2018届高三数学尖子生提分训练题—函数中的识图与用图

2018届高三数学尖子生提分训练题—函数中的识图与用图一、考情分析函数图象是高考热点,注意考查方式有二,一是根据图象确定函数解析式,二是借组图象研究函数图象交点个数或方程实根个数,此类问题一般常与函数性质交汇考查,综合性较强,能有效考查学生分析问题解决问题的能力,及数形结合思想,在高考中常以选择题形式出现,难度中等或中等以上.. 二、经验分享(1) 描点法作图的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；④描点连线,画出函数的图象． (2)函数图象平移变换八字方针① “左加右减”,要注意加减指的是自变量． ② “上加下减”,要注意加减指的是函数值． (3) 图象变换法作函数的图象①熟练掌握几种基本函数的图象,如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x的函数．②若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序．(4) 函数图象的识辨可从以下方面入手：①从函数的定义域,判断图象的左右位置；从函数的值域,判断图象的上下位置； ②从函数的单调性,判断图象的变化趋势； ③从函数的奇偶性,判断图象的对称性； ④从函数的周期性,判断图象的循环往复； ⑤从函数的特征点,排除不合要求的图象．(4) ① 利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数,其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究,但一定要注意性质与图象特征的对应关系． ②利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题,方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标；不等式f (x )<g (x )的解集是函数f (x )的图象位于g (x )图象下方的点的横坐标的集合,体现了数形结合思想．(5)掌握以下两个结论,会给解题带来方便：①f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |)．②若奇函数在x ＝0处有意义,则f (0)＝0. 三、知识拓展 1.图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x(a >0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． (3)伸缩变换()11101a a a ay f x ><<−−−−−−−−−−−−−→，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变①＝y ＝f (ax )．②y ＝f (x )―――――――――――――――――――→a >1纵坐标伸长为原来的0<a <1纵坐标缩短为原来的a 倍横坐标不变y ＝af (x )．(4)翻折变换①y ＝f (x )―――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )――――――――――→保留y 轴右边图象并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． 2.函数对称的重要结论(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称． (2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ,b )中心对称．(3)若函数y ＝f (x )对定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x ),则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． 四、题型分析 (一)知式选图【例1】函数f (x )＝2x －tan x 在(－π2,π2)上的图象大致为( )【分析】利用函数的奇偶性及特殊点的函数值的符号排除不符合条件的选项.【解析】f (x )＝2x －tan x 是奇函数,其图象关于原点成中心对称,又f (π4)＝π2－tan π4＝π2－1>0,故选D.【点评】函数图象问题主要包括3个方面的问题：作图、识图、用图,其中识图问题一直是高考中的热点,解决该类问题的关键是从图中读出有用的信息,根据这些信息排除不符合条件的选项.本题属于识图问题中的“知式选图”,常用方法是：(1)从函数定义域、值域确定图象大致位置； (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性；(4)根据特殊点的位置或特殊函数值的正负,排除不符合条件的选项.【小试牛刀】【2018届北京市东城区高三上学期期中】函数cos sin y x x x =+的图象大致为（ ）．A. B.C. D.【答案】D【解析】当πx =时,π0y =-<,排除A ；又()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x -=--=-+=-,故该函数是奇函数,排除B ；又当π2x =时,π0sin 102y =+=>,排除C ,故选D ． (二)知图选式【例2】【20178届辽宁省葫芦岛市六校协作体月考】已知函数()f x 的图象如图所示,则函数()f x 的解析式可能是（ ）A. ()()244log x x f x x -=+ B. ()()244log x xf x x -=-C. ()()1244logxxf x x -=+ D. ()()44x x f x x -=+【答案】A【评注】知图选式一般采用逐个排除的方法.【小试牛刀】【2018届山东省、湖北省部分重点中学12月联考】若函数()2df x ax bx c=++（a ,b ,c ,d R ∈）的图象如图所示,则下列说法正确的是（ ）A. 0,0,0,0a b c d >>>>B. 0,0,0,0a b c d >>><C. 0,0,0,0a b c d ><>>D. 0,0,0,0a b c d ><>< 【答案】D【解析】由渐近线是1,5x x ==得,20ax bx c ++=的两根是1,5,由选项知,0a >,则2y ax bx c =++开口向上,得0,0b c <>,有由3x =时,()32f =可知,()30y <,则0d <,所以0,0.0,0a b c d ><><,故选D.(三)借助图象确定函数零点个数或方程实根个数【例3】若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x ),当x ∈[0,1]时,f (x )＝x ,则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是( ) A ．多于4 B ．4 C ．3 D ．