz+A d S ∙⎰yoz+A d S ∙⎰上+A d S ∙⎰下A d S ∙⎰曲=232(3cos 3sin sin )z d d ρθρθθρθ++⎰曲=156.4 A dS ∙⎰xoz=(3)y z dxdz +⎰xoz=-6A d S ∙⎰yoz=-23x dydz ⎰yoz=0A d S ∙⎰上+A d S ∙⎰下=(6cos )d d ρθρθρ-⎰上+cos d d ρθρθ⎰下=272π ⎰∙s d A=193错误！未找到引用源。
dV A V⎰∙∇=(66)Vx dV +⎰=6(cos 1)Vd d dz ρθρθ+⎰=193即：⎰∙ss d A=dV A V⎰∙∇1.13 求矢量A =x a x+y a x 2y 沿圆周2x +2y =2a 的线积分，再求A ∇⨯对此圆周所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。
解：⎰∙l l d A =2Lxdx xy dy +⎰=44a πA ∇⨯=z a 2y⎰∙⨯∇S s d A =2Sy dS ⎰=22sin S d d θρρρθ⎰=44a π 即：⎰∙ll d A =⎰∙⨯∇Ss d A，得证。
1.15求下列标量场的梯度： 错误！未找到引用源。
u=xyz+2xu ∇=xa u x ∂∂+y a uy∂∂+z a u z ∂∂=x a (yz+zx)+y a xz+z a xy错误！未找到引用源。
u=42x y+2y z -4xzu ∇=xa u x ∂∂+y a u y∂∂+z a u z ∂∂=x a (8xy-4z)+y a (42x +2yz)+z a (2y -4x)错误！未找到引用源。
u ∇=xa u x ∂∂+y a uy∂∂+z a u z ∂∂=x a 3x+y a 5z+z a 5y 1.16 求下列矢量场在给定点的散度错误！未找到引用源。
A ∙∇=x A x ∂∂+y A y ∂∂+zA z ∂∂=32x +32y +3(1,0,1)|-=6错误！未找到引用源。
A∙∇=2xy+z+6z (1,1,0)|=21.17求下列矢量场的旋度。
错误！未找到引用源。
A ∇⨯=0错误！未找到引用源。
A ∇⨯=x a （x -x ）+y a （y -y ）+z a （z -z ）=01.19 已知直角坐标系中的点P(x,y,z)和点Q(x ’,y ’,z ’),求：错误！未找到引用源。
P 的位置矢量r 和Q 点的位置矢量'r ； 错误！未找到引用源。
从Q 点到P 点的距离矢量R ； 错误！未找到引用源。
r ∇⨯和r∙∇； 错误！未找到引用源。
1()R∇。
解：错误！未找到引用源。
r =x a x+y a y+z a z;'r =x a x ’+y a y ’+z a z ’错误！未找到引用源。
R =r -'r =x a （x -x ’）+y a （y -y ’）+z a （z -z ’）错误！未找到引用源。
r ∇⨯=0, r∙∇=3错误！未找到引用源。
22211(')(')(')R x x y y z z =-+-+-1()R ∇=(x a x ∂∂+y a y∂∂+z a z ∂∂)1R =-x a 212(')2x x R R --y a 212(')2y y R R --z a 212(')2z z R R - =-x a 3'x x R --ya 3'y y R --z a 3'z z R -=-31R[x a （x -x ’）+y a （y -y ’）+z a （z -z ’）]=-3R R即：1()R∇=-3R R第一章 习题解答1.2给定三个矢量A ，B ，C ： A =x a +2y a -3z a B = -4y a +z aC =5x a -2za求：错误！未找到引用源。
矢量A 的单位矢量A a ； 错误！未找到引用源。
矢量A 和B 的夹角AB θ； 错误！未找到引用源。
A ·B 和A ⨯B错误！未找到引用源。
A ·（B ⨯C ）和（A ⨯B ）·C ；错误！未找到引用源。
A ⨯（B ⨯C ）和（A ⨯B ）⨯C解：错误！未找到引用源。
A a =A A=149A++=（x a +2y a -3z a ）/14错误！未找到引用源。
