2021苏教版数学必修第二册课时分层作业：9.3.2 第2课时 向量数量积的坐标表示

坐标为( )
A．(－2，5)或(2，－5)
B．(－2，5)
C．(2，－5)
D．(－2，－5)或(2，5)
A [设A→B＝(x，y)，由|O→A|＝|A→B|，得 52＋22＝ x2＋y2.
①
由O→A⊥A→B，得 5x＋2y＝0
②
联立①②，解得 x＝－2，y＝5 或 x＝2，y＝－5.
故A→B＝(－2，5)或A→B＝(2，－5)．]
∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝52. 9
→
→
→
→→
10．已知OA＝(4，0)，OB＝(2，2 3)，OC＝(1－λ)OA＋λOB(λ2≠λ)．
→→ → → (1)求OA·OB及OA在OB上的投影向量；
→ (2)求|OC|的最小值．
[解] (1)O→A·O→B＝8，设O→A与O→B的夹角为θ，
二、填空题
→→
→→
6．已知正方形 ABCD，点 E 在边 BC 上，且满足 2BE＝BC，设向量AE，BD的
夹角为θ，则 cos θ＝________.
－ 10 [因为 2B→E＝B→C，所以 E 为 BC 的中点．设正方形的边长为 2， 10
则|A→E|＝
→ 5，|BD|＝2
→→ 2，AE·BD＝
2．已知 a＝(4，7)，b＝(－5，－2)，则|a－b|＝( )
A．81
B．9 2
C． 26
D．9
B [因为 a－b＝(9，9)，所以|a－b|＝ 92＋92＝9 2.]
→→ 3．(一题两空)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则DE·CB
→→ 的值为________；DE·DC的最大值为________．
(3，0) [设 P(x，0)，所以A→P·B→P＝(x－2，－2)·(x－4，－1)＝(x－2)(x－4)＋2
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，当 x＝3 时，A→P·B→P有最小值，此时 P(3，0)．]
三、解答题
9．已知 a＝(4，3)，b＝(－1，2)．
(1)求 a 与 b 的夹角的余弦；
5
5或 5 5
[设 b＝(x，y)，
x＝ 5，
x＝－ 5，
则由 x2＋y2＝1， 4x＋2y＝0，
5 得 y＝－2 5，
5 或 y＝2 5.
]
5
5
→
→
→→
8．已知OA＝(2，2)，OB＝(4，1)，O 为坐标原点，在 x 轴上求一点 P，使AP·BP
-2-
有最小值，则 P 点的坐标为________．
A．π B．π C．π D．3π
6
4
2
4
B [由于 2a＋b＝(4，2)，则 b＝(4，2)－2a＝(2，0)，
则 a·b＝2，|a|＝ 2，|b|＝2.
设向量 a，b 的夹角为θ，则 cos θ＝ a·b ＝ 2. |a||b| 2
又θ∈[0，π]，所以θ＝π.] 4
→
→
4．已知 O 是坐标原点，A，B 是坐标平面上的两点，且向量OA＝(－1，2)，OB
1 1 [以 D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．
则 D(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)， 设 E(1，a)(0≤a≤1)． 所以D→E·C→B＝(1，a)·(1，0)＝1， →→ DE·DC＝(1，a)·(0，1)＝a≤1， 故D→E·D→C的最大值为 1.] 4．窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一 种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图，是某古代建筑群的窗户设计 图，窗户的轮廓 ABCD 是边长为 1 米的正方形，内嵌一个小正方形 Ef GH，且 E，
直线 AI：y＝1x，同理可 2
得：直线 GB：y＝－2x＋2，
直线 HC：y＝1x＋1； 22
4，2
3，4
解得：f 5 5 ，G 5 5 ，
故A→G＝
3，4 55
→ ，DF＝
4，－3 55
→→ ，AG·DF＝0.]
→
→
→
5．已知OP＝(2，1)，OA＝(1，7)，OB＝(5，1)，设 C 是直线 OP 上的一点(其
课时分层作业(八) 向量数量积的坐标表示
(建议用时：40 分钟)
一、选择题
1．设 a＝(1，－2)，b＝(3，1)，c＝(－1，1)，则(a＋b)·(a－c)等于( )
A．14
B．11
C．10
B [a＋b＝(4，－1)，a－c＝(2，－3)，
∴(a＋b)·(a－c)＝2×4＋(－1)×(－3)＝11.]
