第一讲 数学是什么
小升初数学课程：第一讲 数与式的认识
第一讲数与式一、知识梳理第一部分数的意义、分类与性质一、数的意义和分类1、数的意义（1）自然数：0、1、2、3、4……都是自然数。
可以表示物体的个数或次数。
自然数的个数是无限的，最小的自然数是0，没有最大的自然数。
（2）0：一个物体也没有，用0表示。
0是最小的自然数。
0还有其他多种用法，在写数记数中，可以用0来占位；在测量活动中，用0表示起点；在相反意义量的记录中，用0作分界点。
负数：比0小的数是负数，比0大的数是正数。
0既不是正数，也不是负数。
（4）小数：分母是10、100、1000……的分数可以写成小数。
（5）分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。
两个数相除的商可以用分数表示。
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。
（6）百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。
百分数又叫做百分比或百分率。
百分数是一种特殊的分数。
二、数的联系1、整数与小数：整数和小数在计数方法上是一致的，都是用十进制计数法记录的。
整数可以根据小数的基本性质改写成小数。
2、小数与分数：小数就是分母是10、100、1000……的十进分数，小数是特殊的分数。
3、分数与百分数：百分数虽然在形式上与分数是类似的，但在意义上有明显的不同。
百分数只能表示一个数是另一个数的百分之几，所以也叫做百分比（百分率），而分数不仅可以表示一个数是另一个数的几分之几，也可以用来表示一个具体的数量。
4、正数与负数：以0为分界点，比0大的数就是正数，比0小的数就是负数。
正数可以有正整数、正分数；负数可以有负整数、负分数。
0既不是正数，也不是负数。
三、数的性质1、整除（1）整除与除尽整除：整数a除以整数b(b≠0),除得的商是整数而没有余数,我们就说数a能被数b整除,或数b能整除a.。
除尽：数a除以数b(b≠0),除得的商是整数或是有限小数,这就叫做除尽.整除是除尽的一种特殊情况,整除也可以说是除尽,但除尽不一定是整除.（2）因数和倍数如果数a能被数b整除(b≠0),a就叫做b的倍数,b就叫做a的因数.倍数：一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数.因数：一个数的因数的个数是有限的,其中最小的约数是1,最大的约数是它本身.因数和倍数是相互依存的（3）能被2.3.5整除的数的特征能被2整除的数的特征：个位上是0,2,4,6,8,:能被3整除的数的特征：个位上是0或5能被5整除的数的特征：各个位上的数字的和能被3整除能同时被2、5整除的数的特征：个位是0能同时被2、3、5整除的数的特征：个位是0,而且各个位上的数字的和能被3整除.（4）偶数和奇数一个自然数,不是奇数就是偶数偶数：能被2整除的数。
数学思想与数学文化——第一讲-数学是什么
(妻子胡和生均为中科院院士，苏步青学生。2010 年国家最高科技奖获得者。数学人生：一生尝尽 数学的深奥与抽象。)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
潘承洞，山东大学校长（1986-1997）
1934出生，江苏省苏州市人。1997年 12月27日在济南病逝。中国科学院院 士。1981年与其胞弟潘承彪合作编著 的《哥德巴赫猜想》一书，为世界上 第一本全面系统地论述哥德巴赫猜想 研究工作的专著；1982年与王元、陈 景润共同以哥德巴赫猜想的研究成果 获国家自然科学一等奖。
献于1965年获得了Nobel奖的物理学家理查德·费格曼
（Richard Fegnman）曾说过：“若是没有数学语言，宇宙 似乎是不可描述的。”
例子
1)牛顿（Issac Newton）：微积分学---万有引力定律。
2)爱因斯坦（Albert Einstein）： Riemann几何---广义相对论。
王梓坤，北京师范大学校长（1984-1989）
1929年4月生,江西吉安县人。 1952年毕业于武汉大学数学系。 1955年考入苏联莫斯科大学数学 力学系做研究生，师从于数学大 师 A.N. Kolmogorov和 R. L. Dobrushin, 1952年起先后任南开 大学讲师、教授。1984年以来任 北京师范大学教授。1991年当选 为中国科学院院士。王梓坤是我 国概率论研究的先驱和主要领导 者之一。
（其专长于解析数论的研究，尤以哥德巴 赫猜想研究著名，与当代著名数学家华罗 庚、王元、陈景润一起成为中国数论派的 代表。）
展涛，山东大学校长（2000-2008）
回族，1963年4月出生，山东兖州 人，中共党员，理学博士，教授， 博士生导师。1979年9月入山东大 学数学系学习；1987年留校。1991 年1月至1992年12月获德国洪堡基 金会奖励基金，赴德国弗莱堡大学 从事合作研究；1993年4月任山东 大学数学系副主任；1995年3月任 山东大学副校长；1996年12月任山 东大学党委常委、副校长；2000年 7月任山东大学党委常委、校长。 2008年11月任吉林大学校长。
第一讲：对数学的.