cos AB θ=A ·B /A BAB θ=135.5o错误！未找到引用源。
A ·B =-11, A ⨯B =-10x a -y a -4z a 错误！未找到引用源。
A ·（B ⨯C ）=-42（A ⨯B ）·C =-42错误！未找到引用源。
A ⨯（B ⨯C ）=55x a -44y a -11z a（A ⨯B ）⨯C =2x a -40y a +5z a1.3有一个二维矢量场F(r)=x a （-y ）+y a (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图形。
解：由dx/(-y)=dy/x,得2x +2y =c1.6求数量场ψ=ln （2x +2y +2z ）通过点P （1，2，3）的等值面方程。
解：等值面方程为ln （2x +2y +2z ）=c 则c=ln(1+4+9)=ln14 那么2x +2y +2z =141.9求标量场ψ（x,y,z ）=62x 3y +ze 在点P （2，-1，0）的梯度。
解：由ψ∇=x a x ψ∂∂+y a yψ∂∂+z a z ψ∂∂=12x 3y x a +182x 2y y a +z e z a 得ψ∇=-24x a +72y a +z a1.10 在圆柱体2x +2y =9和平面x=0，y=0,z=0及z=2所包围的区域，设此区域的表面为S: 错误！未找到引用源。
求矢量场A 沿闭合曲面S 的通量，其中矢量场的表达式为A =x a 32x +y a （3y+z ）+z a (3z -x)错误！未找到引用源。
验证散度定理。
解：错误！未找到引用源。
⎰∙s d A=A d S ∙⎰曲+A dS ∙⎰xoz+A d S ∙⎰yoz+A d S ∙⎰上+A d S ∙⎰下A d S ∙⎰曲=232(3cos 3sin sin )z d d ρθρθθρθ++⎰曲=156.4A dS ∙⎰xoz=(3)y z dxdz +⎰xoz=-6A d S ∙⎰yoz=-23x dydz ⎰yoz=0A d S ∙⎰上+A d S ∙⎰下=(6cos )d d ρθρθρ-⎰上+cos d d ρθρθ⎰下=272π ⎰∙s d A=193错误！未找到引用源。
dV A V⎰∙∇=(66)Vx dV +⎰=6(cos 1)Vd d dz ρθρθ+⎰=193即：⎰∙ss d A=dV A V⎰∙∇1.13 求矢量A =x a x+y a x 2y 沿圆周2x +2y =2a 的线积分，再求A ∇⨯对此圆周所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。
解：⎰∙l l d A =2Lxdx xy dy +⎰=44a πA ∇⨯=z a 2y⎰∙⨯∇S s d A =2Sy dS ⎰=22sin S d d θρρρθ⎰=44a π 即：⎰∙ll d A =⎰∙⨯∇Ss d A，得证。
1.15求下列标量场的梯度： 错误！未找到引用源。
u=xyz+2xu ∇=xa u x ∂∂+y a u y∂∂+z a u z ∂∂=x a (yz+zx)+y a xz+z a xy错误！未找到引用源。
u=42x y+2y z -4xzu ∇=xa u x ∂∂+y a u y∂∂+z a u z ∂∂=x a (8xy-4z)+y a (42x +2yz)+z a (2y -4x)错误！未找到引用源。
u ∇=xa u x ∂∂+y a uy∂∂+z a u z ∂∂=x a 3x+y a 5z+z a 5y1.16 求下列矢量场在给定点的散度错误！未找到引用源。
A ∙∇=x A x ∂∂+y A y ∂∂+zA z ∂∂=32x +32y +3(1,0,1)|-=6错误！未找到引用源。
A∙∇=2xy+z+6z (1,1,0)|=21.17求下列矢量场的旋度。
错误！未找到引用源。
A ∇⨯=错误！未找到引用源。
A ∇⨯=x a （x -x ）+y a （y -y ）+z a （z -z ）=0 1.19 已知直角坐标系中的点P(x,y,z)和点Q(x ’,y ’,z ’),求： 错误！未找到引用源。