D．5
→
→
→
→→
2．已知AB＝(2，3)，AC＝(3，t)，|BC|＝1，则AB·BC＝( )A．－3Fra bibliotekB．－2
C．2
D．3
C [因为B→C＝A→C－A→B＝(1，t－3)，所以|B→C|＝ 1＋t－32＝1，解得 t＝3，
所以B→C＝(1，0)，所以A→B·B→C＝2×1＋3×0＝2，故选 C．]
3．已知向量 a＝(1，1)，2a＋b＝(4，2)，则向量 a，b 的夹角为( )
中 O 为坐标原点)．
→→
→
(1)求使CA·CB取得最小值时的OC；
(2)根据(1)中求出的点 C，求 cos∠ACB．
[解] (1)因为点 C 是直线 OP 上一点，
所以向量O→C与O→P共线，设O→C＝tO→P，
则O→C＝(2t，t)．
C→A＝O→A－O→C＝(1－2t，7－t)，
-5-
C→B＝O→B－O→C＝(5－2t，1－t)．
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值． [解] (1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2， |a|＝ 42＋32＝5，|b|＝ －12＋22＝ 5，
∴cos〈a，b〉＝ a·b ＝ 2 ＝2 5. |a||b| 5 5 25
(2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)， 又(a－λb)⊥(2a＋b)，
A→B＋1A→D 2
·(A→D－A→B)＝1|A→D|2－|A→B|2＋
2
→→
1A→D·A→B＝1×22－22＝－2，所以
2
2
cos
AE·BD θ＝ → → ＝
|AE||BD|
－2 5×2
＝－ 10.] 2 10
7．已知 a＝(4，2)，则与 a 垂直的单位向量 b＝________.
5，－2 5 － 5，2 5
C→A·C→B＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)
＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.
当 t＝2 时，C→A·C→B取得最小值，此时O→C＝(4，2)．
(2)当O→C＝(4，2)时，C→A＝(－3，5)，C→B＝(1，－1)，
所以|C→A|＝
→ 34，|CB|＝
2，C→A·C→B＝－8.
→→
所以
cos∠ACB＝
CA·CB →→
＝－4
|CA||CB|
17 .
17
-6-
→→ 则 cos θ＝|OO→AA|·|OO→BB|＝4×8 4＝12，
∴O→A在O→B上的投影向量为(|O→A|cos θ)|OO→→BB|＝4×12×O→4B＝O→2B＝(1， 3)．
(2)|
→ OC|2
＝(1－λ)2
O→A2＋
2λ(1－λ)O→A·O→B＋λ2O→B2＝16λ2－16λ＋16＝16
λ－1 2
2
＋12，
∴当λ＝1时，|O→C|取到最小值为 2 3. 2
-3-
1．已知向量 a＝(1， 3)，b＝(3，m)，若向量 a，b 的夹角为π，则实数 m 的 6
值为( )
A．2 3
B．－ 3
C．0
D． 3
D [由题意得|a|＝2，|b|＝ 9＋m2，a·b＝3＋ 3m＝2 9＋m2cosπ，解得 m＝ 3.] 6
＝(3，m)．若△AOB 是直角三角形，则 m＝( )
A．3 2
C．4
B．2 D．3或 4
2
D [在 Rt△AOB 中，A→B＝(4，m－2)，
-1-
若∠OAB 为直角时，O→A·A→B＝0，可得 m＝4；
若∠AOB 为直角时，O→A·O→B＝0，可得 m＝3； 2
若∠OBA 为直角时，无解．]
→ 5．以原点 O 及点 A(5，2)为顶点作等腰直角三角形 OAB，使 A＝90°，则AB的
→→ f ，G，H 分别是 Af ，BG，CH，DE 的中点，则AG·DF的值为________．
-4-
0 [如图所示，以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，
建立直角坐标系. 则 A(0，0)，D(0，1)，延长 Af 与 BC 交于点 I，
tan∠f AB＝FB＝1＝ BI ，故 I 为 BC 中点． FA 2 AB