（一）、数学是什么？
亚里士多德：数学是量的科学；（公 元前4世纪） 恩格斯：数学是研究现实世界的空间 形式与数量关系的科学；（19世纪80 年代） 19世纪晚期，康托尔：数学是绝对自 由发展的学科，只要它服从思维的目 的；“数学=逻辑”。 20世纪80年代，怀特海：“数学是模 式的科学”。 怎样理解“数学是模式的学科”？
抽象的方法
1、弱抽象：从一类事物中抽取出本质属性 而舍弃其他属性的过程。 思维特点：特殊到一般；归纳推理 例：数字3；图形；几个定义。（？举例） 2、强抽象：在原来的数学结构中增添新的 性质形成新的数学概念的过程。思维特点： 一般到特殊，演绎推理。 思考：对应——映射——函数? 函数——连续函数——可微函数？ （？举
第一讲：对数学的认识
（一）数学是什么？
1、研究的必要性； 2、区分“什么是数学”与“数 学是什么？ 3、对这个问题的分析。（大家 交流讨论）
“数学是什么？”
1、它是一个历史概念 2、审视问题的视角： 数学学科本身来看：科学 数学学科结构来看：模型 数学表现形式来看：语言 数学过程来看：推理证明 从社会价值来看：工具、技术、 艺术、文化
例）
思考：强弱抽象之间的关系？
高中正弦、余弦函数的基础上： 定义： c(x )和 s(x) 是R 到R的函数： ⅰ 任意R上的x、 y c(x-y)=c(x)c(y)+s(x)s(y) ⅱ（0， ∏ ）上的任意x s(x) ＞0 ， s(∏) =0 则称：s(x) 为正弦函数， c(x)为余弦 函数
数学的广泛运用性：
宇宙之大，粒子之微，火箭之速， 化工之巧，地球之变，生物之谜， 日用之繁，无处不用数学。—— 华罗庚 任何科学只有当它成功地运用数 学时，它才算达到完整的程度， 才算是真正发展了。——马克思
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式 无
无理不等式的解法一、引入：1．无理不等式的类型： ①⎪⎩⎪⎨⎧>⇒⎭⎬⎫≥≥⇔>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型 ②⎩⎨⎧≥<⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x f xg x g x f x f x g x g x f 或型 ③⎪⎩⎪⎨⎧<>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型二、典型例题：例1 解不等式0343>---x x解：∵根式有意义 ∴必须有：303043≥⇒⎩⎨⎧≥-≥-x xx又有 ∵ 原不等式可化为343->-x x 两边平方得：343->-x x 解之：21>x ∴}3|{}21|{}3|{>=>⋂>x x x x x x例2 解不等式x x x 34232->-+-解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集：Ⅰ：⎪⎩⎪⎨⎧->-+-≥-+-≥-222)34(23023034x x x x x x Ⅱ：⎩⎨⎧<-≥---0340232x x x 解Ⅰ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<⇒<<<≤≤345623562134x x x x 解Ⅱ：234≤<x ∴原不等式的解集为}256|{≤<x x例3 解不等式24622+<+-x x x解：原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧+<+->+≥+-222)2(462020462x x x x x x}10102|{100212≤<<≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<->≤≥⇒x x x x x x x 或或特别提醒注意：取等号的情况例4 解不等式1112-+>+x x解 ：要使不等式有意义必须：2112101012-≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≥⇒⎩⎨⎧≥+≥+x x x x x原不等式可变形为 1112+>++x x 因为两边均为非负 ∴22)1()112(+>++x x 即)1(122+->+x x ∵x +1≥0 ∴不等式的解为2x +1≥0 即 21-≥x例5 解不等式)0(112>≤-+a ax x例6 解不等式1123>-+-x x解：定义域 x -1≥0 x ≥1 原不等式可化为：3211->--x x 两边立方并整理得：)1(41)2(->-+x x x在此条件下两边再平方, 整理得：0)10)(2)(1(>---x x x 解之并联系定义域得原不等式的解为}1021|{><<x x x 或。