2【答案】B【解析】由题意知,f (x )是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )及y ＝log 3|x |的图象,如图,观察图象可以发现它们有4个交点,即函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点．【评注】(1)确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法．(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．【小试牛刀】【2018河北省阜城月考】方程31log 3xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】C【解析】在同一坐标系中画出函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与3log y x =的图象,如图所示：易判断其交点个数为2个,则方程31log 3xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解的个数也为2个,故选C.(四) 由函数零点个数或方程实根个数确定参数范围【例4】【2016·山东高考】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0,若存在实数b ,使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根,则m 的取值范围是________．【答案】(3,＋∞)【评析】已知函数零点情况求参数的步骤及方法(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理,得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组),即得参数的取值范围．(2)方法：常利用数形结合法．【小试牛刀】【2018北京西城区高三上学期12月月考】已知()11,1,{ ,01,x f x xlnx x -≥=<<若函数()()g x f x k xk =-+只有一个零点,则k 的取值范围是（）． A. ()(),11,-∞-⋃+∞ B. ()1,1- C. []0,1 D. ][(,10,1⎤-∞-⋃⎦ 【答案】D【解析】根据题意可得函数()y f x =的图象和直线()1y k x =-只有一个交点,直线()1y k x =-经过定点()1,0,斜率为k ,当01x <<,()11f x x '->,当1x ≥时,()[)211,0f x x∈-'=-,如图所示,故][(,10,1k ⎤∈-∞-⋃⎦．故选D ．五、迁移运用1．【2018北京师范大学附属中期中】函数2y ax bx =+与()0y ax b ab =+≠的图象可能是A. B. C. D.【答案】D2．【2018届福建省德化一中、永安一中、漳平一中高三上学期三校联考】定义运算,{,a a b a b b a b≤⊕=>,则函数()112xf x ⎛⎫=⊕ ⎪⎝⎭的图象是下图中A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意可得()1,011{ 12,02xxx f x x ≤⎛⎫=⊕=⎪⎛⎫>⎝⎭ ⎪⎝⎭,则答案为D. 3．【2018河北省张家口市12月月考】函数()22xxf x a -=+⋅（a R ∈）的图象不可能为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵函数()22xxf x a -=+⋅（a R ∈）∴当0a =时,()2xf x =,故A 可能当0a <时,()22xx a f x =+,显然()f x 为增函数,且1a =-时,()122xxf x =-,故C 可能当0a >时,()22xx a f x =+,令2(0)x t t =>,则a y t t=+,y 在(上单调递减,在)+∞上单调递增,故1a =时,y 在()0,1上单调递减,在()1,+∞上单调递增,则()122xx f x =+在(),0-∞上单调递减,在()0,+∞上单调递增,故B 可能,综上,函数()22xxf x a -=+⋅（a R ∈）的图象不可能为D故选D4.【2018广东省化州市高三上学期第二次高考模拟】函数()()sin 21x f x x -=+的部分图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】结合函数的解析式：当x=0时,可得()00f =,f(x)图象过原点,排除A. 当04x π-<<时,()sin 20x ->,而|x+1|>0,f(x)图象在上方,排除CD.本题选择B 选项.5.【2018浙江省部分市学校高三联考数学】已知函数()3211132f x ax x x =+++（a R ∈）,下列选项中不可能是函数()f x 图象的是（ ）A. B.C. D.【答案】D6. 【2018届山西省太原高三上学期10月月考】已知函数()1,1{ 12e ,1x x x f x x x +>=--≤,若函数()()()1g x f x m x =--有两个零点,则实数m 的取值范围是A. ()2,0-B. ()1,0-C. ()()2,00,∞-⋃+D. ()()1,00,∞-⋃+ 【答案】D【解析】作出函数()f x 图象,依题意,则()1y m x =-与函数()y f x =图象有两个交点,当()1y m x =-与2e x y =-相切时,设切点为()00,x y ,则()000002e {1 e x x y y m x m=-=--=求得000{1 1x y m ===-,当()()1,00,m ∞∈-⋃+时,()1y m x =-与函数()y f x =图象有两个交点,故选D.7.【2018届山东省济南高三12月考】函数)3lny x x =+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意,f （﹣x ）=（﹣x ）3+ln +x ）=﹣f （x ）,函数是奇函数,f （1）=0,f （2）=8+ln 2）＞0,排除ACD.故选B ．8.【2018届北京市西城区高三上学期12月月考】如图,点O 为坐标原点,点()1,1A ,若函数x y a =（0a >,且1a ≠）及l o gby x =（0b >,且1b ≠）的图象与线段OA 分别交于点M ,N ,且M ,N 恰好是线段OA 的两个三等分点,则a ,b 满足（）．A. 1a b <<B. 1b a <<C. 1b a >>D. 1a b >> 【答案】A【解析】由图象可以知道,函数均为减函数,所以01a <<,01b <<,∵点D 为坐标原点,点()1,1A ,∴直线OA 为y x =,∵x y a =经过点M ,则它的反函数log a y x =也经过点M ,又∵log b y x =（0b >,且0b ≠）的图象经过点N ,根据对数函数的图象和性质可知：a b <,∴1a b <<．