2017-2018学年度辽宁省沈阳市东北育才学校第二学期高三年级高中学段联合考试(理)

2017-2018学年度辽宁省沈阳市东北育才学校第二学期高三年级高
中学段联合考试数学试卷（理）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}
2|540M x x x =-+≤，{}0,1,2,3N =，则集合M N ⋂中元素的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 2．设复数21,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且i z +=21，则12z z ⋅=（ ）
A ．i 34+-
B ．i 34-
C ．i 43--
D ．i 43- 3．已知52log 2a =， 1.12b =，0.8
12c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）
A ．c b a <<
B ．b c a <<
C ．a b c <<
D ．a c b <<
4．设a ，b 是实数，则“0||||>>a b ”是“1>a
b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 5．函数()sin()sin()36f x x a x ππ=+
+-的一条对称轴方程为2x π=，则a =（ ） A ．1
B
C ．2
D ．3 6．现有3个命题． 1:p 函数()lg 2f x x x =--有2
个零点．2:,,sin 62p x x x ππ⎛⎫∃∈+= ⎪⎝⎭
3:p 若2,4,a b c d ac bd +=+=+>则,,,a b c d 中至少有1个为负数．
那么,这3个命题中,真命题的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
7．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”： 333137315951711419
2 3⎧⎧⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎩ ，，,
仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是2017，则m 的值为( )
A ．43
B ．44
C ．45
D ．46
8．已知ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若1cos 4B =，2b =，sin 2sin C A =，则ABC ∆的面积为（ ）
A
B
C
D
9．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()[]
222,0f x f x x +=-∈-，当时，(
)12x f x ⎛=- ⎝⎭
，若在区间()2,6-内关于x 的方程()()()log 200a f x x a -+=>有四个零点，则a 的取值范围是（ ）
A ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．()1,4
C ．()1,8
D ．()8+∞
10．如图圆弧型声波DFE 从坐标原点O 向外传播．若D 是DFE 弧与x 轴的交点，设(0)OD x x a =≤≤，圆弧型声波DFE 在传播过程中扫过平行四边形OABC 的面积为y （图中阴影部分），则函数()y f x =的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知偶函数)(x f 满足)1()1(-=+x f x f ，且当[0,1]x ∈时，2)(x x f =，则关于x 的方程x x f -=10)(在[]3,3-上根的个数是（ ）
A ．10个
B ．8个
C ．6个
D ．4个
12．对任意的实数x ，都存在两个不同的实数y ，使得0)(222=+----y x x y y x xe ae y a 成立，
则实数a 的取值范围为( )
A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛e 31,0
B ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛e 21,0 C ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,31e D ．1,12e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上．
13．函数()cos22sin ()f x x x x R =-∈的值域为 ．
14．若正实数,m n 满足2221x dx m n -⎛+=+ ⎝⎰，则()2l o g 2m n +
的最小值_____． 15．已知函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈，若存在实数[]1,2a ∈，对任意[]1,2x ∈，都有()1f x ≤，则75b c +的最大值是________．
16．设G 是一个非空集合，*是定义在G 上的一个运算．如果同时满足下述四个条件：
（ⅰ）对于,a b G ∀∈，都有a b G *∈；
（ⅱ）对于,,a b c G ∀∈，都有()()a b c a b c **=**；
（iii ）对于,a G e G ∀∈∃∈，使得a e e a a *=*=；
（iv ）对于,'a G a G ∀∈∃∈，使得''a a a a e *=*=（注：“e ”同（iii ）中的“e ”）．
则称G 关于运算*构成一个群．现给出下列集合和运算： ①G 是整数集合，*为加法；②G 是奇数集合，*为乘法；③G 是平面向量集合，*为数量积运算；④G 是非零复数集合，*为乘法．其中G 关于运算*构成群的序号是___________（将你认为正确的序号都写上）．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）已知集合A 是函数2lg(208)y x x =+-的定义域，集合B 是不等式22210(0)x x a a -+-≥>的解集，:p x A ∈，:q x B ∈．
（Ⅰ）若A B φ⋂=，求a 的取值范围；
（Ⅱ）若p ⌝是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．
18．（本小题满分12分）已知函数21()cos )cos()2
f x x x x ππ=-+-，x R ∈． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程；
（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，已知()1f A =-，3a =，sin sin b C a A =，求ABC ∆的面积．
19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 前5项和为50，227=a ，数列{}n b 的前n 项和为n S ， 11=b ， 131+=+n n S b ．
（Ⅰ）求数列{}n a ， {}n b 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n c 满足12112n n n c c c a b b b +++⋅⋅⋅⋅+=, *n N
∈，求122017c c c ++⋅⋅⋅+的值．
20．（本小题满分12分）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交(F ， G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m ，且12
AB AD ≥．设EOF θ∠=，透光区域的面积为S ．
（Ⅰ）求S 关于θ的函数关系式，并求出定义域；
（Ⅱ）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB 的长度．
21．（本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b
+=>>和直线l ：1x y a b -=，椭圆的离
心率3e =
l
的距离为2．
（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知定点()1,0E -，若直线m 过点()0,2P 且与椭圆相交,C D 两点，试判断是否存在直线m ，使以CD 为直径的圆过点E ？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）已知函数22111()(1)ln ()2f x x x x a R a a a
=-++∈． （Ⅰ）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）当12
a =时，设()()6g x f x x =+，若正实数1x ，2x ，满足12()()4g x g x +=，求证：122x x +≥。