第一讲数学史简介
欧洲中世纪数学状况及代表人物
中世纪初期，欧洲数学发展相对 滞后，主要受古希腊和阿拉伯数
学影响。
代表人物：斐波那契，其《算盘 书》介绍了印度数字系统和阿拉 伯数字运算，对欧洲数学产生深
远影响。
中世纪后期，随着大学兴起，数 学开始复兴，代表人物有奥雷姆
等。
文艺复兴时期对数学影响及代表人物
文艺复兴推动了科学和艺术的 发展，数学也得以繁荣。
印度数学
印度古代数学在算术、代 数和三角学等领域有着独 特贡献，如0的发明、阿拉 伯数字的发展等。
阿拉伯数学
阿拉伯数学家在数学史上 也占有重要地位，如花拉 子米的代数、阿拉伯三角 学等。
中美洲玛雅数学
玛雅文明在数学方面也有 一定成就，如玛雅数字系 统和复杂的历法计算等。
03
中世纪至文艺复兴时期数 学发展
数学史意义
数学史可以帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，理解数学在推动社会进 步和科学发展中的价值。同时，通过了解数学家们的探索精神和创新思维，可以 激发学生的数学兴趣和求知欲。
数学发展历程简述
• 古代数学：古代数学起源于人类早期的生产活动，产生于计数、测量和计算等 实践活动中。古埃及、古希腊、古印度和古代中国等文明古国都有自己的数学 发展历程，如古埃及的几何学、古希腊的演绎数学、古印度的算术和代数以及 古代中国的筹算等。
数据科学与数学
数据科学是近年来迅速发展的学科领域，它涉及到数据分析、数据挖掘、机器学习等方面 。数据科学与数学的交叉融合将为数学研究提供新的思路和方法，推动数学在数据分析、 人工智能等领域的应用。
生物数学与医学
生物数学是数学与生物学交叉融合的产物，它在生物医学研究中发挥着越来越重要的作用 。通过数学建模和模拟，生物数学家可以研究生物系统的复杂性和动态性，为医学诊断和 治疗提供新的思路和方法。
第一讲数学是什么
3.等量减等量其差相等；4.彼此能重合的物体是全等的；5. 整体大于部分
定理（命题）——证明
24
阿基米德(Archimedes，约公元前287～212)
25
26
阿基米德的墓碑上刻的图
27
阿波罗尼奥斯（约公元前262－前190）
28
数学由定义、公理、定理组成
定义——点、线、面、圆、角、……； 公设、公理——五个公设、五个公理；
公设：1.由任意一点到另外任意一点可以画直线；
2.一条有限直线可以继续延长； 3.以任意点为心及任意的距离可以画圆； 4.凡直角都彼此相等 5.平面上过直线外一点可以做一条且只能做一条直线与此 平行
（西周，前1100年）
（上海图书馆藏）
《周髀算经》 中关于
勾股定理 的记载
16
埃及金字塔
建于约公元前2900年的埃及法老胡夫 的金字塔，塔基每边长约230米，
塔基的正方程度与水平程度的 平均误差不超过万分之一。
17
—— 公元前5世纪
有了数、记数法； 数量的计算； 简单的数的运算； 简单的几何图。
数学——简单的算术
18
演绎推理—古希腊 （前6世纪——公元6世纪）
泰勒斯——伊利亚学派——数学 命题需要证明
19
毕达哥拉斯(公元前580年～公元前500年)——
万物皆数
20
柏拉图 与 亚里士多德
倡导逻辑 演绎的结构
21
雅典学派
22
欧几里得(Euclid, 公元前330年～前275年)
23
欧几里得 —— 几何《原本》
8
四个“河谷文明”地域
数学文化第一讲：数学的本质
第一讲 数学的本质
一、数学研究对象的历史考察