故选A ．9.【2018届广东省广州市华南师范大学附属中学高三综合测试】设()f x 是定义在R 上的偶函数,对x R ∈,都有()()22f x f x -=+,且当[]2,0x ∈-时,()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,若在区间()2,6-内关于x 的方程()()log 20(1)a f x x a -+=>恰好有三个不同的实数根,则a 的取值范围是（ ） A. ()2,+∞ B. ()1,2C. )2D.⎤⎦【答案】D【解析】∵对x R ∈,都有()()22f x f x -=+,∴()()4f x f x +=,即()f x 的周期为4,∵当[]2,0x ∈-时,()112x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,∴当[]0,2x ∈时,[]2,0x -∈-,则()11212xx f x -⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭∵()f x 是偶函数,∴当[]0,2x ∈时,()()21xf x f x =-=-,∵()()log 20(1)a f x x a -+=>∴()()log 2a f x x =+,∴作出在区间()2,6-内()f x 的图象如下：∵在区间()2,6-内关于x 的方程()()log 20(1)a f x x a -+=>恰好有三个不同的实数根,∴函数()f x 与函数()()log 2a g x x =+在区间()2,6-内有三个不同的交点,∴只需满足()g x 在点()23A ，的下方,()g x 过点()6,2B 或在点()6,2B 上方,即()()log 223{log 623a a +<+≥,2a <≤,故选D.10.【2018届山东省实验中学高三上学期第二次诊断】函数()2sin xf x x π=的图像为 A. B.C. D.【答案】D 【解析】()()2sin πxf x f x x --==- ,所以()f x 为奇函数,舍去A,C;0x ≠∴ 舍去B,选D. 11．【2018届广东省佛山市段考】已知[]1,1x ∈-,则方程2cos2xx π-=所有实数根的个数为A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】D【解析】在同一坐标系内作出函数()()2,cos2xf xg x x π-==的图象,如图所示,根据函数图象可知,两函数的图象交点的个数为5个,所以方程2cos2xx π-=所有实数根的个数为5个.选D ．12．【2018届福建省莆田市第二十四中学2018届高三上学期第二次月考】设函数()y f x =对任意的x R ∈满足()()4f x f x +=-,当(]2x ∈-∞，时,有()25xf x -=-.若函数()f x 在区间()1k k +，（k Z ∈）上有零点,则k 的值为（ ）A. 3-或7B. 4-或7C. 4-或6D. 3-或6 【答案】D【解析】∵函数y =f (x )对任意的x ∈R 满足f (4+x )=f (−x ),∴函数y =f (x )的图象关于直线x =2对称, 又∵当x ∈(−∞,2]时,有()25xf x -=-.故函数y =f (x )的图象如下图所示：由图可知,函数f (x )在区间(−3,−2),(6,7)各有一个零点,故k =−3或k =6,故选：D.13．【2018届广东省五校高三12月联考】函数()22x x e e f x x x --=+-的部分图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】()()()2,2x xe ef x f x f x x x ---==-∴+- 为奇函数,图象关于原点对称,排除A ；当()0,1x ∈时,()()()021x xe ef x x x --=<++-,排除B ；当()1,x ∈+∞时,()0f x >,排除C ；故选D.14．【2018届江西省南城县高三上学期期中】已知函数()2ln 1||f x x x =-+与()2g x x =,则它们所有交点的横坐标之和为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 8 【答案】C【解析】作函数2ln 1||,2y x y x x =-=-图像,由图可知所有交点的横坐标之和为224⨯=,选C.15.【2018江西省新余市高三第四次模拟】设函数()f x 的导函数为()f x ',若()f x 为偶函数,且在()0,1上存在极大值,则()f x '的图象可能为（）A. B. C. D.【答案】C16.【2018届湖南省衡阳县高三12月联考】函数()2sin 1x f x x x =++在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象为（ ） A. B.C. D.【答案】B【解析】函数的解析式满足()()f x f x -=-,则函数为奇函数,排除CD 选项,由2213sin 1,1124x x x x ⎛⎫≤++=++≥ ⎪⎝⎭可知：()1f x ≤,排除A 选项.本题选择B 选项.17. 【福建省莆田高三上学期第二次月考】现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③cos y x x =⋅；④2x y x =⋅的图象（部分）如图：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ） A. ①④③② B. ③④②① C. ④①②③ D. ①④②③ 【答案】D18. 【2018届辽宁省葫芦岛高三上学期期中】函数()21x xe ef x x --=+的大致图象是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题f x （）定义域为R ,且()()()2211x xx x e e e e f x f x x x -----===-+-+,∴f x （）是奇函数,图象关于原点对称,排除C,D ；又当0x ＞时,10xxe ef x -∴＞＞，（）＞，排除A,故选B ．19.【2018届内蒙古杭锦后旗高三上学期第三次月考】函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意可知,函数sin21cos xy x=-为奇函数,故排除B ；当x=π时,y=0,故排除D ；当x=1时,y>0,故排除A ；故选：C20.【2018届北京东城高三上学期期中】已知函数()()21,0={ 1,0x x f x f x x --≤->,若方程()=f x x a +有且只有两个不相等的实数根,则实数a 的取值范围是（ ）． A. [)0,+∞ B. ()0,1 C. (),1-∞ D. (],1-∞ 【答案】D【解析】()f x 图像如图所示,1a <,()f x 与y x a =+图像有两个交点,符合题意．故选D .。