线段的和与差

专题：与线段的和差有关的问题
学习目标
1.掌握证明线段和差问题的几种常用方法；
2.理解证明线段和差关系的核心是证明线段相等； 方法1 借助三角形全等
若题中出现或可证出两三角形全等,则“全等”就会创造“边等” “角等” ；线段的和差问题就转化为求证线段相等的问题；注意：设法将相关的线段集中在同一直线上.
1.如图,在Δ ABC 中, ∠BAC=900 , AB=AC,DE 过点A,BD ⊥ DE, CE ⊥DE, 求证:DE=BD+CE
2.在Δ ABC 中, ∠BAC=900 , AB=AC, AE 是过点A 的一条直线,且B 、C 分别在AE 的异侧, BD ⊥AE 于点D, CE ⊥AE 于点E, 求证:BD=DE+CE
3.已知△ABC 和△BED 都是等边三角形, 且A 、E 、D 在一条直线上.求证:AD=BD+CD.
截长补短法是几何证明题中十分重要的方法,常用来证明线段之间的和差关系. 它体现了数学思想方法中的转化思想,即将未知转化为已知; 将陌生转化为熟知:
将不在同一直线上的三条线段的和差关系转化为同一直线上的三条线段的和差关系. （一）截长法
A
B
C D
E
O
A
A B E D C
(1)过一点作长边的垂线,常和角平分线相关;
(2)在长边上截取一条与某一短边相同的线段,再证剩下的线段与另一线段长度相等. （二）补短法 (1)延长短边
(2)通过旋转等方式使两短边拼合在一起.
1.已知:如图,△ABC 中, ∠B=2∠C, ∠CAD=∠DAB , 求证:AC=AB+BD ． 思路点拨1如图,在长线段AC 上截取AE=AB,由△ABD ≌△AED 推出BD=DE, 从而只需证EC=DE.
思路点拨2 如图,延长短线段AB 至点E,使AE=AC,
因而只需证BE=BD,由△AED ≌△ACD 及∠B=2∠C,可证∠E=∠BDE,从而有BE=BD.
思路点拨3 延长AB 至E,使BE=BD,连接ED,由∠ABD=2∠C,∠ABD=2∠E,可证△AED ≌△ACD,可得AE=AC,即AC=AB+BD.
2.如图,已知△ABC 中,AB=AC,点E 在AB 上,点F 在AC 的延长线上, 且BE=CF,EF 与BC 交于D,求证:ED=DF.
A
B
D
A
B
D
A
B
D
C C
C
F
3.如图,在ΔABC 中, ∠B=600 , AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠BCA,并且相交于点O, 求证:AC=CD+AE
方法3 借助面积
利用几何图形的总面积=各部分面积之和及三角形的面积公式求解。

1.如图,在△ABC 中,已知AB=AC,P 为BC 上任一点, PE ⊥AB 于E, PF ⊥AC 于F. CD 为AB 边上的高,D 是垂足. 求证:PE+PF=CD.
归纳提升
1.常借助三角形全等、截长补短、面积等方法来证明线段和差问题；
2.证明线段和差关系的核心是证明线段相等； 课下延伸
1. 如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC,∠BAD 与∠ABC 的平分线 交于E,且CD 过点E,求证:AB=AD+BC.
2.如图,在等腰△ACB 中, AC=BC=5, AB=8, D 为底边AB 上一动点(不与点A,B 重合), DM ⊥AC,DN ⊥BC, 垂足分别为M,N,则DM+DN .
A B
C
D
E
O
A
B
E A
B D
1 2 4 3
A
B
M N D。