从数学发展的每个历史时期，人们在实践中，对 数学研究对象的发现与认识，来加以考察。 数学，作为一门科学，它来源于人类社会实践， 并促进人类社会实践，也随着人类社会的进步而 发展。 1.数学萌芽时期(远古～公元前6世纪) 2.常量数学时期(公元前6世纪～公元17世纪) 3.变量数学时期(17世纪～19世纪) 4.近现代数学时期(19世纪以后)
上面三个问题，虽然都来自于现实世界的问题， 且有不同的实际背景，但是每个问题经过抽象 之后，“它们所反映的已不是某一特定事物或 现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的 方面的特性”。像这样超越特殊对象而具有普
遍意义的问题就是一种模式，即量化模式。
综上所述，数学的概念、命题(理论)、公式、 定理、问题和方法等等，事实上都是一种量 化的模式，这样一来，“数学即是关于量化 模式的建构与研究。”正如美国数学家 L.Steen所说：“数学是模式的科学，数学家 从数中、空间中、科学中和想象中寻找模式， 数学理论阐明了模式间的关系。”
1.数学萌芽时期(远古～公元前6世纪)
特点： 零零星星地认识了数学中最古老、原始的 概念——“数”(自然数)和“形”(简单几何 图形)。 数的概念起源于数(读shǔ)，脚趾和手指 记数、“结绳记数” 等； 另一方面，人类还在采集果实、打造石器、 烧土制陶的活动中，对各种物体加以比较， 区分直曲方圆，逐渐形成了“形”的概念。
（3）从数学对象来看．数学家Descarte把 数学称作“序的科学”；物理学家 Weinberg把数学看作是“模式与关系”的 科学，如像生物是有机体的科学，物理是物 和能的科学一样，“数学是模式的科学”； 如果把数学看作是一种语言，它又可认为 “是描述模式的语言”。随着现代数学的创 立与发展，人们对数学的本质的认识逐步深 化，在当今数学哲学界流行一些新颖和较成 熟的数学哲学观点. 2.数学是模式的科学 《现代汉语词典》里，对模式的解释是指 “某种事物的标准形式”，这种标准形式 是通过抽象、概括而产生的。
第一讲 数学是什么？
图1
图2
图3
哥 尼 斯 堡 七 桥 问 题
35
连通的“点线图”能够一笔画的充要条件： “奇结点”不多于两个。
反观“七桥问题”
36
例1 七桥问题和图论的简单知识 18世纪时,帕瑞格河从哥尼斯堡(现属于俄罗斯)城中流过,河中有两个岛,把该城分 为四个部分,河上7座桥,将两岸和岛连接,如图1所示。城里的人从桥上走来走去,有人 便提出这样一个疑问:一个人能否依次走过所有的桥,而每座桥只走一次?如果可以的 活,这个人能否还回到原来出发地?这就是有名的“七桥问题”。许多人都在试验， 每天都有许多人在想法“不重复地走遍”所有这七座桥。但是，没有人能够完成这 一“壮举”。这个问题有答案么？
23
数学美：和谐性、对称性、简洁 性
“美”是艺术家所追求的一种境界。其实，“美” 也是数学中公认的一种评价标准。数学中的“美” 是体现在和谐性、对称性、简洁性上。 著名数学家庞加莱（H.Poincare）曾说：“科学家 研究自然是因为他爱自然，他之所以爱自然，是因 为自然是美好的。如果自然不美，就不值得理解， 如果自然不值得理解，生活就毫无意义。当然，这 里所说的美，不是那种激发感观的美，也不是质地 美和表现美… …我说的是各部分之间有和谐秩序的 深刻美,是人的纯洁心智所能掌握的美。”
26
[思 ]：
请你在学习“数学文化”课的过程 中，始终带着下面的问题——在学完 “数学文化”课后，给出一个你自己对
“数学”的定义。
27
二、数学的特点
1.抽象性
2.精确性 3.应用的广泛性
28
1．抽象性
数学以抽象的数和形为研究对象，这些数和 形只保留量的关系和空间形式而舍弃了其他 方程 x2 3x 4 0 的正解是1， 它可能是一头牛或一头驴或一辆轿车等等 dy 导数 dx 既可以表示运动速度，也可以表示 人口增长速度等
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阿拉伯国家 （公元8世纪——15世纪）
花拉子米——《代数学》（阿拉伯文《还原 与对消计算概要》）曾长期作为欧洲的数学课本， “代数”一词，即起源于此；阿拉伯语原意是 “还原”，即“移项”；此后，代数学的内容， 主要是解方程。
35
斐波那契1202年将印度人的数字引入欧洲
“下列是印度人的九个数字
9 8 7 6 5 4 3 2 1 下面将证明：用这九个数字连同 阿拉伯人称作零的符号0，就能写 出任何数”
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
同上面一样代入，得 AB 2 R 2 2 x1 x2 2 y1 y2
41
因为 CD 2x3 ， AB CD ，故
AB 2 R 2 x1 x2 2 y1 y2 2 x3
2
Y
A( x1 , y1 )
秦九韶（约1202～约1261）、 杨辉 （13世纪下半叶）、 朱世杰（13世纪末～14世纪初）
宋元四大家——李冶 （1192～1279）、
天元术、正负开方术 —— 高次方程数值求解；
大衍总数术 —— 一次同余式组求解
34
宋元以后，中国数学陷于停滞或几近消亡。
数字、符号
印度
现代记数法（公元8世纪）——印度数码，0，负数
欧几里得
—— 几何《原本》
数学由定义、公理、定理组成
定义——点、线、面、圆、角、……； 公设、公理——五个公设、五个公理； 公设：1.由任意一点到另外任意一点可以画直线；
2.一条有限直线可以继续延长； 3.以任意点为心及任意的距离可以画圆； 4.凡直角都彼此相等 5.平面上过直线外一点可以做一条且只能做一条直线与此 平行 公理：1.等于同一量的量彼此相等；2.等量加等量其和相等； 3.等量减等量其差相等；4.彼此能重合的物体是全等的；5. 整体大于部分
1 1 1 1 4 2 1 x 2 dx 4 x 3 1 4 [ ( )] 1 1 3 3 3 3
45
牛顿：Isaac Newton
（1643—1727）
数学家 物理学家 天文学家 自然哲学家
46
莱布尼茨(Gottfriend Wilhelm
Leibniz，1646-1716) 德国自然科学家、数学家、 哲学家。他的研究范围涉及 自然科学与社会科学的很多
6
结绳记数
《周易》：“上古结绳
而治，后世圣人，易之 以书契。”
7
早期人类曾经使用刻痕记数之法。 迄今发现的最早证据，是1937年在捷克摩拉维亚 （Moravia）出土的幼狼胫骨。图中所示为同一根狼骨 的不同侧面。其上有55道刻痕，分成两组：第一组25 道，第二组30道，每一组内的刻痕又按5个一群排列， 这块狼骨的年代，据考大约在3万年前。
寻找解决一切问题的方法——笛卡尔——解 析几何
40
命题：圆上相等弦到圆心的距离相等
解析几何的证明：
如图。设 A, B, C , D 四点在圆周上，且 AB CD
x1 x2 y1 y2 , ) ，所以 2 2
x1 x2 2 y1 y2 2 ) ( ) 2 2
OM AB, ON CD 证明： OM ON
52
现代数学时期（19世纪20年代—— ）
１．康托的“集合论” 2．柯西、魏尔斯特拉斯等人的“数学分析” 3．希尔伯特的“公理化体系” 4．高斯、罗巴契夫斯基、波约尔、黎曼的“非欧几何” 5．伽罗瓦创立的“抽象代数” 6．黎曼开创的“现代微分几何” 7．庞加莱创立的“拓扑学” 8. 其它：数论、概率统计、数理逻辑、组合数学、 计算数学、分形与混沌 等等。
——斐波那契《算术书》的卷首语
开始使用印度阿拉伯数字、十进制
36
意大利（十二世纪）
塔塔利亚、卡尔丹、费拉里 ——三次方程的求根公式
欧洲（十六世纪）
用字母表示数： x,y,a,b,c,... ... 统一运算符号： ＋、－、×、÷、……
37
托勒密——三角学
15世纪，德国的雷格蒙塔努斯（J· Regiomontanus， 1436—1476）的《论三角》一书的出版，才标志古代三角学 正式成为独立的学科．这本书中不仅有很精密的正弦表、余 弦表等，而且给出了现代三角学的雏形．
三角形、圆、长方形、菱形等。
12
半坡遗址陶器残片
13
半坡遗址房屋基础 14
古巴比伦的“记事泥板”中关于 “整勾股数”的记载”
（约公元前1000年）
（马其顿，1988年） 20世纪在两河流域有约50万块泥版文 书出土，其中300多块与数学有关 （文达，1982年）
15
中国的《周髀算经》（公元前200年成书）
宋刻本《周髀算经》，
（西周，前1100年）
（上海图书馆藏）
《周髀算经》 中关于 勾股定理 的记载
16
埃及金字塔
建于约公元前2900年的埃及法老胡夫
的金字塔，塔基每边长约230米，
塔基的正方程度与水平程度的
平均误差不超过万分之一。
17
—— 公元前5世纪
有了数、记数法； 数量的计算； 简单的数的运算； 简单的几何图。
定理（命题）——证明
24
阿基米德(Archimedes，约公元前287～212)
25
26
阿基米德的墓碑上刻的图
27
阿波罗尼奥斯（约公元前262－前190）
28
29
古希腊 （前6世纪——公元6世纪） 数学被公理化，成为演绎推理的知识体系 抽象的思考，“证明”成为数学的灵魂。 数学被建立在逻辑推理之上。
第一讲 数学是什么
数学的由来 数学的定义 数学的特点
1
一、 数学的由来
我们今天的数学是怎么来的？
数学为什么会变得如此抽象？ 数学将会向何处去？
2
一、 数学的由来
150亿年前的大爆炸 45亿年前的原始太阳 星云
3
若把地球诞生至今的这 段日子当成一年，十一 月的第三个星期鱼类才 出现，而蜥蜴在十二月 中旬出现；人类要到十 二月三十一日的晚上才 出现。
16世纪法国数学家韦达（F· Viete，1540—1603）则更进一
步将三角学系统化．
对数
简化天文、航海方面烦杂计算，把乘除转化为 加减。英国数学家 － 纳皮尔
38
——16世纪
初等数学的主要分支： 算术、几何、代数、三角。 构成现在中学数学的主要内容
39
科学革命——变量数学 （十六——十九世纪）
证. M 是 AB 的中点，它的坐标是 (
OM (
Y
A( x1 , y1 )
M
B( x2 , y2 )
2 2 y2 展开并以 R2 x12 y12和R2 x2 代入，得
O
C ( x3 , y3 )
R
OM
N
X 又
R 2 x1 x2 y1 y2 2
（1）
D( x3 , y3 )
8
四个“河谷文明”地域
非洲的 尼罗河； 西亚的 底格里斯河与幼发拉底河； 中南亚的 印度河与恒河；
东亚的 黄河与长江
有理由相信，数字符号是人类最早出现的文字
9
10
古埃及陶罐 3500 B .C .
11
西安半坡遗址
中国西安半坡遗址反映的是约公元前6000年的人类
活动，
那里出土的彩陶上有多种几何图形，包括平行线、
4
从计数那一刻开始……
手指记数
5
荷马史诗《奥德赛》
当主人公奥德修斯刺瞎了
独眼巨人波吕斐摩斯仅有 的一只眼睛以后，那个不 幸的盲老人每天都坐在自 己的山洞里照料他的羊群。 早晨羊儿外出吃草，每出 来一只，他就从一堆石子 里捡出一颗。晚上羊儿返 回山洞，每进去一只，他 就扔掉一颗石子。当他把 早晨捡起的石子全都扔光 时，他就确信所有的羊儿 返回了山洞。
数学成为科学的皇后，与技术结合的更紧密。
51
随机数学——概率论与数理统计
1657年，帕斯卡——《论掷骰子游戏中的计算》。 这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论著。因此 可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和 惠更斯。 1763年，贝叶斯公式
英国学者葛朗特在1662年发表的著作《关于死亡公报 的自然和政治观察》——统计学 十九世纪初，拉普拉斯、勒让德、高斯——数理统计
2 2 R 2 x3 y3
Hale Waihona Puke OM 2 y3 y3
OM ON
42
证毕。
欧几里得证明：
作 OB 与 OD
OB OD
1 MB AB 2 ND 1 CD 2
A
M
同圆之半径相等 由圆心到弦的垂线平分此弦
C
B
O N
D
MB ND
等量的一半相等 斜边和一个直角边相等
RtOND RtOMB OM ON
由于 y 2 x ，所以，切线方程为
y y0 2 x0 ( x x0 )
2 又由于 y0 x0 ，故所求切线为
2 y 2x0 x x0
如：点 (2,4) 处切线方程为 y 4( x 1)
2 求抛物线 y x 与直线
y 1
所围图形的面积。
抛物线与直线的交点为 (1,1)和(1,1) ，故所求面积为
M
B( x2 , y2 )
2 2R2 2x1x2 2 y1 y2 4x3 2 x1x2 y1 y2 R2 2x3
O
C ( x3 , y3 )
R
N
X
D( x3 , y3 )
代入（1），有
2 R 2 R 2 2 x3 2 OM R 2 x3 2